የኳድራቲክ እኩልታ እንዴት እንደሚሰላ። አድሎአዊውን በመጠቀም የኳድራቲክ እኩልታዎችን መፍታት

በዘመናዊው ህብረተሰብ ውስጥ አራት ማዕዘን ቅርጾችን ከያዙ እኩልታዎች ጋር የመስራት ችሎታ በብዙ የእንቅስቃሴ ዘርፎች ጠቃሚ ሊሆን ይችላል እና በሳይንሳዊ እና ቴክኒካዊ እድገቶች ውስጥ በተግባር በሰፊው ጥቅም ላይ ይውላል። ይህ የባህር እና የወንዝ መርከቦች, አውሮፕላኖች እና ሚሳኤሎች ንድፍ በማስረጃነት ማረጋገጥ ይቻላል. በእንደዚህ ዓይነት ስሌቶች እገዛ, የጠፈር ቁሳቁሶችን ጨምሮ የተለያዩ አካላት የእንቅስቃሴ አቅጣጫዎች ይወሰናሉ. ከኳድራቲክ እኩልታዎች መፍትሄ ጋር ምሳሌዎች በኢኮኖሚ ትንበያ ፣ በህንፃዎች ዲዛይን እና ግንባታ ላይ ብቻ ሳይሆን በጣም በተለመደው የዕለት ተዕለት ሁኔታዎች ውስጥም ያገለግላሉ ። በካምፕ ጉዞዎች፣ በስፖርት ዝግጅቶች፣ በመደብሮች ውስጥ ሲገዙ እና በሌሎች በጣም የተለመዱ ሁኔታዎች ሊያስፈልጉ ይችላሉ።

አገላለጹን ወደ አካል ምክንያቶች እንከፋፍል።

የአንድ እኩልነት ደረጃ የሚወሰነው የተሰጠው መግለጫ በያዘው በተለዋዋጭ ከፍተኛው እሴት ነው። ከ 2 ጋር እኩል ከሆነ, እንዲህ ዓይነቱ እኩልታ አራት ማዕዘን (quadratic equation) ይባላል.

በቀመር ቋንቋ የምንናገር ከሆነ እነዚህ አገላለጾች ምንም ቢመስሉ ሁልጊዜም በግራ በኩል ያለው አገላለጽ ሦስት ቃላትን ሲይዝ ወደ ቅጹ ሊቀርቡ ይችላሉ። ከነሱ መካከል፡- መጥረቢያ 2 (ይህም ተለዋዋጭ ስኩዌር ከዋጋው ጋር)፣ bx (ካሬ ከሌለው ኮፊፊሸንት ጋር የማይታወቅ) እና ሐ (ነፃ አካል ማለትም ተራ ቁጥር)። ይህ ሁሉ በቀኝ በኩል ከ 0 ጋር እኩል ነው ። እንዲህ ዓይነቱ ፖሊኖሚል አንድ አካል ከሌለው ፣ ከመጥረቢያ 2 በስተቀር ፣ እሱ ያልተጠናቀቀ ኳድራቲክ እኩልታ ይባላል። የተለዋዋጮችን ዋጋ ለማግኘት አስቸጋሪ በማይሆንባቸው እንደነዚህ ያሉ ችግሮች መፍትሄ ምሳሌዎች በመጀመሪያ ግምት ውስጥ መግባት አለባቸው.

አገላለጹ በአገላለጹ በቀኝ በኩል ሁለት ቃላት ያሉት የሚመስል ከሆነ፣ ይበልጥ በትክክል መጥረቢያ 2 እና bx፣ ተለዋዋጭውን በቅንፍ በማድረግ x ለማግኘት በጣም ቀላል ነው። አሁን የእኛ እኩልነት ይህን ይመስላል፡ x(ax+b)። በተጨማሪም፣ አንድም x=0፣ ወይም ችግሩ ከሚከተለው አገላለጽ ተለዋዋጭ ወደመፈለግ መቀነሱ ግልጽ ይሆናል። ይህ የማባዛት ባህሪያት በአንዱ የታዘዘ ነው። ደንቡ የሁለት ምክንያቶች ውጤት 0 የሚያስከትል ከሆነ ከመካከላቸው አንዱ ዜሮ ከሆነ ብቻ ነው.

ለምሳሌ

x=0 ወይም 8x - 3 = 0

በውጤቱም, የእኩልታውን ሁለት ሥሮች እናገኛለን: 0 እና 0.375.

የዚህ ዓይነቱ እኩልታዎች እንደ መነሻ ተደርገው ከተወሰነ ቦታ መንቀሳቀስ የጀመሩትን በስበት ኃይል ስር ያሉ አካላትን እንቅስቃሴ ሊገልጹ ይችላሉ. እዚህ የሂሳብ አጻጻፍ የሚከተለውን ቅጽ ይይዛል፡ y = v 0 t + gt 2/2. አስፈላጊ የሆኑትን እሴቶች በመተካት, ትክክለኛውን ጎን ከ 0 ጋር በማመሳሰል እና የማይታወቁ ሊሆኑ የሚችሉትን በማግኘት, ሰውነት ከተነሳበት ጊዜ አንስቶ እስከ መውደቅ ድረስ ያለውን ጊዜ እና ሌሎች ብዙ መጠኖችን ማወቅ ይችላሉ. ግን ስለዚህ ጉዳይ በኋላ እንነጋገራለን.

መግለጫ መፍጠር

ከላይ የተገለጸው ደንብ እነዚህን ችግሮች ይበልጥ ውስብስብ በሆኑ ጉዳዮች ላይ ለመፍታት ያስችላል. የዚህ አይነት የኳድራቲክ እኩልታዎች መፍትሄ ጋር ምሳሌዎችን ተመልከት.

X2 - 33x + 200 = 0

ይህ ካሬ ትሪኖሚል ተጠናቅቋል። በመጀመሪያ, አገላለጹን እንለውጣለን እና ወደ ምክንያቶች መበስበስ. ከነሱ ሁለቱ አሉ፡- (x-8) እና (x-25) = 0. በውጤቱም ሁለት ሥር 8 እና 25 አለን።

በ 9 ኛ ክፍል የኳድራቲክ እኩልታዎች መፍትሄ ጋር ምሳሌዎች ይህ ዘዴ በሁለተኛው መግለጫዎች ውስጥ ብቻ ሳይሆን በሦስተኛው እና በአራተኛው ትዕዛዞች ላይ ተለዋዋጭ እንዲያገኝ ያስችለዋል.

ለምሳሌ፡- 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. የቀኝ ጎኑን ከተለዋዋጭ ጋር ወደ ምክንያቶች ሲከፋፈሉ ሦስቱ ማለትም (x + 1)፣ (x-3) እና (x +) አሉ። 3)

በውጤቱም, ይህ እኩልታ ሶስት ሥሮች እንዳሉት ግልጽ ይሆናል: -3; -አንድ; 3.

የካሬውን ሥር ማውጣት

ሌላው ያልተሟላ የሁለተኛ ደረጃ እኩልታ ጉዳይ በፊደላት ቋንቋ የተጻፈ አገላለጽ ነው የቀኝ ጎን ከአክስ 2 እና ሐ ክፍሎች የተገነባ። እዚህ, የተለዋዋጭውን ዋጋ ለማግኘት, ነፃው ቃል ወደ ቀኝ በኩል ይተላለፋል, እና ከዚያ በኋላ, የካሬው ሥር ከሁለቱም የእኩልነት ጎኖች ይወጣል. በዚህ ጉዳይ ላይ ብዙውን ጊዜ የእኩልታው ሁለት ሥሮች እንዳሉ ልብ ሊባል ይገባል. ብቸኛ ልዩ ሁኔታዎች ሐ የሚለውን ቃል ሙሉ በሙሉ ያልያዙ እኩልነቶች ናቸው፣ ተለዋዋጭው ከዜሮ ጋር እኩል የሆነበት፣ እንዲሁም የቀኝ ጎኑ አሉታዊ ሆኖ ሲገኝ የገለፃ ልዩነቶች ናቸው። በኋለኛው ሁኔታ, ከላይ የተጠቀሱት ድርጊቶች ከሥሮች ጋር ሊከናወኑ ስለማይችሉ, ምንም መፍትሄዎች የሉም. የዚህ ዓይነቱ አራት ማዕዘን እኩልታዎች መፍትሄዎች ምሳሌዎች ግምት ውስጥ መግባት አለባቸው.

በዚህ ሁኔታ, የእኩልታው ሥሮች ቁጥሮች -4 እና 4 ይሆናሉ.

የመሬቱ ስፋት ስሌት

የዚህ ዓይነቱ ስሌቶች አስፈላጊነት በጥንት ጊዜ ታየ, ምክንያቱም በእነዚያ ሩቅ ጊዜያት የሂሳብ እድገቶች በአብዛኛው የመሬቱን ቦታዎች እና አከባቢዎች በከፍተኛ ትክክለኛነት ለመወሰን ስለሚያስፈልጋቸው ነው.

በእንደነዚህ አይነት ችግሮች ላይ ተመስርቶ የተጠናቀሩ የኳድራቲክ እኩልታዎች መፍትሄ ጋር ምሳሌዎችን መመልከት አለብን.

ስለዚህ, አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው መሬት አለ እንበል, ርዝመቱ ከስፋቱ 16 ሜትር ይበልጣል. የቦታው ስፋት 612 ሜ 2 እንደሆነ ከታወቀ የቦታውን ርዝመት, ስፋት እና ፔሪሜትር ማግኘት አለብዎት.

ወደ ንግድ ስራ ስንወርድ በመጀመሪያ አስፈላጊውን እኩልታ እናደርጋለን. የክፍሉን ስፋት እንደ x እንጥቀስ፣ ከዚያ ርዝመቱ (x + 16) ይሆናል። ከተጻፈው ውስጥ እንደሚከተለው ነው, ቦታው የሚወሰነው በ x (x + 16) አገላለጽ ነው, እንደ ችግራችን ሁኔታ, 612. ይህ ማለት x (x + 16) \u003d 612 ነው.

የተሟላ የኳድራቲክ እኩልታዎች መፍትሄ, እና ይህ አገላለጽ ብቻ ነው, በተመሳሳይ መንገድ ሊከናወን አይችልም. እንዴት? ምንም እንኳን በግራ በኩል አሁንም ሁለት ምክንያቶችን ቢይዝም, ምርታቸው ከ 0 ጋር እኩል አይደለም, ስለዚህ ሌሎች ዘዴዎች እዚህ ጥቅም ላይ ይውላሉ.

አድሎአዊ

በመጀመሪያ ደረጃ, አስፈላጊ ለውጦችን እናደርጋለን, ከዚያም የዚህ አገላለጽ ገጽታ ይህን ይመስላል: x 2 + 16x - 612 = 0. ይህ ማለት ቀደም ሲል ከተጠቀሰው መስፈርት ጋር በሚዛመድ መልኩ አገላለጽ ተቀብለናል ማለት ነው. a=1፣ b=16፣ c= -612

ይህ ኳድራቲክ እኩልታዎችን በአድልዎ የመፍታት ምሳሌ ሊሆን ይችላል። እዚህ አስፈላጊዎቹ ስሌቶች በእቅዱ መሰረት ይደረጋሉ: D = b 2 - 4ac. ይህ ረዳት እሴት በሁለተኛው-ትዕዛዝ ቀመር ውስጥ የሚፈለጉትን እሴቶችን ለማግኘት ብቻ ሳይሆን ሊሆኑ የሚችሉ አማራጮችን ብዛት ይወስናል። በ D>0 ውስጥ ሁለቱ አሉ; ለ D=0 አንድ ሥር አለ. ጉዳይ ዲ<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

ስለ ሥሮች እና ቀመራቸው

በእኛ ሁኔታ አድሎአዊው፡ 256 - 4(-612) = 2704. ይህ የሚያሳየው ችግራችን መልስ እንዳለው ነው። ካወቁ፣ ለ፣ የአራትዮሽ እኩልታዎች መፍትሄ ከዚህ በታች ያለውን ቀመር በመጠቀም መቀጠል አለበት። ሥሮቹን ለማስላት ያስችልዎታል.

ይህ ማለት በቀረበው ጉዳይ፡- x 1 =18፣ x 2 =-34። በዚህ አጣብቂኝ ውስጥ ያለው ሁለተኛው አማራጭ መፍትሄ ሊሆን አይችልም, ምክንያቱም የመሬቱ ስፋት መጠን በአሉታዊ እሴቶች ሊለካ አይችልም, ይህም ማለት x (ማለትም የቦታው ስፋት) 18 ሜትር ነው.ከዚህ ርዝመቱን እናሰላለን. 18+16=34፣ እና ፔሪሜትር 2(34+ 18) = 104 (m 2)።

ምሳሌዎች እና ተግባራት

የኳድራቲክ እኩልታዎችን ማጥናት እንቀጥላለን. የብዙዎቹ ምሳሌዎች እና ዝርዝር መፍትሄ ከዚህ በታች ይሰጣሉ።

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

ሁሉንም ነገር ወደ እኩልነት በግራ በኩል እናስተላልፍ, ለውጥን እናደርጋለን, ማለትም, የእኩልታውን ቅርፅ እናገኛለን, እሱም ብዙውን ጊዜ መደበኛ ተብሎ የሚጠራው እና ከዜሮ ጋር እኩል ነው.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

ተመሳሳይ የሆኑትን ከጨመርን በኋላ አድሏዊውን እንወስናለን-D \u003d 49 - 48 \u003d 1. ስለዚህ የእኛ እኩልነት ሁለት ሥሮች ይኖረዋል. ከላይ በተጠቀሰው ቀመር መሰረት እናሰላቸዋለን, ይህም ማለት የመጀመሪያው ከ 4/3, እና ሁለተኛው 1 ጋር እኩል ይሆናል.

2) አሁን የተለያየ ዓይነት እንቆቅልሾችን እናሳያለን.

እዚ ስሮች x 2 - 4x + 5 = 1 በፍፁም መኖራቸውን እንወቅ? የተሟላ መልስ ለማግኘት፣ ፖሊኖሚሉን ወደ ሚታወቀው ፎርም እናመጣለን እና አድሎአዊውን እናሰላለን። በዚህ ምሳሌ ውስጥ, የኳድራቲክ እኩልታውን መፍታት አስፈላጊ አይደለም, ምክንያቱም የችግሩ ዋናው ነገር በዚህ ውስጥ አይደለም. በዚህ ሁኔታ ፣ D \u003d 16 - 20 \u003d -4 ፣ ይህ ማለት በእውነቱ ምንም ሥሮች የሉም ማለት ነው።

የቪዬታ ጽንሰ-ሐሳብ

አራት ማዕዘኖችን ከላይ ባሉት ቀመሮች እና አድልዎ ለመፍታት ምቹ ነው, የካሬው ሥር ከኋለኛው እሴት ሲወጣ. ግን ይህ ሁልጊዜ የሚከሰት አይደለም. ሆኖም ግን, በዚህ ጉዳይ ላይ የተለዋዋጮችን ዋጋዎች ለማግኘት ብዙ መንገዶች አሉ. ምሳሌ፡ የቪዬታ ቲዎሬምን በመጠቀም ባለአራት እኩልታዎችን መፍታት። ይህ ስም የተሰየመው በ16ኛው ክፍለ ዘመን ፈረንሳይ ውስጥ በኖረ እና በፍርድ ቤት በነበረው የሂሳብ ችሎታ እና ግኑኝነት ድንቅ ስራ በነበረ ሰው ነው። የእሱ ምስል በአንቀጹ ውስጥ ይታያል.

ታዋቂው ፈረንሳዊ ሰው ያስተዋለው ንድፍ የሚከተለው ነበር። የእኩልታው ሥሮች ድምር ከ -p=b/a ጋር እኩል መሆኑን አረጋግጧል፣ ምርታቸውም q=c/a ጋር ይዛመዳል።

አሁን የተወሰኑ ተግባራትን እንመልከት.

3x2 + 21x - 54 = 0

ለቀላልነት፣ አገላለጹን እንለውጠው፡-

x 2 + 7x - 18 = 0

የ Vieta theorem በመጠቀም, ይህ የሚከተለውን ይሰጠናል-የሥሮቹ ድምር -7, እና ምርታቸው -18 ነው. ከዚህ የምንረዳው የእኩልታው ስር ቁጥሮች -9 እና 2 ናቸው። ቼክ ካደረግን በኋላ እነዚህ የተለዋዋጮች እሴቶች በትክክል ከገለጻው ጋር የሚጣጣሙ መሆናቸውን እናረጋግጣለን።

የፓራቦላ ግራፍ እና እኩልታ

የኳድራቲክ ተግባር ጽንሰ-ሀሳቦች እና ኳድራቲክ እኩልታዎች በቅርበት የተያያዙ ናቸው። የዚህ ምሳሌዎች ቀደም ሲል ተሰጥተዋል. አሁን አንዳንድ የሂሳብ እንቆቅልሾችን በጥቂቱ በዝርዝር እንመልከት። የተገለጸው ዓይነት ማንኛውም እኩልታ በእይታ ሊወከል ይችላል። በግራፍ መልክ የተቀረጸው እንዲህ ዓይነቱ ጥገኝነት ፓራቦላ ይባላል. የእሱ የተለያዩ ዓይነቶች ከዚህ በታች ባለው ስእል ውስጥ ይታያሉ.

ማንኛውም ፓራቦላ ወርድ አለው, ማለትም, ቅርንጫፎቹ የሚወጡበት ነጥብ ነው. a>0 ከሆነ፣ ወደ ወሰን አልባነት ከፍ ይላሉ፣ እና መቼ ሀ<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

የተግባሮች ምስላዊ መግለጫዎች አራት ማዕዘን ቅርጾችን ጨምሮ ማናቸውንም እኩልታዎች ለመፍታት ይረዳሉ. ይህ ዘዴ ግራፊክ ተብሎ ይጠራል. እና የ x ተለዋዋጭ እሴት የግራፍ መስመር ከ 0x ጋር በሚቆራረጥባቸው ቦታዎች ላይ የ abscissa መጋጠሚያ ነው. የቬርቴክሱ መጋጠሚያዎች አሁን በ x 0 = -b / 2a በተሰጠው ቀመር ሊገኙ ይችላሉ. እና የተገኘውን እሴት ወደ የተግባሩ የመጀመሪያ እኩልታ በመተካት y 0ን ማለትም የ y ዘንግ ንብረት የሆነውን የፓራቦላ አከርካሪ ሁለተኛ መጋጠሚያ ማግኘት ይችላሉ።

ከ abscissa ዘንግ ጋር የፓራቦላ ቅርንጫፎች መገናኛ

ከኳድራቲክ እኩልታዎች መፍትሄ ጋር ብዙ ምሳሌዎች አሉ, ግን አጠቃላይ ንድፎችም አሉ. እስቲ እናስብባቸው። የግራፉ መገናኛ ከ0x ዘንግ ለ a>0 የሚቻለው y 0 አሉታዊ እሴቶችን ከወሰደ ብቻ እንደሆነ ግልጽ ነው። እና ለ<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. አለበለዚያ ዲ<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

ከፓራቦላ ​​ግራፍ, ሥሮቹንም መወሰን ይችላሉ. የተገላቢጦሹም እውነት ነው። ማለትም የኳድራቲክ ተግባር ምስላዊ ውክልና ማግኘት ቀላል ካልሆነ የቃሉን የቀኝ ጎን ከ 0 ጋር ማመሳሰል እና የተገኘውን እኩልታ መፍታት ይችላሉ። እና የመገናኛ ነጥቦችን ከ 0x ዘንግ ጋር ማወቅ, ማቀድ ቀላል ነው.

ከታሪክ

አራት ማዕዘን ቅርጾችን በያዙ እኩልታዎች እገዛ ፣ በጥንት ጊዜ ፣ ​​የሂሳብ ስሌቶችን ብቻ ሳይሆን የጂኦሜትሪክ ቅርጾችን ስፋት ወስኗል። የጥንት ሰዎች በፊዚክስ እና በሥነ ፈለክ መስክ ለተገኙት ታላላቅ ግኝቶች እንዲሁም የኮከብ ቆጠራ ትንበያዎችን ለመሥራት እንዲህ ዓይነት ስሌት ያስፈልጋቸዋል።

ዘመናዊ ሳይንቲስቶች እንደሚጠቁሙት የባቢሎን ነዋሪዎች አራት ማዕዘን ቅርጾችን ለመፍታት የመጀመሪያዎቹ ናቸው. የዘመናችን መምጣት አራት መቶ ዓመታት ሲቀረው ነበር. እርግጥ ነው፣ ስሌቶቻቸው በመሠረቱ አሁን ተቀባይነት ካገኙት እና በጣም ጥንታዊ ሆነው ከነበሩት የተለዩ ነበሩ። ለምሳሌ፣ የሜሶጶጣሚያን የሂሳብ ሊቃውንት ስለ አሉታዊ ቁጥሮች መኖር ምንም ሀሳብ አልነበራቸውም። በማንኛውም የዘመናችን ተማሪ የሚታወቁትን ሌሎች ስውር ዘዴዎችንም አያውቁም ነበር።

ምናልባት ከባቢሎን ሳይንቲስቶች ቀደም ብሎም ከህንድ የመጣው ጠቢብ ባውዲያማ የኳድራቲክ እኩልታዎችን መፍትሄ ወሰደ። ይህ የሆነው የክርስቶስ ዘመን ከመምጣቱ ከስምንት መቶ ዓመታት በፊት ነው። እውነት ነው, የሁለተኛ ደረጃ እኩልታዎች, እሱ የሰጣቸውን የመፍታት ዘዴዎች በጣም ቀላል ናቸው. ከእሱ በተጨማሪ የቻይናውያን የሂሳብ ሊቃውንት በጥንት ጊዜ ተመሳሳይ ጥያቄዎችን ይፈልጉ ነበር. በአውሮፓ የኳድራቲክ እኩልታዎች መፈታት የጀመሩት በ 13 ኛው ክፍለ ዘመን መጀመሪያ ላይ ብቻ ነው, በኋላ ግን እንደ ኒውተን, ዴካርት እና ሌሎች ብዙ ታላላቅ ሳይንቲስቶች በስራቸው ውስጥ ጥቅም ላይ ውለዋል.

"እኩልታዎችን መፍታት" በሚለው ርዕስ በመቀጠል በዚህ ጽሑፍ ውስጥ ያለው ቁሳቁስ ወደ ኳድራቲክ እኩልታዎች ያስተዋውቀዎታል.

ሁሉንም ነገር በዝርዝር እንመልከተው፡ የኳድራቲክ እኩልታ ምንነት እና መግለጫ፣ ተዛማጅ ቃላትን እናስቀምጣለን፣ ያልተሟሉ እና የተሟሉ እኩልታዎችን ለመፍታት እቅድን መተንተን፣ ከሥሩ እና ከአድሎው ቀመር ጋር መተዋወቅ፣ በሥሮች እና በጥራዞች መካከል ግንኙነቶችን መመስረት እና በእርግጥ ተግባራዊ ምሳሌዎችን ምስላዊ መፍትሄ እንሰጣለን.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ኳድራቲክ እኩልታ፣ ዓይነቶቹ

ፍቺ 1

ባለአራት እኩልታእኩልነቱ እንደ ተፃፈ a x 2 + b x + c = 0፣ የት x- ተለዋዋጭ, a, b እና ሐአንዳንድ ቁጥሮች ናቸው, ሳለ ሀዜሮ አይደለም.

ብዙውን ጊዜ ኳድራቲክ እኩልታዎች የሁለተኛ ዲግሪ እኩልታዎች ተብለው ይጠራሉ ፣ ምክንያቱም በእውነቱ ኳድራቲክ እኩልታ የሁለተኛ ዲግሪ አልጀብራ እኩልታ ነው።

የተሰጠውን ፍቺ ለማሳየት ምሳሌ እንስጥ፡ 9 x 2 + 16 x + 2 = 0; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, ወዘተ. ኳድራቲክ እኩልታዎች ናቸው።

ፍቺ 2

ቁጥሮች a, b እና ሐየ quadratic equation coefficients ናቸው a x 2 + b x + c = 0, የ Coefficient ሳለ ሀየመጀመሪያው፣ ወይም ሲኒየር፣ ወይም ኮፊሸን በ x 2፣ b - ሁለተኛው ኮፊሸን፣ ወይም ኮፊሸን በ x, ግን ሐነጻ አባል ተብሎ ይጠራል.

ለምሳሌ, በኳድራቲክ እኩልታ 6 x 2 - 2 x - 11 = 0ከፍተኛው ቅንጅት 6 ነው, ሁለተኛው ጥምርታ ነው − 2 , እና ነፃው ቃል እኩል ነው − 11 . ቅንብሮቹ በሚሆኑበት ጊዜ ለእውነታው ትኩረት እንስጥ ለእና/ወይም ሐ አሉታዊ ናቸው፣ ከዚያ የአጭር ጊዜ ቅጽ ጥቅም ላይ ይውላል 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, ግን አይደለም 6 x 2 + (- 2) x + (- 11) = 0.

እንዲሁም ይህንን ገጽታ እናብራራለን-የመጋጠሚያዎች ከሆነ ሀእና/ወይም ለእኩል ነው። 1 ወይም − 1 , ከዚያም የኳድራቲክ እኩልታዎችን በመጻፍ ውስጥ ግልጽ ተሳትፎ ሊያደርጉ አይችሉም, ይህም በተጠቆሙት የቁጥር አሃዞች የመጻፍ ልዩ ሁኔታ ይገለጻል. ለምሳሌ, በኳድራቲክ እኩልታ y 2 - y + 7 = 0ሲኒየር ጥምርታ 1 ሲሆን ሁለተኛው ኮፊሸን ነው። − 1 .

የተቀነሱ እና ያልተቀነሱ ኳድራቲክ እኩልታዎች

እንደ መጀመሪያው ኮፊሸን ዋጋ፣ ኳድራቲክ እኩልታዎች ወደ ተቀነሱ እና ያልተቀነሱ ተከፍለዋል።

ፍቺ 3

የቀነሰ ባለአራት እኩልታመሪ ኮፊሸንት 1 የሆነበት ባለአራት እኩልታ ነው። ለሌሎች የመሪ ኮፊሸንት እሴቶች፣ ኳድራቲክ እኩልታ አልተቀነሰም።

አንዳንድ ምሳሌዎች እነኚሁና፡ ኳድራቲክ እኩልታዎች x 2 - 4 · x + 3 = 0, x 2 - x - 4 5 = 0 ተቀንሰዋል, በእያንዳንዳቸው ውስጥ መሪ ቅንጅት 1 ነው.

9 x 2 - x - 2 = 0- ያልተቀነሰ ኳድራቲክ እኩልታ፣ የመጀመሪያው ጥምርታ የተለየ ነው። 1 .

ማንኛውም ያልተቀነሰ ባለአራት እኩልታ ሁለቱንም ክፍሎቹን በአንደኛው ኮፊሸን (ተመጣጣኝ ትራንስፎርሜሽን) በማካፈል ወደ ተቀነሰ ቀመር ሊቀየር ይችላል። የተለወጠው እኩልታ ከተሰጠው ያልተቀነሰ እኩልታ ጋር አንድ አይነት ሥሮች ይኖረዋል ወይም ደግሞ ምንም አይነት ስር አይኖረውም።

የአንድ የተወሰነ ምሳሌን ግምት ውስጥ ማስገባት ካልተቀነሰ የኳድራቲክ እኩልታ ወደ ተቀነሰ ሽግግር በግልጽ ለማሳየት ያስችለናል.

ምሳሌ 1

በቀመር 6 x 2 + 18 x - 7 = 0 ተሰጥቷል። . ዋናውን እኩልታ ወደ ተቀነሰው ቅፅ መቀየር አስፈላጊ ነው.

መፍትሄ

ከላይ ባለው እቅድ መሰረት, ሁለቱንም የዋናውን እኩልታ ክፍሎች በመሪ ኮፊሸን 6 እንከፍላለን. ከዚያም እናገኛለን: (6 x 2 + 18 x - 7)፡ 3 = 0፡ 3እና ይህ ከሚከተሉት ጋር ተመሳሳይ ነው- (6 x 2): 3 + (18 x) : 3 - 7: 3 = 0እና ተጨማሪ፡- (6፡6) x 2 + (18፡6) x - 7፡ 6 = 0።ከዚህ፡- x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . ስለዚህ, ከተሰጠው ጋር እኩል የሆነ እኩልታ ተገኝቷል.

መልስ፡- x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

የተሟሉ እና ያልተሟሉ ባለአራት እኩልታዎች

ወደ ኳድራቲክ እኩልታ ፍቺ እንሸጋገር። በእሱ ውስጥ, ያንን ገልጸናል አንድ ≠ 0. ለእኩልነት ተመሳሳይ ሁኔታ አስፈላጊ ነው a x 2 + b x + c = 0በትክክል ካሬ ነበር, ጀምሮ ሀ = 0እሱ በመሠረቱ ወደ መስመራዊ እኩልነት ይለወጣል b x + c = 0.

የ Coefficients የት ሁኔታ ውስጥ ለእና ሐከዜሮ ጋር እኩል ናቸው (በተናጥልም ሆነ በጋራ ሊቻል ይችላል), የኳድራቲክ እኩልታ ያልተሟላ ይባላል.

ፍቺ 4

ያልተጠናቀቀ ኳድራቲክ እኩልታኳድራቲክ እኩልታ ነው። a x 2 + b x + c \u003d 0፣የት ቢያንስ አንድ Coefficients ለእና ሐ(ወይም ሁለቱም) ዜሮ ናቸው።

የተሟላ ባለአራት እኩልታሁሉም የቁጥር መጋጠሚያዎች ከዜሮ ጋር እኩል ያልሆኑበት ኳድራቲክ እኩልታ ነው።

የኳድራቲክ እኩልታዎች ዓይነቶች ለምን እንደዚህ አይነት ስሞች እንደተሰጡ እንወያይ።

ለ b = 0, የኳድራቲክ እኩልታ ቅጹን ይወስዳል a x 2 + 0 x + c = 0, እሱም ተመሳሳይ ነው a x 2 + c = 0. በ ሐ = 0የኳድራቲክ እኩልታ እንደ ተጽፏል a x 2 + b x + 0 = 0, ይህም ተመጣጣኝ ነው ሀ x 2 + b x = 0. በ ለ = 0እና ሐ = 0ቀመር ቅጹን ይወስዳል ሀ x 2 = 0. ያገኘናቸው እኩልታዎች ከሙሉ ኳድራቲክ እኩልታ የሚለያዩት በግራ እጃቸው ከተለዋዋጭ x ወይም ነፃ ቃል ወይም ሁለቱንም በአንድ ጊዜ ስለሌለው ነው። በእውነቱ, ይህ እውነታ ለዚህ አይነት እኩልታዎች ስም ሰጥቷል - ያልተሟላ.

ለምሳሌ, x 2 + 3 x + 4 = 0 እና - 7 x 2 - 2 x + 1, 3 = 0 ሙሉ ኳድራቲክ እኩልታዎች ናቸው; x 2 \u003d 0, - 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0, - x 2 - 6 x = 0 ያልተሟሉ ባለአራት እኩልታዎች ናቸው።

ያልተሟሉ ባለአራት እኩልታዎችን መፍታት

ከላይ የተሰጠው ትርጉም የሚከተሉትን ያልተሟሉ ባለአራት እኩልታዎች መለየት ያስችላል።

• ሀ x 2 = 0, Coefficients ከእንደዚህ አይነት እኩልታ ጋር ይዛመዳል ለ = 0እና c = 0;
• a x 2 + c \u003d 0 ለ b \u003d 0;
• a x 2 + b x = 0 ለ c = 0 .

የእያንዳንዱ አይነት ያልተሟላ ባለአራት እኩልታ መፍትሄን በተከታታይ አስቡበት።

የእኩልታው መፍትሄ x 2 \u003d 0

ቀደም ሲል እንደተጠቀሰው, እንዲህ ዓይነቱ እኩልታ ከቁጥሮች ጋር ይዛመዳል ለእና ሐ, ከዜሮ ጋር እኩል ነው. እኩልታው ሀ x 2 = 0ወደ ተመጣጣኝ እኩልነት መቀየር ይቻላል x2 = 0, የዋናውን እኩልዮሽ ሁለቱንም ጎኖች በቁጥር በማካፈል እናገኛለን ሀ, ከዜሮ ጋር እኩል አይደለም. ግልጽ የሆነው እውነታ የእኩልታው መነሻ ነው። x2 = 0ዜሮ ነው ምክንያቱም 0 2 = 0 . ይህ እኩልነት ሌላ ሥሮች የሉትም, ይህም በዲግሪው ባህሪያት ተብራርቷል: ለማንኛውም ቁጥር ገጽ፣ከዜሮ ጋር እኩል አይደለም, እኩልነት እውነት ነው p2 > 0, ከየት እንደመጣ ይከተላል p ≠ 0እኩልነት p2 = 0መቼም አይደርስም።

ፍቺ 5

ስለዚህ፣ ላልተሟላው ኳድራቲክ እኩልታ x 2 = 0፣ አንድ ሥር አለ። x=0.

ምሳሌ 2

ለምሳሌ፣ ያልተሟላ የኳድራቲክ እኩልታ እንፍታ - 3 x 2 = 0. ከእኩልታ ጋር እኩል ነው። x2 = 0ሥሩ ብቻ ነው። x=0, ከዚያ የመነሻው እኩልታ አንድ ሥር - ዜሮ አለው.

መፍትሄው እንደሚከተለው ተጠቃሏል.

- 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

የእኩልታው መፍትሄ x 2+c \u003d 0

የሚቀጥለው መስመር ያልተሟሉ ኳድራቲክ እኩልታዎች መፍትሄ ሲሆን b\u003d 0, c ≠ 0, ማለትም የቅጹ እኩልታዎች ናቸው. a x 2 + c = 0. ይህንን እኩልታ ቃላቱን ከአንዱ ጎን ወደ ሌላው በማሸጋገር ምልክቱን ወደ ተቃራኒው በመቀየር እና ሁለቱንም የእኩልቱን ጎኖች ከዜሮ ጋር በማይመሳሰል ቁጥር በመከፋፈል እንለውጠው።

• መጽናት ሐወደ ቀኝ በኩል, ይህም እኩልታውን ይሰጣል a x 2 = - c;
• የእኩልቱን ሁለቱንም ጎኖች በ ሀበውጤቱም እናገኛለን x = - c a .

የእኛ ለውጦች እኩል ናቸው ፣ በቅደም ተከተል ፣ የተገኘው እኩልነት እንዲሁ ከመጀመሪያው ጋር እኩል ነው ፣ እና ይህ እውነታ ስለ እኩልታው ሥሮች መደምደሚያ ላይ ለመድረስ ያስችላል። ከየትኞቹ እሴቶቹ ናቸው ሀእና ሐበገለፃው ዋጋ ላይ የተመሰረተ ነው - c a: የመቀነስ ምልክት ሊኖረው ይችላል (ለምሳሌ, ከሆነ ሀ = 1እና ሐ = 2, ከዚያም - c a = - 2 1 = - 2) ወይም የመደመር ምልክት (ለምሳሌ, ከሆነ ሀ = -2እና ሐ=6, ከዚያም - c a = - 6 - 2 = 3); ከዜሮ ጋር እኩል አይደለም ምክንያቱም ሐ ≠ 0. በሁኔታዎች ላይ በበለጠ ዝርዝር እንመልከት መቼ - ሐ< 0 и - c a > 0 .

በጉዳዩ ውስጥ መቼ - ሐ< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа ገጽእኩልነት p 2 = - c a እውነት ሊሆን አይችልም.

ሁሉም ነገር የተለየ ሲሆን - c a > 0: የካሬውን ሥር አስታውሱ, እና የእኩልታው ሥር x 2 \u003d - c a ቁጥር እንደሚሆን ግልጽ ይሆናል - c a, ጀምሮ - c a 2 \u003d - c a. ቁጥሩ - - c a - እንዲሁም የእኩልታ ሥር እንደሆነ ለመረዳት ቀላል ነው x 2 = - c a: በእርግጥ, - - c a 2 = - c a .

እኩልታው ሌላ ሥሮች አይኖረውም. ይህንን ተቃራኒውን ዘዴ በመጠቀም ማሳየት እንችላለን. በመጀመሪያ ፣ ከላይ የሚገኙትን ሥሮች ማስታወሻ እንደ ሆነ እናስቀምጥ x 1እና - x 1. ቀመር x 2 = - c a ደግሞ ሥር እንዳለው እናስብ x2, ይህም ከሥሮቹ የተለየ ነው x 1እና - x 1. በምትኩ ወደ ቀመር በመተካት እናውቃለን xሥሮቹን፣ እኩልታውን ወደ ፍትሐዊ የቁጥር እኩልነት እንለውጣለን።

ለ x 1እና - x 1ጻፍ: x 1 2 = - c a, እና ለ x2- x 2 2 \u003d - ሐ. በቁጥር እኩልነት ባህሪያት ላይ በመመስረት፣ አንድ እውነተኛ እኩልነት ከሌላው ቃል በቃል እንቀንሳለን፣ ይህም ይሰጠናል፡- x 1 2 - x 2 2 = 0. የመጨረሻውን እኩልነት እንደገና ለመጻፍ የቁጥር ስራዎችን ባህሪያት ይጠቀሙ (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. የሁለት ቁጥሮች ውጤት ዜሮ ከሆነ እና ቢያንስ አንዱ ቁጥሮች ዜሮ ከሆነ ብቻ እንደሆነ ይታወቃል. ከተነገረው በመነሳት የሚከተለው ነው። x1 - x2 = 0እና/ወይም x1 + x2 = 0, እሱም ተመሳሳይ ነው x2 = x1እና/ወይም x 2 = - x 1. አንድ ግልጽ የሆነ ተቃርኖ ተነሳ, ምክንያቱም መጀመሪያ ላይ የእኩልታ ሥር እንደሆነ ተስማምቷል x2ይለያል x 1እና - x 1. ስለዚህ፣ እኩልታው ከ x = - c a እና x = - - c a በስተቀር ሌላ ሥር እንደሌለው አረጋግጠናል።

ከላይ ያሉትን ሁሉንም ክርክሮች እናጠቃልላለን.

ፍቺ 6

ያልተጠናቀቀ ኳድራቲክ እኩልታ a x 2 + c = 0ከሒሳብ x 2 = - c a ጋር እኩል ነው፣ እሱም፡-

• ስር አይኖረውም በ - c a< 0 ;
• ሁለት ሥር ይኖረዋል x = - c a እና x = - - c a when - c a > 0 .

እኩልታዎችን የመፍታት ምሳሌዎችን እንስጥ a x 2 + c = 0.

ምሳሌ 3

ኳድራቲክ እኩልታ ተሰጥቷል። 9 x 2 + 7 = 0የእሱን መፍትሄ መፈለግ አስፈላጊ ነው.

መፍትሄ

የነፃውን ቃል ወደ እኩልታው በቀኝ በኩል እናስተላልፋለን, ከዚያም እኩልታው ቅጹን ይወስዳል 9 x 2 \u003d - 7.
የውጤቱን እኩልታ በሁለቱም በኩል እናካፋለን 9 ወደ x 2 = - 7 9 እንመጣለን. በቀኝ በኩል የመቀነስ ምልክት ያለው ቁጥር እናያለን ይህም ማለት፡ የተሰጠው እኩልነት ሥር የለውም። ከዚያ ዋናው ያልተጠናቀቀ ባለአራት እኩልታ 9 x 2 + 7 = 0ሥር አይኖረውም.

መልስ፡-እኩልታው 9 x 2 + 7 = 0ሥር የለውም።

ምሳሌ 4

እኩልታውን መፍታት አስፈላጊ ነው - x2 + 36 = 0.

መፍትሄ

36 ን ወደ ቀኝ በኩል እናንቀሳቅስ፡- - x 2 = - 36.
ሁለቱንም ክፍሎች እንከፋፍላቸው − 1 , እናገኛለን x2 = 36. በቀኝ በኩል አወንታዊ ቁጥር አለ, ከእሱ መደምደም እንችላለን x = 36 ወይም x = - 36 .
ሥሩን አውጥተን የመጨረሻውን ውጤት እንጽፋለን-ያልተሟላ ኳድራቲክ እኩልታ - x2 + 36 = 0ሁለት ሥሮች አሉት x=6ወይም x = -6.

መልስ፡- x=6ወይም x = -6.

የእኩልታው መፍትሄ a x 2 +b x=0

ሶስተኛውን አይነት ያልተሟሉ ኳድራቲክ እኩልታዎችን እንመርምር፣ መቼ ሐ = 0. ላልተሟላ የኳድራቲክ እኩልታ መፍትሄ ለማግኘት ሀ x 2 + b x = 0, የፋክተሪንግ ዘዴን እንጠቀማለን. በቅንፍ ውስጥ ያለውን የጋራ ምክንያት በማውጣት በግራ በኩል ያለውን ፖሊኖሚል እናሰራለን x. ይህ እርምጃ የመጀመሪያውን ያልተሟላ አራት ማዕዘን እኩልታ ወደ ተመሳሳይነት ለመቀየር ያስችላል x (a x + b) = 0. እና ይህ እኩልነት, በተራው, ከተመጣጣኝ ስብስቦች ጋር እኩል ነው x=0እና a x + b = 0. እኩልታው a x + b = 0መስመራዊ እና ሥሩ; x = - b a.

ፍቺ 7

ስለዚህ, ያልተሟላ ኳድራቲክ እኩልታ ሀ x 2 + b x = 0ሁለት ሥሮች ይኖራቸዋል x=0እና x = - b a.

ንብረቱን በምሳሌ እናጠናቅቀው።

ምሳሌ 5

የሒሳብ 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 መፍትሄ መፈለግ አስፈላጊ ነው.

መፍትሄ

እናውጣ xከቅንፉ ውጭ እና እኩልታውን ያግኙ x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . ይህ እኩልታ ከእኩልታዎች ጋር እኩል ነው። x=0እና 2 3 x - 2 2 7 = 0. አሁን የተገኘውን መስመራዊ እኩልታ መፍታት አለብህ፡ 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3 .

በአጭሩ ፣ የእኩልታውን መፍትሄ እንደሚከተለው እንጽፋለን-

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ወይም 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ወይም x = 3 3 7

መልስ፡- x = 0, x = 3 3 7 .

አድሎአዊ፣ የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች ቀመር

ለኳድራቲክ እኩልታዎች መፍትሄ ለማግኘት የስር ቀመር አለ፡-

ፍቺ 8

x = - b ± D 2 a, የት D = b 2 - 4 a cየኳድራቲክ እኩልታ አድልዎ የሚባለው።

x \u003d - b ± D 2 a መፃፍ በመሠረቱ x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

የተጠቆመው ቀመር እንዴት እንደተገኘ እና እንዴት እንደሚተገበር ለመረዳት ጠቃሚ ይሆናል.

የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች ቀመር ማውጣት

የኳድራቲክ እኩልታ የመፍታት ስራ ገጥሞናል እንበል a x 2 + b x + c = 0. በርካታ ተመጣጣኝ ለውጦችን እናድርግ፡-

• የእኩልቱን ሁለቱንም ጎኖች በቁጥር ይከፋፍሉ ሀ, ከዜሮ የተለየ, የተቀነሰውን ኳድራቲክ እኩልታ እናገኛለን: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• በውጤቱ እኩልታ በግራ በኩል ያለውን ሙሉ ካሬ ይምረጡ፡-
  x 2 + ባ x + ca = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca
  ከዚህ በኋላ, እኩልታው ቅጹን ይወስዳል: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• አሁን የመጨረሻዎቹን ሁለት ቃላት ወደ ቀኝ በኩል ማስተላለፍ ይቻላል, ምልክቱን ወደ ተቃራኒው መለወጥ, ከዚያ በኋላ እናገኛለን: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a;
• በመጨረሻ ፣ በመጨረሻው እኩልነት በቀኝ በኩል የተጻፈውን አገላለጽ እንለውጣለን-
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

ስለዚህም ወደ ቀመር x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 ደርሰናል ይህም ከዋናው እኩልታ ጋር እኩል ነው። a x 2 + b x + c = 0.

በቀደሙት አንቀጾች (ያልተሟሉ የኳድራቲክ እኩልታዎች መፍትሄ) የእንደዚህ አይነት እኩልታዎች መፍትሄ ተወያይተናል. ቀደም ሲል የተገኘው ልምድ የእኩልቱን ሥሮች በተመለከተ መደምደሚያ ላይ ለመድረስ ያስችላል x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2፡

• ለ b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• ለ b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, ቀመር x + b 2 · a 2 = 0, ከዚያም x + b 2 · a = 0 ቅጽ አለው.

ከዚህ, ብቸኛው ሥር x = - b 2 · a ግልጽ ነው;

• ለ b 2 - 4 a c 4 a 2> 0 ትክክለኛው፡ x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 or x = b 2 a - b 2 - 4 ac 4 a 2 ነው፡ እሱም እንደ x + - b 2 a = b 2 - 4 ac 4 a 2 ወይም x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, i.e. እኩልታው ሁለት ሥሮች አሉት.

የእኩልታው ሥሮች መገኘት ወይም አለመገኘት x + b 2 a 2 = b 2 - 4 ac 4 a 2 (እና ስለዚህ ዋናው እኩልታ) በአረፍተ ነገሩ ምልክት ላይ የተመሰረተ ነው ብሎ መደምደም ይቻላል b 2 - 4 ac 4 · a 2 በቀኝ በኩል ተጽፏል. እናም የዚህ አገላለጽ ምልክት የሚሰጠው በቁጥር ቆጣቢው ምልክት ነው (ተከፋፈለው 4 ለ 2ሁልጊዜም አዎንታዊ ይሆናል), ማለትም የመግለጫው ምልክት b 2 - 4 a c. ይህ አገላለጽ b 2 - 4 a cስም ተሰጥቷል - የኳድራቲክ እኩልታ አድልዎ እና D ፊደል እንደ ስያሜው ይገለጻል። እዚህ የአድሎአዊውን ምንነት መፃፍ ይችላሉ - በእሴቱ እና በምልክቱ ፣ ኳድራቲክ እኩልታ እውነተኛ ሥሮች ይኖሩ እንደሆነ ይደመድማሉ ፣ እና ከሆነ ፣ ስንት ሥሮች - አንድ ወይም ሁለት።

ወደ ቀመር x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 እንመለስ። የአድሎአዊ መግለጫውን በመጠቀም እንደገና እንጽፈው፡ x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

መደምደሚያዎቹን ደግመን እናነሳ፡-

ትርጉም 9

• በ ዲ< 0 እኩልታው እውነተኛ ሥሮች የሉትም;
• በ D=0እኩልታው አንድ ሥር አለው x = - b 2 · a;
• በ መ > 0ስሌቱ ሁለት ሥሮች አሉት x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 or x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. በአክራሪዎች ባህሪያት ላይ በመመስረት, እነዚህ ሥሮች እንደሚከተለው ሊጻፉ ይችላሉ: x \u003d - b 2 a + D 2 a or - b 2 a - D 2 a. እና ሞጁሎቹን ስንከፍት እና ክፍልፋዮቹን ወደ አንድ የጋራ መለያ ስንቀንስ: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

ስለዚህ፣ የአስተሳሰባችን ውጤት የኳድራቲክ እኩልታ ሥረ መሠረት ቀመሩን መውጣቱ ነበር፡-

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, አድሎአዊ ዲበቀመር የተሰላ D = b 2 - 4 a c.

እነዚህ ቀመሮች አድሎአዊው ከዜሮ በላይ በሚሆንበት ጊዜ ሁለቱንም እውነተኛ ሥሮች ለመወሰን ያስችላሉ። አድሎአዊው ዜሮ ሲሆን ሁለቱንም ቀመሮች መተግበር ለካድራቲክ እኩልታ ብቸኛው መፍትሄ አንድ አይነት ስር ይሰጣል። አድሎአዊው አሉታዊ በሆነበት ሁኔታ ፣ ኳድራቲክ ስር ቀመሩን ለመጠቀም እየሞከርን ፣ የአሉታዊ ቁጥርን ካሬ ሥሩን ማውጣት አለብን ፣ ይህም ከእውነተኛ ቁጥሮች በላይ ይወስደናል። በአሉታዊ አድልዎ ፣ ኳድራቲክ እኩልታ እውነተኛ ሥሮች አይኖረውም ፣ ግን በተገኘው ተመሳሳይ የስር ቀመሮች የሚወሰኑ ጥንድ ውስብስብ conjugate ሥሮች ሊኖሩ ይችላሉ።

የስር ቀመሮችን በመጠቀም ኳድራቲክ እኩልታዎችን ለመፍታት አልጎሪዝም

የስር ፎርሙላውን ወዲያውኑ በመጠቀም አራት ማዕዘን ቅርጾችን መፍታት ይቻላል, ነገር ግን በመሠረቱ ይህ ውስብስብ ሥሮችን ማግኘት በሚያስፈልግበት ጊዜ ይከናወናል.

በአብዛኛዎቹ ጉዳዮች, ፍለጋው ብዙውን ጊዜ ውስብስብ አይደለም, ነገር ግን የኳድራቲክ እኩልታ ትክክለኛ ሥሮች. ከዚያም ኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች ለ ቀመሮችን ከመጠቀምዎ በፊት በመጀመሪያ አድልዎ ለመወሰን እና አሉታዊ አለመሆኑን ያረጋግጡ (አለበለዚያ እኩልቱ ምንም እውነተኛ ሥሮች የለውም ብለን መደምደም እንችላለን) እና ከዚያ ለማስላት ይቀጥሉ። ሥሮቹ ዋጋ.

ከላይ ያለው ምክንያት የኳድራቲክ እኩልታን ለመፍታት ስልተ ቀመር ለማዘጋጀት ያስችላል።

ፍቺ 10

ኳድራቲክ እኩልታ ለመፍታት a x 2 + b x + c = 0አስፈላጊ፡-

• በቀመርው መሰረት D = b 2 - 4 a cየአድልዎውን ዋጋ ያግኙ;
• በዲ< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• ለ D = 0 የቀመርውን ብቸኛ ሥር ያግኙ x = - b 2 · a;
• ለ D > 0፣ የኳድራቲክ እኩልታ ሁለት ትክክለኛ ስሮች በቀመር x = - b ± D 2 · ሀ ይወስኑ።

አድልዎ ዜሮ በሚሆንበት ጊዜ ቀመሩን x = - b ± D 2 · a ን መጠቀም እንደሚችሉ ልብ ይበሉ ፣ እሱ እንደ ቀመር x = - b 2 · a ተመሳሳይ ውጤት ይሰጣል።

ምሳሌዎችን ተመልከት።

ባለአራት እኩልታዎችን የመፍታት ምሳሌዎች

ለተለያዩ አድልዎ እሴቶች ምሳሌዎችን መፍትሄ እናቀርባለን።

ምሳሌ 6

የእኩልቱን ሥሮች መፈለግ አስፈላጊ ነው x 2 + 2 x - 6 = 0.

መፍትሄ

የኳድራቲክ እኩልታ አሃዛዊ ድምጾችን እንጽፋለን-a \u003d 1, b\u003d 2 እና ሐ = - 6. በመቀጠል, በአልጎሪዝም መሰረት እንሰራለን, ማለትም. አድልኦውን ማስላት እንጀምር፣ ለዚህም አሃዞችን የምንተኩበት ሀ፣ ለ እና ሐወደ አድሏዊ ቀመር፡- D = b 2 - 4 a c = 2 2 - 4 1 (- 6) = 4 + 24 = 28 .

ስለዚህ፣ D> 0 አግኝተናል፣ ይህ ማለት የመነሻ እኩልታ ሁለት እውነተኛ ሥሮች ይኖረዋል ማለት ነው።
እነሱን ለማግኘት, የስር ቀመሩን x \u003d - b ± D 2 · a እንጠቀማለን እና ተገቢውን እሴቶችን በመተካት: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1 እናገኛለን. የተፈጠረውን አገላለጽ ከሥሩ ምልክት ውስጥ በማውጣት እና ክፍልፋዩን በመቀነስ እናቀላለን-

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 ወይም x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 ወይም x = - 1 - 7

መልስ፡- x = - 1 + 7 ፣ x = - 1 - 7 ።

ምሳሌ 7

የኳድራቲክ እኩልታ መፍታት አስፈላጊ ነው - 4 x 2 + 28 x - 49 = 0.

መፍትሄ

አድሎአዊውን እንግለጽ፡- D = 28 2 - 4 (- 4) (- 49) = 784 - 784 = 0. በዚህ የአድሎአዊ እሴት፣ የመጀመሪያው እኩልታ አንድ ሥር ብቻ ይኖረዋል፣ በቀመር x = - b 2 · a ይወሰናል።

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

መልስ፡- x = 3, 5.

ምሳሌ 8

እኩልታውን መፍታት አስፈላጊ ነው 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

መፍትሄ

የዚህ እኩልታ አሃዛዊ ቅንጅቶች: a = 5, b = 6 እና c = 2 ይሆናሉ. አድሎአዊውን ለማግኘት እነዚህን እሴቶች እንጠቀማለን፡ D = b 2 - 4 · a · c = 6 2 - 4 · 5 · 2 = 36 - 40 = - 4 . የተሰላው አድሎአዊነት አሉታዊ ነው፣ ስለዚህ የመጀመሪያው ኳድራቲክ እኩልታ ምንም እውነተኛ ሥሮች የሉትም።

ተግባሩ ውስብስብ ሥሮችን ለማመልከት ከሆነ ፣ ውስብስብ ቁጥሮችን በመጠቀም የስር ቀመሩን እንተገብራለን-

x \u003d - 6 ± - 4 2 5፣

x \u003d - 6 + 2 i 10 ወይም x \u003d - 6 - 2 i 10፣

x = - 3 5 + 1 5 i or x = - 3 5 - 1 5 i.

መልስ፡-እውነተኛ ሥሮች የሉም; ውስብስብ ሥሮቹ የሚከተሉት ናቸው: - 3 5 + 1 5 i, - 3 5 - 1 5 i.

በት / ቤት ሥርዓተ-ትምህርት ውስጥ ፣ እንደ መደበኛ ፣ ውስብስብ ሥሮችን ለመፈለግ ምንም መስፈርት የለም ፣ ስለሆነም ፣ አድልዎ በመፍትሔው ጊዜ አሉታዊ ተብሎ ከተገለጸ ፣ መልሱ ወዲያውኑ ምንም እውነተኛ ሥሮች እንደሌሉ ይመዘገባል ።

የስር ፎርሙላ ለሁለተኛው እኩልነት

የስር ፎርሙላ x = - b ± D 2 a (D = b 2 - 4 ac) ሌላ ፎርሙላ እንድታገኝ ያስችልሃል፣ የበለጠ የታመቀ፣ ለአራት እኩልታዎች በ x (ወይም በኮፊሸን) እኩል የሆነ መፍትሔ እንድታገኝ ያስችልሃል። የቅጹ 2 a n ለምሳሌ 2 3 ወይም 14 ln 5 = 2 7 ln 5)። ይህ ቀመር እንዴት እንደተገኘ እናሳይ።

የኳድራቲክ እኩልታ አ · x 2 + 2 · n · x + c = 0 መፍትሄ የማግኘት ሥራ ገጥሞናል እንበል። በአልጎሪዝም መሰረት እንሰራለን፡ አድሎአዊውን D = (2 n) 2 - 4 a c = 4 n 2 - 4 a c = 4 (n 2 - a c) እንወስናለን እና በመቀጠል ስርወ ቀመሩን እንጠቀማለን።

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x \u003d - n ± n 2 - አ · ካ.

n 2 - a c የሚለው አገላለጽ D 1 ተብሎ ይገለጽ (አንዳንዴም D " ይባላል)። ከዚያም ከሁለተኛው Coefficient 2 n ጋር የታሰበው ኳድራቲክ እኩልታ ሥር ያለው ቀመር ቅጹን ይወስዳል።

x \u003d - n ± D 1 a, የት D 1 \u003d n 2 - a ሐ.

D = 4 · D 1, ወይም D 1 = D 4 መሆኑን ለማየት ቀላል ነው. በሌላ አነጋገር፣ D 1 ከአድልዎ ሩብ ነው። በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው የዲ 1 ምልክት ከ D ምልክት ጋር ተመሳሳይ ነው, ይህም ማለት የ D 1 ምልክት የኳድራቲክ እኩልታ ስሮች መገኘት ወይም አለመገኘት አመላካች ሆኖ ሊያገለግል ይችላል.

ፍቺ 11

ስለዚህ ፣ ለኳድራቲክ እኩልታ ከ 2 n ሁለተኛ ኮፊሸን ጋር መፍትሄ ለማግኘት አስፈላጊ ነው-

• አግኝ D 1 = n 2 - a c;
• በዲ 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• ለ D 1 = 0, የቀመርውን ብቸኛ ሥር በቀመር x = - n a ይወስኑ;
• ለ D 1> 0, ቀመር x = - n ± D 1 ሀ በመጠቀም ሁለት እውነተኛ ሥሮችን ይወስኑ.

ምሳሌ 9

የኳድራቲክ እኩልታ 5 · x 2 - 6 · x - 32 = 0 ን መፍታት አስፈላጊ ነው.

መፍትሄ

የተጠቀሰው እኩልታ ሁለተኛ እኩልነት እንደ 2 · (- 3) ሊወከል ይችላል። ከዚያም የተሰጠውን ኳድራቲክ እኩልታ እንደ 5 · x 2 + 2 · (- 3) · x - 32 = 0, a = 5, n = - 3 እና c = - 32 እንደገና እንጽፋለን.

የአድሎአዊውን አራተኛ ክፍል እናሰላው፡ D 1 = n 2 - a c = (- 3) 2 - 5 (- 32) = 9 + 160 = 169 . የተገኘው እሴት አዎንታዊ ነው, ይህም ማለት እኩልታው ሁለት እውነተኛ ሥሮች አሉት. በተዛማጅ ሥሮቹ ቀመር እንገልጻቸዋለን፡-

x = - n ± D 1 ሀ ፣ x = - - 3 ± 169 5 ፣ x = 3 ± 13 5 ፣

x = 3 + 13 5 ወይም x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 ወይም x = - 2

የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮቹን በተለመደው ቀመር በመጠቀም ስሌቶችን ማከናወን ይቻል ነበር, ነገር ግን በዚህ ሁኔታ መፍትሄው የበለጠ አስቸጋሪ ይሆናል.

መልስ፡- x = 3 1 5 ወይም x = - 2.

የኳድራቲክ እኩልታዎች ቅርፅን ማቃለል

አንዳንድ ጊዜ የዋናውን እኩልነት ቅርፅ ማመቻቸት ይቻላል, ይህም ሥሮቹን ለማስላት ሂደቱን ቀላል ያደርገዋል.

ለምሳሌ ፣ ኳድራቲክ እኩልታ 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 ከ 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0 ለመፍታት የበለጠ ምቹ ነው ።

ብዙውን ጊዜ የኳድራቲክ እኩልታ ቅርፅን ማቃለል የሚከናወነው ሁለቱንም ክፍሎቹን በተወሰነ ቁጥር በማባዛት ወይም በማካፈል ነው። ለምሳሌ፣ ከላይ ያለውን ቀለል ያለ ውክልና አሳይተናል 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0፣ ሁለቱንም ክፍሎቹን በ100 በማካፈል የተገኘው።

እንዲህ ዓይነቱ ለውጥ የሚቻለው የኳድራቲክ እኩልዮሽ ቅንጅቶች በአንጻራዊነት ዋና ቁጥሮች ካልሆኑ ነው. ከዚያ ፣ ብዙውን ጊዜ ፣ ​​የሁለቱም የእኩልታ ክፍሎች በፍፁም የእሴቶቹ ጋራ አከፋፋይ የተከፋፈሉ ናቸው።

እንደ ምሳሌ፣ አራት ማዕዘን ቀመር 12 x 2 - 42 x + 48 = 0 እንጠቀማለን። የእሱን ጥምርታዎች ፍፁም እሴቶች gcd እንገልፃለን፡ gcd (12 ፣ 42 ፣ 48) = gcd (gcd (12 ፣ 42) ፣ 48) = gcd (6 ፣ 48) = 6 . የዋናውን ኳድራቲክ እኩልታ ሁለቱንም ክፍሎች በ6 እንከፍለው እና ተመጣጣኝ ኳድራቲክ እኩልታ 2 · x 2 - 7 · x + 8 = 0 ያግኙ።

የኳድራቲክ እኩልታውን ሁለቱንም ጎኖች በማባዛት, ክፍልፋይ መጋጠሚያዎች ብዙውን ጊዜ ይወገዳሉ. በዚህ አጋጣሚ፣ የእሱን ውህዶች መጠየቂያዎች በትንሹ በተለመደው ብዜት ማባዛት። ለምሳሌ ፣ እያንዳንዱ የኳድራቲክ እኩልታ ክፍል 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 በኤልሲኤም (6 ፣ 3 ፣ 1) \u003d 6 ቢባዛ ፣ ከዚያ በቀላል x 2 + ይፃፋል። 4 x - 18 = 0.

በመጨረሻም ፣ እኛ ሁልጊዜ ማለት ይቻላል በ quadratic equation የመጀመሪያ መጠን መቀነስ ፣ የእያንዳንዱን የእኩልታ ቃል ምልክቶችን በመቀየር ፣ ሁለቱንም ክፍሎች በ - 1 በማባዛት (ወይም በማካፈል) የሚገኝ መሆኑን እናስተውላለን። ለምሳሌ ፣ ከኳድራቲክ እኩልታ - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0 ፣ ወደ ቀለሉ ስሪት 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0 መሄድ ይችላሉ።

በስሮች እና በቁጥር መካከል ያለው ግንኙነት

ቀድሞውንም የታወቀው ፎርሙላ የኳድራቲክ እኩልታዎች ሥሮች x = - b ± D 2 · a የእኩልታውን ሥረ-ሥሮች ከቁጥር አሃዞች አንፃር ይገልፃል። በዚህ ፎርሙላ ላይ በመመስረት ሌሎች ጥገኝነቶችን በስሩ እና በቁጥር መካከል የማዘጋጀት እድል አለን።

በጣም ዝነኛ እና ተፈጻሚነት ያላቸው የቪዬታ ቲዎሬም ቀመሮች ናቸው፡-

x 1 + x 2 \u003d - b a እና x 2 \u003d c a.

በተለይም ለተሰጠው ኳድራቲክ እኩልታ, ሥሮቹ ድምር ከተቃራኒው ምልክት ጋር ሁለተኛው ኮፊሸን ነው, እና የሥሮቹ ምርት ከነፃ ቃል ጋር እኩል ነው. ለምሳሌ ፣ በ quadratic equation 3 · x 2 - 7 · x + 22 \u003d 0 ፣ የሥሩ ድምር 7 3 መሆኑን ወዲያውኑ ማወቅ ይቻላል ፣ እና የሥሩ ምርት 22 3 ነው።

እንዲሁም በኳድራቲክ እኩልታ ስሮች እና ውህዶች መካከል ሌሎች በርካታ ግንኙነቶችን ማግኘት ይችላሉ። ለምሳሌ፣ የኳድራቲክ እኩልታ ስሮች ካሬዎች ድምር በቁጥር (coefficients) ሊገለጽ ይችላል።

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - ba 2 - 2 ca = b 2 a 2 - 2 ca = b 2 - 2 a ca 2።

በጽሁፉ ላይ ስህተት ካጋጠመህ እባክህ አድምቀው Ctrl+Enter ን ተጫን

Kopyevskaya የገጠር ሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤት

ኳድራቲክ እኩልታዎችን ለመፍታት 10 መንገዶች

ኃላፊ: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

የሂሳብ መምህር

s. Kopyevo, 2007

1. የኳድራቲክ እኩልታዎች እድገት ታሪክ

1.1 በጥንቷ ባቢሎን ኳድራቲክ እኩልታዎች

1.2 ዲዮፋንተስ አራት ማዕዘኖችን እንዴት እንዳጠናቀረ እና እንደፈታ

1.3 ኳድራቲክ እኩልታዎች በህንድ

1.4 ኳድራቲክ እኩልታዎች በአል-ክዋሪዝሚ

1.5 ኳድራቲክ እኩልታዎች በአውሮፓ XIII - XVII ክፍለ ዘመናት

1.6 ስለ ቪዬታ ቲዎሬም

2. ኳድራቲክ እኩልታዎችን ለመፍታት ዘዴዎች

ማጠቃለያ

ስነ ጽሑፍ

1. የኳድራቲክ እኩልታዎች እድገት ታሪክ

1.1 በጥንቷ ባቢሎን ኳድራቲክ እኩልታዎች

በጥንት ጊዜ የአንደኛውን ብቻ ሳይሆን የሁለተኛ ዲግሪን እኩልታዎች የመፍታት አስፈላጊነት የተፈጠረው የመሬት እና የመሬት ስራዎች ወታደራዊ ተፈጥሮን እንዲሁም የስነ ከዋክብትን እድገትን በተመለከተ ችግሮችን መፍታት አስፈላጊ ነበር ። ሒሳብ ራሱ. ኳድራቲክ እኩልታዎች በ2000 ዓክልበ ገደማ መፍታት ችለዋል። ሠ. ባቢሎናውያን።

ዘመናዊውን የአልጀብራ አጻጻፍ በመጠቀም፣ በኩኒፎርም ጽሑፎቻቸው ውስጥ፣ ካልተሟሉ በተጨማሪ፣ እንደዚህ ያሉ፣ ለምሳሌ፣ የተሟላ ባለአራት እኩልታዎች አሉ ማለት እንችላለን።

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

በባቢሎናውያን ጽሑፎች ውስጥ የተገለጹት እነዚህን እኩልታዎች የመፍታት ደንብ በመሠረቱ ከዘመናዊው ጋር ይዛመዳል፣ ነገር ግን ባቢሎናውያን ወደዚህ አገዛዝ እንዴት እንደመጡ አይታወቅም። እስካሁን የተገኙት ሁሉም ማለት ይቻላል የኩኒፎርም ጽሑፎች በምግብ አዘገጃጀት መልክ በተገለጹት መፍትሄዎች ላይ ችግሮችን ብቻ ይሰጣሉ ፣እንዴት እንደተገኙም ምንም ምልክት የለም።

በባቢሎን የአልጀብራ ከፍተኛ የእድገት ደረጃ ቢኖረውም የኩኒፎርም ጽሑፎች የአሉታዊ ቁጥር ጽንሰ-ሀሳብ እና ኳድራቲክ እኩልታዎችን ለመፍታት አጠቃላይ ዘዴዎች ይጎድላቸዋል።

1.2 ዲዮፋንተስ አራት ማዕዘኖችን እንዴት እንዳጠናቀረ እና እንደፈታ።

የዲዮፋንተስ አርቲሜቲክ አልጀብራ ስልታዊ ኤክስፖሲሽን አልያዘም ነገር ግን ስልታዊ ተከታታይ ችግሮችን ይዟል፣ ከማብራሪያ ጋር የታጀበ እና የተለያየ ዲግሪ ያላቸው እኩልታዎችን በመቅረፅ።

እኩልታዎችን ሲያጠናቅቅ ዲዮፓንተስ መፍትሄውን ለማቃለል ያልታወቁትን በብቃት ይመርጣል።

እዚህ, ለምሳሌ, የእሱ ተግባራት አንዱ ነው.

ተግባር 11."ድምራቸው 20 እና ምርታቸው 96 መሆኑን አውቃችሁ ሁለት ቁጥሮችን ፈልጉ"

ዲዮፓንተስ እንደሚከተለው ይከራከራል-ከችግሩ ሁኔታ የሚፈለጉት ቁጥሮች እኩል አይደሉም, ምክንያቱም እኩል ከሆኑ, ምርታቸው ከ 96 ጋር እኩል ይሆናል, ግን 100 እኩል ይሆናል. ስለዚህም ከመካከላቸው አንዱ የበለጠ ይሆናል. የእነሱ ድምር ግማሽ ማለትም. 10+x, ሌላኛው ትንሽ ነው, ማለትም. 10 ዎቹ. በመካከላቸው ያለው ልዩነት 2x .

ስለዚህ እኩልታው፡-

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

ከዚህ x = 2. ከሚፈለጉት ቁጥሮች አንዱ ነው 12 , ሌላ 8 . መፍትሄ x = -2የግሪክ ሂሳብ አወንታዊ ቁጥሮችን ብቻ ስለሚያውቅ ዲዮፋንተስ የለምና።

ይህንን ችግር ከተፈለገው ቁጥሮች ውስጥ አንዱን እንደ የማይታወቅ በመምረጥ ከፈታን, ወደ እኩልታው መፍትሄ እንመጣለን.

y (20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Diophantus የማይታወቁትን የሚፈለጉትን ቁጥሮች ግማሹን ልዩነት በመምረጥ መፍትሄውን እንደሚያቃልል ግልጽ ነው; ያልተሟላ የኳድራቲክ እኩልታ (1) ለመፍታት ችግሩን ለመቀነስ ይቆጣጠራል.

1.3 በህንድ ውስጥ ኳድራቲክ እኩልታዎች

የኳድራቲክ እኩልታዎች ችግሮች ቀድሞውኑ በህንድ የሂሳብ ሊቅ እና የሥነ ፈለክ ተመራማሪ አርያባሃታ በ 499 በተዘጋጀው በሥነ ፈለክ ትራክት "Aryabhattam" ውስጥ ይገኛሉ. ሌላው የሕንድ ሳይንቲስት ብራህማጉፕታ (7ኛው ክፍለ ዘመን) ወደ አንድ ቀኖናዊ ቅፅ የተቀነሱትን ኳድራቲክ እኩልታዎችን ለመፍታት አጠቃላይ ህግን ገልፀዋል፡-

አሀ 2+ ለ x = c፣ a > 0. (1)

በቀመር (1) ውስጥ፣ ከጥቅሞቹ በስተቀር ግን, እንዲሁም አሉታዊ ሊሆን ይችላል. የብራህማጉፕታ ህግ ከኛ ጋር ይገጥማል።

በጥንቷ ሕንድ አስቸጋሪ ችግሮችን ለመፍታት ህዝባዊ ውድድሮች የተለመዱ ነበሩ. ከጥንቶቹ የህንድ መጽሃፎች በአንዱ ላይ ስለ እንደዚህ አይነት ውድድሮች እንዲህ ተብሏል፡- “ፀሀይ ከዋክብትን በደመቀ ሁኔታ እንደምትወጣ፣ እንዲሁ የተማረ ሰውም በህዝባዊ ስብሰባዎች የሌላውን ክብር ያጎናጽፋል፣ የአልጀብራ ችግሮችንም ሀሳብ ያቀርባል እና ይፈታል። ተግባራት ብዙውን ጊዜ በግጥም መልክ ይለብሱ ነበር.

የ 12 ኛው ክፍለ ዘመን ታዋቂው የህንድ የሂሳብ ሊቅ ችግሮች አንዱ እዚህ አለ። ብሃስካራ

ተግባር 13.

“የቀጭኑ የዝንጀሮ መንጋ አሥራ ሁለትም በወይን ግንድ ውስጥ...

ኃይል በልቼ ተዝናናሁ። ተንጠልጥለው መዝለል ጀመሩ ...

ክፍል ስምንት በአንድ አደባባይ ላይ ስንት ጦጣዎች ነበሩ፣

በሜዳው ውስጥ መዝናናት. ንገረኝ፣ በዚህ መንጋ ውስጥ?

የብሃስካራ መፍትሔ የሚያመለክተው ስለ ኳድራቲክ እኩልታዎች ሥረ-ሁለት እሴት እንደሚያውቅ ነው (ምሥል 3)።

ከችግር 13 ጋር የሚዛመደው ቀመር፡-

( x /8) 2 + 12 = x

ብሃስካራ በዚ ምኽንያት እዚ ኽትገልጽ ከላ፡ “ኣነ ንእሽቶ ኽትከውን ትኽእል ኢኻ።

x 2 - 64x = -768

እና, የዚህን እኩልታ በግራ በኩል ወደ ካሬው ለማጠናቀቅ, በሁለቱም በኩል ይጨምራል 32 2 ከዚያም ማግኘት:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024፣

(x - 32) 2 = 256፣

x - 32 = ± 16፣

x 1 = 16፣ x 2 = 48።

1.4 ኳድራቲክ እኩልታዎች በአል-ኮሬዝሚ

የአል-ኮሬዝሚ አልጀብራ ትረካ የመስመራዊ እና የኳድራቲክ እኩልታዎችን ምደባ ይሰጣል። ደራሲው 6 አይነት እኩልታዎችን ዘርዝሯል፣ እንደሚከተለው ይገልፃቸዋል።

1) "ካሬዎች ከሥሮች ጋር እኩል ናቸው", ማለትም. መጥረቢያ 2 + c = ለ X.

2) "ካሬዎች ከቁጥር ጋር እኩል ናቸው", ማለትም. መጥረቢያ 2 = s.

3) "ሥሮቹ ከቁጥሩ ጋር እኩል ናቸው", ማለትም. አህ = s.

4) "ካሬዎች እና ቁጥሮች ከሥሮች ጋር እኩል ናቸው", ማለትም. መጥረቢያ 2 + c = ለ X.

5) "ካሬዎች እና ስሮች ከቁጥሩ ጋር እኩል ናቸው", ማለትም. አሀ 2+ bx = ሰ.

6) "ሥሮች እና ቁጥሮች ከካሬዎች ጋር እኩል ናቸው", ማለትም. bx + c \u003d መጥረቢያ 2.

ለአል-ክዋሪዝሚ፣ አሉታዊ ቁጥሮችን ከመጠቀም ለቆጠበ፣ የእያንዳንዳቸው እኩልታዎች ውሎች ተጨምረዋል እንጂ መቀነስ አይደሉም። በዚህ ሁኔታ, አወንታዊ መፍትሄዎች የሌላቸው እኩልታዎች በግልጽ አይወሰዱም. ደራሲው የአል-ጀብር እና የአል-ሙቃባላ ዘዴዎችን በመጠቀም እነዚህን እኩልታዎች የመፍታት ዘዴዎችን ዘርዝሯል። የእሱ ውሳኔዎች ከኛ ጋር ሙሉ በሙሉ የሚስማሙ አይደሉም። እሱ ብቻ የአጻጻፍ ዘይቤ መሆኑን ሳንጠቅስ ፣ ለምሳሌ ፣ የመጀመሪያው ዓይነት ያልተሟላ አራት ማዕዘናዊ እኩልታ ሲፈታ ልብ ሊባል ይገባል።

አል-Khorezmi, ከ 17 ኛው ክፍለ ዘመን በፊት እንደ ሁሉም የሂሳብ ሊቃውንት, ዜሮ መፍትሄን ከግምት ውስጥ አያስገባም, ምክንያቱም በተወሰኑ ተግባራዊ ችግሮች ላይ ምንም ለውጥ አያመጣም. የተሟላ ባለአራት እኩልታዎችን በሚፈታበት ጊዜ፣ አል-ኮሬዝሚ የመፍትሄ ህጎችን እና ከዚያም የጂኦሜትሪክ ማረጋገጫዎችን ልዩ የቁጥር ምሳሌዎችን ያስቀምጣል።

ተግባር 14."ካሬው እና ቁጥር 21 ከ 10 ሥሮች ጋር እኩል ናቸው. ሥሩን ፈልግ" (የቀመር x 2 + 21 = 10x ሥረ መሰረቱን ግምት ውስጥ በማስገባት)።

የጸሐፊው መፍትሔ የሚከተለውን ይመስላል፡ የሥሩን ቁጥር በግማሽ ይካፈሉ፡ 5 ያገኛሉ፡ 5 በራሱ ይባዛሉ፡ ከምርቱ 21 ቀንሱ፡ 4 ቅሪት፡ የ 4 ሥሩን ይወስዳሉ፡ 2 ያገኛሉ፡ 2 ከ 5 ይቀንስልሃል። ያግኙ 3, ይህ የሚፈለገው ሥር ይሆናል. ወይም 2 ለ 5 ይጨምሩ, ይህም 7 ይሰጣል, ይህ ደግሞ ሥር ነው.

ትሬቲዝ አል - ክሆሬዝሚ ወደ እኛ የመጣ የመጀመሪያው መጽሐፍ ነው ፣ በዚህ ውስጥ የኳድራቲክ እኩልታዎች ምደባ በስርዓት የተቀመጠ እና የመፍትሄ ቀመሮች የተሰጡበት ነው።

1.5 ኳድራቲክ እኩልታዎች በአውሮፓ XIII - XVII ክፍለ ዘመናት

በአውሮፓ ውስጥ በአል - ክሆሬዝሚ ሞዴል ላይ አራት እኩልታዎችን ለመፍታት ቀመሮች ለመጀመሪያ ጊዜ የተቀመጡት በ 1202 በጣሊያን የሂሳብ ሊቅ ሊዮናርዶ ፊቦናቺ በተጻፈው “የአባከስ መጽሐፍ” ውስጥ ነው። የእስልምና እና የጥንቷ ግሪክ ሀገሮች የሂሳብን ተፅእኖ የሚያንፀባርቅ ይህ ትልቅ ስራ በሁለቱም የተሟላ እና የአቀራረብ ግልፅነት ተለይቷል። ደራሲው ራሱን ችሎ አንዳንድ አዲስ የአልጀብራ ችግሮችን የመፍታት ምሳሌዎችን አዘጋጅቷል እና በአውሮፓ ውስጥ አሉታዊ ቁጥሮችን ለማስተዋወቅ የመጀመሪያው ነው። የእሱ መጽሃፍ በጣሊያን ውስጥ ብቻ ሳይሆን በጀርመን, በፈረንሳይ እና በሌሎች የአውሮፓ ሀገራት የአልጀብራ እውቀት እንዲስፋፋ አስተዋጽኦ አድርጓል. ከ "የአባከስ መጽሐፍ" ብዙ ተግባራት በ 16 ኛው - 17 ኛው ክፍለ ዘመን ወደ ሁሉም የአውሮፓ የመማሪያ መጻሕፍት አልፈዋል. እና በከፊል XVIII.

ኳድራቲክ እኩልታዎችን የመፍታት አጠቃላይ ህግ ወደ አንድ ቀኖናዊ ቅፅ ቀንሷል፡

x 2+ bx = ጋር፣

ለሁሉም ሊሆኑ የሚችሉ የቅንጅቶች ምልክቶች ጥምረት ለ , ከበ 1544 በ M. Stiefel የተቀረጸው በአውሮፓ ውስጥ ብቻ ነው.

ቪዬታ አራት ማዕዘን ቅርጾችን ለመፍታት ቀመር አጠቃላይ አመጣጥ አላት ፣ ግን ቪዬታ የምታውቀው አዎንታዊ ሥሮችን ብቻ ነው። ጣሊያናዊው የሂሳብ ሊቃውንት ታርታሊያ, ካርዳኖ, ቦምቤሊ በ 16 ኛው ክፍለ ዘመን ከመጀመሪያዎቹ መካከል ነበሩ. ከአዎንታዊ እና አሉታዊ ሥሮች በተጨማሪ ግምት ውስጥ ያስገቡ። በ XVII ክፍለ ዘመን ብቻ. ለጊራርድ ፣ ዴካርት ፣ ኒውተን እና ሌሎች የሳይንስ ሊቃውንት ስራ ምስጋና ይግባውና ኳድራቲክ እኩልታዎችን የመፍታት መንገድ ዘመናዊ መልክን ይይዛል።

1.6 ስለ ቪዬታ ቲዎሬም

በ quadratic equation እና ሥሮቹ መካከል ያለውን ግንኙነት የሚገልጸው የቪዬታ ስም የያዘው ንድፈ ሐሳብ ለመጀመሪያ ጊዜ በ 1591 እ.ኤ.አ. ለ + ዲተባዝቷል። ሀ - ሀ 2 ፣ እኩል ነው። BD, ከዚያም ሀእኩል ነው። ውስጥእና እኩል ዲ ».

ቪዬታን ለመረዳት አንድ ሰው ያንን ማስታወስ አለበት ግንልክ እንደ ማንኛውም አናባቢ ለእሱ የማይታወቅ (የእኛ X)፣ አናባቢዎቹ ውስጥ፣ ዲ- ለማይታወቅ ውህዶች። በዘመናዊው አልጀብራ ቋንቋ፣ የቪዬታ አጻጻፍ ከላይ፡ ማለት ነው።

(a + ለ ) x - x 2 = ኣብ መወዳእታ ድማ ንህዝቢ ኤርትራ ንህዝቢ ምውሳድ ኣብ ውሽጢ ሃገር ዝርከቡ ምዃኖም ተሓቢሩ ,

x 2 - (a + ለ ) x + ሀ ለ = 0,

x 1 = a, x 2 = ለ .

ምልክቶችን በመጠቀም በተፃፉ አጠቃላይ ቀመሮች የእኩልታዎች ስሮች እና ውህዶች መካከል ያለውን ግንኙነት በመግለጽ፣ ቬትና እኩልታዎችን በመፍታት ዘዴዎች ውስጥ አንድ አይነትነትን አቋቋመች። ይሁን እንጂ የቪዬታ ምልክት አሁንም ከዘመናዊው ቅርጽ በጣም የራቀ ነው. እሱ አሉታዊ ቁጥሮችን አላወቀም, እና ስለዚህ, እኩልታዎችን በሚፈታበት ጊዜ, ሁሉም ሥሮች አወንታዊ የሆኑትን ጉዳዮች ብቻ ግምት ውስጥ ያስገባ ነበር.

2. ኳድራቲክ እኩልታዎችን ለመፍታት ዘዴዎች

ኳድራቲክ እኩልታዎች ግርማ ሞገስ ያለው የአልጀብራ ሕንፃ ያረፈበት መሠረት ነው። ባለአራት እኩልታዎች ትሪግኖሜትሪክ ፣ ገላጭ ፣ ሎጋሪዝም ፣ ኢ-ምክንያታዊ እና ከዘመን ተሻጋሪ እኩልታዎችን እና እኩልነትን ለመፍታት በሰፊው ጥቅም ላይ ይውላሉ። ከትምህርት ቤት (8ኛ ክፍል) ጀምሮ እስከ ምረቃ ድረስ ባለአራት እኩልታዎችን እንዴት እንደሚፈታ ሁላችንም እናውቃለን።

ኳድራቲክ እኩልታ - ለመፍታት ቀላል! * ተጨማሪ በ "KU" ጽሁፍ ውስጥ.ጓደኞች፣ በሂሳብ ውስጥ እንዲህ ያለውን እኩልታ ከመፍታት ቀላል ሊሆን የሚችል ይመስላል። ነገር ግን አንድ ነገር ብዙ ሰዎች ከእሱ ጋር ችግር እንዳለባቸው ነግሮኛል. Yandex በወር ምን ያህል ግንዛቤዎች በጥያቄ እንደሚሰጥ ለማየት ወሰንኩ ። እዚ ምኽንያት እዚ እዩ።

ምን ማለት ነው? ይህ ማለት በወር ወደ 70,000 የሚጠጉ ሰዎች ይህንን መረጃ እየፈለጉ ነው, እና ይህ በበጋ ወቅት ነው, እና በትምህርት አመቱ ምን እንደሚሆን - ሁለት እጥፍ ጥያቄዎች ይኖራሉ. ይህ አያስገርምም, ምክንያቱም እነዚያ ከትምህርት ቤት ለረጅም ጊዜ የተመረቁ እና ለፈተና በመዘጋጀት ላይ ያሉ ወንዶች እና ልጃገረዶች ይህንን መረጃ እየፈለጉ ነው, እና የትምህርት ቤት ልጆችም ትውስታቸውን ለማደስ እየሞከሩ ነው.

ይህን እኩልነት እንዴት እንደሚፈታ የሚነግሩ ብዙ ጣቢያዎች ቢኖሩም፣ ጽሑፉን ለማበርከት እና ለማተም ወሰንኩኝ። በመጀመሪያ, በዚህ ጥያቄ ላይ ጎብኚዎች ወደ ጣቢያዬ እንዲመጡ እፈልጋለሁ; በሁለተኛ ደረጃ, በሌሎች ጽሑፎች, "KU" የሚለው ንግግር ሲመጣ, ለዚህ ጽሑፍ አገናኝ እሰጣለሁ; በሶስተኛ ደረጃ፣ በሌሎች ድረ-ገጾች ላይ ከተገለጸው በላይ ስለእሱ መፍትሄ ትንሽ እነግርዎታለሁ። እንጀምር!የጽሁፉ ይዘት፡-

ኳድራቲክ እኩልታ የቅጹ እኩልታ ነው፡-

የት Coefficients a,ለእና በዘፈቀደ ቁጥሮች፣ ከ a≠0 ጋር።

በት / ቤት ኮርስ ውስጥ ፣ ቁሱ በሚከተለው ቅፅ ተሰጥቷል - የእኩልታ ክፍፍል በሦስት ክፍሎች በሁኔታዊ ሁኔታ ይከናወናል ።

1. ሁለት ሥር ይኑርዎት.

2. * አንድ ሥር ብቻ ይኑርዎት.

3. ሥር አይኑር. እዚህ ላይ እውነተኛ ሥሮች እንደሌላቸው ልብ ሊባል የሚገባው ነው

ሥሮች እንዴት ይሰላሉ? ብቻ!

አድልዎ እናሰላለን. በዚህ “አስፈሪ” ቃል ስር በጣም ቀላል ቀመር አለ።

የስር ቀመሮች እንደሚከተለው ናቸው.

*እነዚህ ቀመሮች በልብ መታወቅ አለባቸው።

ወዲያውኑ መጻፍ እና መወሰን ይችላሉ-

ለምሳሌ:

1. D> 0 ከሆነ, እኩልታው ሁለት ሥሮች አሉት.

2. D = 0 ከሆነ, እኩልታው አንድ ሥር አለው.

3. ዲ< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

ቀመርን እንመልከት፡-

በዚህ አጋጣሚ, አድልዎ ዜሮ በሚሆንበት ጊዜ, የትምህርት ቤቱ ኮርስ አንድ ሥር ተገኝቷል ይላል, እዚህ ከዘጠኝ ጋር እኩል ነው. ልክ ነው ፣ ነው ፣ ግን…

ይህ ውክልና በመጠኑ ትክክል አይደለም። በእውነቱ, ሁለት ሥሮች አሉ. አዎ ፣ አዎ ፣ አትደነቁ ፣ ሁለት እኩል ሥሮችን ይወጣል ፣ እና በሂሳብ ትክክለኛነት ፣ ከዚያ ሁለት ሥሮች በመልሱ ውስጥ መፃፍ አለባቸው ።

x 1 = 3 x 2 = 3

ግን ይህ እንደዚያ ነው - ትንሽ ዲግሬሽን. በትምህርት ቤት ውስጥ, አንድ ሥር ብቻ ነው ብለው መጻፍ እና መናገር ይችላሉ.

አሁን የሚከተለው ምሳሌ:

እንደምናውቀው, የአሉታዊ ቁጥር ሥሩ አልተወጣም, ስለዚህ በዚህ ጉዳይ ላይ ምንም መፍትሄ የለም.

ያ አጠቃላይ የውሳኔ ሂደት ነው።

ኳድራቲክ ተግባር.

መፍትሄው በጂኦሜትሪ መልክ እንዴት እንደሚመስል እነሆ. ይህ ለመረዳት እጅግ በጣም አስፈላጊ ነው (ወደፊት, በአንዱ መጣጥፎች ውስጥ, የኳድራቲክ አለመመጣጠን መፍትሄን በዝርዝር እንመረምራለን).

ይህ የቅጹ ተግባር ነው፡-

x እና y ተለዋዋጮች ባሉበት

a, b, c ቁጥሮች ተሰጥተዋል, እሱም ≠ 0

ግራፉ ምሳሌያዊ ነው፡-

ማለትም ፣ ከ "y" ጋር እኩል የሆነ ኳድራቲክ እኩልታ በመፍታት ፣የፓራቦላውን መገናኛ ነጥቦች ከ x-ዘንግ ጋር እናገኛለን። ከእነዚህ ነጥቦች ውስጥ ሁለቱ ሊኖሩ ይችላሉ (አድልዎ አዎንታዊ ነው) አንድ (አድሎው ዜሮ ነው) ወይም ምንም (አድልዎ አሉታዊ ነው)። ስለ ኳድራቲክ ተግባር የበለጠ ማየት ትችላለህበኢና ፌልድማን መጣጥፍ።

ምሳሌዎችን ተመልከት፡-

ምሳሌ 1፡ ይወስኑ 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

መ = ለ 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

መልስ፡- x 1 = 8 x 2 = -12

* ወዲያውኑ የሒሳቡን ግራ እና ቀኝ በ 2 መከፋፈል ይችላሉ ፣ ማለትም ፣ ያቃልሉት። ስሌቶቹ ቀላል ይሆናሉ.

ምሳሌ 2፡ ፍታ x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

ያንን x 1 \u003d 11 እና x 2 \u003d 11 አግኝተናል

በመልሱ x = 11 መፃፍ ይፈቀዳል።

መልስ፡- x = 11

ምሳሌ 3፡ ፍታ x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

አድልዎ አሉታዊ ነው, በእውነተኛ ቁጥሮች ውስጥ ምንም መፍትሄ የለም.

መልስ፡ መፍትሄ የለም።

አድልዎ አሉታዊ ነው. መፍትሄ አለ!

እዚህ ላይ አሉታዊ መድልዎ ሲገኝ በጉዳዩ ውስጥ ያለውን እኩልነት ስለመፍታት እንነጋገራለን. ስለ ውስብስብ ቁጥሮች የምታውቀው ነገር አለ? ለምን እና የት እንደተነሱ እና በሂሳብ ውስጥ ያላቸው ልዩ ሚና እና አስፈላጊነት ምን እንደሆነ በዝርዝር አልገልጽም ፣ ይህ ለትልቅ የተለየ ጽሑፍ ርዕስ ነው።

ውስብስብ ቁጥር ጽንሰ-ሐሳብ.

የንድፈ ሀሳብ ትንሽ።

ውስብስብ ቁጥር z የቅጹ ቁጥር ነው።

z = a + bi

ሀ እና ለ ትክክለኛ ቁጥሮች ሲሆኑ፣ እኔ ምናባዊ አሃድ (imaginary unit) የሚባለው ነው።

a+bi ነጠላ ቁጥር እንጂ መደመር አይደለም።

ምናባዊው ክፍል ከአንድ ሲቀነስ ሥር ጋር እኩል ነው።

አሁን ቀመርን አስቡበት፡-

ሁለት የተዋሃዱ ሥሮችን ያግኙ.

ያልተጠናቀቀ ኳድራቲክ እኩልታ።

ልዩ ጉዳዮችን አስቡበት፣ ይህ የ"b" ወይም "c" ቅንጅት ከዜሮ ጋር እኩል የሆነ (ወይም ሁለቱም ከዜሮ ጋር እኩል ሲሆኑ) ነው። ያለምንም አድልዎ በቀላሉ ይፈታሉ.

ጉዳይ 1. Coefficient b = 0.

ቀመር ቅጹን ይወስዳል፡-

እንቀይር፡-

ለምሳሌ:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

ጉዳይ 2. Coefficient c = 0.

ቀመር ቅጹን ይወስዳል፡-

ቀይር፣ ፋብሪካ

* ምርቱ ከዜሮ ጋር እኩል የሚሆነው ቢያንስ አንዱ ምክንያቶች ከዜሮ ጋር እኩል ሲሆኑ ነው።

ለምሳሌ:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 ወይም x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

ጉዳይ 3. Coefficients b = 0 እና c = 0.

እዚህ ላይ የእኩልታው መፍትሄ ሁልጊዜ x = 0 እንደሚሆን ግልጽ ነው.

ጠቃሚ ባህሪያት እና የቅንብር ቅጦች.

ከትላልቅ መጠኖች ጋር እኩልታዎችን መፍታት የሚፈቅዱ ንብረቶች አሉ።

ግንx 2 + bx+ ሐ=0 እኩልነት

ሀ + ለ+ c = 0፣ከዚያም

- ለትክንቱ ቅንጅቶች ከሆነ ግንx 2 + bx+ ሐ=0 እኩልነት

ሀ+ ጋር =ለ, ከዚያም

እነዚህ ንብረቶች አንድ ዓይነት እኩልታ ለመፍታት ይረዳሉ.

ምሳሌ 1፡ 5001 x 2 –4995 x – 6=0

የቁጥር ድምር 5001+() – 4995)+(– 6) = 0, ስለዚህ

ምሳሌ 2፡ 2501 x 2 +2507 x+6=0

እኩልነት ሀ+ ጋር =ለ, ማለት ነው።

የቅንጅቶች መደበኛነት።

1. በቀመር መጥረቢያ 2 + bx + c \u003d 0 የቁጥር መጠን "b" (a 2 +1) ከሆነ እና "c" በቁጥር ከ "a" መጠን ጋር እኩል ከሆነ ሥሮቹ ናቸው.

መጥረቢያ 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / ሀ.

ለምሳሌ. 6x 2 +37x+6 = 0 የሚለውን ስሌት አስቡበት።

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. በቀመር መጥረቢያ 2 - bx + c \u003d 0, የ "b" መጠን (a 2 +1) ከሆነ, እና "c" በቁጥር ከ "a" ኮፊሸን ጋር እኩል ከሆነ, ሥሮቹ ናቸው.

መጥረቢያ 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

ለምሳሌ. 15x 2 –226x +15 = 0 የሚለውን ስሌት አስቡበት።

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. በቀመር ውስጥ ከሆነመጥረቢያ 2 + bx - c = 0 ቅንጅት "b" እኩል (ሀ 2 - 1) እና ቅንጅት "ሐ" በቁጥር ከ "a" ጋር እኩል ነው, ከዚያም ሥሮቹ እኩል ናቸው

መጥረቢያ 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

ለምሳሌ. 17x 2 + 288x - 17 = 0 የሚለውን ስሌት አስቡበት።

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17።

4. በቀመር መጥረቢያ 2 - bx - c \u003d 0 ፣ የቁጥር “b” እኩል ከሆነ (a 2 - 1) ፣ እና የቁጥር ሐ በቁጥር ከ “a” ኮፊሸን ጋር እኩል ከሆነ ሥሮቹ ናቸው ።

መጥረቢያ 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / ሀ.

ለምሳሌ. 10x2 - 99x -10 = 0 የሚለውን ስሌት አስቡበት።

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

የቪዬታ ጽንሰ-ሐሳብ.

የቪዬታ ቲዎረም የተሰየመው በታዋቂው ፈረንሳዊ የሂሳብ ሊቅ ፍራንሷ ቪዬታ ነው። የቪዬታ ንድፈ ሃሳብን በመጠቀም የዘፈቀደ KU ስርወ ድምር እና ምርትን በቁጥር ብዛት መግለጽ ይችላል።

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

በአጠቃላይ, ቁጥር 14 5 እና 9 ብቻ ይሰጣል. እነዚህ ሥሮቹ ናቸው. በተወሰነ ክህሎት፣ የቀረበውን ንድፈ ሃሳብ በመጠቀም፣ ብዙ ባለአራት እኩልታዎችን ወዲያውኑ በቃል መፍታት ይችላሉ።

የቪዬታ ጽንሰ-ሀሳብ ፣ በተጨማሪ። ምቹ ምክንያቱም የኳድራቲክ እኩልታውን በተለመደው መንገድ ከፈታ በኋላ (በአድልዎ በኩል) የተገኙትን ሥሮች ማረጋገጥ ይቻላል. ይህንን ሁልጊዜ እንዲያደርጉ እመክራለሁ.

የማስተላለፊያ ዘዴ

በዚህ ዘዴ፣ “a” የሚለው ሒሳብ በነፃ ቃል ይባዛል፣ ወደ እሱ እንደ “ተዛወረ” ነው፣ ለዚህም ነው ተብሎ የሚጠራው። የማስተላለፊያ ዘዴ.ይህ ዘዴ ጥቅም ላይ የሚውለው የቪዬታ ቲዎረምን በመጠቀም የአንድን እኩልታ ሥር ለማግኘት ቀላል ሲሆን እና ከሁሉም በላይ ደግሞ አድልዎ ትክክለኛ ካሬ ሲሆን ነው።

ከሆነ ግን± b+c≠ 0፣ ከዚያ የማስተላለፊያ ቴክኒክ ጥቅም ላይ ይውላል፣ ለምሳሌ፡-

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

በቀመር (2) በቪዬታ ቲዎሬም መሰረት ያንን x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1 ለመወሰን ቀላል ነው.

የተገኙት የእኩልታ ሥሮች በ 2 መከፈል አለባቸው (ሁለቱ ከ x 2 "የተጣሉ" ስለሆኑ) ፣ እኛ እናገኛለን

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5.

ምክንያቱ ምንድን ነው? ምን እየተፈጠረ እንዳለ ይመልከቱ።

የእኩልታዎች (1) እና (2) አድልዎዎች፡-

የእኩልታዎቹን ሥሮች ከተመለከቱ ፣ ከዚያ የተለያዩ መለያዎች ብቻ ይገኛሉ ፣ እና ውጤቱ በትክክል በ x 2 ላይ ባለው ቅንጅት ላይ የተመሠረተ ነው።

ሁለተኛው (የተሻሻሉ) ሥሮች 2 እጥፍ ይበልጣል.

ስለዚህ ውጤቱን በ 2 እንከፍላለን.

* ሶስት ዓይነት ብንጠቀለል ውጤቱን በ 3 እና በመሳሰሉት እንካፈላለን ።

መልስ: x 1 = 5 x 2 = 0.5

ካሬ. ur-ie እና ፈተናው.

ስለ አስፈላጊነቱ በአጭሩ እናገራለሁ-በፍጥነት መወሰን መቻል አለቦት እና ሳያስቡ ፣የሥሮቹን ቀመሮች እና አድልዎ በልብ ማወቅ ያስፈልግዎታል። የ USE ተግባራት አካል የሆኑ ብዙ ተግባራት አራት ማዕዘን እኩልታዎችን (ጂኦሜትሪክን ጨምሮ) ለመፍታት ይወርዳሉ።

ምን ልብ ሊባል የሚገባው!

1. የእኩልታው ቅርፅ "ስውር" ሊሆን ይችላል. ለምሳሌ የሚከተለውን ግቤት ይቻላል፡-

15+ 9x 2 - 45x = 0 ወይም 15x+42+9x 2 - 45x=0 ወይም 15 -5x+10x 2 = 0።

ወደ መደበኛ ቅፅ ማምጣት ያስፈልግዎታል (በመፍታት ጊዜ ግራ እንዳይጋቡ).

2. ያስታውሱ x የማይታወቅ እሴት ነው እና በማንኛውም ሌላ ፊደል - t, q, p, h እና ሌሎች ሊያመለክት ይችላል.

በሂሳብ ውስጥ ያሉ አንዳንድ ችግሮች የካሬውን ሥር ዋጋ ለማስላት ችሎታ ይጠይቃሉ. እነዚህ ችግሮች የሁለተኛ ደረጃ እኩልታዎችን መፍታት ያካትታሉ. በዚህ ጽሑፍ ውስጥ አራት ማዕዘን ቅርጾችን ለማስላት ውጤታማ ዘዴን እናቀርባለን እና ለአራት እኩልታ ስሮች ቀመሮች ሲሰሩ እንጠቀማለን ።

ካሬ ሥር ምንድን ነው?

በሂሳብ ፣ ይህ ጽንሰ-ሀሳብ ከምልክቱ √ ጋር ይዛመዳል። በጀርመን በ 16 ኛው ክፍለ ዘመን የመጀመሪያ አጋማሽ ላይ ለመጀመሪያ ጊዜ ጥቅም ላይ መዋል እንደጀመረ የታሪክ መረጃዎች ይገልጻሉ (የመጀመሪያው የጀርመን አልጀብራ በአልጀብራ በክርስቶፍ ሩዶልፍ የተደረገ)። ሳይንቲስቶች ይህ ምልክት የተለወጠ የላቲን ፊደል ነው ብለው ያምናሉ አር (ራዲክስ በላቲን "ሥር" ማለት ነው).

የማንኛውም ቁጥር ሥር ከእንደዚህ ዓይነት እሴት ጋር እኩል ነው, ካሬው ከሥሩ አገላለጽ ጋር ይዛመዳል. በሂሳብ ቋንቋ ይህ ፍቺ ይህን ይመስላል፡- √x = y if y 2 = x.

የአዎንታዊ ቁጥር ስር (x> 0) እንዲሁ አዎንታዊ ቁጥር ነው (y> 0) ፣ ግን የአሉታዊ ቁጥር ስር ከወሰዱ (x)< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

ሁለት ቀላል ምሳሌዎች እነሆ፡-

√9 = 3 ምክንያቱም 3 2 = 9; √(-9) = 3i ከ i 2 = -1 ጀምሮ።

የካሬ ሥሮችን እሴቶች ለማግኘት የሄሮን ተደጋጋሚ ቀመር

ከላይ ያሉት ምሳሌዎች በጣም ቀላል ናቸው, እና በውስጣቸው ያሉት ሥሮቹ ስሌት አስቸጋሪ አይደለም. እንደ የተፈጥሮ ቁጥር ካሬ ሊወከል ለማይችለው ለማንኛውም እሴት የስር እሴቶችን ሲፈልጉ ችግሮች ቀድሞውኑ መታየት ይጀምራሉ ፣ ለምሳሌ √10 ፣ √11 ፣ √12 ፣ √13 ፣ በተግባር ግን ኢንቲጀር ላልሆኑ ቁጥሮች ሥሮችን ለማግኘት አስፈላጊ ነው-ለምሳሌ √(12.15) ፣ √(8.5) እና የመሳሰሉት።

ከላይ በተጠቀሱት ሁኔታዎች ሁሉ የካሬውን ሥር ለማስላት ልዩ ዘዴ ጥቅም ላይ መዋል አለበት. በአሁኑ ጊዜ ብዙ እንደዚህ ያሉ ዘዴዎች ይታወቃሉ-ለምሳሌ ፣ በቴይለር ተከታታይ መስፋፋት ፣ በአምድ መከፋፈል እና አንዳንድ ሌሎች። ከሁሉም የታወቁ ዘዴዎች ምናልባት በጣም ቀላል እና ውጤታማ የሆነው የሄሮን ተደጋጋሚ ፎርሙላ ነው, እሱም የባቢሎናውያን ዘዴ በመባልም ይታወቃል የካሬ ስሮች (የጥንት ባቢሎናውያን በተግባራዊ ስሌቶች ውስጥ እንደተጠቀሙበት የሚያሳይ ማስረጃ አለ).

የ√x ዋጋን መወሰን አስፈላጊ ይሁን። የካሬውን ሥር ለማግኘት ቀመር የሚከተለው ነው-

a n+1 = 1/2(a n +x/a n)፣ ሊም n->∞ (a n) => x።

ይህን የሂሳብ ኖት እንፍታው። √xን ለማስላት የተወሰነ ቁጥር 0 መውሰድ አለቦት (ዘፈቀደ ሊሆን ይችላል ነገር ግን ውጤቱን በፍጥነት ለማግኘት (ሀ 0) 2 በተቻለ መጠን ለ x ቅርብ እንዲሆን መምረጥ አለብዎት። የካሬውን ሥር ለማስላት የተገለጸ ቀመር እና አዲስ ቁጥር ሀ 1 ያግኙ ፣ ይህም ቀድሞውኑ ወደሚፈለገው እሴት ቅርብ ይሆናል ። ከዚያ በኋላ ፣ 1 ን ወደ አገላለጹ መተካት እና 2 ማግኘት ያስፈልጋል ። ይህ አሰራር እስከሚቀጥለው ድረስ ሊደገም ይገባል ። አስፈላጊው ትክክለኛነት ተገኝቷል.

የሄሮን ተደጋጋሚ ቀመር የመተግበር ምሳሌ

ከላይ የተገለጸው የአንዳንድ ቁጥሮች ካሬ ሥር ለማግኘት ከላይ የተገለፀው አልጎሪዝም ውስብስብ እና ለብዙዎች ግራ የሚያጋባ ሊመስል ይችላል ፣ ግን በእውነቱ ሁሉም ነገር በጣም ቀላል ይሆናል ፣ ምክንያቱም ይህ ቀመር በፍጥነት ስለሚሰበሰብ (በተለይ ጥሩ ቁጥር 0 ከተመረጠ) .

አንድ ቀላል ምሳሌ እንስጥ፡ √11 ማስላት ያስፈልጋል። ከ 3 2 \u003d 9 ጀምሮ 0 \u003d 3ን እንመርጣለን ፣ ይህም ከ 11 ከ 4 2 \u003d 16 ቅርብ ነው ። በቀመሩ ውስጥ በመተካት ፣ እኛ እናገኛለን-

ሀ 1 \u003d 1/2 (3 + 11/3) \u003d 3.333333;

ሀ 2 \u003d 1/2 (3.33333 + 11 / 3.33333) \u003d 3.316668;

ሀ 3 \u003d 1/2 (3.316668 + 11 / 3.316668) \u003d 3.31662.

2 እና 3 በ 5 ኛ አስርዮሽ ቦታ ላይ ብቻ መለየት እንደሚጀምሩ ስላወቅን ስሌቶቹን ለመቀጠል ምንም ፋይዳ የለውም. ስለዚህም √11ን በ0.0001 ትክክለኛነት ለማስላት ቀመሩን 2 ጊዜ ብቻ መጠቀሙ በቂ ነበር።

በአሁኑ ጊዜ ሥሮቹን ለማስላት ካልኩሌተሮች እና ኮምፒውተሮች በሰፊው ጥቅም ላይ ይውላሉ, ሆኖም ግን, ትክክለኛውን ዋጋቸውን በእጅ ለማስላት እንዲችሉ ምልክት የተደረገበትን ቀመር ማስታወስ ጠቃሚ ነው.

ሁለተኛ ቅደም ተከተል እኩልታዎች

ካሬ ሥር ምን እንደሆነ መረዳት እና እሱን የማስላት ችሎታ አራት እኩልታዎችን ሲፈታ ጥቅም ላይ ይውላል። እነዚህ እኩልታዎች ከአንድ የማይታወቅ ጋር እኩል ናቸው, አጠቃላይ ቅጹ ከዚህ በታች ባለው ስእል ይታያል.

እዚህ c, b እና a አንዳንድ ቁጥሮች ናቸው, እና a ከዜሮ ጋር እኩል መሆን የለበትም, እና የ c እና b ዋጋዎች ከዜሮ ጋር እኩል መሆንን ጨምሮ ሙሉ በሙሉ የዘፈቀደ ሊሆኑ ይችላሉ.

በሥዕሉ ላይ የተመለከተውን እኩልነት የሚያረካ ማንኛውም የ x እሴቶች ሥሩ ይባላሉ (ይህ ጽንሰ-ሐሳብ ከካሬ ሥር √ ጋር መምታታት የለበትም)። ከግምት ውስጥ ያለው ቀመር 2 ኛ ቅደም ተከተል (x 2) ስላለው ከሁለት ቁጥሮች በላይ ለእሱ ብዙ ሥሮች ሊኖሩ አይችሉም። እነዚህን ሥሮች እንዴት ማግኘት እንደሚችሉ በኋላ ላይ በአንቀጹ ውስጥ እንመለከታለን.

የኳድራቲክ እኩልታ (ቀመር) ሥሮችን መፈለግ

ይህ ከግምት ውስጥ ያለውን የእኩልነት አይነት የመፍታት ዘዴ ሁለንተናዊ ወይም በአድሎአዊነት በኩል ተብሎም ይጠራል። በማንኛውም ባለአራት እኩልታዎች ላይ ሊተገበር ይችላል. የኳድራቲክ እኩልታ አድሎአዊ እና ስሮች ቀመር የሚከተለው ነው።

ሥሮቹ በእያንዳንዱ የሶስቱ እኩልዮሽ ዋጋ ላይ የተመሰረቱ መሆናቸውን ከእሱ መረዳት ይቻላል. ከዚህም በላይ የ x 1 ስሌት ከ x 2 ስሌት የሚለየው በካሬው ሥር ፊት ለፊት ባለው ምልክት ብቻ ነው. ከ b 2 - 4ac ጋር እኩል የሆነው አክራሪ አገላለጽ፣ ከታሰበው እኩልነት አድሎአዊነት ያለፈ አይደለም። የኳድራቲክ እኩልታ ሥር ቀመር ውስጥ ያለው አድሎአዊ ሚና የሚጫወተው የመፍትሄዎቹን ብዛት እና ዓይነት ስለሚወስን ነው። ስለዚህ, ዜሮ ከሆነ, ከዚያም አንድ መፍትሄ ብቻ ይኖራል, አዎንታዊ ከሆነ, እኩልታ ሁለት ትክክለኛ ሥሮች አሉት, እና በመጨረሻም, አሉታዊ መድልዎ ወደ ሁለት ውስብስብ ስር x 1 እና x 2 ይመራል.

የቪዬታ ቲዎሬም ወይም አንዳንድ የሁለተኛ ደረጃ እኩልታዎች ሥሮች ባህሪዎች

በ 16 ኛው ክፍለ ዘመን መገባደጃ ላይ የዘመናዊው አልጀብራ መስራቾች አንዱ የሆነው ፈረንሳዊ የሁለተኛ ደረጃ እኩልታዎችን በማጥናት የሥሮቹን ባህሪያት ማግኘት ችሏል. በሒሳብ፣ እንደዚህ ሊጻፉ ይችላሉ።

x 1 + x 2 = -b / a እና x 1 * x 2 = c / a.

ሁለቱንም እኩልነት በሁሉም ሰው በቀላሉ ማግኘት ይቻላል፤ ለዚህም ተገቢውን የሂሳብ ስራዎችን ከአድልዎ ጋር በቀመር በተገኘው ስሮች ማከናወን ብቻ አስፈላጊ ነው።

የእነዚህ ሁለት አገላለጾች ጥምረት በትክክል የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች ሁለተኛ ቀመር ተብሎ ሊጠራ ይችላል ፣ ይህም አድልዎ ሳይጠቀሙ መፍትሄዎችን መገመት ያስችላል። እዚህ ላይ ልብ ሊባል የሚገባው ሁለቱም አገላለጾች ሁል ጊዜ ትክክለኛ ናቸው ፣ ግን አንድን እኩልታ ለመፍታት እነሱን ለመጠቀም ምቹ ከሆነ ሊፈጠር የሚችል ከሆነ ብቻ ነው።

የተገኘውን እውቀት የማጠናከር ተግባር

በአንቀጹ ውስጥ የተብራሩትን ሁሉንም ዘዴዎች የምናሳይበት የሂሳብ ችግርን እንፈታለን. የችግሩ ሁኔታዎች እንደሚከተለው ናቸው-ምርቱ -13 የሆኑ ሁለት ቁጥሮችን ማግኘት አለብዎት, እና ድምር 4 ነው.

ይህ ሁኔታ የካሬ ሥሮችን እና ምርታቸውን ድምር ቀመሮችን በመጠቀም የቪዬታ ጽንሰ-ሀሳብን ወዲያውኑ ያስታውሳል-

x 1 + x 2 \u003d -b / a \u003d 4;

x 1 * x 2 \u003d c / a \u003d -13.

ሀ = 1 ፣ ከዚያ b = -4 እና c = -13 ብንወስድ። እነዚህ ጥምርታዎች የሁለተኛ ደረጃ እኩልታ ለመጻፍ ያስችሉናል፡-

x 2 - 4x - 13 = 0።

ቀመሩን ከአድልዎ ጋር እንጠቀማለን ፣ የሚከተሉትን ሥሮች እናገኛለን ።

x 1.2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

ይኸውም ሥራው ቁጥር √68 ለማግኘት ተቀንሷል። ልብ ይበሉ 68 = 4 * 17 ፣ ከዚያ ፣ የካሬ ስር ንብረቱን በመጠቀም ፣ √68 = 2√17 እናገኛለን።

አሁን የታሰበውን የካሬ ሥር ቀመር እንጠቀማለን-a 0 \u003d 4 ፣ ከዚያ:

ሀ 1 \u003d 1/2 (4 + 17/4) \u003d 4.125;

ሀ 2 \u003d 1/2 (4.125 + 17 / 4.125) \u003d 4.1231.

3 ን ማስላት አያስፈልግም ምክንያቱም የተገኙት ዋጋዎች በ 0.02 ብቻ ይለያያሉ. ስለዚህም, √68 = 8.246. በ x 1,2 ቀመር ውስጥ በመተካት, እናገኛለን:

x 1 \u003d (4 + 8.246) / 2 \u003d 6.123 እና x 2 \u003d (4 - 8.246) / 2 \u003d -2.123.

እንደሚመለከቱት, የተገኙት ቁጥሮች ድምር በእውነቱ ከ 4 ጋር እኩል ነው, ነገር ግን ምርታቸውን ካገኙ, ከ -12.999 ጋር እኩል ይሆናል, ይህም የችግሩን ሁኔታ በ 0.001 ትክክለኛነት ያሟላል.