ሎጋሪዝም ከተመሳሳይ ገላጭ ጋር። የተፈጥሮ ሎጋሪዝም፣ ln x ተግባር

ሎጋሪዝም የ b (b> 0) ወደ መሠረት a (a > 0፣ a ≠ 1)ለ ለማግኘት ቁጥሩን ከፍ ማድረግ ያለብዎት ገላጭ ነው.

የ B መሠረት 10 ሎጋሪዝም እንደ ሊጻፍ ይችላል። ሎግ (ለ), እና ሎጋሪዝም ወደ መሰረታዊ e (ተፈጥሯዊ ሎጋሪዝም) - ln(ለ).

ብዙውን ጊዜ ከሎጋሪዝም ጋር ችግሮችን በሚፈታበት ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላል-

የሎጋሪዝም ባህሪያት

አራት ዋና ዋና ነገሮች አሉ የሎጋሪዝም ባህሪያት.

አንድ > 0፣ a ≠ 1፣ x > 0 እና y > 0 ይሁን።

ንብረት 1. የምርቱ ሎጋሪዝም

የምርት ሎጋሪዝምከሎጋሪዝም ድምር ጋር እኩል ነው፡-

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

ንብረት 2. የዋጋው ሎጋሪዝም

የቁጥር ሎጋሪዝምከሎጋሪዝም ልዩነት ጋር እኩል ነው-

log a (x / y) = log a x – log a y

ንብረት 3. የዲግሪው ሎጋሪዝም

ዲግሪ ሎጋሪዝምከዲግሪው እና ከሎጋሪዝም ምርት ጋር እኩል ነው፡-

የሎጋሪዝም መሠረት አርቢው ውስጥ ከሆነ፣ ሌላ ቀመር ይተገበራል፡-

ንብረት 4. የስሩ ሎጋሪዝም

የ nth ዲግሪ ሥር ከ 1/n ኃይል ጋር እኩል ስለሆነ ይህ ንብረት ከዲግሪው ሎጋሪዝም ንብረት ሊገኝ ይችላል፡

ከአንድ ሎጋሪዝም ወደ ሌላ መሠረት ወደ ሎጋሪዝም ለመሄድ ቀመር

ይህ ቀመር ብዙ ጊዜ ለሎጋሪዝም የተለያዩ ስራዎችን ሲፈታ ጥቅም ላይ ይውላል፡-

ልዩ ጉዳይ፡-

የሎጋሪዝም ንጽጽር (እኩልነት)

2 ተግባራት f(x) እና g(x) በሎጋሪዝም ስር ከተመሳሳይ መሰረቶች ጋር አለን እና በመካከላቸው የእኩልነት ምልክት አለ፡-

እነሱን ለማነፃፀር በመጀመሪያ የሎጋሪዝምን መሠረት ማየት ያስፈልግዎታል-

• ሀ > 0 ከሆነ፣ ከዚያ f(x) > g(x) > 0
• ከሆነ 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

በሎጋሪዝም ችግሮችን እንዴት መፍታት እንደሚቻል: ምሳሌዎች

ከሎጋሪዝም ጋር ተግባራትበ USE ውስጥ በሂሳብ ለ 11 ኛ ክፍል በተግባር 5 እና ተግባር 7 ውስጥ የተካተቱ ፣ በሚመለከታቸው ክፍሎች ውስጥ በድረ-ገፃችን ላይ መፍትሄዎችን ያላቸውን ተግባራት ማግኘት ይችላሉ። እንዲሁም ከሎጋሪዝም ጋር የሚሰሩ ስራዎች በሂሳብ ስራዎች ባንክ ውስጥ ይገኛሉ. ጣቢያውን በመፈለግ ሁሉንም ምሳሌዎች ማግኘት ይችላሉ.

ሎጋሪዝም ምንድን ነው?

ሎጋሪዝም ሁልጊዜ በትምህርት ቤት የሒሳብ ኮርስ ውስጥ እንደ አስቸጋሪ ርዕስ ተቆጥሯል። የሎጋሪዝም ብዙ የተለያዩ ፍቺዎች አሉ, ነገር ግን በሆነ ምክንያት አብዛኛዎቹ የመማሪያ መጽሃፍቶች በጣም ውስብስብ እና አሳዛኝ የሆኑትን ይጠቀማሉ.

ሎጋሪዝምን በቀላሉ እና በግልፅ እንገልፃለን። ለዚህ የሚሆን ጠረጴዛ እንፍጠር፡-

ስለዚህ የሁለት ሃይሎች አለን።

ሎጋሪዝም - ንብረቶች, ቀመሮች, እንዴት እንደሚፈቱ

ቁጥሩን ከስር መስመር ከወሰዱ, ይህን ቁጥር ለማግኘት ሁለት ከፍ ማድረግ ያለብዎትን ኃይል በቀላሉ ማግኘት ይችላሉ. ለምሳሌ, 16 ለማግኘት, ሁለቱን ወደ አራተኛው ኃይል ከፍ ማድረግ ያስፈልግዎታል. እና 64 ለማግኘት, ሁለቱን ወደ ስድስተኛው ኃይል ከፍ ማድረግ ያስፈልግዎታል. ይህ ከጠረጴዛው ላይ ሊታይ ይችላል.

እና አሁን - በእውነቱ ፣ የሎጋሪዝም ትርጉም-

የክርክሩ መሠረት a x ቁጥርን ለማግኘት a ቁጥሩ መነሳት ያለበት ኃይል ነው።

ማስታወሻ፡ log a x \u003d b፣ ሀ መሠረት ከሆነ፣ x ክርክሩ ነው፣ b በእውነቱ ሎጋሪዝም እኩል የሆነበት ነው።

ለምሳሌ, 2 3 = 8 ⇒ ሎግ 2 8 = 3 (የ 8 መሠረት 2 ሎጋሪዝም ሦስት ነው ምክንያቱም 2 3 = 8). ምናልባት 2 64 = 6, ከ 2 6 = 64 ጀምሮ.

ለተወሰነ መሠረት የቁጥሩን ሎጋሪዝም የማግኘት ሥራ ይባላል። ስለዚህ ወደ ጠረጴዛችን አዲስ ረድፍ እንጨምር፡-

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
መዝገብ 2 2 = 1	መዝገብ 2 4 = 2	መዝገብ 2 8 = 3	መዝገብ 2 16 = 4	መዝገብ 2 32 = 5	መዝገብ 2 64 = 6

እንደ አለመታደል ሆኖ ሁሉም ሎጋሪዝም እንዲሁ በቀላሉ አይቆጠሩም። ለምሳሌ, ሎግያ 2 5 ን ለማግኘት ይሞክሩ. ቁጥሩ 5 በሠንጠረዡ ውስጥ የለም, ነገር ግን አመክንዮ ሎጋሪዝም በክፍሉ ላይ አንድ ቦታ ላይ እንደሚተኛ ያዛል. ምክንያቱም 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

እንደነዚህ ያሉት ቁጥሮች ምክንያታዊ ያልሆኑ ተብለው ይጠራሉ-ከአስርዮሽ ነጥቡ በኋላ ያሉት ቁጥሮች ያለገደብ ሊፃፉ ይችላሉ ፣ እና በጭራሽ አይደግሙም። ሎጋሪዝም ምክንያታዊነት የጎደለው ሆኖ ከተገኘ, በዚህ መልኩ መተው ይሻላል: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

ሎጋሪዝም ሁለት ተለዋዋጮች (መሰረታዊ እና ክርክር) ያሉት አገላለጽ መሆኑን መረዳት አስፈላጊ ነው። መጀመሪያ ላይ ብዙ ሰዎች መሰረቱ የት እንዳለ እና ክርክሩ የት እንዳለ ግራ ይጋባሉ። የሚያበሳጩ አለመግባባቶችን ለማስወገድ ምስሉን ብቻ ይመልከቱ፡-

ከኛ በፊት ከሎጋሪዝም ትርጉም ያለፈ ነገር የለም። አስታውስ፡- ሎጋሪዝም ሃይሉ ነው።, ክርክሩን ለማግኘት መሰረቱን ከፍ ማድረግ ያስፈልግዎታል. ወደ ኃይል የሚነሳው መሠረት ነው - በሥዕሉ ላይ በቀይ ጎልቶ ይታያል. መሰረቱ ሁል ጊዜ ከታች ነው! ይህንን አስደናቂ ህግ ለመጀመሪያው ትምህርት ለተማሪዎቼ እነግራቸዋለሁ - እና ምንም ግራ መጋባት የለም።

ሎጋሪዝም እንዴት እንደሚቆጠር

ፍቺውን አውቀናል - ሎጋሪዝም እንዴት እንደሚቆጠር ለመማር ይቀራል, ማለትም. የ "ሎግ" ምልክትን ያስወግዱ. ለመጀመር፣ ከትርጉሙ ሁለት ጠቃሚ እውነታዎች እንደሚከተሉ እናስተውላለን፡-

1. ክርክሩ እና መሰረቱ ሁል ጊዜ ከዜሮ በላይ መሆን አለባቸው። ይህ ከዲግሪው ትርጉም በምክንያታዊ ገላጭነት ይከተላል, እሱም የሎጋሪዝም ፍቺው ይቀንሳል.
2. ለየትኛውም ኃይል አሃድ አሁንም አንድ አካል ስለሆነ መሰረቱ ከአንድነት የተለየ መሆን አለበት። በዚህ ምክንያት "አንድ ሰው ሁለት ለማግኘት ወደ የትኛው ኃይል መነሳት አለበት" የሚለው ጥያቄ ትርጉም የለሽ ነው. እንደዚህ አይነት ዲግሪ የለም!

እንደዚህ ያሉ እገዳዎች ይባላሉ ትክክለኛ ክልል(ODZ) የሎጋሪዝም ODZ ይህን ይመስላል፡ log a x = b ⇒ x > 0፣ a > 0፣ a ≠ 1።

በቁጥር b (የሎጋሪዝም ዋጋ) ላይ ምንም ገደቦች እንደሌለ ልብ ይበሉ. ለምሳሌ, ሎጋሪዝም ጥሩ አሉታዊ ሊሆን ይችላል: log 2 0.5 = -1, ምክንያቱም 0.5 = 2 -1.

ሆኖም ግን, አሁን የምንመለከተው የቁጥር መግለጫዎችን ብቻ ነው, እሱም የሎጋሪዝምን ኦዲዜድ ማወቅ አያስፈልግም. ሁሉም እገዳዎች ቀደም ሲል በችግሮች አቀናባሪዎች ተወስደዋል. ነገር ግን የሎጋሪዝም እኩልታዎች እና እኩልነቶች ወደ ጨዋታ ሲገቡ፣ የDHS መስፈርቶች አስገዳጅ ይሆናሉ። በእርግጥ, በመሠረቱ እና በክርክር ውስጥ ከላይ ከተጠቀሱት እገዳዎች ጋር የማይጣጣሙ በጣም ጠንካራ የሆኑ ግንባታዎች ሊኖሩ ይችላሉ.

አሁን ሎጋሪዝምን ለማስላት አጠቃላይውን እቅድ አስቡበት. ሶስት እርከኖችን ያቀፈ ነው።

1. መሰረቱን ሀ እና ክርክሩን x እንደ ሃይል በትንሹ በተቻለ መጠን ከአንድ በላይ ይግለጹ። በመንገድ ላይ, የአስርዮሽ ክፍልፋዮችን ማስወገድ የተሻለ ነው;
2. ለተለዋዋጭ እኩልቱን ይፍቱ b: x = a b;
3. የተገኘው ቁጥር ለ መልስ ይሆናል.

ይኼው ነው! ሎጋሪዝም ምክንያታዊነት የጎደለው ከሆነ, ይህ በመጀመሪያ ደረጃ ላይ ቀድሞውኑ ይታያል. መሰረቱ ከአንድ በላይ መሆን ያለበት መስፈርት በጣም ጠቃሚ ነው-ይህ የስህተት እድልን ይቀንሳል እና ስሌቶችን በእጅጉ ያቃልላል. በተመሳሳይ የአስርዮሽ ክፍልፋዮች: ወዲያውኑ ወደ ተራ ሰዎች ከቀየሩ ብዙ ጊዜ ያነሱ ስህተቶች ይኖራሉ።

ይህ እቅድ ከተወሰኑ ምሳሌዎች ጋር እንዴት እንደሚሰራ እንመልከት፡-

ተግባር። ሎጋሪዝምን አስሉ፡ ሎግ 5 25

1. መሰረቱን እና ክርክሩን እንደ አምስት ኃይል እንወክል፡ 5 = 5 1; 25 = 52;

ቀመርን እንፍጠር እና እንፍታ፡-
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. መልስ አግኝቷል፡ 2.

ተግባር። ሎጋሪዝምን አስሉ፡

ተግባር። ሎጋሪዝምን አስሉ፡ ሎጋሪዝም 4 64

1. መሰረቱን እና ክርክሩን እንደ ሁለት ሃይል እንወክል፡ 4 = 2 2; 64 = 26;
2. ቀመርን እንፍጠር እና እንፍታ፡-
   log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. መልስ አግኝቷል፡ 3.

ተግባር። ሎጋሪዝምን አስሉ፡ log 16 1

1. መሰረቱን እና ክርክሩን እንደ ሁለት ሃይል እንወክል፡ 16 = 2 4; 1 = 20;
2. ቀመርን እንፍጠር እና እንፍታ፡-
   መዝገብ 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. ምላሽ አግኝቷል፡ 0.

ተግባር። ሎጋሪዝምን አስሉ፡ log 7 14

1. መሠረቱን እና ክርክሩን እንደ ሰባት ኃይል እንወክል፡ 7 = 7 1; 14 እንደ ሰባት ኃይል አልተወከለም, ምክንያቱም 7 1< 14 < 7 2 ;
2. ሎጋሪዝም ግምት ውስጥ የማይገባ መሆኑን ካለፈው አንቀፅ ውስጥ ይከተላል;
3. መልሱ ምንም ለውጥ የለም፡ log 7 14.

በመጨረሻው ምሳሌ ላይ ትንሽ ማስታወሻ. አንድ ቁጥር የሌላ ቁጥር ትክክለኛ ኃይል አለመሆኑን እንዴት ማረጋገጥ ይቻላል? በጣም ቀላል - ወደ ዋና ምክንያቶች መበስበስ ብቻ ነው. በማስፋፊያው ውስጥ ቢያንስ ሁለት የተለያዩ ምክንያቶች ካሉ ቁጥሩ ትክክለኛ ኃይል አይደለም.

ተግባር። የቁጥሩ ትክክለኛ ኃይላት እነደሆነ ይወቁ፡ 8; 48; 81; 35; አስራ አራት.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - ትክክለኛው ዲግሪ, ምክንያቱም አንድ ማባዣ ብቻ አለ;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 ትክክለኛ ኃይል አይደለም ምክንያቱም ሁለት ነገሮች አሉ፡ 3 እና 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - ትክክለኛ ዲግሪ;
35 = 7 5 - እንደገና ትክክለኛ ዲግሪ አይደለም;
14 \u003d 7 2 - እንደገና ትክክለኛ ዲግሪ አይደለም;

ዋና ቁጥሮች እራሳቸው ሁል ጊዜ ትክክለኛ የራሳቸው ሃይሎች መሆናቸውን ልብ ይበሉ።

የአስርዮሽ ሎጋሪዝም

አንዳንድ ሎጋሪዝም በጣም የተለመዱ ከመሆናቸው የተነሳ ልዩ ስም እና ስያሜ አላቸው።

የ x ክርክሩ መሠረት 10 ሎጋሪዝም ነው፣ ማለትም. x ለማግኘት 10 መነሳት ያለበት ኃይል. መለያ: lgx.

ለምሳሌ, ሎግ 10 = 1; መዝገብ 100 = 2; lg 1000 = 3 - ወዘተ.

ከአሁን ጀምሮ፣ በመማሪያ መጽሀፉ ውስጥ እንደ “Lg 0.01 ፈልግ” ያለ ሀረግ ሲገለጥ ይህ የትየባ እንዳልሆነ ይወቁ። ይህ የአስርዮሽ ሎጋሪዝም ነው። ነገር ግን፣ ለእንደዚህ አይነት ስያሜ ካልተለማመዱ ሁል ጊዜ እንደገና መፃፍ ይችላሉ፡-
log x = መዝገብ 10 x

ለተራ ሎጋሪዝም እውነት የሆነው ሁሉ ለአስርዮሽም እውነት ነው።

የተፈጥሮ ሎጋሪዝም

የራሱ ምልክት ያለው ሌላ ሎጋሪዝም አለ። በአንድ መልኩ፣ ከአስርዮሽ የበለጠ ጠቃሚ ነው። ይህ የተፈጥሮ ሎጋሪዝም ነው።

የ x ክርክሩ ሎጋሪዝም ለመሠረቱ ሠ, ማለትም. ቁጥሩ x ን ለማግኘት ቁጥሩ መጨመር ያለበት ኃይል. ስያሜ፡ lnx.

ብዙዎች ይጠይቃሉ፡ ቁጥሩ ስንት ነው e? ይህ ምክንያታዊ ያልሆነ ቁጥር ነው, ትክክለኛው ዋጋ ሊገኝ እና ሊጻፍ አይችልም. የመጀመሪያዎቹ ቁጥሮች እዚህ አሉ
ሠ = 2.718281828459…

ይህ ቁጥር ምን እንደሆነ እና ለምን እንደሚያስፈልግ አንመረምርም። ያስታውሱ e የተፈጥሮ ሎጋሪዝም መሠረት ነው፡
ln x = ሎግ ሠ x

ስለዚህም ln e = 1; ሎግ ሠ 2 = 2; ln e 16 = 16 - ወዘተ. በሌላ በኩል፣ ln 2 ምክንያታዊ ያልሆነ ቁጥር ነው። በአጠቃላይ, የማንኛውም ምክንያታዊ ቁጥር ተፈጥሯዊ ሎጋሪዝም ምክንያታዊነት የጎደለው ነው. በእርግጥ አንድነት ካልሆነ በስተቀር: ln 1 = 0.

ለተፈጥሮ ሎጋሪዝም, ለተለመደው ሎጋሪዝም እውነት የሆኑ ሁሉም ደንቦች ትክክለኛ ናቸው.

ተመልከት:

ሎጋሪዝም የሎጋሪዝም ባህሪያት (የሎጋሪዝም ኃይል).

አንድን ቁጥር እንደ ሎጋሪዝም እንዴት እንደሚወክል?

የሎጋሪዝምን ትርጉም እንጠቀማለን.

ሎጋሪዝም በሎጋሪዝም ምልክት ስር ያለውን ቁጥር ለማግኘት መሰረቱን ከፍ ማድረግ ያለበትን ኃይል አመላካች ነው።

ስለዚህ የተወሰነ ቁጥር ሐ እንደ ሎጋሪዝም ለመሠረት ሀ ለመወከል ከሎጋሪዝም መሠረት ጋር ተመሳሳይ የሆነ ዲግሪ በሎጋሪዝም ምልክት ስር ማስቀመጥ ያስፈልግዎታል እና ይህንን ቁጥር ሐ ወደ አርቢው ይፃፉ።

በሎጋሪዝም መልክ ማንኛውንም ቁጥር መወከል ይችላሉ - አወንታዊ ፣ አሉታዊ ፣ ኢንቲጀር ፣ ክፍልፋይ ፣ ምክንያታዊ ፣ ምክንያታዊ ያልሆነ

በፈተና ወይም በፈተና አስጨናቂ ሁኔታዎች ውስጥ ሀ እና ሐን ላለማሳሳት፣ ለማስታወስ የሚከተለውን ህግ መጠቀም ይችላሉ።

ከታች ያለው ይወርዳል, በላይ ያለው ወደ ላይ ይወጣል.

ለምሳሌ ቁጥር 2ን እንደ ሎጋሪዝም ወደ መሰረት 3 መወከል ይፈልጋሉ።

ሁለት ቁጥሮች አሉን - 2 እና 3. እነዚህ ቁጥሮች መሠረት እና ገላጭ ናቸው, በሎጋሪዝም ምልክት ስር የምንጽፈው. ከእነዚህ ቁጥሮች ውስጥ የትኛው መፃፍ እንዳለበት, በዲግሪው መሠረት, እና የትኛው - ወደ ላይ, በአርበኛው ውስጥ መፃፍ እንዳለበት ለመወሰን ይቀራል.

በሎጋሪዝም መዝገብ ውስጥ ያለው መሠረት 3 ከታች ነው, ይህም ማለት ዲውሱን እንደ ሎጋሪዝም ወደ 3 መሠረት ስንወክል, 3 ቱን ደግሞ በመሠረቱ ላይ እንጽፋለን.

2 ከ 3 ከፍ ያለ ነው። እና በዲግሪው ማስታወሻ ውስጥ ሁለቱን ከሶስቱ በላይ እንጽፋለን ፣ ማለትም ፣ በአርበኛው ውስጥ።

ሎጋሪዝም የመጀመሪያ ደረጃ.

ሎጋሪዝም

ሎጋሪዝምአዎንታዊ ቁጥር ለበምክንያት ነው። ሀ፣ የት a > 0፣ a ≠ 1, ቁጥሩ መነሳት ያለበት ገላጭ ነው. ሀ, ለማግኘት ለ.

የሎጋሪዝም ፍቺበአጭሩ እንደሚከተለው ሊፃፍ ይችላል-

ይህ እኩልነት የሚሰራው ለ b > 0፣ a > 0፣ a ≠ 1።እሱ በተለምዶ ይጠራል ሎጋሪዝም ማንነት.
የቁጥሩን ሎጋሪዝም የማግኘት ተግባር ይባላል ሎጋሪዝም

የሎጋሪዝም ባህሪዎች

የምርቱ ሎጋሪዝም;

የክፍፍል ጥቅስ ሎጋሪዝም፡-

የሎጋሪዝምን መሠረት በመተካት;

ዲግሪ ሎጋሪዝም;

ሥር ሎጋሪዝም;

ሎጋሪዝም ከኃይል መሠረት ጋር;

አስርዮሽ እና ተፈጥሯዊ ሎጋሪዝም።

የአስርዮሽ ሎጋሪዝምቁጥሮች የዚያን ቁጥር መሠረት 10 ሎጋሪዝም ብለው ይጠሩታል እና   lg ይጻፉ ለ
የተፈጥሮ ሎጋሪዝምቁጥሮች የዚህን ቁጥር ሎጋሪዝም ወደ መሰረቱ ይደውሉ ሠ፣ የት ሠምክንያታዊ ያልሆነ ቁጥር ነው፣ በግምት ከ 2.7 ጋር እኩል ነው። በተመሳሳይ ጊዜ, ln ይጽፋሉ ለ.

ስለ አልጀብራ እና ጂኦሜትሪ ሌሎች ማስታወሻዎች

የሎጋሪዝም መሰረታዊ ባህሪያት

የሎጋሪዝም መሰረታዊ ባህሪያት

ሎጋሪዝም፣ ልክ እንደ ማንኛውም ቁጥር፣ በማንኛውም መንገድ ሊጨመር፣ ሊቀንስ እና ሊቀየር ይችላል። ግን ሎጋሪዝም በጣም ተራ ቁጥሮች ስላልሆኑ እዚህ ውስጥ ህጎች አሉ ፣ እነሱም ይጠራሉ መሰረታዊ ንብረቶች.

እነዚህ ደንቦች መታወቅ አለባቸው - ምንም ዓይነት ከባድ የሎጋሪዝም ችግር ያለ እነርሱ ሊፈታ አይችልም. በተጨማሪም, በጣም ጥቂቶቹ ናቸው - ሁሉም ነገር በአንድ ቀን ውስጥ ሊማር ይችላል. ስለዚህ እንጀምር።

የሎጋሪዝም መጨመር እና መቀነስ

አንድ አይነት መሰረት ያላቸውን ሁለት ሎጋሪዝም አስቡ፡- አንድ x እና log a y። ከዚያም ሊጨመሩ እና ሊቀነሱ ይችላሉ, እና:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x - log a y = log a (x: y)።

ስለዚህ, የሎጋሪዝም ድምር ከምርቱ ሎጋሪዝም ጋር እኩል ነው, እና ልዩነቱ የዋጋው ሎጋሪዝም ነው. እባክዎን ያስተውሉ: ዋናው ነጥብ እዚህ ነው - ተመሳሳይ ምክንያቶች. መሠረቶቹ የተለያዩ ከሆኑ እነዚህ ደንቦች አይሰሩም!

እነዚህ ቀመሮች የሎጋሪዝም አገላለፅን ለማስላት ይረዳሉ የነጠላ ክፍሎቹ ግምት ውስጥ በማይገቡበት ጊዜም (“ሎጋሪዝም ምንድን ነው” የሚለውን ትምህርት ይመልከቱ)። ምሳሌዎችን ተመልከት እና ተመልከት:

log 6 4 + log 6 9.

የሎጋሪዝም መሠረቶች ተመሳሳይ ስለሆኑ ድምር ቀመሩን እንጠቀማለን-
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2።

ተግባር። የገለጻውን ዋጋ ይፈልጉ፡ ሎግ 2 48 - ሎግ 2 3።

መሠረቶቹ ተመሳሳይ ናቸው ፣ ልዩነቱን ቀመር እንጠቀማለን-
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48፡ 3) = መዝገብ 2 16 = 4።

ተግባር። የገለጻውን ዋጋ ያግኙ፡ ሎግ 3 135 - ሎግ 3 5።

እንደገና ፣ መሠረቶቹ ተመሳሳይ ናቸው ፣ ስለዚህ እኛ አለን-
log 3 135 - log 3 5 = log 3 (135፡ 5) = መዝገብ 3 27 = 3።

እንደሚመለከቱት, የመጀመሪያዎቹ አገላለጾች ተለይተው የማይታዩ "መጥፎ" ሎጋሪዝም ናቸው. ነገር ግን ከተቀየረ በኋላ በጣም የተለመዱ ቁጥሮች ይወጣሉ. ብዙ ፈተናዎች በዚህ እውነታ ላይ የተመሰረቱ ናቸው. አዎ, ቁጥጥር - በሁሉም ከባድነት (አንዳንድ ጊዜ - ምንም ለውጦች ሳይኖሩ) ተመሳሳይ መግለጫዎች በፈተና ላይ ይቀርባሉ.

አርቢውን ከሎጋሪዝም በማስወገድ ላይ

አሁን ስራውን ትንሽ እናወሳስበው። በሎጋሪዝም መሠረት ወይም ክርክር ውስጥ ዲግሪ ካለስ? ከዚያም የዚህ ዲግሪ ገላጭ በሚከተሉት ህጎች መሰረት ከሎጋሪዝም ምልክት ሊወጣ ይችላል.

የመጨረሻው ህግ የመጀመሪያዎቹን ሁለቱን እንደሚከተል ለመረዳት ቀላል ነው. ግን ለማንኛውም ማስታወስ ይሻላል - በአንዳንድ ሁኔታዎች የስሌቶችን መጠን በእጅጉ ይቀንሳል.

እርግጥ ነው, የ ODZ ሎጋሪዝም ከታየ እነዚህ ሁሉ ደንቦች ትርጉም ይሰጣሉ-a> 0, a ≠ 1, x> 0. እና አንድ ተጨማሪ ነገር: ሁሉንም ቀመሮች ከግራ ወደ ቀኝ ብቻ ሳይሆን, በተቃራኒው, ማለትም, ማለትም, ማለትም, ማለትም. ከሎጋሪዝም ምልክት በፊት ቁጥሮቹን ወደ ሎጋሪዝም ማስገባት ይችላሉ።

ሎጋሪዝምን እንዴት እንደሚፈታ

ብዙውን ጊዜ የሚፈለገው ይህ ነው.

ተግባር። የገለጻውን ዋጋ ያግኙ፡ ሎግ 7 49 6 .

በመጀመሪያው ቀመር መሠረት በክርክሩ ውስጥ ያለውን ዲግሪ እናስወግድ፡-
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

ተግባር። የአገላለጹን ዋጋ ይፈልጉ፡-

መለያው ሎጋሪዝም ሲሆን መሰረቱ እና መከራከሪያው ትክክለኛ ሃይሎች ናቸው፡ 16 = 2 4; 49 = 72 እና አለነ:

የመጨረሻው ምሳሌ ማብራሪያ የሚያስፈልገው ይመስለኛል። ሎጋሪዝም የት ጠፋ? እስከ መጨረሻው ቅጽበት ድረስ የምንሰራው ከተከፋፈለው ጋር ብቻ ነው። የሎጋሪዝምን መሠረት እና ክርክር በዲግሪ መልክ አቅርበዋል እና አመላካቾችን አወጡ - “ሦስት ፎቅ” ክፍልፋይ አግኝተዋል።

አሁን ዋናውን ክፍልፋይ እንይ. አሃዛዊው እና መለያው ተመሳሳይ ቁጥር አላቸው: ሎግ 2 7. ከሎግ 2 7 ≠ 0 ጀምሮ, ክፍልፋዩን መቀነስ እንችላለን - 2/4 በዲኖሚነተር ውስጥ ይቀራል. እንደ የሂሳብ ደንቦች, አራቱ ወደ አሃዛዊው ሊተላለፉ ይችላሉ, ይህም ተከናውኗል. ውጤቱም መልሱ ነው፡ 2.

ወደ አዲስ መሠረት ሽግግር

ሎጋሪዝምን የመጨመር እና የመቀነስ ደንቦችን በመናገር, በተለይም ከተመሳሳይ መሰረቶች ጋር ብቻ እንደሚሰሩ አፅንዖት ሰጥቻለሁ. መሠረቶቹ የተለያዩ ከሆኑስ? ተመሳሳይ ቁጥር ያላቸው ትክክለኛ ኃይሎች ካልሆኑስ?

ወደ አዲስ መሠረት ለመሸጋገር ቀመሮች ወደ ማዳን ይመጣሉ. በቲዎሪ መልክ እንቀርጻቸዋለን፡-

ሎጋሪዝም ሎጋሪዝም አንድ x ይሰጥ። ከዚያ ለማንኛውም ሐ ቁጥር ሐ > 0 እና ሐ ≠ 1 እኩልነት እውነት ነው፡-

በተለይም c = x ን ካስቀመጥን እናገኛለን፡-

ከሁለተኛው ቀመር ይከተላል የሎጋሪዝም መሠረት እና ክርክር ሊለዋወጥ ይችላል, ነገር ግን ሙሉው አገላለጽ "የተገለበጠ" ነው, ማለትም. ሎጋሪዝም በዲኖሚነተር ውስጥ ነው.

እነዚህ ቀመሮች በተለመደው የቁጥር መግለጫዎች ውስጥ እምብዛም አይገኙም። የሎጋሪዝም እኩልታዎችን እና እኩልነትን ሲፈቱ ብቻ ምን ያህል ምቹ እንደሆኑ መገምገም ይቻላል.

ይሁን እንጂ ወደ አዲስ መሠረት ከመሄድ በስተቀር ምንም ሊፈቱ የማይችሉ ተግባራት አሉ. ከእነዚህ ውስጥ ሁለቱን እንመልከት፡-

ተግባር። የገለጻውን ዋጋ ያግኙ፡ ሎግ 5 16 log 2 25።

የሁለቱም ሎጋሪዝም ክርክሮች ትክክለኛ ገላጭ መሆናቸውን ልብ ይበሉ። አመልካቾችን እናውጣ፡ ሎግ 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; መዝገብ 2 25 = መዝገብ 2 5 2 = 2log 2 5;

አሁን ሁለተኛውን ሎጋሪዝም እንገልብጠው፡-

ምርቱ ከተለዋዋጭ ምክንያቶች የማይለወጥ ስለሆነ በእርጋታ አራት እና ሁለት ማባዛት እና ከዚያ ሎጋሪዝምን አውጥተናል።

ተግባር። የገለጻውን ዋጋ ይፈልጉ: ሎግ 9 100 lg 3.

የመጀመሪያው ሎጋሪዝም መሠረት እና ክርክር ትክክለኛ ኃይሎች ናቸው። እንጽፈው እና አመላካቾችን እናስወግድ፡-

አሁን ወደ አዲስ መሠረት በመሄድ የአስርዮሽ ሎጋሪዝምን እናስወግድ፡-

መሰረታዊ ሎጋሪዝም ማንነት

ብዙውን ጊዜ በመፍታት ሂደት ውስጥ ለተሰጠው መሠረት ቁጥርን እንደ ሎጋሪዝም መወከል ያስፈልጋል.

በዚህ ሁኔታ, ቀመሮቹ ይረዱናል:

በመጀመሪያው ሁኔታ, ቁጥሩ n በክርክሩ ውስጥ ገላጭ ይሆናል. ቁጥሩ n በፍጹም ምንም ሊሆን ይችላል፣ ምክንያቱም የሎጋሪዝም ዋጋ ብቻ ነው።

ሁለተኛው ፎርሙላ በትክክል የተተረጎመ ፍቺ ነው። እንዲህ ይባላል፡-

በእርግጥ፣ በዚህ ዲግሪ ውስጥ ያለው ቁጥር b ቁጥሩን a የሚሰጠው እስከዚህ ደረጃ ድረስ ቢጨምር ምን ይሆናል? ልክ ነው፡ ይህ ተመሳሳይ ቁጥር ነው ሀ. ይህንን አንቀጽ እንደገና በጥንቃቄ ያንብቡ - ብዙ ሰዎች በላዩ ላይ “ይሰቅላሉ”።

ልክ እንደ አዲሱ የመሠረት ልወጣ ቀመሮች፣ መሠረታዊው የሎጋሪዝም ማንነት አንዳንድ ጊዜ ብቸኛው መፍትሔ ነው።

ተግባር። የአገላለጹን ዋጋ ይፈልጉ፡-

ማስታወሻ መዝገብ 25 64 = log 5 8 - ካሬውን ከመሠረቱ እና የሎጋሪዝም ክርክር ብቻ አውጥቷል. በተመሳሳዩ መሠረት ኃይልን የማባዛት ሕጎችን ከተመለከትን ፣ እኛ እናገኛለን-

አንድ ሰው በማወቅ ውስጥ ካልሆነ፣ ይህ ከተዋሃዱ የስቴት ፈተና 🙂 እውነተኛ ተግባር ነበር።

የሎጋሪዝም ክፍል እና ሎጋሪዝም ዜሮ

በማጠቃለያው ፣ ንብረቶችን ለመጥራት አስቸጋሪ የሆኑትን ሁለት ማንነቶችን እሰጣለሁ - ይልቁንም ፣ እነዚህ ከሎጋሪዝም ትርጓሜ ውጤቶች ናቸው። በችግሮች ውስጥ ያለማቋረጥ ይገኛሉ እና በሚያስደንቅ ሁኔታ "ምጡቅ" ተማሪዎችን እንኳን ሳይቀር ችግር ይፈጥራሉ.

1. log a a = 1 ነው። ለአንዴና ለመጨረሻ ጊዜ አስታውስ፡ ሎጋሪዝም ወደ ማንኛውም መሰረት ከመሠረቱ እራሱ ከአንድ ጋር እኩል ነው።
2. log a 1 = 0 ነው። መሰረቱ ሀ ምንም ሊሆን ይችላል ነገር ግን ክርክሩ አንድ ከሆነ ሎጋሪዝም ዜሮ ነው! ምክንያቱም 0 = 1 የትርጉሙ ቀጥተኛ ውጤት ነው።

ያ ሁሉም ንብረቶች ናቸው። እነሱን ወደ ተግባር መለማመድዎን እርግጠኛ ይሁኑ! በትምህርቱ መጀመሪያ ላይ የማጭበርበሪያውን ወረቀት ያውርዱ, ያትሙት እና ችግሮቹን ይፍቱ.

ሎጋሪዝምን ማጥናት እንቀጥላለን. በዚህ ጽሑፍ ውስጥ እንነጋገራለን የሎጋሪዝም ስሌት, ይህ ሂደት ይባላል ሎጋሪዝም. በመጀመሪያ, የሎጋሪዝምን ስሌት በፍቺ እንሰራለን. በመቀጠል የሎጋሪዝም እሴቶች ንብረታቸውን በመጠቀም እንዴት እንደሚገኙ አስቡበት. ከዚያ በኋላ በመጀመሪያ በሌሎች ሎጋሪዝም ዋጋዎች በሎጋሪዝም ስሌት ላይ እንኖራለን ። በመጨረሻም የሎጋሪዝም ሰንጠረዦችን እንዴት መጠቀም እንዳለብን እንማር። አጠቃላይ ንድፈ ሃሳቡ ከዝርዝር መፍትሄዎች ጋር ምሳሌዎች ቀርቧል።

የገጽ አሰሳ።

ሎጋሪዝምን በትርጓሜ ማስላት

በጣም ቀላል በሆኑ ጉዳዮች በፍጥነት እና በቀላሉ ማከናወን ይቻላል ሎጋሪዝምን በፍቺ መፈለግ. ይህ ሂደት እንዴት እንደሚካሄድ በዝርዝር እንመልከት.

ዋናው ነገር በ ሐ ቅፅ ውስጥ ለ ቁጥር መወከል ነው, ከየት, በሎጋሪዝም ፍቺ, ቁጥሩ ሐ የሎጋሪዝም ዋጋ ነው. ማለትም፣ በትርጓሜ፣ ሎጋሪዝምን ማግኘት ከሚከተለው የእኩልነት ሰንሰለት ጋር ይዛመዳል፡ log a b=log a a c =c .

ስለዚህ, የሎጋሪዝም ስሌት, በትርጉሙ, እንዲህ ዓይነቱን ቁጥር ለማግኘት ይወርዳል ሐ \u003d b, እና ቁጥሩ ራሱ የሚፈለገው የሎጋሪዝም እሴት ነው.

የቀደሙት አንቀጾች መረጃ ከተሰጠ በኋላ, በሎጋሪዝም ምልክት ስር ያለው ቁጥር በተወሰነ ደረጃ የሎጋሪዝም መሠረት ሲሰጥ, ከዚያም ሎጋሪዝም ምን እንደሚመስል ወዲያውኑ ሊያመለክቱ ይችላሉ - ከጠቋሚው ጋር እኩል ነው. ምሳሌዎችን እናሳይ።

ለምሳሌ.

ሎግ 2 2 -3 ን ይፈልጉ እና እንዲሁም የ e 5.3 የተፈጥሮ ሎጋሪዝምን ያሰሉ ።

መፍትሄ።

የሎጋሪዝም ፍቺው ወዲያውኑ ያንን መዝገብ 2 2 -3 = -3 ለማለት ያስችለናል. በእርግጥ, በሎጋሪዝም ምልክት ስር ያለው ቁጥር ከመሠረቱ 2 እስከ -3 ኃይል ጋር እኩል ነው.

በተመሳሳይ, ሁለተኛውን ሎጋሪዝም እናገኛለን: lne 5.3 = 5.3.

መልስ፡-

ሎግ 2 2 -3 = -3 እና lne 5.3 = 5.3.

በሎጋሪዝም ምልክት ስር ያለው ቁጥር ለ እንደ ሎጋሪዝም መሠረት ኃይል ካልተሰጠ ፣ ከዚያ በ ሐ ቅጽ ውስጥ የቁጥር b ውክልና ማምጣት ይቻል እንደሆነ በጥንቃቄ መመርመር ያስፈልግዎታል። ብዙውን ጊዜ ይህ ውክልና በጣም ግልፅ ነው ፣ በተለይም በሎጋሪዝም ምልክት ስር ያለው ቁጥር ከመሠረቱ ጋር እኩል ከሆነ 1 ፣ ወይም 2 ፣ ወይም 3 ፣ ...

ለምሳሌ.

የሎጋሪዝም ሎጋሪዝምን አስሉ 5 25 , እና .

መፍትሄ።

ለማየት ቀላል ነው 25=5 2, ይህ የመጀመሪያውን ሎጋሪዝም ለማስላት ያስችልዎታል: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

ወደ ሁለተኛው ሎጋሪዝም ስሌት እንቀጥላለን. ቁጥር እንደ 7 ኃይል ሊወከል ይችላል፡- (አስፈላጊ ከሆነ ይመልከቱ). በዚህም ምክንያት እ.ኤ.አ. .

ሦስተኛውን ሎጋሪዝም በሚከተለው ቅጽ እንደገና እንጽፈው። አሁን ያንን ማየት ይችላሉ ብለን መደምደም የምንችለው ከዚህ ነው። . ስለዚህ, በሎጋሪዝም ፍቺ .

በአጭሩ, መፍትሄው እንደሚከተለው ሊጻፍ ይችላል.

መልስ፡-

መዝገብ 5 25=2 እና .

በቂ የሆነ ትልቅ የተፈጥሮ ቁጥር በሎጋሪዝም ምልክት ስር ከሆነ, ከዚያም ወደ ዋና ምክንያቶች መበስበስ አይጎዳውም. ብዙውን ጊዜ እንዲህ ዓይነቱን ቁጥር ለመወከል ይረዳል የሎጋሪዝም መሠረት አንዳንድ ኃይል, እና ስለዚህ, ይህንን ሎጋሪዝም በፍቺ ለማስላት.

ለምሳሌ.

የሎጋሪዝም ዋጋን ያግኙ.

መፍትሄ።

አንዳንድ የሎጋሪዝም ባህሪያት የሎጋሪዝም ዋጋን ወዲያውኑ እንዲገልጹ ያስችሉዎታል. እነዚህ ንብረቶች የአንድ ሎጋሪዝም ንብረት እና ከመሠረቱ ጋር እኩል የሆነ የቁጥር ሎጋሪዝም ንብረት ያካትታሉ፡ ሎግ 1 1=log a 0 =0 እና log a=log a a 1 =1 . ይህም ማለት, ቁጥር 1 ወይም ቁጥር a በሎጋሪዝም ምልክት ስር ከሆነ, ከሎጋሪዝም መሠረት ጋር እኩል ነው, ከዚያም በእነዚህ አጋጣሚዎች ሎጋሪዝም 0 እና 1 ናቸው.

ለምሳሌ.

ሎጋሪዝም እና lg10 ምንድን ናቸው?

መፍትሄ።

ጀምሮ፣ ከሎጋሪዝም ትርጉም ይከተላል .

በሁለተኛው ምሳሌ, በሎጋሪዝም ምልክት ስር ያለው ቁጥር 10 ከመሠረቱ ጋር ይጣጣማል, ስለዚህ የአስርዮሽ ሎጋሪዝም ከአንድ ጋር እኩል ነው, ማለትም lg10=lg10 1 = 1 .

መልስ፡-

እና lg10=1 .

ሎጋሪዝምን በትርጉም ማስላት (ባለፈው አንቀፅ ላይ የተመለከትነው) የእኩልነት ሎግ አጠቃቀሙን እንደሚያመለክት ልብ ይበሉ a p =p , እሱም የሎጋሪዝም ባህሪያት አንዱ ነው.

በተግባር ፣ በሎጋሪዝም ምልክት ስር ያለው ቁጥር እና የሎጋሪዝም መሠረት በቀላሉ እንደ አንዳንድ ቁጥሮች ኃይል ሲወከሉ ፣ ቀመሩን ለመጠቀም በጣም ምቹ ነው። , እሱም ከሎጋሪዝም ባህሪያት አንዱ ጋር ይዛመዳል. የዚህን ቀመር አጠቃቀም በማሳየት ሎጋሪዝምን የማግኘት ምሳሌን ተመልከት።

ለምሳሌ.

የ ሎጋሪዝምን አስላ።

መፍትሄ።

መልስ፡-

.

ከላይ ያልተጠቀሱ የሎጋሪዝም ባህሪያት በስሌቱ ውስጥም ጥቅም ላይ ይውላሉ, ግን ስለዚህ ጉዳይ በሚቀጥሉት አንቀጾች ውስጥ እንነጋገራለን.

ከሌሎች የታወቁ ሎጋሪዝም አንፃር ሎጋሪዝምን ማግኘት

በዚህ አንቀጽ ውስጥ ያለው መረጃ የሎጋሪዝምን ባህሪያት በስሌታቸው ውስጥ የመጠቀምን ርዕስ ይቀጥላል. ነገር ግን እዚህ ላይ ዋናው ልዩነት የሎጋሪዝም ባህሪያት ዋናውን ሎጋሪዝምን በሌላ ሎጋሪዝም ለመግለጽ ጥቅም ላይ ይውላሉ, ዋጋው ይታወቃል. ለማብራራት አንድ ምሳሌ እንውሰድ። ያንን እናውቃለን እንበል ሎግ 2 3≈1.584963 , ከዚያም ለምሳሌ, Logarithm ባህሪያትን በመጠቀም ትንሽ ለውጥ በማድረግ, ለምሳሌ, ሎግ 2 6 ማግኘት እንችላለን. log 2 6=መዝገብ 2 (2 3)=መዝገብ 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

ከላይ ባለው ምሳሌ, የምርቱን ሎጋሪዝም ንብረት ለመጠቀም በቂ ነበር. ሆኖም ፣ ከተሰጡት አንፃር የመጀመሪያውን ሎጋሪዝም ለማስላት ብዙውን ጊዜ የሎጋሪዝም ንብረቶችን ሰፊ የጦር መሣሪያ መጠቀም አለብዎት።

ለምሳሌ.

log 60 2=a እና log 60 5=b እንደሆነ ከታወቀ ከ27 እስከ 60 ያለውን ሎጋሪዝም አስላ።

መፍትሄ።

ስለዚህ ሎግ 60 27 ማግኘት አለብን። 27=3 3 እና ዋናው ሎጋሪዝም በዲግሪው ሎጋሪዝም ንብረት ምክንያት 3· ሎግ 60 3 ተብሎ ሊፃፍ እንደሚችል ለመረዳት ቀላል ነው።

አሁን ሎግ 60 3 በሚታወቀው ሎጋሪዝም እንዴት እንደሚገለጽ እንይ. ከመሠረቱ ጋር እኩል የሆነ ቁጥር ያለው የሎጋሪዝም ንብረት የእኩልነት መዝገብ 60 60 = 1 ለመጻፍ ያስችልዎታል. በሌላ በኩል ሎግ 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . በዚህ መንገድ, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. በዚህም ምክንያት እ.ኤ.አ. መዝገብ 60 3=1-2 መዝገብ 60 2-ሎግ 60 5=1−2 a-b.

በመጨረሻም ዋናውን ሎጋሪዝም እናሰላለን፡ log 60 27=3 log 60 3= 3 (1-2 a-b)=3-6 a-3 ለ.

መልስ፡-

መዝገብ 60 27=3 (1-2 a-b)=3-6 a-3 ለ.

በተናጥል ፣ ወደ ቅጹ ሎጋሪዝም አዲስ መሠረት ለመሸጋገር የቀመርውን ትርጉም መጥቀስ ተገቢ ነው ። . ከሎጋሪዝም ከየትኛውም መሠረት ወደ ሎጋሪዝም በተወሰነ መሠረት እንዲንቀሳቀሱ ይፈቅድልዎታል ፣ እሴቶቹ የሚታወቁት ወይም እነሱን ለማግኘት የሚቻል ነው። ብዙውን ጊዜ ከመጀመሪያው ሎጋሪዝም እንደ የሽግግር ቀመር ወደ ሎጋሪዝም ይቀይራሉ ከመሠረቱ 2 ፣ e ወይም 10 በአንዱ ውስጥ ፣ ምክንያቱም ለእነዚህ መሰረቶች እሴቶቻቸውን በተወሰነ ደረጃ ለማስላት የሚያስችል የሎጋሪዝም ሰንጠረዦች አሉ ። ትክክለኛነት. በሚቀጥለው ክፍል ይህ እንዴት እንደሚደረግ እናሳያለን.

የሎጋሪዝም ጠረጴዛዎች, አጠቃቀማቸው

ለሎጋሪዝም እሴቶች ግምታዊ ስሌት አንድ ሰው መጠቀም ይችላል። የሎጋሪዝም ጠረጴዛዎች. በብዛት ጥቅም ላይ የሚውሉት ቤዝ 2 ሎጋሪዝም ጠረጴዛ፣ የተፈጥሮ ሎጋሪዝም ጠረጴዛ እና የአስርዮሽ ሎጋሪዝም ሠንጠረዥ ናቸው። በአስርዮሽ ቁጥር ስርዓት ውስጥ በሚሰሩበት ጊዜ, አሥር መሠረት ለማድረግ የሎጋሪዝም ሰንጠረዥን ለመጠቀም ምቹ ነው. በእሱ እርዳታ የሎጋሪዝም እሴቶችን ለማግኘት እንማራለን.

የቀረበው ሠንጠረዥ ከ1.000 እስከ 9.999 (ከሶስት አስርዮሽ ቦታዎች ጋር) የአስርዮሽ ሎጋሪዝም የቁጥሮች እሴቶችን ከአንድ አስር ሺህ ትክክለኛነት ለማግኘት ያስችላል። የተወሰነ ምሳሌን በመጠቀም የአስርዮሽ ሎጋሪዝም ሰንጠረዥን በመጠቀም የሎጋሪዝምን ዋጋ የማግኘት መርህን እንመረምራለን - የበለጠ ግልፅ ነው። lg1,256 እንፈልግ።

በአስርዮሽ ሎጋሪዝም ሰንጠረዥ ግራ አምድ ውስጥ የቁጥር 1.256 የመጀመሪያዎቹን ሁለት አሃዞች እናገኛለን ፣ ማለትም ፣ 1.2 እናገኛለን (ይህ ቁጥር ግልፅ ለማድረግ በሰማያዊ የተከበበ ነው)። የቁጥር 1.256 (ቁጥር 5) ሶስተኛው አሃዝ ከድርብ መስመር በስተግራ በመጀመሪያው ወይም በመጨረሻው መስመር ላይ ይገኛል (ይህ ቁጥር በቀይ የተከበበ ነው)። የዋናው ቁጥር 1.256 (ቁጥር 6) አራተኛው አሃዝ ከድርብ መስመር በስተቀኝ ባለው የመጀመሪያው ወይም የመጨረሻው መስመር ላይ ይገኛል (ይህ ቁጥር በአረንጓዴ የተከበበ ነው)። አሁን ቁጥሮችን በሎጋሪዝም ሰንጠረዥ ሴሎች ውስጥ ምልክት በተደረገበት ረድፍ እና ምልክት የተደረገባቸው ዓምዶች መገናኛ ላይ እናገኛለን (እነዚህ ቁጥሮች በብርቱካናማ ውስጥ ይደምቃሉ). ምልክት የተደረገባቸው ቁጥሮች ድምር የሚፈለገውን የአስርዮሽ ሎጋሪዝም እሴት እስከ አራተኛው የአስርዮሽ ቦታ ይሰጣል፣ ማለትም፣ log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

ከላይ ያለውን ሰንጠረዥ በመጠቀም ከአስርዮሽ ነጥብ በኋላ ከሶስት አሃዞች በላይ ያላቸውን የአስርዮሽ ሎጋሪዝም የቁጥሮች እሴቶችን ማግኘት እና እንዲሁም ከ1 እስከ 9.999 ካለው ገደብ በላይ መሄድ ይቻላል? አዎ፣ ትችላለህ። ይህ እንዴት እንደሚደረግ በምሳሌ እናሳይ።

lg102.76332 እናሰላው. በመጀመሪያ መጻፍ ያስፈልግዎታል ቁጥር በመደበኛ ቅፅ: 102.76332=1.0276332 10 2 . ከዚያ በኋላ, ማንቲሳ ወደ ሶስተኛው የአስርዮሽ ቦታ መጠቅለል አለበት, እኛ አለን 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2የመጀመሪያው የአስርዮሽ ሎጋሪዝም ከተገኘው ቁጥር ሎጋሪዝም ጋር እኩል ሲሆን ማለትም lg102.76332≈lg1.028·10 2 እንወስዳለን። አሁን የሎጋሪዝምን ባህሪያት ተግብር: lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 = lg1.028+2. በመጨረሻም, በአስርዮሽ ሎጋሪዝም lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012 ሰንጠረዥ መሰረት የሎጋሪዝም lg1.028 ዋጋ እናገኛለን። በውጤቱም ፣ ሎጋሪዝምን የማስላት አጠቃላይ ሂደት ይህንን ይመስላል። lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2≈0.012+2=2.012.

ለማጠቃለል ያህል የአስርዮሽ ሎጋሪዝም ሰንጠረዥን በመጠቀም የማንኛውም ሎጋሪዝም ግምታዊ ዋጋ ማስላት እንደሚችሉ ልብ ሊባል ይገባል። ይህንን ለማድረግ ወደ አስርዮሽ ሎጋሪዝም ለመሄድ የሽግግር ቀመሩን መጠቀም በቂ ነው, እሴቶቻቸውን በሰንጠረዡ ውስጥ ይፈልጉ እና የተቀሩትን ስሌቶች ለማከናወን.

ለምሳሌ, ሎግ 2 3 ን እናሰላለን. ወደ ሎጋሪዝም አዲስ መሠረት ለመሸጋገር ባለው ቀመር መሠረት እኛ አለን ። ከአስርዮሽ ሎጋሪዝም ሰንጠረዥ lg3≈0.4771 እና lg2≈0.3010 እናገኛለን። በዚህ መንገድ, .

መጽሃፍ ቅዱስ።

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. እና ሌሎችም አልጀብራ እና የትንታኔ መጀመሪያ፡ የአጠቃላይ የትምህርት ተቋማት ከ10-11ኛ ክፍል የመማሪያ መጽሀፍ።
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. ሂሳብ (ለቴክኒክ ትምህርት ቤቶች አመልካቾች መመሪያ).

የተፈጥሮ ሎጋሪዝም ፣ ግራፍ ፣ የትርጉም ጎራ ፣ የእሴቶች ስብስብ ፣ መሰረታዊ ቀመሮች ፣ ተዋጽኦዎች ፣ ውህደቶች ፣ በኃይል ተከታታይ ውስጥ መስፋፋት እና የተግባር ln x ውክልና በተወሳሰቡ ቁጥሮች ተሰጥቷል።

ፍቺ

የተፈጥሮ ሎጋሪዝምተግባር y = ነው። ln x፣ ወደ አርቢው ተቃራኒ ፣ x \u003d e y ፣ እና የትኛው ሎጋሪዝም ለቁጥሩ መሠረት ነው e፡ ln x = ሎግ ሠ x.

ተፈጥሯዊው ሎጋሪዝም በሂሳብ ውስጥ በሰፊው ጥቅም ላይ ይውላል ምክንያቱም የእሱ አመጣጥ ቀላሉ ቅርፅ አለው፡ (ln x)′ = 1/ x.

የተመሰረተ ትርጓሜዎች, የተፈጥሮ ሎጋሪዝም መሠረት ቁጥር ነው ሠ:
ሠ ≅ 2.718281828459045...;
.

የተግባሩ ግራፍ y = ln x.

የተፈጥሮ ሎጋሪዝም ግራፍ (ተግባራት y = ln x) ከጠፊው ግራፍ የተገኘ በመስታወት ነጸብራቅ ስለ ቀጥታ መስመር y = x.

ተፈጥሯዊ ሎጋሪዝም ለ x አወንታዊ እሴቶች ይገለጻል። እሱ በብቸኝነት በፍቺው ጎራ ላይ ይጨምራል።

እንደ x → 0 የተፈጥሮ ሎጋሪዝም ገደብ የኢንፊኔቲዝም (- ∞) መቀነስ ነው.

እንደ x → + ∞፣ የተፈጥሮ ሎጋሪዝም ገደብ ገደብ የሌለው (+∞) ነው። ለትልቅ x፣ ሎጋሪዝም በዝግታ ይጨምራል። ማንኛውም የኃይል ተግባር x a አዎንታዊ ገላጭ ሀ ከሎጋሪዝም በበለጠ ፍጥነት ያድጋል።

የተፈጥሮ ሎጋሪዝም ባህሪያት

የትርጉም ጎራ፣ የእሴቶች ስብስብ፣ ጽንፍ፣ መጨመር፣ መቀነስ

ተፈጥሯዊ ሎጋሪዝም በነጠላነት እየጨመረ የሚሄድ ተግባር ነው, ስለዚህ ምንም ጽንፍ የለውም. የተፈጥሮ ሎጋሪዝም ዋና ዋና ባህሪያት በሰንጠረዥ ውስጥ ቀርበዋል.

ln x እሴቶች

መዝገብ 1 = 0

ለተፈጥሮ ሎጋሪዝም መሰረታዊ ቀመሮች

ከተገላቢጦሽ ተግባር ትርጉም የሚነሱ ቀመሮች፡-

የሎጋሪዝም ዋና ንብረት እና ውጤቶቹ

የመሠረት ምትክ ቀመር

ማንኛውም ሎጋሪዝም የመሠረት ለውጥ ቀመርን በመጠቀም በተፈጥሮ ሎጋሪዝም ሊገለጽ ይችላል፡-

የእነዚህ ቀመሮች ማረጋገጫዎች በ "ሎጋሪዝም" ክፍል ውስጥ ቀርበዋል.

የተገላቢጦሽ ተግባር

የተፈጥሮ ሎጋሪዝም ተገላቢጦሽ ገላጭ ነው።

ከሆነ ታዲያ

ከሆነ .

መነሻ ln x

የተፈጥሮ ሎጋሪዝም የመነጨ;
.
የሞዱሎ x የተፈጥሮ ሎጋሪዝም፡-
.
የ nኛ ቅደም ተከተል የተገኘ፡
.
የቀመሮች አመጣጥ >>

የተዋሃደ

ውህደቱ በክፍሎች በማዋሃድ ይሰላል፡-
.
ስለዚህ፣

ውስብስብ ቁጥሮችን በተመለከተ መግለጫዎች

የአንድ ውስብስብ ተለዋዋጭ z ተግባርን አስቡበት፡-
.
ውስብስብ የሆነውን ተለዋዋጭ እንግለጽ ዝበሞጁል በኩል አርእና ክርክር φ :
.
የሎጋሪዝምን ባህሪያት በመጠቀም እኛ አለን-
.
ወይም
.
ግቤት φ በልዩ ሁኔታ አልተገለጸም። ካስቀመጥን
n ኢንቲጀር ባለበት
ከዚያም ለተለያዩ n ተመሳሳይ ቁጥር ይሆናል.

ስለዚህ, የተፈጥሮ ሎጋሪዝም, እንደ ውስብስብ ተለዋዋጭ ተግባር, ነጠላ ዋጋ ያለው ተግባር አይደለም.

የኃይል ተከታታይ መስፋፋት

ለ፣ ማስፋፊያው ይከናወናል፡-

ማጣቀሻዎች፡-
አይ.ኤን. ብሮንስታይን ፣ ኬ.ኤ. ሴመንድያቭ፣ የከፍተኛ ትምህርት ተቋማት መሐንዲሶች እና ተማሪዎች የሂሳብ መጽሐፍ፣ ላን፣ 2009

የሎጋሪዝም መግለጫዎች, ምሳሌዎች መፍትሄ. በዚህ ጽሑፍ ውስጥ ሎጋሪዝምን ከመፍታት ጋር የተያያዙ ችግሮችን እንመለከታለን. ተግባሮቹ የገለጻውን ዋጋ የማግኘት ጥያቄን ያነሳሉ. የሎጋሪዝም ጽንሰ-ሐሳብ በብዙ ተግባራት ውስጥ ጥቅም ላይ እንደሚውል እና ትርጉሙን ለመረዳት እጅግ በጣም አስፈላጊ መሆኑን ልብ ሊባል ይገባል. እንደ USE ፣ ሎጋሪዝም እኩልታዎችን ለመፍታት ፣ በተተገበሩ ችግሮች እና እንዲሁም ከተግባሮች ጥናት ጋር በተያያዙ ተግባራት ውስጥ ጥቅም ላይ ይውላል።

የሎጋሪዝምን ትርጉም ለመረዳት ምሳሌዎች እዚህ አሉ።

መሰረታዊ ሎጋሪዝም ማንነት፡-

ሁል ጊዜ ማስታወስ ያለብዎት የሎጋሪዝም ባህሪዎች

* የምርቱ ሎጋሪዝም ከምክንያቶቹ ሎጋሪዝም ድምር ጋር እኩል ነው።

* * *

* የቁጥር (ክፍልፋይ) ሎጋሪዝም ከምክንያቶቹ ሎጋሪዝም ልዩነት ጋር እኩል ነው።

* * *

* የዲግሪው ሎጋሪዝም ከግቢው ምርት እና ከመሠረቱ ሎጋሪዝም ጋር እኩል ነው።

* * *

* ወደ አዲስ መሠረት ሽግግር

* * *

ተጨማሪ ንብረቶች፡

* * *

ማስላት ሎጋሪዝም የጠቋሚዎችን ባህሪያት ከመጠቀም ጋር በቅርበት የተያያዘ ነው.

ጥቂቶቹን ዘርዝረናል፡-

የዚህ ንብረት ዋናው ነገር አሃዛዊውን ወደ መለያው ሲያስተላልፍ እና በተቃራኒው የአርበኛው ምልክት ወደ ተቃራኒው ይለወጣል. ለምሳሌ:

የዚህ ንብረት ውጤት:

* * *

ኃይልን ወደ ሃይል ሲያሳድጉ, መሰረቱ ተመሳሳይ ሆኖ ይቆያል, ነገር ግን ገላጭዎቹ ይባዛሉ.

* * *

እንደምታየው, የሎጋሪዝም ጽንሰ-ሐሳብ ቀላል ነው. ዋናው ነገር ጥሩ ልምምድ ያስፈልጋል, ይህም የተወሰነ ክህሎት ይሰጣል. በእርግጠኝነት ስለ ቀመሮች እውቀት ግዴታ ነው. የአንደኛ ደረጃ ሎጋሪዝምን የመቀየር ችሎታ ካልተፈጠረ ቀላል ሥራዎችን በሚፈታበት ጊዜ አንድ ሰው በቀላሉ ስህተት ሊሠራ ይችላል።

ተለማመዱ፣ መጀመሪያ ከሂሳብ ኮርስ በጣም ቀላሉ ምሳሌዎችን ይፍቱ፣ ከዚያም ወደ ውስብስብ ወደሆኑ ይሂዱ። ለወደፊቱ, "አስቀያሚ" ሎጋሪዝም እንዴት እንደሚፈታ በእርግጠኝነት አሳይሻለሁ, በፈተናው ላይ እንደዚህ አይነት ሰዎች አይኖሩም, ነገር ግን ፍላጎት ያላቸው ናቸው, እንዳያመልጥዎት!

ይኼው ነው! መልካም እድል ይሁንልህ!

ከሰላምታ ጋር ፣ አሌክሳንደር ክሩቲስኪክ

P.S: በማህበራዊ አውታረመረቦች ውስጥ ስለ ጣቢያው ቢነግሩኝ አመስጋኝ ነኝ።

የጥንታዊ ደረጃ አልጀብራ ንጥረ ነገሮች አንዱ ሎጋሪዝም ነው። ስሙ የመጣው ከግሪክ ቋንቋ "ቁጥር" ወይም "ዲግሪ" ከሚለው ቃል ሲሆን የመጨረሻውን ቁጥር ለማግኘት ቁጥሩን በመሠረቱ ላይ ከፍ ለማድረግ የሚያስፈልግበት ደረጃ ማለት ነው.

የሎጋሪዝም ዓይነቶች

• log a b የቁጥሩ ሎጋሪዝም ነው b ወደ መሠረት a (a > 0, a ≠ 1, b> 0);
• lg b - የአስርዮሽ ሎጋሪዝም (ሎጋሪዝም መሠረት 10, a = 10);
• ln b - የተፈጥሮ ሎጋሪዝም (ሎጋሪዝም መሠረት e, a = e).

ሎጋሪዝም እንዴት እንደሚፈታ?

የቁጥር ለ ለ መሠረት a ሎጋሪዝም አርቢ ነው፣ ይህም መሠረቱን ወደ ቁጥር ለ. ውጤቱም እንደሚከተለው ይገለጻል: "logarithm of b to the base of a". ለሎጋሪዝም ችግሮች መፍትሄው የተሰጠውን ዲግሪ በተጠቀሱት ቁጥሮች ቁጥሮች መወሰን ያስፈልግዎታል. ሎጋሪዝምን ለመወሰን ወይም ለመፍታት አንዳንድ መሰረታዊ ህጎች አሉ, እንዲሁም ማስታወሻውን እራሱን ለመለወጥ. እነሱን በመጠቀም, የሎጋሪዝም እኩልታዎች ተፈትተዋል, ተዋጽኦዎች ተገኝተዋል, ውህደቶች ተፈትተዋል እና ሌሎች ብዙ ስራዎች ይከናወናሉ. በመሠረቱ, ለሎጋሪዝም እራሱ መፍትሄው ቀለል ያለ መግለጫ ነው. ከታች ያሉት ዋናዎቹ ቀመሮች እና ባህሪያት ናቸው:

ለማንኛውም a; ሀ > 0; a ≠ 1 እና ለማንኛውም x; y > 0.

• log a b = b መሰረታዊ የሎጋሪዝም መለያ ነው።
• log a 1 = 0
• log a a = 1
• log a (x y) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x ፣ ለ k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x \u003d log b x / log b a - ወደ አዲስ መሠረት ለመሸጋገር ቀመር
• log a x = 1/ log x a

ሎጋሪዝምን እንዴት እንደሚፈታ - ​​ለመፍታት ደረጃ በደረጃ መመሪያዎች

• በመጀመሪያ, አስፈላጊውን እኩልታ ይፃፉ.

እባክዎን ያስተውሉ: መሰረታዊ ሎጋሪዝም 10 ከሆነ, መዝገቡ አጭር ነው, የአስርዮሽ ሎጋሪዝም ተገኝቷል. ተፈጥሯዊ ቁጥር e ካለ, ከዚያም ወደ ተፈጥሯዊ ሎጋሪዝም በመቀነስ እንጽፋለን. የሁሉም ሎጋሪዝም ውጤት ቁጥሩን ለማግኘት የመሠረታዊ ቁጥሩ የሚነሳበት ኃይል ነው ማለት ነው.

በቀጥታ, መፍትሄው በዚህ ዲግሪ ስሌት ላይ ነው. አንድን አገላለጽ በሎጋሪዝም ከመፍታቱ በፊት፣ እንደ ደንቡ፣ ማለትም ቀመሮችን በመጠቀም ማቅለል አለበት። በአንቀጹ ውስጥ ትንሽ ወደ ኋላ በመመለስ ዋና ዋና ማንነቶችን ማግኘት ይችላሉ።

ሎጋሪዝምን ሲጨምሩ እና ሲቀነሱ በሁለት የተለያዩ ቁጥሮች ግን በተመሳሳይ መሠረት ፣ በነጠላ ሎጋሪዝም በቁጥር ለ እና ሐ ቁጥሮች በቅደም ተከተል ይተኩ ። በዚህ ሁኔታ, የሽግግር ቀመሩን ወደ ሌላ መሠረት (ከላይ ይመልከቱ) ማመልከት ይችላሉ.

ሎጋሪዝምን ለማቃለል አገላለጾችን እየተጠቀሙ ከሆነ ማወቅ ያለብዎት አንዳንድ ገደቦች አሉ። እና ይሄ ነው: የሎጋሪዝም መሠረት አወንታዊ ቁጥር ብቻ ነው, ግን ከአንድ ጋር እኩል አይደለም. ቁጥሩ ለ፣ እንደ ሀ፣ ከዜሮ በላይ መሆን አለበት።

አገላለጹን ቀለል ካደረጉ በኋላ ሎጋሪዝምን በቁጥር መልክ ማስላት የማይችሉባቸው አጋጣሚዎች አሉ። እንዲህ ዓይነቱ አገላለጽ ትርጉም አይሰጥም, ምክንያቱም ብዙ ዲግሪዎች ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች ናቸው. በዚህ ሁኔታ, የቁጥሩን ኃይል እንደ ሎጋሪዝም ይተዉት.