አርቲሜቲክ ስሌቶች. አርቲሜቲክ ስሌቶች. ኢንቲጀር አዎንታዊ ቁጥሮች

ሒሳብ-ካልኩሌተር-የመስመር ላይ v.1.0

ካልኩሌተሩ የሚከተሉትን ተግባራት ያከናውናል፡ መደመር፣ መቀነስ፣ ማባዛት፣ ማካፈል፣ ከአስርዮሽ ጋር መሥራት፣ ሥሩን ማውጣት፣ ወደ ኃይል ማሳደግ፣ መቶኛን በማስላት እና ሌሎች ሥራዎችን ይሠራል።

ውሳኔ፡-

የሂሳብ ማስያ እንዴት እንደሚጠቀሙ

ቁልፍ	ስያሜ	ማብራሪያ
5	ቁጥሮች 0-9	የአረብ ቁጥሮች. የተፈጥሮ ኢንቲጀሮችን አስገባ፣ ዜሮ። አሉታዊ ኢንቲጀር ለማግኘት የ+/- ቁልፉን ይጫኑ
.	ሴሚኮሎን)	የአስርዮሽ መለያየት። ከነጥቡ (ኮማ) በፊት ምንም አሃዝ ከሌለ፣ ካልኩሌተሩ ከነጥቡ በፊት ዜሮን በራስ-ሰር ይተካል። ለምሳሌ፡- .5 - 0.5 ይጻፋል
+	የመደመር ምልክት	የቁጥሮች መጨመር (ሙሉ፣ የአስርዮሽ ክፍልፋዮች)
-	የመቀነስ ምልክት	የቁጥሮች መቀነስ (ሙሉ፣ የአስርዮሽ ክፍልፋዮች)
÷	የመከፋፈል ምልክት	የቁጥሮች ክፍፍል (ሙሉ፣ የአስርዮሽ ክፍልፋዮች)
X	የማባዛት ምልክት	የቁጥሮች ማባዛት (ኢንቲጀር፣ አስርዮሽ)
√	ሥር	ሥሩን ከቁጥር ማውጣት። የ "root" ቁልፍን እንደገና ሲጫኑ, ሥሩ ከውጤቱ ይሰላል. ለምሳሌ: ካሬ ሥር 16 = 4; ካሬ ሥር 4 = 2
x2	አራት ማዕዘን	ቁጥርን ካሬ ማድረግ። የ "ስኩዌር" ቁልፍን እንደገና ሲጫኑ ውጤቱ ስኩዌር ነው ለምሳሌ: ካሬ 2 = 4; ካሬ 4 = 16
1/x	ክፍልፋይ	ውፅዓት ወደ አስርዮሽ። በቁጥር 1 ውስጥ, በዲኖሚተር ውስጥ የመግቢያ ቁጥሩ
%	በመቶ	የቁጥር መቶኛ ያግኙ። ለመስራት, ማስገባት አለብዎት: መቶኛ የሚሰላበት ቁጥር, ምልክቱ (ፕላስ, መቀነስ, ማካፈል, ማባዛት), በቁጥር መልክ ስንት በመቶ, የ "%" ቁልፍ
(	ክፍት ቅንፍ	የግምገማውን ቅድሚያ ለማዘጋጀት ክፍት ቅንፍ። የተዘጋ ቅንፍ ያስፈልጋል። ምሳሌ፡ (2+3)*2=10
)	የተዘጋ ቅንፍ	የግምገማውን ቅድሚያ ለማዘጋጀት የተዘጋ ቅንፍ። የግዴታ ክፍት ቅንፍ
±	ሲደመር ሲቀነስ	ምልክት ወደ ተቃራኒው ይለውጣል
=	እኩል ነው።	የመፍትሄውን ውጤት ያሳያል. እንዲሁም መካከለኛ ስሌቶች እና ውጤቱ በ "መፍትሄ" መስክ ውስጥ ካለው ካልኩሌተር በላይ ይታያሉ.
←	ቁምፊን መሰረዝ	የመጨረሻውን ቁምፊ ይሰርዛል
ጋር	ዳግም አስጀምር	ዳግም አስጀምር አዝራር. ካልኩሌተሩን ሙሉ በሙሉ ወደ "0" ያስጀምረዋል

የመስመር ላይ ካልኩሌተር ስልተ ቀመር ከምሳሌዎች ጋር

መደመር።

የሙሉ የተፈጥሮ ቁጥሮች መጨመር (5 + 7 = 12)

አጠቃላይ የተፈጥሮ እና አሉታዊ ቁጥሮች መጨመር (5 + (-2) = 3)

የአስርዮሽ ክፍልፋይ ቁጥሮች መጨመር (0.3 + 5.2 = 5.5)

መቀነስ።

የሙሉ የተፈጥሮ ቁጥሮች መቀነስ (7 - 5 = 2)

አጠቃላይ የተፈጥሮ እና አሉታዊ ቁጥሮች መቀነስ (5 - (-2) = 7)

የአስርዮሽ ክፍልፋይ ቁጥሮች መቀነስ (6.5 - 1.2 = 4.3)

ማባዛት።

የሙሉ የተፈጥሮ ቁጥሮች ምርት (3 * 7 = 21)

ሙሉ የተፈጥሮ እና አሉታዊ ቁጥሮች (5 * (-3) = -15)

የአስርዮሽ ክፍልፋይ ቁጥሮች ምርት (0.5 * 0.6 = 0.3)

ክፍፍል

የሙሉ የተፈጥሮ ቁጥሮች ክፍፍል (27/3 = 9)

የሙሉ የተፈጥሮ እና አሉታዊ ቁጥሮች ክፍፍል (15 / (-3) = -5)

የአስርዮሽ ክፍልፋይ ቁጥሮች ክፍፍል (6.2/2 = 3.1)

ሥሩን ከቁጥር ማውጣት።

የኢንቲጀርን ሥር ማውጣት (ሥር(9) = 3)

የአስርዮሽ ስርወ ማውጣት (ስር(2.5) = 1.58)

ሥሩን ከቁጥሮች ድምር ማውጣት (ሥር(56 + 25) = 9)

የቁጥር ልዩነትን (ስር (32 - 7) = 5) ማውጣት.

ቁጥርን ካሬ ማድረግ።

ኢንቲጀርን ስኩዌር ማድረግ ((3) 2 = 9)

ስኩዌር አስርዮሽ ((2.2) 2 = 4.84)

ወደ አስርዮሽ ክፍልፋዮች ቀይር።

የቁጥር መቶኛዎችን በማስላት ላይ

230 በ15% ጨምር (230 + 230 * 0.15 = 264.5)

ቁጥር 510 በ 35% ቀንስ (510 - 510 * 0.35 = 331.5)

ከቁጥር 140 18% (140 * 0.18 = 25.2) ነው

የዚህ ክፍል ልዩ ባህሪ ለታክስ ኦዲቶች የህግ እና ኢኮኖሚያዊ አቀራረቦች ጥምረት ነው. በእርግጥ, የታክስ ኦዲቶች, በአንድ በኩል, በሕጋዊ ድርጊቶች ቁጥጥር ይደረግባቸዋል. ውጤታቸው በህጋዊ መልኩ ጉልህ ባህሪ ያለው እና የተለየ ቼክ በተደረገለት ሰው ላይ ህጋዊ መዘዝን ሊያስከትል ይችላል። በሌላ በኩል ዋና ጉዳያቸው በአንድ ወይም በሌላ መንገድ (የታክስ ቁጥጥር ዘዴዎች ወይም ሌሎች በህግ ያልተከለከሉ ዘዴዎች) በኦዲት የተደረገው ሰው የፋይናንስ እና የኢኮኖሚ እንቅስቃሴዎች ላይ ያለውን መረጃ መጻጻፍ, ገቢን ለማስገኘት ያለመ ነው. ትክክለኛው መረጃ. በሂሳብ አያያዝ እና በሪፖርት ማቅረቢያ መረጃ (ማለትም ሙሉ በሙሉ ኢኮኖሚያዊ ተፈጥሮ መረጃ) በኦዲት የተደረገው አካል ኢኮኖሚያዊ እንቅስቃሴዎች ላይ ሳይመረመር የዚህ ሂደት ትግበራ የማይቻል ነው. የግብር ከፋዩ ያከናወናቸውን የሂሳብ ስሌት ትክክለኛነት ማረጋገጥ እና በታክስ ሪፖርት መልክ የቀረበው ፣የግብር ተመኖች እና ጥቅሞች አተገባበር ህጋዊነት ማረጋገጥ ፣የግብር መሰረቱን ስሌት ትክክለኛነት ማረጋገጥ እንዲሁም የኦዲት ምርመራ የተደረገበትን ሰው መዝገቦችን የማጣራት ዘዴዎችን መተግበር ፣የሂሳብ አያያዝ መረጃዎችን አስተማማኝነት በመተንተን ፣የሂሳቡ ትክክለኛነት እና ለበጀቱ መክፈል የተለያዩ የግብር ዓይነቶች ተቆጣጣሪው ተገቢውን ኢኮኖሚያዊ ስልጠና የማግኘት አስፈላጊነትን ያሳያል ።

በሩሲያ የግብር ሚኒስቴር ለግብር ባለሥልጣኖች ሙሉ በሙሉ የተቀመጠውን ተግባር መፈፀም የሚቻለው በግለሰብ አመላካቾች ላይ ሊፈጠሩ የሚችሉ አለመግባባቶችን ለመለየት የቀረበውን የሂሳብ አያያዝ እና የግብር ዘገባን ለኮምፒዩተር ማቀነባበሪያዎች የተዋሃዱ ዘዴዎችን በመፍጠር ብቻ ነው ። እና የሂሳብ ስሌቶችን ትክክለኛነት ለማረጋገጥ የግብር ባለሥልጣኖችን ከመደበኛ ሥራ አስፈላጊነት ነፃ ማድረግ። የእንደዚህ አይነት ዘዴዎችን ማዘጋጀት የተዋሃደ ቅፅ ያላቸው በማረጋገጫው ወቅት የሚመረመሩ ሰነዶች ተፈጥሮ አመቻችቷል. ሆኖም የግብር ሪፖርትን ለመፈተሽ የኮምፒዩተር ዘዴዎች በስፋት መጀመሩ የማሽን ሂደትን በሚፈቅድ ሚዲያ ላይ የሪፖርት ማቅረቢያ ሰነዶችን ከማቅረቡ ጋር የተያያዘ ነው።

የሂሳብ ስሌት ትክክለኛነት ማረጋገጥ

የሂሳብ ስሌቶችን ትክክለኛነት ማረጋገጥ የሂሳብ ስራዎችን መፈተሽ - ዋጋዎችን በብዛት (በግብር) ማባዛ እና ድምርን በማስላት ያካትታል።

በሂሳብ ክፍል የተቀበሉት ሰነዶች በጥንቃቄ መመርመር አለባቸው. በመጀመሪያ ደረጃ, አስፈላጊ የሆኑ ፊርማዎች እና ሌሎች ዝርዝሮች በሰነድ ውስጥ መኖሩን ማረጋገጥ አስፈላጊ ነው, የመደምሰስ, የመጥፋት እና ያልተገለጹ እና ያልተረጋገጡ እርማቶች, የአርቲሜቲክ ስሌቶች ትክክለኛነት. ከዚያም የተከናወኑ ተግባራትን ኢኮኖሚያዊ አዋጭነት ይወስናሉ, እነዚህ ስራዎች ከታቀዱት ኢላማዎች ወይም የተገመቱ ግምቶች ጋር መጣጣምን, የተጠናቀቁትን ኮንትራቶች ውሎች, አሁን ያለውን ህግ, የአስተዳደር ትዕዛዞችን እና የመልካም አስተዳደር እጦትን እውነታዎች ያሳያሉ. ስለዚህ ሰነዶችን ማረጋገጥ የተግባር ሰራተኞችን ድርጊት የመከታተል ዘዴ ነው.

በመጀመሪያ ደረጃ ለትንተና የሚሰበሰቡት መረጃዎች ጥሩ መሆናቸውን መፈተሽ አለባቸው። ቼኩ በሁለት በኩል ይካሄዳል. በመጀመሪያ፣ ተንታኙ ዕቅዶቹን እና ሪፖርቶችን የያዘው መረጃ ምን ያህል እንደተሟሉ፣ በትክክል መቀረፃቸውን ያረጋግጣል። የሂሳብ ስሌቶችን ትክክለኛነት ማረጋገጥዎን እርግጠኛ ይሁኑ. ተንታኙ በተለያዩ የዕቅድ ወይም የሪፖርት ሰንጠረዦች ወዘተ የተሰጡት አመላካቾች ወጥነት ያላቸው ስለመሆኑ ትኩረት መስጠት አለባቸው። ይህ ቼክ በተፈጥሮው ቴክኒካል ነው።

የሂሳብ ስሌቶችን ትክክለኛነት ለመወሰን የሂሳብ ቼክ ወይም የመቁጠር ቼክ ይከናወናል (አጠቃላይ ድምርን በመቁጠር, የሰፈራ ሂደቶችን አፈፃፀም ትክክለኛነት በመፈተሽ, ለምሳሌ, ቀጥተኛ ያልሆኑ ወጪዎች ስርጭትን በማስላት, የዋጋ ቅነሳ, የኬፕስ, ቅናሾች, ወዘተ. .)

ከኤኮኖሚ እንቅስቃሴ ትንተና የሚነሱ መደምደሚያዎች ትክክለኛነት በአብዛኛው የተመካው በመተንተን ላይ ባለው መረጃ አስተማማኝነት ላይ ነው. ስለዚህ, ትንታኔው አስተማማኝነት እና ትክክለኛነት በጥልቀት መገምገም አለበት. ይህንን ለማድረግ የሪፖርት ማቅረቢያውን የመቁጠር ፍተሻ ይከናወናል (የሂሳብ ስሌት ትክክለኛነት ቁጥጥር ይደረግበታል, በመካከላቸው ያለው ግንኙነት.

ለቁሳቁሶች የሂሳብ አያያዝ በሂሳብ ክፍል የተቀበሉት ደረሰኞች እና ወጪዎች ጥንቃቄ የተሞላበት ሂደት, የሂሳብ ስሌቶች ትክክለኛነት, የተከናወኑ ተግባራት ምንነት ተረጋግጧል. የምስጢር ምሉእነት እና ትክክለኛነት እና የአንድ የተወሰነ የንግድ ልውውጥን የሚያሳዩ ሌሎች አመልካቾችን ለመፈተሽ ልዩ ትኩረት ተሰጥቷል። ከዚያ በኋላ ለሂሳብ አያያዝ ቁሳቁሶች ዋና ሰነዶች በቡድን የተከፋፈሉ ናቸው, እና የተገኘው አጠቃላይ መረጃ በሂሳብ መዝገብ ውስጥ ገብቷል.

በኦዲት ወቅት, ለደመወዝ ክፍያ እና ለክፍያ የሂሳብ ስሌት ትክክለኛነት በሰነዶቹ ውስጥ ማረጋገጥ አለብዎት. የቁመት ስሌት ትክክለኛነትን በማጣራት, የተገመተውን መጠን ከመጠን በላይ ግምት ውስጥ ማስገባት (የተቀነሰውን የታክስ መጠን በመቀነስ እና ወደ በጀት የሚዘዋወሩትን ወጪዎች በመጻፍ ወደ ወጭዎች መፃፍ ይቻላል. እንዲህ ዓይነቱ አላግባብ መጠቀም በሂሳብ መዝገብ ላይ ለውጦችን አያስፈልገውም. ተመሳሳይ የሆነ አግድም ቼክ ከሌሎች ሰራተኞች ዕዳ ለመክፈል ከአንዳንድ ሰራተኞች ገንዘብ በመከልከል ሊታወቅ ይችላል።

የሂሳብ ክፍል ከሱ ጋር የተያያዙ ዋና ሰነዶች መኖራቸውን, ህጋዊ ምዝገባቸውን እና የሂሳብ ስሌቶችን ትክክለኛነት በማጣራት ሪፖርቱን ይቀበላል. የገቢ እና የወጪ ሂሳቦችን ፣ ምርቶች እና ኮንቴይነሮችን ፣ ለሪፖርት ጊዜያቸው ደረሰኝ እና ፍጆታ ፣ እንዲሁም መጠኑን ፣ በሽያጭ ዓይነት ፣ የተጠናቀቁ ምርቶችን በማመልከት ትክክለኛነት ላይ ቁጥጥር ይደረጋል ።

የተመረጠ የሒሳብ ቼክ ሀ) በደመወዝ ሒሳብ ውስጥ ያለው ጠቅላላ ስሌት፣ ለ) የገንዘብ ደብተሩን ጠብቆ ማቆየት፣ የዕለት ተዕለት ትርኢት፣ በቀኑ መጨረሻ ላይ የወጣ ቀሪ ሂሳቦች፣ ወዘተ. ሥራ ወዘተ)፣ ትክክለኛነት በውክልና ሥልጣን (የውክልና ሥልጣን መጽሐፍ) መሠረት ገንዘብ የመስጠት፣ ወዘተ.

በመጀመሪያ፣ ተንታኙ ዕቅዶቹን እና ሪፖርቶችን የያዘው መረጃ ምን ያህል እንደተሟሉ፣ በትክክል መቀረፃቸውን ያረጋግጣል። የሂሳብ ስሌቶችን ትክክለኛነት ማረጋገጥዎን ያረጋግጡ ፣ በተለያዩ የእቅዱ ወይም የሪፖርት ሰንጠረዦች ውስጥ የተሰጡ አመላካቾችን ማመጣጠን ፣ ወዘተ. ይህ ቼክ በተፈጥሮው ቴክኒካል ነው።

ኦዲቱ በቴክኒክ እና በመረጃ የተከፋፈለ ነው። በቴክኒካል ቼክ ወቅት ጥቅም ላይ የዋሉት ምንጮች ሙሉነት, የአፈፃፀማቸው ትክክለኛነት, በሂሳብ ስሌት እና ድምር ላይ ስህተቶች አለመኖር (የመቁጠር ቼክ), በተለያዩ የተካተቱ ምንጮች ውስጥ የተሰጡ ተመሳሳይ አመልካቾችን ማክበር, የአመላካቾች ወጥነት በ ውስጥ ተደጋግሟል. በርካታ የሪፖርት ማቅረቢያ ቅጾች, የሪፖርት ማቅረቢያ ጊዜ ቁሳቁሶች ቀጣይነት ካለፈው ጊዜ መረጃ ጋር . በምርቶቹ ላይ ሲፈተሽ የቁሳቁሶቹ አስተማማኝነት እና ከተጨባጭ እውነታ ጋር መጣጣማቸው ይወሰናል. ይህ አንዳንድ የማረጋገጫ ዘዴዎች እርዳታ ጋር ማሳካት ነው አመክንዮአዊ ቁጥጥር መረጃ ጠቋሚዎች ያላቸውን አጸፋዊ ማረጋገጫ እርስ በርስ የተያያዙ አመላካቾች መካከል የጋራ ወጥነት ያለውን የሂሳብ ሁኔታ ማረጋገጥ, ወዘተ.

የሰነዶች አርቲሜቲክ ማረጋገጫ የውጤቶችን የሂሳብ ስሌቶችን ፣ የቁጥር እና የወጪ አመልካቾችን ነጸብራቅ ትክክለኛነት ለመቆጣጠር ያስችልዎታል።

የሰነድ ማረጋገጫ - ለክትትል ዓላማ የዳሰሳ ጥናት ፣ ቁጥጥር የሰነዶች መደበኛ ማረጋገጫ (ሁሉንም ዝርዝሮች የመሙላት ትክክለኛነት ፣ ያልተገለፁ እርማቶች መኖራቸው ፣ መሰረዙ ፣ በጽሑፍ እና በቁጥሮች ውስጥ ያሉ ተጨማሪዎች ፣ የባለሥልጣናት ፊርማዎች ትክክለኛነት እና ትክክለኛነት) ያካትታል ። የገንዘብ ኃላፊነት ያለባቸው ሰዎች), የሂሳብ ማረጋገጫ (በመጀመሪያ ደረጃ ሰነዶች ውስጥ ያሉ ስሌቶች ትክክለኛነት, የሂሳብ መዝገቦች እና የሪፖርት ማቅረቢያ ቅጾች) እና በጥቅም ላይ ያሉ ሰነዶችን ማረጋገጥ (የንግድ ግብይት ህጋዊነት እና ጥቅም, በሂሳብ ላይ የተደረጉ ግብይቶችን የመመዝገብ ትክክለኛነት እና በወጪ እቃዎች ውስጥ ማካተት). ).

ቀለል ያለ የሂሳብ ስሌት እና የመነሻ ሒሳቦች የዴቢት ቀሪ ሂሳብ በጠቅላላው 100,000 (700,000 + 100,000 - 800,000 - 800,000) መጠን ለማሳየት ያስችላል ፣ ግን ትክክለኛ ስለመሆኑ ምንም ጥርጥር የለውም ፣ ለማረጋገጫ ትንታኔ እንከፍታለን።

አርቲሜቲክ ቼክ - የሰነድ ውሂብን የመቁጠር ትክክለኛነት ማረጋገጥ.

አርቲሜቲክ የመቁጠር ፣የታክስ ፣የድምር ውጤት እና ሌሎች የሂሳብ ስራዎች ትክክለኛነት ማረጋገጫ ነው። የተቀመጡትን ደንቦች በመጣስ የተቀረጹ ሰነዶች ለቀጣይ ሂደት ወደ ፈጻሚዎች ይመለሳሉ.

በሰነዶች የሂሳብ ማረጋገጫ ጊዜ, ስሌቶች ይሠራሉ, የተፈጥሮ ትክክለኛነት እና

ከጥንት ጊዜያት ጀምሮ ከቁጥሮች ጋር መሥራት በሁለት የተለያዩ ቦታዎች ተከፍሏል-አንደኛው የቁጥሮችን ባህሪያት በቀጥታ ይመለከታል, ሌላኛው ደግሞ ከመቁጠር ቴክኒክ ጋር የተያያዘ ነው. በብዙ አገሮች ውስጥ "በሒሳብ" ስንል ይህ የመጨረሻው ቅርንጫፍ ማለት ነው, እሱም ምንም ጥርጥር የለውም ጥንታዊው የሂሳብ ክፍል ነው.

በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው, ለጥንታዊው ካልኩሌተሮች ትልቁ ችግር የተከሰተው ከክፍልፋዮች ጋር በመስራት ነው. ይህንን ከ1650 ዓክልበ. አካባቢ ጀምሮ በነበረው የጥንታዊ ግብፃዊ የሂሳብ ስራ ከአህሜስ ፓፒረስ (ራይንዳ ፓፒረስ ተብሎም ይጠራል)። በፓፒረስ ውስጥ የተገለጹት ሁሉም ክፍልፋዮች፣ ከ2/3 በስተቀር፣ 1 እኩል የሆኑ ቁጥሮች አሏቸው። ክፍልፋዮችን የመፍታት አስቸጋሪነት የጥንቷ ባቢሎናውያን የኪዩኒፎርም ጽላቶች ስናጠናም ይስተዋላል። የጥንት ግብፃውያንም ሆኑ ባቢሎናውያን በአንድ ዓይነት አባከስ ያሰሉት ይመስላል። የቁጥር ሳይንስ በጥንታዊ ግሪኮች ከፓይታጎረስ ጀምሮ በ530 ዓክልበ. በራሱ የመቁጠር ዘዴን በተመለከተ, ግሪኮች በዚህ አካባቢ በጣም ያነሰ አድርገዋል.

በኋላ የኖሩት ሮማውያን በተቃራኒው ለቁጥር ሳይንስ ምንም አስተዋጽኦ አላደረጉም, ነገር ግን በፍጥነት በማደግ ላይ ባለው ምርት እና ንግድ ፍላጎቶች ላይ በመመስረት, አባከስን እንደ ቆጠራ መሳሪያ አሻሽለዋል. ስለ ሕንድ አርቲሜቲክ አመጣጥ በጣም ጥቂት የሚታወቅ ነው። የሕንድ አቀማመጥ ስርዓት ዜሮን በማካተት ከተሻሻለ በኋላ የተፃፉት ከቁጥሮች ጋር በንድፈ-ሀሳብ እና በኦፕሬሽኖች ልምምድ ላይ ጥቂት በኋላ ብቻ ወደ እኛ መጥተዋል ። በትክክል ይህ በሚሆንበት ጊዜ በእርግጠኝነት አናውቅም ፣ ግን በጣም የተለመዱት የሂሳብ ስልተ ቀመሮቻችን መሠረቶች የተጣሉት ያኔ ነበር።

የሕንድ የቁጥር ስርዓት እና የመጀመሪያዎቹ የሂሳብ ስልተ ቀመሮች በአረቦች ተበድረዋል። የመጀመሪያው የተረፈው የአረብኛ የሂሳብ መማሪያ መጽሃፍ በ 825 አካባቢ በአል-ክዋሪዝሚ ተጽፏል። የህንድ ቁጥሮችን በስፋት ይጠቀማል። ይህ የመማሪያ መጽሐፍ በኋላ ወደ ላቲን ተተርጉሟል እና በምዕራብ አውሮፓ ላይ ከፍተኛ ተጽዕኖ አሳድሯል. “አል-ክዋሪዝሚ” የሚለው ስም የተዛባ ስሪት ወደ እኛ ወርዶ “አልጎሪዝም” በሚለው ቃል ፣ እሱም ከግሪክ ቃል ጋር የበለጠ ሲደባለቅ arrhythmos"አልጎሪዝም" የሚለው ቃል ሆነ.

ኢንዶ-አረብኛ አርቲሜቲክስ በምዕራብ አውሮፓ ይታወቅ የነበረው በዋነኝነት በኤል. ፊቦናቺ ሥራ ምክንያት ነው። abacus መጽሐፍ (ሊበር አባሲ, 1202). የአባሲስት ዘዴ ቢያንስ ቢያንስ ለመደመር እና ለማባዛት የእኛን አቀማመጥ ስርዓት ከመጠቀም ጋር ተመሳሳይ የሆኑ ማቃለያዎችን አቅርቧል። አባኪስቶች ዜሮ በሚጠቀሙ ስልተ ቀመሮች እና በአረብኛ የመከፋፈል እና የካሬ ስር ማውጣት ዘዴ ተተኩ። ከመጀመሪያዎቹ የሂሳብ መማሪያ መጽሃፍት አንዱ, ደራሲው ለእኛ የማይታወቅ, በ 1478 በትሬቪሶ (ጣሊያን) ታትሟል. ይህ በንግድ ልውውጥ ውስጥ ያሉ ሰፈራዎችን ይመለከታል. ይህ የመማሪያ መጽሐፍ በኋላ ላይ ለወጡት የብዙ የሂሳብ መፃህፍት ቀዳሚ ሆነ። እስከ 17 ኛው ክፍለ ዘመን መጀመሪያ ድረስ. በአውሮፓ ከሦስት መቶ በላይ እንዲህ ዓይነት የመማሪያ መጻሕፍት ታትመዋል. በዚህ ጊዜ ውስጥ አርቲሜቲክ አልጎሪዝም በከፍተኛ ሁኔታ ተሻሽሏል. በ 16 ኛው እና በ 17 ኛው ክፍለ ዘመን እንደ =, +, -, ґ, ё እና የመሳሰሉ የሂሳብ ስራዎች ምልክቶች ታዩ.

የሂሳብ ስሌት ሜካናይዜሽን.

በህብረተሰቡ እድገት ፈጣን እና ትክክለኛ ስሌት አስፈላጊነት እያደገ መጣ። ይህ ፍላጎት አራት አስደናቂ ፈጠራዎችን ወለደ፡- ሂንዱ-አረብኛ የቁጥር ስያሜዎች፣ የአስርዮሽ ክፍልፋዮች፣ ሎጋሪዝም እና ዘመናዊ ኮምፒተሮች።

እንደ እውነቱ ከሆነ በጣም ቀላሉ የመቁጠሪያ መሳሪያዎች ዘመናዊው የሂሳብ ስሌት ከመምጣቱ በፊት ነበር, ምክንያቱም በጥንት ጊዜ የአንደኛ ደረጃ የሂሳብ ስራዎች በአቢከስ ላይ ይደረጉ ነበር (በሩሲያ ውስጥ አባከስ ለዚህ ዓላማ ጥቅም ላይ ይውላል). በጣም ቀላሉ ዘመናዊ የኮምፒዩተር መሳሪያ እንደ ስላይድ ህግ ሊቆጠር ይችላል, እሱም ሁለት ተንሸራታቾች አንዱ በሌላው ሎጋሪዝም ሚዛኖች ላይ ነው, ይህም ማባዛት እና መከፋፈል, የመጠን ክፍሎችን ማጠቃለል እና መቀነስ ያስችላል. B. Pascal (1642) የመጀመሪያው የሜካኒካል የመደመር ማሽን ፈጣሪ እንደሆነ ይታሰባል። በኋላ በዚያው ክፍለ ዘመን G. Leibniz (1671) በጀርመን እና ኤስ. ሞርላንድ (1673) በእንግሊዝ ውስጥ የማባዛት ማሽኖችን ፈለሰፉ። እነዚህ ማሽኖች የመደመር፣ የመቀነስ፣ የማባዛትና የማካፈል ስራዎችን በፍጥነት እና በትክክል ለማከናወን ያስቻሉት የ20ኛው ክፍለ ዘመን የዴስክቶፕ ኮምፒውቲንግ መሳሪያዎች (አሪቲሞሜትሮች) ግንባር ቀደሞቹ ሆነዋል።

በ 1812 እንግሊዛዊው የሂሳብ ሊቅ C. Babbage የሂሳብ ሰንጠረዦችን ለማስላት ማሽን የሚሆን ፕሮጀክት ስለመፍጠር አዘጋጀ. ምንም እንኳን የፕሮጀክቱ ስራ ለብዙ አመታት ቢቀጥልም, ሳይጠናቀቅ ቆይቷል. ቢሆንም, Babbage ፕሮጀክት ዘመናዊ የኤሌክትሮኒክስ ኮምፒውተሮች ለመፍጠር ማበረታቻ ሆኖ አገልግሏል, የመጀመሪያዎቹ ናሙናዎች በ 1944 አካባቢ ታየ. የእነዚህ ማሽኖች ፍጥነት በአስደናቂ ሁኔታ አስገርሞታል: በእነሱ እርዳታ በደቂቃዎች ወይም በሰዓታት ውስጥ ችግሮችን መፍታት ይቻል ነበር. ቀደም ሲል ማሽኖችን በመጠቀም እንኳን ለብዙ አመታት ተከታታይ ስሌቶች ያስፈልጉ ነበር.

ኢንቲጀር አወንታዊ ቁጥሮች።

ይሁን ሀእና ለምንም የጋራ ንጥረ ነገሮች የሌላቸው ሁለት ውሱን ስብስቦች ናቸው, እና ፍቀድ ሀይዟል nንጥረ ነገሮች, እና ለይዟል ኤምንጥረ ነገሮች. ከዚያም ስብስቡ ኤስ, ሁሉንም የስብስብ አካላት ያካተተ ሀእና ለ, አንድ ላይ ተወስዶ, አንድ የተወሰነ ስብስብ ነው, በል. ኤስንጥረ ነገሮች. ለምሳሌ, ከሆነ ግንንጥረ ነገሮችን ያካትታል ( ሀ, ለ, ሐ), ስብስብ አት- ከንጥረ ነገሮች ( x, y), ከዚያም ስብስቡ S=A+Bእና ንጥረ ነገሮችን ያካትታል ( ሀ, ለ, ሐ, x, y). ቁጥር ኤስተብሎ ይጠራል ድምርቁጥሮች nእና ኤም, እና እንደሚከተለው እንጽፋለን. s = n + ሜትር. በዚህ ግቤት ውስጥ, ቁጥሮች nእና ኤምተብሎ ይጠራል ውሎችድምርን የማግኘት አሠራር - መደመር. የኦፕሬተር ምልክት "+" እንደ "ፕላስ" ይነበባል. ስብስብ ፒየመጀመሪያው ንጥረ ነገር ከስብስቡ ውስጥ የሚመረጥባቸውን ሁሉንም የታዘዙ ጥንዶች ያካተተ ሀ, እና ሁለተኛው ከስብስቡ ለ፣ በለው ፣ በውስጡ የያዘ ውስን ስብስብ ነው። ገጽንጥረ ነገሮች. ለምሳሌ ፣ ልክ እንደበፊቱ ከሆነ ፣ ሀ = {ሀ, ለ, ሐ}, ለ = {x, y) ከዚያም P=Aґለ = {(ሀ,x), (ሀ,y), (ለ,x), (ለ,y), (ሐ,x), (ሐ,y))። ቁጥር ገጽተብሎ ይጠራል ሥራቁጥሮች ሀእና ለ, እና እንደሚከተለው እንጽፋለን. p = አґለወይም p = aЧb. ቁጥሮች ሀእና ለበስራው ውስጥ ይጠራሉ አባዢዎችምርቱን የማግኘት ሥራ - ማባዛት. የክወና ምልክቱ “ተባዝቶ” ተብሎ ይነበባል።

የኢንቲጀር የመደመር እና የማባዛት መሰረታዊ ህጎች ከነዚህ ትርጓሜዎች እንደሚከተሉ ማሳየት ይቻላል።

- የመደመር ልውውጥ ህግ; a + b = b + a;

- የመደመር ተባባሪነት ህግ; ሀ + (ለ + ሐ) = (ሀ + ለ) + ሐ;

- የማባዛት ልውውጥ ህግ; ሀґለ = ለґሀ;

- የማባዛት ተባባሪነት ህግ; ሀґ(ለґሐ) = (ሀґለ)ґሐ;

- የስርጭት ሕግ; ሀґ(ለ + ሐ)= (ሀґለ) + (ሀґሐ).

ከሆነ ሀእና ለሁለት አዎንታዊ ኢንቲጀር ናቸው እና አዎንታዊ ኢንቲጀር ካለ ሐ, ለምሳሌ a = b + c, ከዚያም እንዲህ እንላለን ሀተጨማሪ ለ(ይህ እንደሚከተለው ተጽፏል፡- ሀ > ለ) ወይም ምን ለያነሰ ሀ(ይህ እንደሚከተለው ተጽፏል፡- ለ) ለማንኛውም ሁለት ቁጥሮች ሀእና ለከሦስቱ ግንኙነቶች አንዱ: ወይ ሀ = ለ, ወይም ሀ > ለ, ወይም ሀ.

የመጀመሪያዎቹ ሁለት መሠረታዊ ሕጎች የሁለት ወይም ከዚያ በላይ ቃላት ድምር እንዴት እንደተከፋፈሉ እና በምን ቅደም ተከተል እንደተቀመጡ ላይ የተመካ አይደለም ይላሉ። በተመሳሳይ ሁኔታ ከሦስተኛው እና አራተኛው ህጎች የሁለት ወይም ከዚያ በላይ ምክንያቶች ውጤት ምክንያቶቹ እንዴት እንደተከፋፈሉ እና እንደ ቅደም ተከተላቸው ላይ የተመካ አይደለም ። እነዚህ እውነታዎች የመደመር እና የማባዛት "አጠቃላይ የመግባቢያ እና የመተሳሰሪያ ህጎች" በመባል ይታወቃሉ። ከነሱም ይከተላል የበርካታ ቃላት ድምርን ወይም የበርካታ ምክንያቶችን ውጤት ሲጽፉ የቃላቶቹ እና የምክንያቶቹ ቅደም ተከተል ወሳኝ አይደሉም እና ቅንፎችን መተው ይቻላል.

በተለይም ተደጋጋሚ ድምር ሀ + አ + ... + አከ nውሎች ነው። nґሀ. ማባዛት ሀґሀґ ... ґሀከ n multipliers ለማመልከት ተስማምተዋል አንድ n; ቁጥር ሀተብሎ ይጠራል መሠረት, እና ቁጥር n – የመራቢያ አመልካች, ተደጋጋሚው ምርት ራሱ ነው n ኛ ዲግሪቁጥሮች ሀ. እነዚህ ፍቺዎች የሚከተሉትን መሠረታዊ ሕጎች ለገጸ-ባሕሪዎች ማቋቋም ያስችላሉ፡-

ሌላው አስፈላጊ የትርጉም ማጠቃለያ፡- ሀґ1 = ሀለማንኛውም ኢንቲጀር ሀ 1 ይህ ንብረት ያለው ብቸኛው ኢንቲጀር ነው። ቁጥር 1 ተጠርቷል ክፍል.

ኢንቲጀር አካፋዮች.

ከሆነ ሀ, ለ, ሐሙሉ ቁጥሮች ናቸው እና ሀґb=c, ከዚያም ሀእና ለየቁጥር አካፋዮች ናቸው። ሐ. እንደ ሀґ1 = ሀለማንኛውም ኢንቲጀር ሀ፣ 1 የማንኛውንም ኢንቲጀር አካፋይ ነው፣ እና የትኛውም ኢንቲጀር የራሱ አካፋይ ነው ብለን መደምደም እንችላለን። የኢንቲጀር ማንኛውም አካፋይ ሀ, ከ 1 የተለየ ወይም ሀ፣ ተሰይሟል የራሱ አካፋይቁጥሮች ሀ.

የራሱ አካፋዮች የሌለው ከ 1 በስተቀር ማንኛውም ኢንቲጀር ይባላል ዋና ቁጥር. (የዋና ቁጥር ምሳሌ 7 ነው።) የራሱ አካፋዮች ያለው ኢንቲጀር ይባላል የተቀናጀ ቁጥር. (ለምሳሌ 6 ቁጥሩ የተቀናበረ ነው፣ 2 6 ይካፈላል።) ከተነገረው አንጻር የሁሉም ኢንቲጀሮች ስብስብ በሶስት ክፍሎች የተከፈለ ነው፡ አንድ፣ ዋና ቁጥሮች እና ጥምር ቁጥሮች።

በቁጥር ፅንሰ-ሀሳብ ውስጥ በጣም አስፈላጊ የሆነ ቲዎሬም አለ ፣ እሱም “ማንኛውም ኢንቲጀር እንደ ዋና ቁጥሮች ውጤት ሊወከል ይችላል ፣ እና እንደ ቅደም ተከተላቸው እንዲህ ዓይነቱ ውክልና ልዩ ነው” ይላል። ይህ ቲዎሬም “መሰረታዊ የሂሳብ ንድፈ ሃሳብ” በመባል ይታወቃል። ዋናው ቁጥሮች እንደ "ጡቦች" ሆነው እንደሚያገለግሉ ያሳያል, በማባዛት እርዳታ, ከአንዱ በስተቀር ሁሉም ኢንቲጀሮች ሊገነቡ ይችላሉ.

የተወሰነ የኢንቲጀር ስብስብ ከተሰጠ፣ በዚህ ስብስብ ውስጥ የተካተተው የእያንዳንዱ ቁጥር አካፋይ የሆነው ትልቁ ኢንቲጀር ይባላል። ትልቁ የጋራ አካፋይየተሰጠው የቁጥሮች ስብስብ; ከተሰጠው ስብስብ ውስጥ አካፋይ እያንዳንዱ ቁጥር የሆነበት ትንሹ ኢንቲጀር ይባላል አነስተኛ የጋራ ብዜትየተሰጠው የቁጥሮች ስብስብ. ስለዚህ የቁጥር 12፣ 18 እና 30 ትልቁ የጋራ አካፋይ 6 ነው። ከተመሳሳይ ቁጥሮች መካከል ትንሹ የጋራ ብዜት 180 ነው። የሁለት ኢንቲጀር ትልቁ የጋራ አካፋይ ከሆነ። ሀእና ለእኩል 1, ከዚያም ቁጥሮች ሀእና ለተብሎ ይጠራል ኮፕሪም. ለምሳሌ, ቁጥሮች 8 እና 9 ኮፕሪም ናቸው, ምንም እንኳን ሁለቱም ዋና አይደሉም.

አዎንታዊ ምክንያታዊ ቁጥሮች.

እንዳየነው ኢንቲጀሮች ውሱን የሆኑ የንጥሎች ስብስቦችን እንደገና በማስላት ሂደት የሚነሱ ረቂቅ ነገሮች ናቸው። ነገር ግን, ለዕለት ተዕለት ኑሮ ፍላጎቶች, ኢንቲጀሮች በቂ አይደሉም. ለምሳሌ የጠረጴዛውን ጫፍ ርዝማኔ ሲለኩ ተቀባይነት ያለው የመለኪያ አሃድ በጣም ትልቅ ሊሆን ይችላል እና በሚለካው ርዝመት የኢንቲጀር ቁጥር ላይሆን ይችላል። ይህንን ችግር ለመቋቋም, በሚባሉት እርዳታ. ክፍልፋይ(ማለትም፣ በጥሬው፣ “የተሰበረ”) ቁጥሮች፣ ትንሽ ርዝመት ያለው አሃድ ገብቷል። ከሆነ መየተወሰነ ኢንቲጀር ነው፣ ከዚያ ክፍልፋይ ክፍል 1/ መበንብረት ይገለጻል መґ1/መ= 1, እና ከሆነ nኢንቲጀር ነው እንግዲህ nґ1/መልክ እንደዚ እንጽፋለን። n/መ. እንደነዚህ ያሉት አዳዲስ ቁጥሮች "ተራ" ወይም "ቀላል" ክፍልፋዮች ይባላሉ. ኢንቲጀር nተብሎ ይጠራል አሃዛዊክፍልፋዮች, እና ቁጥር መ – አካታች. መለያው ክፍሉ ምን ያህል እኩል አክሲዮኖች እንደተከፋፈለ ያሳያል፣ እና አሃዛዊው ምን ያህል አክሲዮኖች እንደተወሰዱ ያሳያል። ከሆነ nመ, ክፍልፋዩ በትክክል ይባላል; ከሆነ n=መወይም n > መ, ከዚያ ስህተት ነው. ሙሉ ቁጥሮች ከ 1 ጋር እኩል በሆነ መጠን እንደ ክፍልፋዮች ይቆጠራሉ. ለምሳሌ 2 = 2/1.

ክፍልፋይ ጀምሮ n/መእንደ ክፍፍል ውጤት ሊተረጎም ይችላል nክፍሎች በ መእኩል ክፍሎችን እና ከነዚህ ክፍሎች ውስጥ አንዱን በመውሰድ አንድ ክፍልፋይ የሁለት ሙሉ ቁጥሮች "ዋጋ" ወይም "ሬሾ" ተብሎ ሊታሰብ ይችላል. nእና መ፣ እና የክፍልፋይ መስመርን እንደ የመከፋፈል ምልክት ተረዱ። ስለዚህ ክፍልፋዮች (ኢንቲጀርን እንደ ልዩ ክፍልፋዮች ጨምሮ) ብዙውን ጊዜ ይባላሉ ምክንያታዊቁጥሮች (ከላቲ. ሬሾ - ሬሾ).

ሁለት ክፍልፋዮች n/መእና ( ክґn)/(ክґመ) የት ክ- ኢንቲጀር, እንደ እኩል ሊቆጠር ይችላል; ለምሳሌ 4/6 = 2/3. ( እዚህ n = 2, መ= 3 እና ክ= 2.) ይህ ሁኔታ "የክፍልፋይ መሰረታዊ ንብረት" በመባል ይታወቃል፡ የክፍልፋይ አሃዛዊ እና ተከፋይ በተመሳሳይ ቁጥር ከተባዙ (ወይም ከተከፋፈሉ) የማንኛውም ክፍልፋይ ዋጋ አይለወጥም። በመቀጠልም ማንኛውም ክፍልፋይ በሁለት ኮፕሪም ቁጥሮች ጥምርታ ሊፃፍ ይችላል።

ከላይ ካለው የክፍልፋዩ ትርጓሜም የሁለት ክፍልፋዮች ድምር ነው። n/መእና ኤም/መተመሳሳዩ መለያ ካለህ ክፍልፋይ መውሰድ አለብህ ( n + ኤም)/መ. ክፍልፋዮችን ከተለያዩ አካፋዮች ጋር ሲጨምሩ በመጀመሪያ የክፍልፋይን መሰረታዊ ንብረት በመጠቀም ወደ ተመሳሳይ (የጋራ) መለያዎች ወደ ተመሳሳይ ክፍልፋዮች መለወጥ አለብዎት። ለምሳሌ, n 1 /መ 1 = (n 1 ኤች መ 2)/(መ 1 ኤች መ 2) እና n 2 /መ 2 = (n 2 ሰ መ 1)/(መ 1 ኤች መ 2) ከየት

አንድ ሰው ያለበለዚያ ማድረግ ይችላል እና በመጀመሪያ አነስተኛውን ብዜት ማግኘት ይችላል፣ ይበሉ፣ ኤም, ተከሳሾች መ 1 እና መ 2. ከዚያም ኢንቲጀሮች አሉ ክ 1 እና ክ 2, እንደዚህ m = k 1 ኤች መ 1 = ክ 2 ሰ መ 2 እና እኛ እናገኛለን:

በዚህ ዘዴ, ቁጥሩ ኤምበተለምዶ የሚጠራው ዝቅተኛው የጋራ መለያሁለት ክፍልፋዮች. እነዚህ ሁለት ውጤቶች ከክፍልፋዮች እኩልነት ፍቺ አንፃር እኩል ናቸው።

የሁለት ክፍልፋዮች ምርት n 1 /መ 1 እና n 2 /መ 2 ክፍልፋይ ጋር እኩል ይወሰዳል ( n 1 ኤች n 2)/(መ 1 ኤች መ 2).

ከላይ ለኢንቲጀር የተሰጡት ስምንቱ መሠረታዊ ሕጎችም ከሥር የሚጸና ናቸው። ሀ, ለ, ሐየዘፈቀደ አዎንታዊ ምክንያታዊ ቁጥሮችን ይረዱ። እንዲሁም, ሁለት አዎንታዊ ምክንያታዊ ቁጥሮች ከተሰጡ n 1 /መ 1 እና n 2 /መ 2, ከዚያም እንዲህ እንላለን n 1 /መ 1 > n 2 /መ 2 ከሆነ እና ከሆነ ብቻ n 1 ኤች መ 2 > n 2 ሰ መ 1 .

አወንታዊ እውነተኛ ቁጥሮች።

የቁጥሮች አጠቃቀም የመስመር ክፍሎችን ርዝማኔ ለመለካት ለማንኛውም ሁለት የመስመር ክፍሎች ይጠቁማል ABእና ሲዲአንዳንድ ክፍተት መኖር አለበት UV, ምናልባትም በጣም ትንሽ ነው, ይህም በእያንዳንዱ ክፍል ውስጥ የኢንቲጀር ቁጥር ሊመደብ ይችላል. ABእና ሲዲ. እንደዚህ ያለ የተለመደ የርዝመት ክፍል ከሆነ UVአለ, ከዚያም ክፍሎቹ ABእና ሲዲተመጣጣኝ ተብለው ይጠራሉ. ቀድሞውኑ በጥንት ጊዜ, ፒታጎራውያን ተመጣጣኝ ያልሆኑ የመስመር ክፍሎች መኖራቸውን ያውቁ ነበር. የሚታወቅ ምሳሌ የካሬው ጎን እና ሰያፍ ነው። የካሬውን ጎን እንደ ርዝመት አሃድ ከወሰድን, የዚህ ካሬ ዲያግናል መለኪያ ሊሆን የሚችል እንደዚህ ያለ ምክንያታዊ ቁጥር የለም. ከተቃራኒው በመከራከር ይህንን ማረጋገጥ ይችላሉ. በእርግጥ, ምክንያታዊ ቁጥር እንበል n/መየዲያግኖል መለኪያ ነው. ግን ከዚያ ክፍል 1/ መሊዘገይ ይችላል nበዲያግኖል ላይ ጊዜያት እና መከካሬው ጎን ያሉት ጊዜያት, ምንም እንኳን ዲያግናል እና የካሬው ጎን የማይነፃፀር ቢሆንም. ስለዚህ, የርዝመት አሃዱ ምርጫ ምንም ይሁን ምን, ሁሉም የመስመር ክፍሎች በምክንያታዊ ቁጥሮች የተገለጹ ርዝመቶች የላቸውም. ሁሉም የመስመሮች ክፍሎች የተወሰኑ የርዝመት አሃዶችን በመጠቀም የሚለኩ እንዲሆኑ የቁጥር ስርዓቱ ማራዘም አለበት ስለዚህም ከተመረጠው አሃድ ርዝመት ጋር የማይመጣጠኑ የመስመሮች ርዝመቶችን የሚለኩ ውጤቶችን የሚወክሉ ቁጥሮችን ያካትታል። እነዚህ አዳዲስ ቁጥሮች አዎንታዊ ተብለው ይጠራሉ ምክንያታዊ ያልሆነቁጥሮች. የኋለኛው ፣ ከአዎንታዊ ምክንያታዊ ቁጥሮች ጋር ፣ ሰፋ ያለ የቁጥሮች ስብስብ ይመሰርታሉ ፣ የእነሱ አካላት አወንታዊ ተብለው ይጠራሉ ። ልክ ነው።ቁጥሮች.

ከሆነ ወይምከነጥቡ የሚወጣው አግድም ግማሽ መስመር ነው ኦ, ዩ- ላይ ነጥብ ወይም, ከመነሻው የተለየ ኦ, እና አንተእንደ ነጠላ ክፍል, ከዚያም እያንዳንዱ ነጥብ ይመረጣል ፒበግማሽ መስመር ላይ ወይምከአንድ አወንታዊ ትክክለኛ ቁጥር ጋር ሊዛመድ ይችላል። ገጽየክፍሉን ርዝመት በመግለጽ ኦ.ፒ. ስለዚህ በአዎንታዊ ትክክለኛ ቁጥሮች እና በሌሎች ነጥቦች መካከል የአንድ ለአንድ ደብዳቤ እንፈጥራለን ኦ, በግማሽ መስመር ላይ ወይም. ከሆነ ገጽእና ቅከነጥቦቹ ጋር የሚዛመዱ ሁለት አዎንታዊ እውነተኛ ቁጥሮች ናቸው። ፒእና ጥበላዩ ላይ ወይም, ከዚያም እንጽፋለን p>q,p = ቅወይም p ነጥቡ የሚገኝ እንደሆነ ይወሰናል ፒከነጥቡ በስተቀኝ ጥበላዩ ላይ ወይም፣ ጋር ይገጣጠማል ጥወይም በግራ በኩል ይገኛል ጥ.

አወንታዊ ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች ማስተዋወቅ የሂሳብ ወሰንን በከፍተኛ ሁኔታ አስፍቷል። ለምሳሌ, ከሆነ ሀማንኛውም አዎንታዊ እውነተኛ ቁጥር ነው እና nማንኛውም ኢንቲጀር ነው፣ ከዚያ ልዩ የሆነ አወንታዊ እውነተኛ ቁጥር አለ። ለ, ለምሳሌ b n = a. ይህ ቁጥር ለሥሩ ይባላል nኛ ዲግሪ የ ሀእና የተጻፈው እንደ , በቅርጹ ውስጥ ያለው ገጸ ባህሪ ከላቲን ፊደል ጋር ይመሳሰላል አር, የላቲን ቃል የሚጀምረው በእሱ ነው ራዲክስ(ሥር) እና ይባላል አክራሪ. መሆኑን ማሳየት ይቻላል።

እነዚህ ግንኙነቶች የራዲካል መሠረታዊ ባህርያት በመባል ይታወቃሉ።

ከተግባራዊ እይታ አንጻር ማንኛውም አዎንታዊ ኢ-ምክንያታዊ ቁጥር በዘፈቀደ በትክክል በአዎንታዊ ምክንያታዊ ቁጥር ሊጠጋ የሚችል መሆኑ በጣም አስፈላጊ ነው። ይህ ማለት ከሆነ አርአዎንታዊ ምክንያታዊ ያልሆነ ቁጥር ነው እና ሠበዘፈቀደ ትንሽ አወንታዊ ምክንያታዊ ቁጥር ነው፣ ከዚያ አወንታዊ ምክንያታዊ ቁጥሮችን ማግኘት ይቻላል። ሀእና ለ, ለምሳሌ እና ለ. ለምሳሌ ቁጥሩ ምክንያታዊ ያልሆነ ነው። ከመረጡ ሠ= 0.01, ከዚያም; ከመረጡ ሠ= 0.001, ከዚያም.

ኢንዶ-አረብ ቁጥር ስርዓት.

የሒሳብ ስልተ ቀመሮች፣ ወይም የስሌት እቅዶች፣ ጥቅም ላይ በሚውለው የቁጥር ስርዓት ይወሰናል። በጣም ግልጽ ነው, ለምሳሌ, ለሮማውያን ቁጥር ስርዓት የተፈጠሩት የሂሳብ ዘዴዎች አሁን ላለው ኢንዶ-አረብ ስርዓት ከተፈለሰፉት ስልተ ቀመሮች ሊለያዩ ይችላሉ. ከዚህም በላይ አንዳንድ የቁጥር ሥርዓቶች የሂሳብ ስልተ ቀመሮችን ለመገንባት ሙሉ ለሙሉ ተስማሚ ላይሆኑ ይችላሉ። ታሪካዊ መረጃዎች እንደሚያሳዩት የኢንዶ-አረብ የቁጥር አጻጻፍ ስርዓት ከመጽደቁ በፊት "እርሳስና ወረቀት" በመጠቀም መደመርን፣ መቀነስን፣ ማባዛትን እና የቁጥሮችን ማካፈልን ቀላል ያደረጉ ስልተ ቀመሮች አልነበሩም። የኢንዶ-አረብ ስርዓት በቆየባቸው ረጅም አመታት ውስጥ ለእሱ የተጣጣሙ በርካታ አልጎሪዝም ሂደቶች ተዘጋጅተዋል፣ ስለዚህም የእኛ ዘመናዊ ስልተ ቀመሮች የአጠቃላይ የእድገት እና የመሻሻል ዘመን ውጤቶች ናቸው።

በሂንዱ-አረብ አሃዛዊ ስርዓት እያንዳንዱ ቁጥርን የሚያመለክት አስር መሰረታዊ ቁምፊዎች 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ቁጥሮች ተብለው ይጠራሉ. ለምሳሌ ኢንዶ-አረብኛ ለቁጥር አራት መቶ ሀያ ሶስት የቁጥር ቅደም ተከተል መልክ አለው 423. በ ኢንዶ-አረብኛ የቁጥሮች አሀዞች ውስጥ የአንድ አሃዝ ትርጉም የሚወሰነው በቦታው ወይም በአቀማመጥ ነው. ይህንን ምልክት በሚፈጥሩ አሃዞች ቅደም ተከተል. በእኛ ምሳሌ, ቁጥር 4 ማለት አራት መቶ, ቁጥር 2 - ሁለት አስሮች እና ቁጥር 3 - ሦስት አንድ ናቸው. በጣም አስፈላጊ ሚና የሚጫወተው በቁጥር 0 (ዜሮ) ነው, ባዶ ቦታዎችን ለመሙላት ያገለግላል; ለምሳሌ, ግቤት 403 ቁጥር አራት መቶ ሦስት ማለት ነው, ማለትም. አስር ጠፍተዋል። ከሆነ ሀ, ለ, ሐ, መ, ሠአማካኝ ነጠላ አሃዞች፣ ከዚያም በ ኢንዶ-አረብ ስርዓት abcdeኢንቲጀር ማለት ነው።

እያንዳንዱ ኢንቲጀር በቅጹ ውስጥ ልዩ ውክልና ስላለው

የት nኢንቲጀር ነው፣ እና ሀ 0 , ሀ 1 ,..., አንድ n- ቁጥሮች, በዚህ የቁጥር ስርዓት ውስጥ እያንዳንዱ ኢንቲጀር ልዩ በሆነ መንገድ ሊወከል ይችላል ብለን መደምደም እንችላለን.

የኢንዶ-አረብ ቁጥር ስርዓት ኢንቲጀርን ብቻ ሳይሆን ማንኛውንም አወንታዊ ትክክለኛ ቁጥሮችን በአጭሩ እንዲጽፉ ይፈቅድልዎታል። ማስታወሻውን እናስተዋውቅ 10 - nለ 1/10 n፣ የት nየዘፈቀደ አዎንታዊ ኢንቲጀር ነው። ከዚያም, እንደሚታየው, ማንኛውም አዎንታዊ ትክክለኛ ቁጥር ሊወከል ይችላል, እና ልዩ በሆነ መንገድ, በቅጹ ውስጥ

ይህ መዝገብ እንደ የቁጥሮች ቅደም ተከተል በመጻፍ ሊጨመቅ ይችላል

የአስርዮሽ ነጥብ ተብሎ የሚጠራው ምልክት በመካከል የሚገኝበት ሀ 0 እና ለ 1 የ 10 አሉታዊ ኃይሎች የት እንደሚጀምሩ ያሳያል (በአንዳንድ አገሮች ለዚህ ዓላማ ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላል)። ይህ አወንታዊ ትክክለኛ ቁጥር የመጻፍ መንገድ የአስርዮሽ ማስፋፊያ ተብሎ ይጠራል፣ እና ክፍልፋይ፣ በአስርዮሽ መስፋፋት መልክ የተወከለው፣ አስርዮሽ.

ለአዎንታዊ ምክንያታዊ ቁጥር ከአስርዮሽ ነጥብ በኋላ ያለው የአስርዮሽ መስፋፋት ይሰበራል (ለምሳሌ 7/4 = 1.75) ወይም እራሱን ይደግማል (ለምሳሌ 6577/1980 = 3.32171717...)። ቁጥሩ ምክንያታዊ ካልሆነ፣ የአስርዮሽ መስፋፋቱ አይሰበርም እና አይደግምም። ምክንያታዊ ያልሆነ ቁጥር የአስርዮሽ መስፋፋት በአንዳንድ የአስርዮሽ ቦታ ላይ ከተቋረጠ፣ ምክንያታዊ ግምቱን እናገኛለን። ከአስርዮሽ ነጥብ በስተቀኝ ያለው የአስርዮሽ መስፋፋት የምናቆምበት ምልክት ነው ፣ የተሻለው ምክንያታዊ መጠጋጋት (ስህተቱ አነስተኛ ነው)።

በሂንዱ-አረብኛ ስርዓት አንድ ቁጥር የተፃፈው አሥር መሰረታዊ አሃዞችን በመጠቀም ሲሆን ትርጉማቸው እንደ ቦታቸው ወይም እንደ አቀማመጧ በቁጥር ኖት ላይ የተመሰረተ ነው (የአንድ አሃዝ ዋጋ በአንዳንዶች ከዲጂቱ ምርት ጋር እኩል ነው. የቁጥር 10 ኃይል). ስለዚህ እንዲህ ዓይነቱ ሥርዓት የአስርዮሽ አቀማመጥ ስርዓት ተብሎ ይጠራል. የአቀማመጥ ቁጥሮች ስርዓቶች የሂሳብ ስልተ ቀመሮችን ለመገንባት በጣም ምቹ ናቸው, እና ለዚህም ነው የሂንዱ-አረብ ቁጥር ስርዓት በዘመናዊው ዓለም በጣም የተስፋፋው, ምንም እንኳን የተለያዩ ምልክቶች በተለያዩ አገሮች ውስጥ የግለሰብ ቁጥሮችን ሊያመለክቱ ይችላሉ.

የቁጥሮች ስሞች.

በኢንዶ-አረብ ስርዓት ውስጥ ያሉ የቁጥሮች ስሞች በተወሰኑ ሕጎች መሠረት የተገነቡ ናቸው. የቁጥሮች መጠሪያ በጣም የተለመደው መንገድ ቁጥሩ በመጀመሪያ ከቀኝ ወደ ግራ በሶስት አሃዝ በቡድን መከፋፈል ነው. እነዚህ ቡድኖች "ወቅቶች" ይባላሉ. የመጀመሪያው ወቅት “አንድ” ይባላል፣ ሁለተኛው “የሺዎች” ዘመን፣ ሦስተኛው ጊዜ “ሚሊዮኖች” ይባላል እና ሌሎችም በሚከተለው ምሳሌ ላይ እንደሚታየው።

እያንዳንዱ ክፍለ ጊዜ እንደ ባለ ሶስት አሃዝ ቁጥር ይነበባል. ለምሳሌ 962 ጊዜ “ዘጠኝ መቶ ስልሳ ሁለት” ተብሎ ይነበባል። ብዙ ክፍለ ጊዜዎችን ያቀፈ ቁጥር ለማንበብ በእያንዳንዱ ክፍለ ጊዜ ውስጥ ያሉት አሃዞች ቡድን ከግራ በኩል ጀምሮ ከዚያም በቅደም ተከተል ከግራ ወደ ቀኝ ይነበባል; እያንዳንዱ ቡድን የወቅቱን ስም ከተከተለ በኋላ. ለምሳሌ ከላይ ያለው ቁጥር “ሰባ ሦስት ትሪሊዮን ስምንት መቶ አርባ ሁለት ቢሊዮን ዘጠኝ መቶ ስልሳ ሁለት ሚሊዮን አምስት መቶ ሠላሳ ሁለት ሺሕ ሰባት መቶ ዘጠና ስምንት” ይላል። ኢንቲጀርን በሚያነቡ እና በሚጽፉበት ጊዜ “እና” የሚለው ጥምረት ብዙውን ጊዜ ጥቅም ላይ እንደማይውል ልብ ይበሉ። የአሃዱ አሃዝ ስም ተትቷል። ትሪሊዮኖች ኳድሪሊየኖች፣ ኩንቲሊየኖች፣ ሴክስቲሊየኖች፣ ሴፕቲሊየኖች፣ octillions፣ nonallions፣ decillions ይከተላሉ። እያንዳንዱ ክፍለ ጊዜ ከቀዳሚው ዋጋ 1000 እጥፍ የሚበልጥ እሴት አለው።

በሂንዱ-አረብኛ ስርዓት ከአስርዮሽ ነጥብ በስተቀኝ ያሉትን አሃዞች ለማንበብ የሚከተለውን አሰራር መከተል የተለመደ ነው. እዚህ ቦታዎቹ ተሰይመዋል (በቅደም ተከተል ከግራ ወደ ቀኝ): "አስረኛ", "መቶዎች", "ሺህ", "አስር ሺዎች", ወዘተ. ትክክለኛው አስርዮሽ የሚነበበው ከአስርዮሽ ነጥቡ በኋላ ያሉት አሃዞች ኢንቲጀር ይመሰርታሉ፣ ከዚያ በኋላ በስተቀኝ ያለው የመጨረሻው አሃዝ አቀማመጥ ስም ይታከላል። ለምሳሌ 0.752 "ሰባት መቶ ሃምሳ ሁለት ሺሕ" ተብሎ ይነበባል። የተቀላቀለ የአስርዮሽ ቁጥር የሚነበበው የኢንቲጀርን የስያሜ ህግ ከትክክለኛው የአስርዮሽ ቁጥሮች የስያሜ ህግ ጋር በማጣመር ነው። ለምሳሌ 632.752 "ስድስት መቶ ሠላሳ ሁለት ነጥብ ሰባት መቶ አምሳ ሁለት ሺሕ" ይነበባል። ከአስርዮሽ ነጥብ በፊት "ኢንቲጀር" የሚለውን ቃል አስተውል። በቅርብ ዓመታት ውስጥ የአስርዮሽ ቁጥሮች እንደ 3.782 "ሦስት ነጥብ ሰባት መቶ ሰማንያ ሁለት" እንደ በቀላሉ ይነበባሉ.

መደመር።

አሁን በአንደኛ ደረጃ ትምህርት ቤት ውስጥ የቀረቡትን የሂሳብ ስልተ ቀመሮችን ለመተንተን ዝግጁ ነን። እነዚህ ስልተ ቀመሮች እንደ አስርዮሽ ማስፋፊያዎች የተፃፉ አወንታዊ እውነተኛ ቁጥሮች ላይ ያሉ ስራዎችን ያመለክታሉ። የመደመር እና የማባዛት የመጀመሪያ ደረጃ ሰንጠረዦች በልብ የተማሩ ናቸው ብለን እንገምታለን።

የመደመር ችግርን አስቡበት፡ 279.8 + 5.632 + 27.54 አስሉ፡

በመጀመሪያ, የቁጥር 10 ተመሳሳይ ሃይሎችን እናጠቃልላለን. ቁጥር 19 × 10 -1 በስርጭት ህግ መሰረት በ 9 × 10 -1 እና 10 × 10 -1 \u003d 1. ክፍሉን ወደ ግራ እናስተላልፋለን. እና ወደ 21 ይጨምሩ, ይህም 22 ይሰጣል. በምላሹ, ቁጥር 22 ን ወደ 2 እና 20 = 2 × 10 እንከፍላለን. ቁጥር 2 × 10 ወደ ግራ እናንቀሳቅሳለን እና ወደ 9 × 10 እንጨምራለን, ይህም 11 × 10 ይሰጣል. በመጨረሻም 11H10 በ 1H10 እና 10H10 \u003d 1H10 2, 1H10 2 ወደ ግራ ተላልፏል እና ወደ 2H10 2 ተጨምሯል, ይህም 3H10 2 ይሰጣል. የመጨረሻው ድምር 312.972 ሆኖ ተገኝቷል።

የተከናወኑት ስሌቶች ይበልጥ አጭር በሆነ መልኩ ሊቀርቡ እንደሚችሉ ግልጽ ነው, በተመሳሳይ ጊዜ በት / ቤት ውስጥ የሚሰጠውን የመደመር ስልተ ቀመር ምሳሌ ይጠቀሙ. ይህንን ለማድረግ ሦስቱን ቁጥሮች አንዱን ከሌላው በታች እንጽፋለን ስለዚህም የአስርዮሽ ነጥቦቹ በተመሳሳይ ቀጥ ያሉ ናቸው.

ከቀኝ ጀምሮ በ 10 -3 ውስጥ ያሉት የቁጥሮች ድምር 2 ነው, ይህም በመስመሩ ስር ባለው ተጓዳኝ አምድ ውስጥ እንጽፋለን. በ 10 -2 ላይ ያለው የቁጥሮች ድምር 7 ነው, እሱም በመስመሩ ስር ባለው ተጓዳኝ አምድ ውስጥም ተጽፏል. በ 10 -1 ላይ ያለው የቁጥሮች ድምር 19 ነው. በመስመሩ ስር ቁጥር 9 እንጽፋለን, እና 1 ክፍሎችን ወደ ቀድሞው አምድ እናስተላልፋለን. በዚህ ክፍል ውስጥ ፣ በዚህ አምድ ውስጥ ያለው የቁጥር ድምር ድምር 22 ይሆናል ። በመስመሩ ስር አንድ deuce እንጽፋለን እና ሌላውን ወደ ቀዳሚው አምድ እናስተላልፋለን ፣ አስርዎች ባሉበት። የተዘዋወሩትን ሁለቱን ከግምት ውስጥ በማስገባት በዚህ አምድ ውስጥ ያሉት የቁጥሮች ድምር 11 ነው. በመስመሩ ስር አንድ ክፍል እንጽፋለን እና ሌላውን ወደ ቀዳሚው አምድ እናስተላልፋለን, በመቶዎች የሚቆጠሩ ናቸው. በዚህ አምድ ውስጥ ያሉት የቁጥሮች ድምር 3 ይሆናል, ይህም በመስመሩ ስር የምንጽፈው ነው. የሚፈለገው መጠን 312.972 ነው።

መቀነስ።

መቀነስ የመደመር ተቃራኒ ነው። ሦስት አዎንታዊ እውነተኛ ቁጥሮች ከሆነ ሀ, ለ, ሐእርስ በርስ የተገናኘ ስለዚህ a+b=c, ከዚያም እንጽፋለን a=c-b, የ "-" ቁምፊ "መቀነስ" ተብሎ የሚነበብበት. ቁጥር ማግኘት ሀበሚታወቁ ቁጥሮች ለእና ሐ"መቀነስ" ይባላል። ቁጥር ሐተቀንሷል, ቁጥሩ ይባላል ለ- “ሊቀነስ የሚችል” እና ቁጥሩ ሀ- "ልዩነት". ከአዎንታዊ እውነተኛ ቁጥሮች ጋር እየተገናኘን ስለሆነ, ሁኔታው ​​መሟላት አለበት ሐ > ለ.

የመቀነስ ምሳሌን አስቡ፡ 453.87 - 82.94 አስላ።

በመጀመሪያ ፣ አስፈላጊ ከሆነ ክፍሉን ከግራ መበደር ፣ የ minuend መስፋፋትን እንለውጣለን ፣ ስለሆነም በቁጥር 10 ውስጥ በማንኛውም ኃይል ያለው ቅንጅቱ በተመሳሳይ ዲግሪ ካለው የንዑስ ተርጓሚ መጠን የበለጠ ነው። ከ 4x10 2 የመጨረሻውን ቁጥር ወደ ቀጣዩ የማስፋፊያ ቃል በመጨመር 1x10 2 = 10x10 እንበደርበታለን, ይህም 15x10; በተመሳሳይ, 1 × 10 0, ወይም 10 × 10 -1 እንበደርበታለን, እና ይህን ቁጥር ወደ የማስፋፊያው የመጨረሻ ጊዜ እንጨምራለን. ከዚያ በኋላ ለቁጥር 10 ለተመሳሳይ ሃይሎች ኮርፖሬሽኖችን ለመቀነስ እና ልዩነቱን 370.93 በቀላሉ ለማግኘት እድሉን እናገኛለን.

የመቀነስ ክንዋኔዎች መዝገብ ይበልጥ አጭር በሆነ መልኩ ሊቀርብ እና በትምህርት ቤት የተጠና የመቀነስ ስልተ ቀመር ምሳሌ ማግኘት ይቻላል። የአስርዮሽ ነጥቦቻቸው በተመሳሳይ ቁመታቸው እንዲቆሙ ንኡሱን ማይኒውድ ስር እንፃፍ። ከቀኝ ጀምሮ, በ 10 -2 መካከል ባለው የቁጥር ልዩነት መካከል ያለው ልዩነት 3 ነው, እና ይህን ቁጥር በመስመሩ ስር በተመሳሳይ አምድ ውስጥ እንጽፋለን. በግራ በኩል ባለው ዓምድ 9 ከ 8 መቀነስ ስለማንችል 3ቱን በክፍል ቦታዎች ከ 2 በመቀነስ 8 ቁጥርን በአስረኛው ቦታ እንቆጥራለን 9 ከ 18 ከተቀነስን በኋላ 9, ወዘተ. ማለትም.

ማባዛት።

መጀመሪያ የሚባሉትን አስቡ። "አጭር" ማባዛት - አወንታዊ እውነተኛ ቁጥርን በአንድ አሃዝ ቁጥሮች 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ለምሳሌ, 32.67kh4. የማከፋፈያ ህግን እንዲሁም የመተሳሰብ እና የመደጋገፍ ህግጋትን በመጠቀም ሁኔታዎችን ወደ ክፍሎች በመከፋፈል እና ይበልጥ ምቹ በሆነ መንገድ ለማዘጋጀት እድሉን እናገኛለን። ለምሳሌ,

እነዚህ ስሌቶች በሚከተለው መልኩ በበለጠ ሁኔታ ሊፃፉ ይችላሉ.

የመጨመቂያው ሂደት ሊቀጥል ይችላል. በተጠቀሰው መሰረት ፋክተር 4ን በፋክተር 32.67 እንጽፋለን፡-

ከ 4ґ7 \u003d 28 ጀምሮ በመስመሩ ስር ቁጥር 8 እንጽፋለን እና 2 ን ከማባዛት ቁጥር 6 በላይ እናስቀምጣለን። በተጨማሪ, 4ґ6 \u003d 24, ይህም በቀኝ በኩል ካለው አምድ የተላለፈውን ግምት ውስጥ በማስገባት 26 ይሰጣል. በመስመሩ ስር ቁጥር 6 እንጽፋለን, እና 2 ን ከማባዛቱ ቁጥር 2 በላይ እንጽፋለን. ከዚያም 4ґ2 \u003d 8 እናገኛለን, ከተዛወሩት ሁለት ጋር በማጣመር, 10 ይሰጣል. በመስመሩ ስር ቁጥር 0 ላይ እንፈርማለን, እና አንድ - ከተባዛው ቁጥር 3 በላይ. በመጨረሻም ፣ 4ґ3 \u003d 12 ፣ የተላለፈውን ክፍል ከግምት ውስጥ በማስገባት 13 ይሰጣል ። ቁጥር 13 በመስመሩ ስር ተጽፏል. የአስርዮሽ ነጥብ በማስቀመጥ, መልሱን እናገኛለን: ምርቱ 130.68 ነው.

"ረዥም" ማባዛት በቀላሉ "አጭር" ማባዛት በተደጋጋሚ ተደጋግሟል. ለምሳሌ 32.67 ቁጥርን በቁጥር 72.4 ማባዛት ያስቡ። ማባዣውን በብዝሃው ስር እናስቀምጠዋለን፣ እንደተመለከተው፡-

አጭር ማባዛትን ከቀኝ ወደ ግራ በማከናወን የመጀመሪያውን ከፊል ምርት 13.068, ሁለተኛው - 65.34 እና ሦስተኛው - 2286.9 እናገኛለን. በስርጭት ህግ መሰረት, የተገኘው ምርት የእነዚህ ከፊል ምርቶች ድምር ነው, ወይም 2365.308. በጽሑፍ ማስታወሻ ውስጥ, የአስርዮሽ ነጥብ በከፊል ስራዎች ውስጥ ተትቷል, ነገር ግን በትክክል ለማጠቃለል እና ሙሉውን ምርት ለማግኘት በ "ደረጃዎች" ውስጥ በትክክል መቀመጥ አለባቸው. በምርቱ ውስጥ ያሉት የአስርዮሽ ቦታዎች ብዛት በማባዛት እና በማባዛት ውስጥ ካሉት የአስርዮሽ ቦታዎች ድምር ጋር እኩል ነው።

ክፍፍል

ክፍፍል የማባዛት ተገላቢጦሽ ነው; ማባዛት ተደጋጋሚ መደመርን እንደሚተካ ሁሉ መከፋፈል ተደጋጋሚ ቅነሳን ይተካል። ለምሳሌ የሚከተለውን ጥያቄ አስብ፡ በ14 ውስጥ 3 ጊዜ ስንት ነው? 3 ከ 14 የመቀነስ አሠራሩን መድገም ፣ 3 14 አራት ጊዜ “ሲገባ” እና ቁጥር 2 አሁንም “ይቀር” ፣ ማለትም ።

ቁጥር 14 ተጠርቷል የሚከፋፈልቁጥር 3 - አካፋይቁጥር 4 - የግልእና ቁጥር 2 - ቀሪ. በቃላት፣ የተገኘው ሬሾ እንደሚከተለው ሊገለፅ ይችላል።

ክፍፍል \u003d (አከፋፋይ ቊ ቊ ቊጥር) + የተረፈ

0 ጄ ቀሪ

1400ን ለ 3 ደጋግሞ 3 በመቀነስ ነጥቡን እና ቀሪውን ለማግኘት ብዙ ጊዜ እና ጥረት ይጠይቃል። በመጀመሪያ 300 ከ 1400 ፣ ከዚያ 30 ከቀሪው ፣ እና በመጨረሻም 3. 300 አራት ጊዜ ከተቀነስን በኋላ ፣ የቀረውን 200 ብንቀንስ አሰራሩ በጣም ሊፋጠን ይችላል። ከ 200 ስድስት ጊዜ 30 ከተቀነሰ በኋላ ቀሪው 20 ይሆናል. በመጨረሻም ከ 20 ቁጥር 3 ስድስት ጊዜ ከቀነስን በኋላ ቀሪውን 2 እናገኛለን.

የተገኘው ጥቅስ እና ቀሪው 466 እና 2 ሲሆኑ፣ ስሌቶቹ ተደራጅተው በቅደም ተከተል እንደሚከተለው ሊጨመቁ ይችላሉ።

ከላይ የተጠቀሰው ምክንያት ተፈጻሚ የሚሆነው ክፍፍሉ እና አካፋዩ በአስርዮሽ የተገለጹ አወንታዊ እውነተኛ ቁጥሮች ከሆኑ ነው። ይህንን በ 817.65ё23.7 ምሳሌ እናሳይ።

በመጀመሪያ፣ አካፋዩ የአስርዮሽ ነጥብ ፈረቃን በመጠቀም ወደ ኢንቲጀር መለወጥ አለበት። በዚህ ሁኔታ የዲቪዲው አስርዮሽ ነጥብ በተመሳሳዩ የአስርዮሽ ቦታዎች ይቀየራል። አከፋፋዩ እና ክፍፍሉ ከዚህ በታች እንደሚታየው ተደራጅተዋል፡-

አካፋዩ በሦስት አሃዝ ቁጥር 817 ውስጥ ምን ያህል ጊዜ እንደሚይዝ እንወስን, የመከፋፈያው የመጀመሪያ ክፍል, በአከፋፋዩ የምንከፍለው. ሶስት ጊዜ ስለሚገመት 237 በ 3 በማባዛት እና 711 ያለውን ምርት ከ 817 እንቀንሳለን የ 106 ልዩነት ከአካፋዩ ያነሰ ነው. ይህ ማለት ቁጥር 237 በሙከራ ክፍፍል ውስጥ ከሶስት እጥፍ ያልበለጠ ነው. ከአግድም መስመር በታች ባለው አካፋይ ቁጥር 2 ስር የተፃፈው ቁጥር 3 ፣ የተገኘው የቁጥር የመጀመሪያ አሃዝ ነው። የሚቀጥለውን የዲጂት አሃዝ ካወረድን በኋላ የሚቀጥለውን የሙከራ ክፍል 1066 እናገኛለን እና አካፋዩ 237 በቁጥር 1066 ውስጥ ምን ያህል ጊዜ እንደሚስማማ መወሰን አለብን ። 4 ጊዜ እንበል። አካፋዩን በ 4 በማባዛት ምርቱን 948 እናገኛለን, ይህም ከ 1066 እንቀንሳለን. ልዩነቱ ወደ 118 ዞሯል, ይህም ማለት የሂሳቡ ቀጣይ አሃዝ 4 ነው. ከዚያም ቀጣዩን የዲቪዲውን አሃዝ እናስወግዳለን እና ከላይ የተገለፀውን አጠቃላይ አሰራር እንድገማለን. በዚህ ጊዜ የሙከራ ክፍፍሉ 1185 በትክክል (ያለ ቀሪ) በ 237 ተከፍሏል (የቀረው ክፍል በመጨረሻ 0 ሆኖ ተገኝቷል)። የአስርዮሽ ነጥቡን በቁጥር መለያው ውስጥ በተከፋፈለው መጠን ብዙ ቁምፊዎችን በመለየት (የአስርዮሽ ነጥቡን ቀደም ብለን እንዳንቀሳቀስን እናስታውስ) መልሱን እናገኛለን፡ ጥቅሱ 34.5 ነው።

ክፍልፋዮች።

ክፍልፋይ ስሌቶች መደመር፣ መቀነስ፣ ማባዛት እና ማካፈል እንዲሁም ውስብስብ ክፍልፋዮችን ማቃለልን ያካትታሉ።

ክፍልፋዮችን ከተመሳሳዩ አካፋይ ጋር ማከል የሚከናወነው ቁጥሮችን በመጨመር ነው ፣ ለምሳሌ ፣

1/16 + 5/16 + 7/16 = (1 + 5 + 7)/16 = 13/16.

ክፍልፋዮች የተለያዩ መለያዎች ካሏቸው በመጀመሪያ ወደ የጋራ መለያየት መቀነስ አለባቸው፣ ማለትም. ከተመሳሳዩ ክፍሎች ጋር ወደ ክፍልፋዮች ይለውጡ። ይህንን ለማድረግ, በጣም ዝቅተኛውን የጋራ መለያ (የተሰጡት የእያንዳንዳቸው ትንሽ ብዜት) እናገኛለን. ለምሳሌ፣ 2/3፣ 1/6 እና 3/5 ሲደመር ዝቅተኛው የጋራ መለያ 30 ነው፡-

ማጠቃለል, እናገኛለን

20/30 + 5/30 + 18/30 = 43/30.

ክፍልፋዮችን መቀነስ ልክ እንደ መጨመር በተመሳሳይ መንገድ ይከናወናል. መለያዎቹ ተመሳሳይ ከሆኑ, ቅነሳው ወደ ቁጥሮች መቀነስ ይቀንሳል: 10/13 - 2/13 = 8/13; ክፍልፋዮቹ የተለያዩ መለያዎች ካሏቸው በመጀመሪያ እነሱን ወደ አንድ የጋራ መለያ መቀነስ አለብዎት።

7/8 – 3/4 = 7/8 – 6/8 = (7 – 6)/8 = 1/8.

ክፍልፋዮችን በሚባዙበት ጊዜ አሃዛዊዎቻቸው እና ተከታዮቻቸው ለየብቻ ይባዛሉ። ለምሳሌ,

5/6ґ4/9 = 20/54 = 10/27.

አንዱን ክፍልፋይ በሌላ ለመከፋፈል የመጀመሪያውን ክፍልፋይ (ክፍልፋይ) በሁለተኛው (አከፋፋይ) ማባዛት አስፈላጊ ነው (ተገላቢጦሹን ለማግኘት የዋናውን ክፍልፋይ አሃዛዊ እና አካፋይ መለዋወጥ ያስፈልግዎታል) ማለትም። ( n 1 /መ 1) ኢ ( n 2 /መ 2) = (n 1 ኤች መ 2)/(መ 1 ኤች n 2) ለምሳሌ,

3/4ё7/8 \u003d 3/4ґ8/7 \u003d 24/28 \u003d 6/7.

የተቀላቀለ ቁጥር የአንድ ሙሉ ቁጥር ድምር (ወይም ልዩነት) እና ክፍልፋይ ነው፣ ለምሳሌ 4 + 2/3 ወይም 10 - 1/8። ኢንቲጀር ከ 1 ጋር እኩል የሆነ ክፍልፋይ ተደርጎ ሊወሰድ ስለሚችል፣ የተቀላቀለ ቁጥር የሁለት ክፍልፋዮች ድምር (ወይም ልዩነት) ከመሆን አይበልጥም። ለምሳሌ,

4 + 2/3 = 4/1 + 2/3 = 12/3 + 2/3 = 14/3.

ውስብስብ ክፍልፋይ በቁጥር ወይም በክፍልፋይ ወይም በቁጥር እና በቁጥር ክፍልፋይ ያለው ክፍልፋይ ነው። እንዲህ ዓይነቱ ክፍልፋይ ወደ ቀላል ሊለወጥ ይችላል-

ካሬ ሥር.

ከሆነ n አር, ለምሳሌ አር 2 = n. ቁጥር አርተብሎ ይጠራል ካሬ ሥርከ nእና ይገለጻል. በትምህርት ቤት ውስጥ, የካሬ ሥሮችን በሁለት መንገድ ለማውጣት ያስተምራሉ.

የመጀመሪያው ዘዴ በጣም ተወዳጅ ነው, ምክንያቱም ቀላል እና ለማመልከት ቀላል ነው; በዚህ ዘዴ ስሌቶች በቀላሉ በዴስክቶፕ ማስያ ላይ ይተገበራሉ እና በአጠቃላይ በከፍተኛ ደረጃ የኩብ ሥሮች እና ሥሮች ጉዳይ ላይ ይካተታሉ። ዘዴው የተመሰረተው ከሆነ ነው አር 1 - ወደ ሥሩ መጠጋጋት, ከዚያም አር 2 = (1/2)(አር 1 + n/አር 1) ሥሩ ይበልጥ ትክክለኛ የሆነ ግምት ነው።

በ 1 እና 100 መካከል ያለውን የአንዳንድ ቁጥሮች ካሬ ስር በማስላት አሰራሩን እናሳይ 40 ቁጥር እንበል። ይበልጥ ትክክለኛ የሆነ ግምት ከ 6 እንደሚከተለው ነው. 40 ን በ 6 በማካፈል 6.6 (ወደ መጀመሪያው የአስርዮሽ ነጥብ የተጠጋጋ) እናገኛለን እንኳንአስራት)። ወደ ሁለተኛ መጠጋጋት ለማግኘት በአማካይ ሁለት ቁጥሮች 6 እና 6.6 እና 6.3 እናገኛለን። የአሰራር ሂደቱን በመድገም, የበለጠ የተሻለ ግምት እናገኛለን. 40 ን በ 6.3 በማካፈል, ቁጥር 6.350 እናገኛለን, እና ሶስተኛው ግምት ከ (1/2) (6.3 + 6.350) = 6.325 ጋር እኩል ይሆናል. አንድ ተጨማሪ ድግግሞሽ 4066.325 = 6.3241106 ያስገኛል, እና አራተኛው ግምት (1/2) (6.325 + 6.3241106) = 6.3245553 ነው. ሂደቱ ላልተወሰነ ጊዜ ሊቀጥል ይችላል. በአጠቃላይ፣ እያንዳንዱ ቀጣይ መጠጋጋት ከቀዳሚው ሁለት እጥፍ አሃዞችን ሊይዝ ይችላል። ስለዚህ, በእኛ ምሳሌ ውስጥ, የመጀመሪያው approximation, ኢንቲጀር 6, አንድ አሃዝ ብቻ ይዟል ጀምሮ, እኛ በሁለተኛው approximation ውስጥ ሁለት አሃዞች, በሦስተኛው ውስጥ አራት, እና በአራተኛው ውስጥ ስምንት.

ቁጥር ከሆነ nበ 1 እና 100 መካከል አይተኛም ፣ ከዚያ መጀመሪያ ማካፈል (ወይም ማባዛት) አለብዎት። nወደ 100 አንዳንድ ኃይል, በላቸው, ወደ ክ-yu ምርቱ ከ 1 እስከ 100 ባለው ክልል ውስጥ እንዲገኝ. ከዚያም የምርቱ ካሬ ሥር ከ 1 እስከ 10 ባለው ክልል ውስጥ ይሆናል, እና ከተጣራ በኋላ, የተገኘውን ቁጥር በ 10 እናባዛለን (ወይም እንከፍላለን) ክ, የተፈለገውን ካሬ ሥር ያግኙ. ለምሳሌ, ከሆነ n= 400000, ከዚያም እኛ መጀመሪያ እንካፈላለን 400000 ጊዜ 100 2 እና ቁጥር 40 እናገኛለን, ይህም ከ 1 እስከ 100 ባለው ክልል ውስጥ ይገኛል. ከላይ እንደሚታየው, በግምት ከ 6.3245553 ጋር እኩል ነው. ማባዛትይህ ቁጥር ጊዜ 10 2, እኛ ለ 632.45553 እንደ ግምታዊነት እናገኛለን, እና ቁጥሩ 0.63245553 እንደ ግምታዊነት ያገለግላል.

ከላይ ከተጠቀሱት ሂደቶች ውስጥ ሁለተኛው በአልጀብራ ማንነት ላይ የተመሰረተ ነው ( ሀ + ለ) 2 = ሀ 2 + (2ሀ + ለ)ለ. በእያንዳንዱ እርምጃ ቀድሞውኑ የተገኘው የካሬው ሥር ክፍል እንደ ይወሰዳል ሀ, እና አሁንም መወሰን ያለበት ክፍል ነው ለ.

የኩብ ሥር.

የአዎንታዊ እውነተኛ ቁጥር የኩብ ሥር ለማውጣት፣ የካሬውን ሥሩን ለማውጣት ተመሳሳይ ስልተ ቀመሮች አሉ። ለምሳሌ የቁጥር ኩብ ሥር ለማግኘት nበመጀመሪያ ሥሩን በተወሰነ ቁጥር እንገምታለን። አርአንድ . ከዚያም ይበልጥ ትክክለኛ የሆነ መጠጋጋት እንገነባለን አር 2 = (1/3)(2አር 1 + n/አር 1 2)፣ እሱም በተራው ደግሞ ይበልጥ ትክክለኛ የሆነ መጠጋጋትን ይሰጣል አር 3 = (1/3)(2አር 2 + n/አር 2 2) ወዘተ. የሥሩ ትክክለኛ እና ትክክለኛ ግምቶችን የመገንባት ሂደት በዘፈቀደ ለረጅም ጊዜ ሊቆይ ይችላል።

ለምሳሌ በ1 እና 1000 መካከል ያለውን የቁጥር ኪዩብ ስር በማስላት ቁጥሩ 200 ይበል።ከ53 = 125 እና 63 = 216 ጀምሮ 6 ከ 200 ኪዩብ ስር በጣም ቅርብ የሆነ ኢንቲጀር ነው ብለን መደምደም እንችላለን። ስለዚህ, እንመርጣለን አር 1 = 6 እና በቅደም ተከተል አስሉ አር 2 = 5,9, አር 3 = 5,85, አር 4 = 5.8480. በእያንዳንዱ ግምታዊ, ከሦስተኛው ጀምሮ, የቁምፊዎች ብዛት እንዲቆይ ይፈቀድለታል, ይህም በቀድሞው ግምት ውስጥ ካለው የቁምፊዎች ብዛት ሁለት እጥፍ ያነሰ ነው. የኩብ ሥሩን ለማውጣት የሚፈልጉት ቁጥር በ 1 እና 1000 መካከል ካልሆነ ፣ በመጀመሪያ በአንዳንዶች መከፋፈል (ወይም ማባዛት) አለበት ፣ ይበሉ። ክኛ, የ 1000 ኃይል እና በዚህም ወደሚፈለገው የቁጥሮች ክልል ያመጣል. አዲስ የተገኘው ቁጥር ኩብ ሥር ከ 1 እስከ 10 ባለው ክልል ውስጥ ይገኛል. ከተሰላ በኋላ በ 10 ማባዛት (ወይም መከፋፈል) አለበት. ክየዋናውን ቁጥር የኩብ ሥር ለማግኘት.

ሁለተኛው፣ ይበልጥ ውስብስብ፣ የአዎንታዊ ትክክለኛ ቁጥር ኩብ ሥር ለማግኘት ስልተ ቀመር በአልጀብራ ማንነት አጠቃቀም ላይ የተመሰረተ ነው ( ሀ + ለ) 3 = ሀ 3 + (3ሀ 2 + 3ኣብ መወዳእታ ድማ ንህዝቢ ኤርትራ ንህዝቢ ምውሳድ ኣብ ውሽጢ ሃገር ዝርከቡ ምዃኖም ተሓቢሩ + ለ 2)ለ. በአሁኑ ጊዜ የኪዩብ ሥሮችን ለማውጣት ስልተ ቀመሮች እንዲሁም የከፍተኛ ዲግሪዎች ሥሮች ሎጋሪዝም ወይም አልጀብራ ዘዴዎችን በመጠቀም ለማግኘት ቀላል ስለሆኑ በሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤት ውስጥ አልተማሩም።

የዩክሊድ አልጎሪዝም.

ይህ ስልተ ቀመር በ ውስጥ ተገልጿል ጅምርዩክሊድ (300 ዓክልበ. ግድም)። የሁለት ኢንቲጀር ትልቁን የጋራ አካፋይ ያሰላል። ለአዎንታዊ ቁጥሮች፣ እንደ የሥርዓት ሕግ ተቀምጧል፡- “ከሁለቱ የተሰጡት ቁጥሮች ትልቁን በትንንሹ ይከፋፍሉት። ከዚያም አካፋዩን በቀሪው ክፍል ይከፋፍሉት, እና የመጨረሻው አካፋይ በመጨረሻው ቀሪው እኩል እስኪከፋፈል ድረስ በተመሳሳይ መንገድ ይቀጥሉ. ከከፋፋዮች የመጨረሻው የሁለቱ የተሰጡት ቁጥሮች ትልቁ የጋራ አካፋይ ይሆናል።

እንደ የቁጥር ምሳሌ፣ ሁለት ኢንቲጀር 3132 እና 7200ን ተመልከት።

ትልቁ የጋራ አካፋይ ከመጨረሻው አካፋይ ጋር ተመሳሳይ ነው፣ 36. ማብራሪያው ቀላል ነው። በምሳሌአችን በመጨረሻው መስመር ላይ ቁጥር 36 ቁጥር 288 ሲከፋፈለው እናያለን ከፔንልቲሜት መስመር ደግሞ 36 ቁጥር 324 ይከፍላል.ስለዚህ ከመስመር ወደ መስመር መውጣት, ቁጥር 36 936 መከፋፈሉን እናረጋግጣለን. , 3132 እና 7200 አሁን ቁጥር 36 የቁጥር 3132 እና 7200 የጋራ አካፋይ መሆኑን አስረግጠናል። ሰየቁጥር ትልቁ የጋራ አካፋይ ነው 3132 እና 7200. ጀምሮ ሰ 3132 እና 7200 ይከፍላል, ከመጀመሪያው መስመር ይከተላል ሰይከፋፍላል 936. ከሁለተኛው መስመር ተነስተን እንጨርሳለን ሰይከፋፍላል 324. ስለዚህ ከመስመር ወደ መስመር መውረድ እርግጠኛ ነን ሰ 288 እና 36 ያካፍላል።እናም 36 የ3132 እና 7200 የጋራ አካፋይ ስለሆነ እና በትልቁ የጋራ አካፋይ ስለሚከፋፈል 36 ትልቁ የጋራ አካፋይ ነው ብለን መደምደም እንችላለን።

ምርመራ.

አርቲሜቲክ ስሌቶች የማያቋርጥ ትኩረት የሚያስፈልጋቸው እና ስለዚህ ለስህተት የተጋለጡ ናቸው. ስለዚህ, የሂሳብ ውጤቶችን መፈተሽ በጣም አስፈላጊ ነው.

1. የቁጥሮች አምድ መጨመር በአምዱ ውስጥ ያሉትን ቁጥሮች በመጀመሪያ ከላይ ወደ ታች ከዚያም ከታች ወደ ላይ በመጨመር ማረጋገጥ ይቻላል. ለዚህ የማረጋገጫ ዘዴ ማረጋገጫው የመደመር እና የመደመር አጠቃላይ ህግ ነው።

2. መቀነስ የሚመረመረው ከንዑሳን ጋር ያለውን ልዩነት በመጨመር ነው - የሚቀንስ መሆን አለበት። ለዚህ የማረጋገጫ ዘዴ ማረጋገጫው የመቀነስ አሠራር ትርጓሜ ነው.

3. ማባዛትን እና ማባዣውን እንደገና በማስተካከል ማረጋገጥ ይቻላል. ለዚህ የማረጋገጫ ዘዴ ማረጋገጫው የማባዛት ልውውጥ ህግ ነው። ፋክተሩን (ወይም ማባዛትን) በሁለት ቃላት በመክፈል፣ ሁለት የተለያዩ የማባዛት ስራዎችን በማከናወን እና የተገኙ ምርቶችን በመጨመር ማባዛቱን ማረጋገጥ ይችላሉ - ዋናውን ምርት ማግኘት አለብዎት።

4. ክፍፍሉን ለመፈተሽ ንጣፉን በአከፋፋዩ ማባዛት እና ቀሪውን ወደ ምርቱ መጨመር ያስፈልግዎታል. መከፋፈል አለበት። የዚህ የማረጋገጫ ዘዴ ምክንያታዊነት የዲቪዥን ኦፕሬሽን ፍቺ ነው.

5. ካሬ (ወይም ኪዩቢክ) ሥር የማውጣቱን ትክክለኛነት ማረጋገጥ የተገኘውን ቁጥር (ወይም ኩብ) በማጣመር ነው - ዋናው ቁጥር ማግኘት አለበት።

ኢንቲጀሮችን መጨመር ወይም ማባዛትን ለመፈተሽ በተለይ ቀላል እና በጣም አስተማማኝ መንገድ ቴክኒኩ ነው ወደሚባለው ሽግግር። "ማነፃፀሪያዎች ሞዱሎ 9". የተሰጠውን ቁጥር ከሚጽፉት አሃዞች ድምር 9 ያለውን ክፍል ቀሪውን "ትርፍ" እንጥራው። ከዚያም “ትርፍ”ን በሚመለከት ሁለት ንድፈ ሃሳቦች ሊቀረጹ ይችላሉ፡- “የኢንቲጀር ድምር ትርፍ ከቃላት ትርፍ ድምር ጋር እኩል ነው” እና “የሁለት ኢንቲጀር ምርት ትርፍ ከተጨማሪው ጋር እኩል ነው። የእነርሱ ትርፍ ውጤት" የሚከተሉት በዚህ ጽንሰ ሐሳብ ላይ የተመሠረቱ የቼኮች ምሳሌዎች ናቸው፡

ወደ ንፅፅር ሞዱሎ 9 የመሸጋገር ዘዴ ሌሎች የሂሳብ ስልተ ቀመሮችን ሲፈተሽም መጠቀም ይቻላል። እርግጥ ነው, እንዲህ ዓይነቱ ቼክ የማይሳሳት አይደለም, ምክንያቱም ከ "ከልክ በላይ" መስራት እንዲሁ ለስህተት የተጋለጠ ነው, ነገር ግን እንዲህ ዓይነቱ ሁኔታ የማይቻል ነው.

ፍላጎት.

አንድ መቶኛ አንድ ክፍልፋይ ነው መለያው 100; ፐርሰንት በሦስት መንገዶች ሊጻፍ ይችላል፡ እንደ ክፍልፋይ፣ እንደ አስርዮሽ ወይም ልዩ ማስታወሻውን በመቶኛ በመጠቀም። ለምሳሌ, 7 በመቶው እንደ 7/100, እንደ 0.07 ወይም እንደ 7% ሊጻፍ ይችላል.

በጣም የተለመደው የፍላጎት ችግር ምሳሌ "ከ 82 17% ፈልግ" ነው. ይህንን ችግር ለመፍታት ምርቱን 0.17ґ82 = 13.94 ማስላት ያስፈልግዎታል. በእንደዚህ አይነት ስራዎች 0.17 ተመን ይባላል, 82 መሰረት ነው, እና 13.94 በመቶኛ የተገለፀው ድርሻ ነው. ሦስቱ የተጠቀሱ መጠኖች በግንኙነት የተገናኙ ናቸው

ደረጃ ቤዝ = መቶኛ ድርሻ።

ማንኛቸውም ሁለት መጠኖች የሚታወቁ ከሆነ, ሶስተኛው ከዚህ ግንኙነት ሊታወቅ ይችላል. በዚህ መሠረት "ለፍላጎት" ሶስት ዓይነት ስራዎችን እናገኛለን.

ምሳሌ 1. በዚህ ትምህርት ቤት የተማሩ ተማሪዎች ቁጥር ከ351 ወደ 396 አድጓል። ይህ ቁጥር ስንት በመቶ ጨምሯል?

ጭማሪው 396 - 351 = 45 ሰዎች ነበሩ. ክፍልፋዩን 45/351 በመቶኛ ስንጽፍ 45/351 = 0.128 = 12.8% እናገኛለን።

ምሳሌ 2. በሽያጩ ወቅት በመደብሩ ውስጥ ያለ ማስታወቂያ "ከሁሉም እቃዎች 25% ቅናሽ" ይላል። በመደበኛነት በ$3.60 የሚሸጥ ዕቃ የመሸጫ ዋጋ ስንት ነው?

በ $3.60 ዋጋ 25% ቅናሽ ማለት የ 0.25 × 3.60 = $0.90; ስለዚህ, በሽያጭ ጊዜ የእቃው ዋጋ $ 3.60 - $ 0.90 = $ 2.70 ይሆናል.

ምሳሌ 3. በዓመት 5% በባንክ ውስጥ የተቀመጠው ገንዘብ በዓመት 40 ዶላር ትርፍ አስገኝቷል። በባንክ ውስጥ ምን ያህል ተቀምጧል?

የገንዘቡ 5% 40 ዶላር ስለሆነ, ማለትም. 5/100 መጠን = 40 ዶላር፣ ወይም 1/100 መጠን = 8 ዶላር፣ አጠቃላይ መጠኑ 800 ዶላር ነው።

የግምታዊ ቁጥሮች አርቲሜቲክ።

በስሌቶች ውስጥ ጥቅም ላይ የሚውሉ ብዙ ቁጥሮች የሚነሱት ከመለኪያዎች ወይም ግምቶች ነው ስለሆነም እንደ ግምታዊነት ብቻ ሊወሰዱ ይችላሉ። በግምታዊ ቁጥሮች የተከናወኑ ስሌቶች ውጤት ግምታዊ ቁጥር ብቻ ሊሆን እንደሚችል ግልጽ ነው። ለምሳሌ ፣ የቆጣሪው ወለል መለኪያዎች የሚከተሉትን ውጤቶች ሰጡ እንበል (ወደ አንድ ሜትር ቅርብ አሥረኛው የተጠጋጋ): ስፋት 1.2 ሜትር ፣ ርዝመቱ 3.1 ሜትር; አንድ ሰው የቆጣሪው ቦታ 1.2ґ3.1 \u003d 3.72 ሜ 2 ነው ማለት ይችላል. ሆኖም ግን, በእውነቱ, መረጃው በጣም እርግጠኛ ከመሆን የራቀ ነው. የ 1.2 ሜትር ዋጋ የሚያመለክተው የወርድ መለኪያው በ 1.15 እና 1.25 ሜትር መካከል መሆኑን እና 3.1 ርዝመቱ በ 3.05 እና በ 3.15 ሜትር መካከል ያለውን የቆጣሪውን ስፋት ስለሚያመለክት, መሆን አለበት ማለት ብቻ ነው. ከ 1.15x3.05 = 3.5075, ግን ከ 1.25x3.15 = 3.9375 ያነሰ. ስለዚህ, ስለ ቆጣሪ አካባቢ ለሚለው ጥያቄ ብቸኛው ምክንያታዊ መልስ በግምት ከ 3.7 ሜ 2 ጋር እኩል ነው.

በመቀጠል የ 3.73 ሜትር, 52.1 ሜትር እና 0.282 ሜትር ግምታዊ መለኪያዎች ውጤቶችን የመጨመር ችግርን እናስብ ቀላል ድምር 56.112 ሜትር ነው. ነገር ግን ልክ እንደ ቀድሞው ችግር, በእርግጠኝነት መናገር የሚቻለው እውነተኛው ድምር ነው. ከ 3.725 + 52.05 + 0.2815 = 56.0565 ሜትር እና ከ 3.735 + 52.15 + 0.2825 = 56.1765 ሜትር ያነሰ መሆን አለበት.ስለዚህ ለጥያቄው ብቸኛው ምክንያታዊ መልስ ድምር በግምት ከ 56.1 ሜትር ጋር እኩል ነው.

ከላይ ያሉት ሁለት ምሳሌዎች ከግምታዊ ቁጥሮች ጋር ሲገናኙ ጠቃሚ የሆኑ አንዳንድ ደንቦችን ያሳያሉ። ቁጥሮችን ለማዞር የተለያዩ መንገዶች አሉ። ከመካከላቸው አንዱ በጣም ትንሹን የቁጥሩን አሃዞች መጣል ነው. በዚህ ሁኔታ, የመጀመሪያው የተጣለ አሃዝ ከአምስት በላይ ከሆነ, የመጨረሻው የቀረው ገጸ ባህሪ በአንድ መጨመር አለበት, ያነሰ ከሆነ, የቀረው ክፍል የመጨረሻው ቁምፊ ሳይለወጥ ይቀራል.

የሚጣለው የመጀመሪያው አሃዝ በትክክል አምስት ከሆነ፣ የሚይዘው የመጨረሻው አሃዝ እንግዳ ከሆነ በአንድ ይጨምራል፣ እና እኩል ከሆነ ሳይቀየር ይቀራል። ለምሳሌ, ወደ መቶኛ ሲጠጉ, ቁጥሮች 3.14159; 17.7682; 28.999; 0.00234; 7.235 እና 7.325 ወደ ቁጥሮች 3.14 ይሂዱ; 17.77; 29.00; 0.00; 7.24 እና 7.32.

ሌላው የማዞሪያ መንገድ ከጉልህ አሃዞች ጽንሰ-ሀሳብ ጋር የተያያዘ ነው እና በቁጥር ማሽን ውስጥ ጥቅም ላይ ይውላል። የግምታዊ ቁጥር ጉልህ አሃዞች ከግራ ወደ ቀኝ በቅደም ተከተል በአስርዮሽ አሃዞች ውስጥ ያሉት አሃዞች ናቸው ፣ ከመጀመሪያው ዜሮ ያልሆነ አሃዝ ጀምሮ እና ከስህተቱ ጋር በሚዛመደው የአስርዮሽ ምልክት ቦታ ላይ ባለው አሃዝ ያበቃል። ለምሳሌ, የተጠጋ ቁጥር 12.1 ጉልህ አሃዞች ቁጥሮች 1, 2, 1 ናቸው. ግምታዊ ቁጥር 0.072 - ቁጥሮች 7, 2; ግምታዊ ቁጥር 82000 ፣ በመቶዎች የሚቆጠሩ የተጻፈ ፣ - 8 ፣ 2 ፣ 0።

አሁን ከላይ ከተጠቀሱት ግምታዊ ቁጥሮች ጋር ለመገናኘት ሁለቱን ደንቦች አዘጋጅተናል.

ግምታዊ ቁጥሮችን ሲጨምሩ እና ሲቀንሱ እያንዳንዱ ቁጥር በትንሹ ትክክለኛ ቁጥር የመጨረሻውን ምልክት ተከትሎ ወደ ምልክቱ መጠቅለል አለበት እና የተገኘው ድምር እና ልዩነት በትንሹ ትክክለኛ ቁጥር ወደ ተመሳሳይ የአሃዞች ብዛት መጠቅለል አለበት። ግምታዊ ቁጥሮችን በማባዛት እና በማካፈል፣ እያንዳንዱ ቁጥር ከትንሹ ጉልህ ቁጥር የመጨረሻው ጉልህ አሃዝ በኋላ ወደ ቀጣዩ ምልክት መጠቅለል አለበት፣ እና ምርቱ እና መጠኑ በትንሹ ትክክለኛ ቁጥር በሚታወቅበት ተመሳሳይ ትክክለኛነት መጠገን አለባቸው።

ወደ ቀደሙት ችግሮች ስንመለስ፡-

1.2ґ3.1 \u003d 3.72 ሜ 2 "3.7 ሜ 2

3.73 + 52.1 + 0.28 \u003d 56.11 ሜ 2 "56.1 ሜትር,

ምልክቱ " ማለት "በግምት እኩል" ማለት ነው.

አንዳንድ የሂሳብ መማሪያ መጽሃፎች ከተጠጋ ቁጥሮች ጋር ለመስራት ስልተ ቀመሮችን ያቀርባሉ፣ ይህም ሲያሰሉ አላስፈላጊ ምልክቶችን እንዲያስወግዱ ያስችልዎታል። በተጨማሪም, የሚባሉትን ይጠቀማሉ. ግምታዊ ቁጥሮችን መጻፍ, ማለትም. ማንኛውም ቁጥር እንደ (በ1 እና 10 መካከል ያለ ቁጥር) ґ (የ10 ኃይል) ነው የሚወከለው፣ የመጀመሪያው ምክንያት የቁጥሩ ጉልህ የሆኑ አሃዞችን ብቻ የያዘ ነው። ለምሳሌ 82,000 ኪ.ሜ የተጠጋጋ ወደ መቶ ኪሎ ሜትር ያህል 8.20x104 ኪ.ሜ, እና 0.00702 ሴ.ሜ ከ 7.02x10-3 ሴ.ሜ ይጻፋል.

በሒሳብ ሠንጠረዦች፣ ትሪግኖሜትሪክ ወይም ሎጋሪዝም ሠንጠረዦች ውስጥ ያሉት ቁጥሮች ግምታዊ ናቸው፣ በተወሰኑ አሃዞች የተጻፉ ናቸው። ከእንደዚህ ዓይነት ሠንጠረዦች ጋር በሚሰሩበት ጊዜ በግምት ቁጥሮችን ለማስላት ደንቦችን መከተል አለብዎት.

ሎጋሪዝም

በ 17 ኛው ክፍለ ዘመን መጀመሪያ ላይ. የተተገበሩ የሂሳብ ችግሮች ውስብስብነት በጣም ጨምሯል ፣ ስለሆነም ብዙ ጉልበት እና ጊዜ በመኖሩ እነሱን "በእጅ" ለመቋቋም አልተቻለም። እንደ እድል ሆኖ፣ በ 17 ኛው ክፍለ ዘመን መጀመሪያ ላይ በጄ ናፒየር የተፈጠረ። ሎጋሪዝም የተፈጠረውን ችግር ለመቋቋም ተፈቅዶለታል. የሎጋሪዝም ጽንሰ-ሀሳብ እና አፕሊኬሽኖች በልዩ ጽሑፍ LOGARIFM ውስጥ ተዘርዝረዋል, እራሳችንን በጣም አስፈላጊ በሆነው መረጃ ላይ ብቻ እንገድባለን.

እንደሆነ ማሳየት ይቻላል። nአወንታዊ ትክክለኛ ቁጥር ነው፣ ከዚያ አንድ አወንታዊ እውነተኛ ቁጥር ብቻ አለ። x፣ እንደ 10 x = n. ቁጥር xይባላል (መደበኛ ወይም አስርዮሽ) ሎጋሪዝምቁጥሮች n; በተለምዶ እንዲህ ተብሎ ተጽፏል፡- x= መዝገብ n. ስለዚህ, ሎጋሪዝም ገላጭ ነው, እና ከጠቋሚዎች ጋር ከተግባር ህግጋት ይከተላል

በሂሳብ ውስጥ በስፋት ጥቅም ላይ መዋላቸውን የሚያብራሩት እነዚህ የሎጋሪዝም ባህሪዎች ናቸው። የመጀመሪያው እና ሁለተኛው ንብረቶች ማንኛውንም የማባዛት እና የመከፋፈል ችግርን ወደ ቀላል የመደመር እና የመቀነስ ችግር ለመቀነስ ያስችሉዎታል። ሦስተኛው እና አራተኛው ንብረቶች ገላጭ እና ሥር ማውጣትን ወደ በጣም ቀላል አሠራር ለመቀነስ ያስችላሉ-ማባዛት እና ማካፈል።

ሎጋሪዝምን ለመጠቀም ምቾት, ጠረጴዛዎቻቸው ተሰብስበዋል. የአስርዮሽ ሎጋሪዝም ሠንጠረዥን ለማጠናቀር ከ 1 እስከ 10 ያሉትን ቁጥሮች ሎጋሪዝም ብቻ ማካተት በቂ ነው ። ለምሳሌ ፣ ከ 247.6 \u003d 10 2 ґ2.476 ጀምሮ ፣ log247.6 \u003d log10 2 + log2.476 አለን ። \u003d 2 + log2.476, እና ከ 0.02476 = 10 -2 × 2.476, ከዚያም log0.02476 = log10 -2 + log2.476 = -2 + log2.476. በ1 እና በ10 መካከል ያለው የአስርዮሽ ሎጋሪዝም በ0 ​​እና 1 መካከል እንዳለ እና እንደ አስርዮሽ ሊፃፍ እንደሚችል ልብ ይበሉ። በመቀጠልም የማንኛውም ቁጥር የአስርዮሽ ሎጋሪዝም የአንድ ኢንቲጀር ድምር፣ የሎጋሪዝም ባህሪ ተብሎ የሚጠራው እና የአስርዮሽ ክፍልፋይ፣ የሎጋሪዝም ማንቲሳ ይባላል። የማንኛውም ቁጥር ሎጋሪዝም ባህሪ "በአእምሮ" ውስጥ ሊገኝ ይችላል; ማንቲሳ ከሎጋሪዝም ጠረጴዛዎች መገኘት አለበት. ለምሳሌ ከሠንጠረዡ ውስጥ log2.476 = 0.39375, ስለዚህም log247.63 = 2.39375 እናገኛለን. የሎጋሪዝም ባህሪው አሉታዊ ከሆነ (ቁጥሩ ከአንድ ያነሰ ከሆነ) እንደ ሁለት አዎንታዊ ኢንቲጀር ልዩነት ለመወከል ምቹ ነው, ለምሳሌ, log0.02476 = -2 + 0.39375 = 8.39375 - 10. የሚከተሉትን ምሳሌዎች ይህንን ዘዴ ያብራሩ ።

ስነ ጽሑፍ፡

የሂሳብ ታሪክ ከጥንት ጀምሮ እስከ 19 ኛው ክፍለ ዘመን መጀመሪያ ድረስ.፣ ቲ. 1–3 ኤም., 1970-1972.
ሴሬ ጄ.-ፒ. አርቲሜቲክ ኮርስ. ኤም.፣ 1972
Nechaev V.I. የቁጥር ስርዓቶች. ኤም.፣ 1975
ዳአን-ዳልሜዲኮ ኤ.፣ ፔይፈር ጄ . መንገዶች እና labyrinths. በሂሳብ ታሪክ ላይ ያሉ ድርሰቶች. ኤም.፣ 1986 ዓ.ም
ኢንግለር ኢ. የአንደኛ ደረጃ ሂሳብ ሂሳብ. ኤም.፣ 1987 ዓ.ም



አርቲሜቲክ አማካኝ - የአንድ የተወሰነ የውሂብ ድርድር አማካኝ ዋጋ የሚያሳይ ስታቲስቲካዊ አመልካች። እንዲህ ዓይነቱ አመላካች እንደ ክፍልፋይ ይሰላል, የቁጥር አሃዛዊው የሁሉም የድርድር እሴቶች ድምር ነው, እና መለያው ቁጥራቸው ነው. የሒሳብ አማካኝ በቤት ውስጥ ስሌት ውስጥ ጥቅም ላይ የሚውል አስፈላጊ ቅንጅት ነው።

የቅንጅቱ ትርጉም

የሂሳብ አማካይ መረጃን ለማነፃፀር እና ተቀባይነት ያለው እሴት ለማስላት የመጀመሪያ ደረጃ አመልካች ነው። ለምሳሌ, ከአንድ የተወሰነ አምራች የቢራ ቆርቆሮ በተለያዩ መደብሮች ይሸጣል. ነገር ግን በአንድ ሱቅ ውስጥ 67 ሬብሎች, በሌላ - 70 ሬብሎች, በሦስተኛው - 65 ሮቤል, እና በመጨረሻው - 62 ሬብሎች. በጣም ትልቅ የዋጋ ክልል አለ፣ ስለዚህ ገዢው በጣሳ አማካኝ ዋጋ ላይ ፍላጎት ይኖረዋል፣ ስለዚህም አንድ ምርት ሲገዛ ወጪውን ማወዳደር ይችላል። በአማካይ በከተማ ውስጥ አንድ የቢራ ጣሳ ዋጋ አለው፡-

አማካይ ዋጋ = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 ሩብልስ.

አማካይ ዋጋን ማወቅ, ሸቀጦችን ለመግዛት የት ትርፋማ እንደሆነ እና የት መክፈል እንዳለቦት ለመወሰን ቀላል ነው.

ተመሳሳይነት ያለው የውሂብ ስብስብ በሚተነተንበት ጊዜ የሂሳብ አማካኝ በስታቲስቲክስ ስሌቶች ውስጥ በቋሚነት ጥቅም ላይ ይውላል። ከላይ በምሳሌው ላይ ይህ ተመሳሳይ የምርት ስም ያለው የቢራ ቆርቆሮ ዋጋ ነው. ሆኖም ከተለያዩ አምራቾች የቢራ ዋጋን ወይም የቢራ እና የሎሚ ዋጋዎችን ማነፃፀር አንችልም ፣ ምክንያቱም በዚህ ሁኔታ የእሴቶቹ መስፋፋት የበለጠ ስለሚሆኑ አማካዩ ዋጋው ደብዛዛ እና አስተማማኝ አይሆንም ፣ እና የስሌቶቹ ትርጉም "በሆስፒታሉ ውስጥ ያለው አማካይ የሙቀት መጠን" ወደ ካራክተሩ የተዛባ ይሆናል. የተለያዩ የዳታ አደራደሮችን ለማስላት፣ እያንዳንዱ እሴት የራሱ የክብደት መለኪያ ሲቀበል፣ የሒሳብ ሚዛን ያለው አማካይ ጥቅም ላይ ይውላል።

የሂሳብ አማካኝ ስሌት

የስሌቶች ቀመር በጣም ቀላል ነው-

P = (a1 + a2 +… an) / n፣

አንድ የብዛቱ ዋጋ ሲሆን, n ጠቅላላ የእሴቶች ብዛት ነው.

ይህ አመላካች ምን ጥቅም ላይ ሊውል ይችላል? የመጀመሪያው እና ግልጽ አጠቃቀሙ በስታቲስቲክስ ውስጥ ነው. እያንዳንዱ የስታቲስቲክስ ጥናት ማለት ይቻላል የሂሳብ አማካኝ ይጠቀማል። ይህ በሩሲያ ውስጥ አማካኝ የጋብቻ ዕድሜ, ለአንድ ተማሪ በአንድ ትምህርት ውስጥ ያለው አማካኝ ምልክት ወይም በቀን ለግሮሰሪ የሚወጣው አማካይ ወጪ ሊሆን ይችላል. ከላይ እንደተገለፀው ክብደቶችን ግምት ውስጥ ሳያስገባ, የአማካዮች ስሌት እንግዳ ወይም የማይረቡ እሴቶችን ሊሰጥ ይችላል.

ለምሳሌ, የሩስያ ፌዴሬሽን ፕሬዚዳንት እንደ አኃዛዊ መረጃ, የሩስያ አማካይ ደመወዝ 27,000 ሩብልስ ነው. በሩሲያ ውስጥ ለአብዛኛዎቹ ሰዎች ይህ የደመወዝ ደረጃ የማይረባ ይመስላል። ስሌቱ የኦሊጋርኮችን ገቢ፣ የኢንዱስትሪ ኢንተርፕራይዞች ኃላፊዎችን፣ ትላልቅ ባንኮችን በአንድ በኩል እና የመምህራንን፣ የጽዳት ሠራተኞችን እና ሻጮችን ደሞዝ ግምት ውስጥ ያስገባ ከሆነ የሚያስደንቅ አይደለም። በአንድ ልዩ ባለሙያ ውስጥ አማካኝ ደመወዝ እንኳን, ለምሳሌ, የሂሳብ ባለሙያ, በሞስኮ, ኮስትሮማ እና ዬካተሪንበርግ ከባድ ልዩነቶች ይኖራቸዋል.

ለተለያዩ ውሂቦች አማካኞችን እንዴት ማስላት እንደሚቻል

በክፍያ ሁኔታዎች ውስጥ የእያንዳንዱን እሴት ክብደት ግምት ውስጥ ማስገባት አስፈላጊ ነው. ይህ ማለት የኦሊጋሮች እና የባንክ ሰራተኞች ደመወዝ ለምሳሌ 0.00001 ክብደት ይሰጥ ነበር, እና የሽያጭ ሰዎች ደመወዝ 0.12 ይሆናል. እነዚህ ከጣሪያው ውስጥ ያሉት ቁጥሮች ናቸው, ነገር ግን በሩሲያ ማህበረሰብ ውስጥ የኦሊጋርች እና ሻጮች መስፋፋትን በትክክል ያሳያሉ.

ስለዚህ በአማካኝ አማካኝ ወይም አማካኝ ዋጋን በተለያዩ የዳታ አደራደር ለማስላት የሒሳብ ሚዛን አማካዩን መጠቀም ያስፈልጋል። አለበለዚያ በ 27,000 ሩብልስ ደረጃ በሩሲያ ውስጥ አማካይ ደመወዝ ይቀበላሉ. በሂሳብ ውስጥ አማካይ ማርክዎን ወይም በተመረጠው የሆኪ ተጫዋች ያስቆጠረውን አማካይ የጎል ብዛት ማወቅ ከፈለጉ፣ የሂሳብ አማካይ ካልኩሌተር ይስማማዎታል።

ፕሮግራማችን የሂሳብ አማካኙን ለማስላት ቀላል እና ምቹ ካልኩሌተር ነው። ስሌቶችን ለማከናወን የመለኪያ እሴቶችን ብቻ ማስገባት ያስፈልግዎታል።

እስቲ አንድ ሁለት ምሳሌዎችን እንመልከት

አማካይ የደረጃ ስሌት

ብዙ መምህራን የአንድን የትምህርት አይነት አመታዊ ውጤት ለመወሰን የሂሳብ አማካኝ ዘዴን ይጠቀማሉ። እስቲ አንድ ልጅ በሂሳብ የሚከተሉትን ሩብ ክፍሎች እንዳገኘ እናስብ፡ 3፣ 3፣ 5፣ 4. መምህሩ ምን ዓይነት አመታዊ ክፍል ይሰጠዋል። ካልኩሌተር እንጠቀም እና የሒሳብ አማካኙን እናሰላ። በመጀመሪያ ተገቢውን የመስኮች ብዛት ይምረጡ እና በሚታዩ ሕዋሳት ውስጥ ያሉትን የክፍል ዋጋዎች ያስገቡ፡

(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75

መምህሩ እሴቱን ለተማሪው ይደግፋል፣ እና ተማሪው ለዓመቱ ጠንካራ አራት ይቀበላል።

የተበላው ጣፋጭ ስሌት

እስቲ የአርቲሜቲክ አማካኝ የሆነ ብልግናን እናሳይ። ማሻ እና ቮቫ 10 ጣፋጮች እንደነበሯቸው አስብ። ማሻ 8 ከረሜላዎችን በልቷል, እና ቮቫ ብቻ 2. እያንዳንዱ ልጅ በአማካይ ስንት ከረሜላ በልቷል? ካልኩሌተርን በመጠቀም በአማካይ ልጆች እያንዳንዳቸው 5 ጣፋጭ ምግቦችን እንደበሉ ለማስላት ቀላል ነው, ይህም ሙሉ በሙሉ እውነት ያልሆነ እና የተለመደ ነው. ይህ ምሳሌ የሚያሳየው የሂሳብ አማካኝ ትርጉም ላለው የውሂብ ስብስቦች አስፈላጊ ነው።

ማጠቃለያ

የአሪቲሜቲክ አማካኝ ስሌት በብዙ ሳይንሳዊ መስኮች በሰፊው ጥቅም ላይ ይውላል። ይህ አመላካች በስታቲስቲክስ ስሌቶች ላይ ብቻ ሳይሆን በፊዚክስ, ሜካኒክስ, ኢኮኖሚክስ, ህክምና ወይም ፋይናንስ ውስጥ ታዋቂ ነው. የሂሳብ አማካይ ችግሮችን ለመፍታት የእኛን ካልኩሌተሮች እንደ ረዳት ይጠቀሙ።