ውስብስብ ቁጥር ሥር በአልጀብራ ቅርጽ. በእነሱ ላይ ውስብስብ ቁጥሮች እና አልጀብራ ስራዎች

ኳድራቲክ እኩልታን አስቡበት።

ሥሩን እንወቅ።

ካሬው -1 የሆነ ትክክለኛ ቁጥር የለም. ነገር ግን ቀመሩ ኦፕሬተሩን የሚገልጽ ከሆነ እኔእንደ ምናባዊ ክፍል, ከዚያም የዚህ እኩልታ መፍትሄ በቅጹ ውስጥ ሊጻፍ ይችላል . በውስጡ እና - ውስብስብ ቁጥሮች, በውስጡ -1 እውነተኛው ክፍል ነው, 2 ወይም በሁለተኛው ጉዳይ -2 ምናባዊ ክፍል ነው. ምናባዊው ክፍል እንዲሁ እውነተኛ (እውነተኛ) ቁጥር ​​ነው። በምናባዊው ክፍል የተባዛው ምናባዊ ክፍል ቀድሞውኑ ማለት ነው። ምናባዊ ቁጥር.

በአጠቃላይ, ውስብስብ ቁጥር መልክ አለው

ዝ = x + iy ,

የት x, yእውነተኛ ቁጥሮች ናቸው, ምናባዊ ክፍል ነው. በበርካታ የተግባር ሳይንሶች ለምሳሌ በኤሌክትሪካል ኢንጂነሪንግ፣ ኤሌክትሮኒክስ፣ ሲግናል ንድፈ ሃሳብ፣ ምናባዊው ክፍል የሚገለጸው በ ጄ. እውነተኛ ቁጥሮች x = ድጋሚ(z)እና y=እኔ(ዘ)ተብሎ ይጠራል እውነተኛ እና ምናባዊ ክፍሎችቁጥሮች ዝ.አገላለጹ ይባላል የአልጀብራ ቅርጽውስብስብ ቁጥር ምልክት.

ማንኛውም እውነተኛ ቁጥር በቅጹ ውስጥ የተወሳሰበ ቁጥር ልዩ ጉዳይ ነው . ምናባዊ ቁጥር እንዲሁ የተወሳሰበ ቁጥር ልዩ ጉዳይ ነው። .

ውስብስብ ቁጥሮች ሐ ስብስብ ፍቺ

ይህ አገላለጽ እንደሚከተለው ይነበባል፡ አዘጋጅ ጋርእንደነዚህ ያሉትን ንጥረ ነገሮች ያካተተ ነው xእና yየእውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ አባል ነው። አርእና ምናባዊው ክፍል ነው. ወዘተ መሆኑን አስተውል.

ሁለት ውስብስብ ቁጥሮች እና ትክክለኛ እና ምናባዊ ክፍሎቻቸው እኩል ከሆኑ ብቻ እኩል ናቸው, ማለትም. እና .

ውስብስብ ቁጥሮች እና ተግባራት በሳይንስና በቴክኖሎጂ ውስጥ በስፋት ጥቅም ላይ ይውላሉ, በተለይም በሜካኒክስ, በ AC ወረዳዎች ትንተና እና ስሌት, አናሎግ ኤሌክትሮኒክስ, የሲግናል ቲዎሪ እና ሂደት, አውቶማቲክ ቁጥጥር ቲዎሪ እና ሌሎች የተግባር ሳይንስ.

1. ውስብስብ ቁጥሮች አርቲሜቲክ

የሁለት ውስብስብ ቁጥሮች መጨመር እውነተኛ እና ምናባዊ ክፍሎቻቸውን ይጨምራል, ማለትም.

በዚህ መሠረት የሁለት ውስብስብ ቁጥሮች ልዩነት

ውስብስብ ቁጥር ተብሎ ይጠራል ውስብስብ conjugateቁጥር z=x +አይ.ይ

ውስብስብ ተጓዳኝ ቁጥሮች z እና z * በምናባዊው ክፍል ምልክቶች ይለያያሉ። እንደሆነ ግልጽ ነው።

.

በውስብስብ አገላለጾች መካከል ያለው ማንኛውም እኩልነት በዚህ እኩልነት በሁሉም ቦታ ላይ ከሆነ ትክክለኛ ሆኖ ይቆያል እኔበ ተተካ - እኔ፣ ማለትም እ.ኤ.አ. ወደ conjugate ቁጥሮች እኩልነት ይሂዱ። ቁጥሮች እኔእና – እኔበአልጀብራ ሊለዩ አይችሉም ምክንያቱም .

የሁለት ውስብስብ ቁጥሮች ምርት (ማባዛት) እንደሚከተለው ሊሰላ ይችላል።

የሁለት ውስብስብ ቁጥሮች ክፍፍል;

ለምሳሌ:

1. ውስብስብ አውሮፕላን

ውስብስብ ቁጥር በአራት ማዕዘን መጋጠሚያ ስርዓት ውስጥ በግራፊክ ሊወከል ይችላል። በአውሮፕላኑ ውስጥ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ቅንጅት ስርዓት እናስቀምጥ (x፣ y)።

በመጥረቢያ ላይ ኦክስእውነተኛ ክፍሎችን እናዘጋጃለን x, ይባላል እውነተኛ (እውነተኛ) ዘንግ, ዘንግ ላይ ወይ- ምናባዊ ክፍሎች yውስብስብ ቁጥሮች. ስሙን ተሸክማለች። ምናባዊ ዘንግ. ከዚህም በላይ እያንዳንዱ ውስብስብ ቁጥር ከአውሮፕላኑ የተወሰነ ነጥብ ጋር ይዛመዳል, እናም እንዲህ ዓይነቱ አውሮፕላን ይባላል ውስብስብ አውሮፕላን. ነጥብ ግንውስብስብ አውሮፕላኑ ከቬክተሩ ጋር ይዛመዳል ኦ.ኤ.

ቁጥር xተብሎ ይጠራል abcissaውስብስብ ቁጥር, ቁጥር y – መሾም.

ጥንድ የተወሳሰቡ የተጣመሩ ቁጥሮች በእውነተኛው ዘንግ ላይ በተመጣጣኝ ሁኔታ ተቀምጠው እንደ ነጠብጣቦች ይታያሉ።

በአውሮፕላን ከተዘጋጀ የዋልታ መጋጠሚያ ስርዓት, ከዚያም እያንዳንዱ ውስብስብ ቁጥር ዝበፖላር መጋጠሚያዎች ተወስኗል. በውስጡ ሞጁልቁጥሮች የነጥቡ የዋልታ ራዲየስ ነው, እና አንግል - የዋልታ አንግል ወይም ውስብስብ የቁጥር ክርክር ዝ.

ውስብስብ ቁጥር ሞጁሎች ሁልጊዜ አሉታዊ ያልሆነ. የአንድ ውስብስብ ቁጥር ክርክር በልዩ ሁኔታ አልተገለጸም. የክርክሩ ዋና ዋጋ ሁኔታውን ማሟላት አለበት . እያንዳንዱ የውስብስብ አውሮፕላኑ ነጥብ ከጠቅላላው የክርክሩ ዋጋ ጋር ይዛመዳል። በ2π ብዜት የሚለያዩ ክርክሮች እንደ እኩል ይቆጠራሉ። የቁጥር ግቤት ዜሮ አልተገለጸም።

የክርክሩ ዋና ዋጋ የሚወሰነው በሚከተሉት መግለጫዎች ነው-

እንደሆነ ግልጽ ነው።

በውስጡ
, .

ውስብስብ ቁጥር ውክልና ዝእንደ

ተብሎ ይጠራል ትሪግኖሜትሪክ ቅርጽውስብስብ ቁጥር.

ለምሳሌ.

1. ውስብስብ ቁጥሮች ገላጭ ቅርጽ

ውስጥ መበስበስ የማክላሪን ተከታታይለትክክለኛ ክርክር ተግባራት መምሰል:

ለተወሳሰበ ክርክር ገላጭ ተግባር ዝመበስበስ ተመሳሳይ ነው

.

የማክላሪን ተከታታይ መስፋፋት ለምናባዊው ክርክር ገላጭ ተግባር እንደ ሊወከል ይችላል።

የተፈጠረው ማንነት ይባላል የኡለር ቀመር.

ለአሉታዊ ክርክር, ይመስላል

እነዚህን አባባሎች በማጣመር ለሳይን እና ኮሳይን የሚከተሉትን አገላለጾች መግለፅ እንችላለን

.

የኡለር ቀመርን በመጠቀም፣ ከትሪግኖሜትሪክ ቅርፅ የተወሳሰቡ ቁጥሮች ውክልና

ማግኘት ትችላለህ ማሳያ(ገላጭ ፣ ዋልታ) የአንድ ውስብስብ ቁጥር ቅርፅ ፣ ማለትም የእሱ ውክልና በቅጹ

,

የት - የአንድ ነጥብ የዋልታ መጋጠሚያዎች ከአራት ማዕዘን መጋጠሚያዎች ጋር ( x፣y).

የውስብስብ ቁጥር ማያያዣው በሚከተለው መልኩ ተጽፏል።

ለትርጉሙ ፎርም, ውስብስብ ቁጥሮችን ለማባዛት እና ለመከፋፈል የሚከተሉትን ቀመሮች መግለፅ ቀላል ነው

ማለትም ፣ በገለፃ መልክ ፣ የተወሳሰቡ ቁጥሮች ምርት እና ክፍፍል ከአልጀብራ መልክ የበለጠ ቀላል ነው። በሚባዙበት ጊዜ የምክንያቶቹ ሞጁሎች ይባዛሉ, ክርክሮቹም ይጨምራሉ. ይህ ህግ ለማንኛውም ቁጥር ተፈጻሚ ይሆናል። በተለይም ውስብስብ ቁጥር ሲባዛ ዝበላዩ ላይ እኔቬክተር ዝበ 90 በተቃራኒ ሰዓት አቅጣጫ ይሽከረከራል

በክፍል ውስጥ, የቁጥር ሞጁሎች በዲኖሚነተር ሞጁሎች የተከፋፈሉ ናቸው, እና የዲኖሚተር ክርክር ከቁጥር ነጋሪ እሴት ይቀንሳል.

የተወሳሰቡ ቁጥሮችን ገላጭ ቅርጽ በመጠቀም አንድ ሰው ለታወቁ ትሪግኖሜትሪክ ማንነቶች መግለጫዎችን ማግኘት ይችላል። ለምሳሌ ከማንነቱ

የዩለር ቀመርን በመጠቀም, መጻፍ እንችላለን

በዚህ አገላለጽ ውስጥ ያሉትን እውነተኛ እና ምናባዊ ክፍሎችን በማመሳሰል፣ የማዕዘኖቹ ድምር ኮሳይን እና ሳይን መግለጫዎችን እናገኛለን።

1. ውስብስብ ቁጥሮች ሃይሎች, ሥሮች እና ሎጋሪዝም

ውስብስብ ቁጥርን ወደ ተፈጥሯዊ ኃይል ማሳደግ nበቀመርው መሰረት የተሰራ

ለምሳሌ. አስላ .

አንድ ቁጥር አስብ በትሪግኖሜትሪክ ቅርጽ

’

የትርጓሜውን ቀመር በመተግበር, እናገኛለን

እሴቱን በመግለጫው ውስጥ ማስቀመጥ አር= 1, የሚባሉትን እናገኛለን የ De Moivre ቀመር, በእሱ አማካኝነት የኃጢያት እና የበርካታ ማዕዘኖች ገለፃዎችን መወሰን ይችላሉ.

ሥር nውስብስብ ቁጥር ያለው ኃይል ዝአለው nበመግለጫው የሚወሰኑ የተለያዩ እሴቶች

ለምሳሌ. እንፈልግ።

ይህንን ለማድረግ, ውስብስብ ቁጥርን () ወደ ትሪግኖሜትሪክ ቅርጽ እንገልጻለን

.

የአንድ ውስብስብ ቁጥር ሥርን ለማስላት ቀመር መሠረት, እናገኛለን

ውስብስብ ቁጥር ሎጋሪዝም ዝቁጥር ነው። ወ, ለየተኛው . የአንድ ውስብስብ ቁጥር ተፈጥሯዊ ሎጋሪዝም ማለቂያ የሌለው የእሴቶች ብዛት ያለው እና በቀመርው ይሰላል

እውነተኛ (ኮሳይን) እና ምናባዊ (ሳይን) ክፍሎችን ያካትታል። እንዲህ ያለው ጭንቀት እንደ ቬክተር ርዝመት ሊወክል ይችላል እም, የመጀመሪያ ደረጃ (አንግል), ከማዕዘን ፍጥነት ጋር መሽከርከር ω .

ከዚህም በላይ ውስብስብ ተግባራት ከተጨመሩ እውነተኛ እና ምናባዊ ክፍሎቻቸው ተጨምረዋል. ውስብስብ ተግባር በቋሚ ወይም በእውነተኛ ተግባር ከተባዛ, የእሱ እውነተኛ እና ምናባዊ ክፍሎቹ በተመሳሳይ ሁኔታ ይባዛሉ. የእንደዚህ አይነት ውስብስብ ተግባር ልዩነት / ውህደት ወደ እውነተኛ እና ምናባዊ ክፍሎች ልዩነት / ውህደት ይቀንሳል.

ለምሳሌ, ውስብስብ የጭንቀት መግለጫው ልዩነት

ማባዛት ነው። iω የተግባሩ ትክክለኛ አካል ነው f(z)፣ እና የተግባሩ ምናባዊ አካል ነው. ምሳሌዎች፡- .

ትርጉም ዝውስብስብ በሆነው z አውሮፕላን ውስጥ በአንድ ነጥብ እና በተዛማጅ እሴት ይወከላል ወ- ውስብስብ በሆነው አውሮፕላን ውስጥ አንድ ነጥብ ወ. ሲታዩ ወ = f(z)የአውሮፕላን መስመሮች ዝወደ አውሮፕላኑ መስመሮች ውስጥ ማለፍ ወ, የአንዱ አውሮፕላን አሃዞች የሌላው አሃዝ ይሆኑታል, ነገር ግን የመስመሮች ወይም የስዕሎች ቅርጾች በጣም ሊለወጡ ይችላሉ.