በመስመር ላይ ውስብስብ ቁጥሮች መፍትሄ. ውስብስብ በሆኑ ቁጥሮች ችግሮችን መፍታት
የእኩልታ አጠቃቀም በህይወታችን ውስጥ በሰፊው ተሰራጭቷል። በብዙ ስሌቶች, መዋቅሮች ግንባታ እና ሌላው ቀርቶ ስፖርቶች ውስጥ ጥቅም ላይ ይውላሉ. እኩልታዎች ከጥንት ጀምሮ በሰዎች ጥቅም ላይ ይውላሉ እና ከዚያ ጊዜ ጀምሮ አጠቃቀማቸው እየጨመረ መጥቷል. ግልጽ ለማድረግ፣ የሚከተለውን ችግር እንፈታው።
\[ (z_1\cdot z_2)^(10)፣\] ከሆነ ያሰሉ
በመጀመሪያ ደረጃ, አንድ ቁጥር በአልጀብራ መልክ, ሌላኛው - በትሪግኖሜትሪክ መልክ የመወከሉን እውነታ ትኩረት እንስጥ. ማቅለል እና ወደሚከተለው ቅፅ ማምጣት ያስፈልገዋል
\[ z_2 = \ frac (1) (4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6))።\]
\ የሚለው አገላለጽ በመጀመሪያ ፣ በ Moivre ቀመር መሠረት ማባዛትን እና ወደ 10 ኛ ኃይል ከፍ እናደርጋለን ይላል። ይህ ቀመር የተቀረፀው ውስብስብ ቁጥር ላለው ትሪግኖሜትሪክ ቅርፅ ነው። እናገኛለን፡-
\[\ጀማሪ(vmatrix) z_1 \መጨረሻ(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]
\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]
ውስብስብ ቁጥሮችን በትሪግኖሜትሪክ ቅርፅ የማባዛት ህጎችን በማክበር የሚከተሉትን እናደርጋለን።
በእኛ ሁኔታ፡-
\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\ sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\) ፒ) (3)።
ክፍልፋዩን \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] ትክክለኛ እንዲሆን በማድረግ 4 መዞር \[(8\pi rad.):\"መጠምዘዝ ይቻላል ብለን መደምደም እንችላለን። ]
\[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3) ))\]
መልስ፡- \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]
ይህ እኩልነት በሌላ መንገድ ሊፈታ ይችላል፣ እሱም 2ኛውን ቁጥር ወደ አልጀብራ መልክ ለማምጣት፣ ከዚያም በአልጀብራ መልክ ማባዛትን በመስራት ውጤቱን ወደ ትሪግኖሜትሪክ ቅርፅ በመተርጎም እና የሞኢቭር ቀመሩን ተግባራዊ ማድረግ፡-
በመስመር ላይ ካሉ ውስብስብ ቁጥሮች ጋር የእኩልታዎችን ስርዓት የት መፍታት እችላለሁ?
በድር ጣቢያችን https: // ጣቢያ ላይ የእኩልታዎችን ስርዓት መፍታት ይችላሉ። ነፃ የመስመር ላይ ፈቺ ማንኛውንም ውስብስብነት በሰከንዶች ውስጥ በመስመር ላይ እኩልታ እንዲፈቱ ይፈቅድልዎታል። እርስዎ ማድረግ የሚጠበቅብዎት ውሂብዎን ወደ ፈላጊው ውስጥ ማስገባት ብቻ ነው. እንዲሁም የቪዲዮ መመሪያውን ማየት እና በድረ-ገፃችን ላይ ያለውን እኩልታ እንዴት እንደሚፈቱ መማር ይችላሉ. እና ማንኛቸውም ጥያቄዎች ካሉዎት በ Vkontakte ቡድናችን http://vk.com/pocketteacher ውስጥ ሊጠይቋቸው ይችላሉ። ቡድናችንን ይቀላቀሉ ፣ እርስዎን ለመርዳት ሁል ጊዜ ደስተኞች ነን።
መግለጫዎች፣ እኩልታዎች እና የእኩልታዎች ስርዓቶች
ውስብስብ ቁጥሮች ጋር
ዛሬ በትምህርቱ ውስጥ ውስብስብ ቁጥሮች ያላቸውን የተለመዱ ድርጊቶችን እንሰራለን, እንዲሁም እነዚህ ቁጥሮች ያካተቱትን መግለጫዎች, እኩልታዎች እና የእኩልታዎች ስርዓቶችን የመፍታት ቴክኒኮችን እንገነዘባለን. ይህ ዎርክሾፕ የትምህርቱ ቀጣይ ነው፡ እና ስለዚህ ርእሱን የማያውቁት ከሆኑ እባክዎን ከላይ ያለውን ሊንክ ይከተሉ። ደህና ፣ ብዙ የተዘጋጁ አንባቢዎች ወዲያውኑ እንዲሞቁ እመክራለሁ-
ምሳሌ 1
አገላለፅን ቀለል ያድርጉት 
, ከሆነ. ውጤቱን በትሪግኖሜትሪክ ቅርፅ ያቅርቡ እና ውስብስብ በሆነው አውሮፕላን ላይ ያሳዩት።
መፍትሄስለዚህ ፣ “አስፈሪ” ክፍልፋይን መተካት ፣ ማቃለያዎችን ማከናወን እና ውጤቱን መተርጎም ያስፈልግዎታል ውስብስብ ቁጥርውስጥ ትሪግኖሜትሪክ ቅርጽ. በተጨማሪም እርግማን።
ውሳኔ ለማድረግ ከሁሉ የተሻለው መንገድ ምንድነው? “አስደሳች” የአልጀብራ አገላለፅን በደረጃ ማስተናገድ የበለጠ ትርፋማ ነው። በመጀመሪያ ደረጃ, ትኩረት ያነሰ የተበታተነ ነው, እና ሁለተኛ, ስራው ካልተሰጠ, ስህተትን ለማግኘት በጣም ቀላል ይሆናል.
1) አስቀድመን አሃዛዊውን እናቀላል። እሴቱን በእሱ ውስጥ ይተኩ, ቅንፎችን ይክፈቱ እና የፀጉር አሠራሩን ያስተካክሉ:
... አዎ ፣ እንደዚህ ያለ Quasimodo ከተወሳሰቡ ቁጥሮች ተገኘ…
በለውጦች ሂደት ውስጥ ሙሉ በሙሉ ብልህ የሆኑ ነገሮች ጥቅም ላይ እንደሚውሉ አስታውሳለሁ - የ polynomials ማባዛት እና እኩልነት ቀድሞውኑ ባናል ሆኗል። ዋናው ነገር ጥንቃቄ ማድረግ እና በምልክቶቹ ውስጥ ግራ መጋባት የለበትም.
2) አሁን መለያው ቀጥሎ ነው። ከሆነ፡ እንግዲህ፡-
ያልተለመደ ትርጓሜ ምን ጥቅም ላይ እንደሚውል ልብ ይበሉ ድምር ካሬ ቀመር. በአማራጭ፣ እዚህ መቀየር ይችላሉ። 
ንዑስ ቀመር . ውጤቶቹ በእርግጥ ይጣጣማሉ።
3) እና በመጨረሻም ፣ አጠቃላይ መግለጫ። ከሆነ፡ እንግዲህ፡-
ክፍልፋዩን ለማስወገድ፣ አሃዛዊውን እና አካፋውን ከቁጥር ጋር በማጣመር አነጋገር እናባዛለን። ሆኖም ግን, ለማመልከት ዓላማዎች የካሬዎች ቀመሮች ልዩነትበቅድሚያ መሆን አለበት (እና በእርግጠኝነት!)አሉታዊውን ትክክለኛ ክፍል በ 2 ኛ ደረጃ ላይ አስቀምጠው.
እና አሁን ዋናው ደንብ:
በምንም ክስተት አንቸኩልም።! ደህንነቱ በተጠበቀ ሁኔታ መጫወት እና ተጨማሪ እርምጃ ማዘዝ ይሻላል።
በገለፃዎች፣ እኩልታዎች እና ስርአቶች ውስብስብ ቁጥሮች ያላቸው ግምታዊ የቃል ስሌቶች እንደ ሁልጊዜው የተሞላ!
በመጨረሻው ደረጃ ላይ ጥሩ ምጥ ነበር እና ያ በጣም ጥሩ ምልክት ነው።
ማስታወሻ በጥብቅ አነጋገር, ውስብስብ ቁጥርን በ ውስብስብ ቁጥር 50 መከፋፈል እዚህ ተከናውኗል (ይህን አስታውስ). ስለዚህ ጉዳይ እስካሁን ዝም አልኩኝ እና ትንሽ ቆይተን እንነጋገራለን።
ስኬታችንን በደብዳቤው እናሳይ
ውጤቱን በትሪግኖሜትሪክ ቅርፅ እንወክል። በአጠቃላይ ፣ እዚህ ያለ ስዕል ማድረግ ይችላሉ ፣ ግን ልክ እንደተፈለገ ፣ አሁኑን ለማጠናቀቅ በተወሰነ ደረጃ ምክንያታዊ ነው- 
የአንድ ውስብስብ ቁጥር ሞጁሉን አስላ፡-
በ 1 ዩኒት ሚዛን ላይ ስዕልን ካከናወኑ. \u003d 1 ሴ.ሜ (2 tetrad ሕዋሳት) ፣ ከዚያ የተገኘው እሴት መደበኛ ገዢን በመጠቀም ማረጋገጥ ቀላል ነው።
ክርክር እንፈልግ። ቁጥሩ የሚገኘው በ 2 ኛ መጋጠሚያ ሩብ ውስጥ ስለሆነ ፣ ከዚያ፡-
አንግል በቀላሉ በፕሮትራክተር ይፈትሻል። ይህ የስዕሉ የማይታበል ፕላስ ነው።
ስለዚህም: - የሚፈለገው ቁጥር በ trigonometric ቅጽ.
እስቲ እንፈትሽ፡
መረጋገጥ የነበረበት።
የማይታወቁ የሲን እና ኮሳይን እሴቶችን ለማግኘት ምቹ ነው። ትሪግኖሜትሪክ ሰንጠረዥ.
መልስ: 
ለራስህ-አድርገው መፍትሄ ተመሳሳይ ምሳሌ፡-
ምሳሌ 2
አገላለፅን ቀለል ያድርጉት 
፣ የት። በውስብስብ አውሮፕላኑ ላይ የተገኘውን ቁጥር ይሳሉ እና በገለፃ መልክ ይፃፉ.
አጋዥ ስልጠናዎችን ላለማቋረጥ ይሞክሩ። ቀላል ሊመስሉ ይችላሉ, ነገር ግን ያለ ስልጠና, "ወደ ኩሬ ውስጥ መግባት" ቀላል ብቻ ሳይሆን በጣም ቀላል ነው. ስለዚህ እጃችንን እንያዝ።
ብዙውን ጊዜ ችግሩ ከአንድ በላይ መፍትሄዎችን ይፈቅዳል.
ምሳሌ 3
ከሆነ አስላ፣ 
መፍትሄ: በመጀመሪያ ደረጃ, ለዋናው ሁኔታ ትኩረት እንስጥ - አንድ ቁጥር በአልጀብራ መልክ ቀርቧል, ሌላኛው ደግሞ በትሪግኖሜትሪክ መልክ እና በዲግሪዎች ጭምር. ወዲያውኑ ይበልጥ በሚታወቅ ቅጽ እንደገና እንጽፈው፡- 
.
ስሌቶቹ በምን ዓይነት መልክ መከናወን አለባቸው? አገላለጹ፣ በግልጽ የመጀመርያውን ማባዛት እና ወደ 10ኛው ሃይል መጨመርን ያካትታል De Moivre ቀመር, እሱም ለተወሳሰበ ቁጥር ትሪግኖሜትሪክ ቅርጽ የተዘጋጀ። ስለዚህ, የመጀመሪያውን ቁጥር ለመለወጥ የበለጠ ምክንያታዊ ይመስላል. ሞጁሉን እና መከራከሪያውን ያግኙ፡- 
ውስብስብ ቁጥሮችን የማባዛት ህግን በትሪግኖሜትሪክ መልክ እንጠቀማለን፡-
ከሆነ፣ እንግዲህ
ክፍልፋዩን ማረም, 4 ማዞር "መጠምዘዝ" እንደሚቻል ወደ መደምደሚያው ደርሰናል (ደስተኛ.):
ሁለተኛው መንገድ ለመፍታትሁለተኛውን ቁጥር ወደ አልጀብራ መልክ መተርጎም ነው። 
ማባዛቱን በአልጀብራ መልክ ያካሂዱ፣ ውጤቱን ወደ ትሪግኖሜትሪክ ቅርፅ ይተርጉሙ እና የሞኢቭር ቀመሩን ይጠቀሙ።
እንደምታየው አንድ "ተጨማሪ" እርምጃ. የሚመኙት መፍትሄውን እስከ መጨረሻው ተከታትለው ውጤቱ የሚጣጣም መሆኑን ማረጋገጥ ይችላሉ።
ሁኔታው ስለ ውጤቱ ውስብስብ ቁጥር መልክ ምንም አይናገርም, ስለዚህ:
መልስ: 
ግን “ለ ውበት” ወይም በፍላጎት ፣ ውጤቱ በአልጀብራ መልክ በቀላሉ ሊወከል ይችላል-
በራሱ፡-
ምሳሌ 4
አገላለፅን ቀለል ያድርጉት
እዚህ ማስታወስ ያስፈልጋል ከስልጣኖች ጋር እርምጃዎችበስልጠና መመሪያው ውስጥ አንድ ጠቃሚ ህግ ባይኖርም, እዚህ አለ:.
እና አንድ ተጨማሪ ጠቃሚ ማስታወሻ: ምሳሌው በሁለት ቅጦች ሊፈታ ይችላል. የመጀመሪያው አማራጭ አብሮ መስራት ነው ሁለትቁጥሮች እና ክፍልፋዮችን ያስቀምጡ. ሁለተኛው አማራጭ እያንዳንዱን ቁጥር በቅጹ ውስጥ መወከል ነው የሁለት ቁጥሮች ብዛት: 
እና ባለ አራት ፎቅ አስወግድ. ከመደበኛ እይታ አንጻር እንዴት እንደሚወስኑ ምንም ለውጥ አያመጣም, ግን ትርጉም ያለው ልዩነት አለ! እባክዎ በደንብ ያስቡበት፡-
ውስብስብ ቁጥር ነው;
የሁለት ውስብስብ ቁጥሮች ብዛት (እና) ነው፣ ሆኖም፣ እንደ አውድ ሁኔታ፣ አንድ ሰው ደግሞ ይህን ማለት ይችላል፡ የሁለት ውስብስብ ቁጥሮች ጥቅስ ሆኖ የተወከለው ቁጥር።
በትምህርቱ መጨረሻ ላይ አጭር መፍትሄ እና መልስ.
አገላለጾች ጥሩ ናቸው፣ ግን እኩልታዎች የተሻሉ ናቸው፡
ከተወሳሰቡ መጋጠሚያዎች ጋር እኩልታዎች
ከ "ተራ" እኩልታዎች እንዴት ይለያሉ? ቅንጅቶች =)
ከላይ ካለው አስተያየት አንጻር፣ በዚህ ምሳሌ እንጀምር፡-
ምሳሌ 5
እኩልታውን መፍታት 
እና ትኩስ ማሳደድ ውስጥ ወዲያውኑ መግቢያ፡- በመጀመሪያየቀመርው የቀኝ ጎን እንደ ሁለት ውስብስብ ቁጥሮች (እና 13) ጥቅስ ተቀምጧል, እና ስለዚህ ሁኔታውን ከቁጥሩ ጋር እንደገና መፃፍ መጥፎ ነው. (ምንም እንኳን ስህተት ባይፈጥርም). በነገራችን ላይ, ይህ ልዩነት በክፍልፋዮች ውስጥ በግልጽ ይታያል - በአንጻራዊ ሁኔታ ሲታይ, ይህ ዋጋ በዋነኝነት የሚገነዘበው እንደ ነው. "ሙሉ" ውስብስብ የእኩልታ ሥር, እና እንደ ቁጥሩ አካፋይ አይደለም, እና እንዲያውም የበለጠ - እንደ ቁጥሩ አካል አይደለም!
መፍትሄ, በመርህ ደረጃ, እንዲሁም ደረጃ በደረጃ ሊደረደር ይችላል, ነገር ግን በዚህ ሁኔታ ጨዋታው ሻማው ዋጋ የለውም. የመጀመርያው ተግባር የማይታወቅ "Z" የሌለውን ነገር ሁሉ ማቃለል ነው, በዚህም ምክንያት እኩልታው ወደ ቅጹ ይቀንሳል.
አማካዩን ክፍልፋይ በድፍረት ቀለል ያድርጉት፡- 
ውጤቱን ወደ ቀኝ በኩል እናስተላልፋለን እና ልዩነቱን እናገኛለን: 
ማስታወሻ
: እና እንደገና ትኩረትን ወደ ትርጉም ያለው ነጥብ እሰጣለሁ - እዚህ ቁጥሩን ከቁጥሩ አልቀንሰውም, ነገር ግን ክፍልፋዮችን ወደ አንድ የጋራ መለያ ጠቅለል አድርገን! ቀድሞውኑ በመፍትሔው ሂደት ውስጥ ከቁጥሮች ጋር መሥራት የተከለከለ አለመሆኑን ልብ ሊባል ይገባል- 
, ነገር ግን, ከግምት ውስጥ ባለው ምሳሌ, እንዲህ ዓይነቱ ዘይቤ ከጥቅም የበለጠ ጎጂ ነው =)
በተመጣጣኝ ህግ መሰረት “z”ን እንገልፃለን፡-
አሁን እንደገና በአጎራባች አገላለጽ መከፋፈል እና ማባዛት ይችላሉ፣ ነገር ግን አጠራጣሪ ተመሳሳይ የሆኑ የቁጥር እና መለያ ቁጥሮች የሚከተለውን እርምጃ ይጠቁማሉ። 
መልስ:
ለማረጋገጫ ዓላማ፣ የተገኘውን እሴት በዋናው ቀመር በግራ በኩል እንተካለን እና ቀለል ያሉ ነገሮችን እንፈጽማለን፡
- የዋናው እኩልታ የቀኝ ጎን ተገኝቷል, ስለዚህ ሥሩ በትክክል ተገኝቷል.
አሁን-አሁን… የበለጠ አስደሳች ነገር እመርጣለሁ… ቆይ፡-
ምሳሌ 6
እኩልታውን መፍታት 
ይህ እኩልነት ወደ ቅጹ ይቀንሳል, እና ስለዚህ መስመራዊ ነው. ፍንጭው ግልፅ ነው ብዬ አስባለሁ - ሂድ!
በእርግጥ ... ያለሱ እንዴት መኖር ይችላሉ:
ኳድራቲክ እኩልታ ከተወሳሰቡ ጥምርታዎች ጋር
በትምህርቱ ላይ ለዱሚዎች ውስብስብ ቁጥሮችየኳድራቲክ እኩልታ ከእውነተኝነቶቹ ጋር የተቆራኙ ውስብስብ ስሮች ሊኖሩት እንደሚችሉ ተምረናል፣ከዚያም ተፈጥሯዊ ጥያቄ የሚነሳው ለምንድነው፣በእውነቱ፣የእነሱ ኮፊፊፊሽን እራሳቸው ውስብስብ ሊሆኑ አይችሉም? አጠቃላይ ጉዳዩን እቀርጻለሁ፡-
ኳድራቲክ እኩልታ በዘፈቀደ ውስብስብ ቅንጅቶች (1 ወይም 2ቱ ወይም ሦስቱም በተለይ ትክክል ሊሆኑ ይችላሉ)አለው ሁለት እና ሁለት ብቻውስብስብ ሥሮች (ምናልባትም አንዱ ወይም ሁለቱም ልክ ናቸው). ሥሮቹ ሳለ (እውነተኛ እና ዜሮ ካልሆነ ምናባዊ ክፍል ጋር)ሊገጣጠም ይችላል (ብዙ ሊሆን ይችላል).
ከተወሳሰቡ ጥምርታዎች ጋር ባለ ኳድራቲክ እኩልታ በተመሳሳይ መንገድ ተፈቷል። "ትምህርት ቤት" እኩልታከአንዳንድ የስሌት ቴክኒክ ልዩነቶች ጋር፡-
ምሳሌ 7
የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮችን ያግኙ 
መፍትሄ: ምናባዊው ክፍል በመጀመሪያ ደረጃ ነው, እና በመርህ ደረጃ, እሱን ማስወገድ ይችላሉ (ሁለቱንም ወገኖች በማባዛት)ይሁን እንጂ ለዚህ የተለየ ፍላጎት የለም.
ለምቾት ሲባል፣ ቅንጅቶችን እንጽፋለን፡-
የነጻውን አባል "መቀነስ" አናጣም! ... ለሁሉም ሰው ግልጽ ላይሆን ይችላል - እኩልታውን በመደበኛ ፎርም እንደገና እጽፋለሁ 
:
አድሎአዊውን እናሰላው፡-
ዋናው እንቅፋት ይኸውና፡- 
ሥሩን ለማውጣት የአጠቃላይ ቀመር አተገባበር (የጽሁፉን የመጨረሻ አንቀጽ ተመልከት ለዱሚዎች ውስብስብ ቁጥሮች)
ከአክራሪ ውስብስብ ቁጥር ክርክር ጋር በተያያዙ ከባድ ችግሮች የተወሳሰበ ነው። (ለራስህ ተመልከት). ግን ሌላ "አልጀብራ" መንገድ አለ! ሥሩን በቅጹ ውስጥ እንፈልጋለን- 
ሁለቱንም ጎን እናሳጥር፡- 
እውነተኛ እና ምናባዊ ክፍሎቻቸው እኩል ከሆኑ ሁለት ውስብስብ ቁጥሮች እኩል ናቸው. ስለዚህ, የሚከተለውን ስርዓት እናገኛለን: 
ስርዓቱን በመምረጥ ለመፍታት ቀላል ነው (በይበልጥ ጠለቅ ያለ መንገድ ከ 2 ኛ እኩልታ መግለጽ ነው - በ 1 ኛ ምትክ ፣ የሁለትዮሽ እኩልታውን ያግኙ እና ይፍቱ). የችግሩ ደራሲ ጭራቅ እንዳልሆነ ስናስብ፣ ያንን መላምት እና ኢንቲጀሮች ነን። ከ 1 ኛ እኩልታ "x" ይከተላል. ሞዱሎከ"y" በላይ በተጨማሪም, አወንታዊው ምርት የማይታወቁ ተመሳሳይ ምልክቶች እንደሆኑ ይነግረናል. ከላይ በተጠቀሰው መሰረት እና በ 2 ኛው እኩልታ ላይ በማተኮር ከእሱ ጋር የሚዛመዱትን ሁሉንም ጥንዶች እንጽፋለን- 
በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው, የመጨረሻዎቹ ሁለት ጥንዶች የስርዓቱን 1 ኛ እኩልታ ያረካሉ, ስለዚህም: 
መካከለኛ ፍተሻ አይጎዳም፡- 
መፈተሽ የነበረበት.
እንደ "የሚሰራ" ሥር, መምረጥ ይችላሉ ማንኛውምትርጉም. ስሪቱን ያለ "cons" መውሰድ የተሻለ እንደሆነ ግልጽ ነው:
በነገራችን ላይ መርሳት ሳይሆን ሥሩን እናገኛለን፡- 
መልስ: 
የተገኙት ሥሮች እኩልታውን ያሟሉ እንደሆነ እንፈትሽ 
:
1) ምትክ; 
ትክክለኛ እኩልነት.
2) ምትክ፡- 
ትክክለኛ እኩልነት.
ስለዚህ, መፍትሄው በትክክል ተገኝቷል.
አሁን በተነጋገርነው ችግር ተመስጦ፡-
ምሳሌ 8
የእኩልቱን ሥሮች ይፈልጉ
ካሬ ሥር መሆኑን ልብ ይበሉ ብቻ ውስብስብቁጥሮች በትክክል ይወጣሉ እና አጠቃላይ ቀመሩን ይጠቀማሉ 
፣ የት 
, ስለዚህ ሁለቱም ዘዴዎች በናሙና ውስጥ ይታያሉ. ሁለተኛው ጠቃሚ አስተያየት ከቋሚው ውስጥ ቅድመ-ቅፅል ማውጣት መፍትሄውን ቀላል አለማድረጉን ይመለከታል።
እና አሁን ዘና ማለት ይችላሉ - በዚህ ምሳሌ ውስጥ በትንሽ ፍርሃት ይወርዳሉ :)
ምሳሌ 9
እኩልታውን ይፍቱ እና ያረጋግጡ
በትምህርቱ መጨረሻ ላይ መፍትሄዎች እና መልሶች.
የአንቀጹ የመጨረሻ አንቀጽ ለ
ውስብስብ ቁጥሮች ያለው የእኩልታዎች ስርዓት
ዘና አደረግን እና… አንጨነቅም =) ቀላሉን ጉዳይ እንመልከት - የሁለት መስመር እኩልታዎች ከሁለት የማይታወቁ ጋር።
ምሳሌ 10
የእኩልታዎችን ስርዓት ይፍቱ. መልሱን በአልጀብራ እና ገላጭ ቅርጾች ያቅርቡ, በሥዕሉ ላይ ሥሮቹን ይሳሉ. 
መፍትሄ: ሁኔታው ራሱ ስርዓቱ ልዩ የሆነ መፍትሄ እንዳለው ይጠቁማል, ማለትም, የሚያረኩ ሁለት ቁጥሮችን መፈለግ አለብን ለእያንዳንዱየስርዓት እኩልታ.
ስርዓቱ በእውነቱ "በህፃናት" መንገድ ሊፈታ ይችላል (አንዱን ተለዋዋጭ ከሌላው አንፃር ይግለጹ)
, ግን ለመጠቀም የበለጠ አመቺ ነው የክሬመር ቀመሮች. አስላ ዋና መወሰኛስርዓቶች፡-
, ስለዚህ ስርዓቱ ልዩ መፍትሄ አለው.
እደግመዋለሁ በተቻለ መጠን በዝርዝር እርምጃዎችን አለመቸኮል እና ማዘዝ የተሻለ ነው-
አሃዛዊውን እና መለያውን በምናባዊ አሃድ እናባዛለን እና 1ኛውን ስር እናገኛለን፡-
በተመሳሳይ፡- 
ተዛማጅ ቀኝ-እጅ ጎኖች, p.t.p.
ስዕሉን እንፈጽም; 
ሥሮቹን በገለፃ መልክ እንወክላለን። ይህንን ለማድረግ ሞጁሎቻቸውን እና ክርክሮችን ማግኘት ያስፈልግዎታል-
1) - የ "ሁለት" ቅስት ታንጀንት "በደካማ" ይሰላል, ስለዚህ እኛ እንደሚከተለው እንተወዋለን. 
በመስመር ላይ እኩልታዎችን ለመፍታት አገልግሎት ማንኛውንም እኩልታ ለመፍታት ይረዳዎታል። የእኛን ጣቢያ በመጠቀም, ለእኩልነት መልስ ብቻ ሳይሆን ዝርዝር መፍትሄን ማለትም ውጤቱን የማግኘት ሂደትን ደረጃ በደረጃ ያሳያል. አገልግሎታችን ለሁለተኛ ደረጃ ተማሪዎች እና ለወላጆቻቸው ጠቃሚ ይሆናል። ተማሪዎች ለፈተናዎች፣ ለፈተናዎች መዘጋጀት፣ እውቀታቸውን ለመፈተሽ እና ወላጆች በልጆቻቸው የሂሳብ እኩልታዎችን መፍትሄ መቆጣጠር ይችላሉ። እኩልታዎችን የመፍታት ችሎታ ለተማሪዎች የግዴታ መስፈርት ነው. አገልግሎቱ እራስዎን እንዲማሩ እና በሂሳብ እኩልታዎች መስክ እውቀትዎን እንዲያሻሽሉ ይረዳዎታል። በእሱ አማካኝነት ማንኛውንም እኩልታ መፍታት ይችላሉ-ኳድራቲክ, ኪዩቢክ, ምክንያታዊ ያልሆነ, ትሪግኖሜትሪክ, ወዘተ የመስመር ላይ አገልግሎት ጥቅም በጣም ጠቃሚ ነው, ምክንያቱም ከትክክለኛው መልስ በተጨማሪ ለእያንዳንዱ እኩልታ ዝርዝር መፍትሄ ያገኛሉ. በመስመር ላይ እኩልታዎችን የመፍታት ጥቅሞች። ማንኛውንም እኩልታ በመስመር ላይ በድረ-ገጻችን ላይ በፍጹም ከክፍያ ነጻ መፍታት ይችላሉ። አገልግሎቱ ሙሉ በሙሉ አውቶማቲክ ነው, ምንም ነገር በኮምፒተርዎ ላይ መጫን የለብዎትም, ውሂቡን ማስገባት ብቻ ያስፈልግዎታል እና ፕሮግራሙ መፍትሄ ይሰጣል. ማንኛውም የስሌት ስህተቶች ወይም የፊደል አጻጻፍ ስህተቶች አይካተቱም። ከእኛ ጋር በመስመር ላይ ማንኛውንም እኩልታ መፍታት በጣም ቀላል ነው ፣ ስለሆነም ማንኛውንም አይነት እኩልታዎችን ለመፍታት ጣቢያችንን መጠቀምዎን ያረጋግጡ። ውሂቡን ብቻ ማስገባት ያስፈልግዎታል እና ስሌቱ በሰከንዶች ውስጥ ይጠናቀቃል. ፕሮግራሙ ያለ ሰው ጣልቃ ገብነት በተናጥል ይሰራል እና ትክክለኛ እና ዝርዝር መልስ ያገኛሉ። በአጠቃላይ ቅፅ ውስጥ የእኩልታ መፍትሄ. በእንደዚህ ዓይነት እኩልታ ውስጥ, ተለዋዋጭ መለኪያዎች እና የሚፈለጉት ሥሮች እርስ በርስ የተያያዙ ናቸው. የተለዋዋጭ ከፍተኛው ኃይል የእንደዚህን እኩልታ ቅደም ተከተል ይወስናል። በዚህ ላይ በመመስረት, መፍትሄዎችን ለማግኘት የተለያዩ ዘዴዎች እና ቲዎሬሞች ለእኩልነት ጥቅም ላይ ይውላሉ. የዚህ አይነት እኩልታዎችን መፍታት ማለት በአጠቃላይ ቅፅ ውስጥ የሚፈለጉትን ሥሮች ማግኘት ማለት ነው. አገልግሎታችን በመስመር ላይ በጣም ውስብስብ የሆነውን የአልጀብራ እኩልታ እንኳን ሳይቀር እንዲፈቱ ይፈቅድልዎታል። እርስዎ ለገለጹት የቁጥር እሴቶች ሁለቱንም የእኩልታውን አጠቃላይ መፍትሄ እና የግልውን ማግኘት ይችላሉ። በጣቢያው ላይ የአልጀብራ እኩልታን ለመፍታት ሁለት መስኮችን ብቻ በትክክል መሙላት በቂ ነው-የተሰጠው እኩልታ ግራ እና ቀኝ ክፍሎች. ከተለዋዋጭ መጋጠሚያዎች ጋር የአልጀብራ እኩልታዎች ማለቂያ የሌላቸው የመፍትሄዎች ቁጥር አላቸው, እና አንዳንድ ሁኔታዎችን በማዘጋጀት, የተወሰኑት ከመፍትሔዎች ስብስብ ውስጥ ይመረጣሉ. ባለአራት እኩልታ። ኳድራቲክ እኩልታ ax^2+bx+c=0 ለ a>0 የሚል ቅጽ አለው። የአንድ ካሬ ቅጽ እኩልታዎች መፍትሄ የ x እሴቶችን መፈለግን ያሳያል ፣ በዚህ ጊዜ የእኩልነት መጥረቢያ ^ 2 + bx + c \u003d 0 ይረካል። ይህንን ለማድረግ የአድሎው ዋጋ የሚገኘው በቀመር D=b^2-4ac ነው። አድሏዊው ከዜሮ ያነሰ ከሆነ፣ እኩልታው ትክክለኛ መሰረት የለውም (ሥሩ ከውስብስብ ቁጥሮች መስክ ነው)፣ ዜሮ ከሆነ፣ እኩልታው አንድ ትክክለኛ ሥር አለው፣ እና አድልዎ ከዜሮ የሚበልጥ ከሆነ፣ ከዚያ ቀመር ሁለት እውነተኛ ሥሮች አሉት ፣ እነሱም በቀመርው ይገኛሉ D \u003d -b + -sqrt / 2a. የኳድራቲክ እኩልታን በመስመር ላይ ለመፍታት፣ የእንደዚህ አይነት እኩልታ (ሙሉ ቁጥሮች፣ ክፍልፋዮች ወይም የአስርዮሽ እሴቶች) ድምጾችን ማስገባት ብቻ ያስፈልግዎታል። በቀመር ውስጥ የመቀነስ ምልክቶች ካሉ፣ በቀመርው ተጓዳኝ ቃላቶች ፊት ተቀንሶ ማስቀመጥ አለቦት። እንዲሁም በመለኪያው ላይ በመመስረት የኳድራቲክ እኩልታ በመስመር ላይ መፍታት ይችላሉ ፣ ማለትም ፣ በእኩልታዎች ውስጥ ያሉ ተለዋዋጮች። የተለመዱ መፍትሄዎችን ለማግኘት የእኛ የመስመር ላይ አገልግሎት ይህንን ተግባር በትክክል ይቋቋማል። መስመራዊ እኩልታዎች. መስመራዊ እኩልታዎችን (ወይም የእኩልታዎች ስርዓቶችን) ለመፍታት አራት ዋና ዘዴዎች በተግባር ጥቅም ላይ ይውላሉ። እያንዳንዱን ዘዴ በዝርዝር እንግለጽ. የመተካት ዘዴ. የመተኪያ ዘዴን በመጠቀም እኩልታዎችን መፍታት አንድ ተለዋዋጭ ከሌሎቹ አንፃር መግለጽ ይጠይቃል። ከዚያ በኋላ, አገላለጹ ወደ ሌሎች የስርዓቱ እኩልታዎች ተተክቷል. ስለዚህ የመፍትሄው ዘዴ ስም, ማለትም በተለዋዋጭ ምትክ, በተቀሩት ተለዋዋጮች በኩል ያለው አገላለጽ ተተክቷል. በተግባር, ዘዴው ውስብስብ ስሌቶችን ይጠይቃል, ምንም እንኳን ለመረዳት ቀላል ቢሆንም, በመስመር ላይ እንዲህ ዓይነቱን እኩልታ መፍታት ጊዜን ይቆጥባል እና ስሌቶችን ቀላል ያደርገዋል. በቀመር ውስጥ የማይታወቁትን ቁጥር መግለጽ እና ውሂቡን ከመስመር እኩልታዎች መሙላት ብቻ ያስፈልግዎታል ፣ ከዚያ አገልግሎቱ ስሌቱን ያደርገዋል። Gauss ዘዴ. ዘዴው በተመጣጣኝ የሶስት ማዕዘን ስርዓት ላይ ለመድረስ በስርዓቱ በጣም ቀላል ለውጦች ላይ የተመሰረተ ነው. የማይታወቁት ከእሱ አንድ በአንድ ይወሰናሉ. በተግባር ፣ በመስመር ላይ እንዲህ ዓይነቱን እኩልታ ከዝርዝር መግለጫ ጋር መፍታት ያስፈልግዎታል ፣ ለዚህም ምስጋና ይግባውና የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓቶችን ለመፍታት የ Gauss ዘዴን በደንብ ይማራሉ ። የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓት በትክክለኛው ቅርጸት ይፃፉ እና ስርዓቱን በትክክል ለመፍታት ያልታወቁትን ብዛት ግምት ውስጥ ያስገቡ። የክሬመር ዘዴ. ይህ ዘዴ ስርዓቱ ልዩ የሆነ መፍትሄ በሚኖርበት ጊዜ የእኩልታዎችን ስርዓቶች ይፈታል. ዋናው የሂሳብ አሠራር የማትሪክስ መወሰኛዎች ስሌት ነው. በ Cramer ዘዴ የእኩልታዎች መፍትሄ በመስመር ላይ ይከናወናል ፣ ውጤቱን በተሟላ እና ዝርዝር መግለጫ ወዲያውኑ ያገኛሉ። ስርዓቱን በቁጥር መሙላት እና የማይታወቁ ተለዋዋጮችን ቁጥር መምረጥ ብቻ በቂ ነው። ማትሪክስ ዘዴ. ይህ ዘዴ በማትሪክስ A ውስጥ የማይታወቁትን ፣በአምድ X ውስጥ የማይታወቁትን እና በአምድ B ውስጥ የሚገኙትን ነፃ ቃላቶች መሰብሰብን ያካትታል። ስለዚህ የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት ወደ ቅጽ AxX=B ወደ ማትሪክስ እኩልታ ይቀንሳል። ይህ እኩልታ ልዩ የሆነ መፍትሄ ያለው የማትሪክስ A ወሳኙ ዜሮ ካልሆነ ብቻ ነው, አለበለዚያ ስርዓቱ ምንም መፍትሄዎች የለውም, ወይም ያልተገደበ የመፍትሄዎች ቁጥር. የእኩልታዎች መፍትሄ በማትሪክስ ዘዴ የተገላቢጦሽ ማትሪክስ A ማግኘት ነው።
ውስብስብ በሆኑ ቁጥሮች ላይ ችግሮችን ለመፍታት መሰረታዊ ፍቺዎችን መረዳት ያስፈልግዎታል. የዚህ የግምገማ መጣጥፍ ዋና ዓላማ ውስብስብ ቁጥሮች ምን እንደሆኑ ማብራራት እና መሠረታዊ ችግሮችን ውስብስብ ቁጥሮች ለመፍታት ዘዴዎችን ማቅረብ ነው። ስለዚህ, ውስብስብ ቁጥር የቅጹ ቁጥር ነው z = a + bi፣ የት ሀ፣ ለ- እውነተኛ ቁጥሮች ፣ እንደ ቅደም ተከተላቸው እና የሚያመለክቱ ውስብስብ ቁጥሮች እውነተኛ እና ምናባዊ ክፍሎች ይባላሉ a = Re(z)፣ b=im(z).
እኔምናባዊ ክፍል ይባላል. እኔ 2 \u003d -1. በተለይም ማንኛውም እውነተኛ ቁጥር እንደ ውስብስብ ተደርጎ ሊወሰድ ይችላል- a = a + 0i፣ ሀ እውነተኛ በሆነበት። ከሆነ ሀ = 0እና b ≠ 0, ከዚያም ቁጥሩ ሙሉ በሙሉ ምናባዊ ተብሎ ይጠራል.
አሁን ውስብስብ ቁጥሮች ላይ ክዋኔዎችን እናስተዋውቃለን.
ሁለት ውስብስብ ቁጥሮችን ተመልከት z 1 = a 1 + b 1 iእና z 2 = a 2 + b 2 i.
አስቡበት z = a + bi.
የተወሳሰቡ ቁጥሮች ስብስብ የእውነተኛ ቁጥሮች ስብስብን ያሰፋዋል, ይህም በተራው ደግሞ ምክንያታዊ ቁጥሮችን ያሰፋዋል, ወዘተ. ይህ የመክተት ሰንሰለት በስዕሉ ላይ ሊታይ ይችላል-N - የተፈጥሮ ቁጥሮች, Z - ኢንቲጀር, ጥ - ምክንያታዊ, አር - እውነተኛ, ሲ - ውስብስብ. 
ውስብስብ ቁጥሮች ውክልና
የአልጀብራ ምልክት።
ውስብስብ ቁጥርን አስቡ z = a + bi, ይህ የአጻጻፍ ቅጽ ውስብስብ ቁጥር ይባላል አልጀብራ. ይህንን የአጻጻፍ ቅጽ ቀደም ሲል በነበረው ክፍል ውስጥ በዝርዝር ተወያይተናል. ብዙውን ጊዜ የሚከተለውን ምሳሌያዊ ሥዕል ተጠቀም 
ትሪግኖሜትሪክ ቅጽ.
ቁጥሩ ከሥዕሉ ላይ ሊታይ ይችላል z = a + biበተለየ መንገድ ሊጻፍ ይችላል. እንደሆነ ግልጽ ነው። a = rcos (φ), b = rsin (φ), r=|ዝ|, በዚህም ምክንያት z = rcos (φ) + rsin (φ) i, φ ∈ (-π; π)
የአንድ ውስብስብ ቁጥር ክርክር ይባላል. ይህ የተወሳሰበ ቁጥር ውክልና ይባላል ትሪግኖሜትሪክ ቅርጽ. የማስታወሻ ትሪግኖሜትሪክ ቅርፅ አንዳንድ ጊዜ በጣም ምቹ ነው። ለምሳሌ, ውስብስብ ቁጥርን ወደ ኢንቲጀር ኃይል ለመጨመር ለመጠቀም ለመጠቀም ምቹ ነው, ማለትም, ከሆነ z = rcos (φ) + rsin (φ) i, ከዚያም z n = r n cos (nφ) + r n sin (nφ) i, ይህ ቀመር ይባላል የ De Moivre ቀመር.
የማሳያ ቅርጽ.
አስቡበት z = rcos (φ) + rsin (φ) iበትሪግኖሜትሪክ ቅርጽ ያለው ውስብስብ ቁጥር ነው, በተለየ መልኩ እንጽፋለን z = r (cos (φ) + ኃጢአት (φ) i) = ዳግም iφየመጨረሻው እኩልነት ከዩለር ፎርሙላ ይከተላል፣ስለዚህ ውስብስብ ቁጥር ለመጻፍ አዲስ ቅጽ አግኝተናል። z = ዳግም iφተብሎ የሚጠራው። ማሳያ. ይህ የማስታወሻ ቅጽ እንዲሁ ውስብስብ ቁጥርን ወደ ኃይል ለማሳደግ በጣም ምቹ ነው- z n = r n e inφ, እዚህ nየግድ ኢንቲጀር አይደለም፣ ነገር ግን የዘፈቀደ እውነተኛ ቁጥር ሊሆን ይችላል። ይህ የአጻጻፍ ዘዴ ብዙውን ጊዜ ችግሮችን ለመፍታት ያገለግላል.
የከፍተኛ አልጀብራ መሠረታዊ ቲዎሪ
ኳድራቲክ እኩልታ x 2 + x + 1 = 0 እንዳለን አስብ። የዚህ እኩልታ አድሎአዊ አሉታዊ እና ምንም እውነተኛ መሰረት እንደሌለው ግልጽ ነው, ነገር ግን ይህ እኩልነት ሁለት የተለያዩ ውስብስብ ስሮች እንዳሉት ግልጽ ነው. ስለዚህ የከፍተኛ አልጀብራ ዋና ንድፈ ሃሳብ ማንኛውም የዲግሪ n ፖሊኖሚል ቢያንስ አንድ ውስብስብ ሥር እንዳለው ይናገራል። ከዚህ በመነሳት የዲግሪ n ማንኛውም ፖሊኖሚል ብዛታቸውን ከግምት ውስጥ በማስገባት በትክክል n ውስብስብ ስሮች አሉት። ይህ ቲዎሬም በሂሳብ ውስጥ በጣም ጠቃሚ ውጤት ነው እና በሰፊው ይሠራበታል. የዚህ ንድፈ ሃሳብ ቀላል መግለጫ በትክክል n የተለየ የአንድነት ሥር መኖሩ ነው።
ዋና የሥራ ዓይነቶች
በዚህ ክፍል ውስጥ ዋና ዋናዎቹ ቀላል ውስብስብ የቁጥር ችግሮች ግምት ውስጥ ይገባል. በተለምዶ ውስብስብ ቁጥሮች ላይ ያሉ ችግሮች በሚከተሉት ምድቦች ሊከፈሉ ይችላሉ.
- ውስብስብ ቁጥሮች ላይ ቀላል የሂሳብ ስራዎችን ማከናወን.
- በተወሳሰቡ ቁጥሮች ውስጥ የ polynomials ሥሮችን መፈለግ።
- ውስብስብ ቁጥሮችን ወደ ኃይል ማሳደግ.
- ከተወሳሰቡ ቁጥሮች ሥሮች ማውጣት.
- ሌሎች ችግሮችን ለመፍታት ውስብስብ ቁጥሮችን መተግበር.
አሁን እነዚህን ችግሮች ለመፍታት አጠቃላይ ዘዴዎችን አስቡባቸው.
በጣም ቀላሉ የሂሳብ ስራዎች ውስብስብ ቁጥሮች ያላቸው በመጀመሪያው ክፍል ውስጥ በተገለጹት ህጎች መሰረት ይከናወናሉ, ነገር ግን ውስብስብ ቁጥሮች በትሪግኖሜትሪክ ወይም ገላጭ ቅርጾች ከቀረቡ, በዚህ ሁኔታ ወደ አልጀብራ መልክ ሊለወጡ እና በሚታወቁ ደንቦች መሰረት ስራዎችን ማከናወን ይችላሉ.
የፖሊኖሚሎች ሥሮችን መፈለግ ብዙውን ጊዜ የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮችን ለማግኘት ይወርዳል። ኳድራቲክ እኩልታ አለን እንበል፣ አግላይነቱ አሉታዊ ካልሆነ፣ ሥሩም እውነተኛ ይሆናል፣ እና በታዋቂው ቀመር መሠረት ይገኛል። አድልዎ አሉታዊ ከሆነ, እንግዲያውስ መ = -1∙a 2፣ የት ሀየተወሰነ ቁጥር ነው፣ ከዚያ በቅጹ ላይ አድልዎ መወከል እንችላለን D = (ia) 2, በዚህም ምክንያት √D = i|a|, እና ከዚያ ቀደም ሲል የታወቀው ቀመር ለ quadratic equation ስሮች መጠቀም ይችላሉ.
ለምሳሌ. ከላይ ወደተገለጸው ባለ አራት ማዕዘን እኩልታ x 2 + x + 1 = 0 እንመለስ።
አድሎአዊ - መ \u003d 1 - 4 ∙ 1 \u003d -3 \u003d -1 (√3) 2 \u003d (i√3) 2.
አሁን ሥሮቹን በቀላሉ ማግኘት እንችላለን- 
ውስብስብ ቁጥሮችን ወደ ኃይል ማሳደግ በበርካታ መንገዶች ሊከናወን ይችላል. ውስብስብ ቁጥርን በአልጀብራ ቅርጽ ወደ ትንሽ ኃይል (2 ወይም 3) ከፍ ለማድረግ ከፈለጉ, በቀጥታ በማባዛት ይህንን ማድረግ ይችላሉ, ነገር ግን ዲግሪው ትልቅ ከሆነ (በችግሮች ውስጥ ብዙ ጊዜ ትልቅ ነው), ከዚያም ያስፈልግዎታል. ይህንን ቁጥር በትሪግኖሜትሪክ ወይም ገላጭ ቅርጾች ይፃፉ እና ቀደም ሲል የታወቁ ዘዴዎችን ይጠቀሙ።
ለምሳሌ. z = 1 + i ን አስቡ እና ወደ አሥረኛው ኃይል ከፍ ያድርጉ።
z በገለፃ እንጽፋለን፡ z = √2 e iπ/4 .
ከዚያም z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
ወደ አልጀብራ መልክ እንመለስ፡ z 10 = -32i.
ከተወሳሰቡ ቁጥሮች ሥሮቹን ማውጣት የገለጻው ተገላቢጦሽ አሠራር ነው, ስለዚህ በተመሳሳይ መንገድ ይከናወናል. ሥሮቹን ለማውጣት የቁጥር አጻጻፍ ገላጭ ቅርጽ ብዙ ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላል.
ለምሳሌ. የዲግሪ 3 አንድነት ሁሉንም ሥሮች ያግኙ። ይህንን ለማድረግ, ሁሉንም የእኩልታውን ሥሮች እናገኛለን z 3 = 1, ሥሮቹን በገለፃ መልክ እንፈልጋለን.
በቀመር ውስጥ ምትክ: r 3 e 3iφ = 1 ወይም r 3 e 3iφ = e 0 .
ስለዚህም፡ r = 1, 3φ = 0 + 2πk, ስለዚህም φ = 2πk/3.
የተለያዩ ሥሮች በ φ = 0, 2π/3, 4π/3 ይገኛሉ.
ስለዚህም 1፣ e i2π/3፣ e i4π/3 ሥር ናቸው።
ወይም በአልጀብራ መልክ፡- 
የመጨረሻው የችግሮች አይነት እጅግ በጣም ብዙ ችግሮችን ያጠቃልላል እና እነሱን ለመፍታት አጠቃላይ ዘዴዎች የሉም። የዚህ ዓይነቱ ተግባር ቀላል ምሳሌ ይኸውልዎት-
መጠኑን ያግኙ ኃጢአት (x) + ኃጢአት (2x) + ኃጢአት (2x) + … + ኃጢአት (nx).
ምንም እንኳን የዚህ ችግር አሠራር ውስብስብ ቁጥሮችን አያመለክትም, ነገር ግን በእነሱ እርዳታ በቀላሉ ሊፈታ ይችላል. እሱን ለመፍታት, የሚከተሉት ውክልናዎች ጥቅም ላይ ይውላሉ: 
አሁን ይህንን ውክልና ወደ ድምር ከተተካ, ችግሩ ወደ የተለመደው የጂኦሜትሪክ እድገት ማጠቃለያ ይቀንሳል.
ማጠቃለያ
ውስብስብ ቁጥሮች በሂሳብ ውስጥ በሰፊው ጥቅም ላይ ይውላሉ ፣ ይህ የግምገማ ጽሑፍ ውስብስብ ቁጥሮች ላይ ያሉትን መሠረታዊ ሥራዎች ተወያይቷል ፣ በርካታ መደበኛ ችግሮችን ገልፀዋል እና እነሱን ለመፍታት አጠቃላይ ዘዴዎችን በአጭሩ ገልፀዋል ፣ ለተጨማሪ ዝርዝር ውስብስብ ቁጥሮች እድሎችን ለማጥናት ይመከራል ። ልዩ ጽሑፎችን ይጠቀሙ.