የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮቹን እንዴት ማግኘት እንደሚቻል። የመስመር ላይ ካልኩሌተር. ባለአራት እኩልታ በመፍታት ላይ

ርዕሱን ማጥናታችንን እንቀጥላለን የእኩልታዎች መፍትሄ". ከመስመር እኩልታዎች ጋር ቀደም ብለን እናውቀዋለን እና አሁን ደግሞ መተዋወቅ አለብን። ኳድራቲክ እኩልታዎች.

በመጀመሪያ፣ ኳድራቲክ እኩልታ ምን እንደሆነ፣ በአጠቃላይ መልኩ እንዴት እንደተጻፈ እንወያይበታለን፣ እና ተዛማጅ ፍቺዎችን እንሰጣለን። ከዚያ በኋላ, ምሳሌዎችን በመጠቀም, ያልተሟሉ የኳድራቲክ እኩልታዎች እንዴት እንደሚፈቱ በዝርዝር እንመረምራለን. በመቀጠል ፣ የተሟሉ እኩልታዎችን ወደ መፍታት እንሄዳለን ፣ የሥሮቹን ቀመር እናገኛለን ፣ ከኳድራቲክ እኩልታ አድልዎ ጋር ለመተዋወቅ እና ለተለመዱ ምሳሌዎች መፍትሄዎችን እንመለከታለን። በመጨረሻም, በስሮች እና በማጣቀሻዎች መካከል ያለውን ግንኙነት እንከታተላለን.

የገጽ አሰሳ።

ኳድራቲክ እኩልታ ምንድን ነው? የእነሱ ዓይነቶች

በመጀመሪያ የኳድራቲክ እኩልታ ምን እንደሆነ በግልፅ መረዳት ያስፈልግዎታል። ስለዚህ ስለ ኳድራቲክ እኩልታዎች ከአራት እኩልታ ትርጓሜ እና እንዲሁም ከእሱ ጋር የተያያዙ ትርጓሜዎችን ማውራት መጀመር ምክንያታዊ ነው። ከዚያ በኋላ ዋና ዋናዎቹን የኳድራቲክ እኩልታዎች ግምት ውስጥ ማስገባት ይችላሉ-የቀነሱ እና ያልተቀነሱ, እንዲሁም ሙሉ እና ያልተሟሉ እኩልታዎች.

የኳድራቲክ እኩልታዎች ፍቺ እና ምሳሌዎች

ፍቺ

ባለአራት እኩልታየቅጹ እኩልታ ነው። ሀ x 2 +b x+c=0 x ተለዋዋጭ በሆነበት፣ a፣ b እና c አንዳንድ ቁጥሮች ሲሆኑ ሀ ከዜሮ የተለየ ነው።

ወዲያውኑ እንበል ኳድራቲክ እኩልታዎች ብዙውን ጊዜ የሁለተኛ ዲግሪ እኩልታዎች ይባላሉ። ምክንያቱም ኳድራቲክ እኩልታ ነው። የአልጀብራ እኩልታሁለተኛ ዲግሪ.

በድምፅ የተነገረው ፍቺ የኳድራቲክ እኩልታዎችን ምሳሌዎችን እንድንሰጥ ያስችለናል። ስለዚህ 2 x 2 +6 x+1=0፣ 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0፣ ወዘተ. ኳድራቲክ እኩልታዎች ናቸው።

ፍቺ

ቁጥሮች a, b እና c ይባላሉ የ quadratic equation coefficients a x 2 +b x + c=0፣ እና የቁጥር አሃዛዊው a የመጀመሪያው፣ ወይም ሲኒየር፣ ወይም ኮፊሸን በ x 2 ይባላል፣ b ሁለተኛው ኮፊደል ወይም ኮፊሸን በ x እና c ነፃ አባል ነው።

ለምሳሌ፣ የቅርጽ 5 x 2 -2 x−3=0 ባለ አራት ማዕዘን እኩልታ እንውሰድ፣ እዚህ ግንባር ቀደሙ 5 ነው፣ ሁለተኛው ጥምር -2 ነው፣ እና ነፃው ቃል -3 ነው። ልብ ይበሉ b እና/ወይም c ውጤቶቹ አሉታዊ ሲሆኑ፣ ልክ እንደተጠቀሰው ምሳሌ፣ የቅርጽ 5 x 2 -2 x−3=0 የኳድራቲክ እኩልታ አጭር ቅጽ ጥቅም ላይ የሚውለው 5 x 2 +(- አይደለም)። 2 )x+(-3)=0።

የቁጥር አሃዞች ሀ እና / ወይም ለ 1 ወይም -1 እኩል ሲሆኑ ፣ ብዙውን ጊዜ በኳድራቲክ እኩልታ ላይ በግልፅ አለመኖራቸውን ልብ ሊባል ይገባል ፣ ይህ በሚከተሉት ባህሪዎች ምክንያት ነው። ለምሳሌ፣ በ quadratic equation y 2 -y+3=0፣ መሪ ኮፊሸን አንድ ነው፣ እና በ y ያለው ጥምርታ -1 ነው።

የተቀነሱ እና ያልተቀነሱ ኳድራቲክ እኩልታዎች

እንደ መሪ ኮፊፊሸንት እሴት ላይ በመመስረት, የተቀነሱ እና ያልተቀነሱ ኳድራቲክ እኩልታዎች ተለይተዋል. ተጓዳኝ ትርጓሜዎችን እንስጥ.

ፍቺ

መሪ ኮፊፊሸንት 1 የሆነበት ኳድራቲክ እኩልታ ይባላል የቀነሰ ኳድራቲክ እኩልታ. አለበለዚያ ኳድራቲክ እኩልታ ነው ያልተቀነሰ.

በዚህ ፍቺ መሰረት፣ ኳድራቲክ እኩልታዎች x 2 -3 x+1=0፣ x 2 -x−2/3=0፣ ወዘተ. - የተቀነሰ, በእያንዳንዳቸው ውስጥ የመጀመሪያው ኮፊሸን ከአንድ ጋር እኩል ነው. እና 5 x 2 -x−1=0, ወዘተ. - ያልተቀነሱ ኳድራቲክ እኩልታዎች, መሪዎቻቸው ከ 1 የተለዩ ናቸው.

ከማንኛውም ያልተቀነሰ ኳድራቲክ እኩልታ፣ ሁለቱንም ክፍሎቹን በመሪ ኮፊሸን በመከፋፈል፣ ወደተቀነሰው መሄድ ይችላሉ። ይህ ድርጊት ተመጣጣኝ ለውጥ ነው፣ ማለትም፣ በዚህ መንገድ የተገኘው የተቀነሰው ኳድራቲክ እኩልታ ልክ እንደ መጀመሪያው ያልተቀነሰ ኳድራቲክ እኩልታ ተመሳሳይ ሥሮች አሉት፣ ወይም እንደ እሱ፣ ምንም ሥሮች የሉትም።

ካልቀነሰ ኳድራቲክ እኩልታ ወደ ተቀናሽ የሚደረገው ሽግግር እንዴት እንደሚከናወን ምሳሌ እንውሰድ።

ለምሳሌ.

ከ 3 x 2 +12 x−7=0፣ ወደ ተጓዳኝ የተቀነሰው ኳድራቲክ እኩልታ ይሂዱ።

መፍትሄ።

የሁለቱም የዋናው እኩልታ ክፍሎችን በመሪ ኮፊሸን 3 ማከናወን በቂ ነው ፣ እሱ ዜሮ አይደለም ፣ ስለሆነም ይህንን ተግባር ማከናወን እንችላለን። አለን። :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0፣ ከየት። ስለዚህ የቀነሰውን ኳድራቲክ እኩልታ አግኝተናል፣ እሱም ከመጀመሪያው ጋር እኩል ነው።

መልስ፡-

የተሟሉ እና ያልተሟሉ ባለአራት እኩልታዎች

በኳድራቲክ እኩልታ ትርጓሜ ውስጥ a≠0 ሁኔታ አለ። ይህ ሁኔታ አንድ x 2 +b x+c=0 በትክክል ስኩዌር እንዲሆን አስፈላጊ ነው፣ ምክንያቱም ከ a=0 ጋር የ b x+c=0 ቅጽ ቀጥተኛ እኩልታ ይሆናል።

የቢ እና ሲ ንፅፅርን በተመለከተ፣ ሁለቱም በተናጠል እና በአንድ ላይ ከዜሮ ጋር እኩል ሊሆኑ ይችላሉ። በእነዚህ አጋጣሚዎች, የኳድራቲክ እኩልታ ያልተሟላ ይባላል.

ፍቺ

ኳድራቲክ እኩልታ a x 2 +b x+c=0 ይባላል ያልተሟላ, ቢያንስ አንዱ ከተባባሪዎች ለ, c ከዜሮ ጋር እኩል ነው.

በተራው

ፍቺ

የተሟላ ባለአራት እኩልታሁሉም መመዘኛዎች ከዜሮ የሚለያዩበት እኩልታ ነው።

እነዚህ ስሞች በአጋጣሚ የተሰጡ አይደሉም. ይህ ከሚከተለው ውይይት ግልጽ ይሆናል።

ጥምርታ b ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ፣ የኳድራቲክ እኩልታ ቅጹን x 2 +0 x+c=0 ይወስዳል፣ እና ከሒሳብ x 2 +c=0 ጋር እኩል ነው። c=0 ከሆነ፣ ማለትም፣ quadratic equation ቅጽ x 2 +b x+0=0 አለው፣ ከዚያ እንደ x 2 +b x=0 ሊፃፍ ይችላል። እና በ b=0 እና c=0 የኳድራቲክ እኩልታ a · x 2 =0 እናገኛለን። የተገኙት እኩልታዎች ከሙሉ ኳድራቲክ እኩልታ የሚለያዩት በግራ እጃቸው ከተለዋዋጭ x ወይም ነፃ ቃል ወይም ሁለቱንም ቃል ስለሌለው ነው። ስለዚህ ስማቸው - ያልተሟሉ ኳድራቲክ እኩልታዎች.

ስለዚህ እኩልታዎች x 2 +x+1=0 እና -2 x 2 -5 x+0,2=0 የተሟሉ ኳድራቲክ እኩልታዎች ምሳሌዎች ናቸው እና x 2 =0, -2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0, -x 2 -5 x=0 ያልተሟሉ ኳድራቲክ እኩልታዎች ናቸው።

ያልተሟሉ ባለአራት እኩልታዎችን መፍታት

ካለፈው አንቀጽ መረጃ ይከተላል ሶስት ዓይነት ያልተሟሉ ባለአራት እኩልታዎች:

• a x 2 =0, የቁጥር መለኪያዎች b=0 እና c=0 ከእሱ ጋር ይዛመዳሉ;
• b=0 ሲሆን a x 2 +c=0;
• እና x 2 +b x=0 ሲ=0 ነው።

የእያንዳንዳቸው ያልተሟሉ ኳድራቲክ እኩልታዎች እንዴት እንደሚፈቱ በቅደም ተከተል እንመርምር።

a x 2 \u003d 0

ያልተሟሉ ኳድራቲክ እኩልታዎችን በመፍታት እንጀምር ይህም የቢ እና ሲ ውህደቶች ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው፣ ማለትም፣ በቅጹ a x 2 =0 እኩልታዎች። እኩልዮቱ a x 2 =0 ከሒሳብ x 2 =0 ጋር እኩል ነው፣ እሱም ከዋናው የተገኘው ሁለቱንም ክፍሎቹን ዜሮ ባልሆነ ቁጥር ሀ. በግልጽ እንደሚታየው ፣ ከ 0 2 \u003d 0 ጀምሮ የእኩልታው ስር x 2 \u003d 0 ዜሮ ነው። ይህ እኩልነት ሌላ ሥሮች የሉትም ፣ እሱም ተብራርቷል ፣ በእርግጥ ፣ ለማንኛውም ዜሮ ያልሆነ ቁጥር p ፣ እኩልነት p 2> 0 ይከናወናል ፣ ይህ የሚያሳየው ለ p≠0 ፣ እኩልነት p 2 = 0 በጭራሽ እንደማይገኝ ያሳያል።

ስለዚህ፣ ያልተሟላው ባለአራት እኩልታ x 2 \u003d 0 ነጠላ ስር x \u003d 0 አለው።

እንደ ምሳሌ, ያልተሟላ የኳድራቲክ እኩልታ -4 · x 2 = 0 መፍትሄ እንሰጣለን. እሱ ከሒሳብ x 2 \u003d 0 ጋር እኩል ነው ፣ ብቸኛው ሥሩ x \u003d 0 ነው ፣ ስለሆነም የዋናው እኩልታ እንዲሁ አንድ ሥር ዜሮ አለው።

በዚህ ጉዳይ ላይ አጭር መፍትሄ እንደሚከተለው ሊሰጥ ይችላል.
-4 x 2 \u003d 0፣
x 2 \u003d 0፣
x=0 .

ሀ x 2 +c=0

አሁን ያልተሟሉ ኳድራቲክ እኩልታዎች እንዴት እንደሚፈቱ አስቡበት፣ በዚህ ውስጥ ጥምርታ b ከዜሮ ጋር እኩል ነው፣ እና c≠0፣ ማለትም፣ የቅርጽ a x 2 +c=0። የቃሉን ቃል ከአንዱ ጎን ወደ ሌላው በተቃራኒው ምልክት ማዛወር እና እንዲሁም የሁለቱም ወገኖች እኩልነት በዜሮ ቁጥር መከፋፈል ተመጣጣኝ እኩልነትን እንደሚሰጥ እናውቃለን። ስለዚህ፣ የሚከተሉት ያልተሟሉ ኳድራቲክ እኩልታ ለውጦች x 2 +c=0 ሊደረጉ ይችላሉ።

• c ወደ ቀኝ ጎን ያንቀሳቅሱ፣ ይህም እኩልታውን x 2 =-c፣
• እና ሁለቱንም ክፍሎቹን በ a ከፋፍለን እናገኛለን.

የተገኘው እኩልነት ስለ ሥሮቹ መደምደሚያ ላይ ለመድረስ ያስችለናል. በ a እና c እሴቶች ላይ በመመስረት የገለፃው ዋጋ አሉታዊ ሊሆን ይችላል (ለምሳሌ ፣ a=1 እና c=2 ፣ ከዚያ ) ወይም አዎንታዊ ፣ (ለምሳሌ ፣ a=-2 እና c=6 ከሆነ) , ከዚያም), ከዜሮ ጋር እኩል አይደለም, ምክንያቱም በሁኔታ c≠0 . ጉዳዮቹን በተናጠል እንመረምራለን እና .

ከሆነ ፣ ከዚያ እኩልታው ሥሮች የሉትም። ይህ መግለጫ የማንኛውም ቁጥር ካሬ አሉታዊ ያልሆነ ቁጥር ነው ከሚለው እውነታ ይከተላል. ከዚህ በመነሳት ነው መቼ , ከዚያም ለማንኛውም ቁጥር p እኩልነት እውነት ሊሆን አይችልም.

ከሆነ ፣ ከዚያ የእኩልታው ሥሮች ጋር ያለው ሁኔታ የተለየ ነው። በዚህ ሁኔታ ፣ እኛ ካስታወስን ፣ ከዚያ የእኩልታው ሥር ወዲያውኑ ግልፅ ይሆናል ፣ ምክንያቱም ቁጥሩ ነው። ቁጥሩም የእኩልታው ሥር እንደሆነ መገመት ቀላል ነው፣ በእርግጥ፣ . ይህ እኩልነት ሌላ ሥሮች የሉትም, ለምሳሌ በተቃርኖ ሊታይ ይችላል. እንስራው.

የእኩልታውን ትክክለኛ ድምጽ እንደ x 1 እና -x 1 እንጥቀስ። እኩልታው ሌላ ስር x 2 ከተጠቆሙት ስር x 1 እና -x 1 የተለየ ነው እንበል። ከሥሩ x ይልቅ ወደ ቀመር መቀየር እኩልታውን ወደ እውነተኛ የቁጥር እኩልነት እንደሚለውጠው ይታወቃል። ለ x 1 እና -x 1 አለን ፣ እና ለ x 2 እኛ አለን ። የቁጥር እኩልነት ባህሪያት የእውነተኛ አሃዛዊ እኩልነቶችን በጊዜ-በ-ጊዜ መቀነስ እንድንፈጽም ያስችሉናል፣ ስለዚህ የእኩልታዎቹን ተጓዳኝ ክፍሎች መቀነስ x 1 2 - x 2 2 =0 ይሰጣል። ከቁጥሮች ጋር ያሉ የኦፕሬሽኖች ባህሪያት የተገኘውን እኩልነት እንደ (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) = 0 እንደገና እንድንጽፍ ያስችሉናል. የሁለት ቁጥሮች ምርት ከዜሮ ጋር እኩል እንደሆነ እናውቃለን እና ቢያንስ አንዱ ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ ብቻ። ስለዚህ, ከተገኘው እኩልነት x 1 -x 2 = 0 እና / ወይም x 1 +x 2 = 0, ተመሳሳይ ነው, x 2 = x 1 እና / ወይም x 2 = -x 1. ስለዚህ መጀመሪያ ላይ የእኩልታው ስር x 2 ከ x 1 እና -x 1 የተለየ ነው ስላልን ወደ ተቃርኖ ደርሰናል። ይህ እኩልታው ሌላ ሥሩ እንደሌለው ያረጋግጣል እና .

በዚህ አንቀጽ ውስጥ ያለውን መረጃ ጠቅለል አድርገን እንየው። ያልተጠናቀቀ አራት ማዕዘን ቀመር a x 2 +c=0 ከቀመር ጋር እኩል ነው፣ እሱም

• ሥር የለውም ፣
• ሁለት ሥሮች አሉት እና ከሆነ .

ቅጽ ax 2 +c=0 ያልተሟሉ ኳድራቲክ እኩልታዎችን የመፍታት ምሳሌዎችን ተመልከት።

በ quadratic equation 9 x 2 +7=0 እንጀምር። ነፃውን ቃል ወደ እኩልታው በቀኝ በኩል ካስተላለፈ በኋላ 9 · x 2 = -7 ቅጽ ይወስዳል። የተገኘውን እኩልታ ሁለቱንም ጎኖች በ 9 በማካፈል ወደ ላይ ደርሰናል. አሉታዊ ቁጥር በቀኝ በኩል ስለተገኘ, ይህ እኩልታ ሥሮች የሉትም, ስለዚህ, የመጀመሪያው ያልተሟላ አራት ማዕዘን እኩልታ 9 x 2 +7 = 0 ሥሮች የሉትም.

አንድ ተጨማሪ ያልተሟላ ባለአራት እኩልታ -x 2 +9=0 እንፍታ። ዘጠኙን ወደ ቀኝ በኩል እናስተላልፋለን: -x 2 \u003d -9. አሁን ሁለቱንም ክፍሎች በ -1 እናካፍላለን, x 2 =9 እናገኛለን. የቀኝ ጎን አወንታዊ ቁጥር ይዟል, ከእሱ የምንደመድም ወይም . የመጨረሻውን መልስ ከጻፍን በኋላ፡-ያልተሟላ ኳድራቲክ እኩልታ -x 2 +9=0 ሁለት ሥር x=3 ወይም x=-3 ነው።

ሀ x 2 +b x=0

ለ c = 0 የመጨረሻው አይነት ያልተሟሉ ባለአራት እኩልታዎች መፍትሄን ለመቋቋም ይቀራል. ቅጽ a x 2 +b x=0 ያልተሟሉ ኳድራቲክ እኩልታዎች እንዲፈቱ ያስችልዎታል የማጠናከሪያ ዘዴ. በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው ፣ እኛ እንችላለን ፣ በቀመር በግራ በኩል ይገኛል ፣ ለዚህም የጋራ ምክንያት xን ከቅንፍ ማውጣት በቂ ነው። ይህ ከመጀመሪያው ያልተሟላ ኳድራቲክ እኩልታ ወደ ቅጽ x·(ax+b)=0 እኩል እኩል እንድንሄድ ያስችለናል። እና ይህ እኩልታ ከሁለት እኩልታዎች ስብስብ ጋር እኩል ነው x=0 እና x+b=0 , የመጨረሻው መስመራዊ እና ሥር x=-b/a አለው.

ስለዚህ፣ ያልተሟላ አራት ማዕዘን ቀመር a x 2 +b x=0 ሁለት ስር x=0 እና x=-b/a አለው።

ቁሳቁሱን ለማጠናከር, የአንድ የተወሰነ ምሳሌ መፍትሄን እንመረምራለን.

ለምሳሌ.

እኩልታውን ይፍቱ.

መፍትሄ።

xን ከቅንፍ ውስጥ እናወጣለን፣ ይህ እኩልነቱን ይሰጣል። እሱ ከሁለት እኩልታዎች x=0 እና ጋር እኩል ነው። የተገኘውን መስመራዊ እኩልታ እንፈታዋለን፡ እና የተደባለቀውን ቁጥር በተራ ክፍልፋይ ካካፍልን በኋላ እናገኛለን። ስለዚህ, የዋናው እኩልታ ሥሮች x=0 እና .

አስፈላጊውን ልምምድ ካገኘ በኋላ, የእንደዚህ አይነት እኩልታዎች መፍትሄዎች በአጭሩ ሊጻፉ ይችላሉ-

መልስ፡-

x=0 ፣

አድሎአዊ፣ የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች ቀመር

ኳድራቲክ እኩልታዎችን ለመፍታት የስር ቀመር አለ። እንጽፍ የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች ቀመር:, የት D=b 2 -4 ሀ- የሚባሉት የኳድራቲክ እኩልታ አድልዎ. መግለጫው በመሠረቱ ማለት ነው።

የስር ፎርሙላ እንዴት እንደተገኘ እና እንዴት የኳድራቲክ እኩልታዎችን ሥሮች ለማግኘት እንዴት እንደሚተገበር ማወቅ ጠቃሚ ነው። ይህን እንይ።

የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች ቀመር ማውጣት

የኳድራቲክ እኩልታ ax 2 +b·x+c=0 ን መፍታት ያስፈልገናል። አንዳንድ ተመጣጣኝ ለውጦችን እናድርግ፡-

• የዚህን እኩልታ ሁለቱንም ክፍሎች ዜሮ ባልሆነ ቁጥር ሀ ልንከፋፍል እንችላለን፣ በውጤቱም የተቀነሰውን ኳድራቲክ እኩልታ እናገኛለን።
• አሁን አንድ ሙሉ ካሬ ይምረጡበግራ በኩል፡. ከዚያ በኋላ, እኩልታው ቅጹን ይወስዳል.
• በዚህ ደረጃ, ያለፉትን ሁለት ቃላት ወደ ቀኝ በኩል በተቃራኒው ምልክት ማዛወር ይቻላል, እኛ አለን.
• እና ደግሞ በቀኝ በኩል ያለውን አገላለጽ እንለውጠው፡.

በውጤቱም, ወደ እኩልታው ላይ ደርሰናል, እሱም ከዋናው ኳድራቲክ እኩልታ ax 2 +b·x+c=0 ጋር እኩል ነው.

እኛ ስንመረምር በቀደሙት አንቀጾች ውስጥ ተመሳሳይ እኩልታዎችን አስቀድመን ፈትተናል። ይህ የእኩልቱን ሥሮች በተመለከተ የሚከተሉትን ድምዳሜዎች እንድንሰጥ ያስችለናል-

• ከሆነ ፣ ከዚያ እኩልታ ትክክለኛ መፍትሄዎች የሉትም።
• ከሆነ, ከዚያም እኩልታው ቅጹ አለው, ስለዚህም, ከሥሩ ብቻ የሚታየው;
• ከሆነ ፣ ከዚያ ወይም ፣ እሱ ከ ጋር ተመሳሳይ ነው ፣ ማለትም ፣ እኩልታው ሁለት ሥሮች አሉት።

ስለዚህ, የእኩልታው ሥሮች መገኘት ወይም አለመገኘት, እና ስለዚህ ዋናው ኳድራቲክ እኩልታ, በቀኝ በኩል ባለው መግለጫ ምልክት ላይ ይወሰናል. በምላሹ, የዚህ አገላለጽ ምልክት የሚወሰነው በቁጥር ምልክት ነው, ምክንያቱም መለያው 4 a 2 ሁልጊዜ አዎንታዊ ነው, ማለትም, የገለጻው ምልክት b 2 -4 a c. ይህ አገላለጽ b 2 -4 a c ይባላል የኳድራቲክ እኩልታ አድልዎእና በደብዳቤው ምልክት ተደርጎበታል ዲ. ከዚህ በመነሳት የአድሎው ማንነት ግልፅ ነው - በእሴቱ እና በምልክቱ ፣ ኳድራቲክ እኩልታ እውነተኛ ሥሮች አሉት ፣ እና ከሆነ ፣ ቁጥራቸው ምን ያህል ነው - አንድ ወይም ሁለት።

ወደ እኩልታው እንመለሳለን ፣ የአድሎአዊውን ማስታወሻ ተጠቅመን እንደገና እንፃፍ ። እናም እንቋጨዋለን፡-

• ዲ ከሆነ<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• D = 0 ከሆነ, ይህ እኩልታ አንድ ሥር አለው;
• በመጨረሻ፣ D>0 ከሆነ፣ እኩልታው ሁለት ሥሮች አሉት ወይም፣ ይህም በቅጹ ወይም እንደገና ሊጻፍ ይችላል፣ እና ክፍልፋዮቹን ካሰፋና ከቀነስን በኋላ ወደ አንድ የጋራ መለያየት እናገኛለን።

ስለዚህ እኛ የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮቹን ቀመሮችን አገኘን ፣ እነሱ ይመስላሉ ፣ አድልዎ D በቀመር D=b 2 -4 a c ይሰላል።

በእነሱ እርዳታ ፣ በአዎንታዊ አድልዎ ፣ የኳድራቲክ እኩልታ ሁለቱንም እውነተኛ ሥሮች ማስላት ይችላሉ። አድሎአዊው ከዜሮ ጋር እኩል ሲሆን ሁለቱም ቀመሮች ከኳድራቲክ እኩልታ ብቸኛው መፍትሄ ጋር ተመሳሳይ የሆነ የስር እሴት ይሰጣሉ። በአሉታዊ አድሎአዊነት ደግሞ የኳድራቲክ እኩልታ ስር ያለውን ቀመር ለመጠቀም ስንሞክር ከትምህርት ቤት ስርአተ ትምህርት ወሰን በላይ የሚወስደን ስኩዌር ስሩን ከአሉታዊ ቁጥር ማውጣታችን አይቀርም። ከአሉታዊ አድሎአዊ ጋር፣ ኳድራቲክ እኩልታ ምንም እውነተኛ ሥሮች የሉትም፣ ግን ጥንድ አለው። ውስብስብ conjugateያገኘነውን ተመሳሳይ ሥር ቀመሮችን በመጠቀም ሊገኙ የሚችሉ ሥሮች.

የስር ቀመሮችን በመጠቀም ኳድራቲክ እኩልታዎችን ለመፍታት አልጎሪዝም

በተግባር ፣ ባለአራት እኩልታ ሲፈቱ ፣ እሴቶቻቸውን ለማስላት የስር ቀመሩን ወዲያውኑ መጠቀም ይችላሉ። ነገር ግን ይህ ውስብስብ ሥሮችን ስለማግኘት የበለጠ ነው.

ሆኖም፣ በትምህርት ቤት አልጀብራ ኮርስ፣ ብዙውን ጊዜ የምንናገረው ስለ ውስብስብ ሳይሆን ስለ ኳድራቲክ እኩልታ እውነተኛ ሥሮች ነው። በዚህ ሁኔታ የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮቹን ቀመሮች ከመጠቀምዎ በፊት በመጀመሪያ አድልዎ መፈለግ ጥሩ ነው ፣ አሉታዊ አለመሆኑን ያረጋግጡ (አለበለዚያ ፣ እኩልታው ትክክለኛ ሥሮች የለውም ብለን መደምደም እንችላለን) እና ከዚያ በኋላ። የሥሮቹን እሴቶች አስሉ.

ከላይ ያለው ምክንያት ለመጻፍ ያስችለናል ኳድራቲክ እኩልታን ለመፍታት ስልተ ቀመር. ባለአራት እኩልታ x 2 + b x + c \u003d 0ን ለመፍታት የሚከተሉትን ያስፈልግዎታል

• አድሏዊ ቀመር በመጠቀም D=b 2 -4 a c ዋጋውን ያሰላል;
• አድልዎ አሉታዊ ከሆነ ኳድራቲክ እኩልታ ምንም እውነተኛ ሥሮች የለውም ብሎ መደምደም;
• D=0 ከሆነ ቀመሩን በመጠቀም የእኩልታውን ብቸኛ ስር አስላ።
• አድልዎ አዎንታዊ ከሆነ የስር ቀመሩን በመጠቀም የኳድራቲክ እኩልታ ሁለት እውነተኛ ሥሮችን ያግኙ።

እዚህ ላይ ብቻ እናስተውላለን አድልዎ ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ, ቀመሩን መጠቀምም ይቻላል, ልክ እንደ ተመሳሳይ እሴት ይሰጣል.

ኳድራቲክ እኩልታዎችን ለመፍታት ስልተ ቀመርን ወደ መተግበር ምሳሌዎች መሄድ ትችላለህ።

ባለአራት እኩልታዎችን የመፍታት ምሳሌዎች

የሶስት ኳድራቲክ እኩልታዎች በአዎንታዊ፣ አሉታዊ እና ዜሮ አድሎአዊ መፍትሄዎችን አስቡባቸው። የእነሱን መፍትሄ ከተመለከትን በኋላ በአመሳሳዩ ማንኛውንም ሌላ ባለአራት እኩልታ መፍታት ይቻላል። እንጀምር.

ለምሳሌ.

የእኩልታውን ሥሮች ይፈልጉ x 2 +2 x-6=0 .

መፍትሄ።

በዚህ ሁኔታ, የኳድራቲክ እኩልታዎች የሚከተሉት ጥምርታዎች አሉን: a=1, b=2 እና c=-6 . በአልጎሪዝም መሠረት በመጀመሪያ አድልዎ ማስላት ያስፈልግዎታል ፣ ለዚህም ፣ የተጠቆሙትን a ፣ b እና c ወደ አድልዎ ቀመር እንተካለን ፣ እኛ አለን ። D=b 2 -4 a c=2 2 -4 1 (-6)=4+24=28. ከ 28> 0 ጀምሮ ፣ ማለትም ፣ አድልዎ ከዜሮ ይበልጣል ፣ ኳድራቲክ እኩልታ ሁለት እውነተኛ ሥሮች አሉት። በስሩ ቀመር እንፈልጋቸዋለን ፣ እናገኛቸዋለን ፣ እዚህ በማድረግ የተገኙትን አገላለጾች ቀለል ማድረግ እንችላለን ። የስር ምልክትን መለየትክፍልፋይ መቀነስ ተከትሎ

መልስ፡-

ወደ ቀጣዩ የተለመደ ምሳሌ እንሂድ።

ለምሳሌ.

የኳድራቲክ እኩልታ -4 x 2 +28 x-49=0 ይፍቱ።

መፍትሄ።

አድሎአዊውን በማግኘት እንጀምራለን፡- D=28 2 -4 (-4) (-49)=784-784=0. ስለዚህ፣ ይህ ኳድራቲክ እኩልታ አንድ ሥር አለው፣ እሱም እንደ ሆነ እናገኛለን፣ ማለትም፣

መልስ፡-

x=3.5

የኳድራቲክ እኩልታዎችን ከአሉታዊ አድልዎ ጋር ማጤን ይቀራል።

ለምሳሌ.

ቀመር 5 y 2 +6 y+2=0 ይፍቱ።

መፍትሄ።

የኳድራቲክ እኩልታ ውህዶች እነኚሁና፡ a=5፣ b=6 እና c=2። እነዚህን እሴቶች ወደ አድሎአዊ ቀመር በመተካት እኛ አለን። D=b 2 -4 a c=6 2 -4 5 2=36-40=-4. አድልዎ አሉታዊ ነው, ስለዚህ, ይህ quadratic equation ምንም እውነተኛ ሥሮች የለውም.

ውስብስብ ሥሮችን መግለጽ ካስፈለገዎት ለኳድራቲክ እኩልታ ሥሩ የታወቀውን ቀመር እንጠቀማለን እና እንፈጽማለን ውስብስብ ቁጥሮች ያላቸው ክዋኔዎች:

መልስ፡-

ምንም እውነተኛ ሥሮች የሉም, ውስብስብ ሥሮቹ የሚከተሉት ናቸው.

እንደገና ፣ እኛ የኳድራቲክ እኩልታ አድልዎ አሉታዊ ከሆነ ፣ ትምህርት ቤቱ ብዙውን ጊዜ ወዲያውኑ መልሱን ይጽፋል ፣ በዚህ ውስጥ ምንም እውነተኛ ሥሮች እንደሌሉ ያመለክታሉ ፣ እና ውስብስብ ሥሮች አያገኙም።

የስር ፎርሙላ ለሁለተኛው እኩልነት

የኳድራቲክ እኩልታ ስር ያለው ቀመር፣ D=b 2 -4 ac የበለጠ የታመቀ ቀመር እንድታገኝ የሚያስችልህ ሲሆን ይህም ኳድራቲክ እኩልታዎችን በእኩል መጠን በ x (ወይም በቀላሉ 2 n በሚመስለው ኮፊሸን) ለምሳሌ፣ ወይም 14 ln5=2 7 ln5)። እናውጣት።

ቅጽ a x 2 +2 n x + c=0 ኳድራቲክ እኩልታ መፍታት አለብን እንበል። እኛን በሚያውቀው ቀመር በመጠቀም ሥሩን እንፈልግ። ይህንን ለማድረግ, አድልዎ እናሰላለን D=(2 n) 2 -4 a c=4 n 2 -4 a c=4 (n 2 -a c), እና ከዚያ የስር ቀመሩን እንጠቀማለን-

n 2 -a c የሚለውን አገላለጽ እንደ D 1 አመልክት (አንዳንዴም D "ይገለጻል)።ከዚያም ለግምገማው የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች ቀመር ከሁለተኛው Coefficient 2 n ጋር ቅጹን ይወስዳል። , በ D 1 = n 2 -a c .

ማየት ቀላል ነው D=4·D 1 , ወይም D 1 = D/4 . በሌላ አነጋገር፣ D 1 የአድሎው አራተኛው ክፍል ነው። የ D 1 ምልክት ከ D ምልክት ጋር አንድ አይነት መሆኑን ግልጽ ነው. ያም ማለት ምልክቱ D 1 በተጨማሪም የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች መገኘት ወይም አለመገኘት አመላካች ነው.

ስለዚህ, ከሁለተኛው Coefficient 2 n ጋር የኳድራቲክ እኩልታን ለመፍታት, ያስፈልግዎታል

• አስላ D 1 = n 2 -a·c;
• ዲ 1 ከሆነ<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• D 1 =0 ከሆነ ፣ ከዚያ ቀመሩን በመጠቀም የእኩልታውን ብቸኛ ስር አስላ።
• D 1>0 ከሆነ ቀመሩን በመጠቀም ሁለት እውነተኛ ሥሮችን ያግኙ።

በዚህ አንቀጽ ውስጥ የተገኘውን ሥር ቀመር በመጠቀም የምሳሌውን መፍትሄ አስቡበት.

ለምሳሌ.

የኳድራቲክ እኩልታ 5 x 2 -6 x−32=0 ን ፍታ።

መፍትሄ።

የዚህ እኩልታ ሁለተኛ መጠን 2· (-3) ሆኖ ሊወከል ይችላል። ማለትም ዋናውን ኳድራቲክ እኩልታ በቅጹ 5 x 2 +2 (-3) x−32=0፣ እዚህ a=5፣ n=-3 እና c=-32 እንደገና መፃፍ እና የአራተኛውን ክፍል አስላ። አድሎአዊ፡ D 1 = n 2 -a c=(-3) 2 -5 (-32)=9+160=169. እሴቱ አዎንታዊ ስለሆነ, እኩልታው ሁለት እውነተኛ ሥሮች አሉት. ተጓዳኝ የስር ቀመር በመጠቀም እናገኛቸዋለን፡-

ለኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች የተለመደው ቀመር መጠቀም ይቻል እንደነበር ልብ ይበሉ, ነገር ግን በዚህ ሁኔታ, ተጨማሪ የስሌት ስራዎች መከናወን አለባቸው.

መልስ፡-

የኳድራቲክ እኩልታዎች ቅርፅን ማቃለል

አንዳንድ ጊዜ፣ ቀመሮችን በመጠቀም የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮቹን ስሌት ከመጀመራችን በፊት፣ “የዚህን እኩልታ መልክ ማቃለል ይቻላልን?” የሚለውን ጥያቄ መጠየቁ አይከፋም። ከስሌቶች አንፃር ኳድራቲክ እኩልታ 11 x 2 -4 x -6=0 ከ 1100 x 2 -400 x-600=0 መፍታት ቀላል እንደሚሆን ይስማሙ።

ብዙውን ጊዜ የኳድራቲክ እኩልታ ቅርፅን ማቃለል የሚገኘው ሁለቱንም ጎኖቹን በተወሰነ ቁጥር በማባዛት ወይም በማካፈል ነው። ለምሳሌ, በቀደመው አንቀፅ ውስጥ, ሁለቱንም ወገኖች በ 100 በማካፈል የ 1100 x 2 -400 x -600 = 0 እኩልታ ቀለል ለማድረግ ችለናል.

ተመሳሳይ ለውጥ በኳድራቲክ እኩልታዎች ይከናወናል, የእነሱ ጥምርታዎች አይደሉም . በዚህ ሁኔታ ፣ የሁለቱም እኩልታ ክፍሎች ብዙውን ጊዜ በፍፁም እሴቶች የተከፋፈሉ ናቸው። ለምሳሌ፣ ኳድራቲክ እኩልታ 12 x 2 -42 x+48=0 እንውሰድ። የቁጥር ፍፁም እሴቶች፡ gcd (12፣ 42፣ 48)= gcd(gcd(12፣ 42)፣ 48)= gcd(6፣ 48)=6። የመጀመሪያውን ኳድራቲክ እኩልታ ሁለቱንም ክፍሎች በ 6 በማካፈል፣ ወደ ተመጣጣኝ ኳድራቲክ እኩልታ 2 x 2 -7 x+8=0 ደርሰናል።

እና የኳድራቲክ እኩልታ የሁለቱም ክፍሎች ማባዛት ብዙውን ጊዜ ክፍልፋዮችን ለማስወገድ ይከናወናል። በዚህ ሁኔታ, ማባዛቱ የሚካሄደው በእራሱ ቅንጅቶች ላይ ነው. ለምሳሌ፣ የኳድራቲክ እኩልታ ሁለቱም ክፍሎች በኤልሲኤም (6፣ 3፣ 1)=6 ቢባዙ፣ ከዚያ ቀለል ያለ ቅጽ x 2 +4 x−18=0 ይወስዳል።

በዚህ አንቀጽ ማጠቃለያ፣ ሁልጊዜ ማለት ይቻላል ሁሉንም የቃላቶች ምልክቶች በመቀየር የኳድራቲክ እኩልታ ከፍተኛውን መጠን መቀነስን እናስተውላለን ፣ ይህም ሁለቱንም ክፍሎች በ -1 ማባዛት (ወይም መከፋፈል)። ለምሳሌ, ብዙውን ጊዜ ከኳድራቲክ እኩልታ -2 · x 2 -3 · x+7 = 0 ወደ መፍትሄው ይሂዱ 2 · x 2 +3 · x-7 = 0.

የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች እና ጥምርታዎች ግንኙነት

የኳድራቲክ እኩልታ ሥረ ቀመሮች የአንድን እኩልታ ሥረ-ሥርዓት የሚገልፀው ከቁጥር አንፃር ነው። በሥሮቹ ቀመር ላይ በመመስረት, በስሮች እና በቁጥር መካከል ያሉ ሌሎች ግንኙነቶችን ማግኘት ይችላሉ.

ከቅጹ እና ከቪዬታ ቲዎሬም በጣም የታወቁ እና ተግባራዊ ቀመሮች። በተለይም ለተሰጠው ኳድራቲክ እኩልታ, የሥሮቹ ድምር ከሁለተኛው ተቃራኒ ምልክት ጋር እኩል ነው, እና የሥሮቹ ምርት የነፃ ቃል ነው. ለምሳሌ ፣ በአራትዮሽ ቀመር 3 x 2 -7 x+22=0 ፣ ወዲያውኑ የሥሩ ድምር 7/3 ነው ፣ እና የሥሩ ምርት 22/3 ነው ማለት እንችላለን።

ቀደም ሲል የተፃፉትን ቀመሮች በመጠቀም፣ በኳድራቲክ እኩልታ ስሮች እና ቅንጅቶች መካከል ሌሎች በርካታ ግንኙነቶችን ማግኘት ይችላሉ። ለምሳሌ፣ የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮቹን የካሬዎች ድምር ከቁጥር አንፃር መግለጽ ይችላሉ።

መጽሃፍ ቅዱስ።

• አልጀብራ፡የመማሪያ መጽሐፍ ለ 8 ሴሎች. አጠቃላይ ትምህርት ተቋማት / [ዩ. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; እትም። ኤስ.ኤ. ቴላኮቭስኪ. - 16 ኛ እትም. - M.: ትምህርት, 2008. - 271 p. የታመመ. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• ሞርዶኮቪች ኤ.ጂ.አልጀብራ 8ኛ ክፍል. በ 2 pm ክፍል 1. ለትምህርት ተቋማት ተማሪዎች የመማሪያ መጽሐፍ / A.G. Mordkovich. - 11 ኛ እትም, ተሰርዟል. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: የታመመ. ISBN 978-5-346-01155-2.

ኳድራቲክ እኩልታዎች በ 8 ኛ ክፍል ይማራሉ, ስለዚህ እዚህ ምንም የተወሳሰበ ነገር የለም. እነሱን የመፍታት ችሎታ አስፈላጊ ነው.

ኳድራቲክ እኩልታ የቅርጽ መጥረቢያ 2 + bx + c = 0 እኩልታ ሲሆን እነዚህም አሃዞች a, b እና c የዘፈቀደ ቁጥሮች ናቸው እና ≠ 0።

የተወሰኑ የመፍታት ዘዴዎችን ከማጥናታችን በፊት ፣ ሁሉም ባለአራት እኩልታዎች በሦስት ክፍሎች ሊከፈሉ እንደሚችሉ እናስተውላለን-

1. ሥር አይኑር;
2. በትክክል አንድ ሥር አላቸው;
3. ሁለት የተለያዩ ሥሮች አሏቸው.

ይህ በኳድራቲክ እና በመስመራዊ እኩልታዎች መካከል ያለው አስፈላጊ ልዩነት ነው፣ ስሩ ሁል ጊዜ የሚኖር እና ልዩ ነው። አንድ እኩልታ ስንት ሥሮች እንዳሉት እንዴት ማወቅ ይቻላል? ለዚህ አስደናቂ ነገር አለ - አድሎአዊ.

አድሎአዊ

የኳድራቲክ እኩልታ መጥረቢያ 2 + bx + c = 0 ይስጥ ከዚያም አድልዎ በቀላሉ ቁጥር D = b 2 - 4ac ነው.

ይህ ቀመር በልብ መታወቅ አለበት. ከየት እንደመጣ አሁን አስፈላጊ አይደለም. ሌላው አስፈላጊ ነገር: በአድሎአዊው ምልክት, ኳድራቲክ እኩልታ ምን ያህል ሥሮች እንዳሉት ማወቅ ይችላሉ. ይኸውም፡-

1. ዲ ከሆነ< 0, корней нет;
2. D = 0 ከሆነ, በትክክል አንድ ሥር አለ;
3. D> 0 ከሆነ, ሁለት ሥሮች ይኖራሉ.

እባክዎን ያስተውሉ: አድልዎ የሚያመለክተው የሥሮቹን ቁጥር ነው, እና ምልክቶቻቸውን በጭራሽ አይደለም, በሆነ ምክንያት ብዙ ሰዎች እንደሚያስቡት. ምሳሌዎችን ተመልከት እና ሁሉንም ነገር ራስህ ትረዳለህ፡-

ተግባር። ኳድራቲክ እኩልታዎች ስንት ሥሮች አሏቸው፡-

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0

ለመጀመሪያው እኩልዮሽ (coefficients) እንጽፋለን እና አድልዎ እናገኛለን፡-
a = 1, b = -8, c = 12;
መ = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

ስለዚህ, አድልዎ አዎንታዊ ነው, ስለዚህ እኩልታው ሁለት የተለያዩ ሥሮች አሉት. ሁለተኛውን እኩልታ በተመሳሳይ መንገድ እንመረምራለን-
ሀ = 5; ለ = 3; ሐ = 7;
መ \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

አድልዎ አሉታዊ ነው, ምንም ሥሮች የሉም. የመጨረሻው እኩልታ ይቀራል፡-
ሀ = 1; ለ = -6; ሐ = 9;
D = (-6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

አድልዎ ከዜሮ ጋር እኩል ነው - ሥሩ አንድ ይሆናል.

ለእያንዳንዱ እኩልዮሽ ቅንጅቶች እንደተፃፉ ልብ ይበሉ። አዎ ረጅም ነው፣ አዎ፣ አሰልቺ ነው - ግን ዕድሎችን አትቀላቅሉ እና ደደብ ስህተቶችን አትስሩ። ለራስዎ ይምረጡ: ፍጥነት ወይም ጥራት.

በነገራችን ላይ "እጅዎን ከሞሉ" ከጥቂት ጊዜ በኋላ ሁሉንም የቁጥር መለኪያዎችን መጻፍ አያስፈልግዎትም. በጭንቅላታችሁ ውስጥ እንደዚህ አይነት ስራዎችን ታከናውናላችሁ. ብዙ ሰዎች ይህንን ከ50-70 ከተፈቱ እኩልታዎች በኋላ የሆነ ቦታ ማድረግ ይጀምራሉ - በአጠቃላይ ፣ ብዙ አይደሉም።

የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች

አሁን ወደ መፍትሄው እንሂድ። አድሎአዊው D > 0 ከሆነ ሥሮቹ ቀመሮቹን በመጠቀም ሊገኙ ይችላሉ፡-

የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች መሠረታዊ ቀመር

መቼ D = 0, ከእነዚህ ቀመሮች ውስጥ አንዱን መጠቀም ይችላሉ - ተመሳሳይ ቁጥር ያገኛሉ, ይህም መልሱ ይሆናል. በመጨረሻም ዲ< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

የመጀመሪያ እኩልታ፡-
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; ሐ = -3;
D = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16.

D > 0 ⇒ እኩልታው ሁለት ሥሮች አሉት። እናገኛቸው፡-

ሁለተኛ እኩልታ፡-
15 - 2x - x 2 = 0 ⇒ a = -1; b = -2; ሐ = 15;
D = (-2) 2 - 4 (-1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ እኩልታው እንደገና ሁለት ሥሮች አሉት። እናገኛቸው

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \ግራ(-1 \ቀኝ))=-5; \\ & (((x)__(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \ግራ(-1 \ቀኝ))=3. \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

በመጨረሻ፣ ሦስተኛው እኩልታ፡-
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; ለ = 12; ሐ = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ እኩልታው አንድ ሥር አለው። ማንኛውንም ቀመር መጠቀም ይቻላል. ለምሳሌ የመጀመሪያው፡-

ከምሳሌዎቹ ማየት እንደምትችለው, ሁሉም ነገር በጣም ቀላል ነው. ቀመሮቹን ካወቁ እና መቁጠር ከቻሉ ምንም ችግሮች አይኖሩም. ብዙውን ጊዜ ስህተቶች የሚከሰቱት አሉታዊ ቅንጅቶች በቀመሩ ውስጥ ሲተኩ ነው። እዚህ, እንደገና, ከላይ የተገለጸው ዘዴ ይረዳል: ቀመሩን በጥሬው ይመልከቱ, እያንዳንዱን ደረጃ ይሳሉ - እና ስህተቶችን በቅርቡ ያስወግዱ.

ያልተሟሉ ባለአራት እኩልታዎች

የኳድራቲክ እኩልታ በትርጉሙ ውስጥ ከተጠቀሰው በተወሰነ ደረጃ የተለየ ሆኖ ይከሰታል። ለምሳሌ:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 - 16 = 0.

በእነዚህ እኩልታዎች ውስጥ ከቃላቶቹ ውስጥ አንዱ እንደጎደለ ለማየት ቀላል ነው። እንደነዚህ ያሉት ባለአራት እኩልታዎች ከመደበኛዎቹ ይልቅ ለመፍታት ቀላል ናቸው፡ አድልዎ ማስላት እንኳን አያስፈልጋቸውም። ስለዚህ አዲስ ጽንሰ-ሐሳብ እናስተዋውቅ፡-

እኩልዮሽ መጥረቢያ 2 + bx + c = 0 ያልተሟላ ኳድራቲክ እኩልታ ይባላል b = 0 ወይም c = 0, i.e. የተለዋዋጭ x ወይም የነጻው ንጥረ ነገር ጥምርታ ከዜሮ ጋር እኩል ነው።

እርግጥ ነው, እነዚህ ሁለቱም ጥምርታዎች ከዜሮ ጋር እኩል ሲሆኑ በጣም አስቸጋሪ ጉዳይ ይቻላል: b \u003d c\u003d 0. በዚህ ሁኔታ, እኩልታው ቅጹን መጥረቢያ 2 \u003d 0 ይወስዳል. ግልጽ ነው, እንዲህ ዓይነቱ እኩልታ አንድ ነጠላ አለው. ሥር፡ x \u003d 0.

ሌሎች ጉዳዮችን እንመልከት። ለ b \u003d 0 ፣ ከዚያ ቅጽ 2 + c \u003d 0 ያልተሟላ ኳድራቲክ እኩልታ እናገኛለን። በጥቂቱ እንለውጠው፡-

የሒሳብ ስኩዌር ሥሩ ከአሉታዊ ካልሆኑ ቁጥሮች ብቻ ስለሚገኝ፣ የመጨረሻው እኩልነት ትርጉም ያለው የሚሆነው (-ሐ / ሀ) ≥ 0. ማጠቃለያ፡-

1. የቅርጽ መጥረቢያ 2 + c = 0 ያልተሟላ አራት ማዕዘን እኩልታ እኩልነትን ካሟላ (-c / a) ≥ 0, ሁለት ሥሮች ይኖራሉ. ቀመሩ ከላይ ተሰጥቷል;
2. ከሆነ (-ሲ / ሀ)< 0, корней нет.

እንደሚመለከቱት ፣ አድልዎ አያስፈልግም - ባልተሟሉ ኳድራቲክ እኩልታዎች ውስጥ ምንም ውስብስብ ስሌቶች የሉም። እንደ እውነቱ ከሆነ, እኩልነትን ለማስታወስ እንኳን አስፈላጊ አይደለም (-c / a) ≥ 0. የ x 2 ዋጋን መግለጽ እና በእኩል ምልክት በሌላኛው በኩል ያለውን ነገር ማየት በቂ ነው. አዎንታዊ ቁጥር ካለ, ሁለት ሥሮች ይኖራሉ. አሉታዊ ከሆነ, ምንም ሥሮች አይኖሩም.

አሁን የነጻው አካል ከዜሮ ጋር እኩል የሆነበት የቅጹን ax 2 + bx = 0 እኩልታዎች እንይ። እዚህ ሁሉም ነገር ቀላል ነው: ሁልጊዜም ሁለት ሥሮች ይኖራሉ. ፖሊኖሚል ማባዛት በቂ ነው-

የጋራውን ሁኔታ ከቅንፉ ውስጥ ማውጣት

ቢያንስ አንዱ ምክንያቶች ከዜሮ ጋር እኩል ሲሆኑ ምርቱ ከዜሮ ጋር እኩል ነው. ሥሮቹ የሚመጡት ከዚህ ነው። በማጠቃለያው ፣ ከእነዚህ እኩልታዎች ውስጥ የተወሰኑትን እንመረምራለን-

ተግባር። ባለአራት እኩልታዎችን ይፍቱ፡

1. x2 - 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = -(-7)/1 = 7።

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. ምንም ሥሮች የሉም, ምክንያቱም ካሬው ከአሉታዊ ቁጥር ጋር እኩል ሊሆን አይችልም.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 \u003d -1.5.

የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች ቀመሮች። የእውነተኛ, በርካታ እና ውስብስብ ስሮች ጉዳዮች ግምት ውስጥ ይገባሉ. የካሬ ትሪኖሚል ፋክተርነት። የጂኦሜትሪክ ትርጉም. ሥሮችን እና ፋክተሮችን የመወሰን ምሳሌዎች።

መሰረታዊ ቀመሮች

የኳድራቲክ እኩልታውን አስቡበት፡-
(1) .
የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች(1) በቀመርዎቹ ይወሰናሉ፡-
; .
እነዚህ ቀመሮች እንደሚከተለው ሊጣመሩ ይችላሉ-
.
የኳድራቲክ እኩልታ ሥሩ በሚታወቅበት ጊዜ የሁለተኛው ዲግሪ ፖሊኖሚል እንደ የምክንያቶች ውጤት ሊወከል ይችላል (የተመረተ)
.

በተጨማሪም ፣ እውነተኛ ቁጥሮች እንደሆኑ እንገምታለን።
አስቡበት የኳድራቲክ እኩልታ አድልዎ:
.
አድሎአዊው አዎንታዊ ከሆነ፣ ኳድራቲክ እኩልታ (1) ሁለት የተለያዩ እውነተኛ ሥሮች አሉት።
; .
ከዚያ የካሬው ትሪኖሚል ማባዛት ቅጹ አለው-
.
አድሎአዊው ዜሮ ከሆነ፣ ኳድራቲክ እኩልታ (1) ሁለት ባለብዙ (እኩል) እውነተኛ ሥሮች አሉት።
.
ማምረቻ
.
አድሎአዊው አሉታዊ ከሆነ፣ ኳድራቲክ እኩልታ (1) ሁለት የተወሳሰቡ የተዋሃዱ ስሮች አሉት።
;
.
እዚህ ምናባዊ ክፍል ነው;
እና የሥሮቹ እውነተኛ እና ምናባዊ ክፍሎች ናቸው፡-
; .
ከዚያም

.

ግራፊክ ትርጓሜ

ተግባሩን ግራፍ ካደረግን
,
ፓራቦላ ነው ፣ ከዚያ የግራፉ መገናኛ ከዘንጉ ጋር ያሉት ነጥቦች የእኩልታው ሥሮች ይሆናሉ።
.
መቼ , ግራፉ የ abscissa ዘንግ (ዘንግ) በሁለት ነጥብ ያቋርጣል.
መቼ , ግራፉ በአንድ ነጥብ ላይ የ x-ዘንግ ይነካዋል.
መቼ , ግራፉ የ x-ዘንግ አያልፍም.

ከታች እንደዚህ ያሉ ግራፎች ምሳሌዎች ናቸው.

ከኳድራቲክ እኩልታ ጋር የሚዛመዱ ጠቃሚ ቀመሮች

(ረ.1) ;
(ረ.2) ;
(ረ.3) .

የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች ቀመር ማውጣት

ለውጦችን እናደርጋለን እና ቀመሮችን (f.1) እና (f.3) እንተገብራለን፡




,
የት
; .

ስለዚህ ፣ ለሁለተኛ ዲግሪ ፖሊኖሚል ቀመር በቅጹ አገኘን-
.
ከዚህ በመነሳት እኩልታውን ማየት ይቻላል

የተከናወነው በ
እና.
ያም ማለት እና የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች ናቸው
.

የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮችን የመወሰን ምሳሌዎች

ምሳሌ 1

(1.1) .

መፍትሄ

.
ከኛ እኩልታ (1.1) ጋር በማነጻጸር የቁጥር እሴቶችን እናገኛለን፡-
.
አድሎአዊነትን መፈለግ;
.
አድሎአዊው አዎንታዊ ስለሆነ፣ እኩልታው ሁለት እውነተኛ ሥሮች አሉት።
;
;
.

የካሬ ትሪኖሚል መበስበስን ከዚህ ወደ ምክንያቶች እናገኛለን-

.

የተግባሩ ግራፍ y = 2 x 2 + 7 x + 3የ x-ዘንግ በሁለት ነጥቦች ይሻገራል.

ተግባሩን እናስቀድመው
.
የዚህ ተግባር ግራፍ ፓራቦላ ነው. የ x-ዘንግ (ዘንግ) በሁለት ነጥብ ይሻገራል፡-
እና.
እነዚህ ነጥቦች የዋናው እኩልታ (1.1) ሥሮች ናቸው።

መልስ

;
;
.

ምሳሌ 2

የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮችን ያግኙ፡-
(2.1) .

መፍትሄ

የኳድራቲክ እኩልታውን በአጠቃላይ መልክ እንጽፋለን፡-
.
ከዋናው እኩልታ (2.1) ጋር በማነፃፀር የቁጥር እሴቶችን እናገኛለን-
.
አድሎአዊነትን መፈለግ;
.
አድሏዊው ዜሮ ስለሆነ፣ እኩልታው ሁለት በርካታ (እኩል) ሥሮች አሉት።
;
.

ከዚያ የሶስትዮሽ ፋሲሊቲው ቅርፅ አለው-
.

የተግባሩ ግራፍ y = x 2 - 4 x + 4በአንድ ነጥብ ላይ የ x-ዘንግ ነካ.

ተግባሩን እናስቀድመው
.
የዚህ ተግባር ግራፍ ፓራቦላ ነው. በአንድ ነጥብ ላይ የ x-ዘንግ (ዘንግ) ይነካል፡-
.
ይህ ነጥብ የዋናው እኩልታ ሥር ነው (2.1)። ይህ ሥር ሁለት ጊዜ የተከፈለ ስለሆነ፡-
,
ከዚያም እንዲህ ዓይነቱ ሥር ብዙ ይባላል. ማለትም ፣ ሁለት እኩል ሥሮች እንዳሉ ይገነዘባሉ።
.

መልስ

;
.

ምሳሌ 3

የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮችን ያግኙ፡-
(3.1) .

መፍትሄ

የኳድራቲክ እኩልታውን በአጠቃላይ መልክ እንጽፋለን፡-
(1) .
የመጀመሪያውን እኩልታ (3.1) እንደገና እንፃፍ፡-
.
ከ (1) ጋር በማነፃፀር የቁጥር እሴቶችን እናገኛለን-
.
አድሎአዊነትን መፈለግ;
.
አድልዎ አሉታዊ ነው,. ስለዚህ, ምንም እውነተኛ ሥሮች የሉም.

ውስብስብ ሥሮችን ማግኘት ይችላሉ-
;
;
.

ከዚያም


.

የተግባሩ ግራፍ የ x-ዘንግ አያልፍም. ምንም እውነተኛ ሥሮች የሉም.

ተግባሩን እናስቀድመው
.
የዚህ ተግባር ግራፍ ፓራቦላ ነው. አቢሲሳ (ዘንግ) አያልፍም። ስለዚህ, ምንም እውነተኛ ሥሮች የሉም.

መልስ

ምንም እውነተኛ ሥሮች የሉም. ውስብስብ ሥሮች;
;
;
.

በዚህ የሂሳብ ፕሮግራም ማድረግ ይችላሉ ኳድራቲክ እኩልታ መፍታት.

ፕሮግራሙ ለችግሩ መልስ ብቻ ሳይሆን የመፍትሄውን ሂደት በሁለት መንገዶች ያሳያል.
- አድልዎ በመጠቀም
- የ Vieta theorem (ከተቻለ) በመጠቀም.

ከዚህም በላይ መልሱ በትክክል የሚታየው እንጂ ግምታዊ አይደለም።
ለምሳሌ፣ ለሒሳብ \(81x^2-16x-1=0\)፣ መልሱ በዚህ ቅጽ ይታያል፡-

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81)፣ \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ ከዚህ ይልቅ፡ \(x_1 = 0.247; \) ኳድ x_2 = -0.05 \)

ይህ ፕሮግራም ለሁለተኛ ደረጃ ተማሪዎች ለፈተናዎች እና ለፈተናዎች በሚዘጋጁበት ጊዜ, ከተዋሃደ የስቴት ፈተና በፊት ዕውቀትን በሚፈትኑበት ጊዜ, ወላጆች በሂሳብ እና በአልጀብራ ውስጥ ያሉ ብዙ ችግሮችን ለመፍታት ይቆጣጠራሉ. ወይም ሞግዚት መቅጠር ወይም አዲስ የመማሪያ መጽሐፍ መግዛት ለእርስዎ በጣም ውድ ሊሆን ይችላል? ወይም የእርስዎን የሂሳብ ወይም የአልጀብራ የቤት ስራ በተቻለ ፍጥነት ማከናወን ይፈልጋሉ? በዚህ አጋጣሚ ፕሮግራሞቻችንን ከዝርዝር መፍትሄ ጋር መጠቀም ይችላሉ.

በዚህ መንገድ የእራስዎን ስልጠና እና/ወይም ታናናሽ ወንድሞችዎን ወይም እህቶቻችሁን ማሰልጠን ትችላላችሁ, በሚፈታበት የስራ መስክ የትምህርት ደረጃ ሲጨምር.

ወደ ካሬ ፖሊኖሚል ለመግባት ደንቦችን ካላወቁ እራስዎን በደንብ እንዲያውቁዋቸው እንመክራለን.

ወደ ካሬ ፖሊኖሚል ለመግባት ህጎች

ማንኛውም የላቲን ፊደል እንደ ተለዋዋጭ ሊሠራ ይችላል.
ለምሳሌ፡- \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) ወዘተ.

ቁጥሮች እንደ ኢንቲጀር ወይም ክፍልፋዮች ሊገቡ ይችላሉ።
ከዚህም በላይ ክፍልፋይ ቁጥሮች በአስርዮሽ መልክ ብቻ ሳይሆን በተለመደው ክፍልፋይ መልክም ሊገቡ ይችላሉ.

የአስርዮሽ ክፍልፋዮችን ለማስገባት ህጎች።
በአስርዮሽ ክፍልፋዮች፣ ክፍልፋይ ክፍሉ ከኢንቲጀር በነጥብ ወይም በነጠላ ሰረዞች ሊለያይ ይችላል።
ለምሳሌ፣ እንደዚህ አይነት አስርዮሽዎችን ማስገባት ትችላለህ፡ 2.5x - 3.5x^2

ተራ ክፍልፋዮችን ለማስገባት ደንቦች.
ሙሉ ቁጥር ብቻ የአንድ ክፍልፋይ አሃዛዊ፣ አካፋይ እና ኢንቲጀር ክፍል ሆኖ መስራት ይችላል።

መለያው አሉታዊ ሊሆን አይችልም።

የቁጥር ክፍልፋይን በሚያስገቡበት ጊዜ አሃዛዊው ከመለያው በክፍል ምልክት ይለያል፡- /
የኢንቲጀር ክፍሉ ከአምፐርሳንድ ክፍልፋዩ ተለይቷል፡- &
ግቤት፡ 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
ውጤት፡ \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

መግለጫ ሲያስገቡ ቅንፎችን መጠቀም ይችላሉ. በዚህ ሁኔታ, አራት ማዕዘን ቅርጾችን በሚፈታበት ጊዜ, የተዋወቀው አገላለጽ በመጀመሪያ ቀለል ይላል.
ለምሳሌ፡- 1/2(y-1)(y+1)-(5ይ-10&1/2)

=0

ፍታ

ይህንን ተግባር ለመፍታት የሚያስፈልጉ አንዳንድ ስክሪፕቶች እንዳልጫኑ ታውቋል፣ እና ፕሮግራሙ ላይሰራ ይችላል።
AdBlock የነቃ ሊሆን ይችላል።
በዚህ አጋጣሚ ያሰናክሉት እና ገጹን ያድሱት።

በአሳሽዎ ውስጥ ጃቫ ስክሪፕት ተሰናክለዋል።
መፍትሄው እንዲታይ ጃቫስክሪፕት መንቃት አለበት።
በአሳሽዎ ውስጥ ጃቫ ስክሪፕትን እንዴት ማንቃት እንደሚችሉ መመሪያዎች እዚህ አሉ።

ምክንያቱም ችግሩን ለመፍታት የሚፈልጉ ብዙ ሰዎች አሉ, ጥያቄዎ ወረፋ ነው.
ከጥቂት ሰከንዶች በኋላ, መፍትሄው ከታች ይታያል.
እባክዎ ይጠብቁ ሰከንድ...

አንተ በመፍትሔው ላይ ስህተት አስተውሏል, ከዚያ ስለ እሱ በግብረመልስ ቅጽ ውስጥ መጻፍ ይችላሉ.
እባክህን እንዳትረሳው የትኛውን ተግባር ያመልክቱአንተ ምን ትወስናለህ ወደ ሜዳዎች ግባ.

የእኛ ጨዋታዎች፣ እንቆቅልሾች፣ አስመሳይዎች፡-

የንድፈ ሀሳብ ትንሽ።

ኳድራቲክ እኩልታ እና ሥሮቹ። ያልተሟሉ ባለአራት እኩልታዎች

እያንዳንዳቸው እኩልታዎች
\(-x^2+6x+1,4=0፣ \quad 8x^2-7x=0፣ \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
መልክ አለው።
\(ax^2+bx+c=0፣ \)
x ተለዋዋጭ ሲሆን, a, b እና c ቁጥሮች ናቸው.
በመጀመሪያው እኩልታ a = -1, b = 6 እና c = 1.4, በሁለተኛው a = 8, b = -7 እና c = 0, በሦስተኛው a = 1, b = 0 እና c = 4/9. እንደዚህ ያሉ እኩልታዎች ይባላሉ ኳድራቲክ እኩልታዎች.

ፍቺ
ኳድራቲክ እኩልታየቅርጽ አክስ 2 +bx+c=0 ተጠርቷል፣ x ተለዋዋጭ፣ a፣ b እና c አንዳንድ ቁጥሮች ሲሆኑ \(a \neq 0 \) ናቸው።

ቁጥሮች a, b እና c የኳድራቲክ እኩልታዎች ቅንጅቶች ናቸው. ቁጥሩ a የመጀመሪያው ኮፊሸን ይባላል፣ ቁጥሩ b ሁለተኛው ኮፊሸን ነው እና ቁጥሩ ሐ መጥለፍ ነው።

በእያንዳንዱ የቅርጽ አክስ 2 +bx+c=0 እኩልታዎች ውስጥ \(a \neq 0 \) ፣ የተለዋዋጭ x ትልቁ ኃይል ካሬ ነው። ስለዚህም ስሙ፡- quadratic equation.

የግራ ጎኑ የሁለተኛ ዲግሪ ፖሊኖሚል ስለሆነ ኳድራቲክ እኩልታ የሁለተኛ ዲግሪ እኩልታ ተብሎም ይጠራል።

በ x 2 ያለው ጥምርታ 1 የሚጠራበት ኳድራቲክ እኩልታ የቀነሰ ኳድራቲክ እኩልታ. ለምሳሌ, የተሰጡት ኳድራቲክ እኩልታዎች እኩልታዎች ናቸው
\(x^2-11x+30=0፣ \quad x^2-6x=0፣ \quad x^2-8=0 \)

በኳድራቲክ እኩልዮሽ ax 2 +bx+c=0 ቢያንስ አንዱ የቢ ወይም ሐ ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ፣ እንዲህ ያለው እኩልታ ይባላል። ያልተሟላ ኳድራቲክ እኩልታ. ስለዚህ፣ እኩልታዎቹ -2x 2 +7=0፣ 3x 2 -10x=0፣ -4x 2 =0 ያልተሟሉ ኳድራቲክ እኩልታዎች ናቸው። በመጀመሪያዎቹ b=0፣ በሁለተኛው c=0፣ በሦስተኛው b=0 እና c=0።

ያልተሟሉ ኳድራቲክ እኩልታዎች ሶስት ዓይነት ናቸው፡-
1) መጥረቢያ 2 +c=0, የት \(c \neq 0 \);
2) መጥረቢያ 2 +bx=0፣ የት \(b \neq 0 \);
3) ax2=0

የእነዚህን ዓይነቶች የእያንዳንዳቸውን እኩልታዎች መፍትሄ ግምት ውስጥ ያስገቡ.

ለ \(c \neq 0 \) ቅጽ 2 +c=0 ያልተሟላ አራት ማዕዘን እኩልታ ለመፍታት ነፃ ቃሉ ወደ ቀኝ በኩል ተላልፏል እና ሁለቱም የእኩልታው ክፍሎች በ a ይከፈላሉ፡-
\(x^2 = -\frac(c)(a) \ቀኝ ቀስት x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a))) \)

ከ \(c \neq 0 \) ፣ ከዚያ \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

\(-\frac(c)(a)>0 \) ከሆነ ፣እንግዲያው እኩልታ ሁለት ሥሮች አሉት።

\(-\ frac(c)(a) ፎርም ax 2 +bx=0 ለ \(b \neq 0 \) ያልተሟላ ኳድራቲክ እኩልታ ለመፍታት በግራ ጎኑ ከተሰራ እና እኩልታውን ያግኙ።
\(x(ax+b)=0 \ቀኝ ቀስት \ግራ\( \ጀማሪ(ድርድር)(l) x=0 \\ ax+b=0 \መጨረሻ(ድርድር)\ቀኝ\ቀኝ\ቀኝ \ግራ\\(\ጀምር\\ (ድርድር) (l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \መጨረሻ(ድርድር) \ቀኝ \\)

ስለዚህም ቅጽ ax 2 +bx=0 ለ \(b \neq 0 \) ያልተሟላ ኳድራቲክ እኩልታ ሁል ጊዜ ሁለት ሥሮች አሉት።

የቅርጽ መጥረቢያ 2 \u003d 0 ያልተሟላ አራት ማዕዘን እኩልታ ከ x 2 \u003d 0 እኩል ነው እና ስለዚህ አንድ ሥር 0 አለው።

የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች ቀመር

አሁን ሁለቱም የማያውቁት እና የነፃው ቃላቶች ዜሮ ያልሆኑባቸው ባለአራት እኩልታዎች እንዴት እንደሚፈቱ እንመልከት።

የኳድራቲክ እኩልታውን በአጠቃላይ መልክ እንፈታዋለን እናም በዚህ ምክንያት የሥሮቹን ቀመር እናገኛለን. ከዚያ ይህ ቀመር ማንኛውንም ባለአራት እኩልታ ለመፍታት ሊተገበር ይችላል።

የኳድራቲክ እኩልታ መጥረቢያ 2 +bx+c=0 ይፍቱ

ሁለቱንም ክፍሎቹን በ a ስንካፈል፣ የተቀነሰውን ኳድራቲክ እኩልታ እናገኛለን
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

የሁለትዮሽ ካሬውን በማድመቅ ይህንን እኩልታ እንለውጣለን-
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\ግራ(\frac(b)(2a)\ right)^2- \ግራ(\frac(b)(2a)\ right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \ ቀኝ ቀስት \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\ግራ(\frac(b)(2a)\ right)^2 = \ግራ(\frac(b)(2a)\ right)^ 2 - \ frac (c) (a) \ ቀኝ ቀስት \) \ (\ግራ(x+\frac(b)(2a)\ቀኝ)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( ሐ)(a) \ ቀኝ ቀስት \ ግራ(x+\frac(b)(2a)\ቀኝ)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \ቀስት \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2)) \ቀስት x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \ቀስት \) \(x = \frac(-b \pm \sqrt(b^2-4ac))))(2a) \)

የስር አገላለጽ ይባላል የኳድራቲክ እኩልታ አድልዎ ax 2 +bx+c=0 ("አድሎአዊ" በላቲን - መለያ)። እሱም በደብዳቤ D, i.e. ይገለጻል.
(D = b^2-4ac\)

አሁን፣ የአድሎአዊውን ማስታወሻ በመጠቀም፣ የኳድራቲክ እኩልታ ሥር ያለውን ቀመር እንደገና እንጽፋለን።
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D))(2a) \)በየት \(D= b^2-4ac \)

ግልጽ ነው፡-
1) D>0 ከሆነ፣ ኳድራቲክ እኩልታ ሁለት ስሮች አሉት።
2) D=0 ከሆነ፣ ኳድራቲክ እኩልታ አንድ ሥር አለው \(x=-\frac(b)(2a)\)።
3) ዲ ከሆነ፣ እንደ አድሎአዊው ዋጋ፣ ኳድራቲክ እኩልታ ሁለት ሥር (ለ D > 0)፣ አንድ ሥር (ለ D = 0) ወይም ምንም ሥር ሊኖረው ይችላል (ለዲ ይህንን ቀመር በመጠቀም አራት ማዕዘናዊ እኩልታን ሲፈታ። , በሚከተለው መንገድ ማድረግ ተገቢ ነው.
1) አድልዎ አስላ እና ከዜሮ ጋር ማወዳደር;
2) ኣድልዎው ኣወንታዊ ወይ ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ፡ ስርወ ፎርሙላውን ተጠቀም፡ ኣድልዎው አሉታዊ ከሆነ፡ ምንም ስር እንደሌለው ይፃፉ።

የቪዬታ ጽንሰ-ሐሳብ

የተሰጠው ኳድራቲክ እኩልታ መጥረቢያ 2 -7x+10=0 ሥሩ 2 እና 5 ነው። ሥሮቹ ድምር 7 ነው ፣ ምርቱ 10 ነው ። ሥሮቹ ድምር ከሁለተኛው ኮፊሸን ጋር እኩል እንደሆነ እናያለን ። ተቃራኒ ምልክት, እና የሥሮቹ ምርት ከነፃ ቃል ጋር እኩል ነው. ስር ያለው ማንኛውም የተቀነሰ ባለአራት እኩልታ ይህ ንብረት አለው።

የተሰጠው የኳድራቲክ እኩልታ ስሮች ድምር ከሁለተኛው ኮፊሸን ጋር እኩል ነው, በተቃራኒው ምልክት ይወሰዳል, እና የሥሮቹ ምርት ከነጻው ቃል ጋር እኩል ነው.

እነዚያ። የቪዬታ ቲዎረም የተቀነሰው ኳድራቲክ እኩልታ x 1 እና x 2 ሥሮች ንብረታቸው እንዳላቸው ይገልጻል፡-
\(\ግራ\( \ጀማሪ(ድርድር)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \መጨረሻ(ድርድር) \ቀኝ። \)

በዘመናዊው ህብረተሰብ ውስጥ አራት ማዕዘን ቅርጾችን ከያዙ እኩልታዎች ጋር የመስራት ችሎታ በብዙ የእንቅስቃሴ ዘርፎች ጠቃሚ ሊሆን ይችላል እና በሳይንሳዊ እና ቴክኒካዊ እድገቶች ውስጥ በተግባር በሰፊው ጥቅም ላይ ይውላል። ይህ የባህር እና የወንዝ መርከቦች, አውሮፕላኖች እና ሚሳኤሎች ንድፍ በማስረጃነት ማረጋገጥ ይቻላል. በእንደዚህ ዓይነት ስሌቶች እገዛ, የጠፈር ቁሳቁሶችን ጨምሮ የተለያዩ አካላት የእንቅስቃሴ አቅጣጫዎች ይወሰናሉ. ከኳድራቲክ እኩልታዎች መፍትሄ ጋር ምሳሌዎች በኢኮኖሚ ትንበያ ፣ በህንፃዎች ዲዛይን እና ግንባታ ላይ ብቻ ሳይሆን በጣም በተለመደው የዕለት ተዕለት ሁኔታዎች ውስጥም ያገለግላሉ ። በካምፕ ጉዞዎች፣ በስፖርት ዝግጅቶች፣ በመደብሮች ውስጥ ሲገዙ እና በሌሎች በጣም የተለመዱ ሁኔታዎች ሊያስፈልጉ ይችላሉ።

አገላለጹን ወደ አካል ምክንያቶች እንከፋፍል።

የአንድ እኩልነት ደረጃ የሚወሰነው የተሰጠው መግለጫ በያዘው በተለዋዋጭ ከፍተኛው እሴት ነው። ከ 2 ጋር እኩል ከሆነ, እንዲህ ዓይነቱ እኩልታ አራት ማዕዘን (quadratic equation) ይባላል.

በቀመር ቋንቋ የምንናገር ከሆነ እነዚህ አገላለጾች ምንም ቢመስሉ ሁልጊዜም በግራ በኩል ያለው አገላለጽ ሦስት ቃላትን ሲይዝ ወደ ቅጹ ሊቀርቡ ይችላሉ። ከነሱ መካከል፡- መጥረቢያ 2 (ይህም ተለዋዋጭ ስኩዌር ከዋጋው ጋር)፣ bx (ካሬ ከሌለው ኮፊፊሸንት ጋር የማይታወቅ) እና ሐ (ነፃ አካል ማለትም ተራ ቁጥር)። በቀኝ በኩል ያለው ይህ ሁሉ ከ 0 ጋር እኩል ነው ። እንዲህ ዓይነቱ ፖሊኖሚል አንድ አካል ከሌለው ፣ ከመጥረቢያ 2 በስተቀር ፣ እሱ ያልተጠናቀቀ ኳድራቲክ እኩልታ ይባላል። የተለዋዋጮችን ዋጋ ለማግኘት አስቸጋሪ በማይሆንባቸው እንደነዚህ ያሉ ችግሮች መፍትሄ ምሳሌዎች በመጀመሪያ ግምት ውስጥ መግባት አለባቸው.

አገላለጹ በአገላለጹ በቀኝ በኩል ሁለት ቃላት ያሉት የሚመስል ከሆነ፣ ይበልጥ በትክክል መጥረቢያ 2 እና bx፣ ተለዋዋጭውን በቅንፍ በማድረግ x ለማግኘት በጣም ቀላል ነው። አሁን የእኛ እኩልነት ይህን ይመስላል፡ x(ax+b)። በተጨማሪም፣ አንድም x=0፣ ወይም ችግሩ ከሚከተለው አገላለጽ ወደ ተለዋዋጭ ወደመፈለግ መቀነሱ ግልጽ ይሆናል፡ ax+b=0 ይህ የማባዛት ባህሪያት በአንዱ የታዘዘ ነው። ደንቡ የሁለት ምክንያቶች ውጤት 0 የሚያስከትል ከሆነ ከመካከላቸው አንዱ ዜሮ ከሆነ ብቻ ነው.

ለምሳሌ

x=0 ወይም 8x - 3 = 0

በውጤቱም, የእኩልታውን ሁለት ሥሮች እናገኛለን: 0 እና 0.375.

የዚህ ዓይነቱ እኩልታዎች እንደ መነሻ ተደርገው ከተወሰነ ነጥብ መንቀሳቀስ የጀመሩትን በስበት ኃይል ስር ያሉ አካላትን እንቅስቃሴ ሊገልጹ ይችላሉ። እዚህ የሂሳብ አጻጻፍ የሚከተለውን ቅጽ ይይዛል፡ y = v 0 t + gt 2/2. አስፈላጊ የሆኑትን እሴቶች በመተካት, ትክክለኛውን ጎን ከ 0 ጋር በማመሳሰል እና የማይታወቁ ሊሆኑ የሚችሉትን በማግኘት, ሰውነት ከተነሳበት ጊዜ አንስቶ እስከ መውደቅ ድረስ ያለውን ጊዜ እና ሌሎች ብዙ መጠኖችን ማወቅ ይችላሉ. ግን ስለዚህ ጉዳይ በኋላ እንነጋገራለን.

መግለጫ መፍጠር

ከላይ የተገለጸው ደንብ እነዚህን ችግሮች ይበልጥ ውስብስብ በሆኑ ጉዳዮች ላይ ለመፍታት ያስችላል. የዚህ አይነት የኳድራቲክ እኩልታዎች መፍትሄ ጋር ምሳሌዎችን ተመልከት.

X2 - 33x + 200 = 0

ይህ ካሬ ትሪኖሚል ተጠናቅቋል። በመጀመሪያ, አገላለጹን እንለውጣለን እና ወደ ምክንያቶች መበስበስ. ከነሱ ሁለቱ አሉ፡- (x-8) እና (x-25) = 0. በውጤቱም ሁለት ሥር 8 እና 25 አለን።

በ 9 ኛ ክፍል የኳድራቲክ እኩልታዎች መፍትሄ ጋር ምሳሌዎች ይህ ዘዴ በሁለተኛው መግለጫዎች ውስጥ ብቻ ሳይሆን በሦስተኛው እና በአራተኛው ትዕዛዞች ላይ ተለዋዋጭ እንዲያገኝ ያስችለዋል.

ለምሳሌ፡- 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. የቀኝ ጎኑን ከተለዋዋጭ ጋር ወደ ምክንያቶች ሲከፋፈሉ ሦስቱ አሉ ማለትም (x + 1)፣ (x-3) እና (x +)። 3)

በውጤቱም, ይህ እኩልታ ሶስት ሥሮች እንዳሉት ግልጽ ይሆናል: -3; -አንድ; 3.

የካሬውን ሥር ማውጣት

ሌላው ያልተሟላ የሁለተኛ ደረጃ እኩልታ ጉዳይ በፊደላት ቋንቋ የተጻፈ አገላለጽ ነው የቀኝ ጎን ከአክስ 2 እና ሐ ክፍሎች የተገነባ። እዚህ, የተለዋዋጭውን ዋጋ ለማግኘት, ነፃው ቃል ወደ ቀኝ በኩል ይተላለፋል, እና ከዚያ በኋላ, የካሬው ሥር ከሁለቱም የእኩልነት ጎኖች ይወጣል. በዚህ ጉዳይ ላይ ብዙውን ጊዜ የእኩልታው ሁለት ሥሮች እንዳሉ ልብ ሊባል ይገባል. ብቸኛው ልዩነት ሐ የሚለውን ቃል ሙሉ በሙሉ ያልያዘ፣ ተለዋዋጩ ከዜሮ ጋር እኩል የሆነበት፣ እንዲሁም የቀኝ ጎኑ አሉታዊ ሆኖ ሲገኝ የአገላለጾች ልዩነቶች ናቸው። በኋለኛው ሁኔታ, ከላይ የተጠቀሱት ድርጊቶች ከሥሮች ጋር ሊከናወኑ ስለማይችሉ, ምንም መፍትሄዎች የሉም. የዚህ ዓይነቱ አራት ማዕዘን እኩልታዎች መፍትሄዎች ምሳሌዎች ግምት ውስጥ መግባት አለባቸው.

በዚህ ሁኔታ, የእኩልታው ሥሮች ቁጥሮች -4 እና 4 ይሆናሉ.

የመሬቱ ስፋት ስሌት

የዚህ ዓይነቱ ስሌቶች አስፈላጊነት በጥንት ጊዜ ታየ, ምክንያቱም በእነዚያ ሩቅ ጊዜያት የሂሳብ እድገቶች በአብዛኛው የመሬቱን ቦታዎች እና አከባቢዎች በከፍተኛ ትክክለኛነት ለመወሰን ስለሚያስፈልጋቸው ነው.

በእንደነዚህ አይነት ችግሮች ላይ ተመስርቶ የተጠናቀሩ የኳድራቲክ እኩልታዎች መፍትሄ ጋር ምሳሌዎችን መመልከት አለብን.

ስለዚህ, አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው መሬት አለ እንበል, ርዝመቱ ከስፋቱ 16 ሜትር ይበልጣል. የቦታው ስፋት 612 ሜ 2 እንደሆነ ከታወቀ የቦታውን ርዝመት, ስፋት እና ፔሪሜትር ማግኘት አለብዎት.

ወደ ንግድ ስራ ስንወርድ በመጀመሪያ አስፈላጊውን እኩልታ እናደርጋለን. የክፍሉን ስፋት እንደ x እንጥቀስ፣ ከዚያ ርዝመቱ (x + 16) ይሆናል። ከተጻፈው ውስጥ እንደሚከተለው ነው, ቦታው የሚወሰነው በ x (x + 16) አገላለጽ ነው, እንደ ችግራችን ሁኔታ, 612. ይህ ማለት x (x + 16) \u003d 612 ነው.

የተሟላ የኳድራቲክ እኩልታዎች መፍትሄ, እና ይህ አገላለጽ ብቻ ነው, በተመሳሳይ መንገድ ሊከናወን አይችልም. እንዴት? ምንም እንኳን በግራ በኩል አሁንም ሁለት ምክንያቶችን ቢይዝም, ምርታቸው ከ 0 ጋር እኩል አይደለም, ስለዚህ ሌሎች ዘዴዎች እዚህ ጥቅም ላይ ይውላሉ.

አድሎአዊ

በመጀመሪያ ደረጃ, አስፈላጊ ለውጦችን እናደርጋለን, ከዚያም የዚህ አገላለጽ ገጽታ እንደዚህ ይመስላል: x 2 + 16x - 612 = 0. ይህ ማለት ቀደም ሲል ከተጠቀሰው መስፈርት ጋር በሚዛመድ ቅፅ ውስጥ አገላለጽ ተቀብለናል ማለት ነው. a=1፣ b=16፣ c= -612

ይህ ኳድራቲክ እኩልታዎችን በአድልዎ የመፍታት ምሳሌ ሊሆን ይችላል። እዚህ አስፈላጊዎቹ ስሌቶች በእቅዱ መሰረት ይደረጋሉ: D = b 2 - 4ac. ይህ ረዳት እሴት በሁለተኛው-ትዕዛዝ ቀመር ውስጥ የሚፈለጉትን እሴቶችን ለማግኘት ብቻ ሳይሆን ሊሆኑ የሚችሉ አማራጮችን ብዛት ይወስናል። በ D>0 ውስጥ ሁለቱ አሉ; ለ D=0 አንድ ሥር አለ. ጉዳይ ዲ<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

ስለ ሥሮች እና ቀመራቸው

በእኛ ሁኔታ አድሎአዊው፡ 256 - 4(-612) = 2704. ይህ የሚያሳየው ችግራችን መልስ እንዳለው ነው። ካወቁ፣ ለ፣ የአራትዮሽ እኩልታዎች መፍትሄ ከዚህ በታች ያለውን ቀመር በመጠቀም መቀጠል አለበት። ሥሮቹን ለማስላት ያስችልዎታል.

ይህ ማለት በቀረበው ጉዳይ፡- x 1 =18፣ x 2 =-34። በዚህ አጣብቂኝ ውስጥ ያለው ሁለተኛው አማራጭ መፍትሄ ሊሆን አይችልም, ምክንያቱም የመሬቱ ስፋት መጠን በአሉታዊ እሴቶች ሊለካ አይችልም, ይህም ማለት x (ማለትም የቦታው ስፋት) 18 ሜትር ነው.ከዚህ ርዝመቱን እናሰላለን. 18+16=34፣ እና ፔሪሜትር 2(34+ 18) = 104 (m 2)።

ምሳሌዎች እና ተግባራት

የኳድራቲክ እኩልታዎችን ማጥናት እንቀጥላለን. የብዙዎቹ ምሳሌዎች እና ዝርዝር መፍትሄ ከዚህ በታች ይሰጣሉ።

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

ሁሉንም ነገር ወደ እኩልነት በግራ በኩል እናስተላልፍ, ለውጥን እናደርጋለን, ማለትም, የእኩልታውን ቅርፅ እናገኛለን, እሱም ብዙውን ጊዜ መደበኛ ተብሎ የሚጠራው እና ከዜሮ ጋር እኩል ነው.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

ተመሳሳይ የሆኑትን ከጨመርን በኋላ አድሏዊውን እንወስናለን-D \u003d 49 - 48 \u003d 1. ስለዚህ የእኛ እኩልነት ሁለት ሥሮች ይኖረዋል. ከላይ በተጠቀሰው ቀመር መሰረት እናሰላቸዋለን, ይህም ማለት የመጀመሪያው ከ 4/3, እና ሁለተኛው 1 ጋር እኩል ይሆናል.

2) አሁን የተለያየ ዓይነት እንቆቅልሾችን እናሳያለን.

እዚህ በጠቅላላ ስሮች x 2 - 4x + 5 = 1 እንዳሉ እንወቅ? የተሟላ መልስ ለማግኘት፣ ፖሊኖሚሉን ወደ ሚታወቀው ፎርም እናመጣለን እና አድሎአዊውን እናሰላለን። በዚህ ምሳሌ ውስጥ, የኳድራቲክ እኩልታውን መፍታት አስፈላጊ አይደለም, ምክንያቱም የችግሩ ዋናው ነገር በዚህ ውስጥ አይደለም. በዚህ ሁኔታ ፣ D \u003d 16 - 20 \u003d -4 ፣ ይህ ማለት በእውነቱ ምንም ሥሮች የሉም ማለት ነው።

የቪዬታ ጽንሰ-ሐሳብ

አራት ማዕዘን ቅርጾችን ከላይ ባሉት ቀመሮች እና በአድሎአዊነት ለመፍታት ምቹ ነው, የካሬው ሥር ከኋለኛው እሴት ሲወጣ. ግን ይህ ሁልጊዜ የሚከሰት አይደለም. ሆኖም ግን, በዚህ ጉዳይ ላይ የተለዋዋጮችን ዋጋዎች ለማግኘት ብዙ መንገዶች አሉ. ምሳሌ፡ የቪዬታ ቲዎሪ በመጠቀም ባለአራት እኩልታዎችን መፍታት። ይህ ስም የተሰየመው በ16ኛው መቶ ክፍለ ዘመን ፈረንሳይ ውስጥ በኖረ እና በፍርድ ቤት በነበረው የሂሳብ ችሎታ እና ግኑኝነት ድንቅ ስራ በነበረ ሰው ነው። የእሱ ምስል በአንቀጹ ውስጥ ይታያል.

ታዋቂው ፈረንሳዊ ሰው ያስተዋለው ንድፍ የሚከተለው ነበር። የእኩልታው ሥሮች ድምር ከ -p=b/a ጋር እኩል መሆኑን አረጋግጧል፣ ምርታቸውም q=c/a ጋር ይዛመዳል።

አሁን የተወሰኑ ተግባራትን እንመልከት.

3x2 + 21x - 54 = 0

ለቀላልነት፣ አገላለጹን እንለውጠው፡-

x 2 + 7x - 18 = 0

የቪዬታ ቲዎረምን በመጠቀም, ይህ የሚከተለውን ይሰጠናል-የሥሮቹ ድምር -7, እና ምርታቸው -18 ነው. ከዚህ የምንረዳው የእኩልታው ስር ቁጥሮች -9 እና 2 ናቸው። ቼክ ካደረግን በኋላ እነዚህ የተለዋዋጮች እሴቶች በትክክል ከገለጻው ጋር የሚጣጣሙ መሆናቸውን እናረጋግጣለን።

የፓራቦላ ግራፍ እና እኩልታ

የኳድራቲክ ተግባር ጽንሰ-ሀሳቦች እና ኳድራቲክ እኩልታዎች በቅርበት የተያያዙ ናቸው። የዚህ ምሳሌዎች ቀደም ሲል ተሰጥተዋል. አሁን አንዳንድ የሂሳብ እንቆቅልሾችን በጥቂቱ በዝርዝር እንመልከት። የተገለጸው ዓይነት ማንኛውም እኩልታ በእይታ ሊወከል ይችላል። በግራፍ መልክ የተቀረጸው እንዲህ ዓይነቱ ጥገኝነት ፓራቦላ ይባላል. የእሱ የተለያዩ ዓይነቶች ከዚህ በታች ባለው ስእል ውስጥ ይታያሉ.

ማንኛውም ፓራቦላ ወርድ አለው, ማለትም, ቅርንጫፎቹ የሚወጡበት ነጥብ ነው. a>0 ከሆነ፣ ወደ ወሰን አልባነት ከፍ ይላሉ፣ እና መቼ ሀ<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

የተግባር ምስላዊ መግለጫዎች አራት ማዕዘን ቅርጾችን ጨምሮ ማናቸውንም እኩልታዎች ለመፍታት ይረዳሉ. ይህ ዘዴ ግራፊክ ተብሎ ይጠራል. እና የ x ተለዋዋጭ እሴት የግራፍ መስመር ከ 0x ጋር በሚቆራረጥባቸው ቦታዎች ላይ የ abscissa መጋጠሚያ ነው. የቬርቴክሱ መጋጠሚያዎች አሁን በ x 0 = -b / 2a በተሰጠው ቀመር ሊገኙ ይችላሉ. እና የተገኘውን እሴት ወደ የተግባሩ የመጀመሪያ እኩልታ በመተካት y 0ን ማለትም የ y ዘንግ ንብረት የሆነውን የፓራቦላ አከርካሪ ሁለተኛ መጋጠሚያ ማግኘት ይችላሉ።

ከ abscissa ዘንግ ጋር የፓራቦላ ቅርንጫፎች መገናኛ

ከኳድራቲክ እኩልታዎች መፍትሄ ጋር ብዙ ምሳሌዎች አሉ, ግን አጠቃላይ ንድፎችም አሉ. እስቲ እንመልከታቸው። የግራፉ መገናኛ ከ0x ዘንግ ለ a>0 የሚቻለው y 0 አሉታዊ እሴቶችን ከወሰደ ብቻ እንደሆነ ግልጽ ነው። እና ለ<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. አለበለዚያ ዲ<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

ከፓራቦላ ​​ግራፍ, ሥሮቹንም መወሰን ይችላሉ. የተገላቢጦሹም እውነት ነው። ማለትም ፣ የኳድራቲክ ተግባር ምስላዊ ውክልና ለማግኘት ቀላል ካልሆነ ፣ የቃሉን ትክክለኛ ጎን ከ 0 ጋር ማመሳሰል እና የተገኘውን እኩልታ መፍታት ይችላሉ። እና የመገናኛ ነጥቦችን ከ 0x ዘንግ ጋር ማወቅ, ማቀድ ቀላል ነው.

ከታሪክ

አራት ማዕዘን ቅርጾችን በያዙ እኩልታዎች እገዛ ፣ በጥንት ጊዜ ፣ ​​የሂሳብ ስሌቶችን ብቻ ሳይሆን የጂኦሜትሪክ ቅርጾችን ስፋት ወስኗል። የጥንት ሰዎች በፊዚክስ እና በሥነ ፈለክ መስክ ለተደረጉ ታላላቅ ግኝቶች እንዲሁም የኮከብ ቆጠራ ትንበያዎችን ለመሥራት እንዲህ ዓይነት ስሌት ያስፈልጋቸዋል።

ዘመናዊ ሳይንቲስቶች እንደሚጠቁሙት የባቢሎን ነዋሪዎች አራት ማዕዘን ቅርጾችን ለመፍታት የመጀመሪያዎቹ ናቸው. የዘመናችን መምጣት አራት መቶ ዓመታት ሲቀረው ነበር. እርግጥ ነው፣ ስሌቶቻቸው በመሠረቱ አሁን ተቀባይነት ካገኙት እና በጣም ጥንታዊ ሆነው ከነበሩት የተለዩ ነበሩ። ለምሳሌ፣ የሜሶጶጣሚያን የሂሳብ ሊቃውንት ስለ አሉታዊ ቁጥሮች መኖር ምንም ሀሳብ አልነበራቸውም። በማንኛውም የዘመናችን ተማሪ የሚታወቁትን ሌሎች ስውር ስልቶችንም አያውቁም ነበር።

ምናልባት ከባቢሎን ሳይንቲስቶች ቀደም ብሎም ከህንድ የመጣው ጠቢብ ባውዲያማ የኳድራቲክ እኩልታዎችን መፍትሄ ወሰደ። ይህ የሆነው የክርስቶስ ዘመን ከመምጣቱ ከስምንት መቶ ዓመታት በፊት ነው። እውነት ነው, የሁለተኛ ደረጃ እኩልታዎች, እሱ የሰጣቸውን የመፍታት ዘዴዎች በጣም ቀላል ናቸው. ከእሱ በተጨማሪ የቻይናውያን የሂሳብ ሊቃውንት በጥንት ጊዜ ተመሳሳይ ጥያቄዎችን ይፈልጉ ነበር. በአውሮፓ የኳድራቲክ እኩልታዎች መፈታት የጀመሩት በ 13 ኛው ክፍለ ዘመን መጀመሪያ ላይ ብቻ ነው, በኋላ ግን እንደ ኒውተን, ዴካርት እና ሌሎች ብዙ ታላላቅ ሳይንቲስቶች በስራቸው ውስጥ ጥቅም ላይ ውለዋል.