በመስመር ላይ በሁለት መስመሮች መካከል ያለውን አንግል ኮሳይን ያግኙ። በሁለት መስመሮች መካከል አንግል. በሁለት ትይዩ መስመሮች መካከል ያለውን ርቀት እንዴት ማግኘት እንደሚቻል

ተግባር 1

በ $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $ እና $\ግራ\( በመስመሮች መካከል ያለውን አንግል ኮሳይን ፈልግ \\ጀማሪ(ድርድር)(c) (x=2\cdot t-3) \\ (y=-t+1) \\ (z=3\cdot t+5) \መጨረሻ(ድርድር)\ቀኝ።$።

ሁለት መስመሮች በህዋ ላይ ይሰጡ፡- $\frac(x-x_(1))(m_(1)) =\frac(y-y_(1)))(n_(1)) =\frac(z-z_() 1 ) )(p_(1)) $ እና $\frac(x-x_(2))(m_(2)) =\frac(y-y_(2))(n_(2)) =\frac(z) - z_(2) )(p_(2)) $. በጠፈር ውስጥ የዘፈቀደ ነጥብ እንመርጣለን እና ከመረጃው ጋር ትይዩ ሁለት ረዳት መስመሮችን በእሱ በኩል እንሳልለን. በተሰጡት መስመሮች መካከል ያለው አንግል በረዳት መስመሮች ከተፈጠሩት ሁለት ተያያዥ ማዕዘኖች ውስጥ የትኛውም ነው. በመስመሮቹ መካከል ካሉት ማዕዘኖች የአንዱ ኮሳይን ኮሳይን ታዋቂውን ቀመር $\cos \phi =\ frac (m_(1) \cdot m_(2) +n_(1) \cdot n_(2) + p_(1) \cdot p_( 2) )(\sqrt(m_(1)^(2) +n_(1)^(2)+p_(1)^(2))) \cdot \sqrt(m_(2)) )^(2) +n_( 2)^(2) +p_(2)^(2) ) )) $. ዋጋው $\cos \phi >0$ ከሆነ፣ $\cos \phi ከሆነ በመስመሮቹ መካከል አጣዳፊ አንግል ተገኝቷል።

የመጀመሪያው መስመር ቀኖናዊ እኩልታዎች፡$\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $።

የሁለተኛው ቀጥተኛ መስመር ቀኖናዊ እኩልታዎች ከፓራሜትሪክ ሊገኙ ይችላሉ-

\ \ \

ስለዚህም የዚህ መስመር ቀኖናዊ እኩልታዎች፡$\frac(x+3)(2) =\frac(y-1)(-1) =\frac(z-5)(3) $ ናቸው።

እኛ እናሰላለን፡-

\[\cos \phi =\frac(5\cdot 2+\ግራ(-3\ቀኝ)\cdot \ግራ(-1\ቀኝ)+4\cdot 3)(\sqrt(5^(2) +\ ግራ(-3\ቀኝ)^(2) +4^(2) ) \cdot \sqrt(2^(2) +\ግራ(-1\ቀኝ)^(2) +3^(2))) = \frac(25)(\sqrt(50) \cdot \sqrt(14)) \በግምት 0.9449።\]

ተግባር 2

የመጀመሪያው መስመር በተሰጡት ነጥቦች $A በግራ(2,-4,-1\ቀኝ)$ እና $B\ግራ(-3,5,6\ቀኝ)$ በኩል ያልፋል፣ ሁለተኛው መስመር በተሰጡት ነጥቦች $ ሐ\ግራ (1፣-2፣8\ቀኝ)$ እና $D\ግራ(6፣7፣-2\ቀኝ)$። በእነዚህ መስመሮች መካከል ያለውን ርቀት ይፈልጉ.

አንዳንድ መስመር ከመስመሮች $AB$ እና $CD$ ጋር ቀጥ ያለ ይሁን እና በ$M$ እና $N$፣ በቅደም ተከተል ያቆራርጣቸው። በነዚህ ሁኔታዎች ውስጥ የክፍል $MN $ ርዝመት በመስመሮች $ AB$ እና $ CD$ መካከል ካለው ርቀት ጋር እኩል ነው.

ቬክተርን እንገነባለን $\overline(AB)$:

\[\overline(AB)=\ግራ(-3-2\ቀኝ)\cdot \bar(i)+\ግራ(5-\ግራ(-4\ቀኝ)\ቀኝ)\cdot \bar(j)+ \ ግራ(6-\ግራ(-1\ቀኝ)\ቀኝ)\cdot \bar(k)=-5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)+7\cdot \bar(k) )።

በመስመሮቹ መካከል ያለውን ርቀት የሚወክለው ክፍል በ$M\u003e ግራ(x_(M)፣y_(M)፣z_(M) \ቀኝ)$ በመስመር $AB$ በኩል እንዲያልፍ ያድርጉ።

የ$\overline(AM)$ ቬክተር እንገነባለን፡-

\[\overline(AM)=\ግራ(x_(M) -2\ቀኝ)\cdot \bar(i)+\ግራ(y_(M) -\ግራ(-4\ቀኝ)\ቀኝ)\cdot ባር(j)+\ግራ(z_(M) -\ግራ(-1\ቀኝ)\ቀኝ)\cdot \bar(k)=\] \[=\ግራ(x_(M) -2\ቀኝ)\ cdot \bar(i)+\ግራ(y_(M) +4\ቀኝ)\cdot \bar(j)+\ግራ(z_(ኤም) +1\ቀኝ)\cdot \bar(k)\]

ቬክተሮች $\overline(AB)$ እና $\overline(AM)$ ተመሳሳይ ናቸው፣ስለዚህ እነሱ ኮላይነር ናቸው።

እንደሚታወቀው ቬክተሮች $\overline(a)=x_(1) \cdot \overline(i)+y_(1) \cdot \overline(j)+z_(1) \cdot \overline(k)$ እና $ \overline(b)=x_(2) \cdot \overline(i)+y_(2) \cdot \overline(j)+z_(2) \cdot \overline(k)$ ኮላይነር ናቸው፣ በመቀጠል መጋጠሚያዎቻቸው ተመጣጣኝ ናቸው፣ ከዚያ $\frac(x_((\ it 2)))((\ it x)_((\ it 1))) =\frac(y_((\ it 2))))((\ it 2))) y)_((\ it 1))) =\frac(z_((\ it 2))))(\ it z)__((\ it 1))) $.

$\frac(x_(M) -2)(-5) =\frac(y_(M) +4)(9) =\frac(z_(M) +1)(7) =m$፣ የት $m $ የክፍፍሉ ውጤት ነው።

ከዚህ እናገኛለን: $ x_(M) -2=-5\cdot m$; $y_(M) +4=9\cdot m$; $z_(M) +1=7\cdot m$።

በመጨረሻም፣ ለ$M$ ነጥቡ መጋጠሚያዎች መግለጫዎችን እናገኛለን፡-

የ$\overline(ሲዲ)$ ቬክተር እንገነባለን፡-

\[\ኦቨርላይን(ሲዲ)=\ግራ(6-1\ቀኝ)\cdot \bar(i)+\ግራ(7-\ግራ(-2\ቀኝ)\ቀኝ)\cdot \bar(j)+\ ግራ(-2-8\ቀኝ)\cdot \bar(k)=5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)-10\cdot \bar(k)\]

በመስመሮቹ መካከል ያለው ርቀት የሚወክለው ክፍል በ$ N\u003e ግራ(x_(N)፣y_(N)፣z_(N) \ቀኝ)$ በ $ ሲዲ $ መስመር ላይ።

ቬክተሩን $\overline(CN)$ እንገነባለን፡

\[\overline(CN)=\ግራ(x_(N) -1\ቀኝ)\cdot \bar(i)+\ግራ(y_(N) -\ግራ(-2\ቀኝ)\ቀኝ)\cdot ባር(j)+\ግራ(z_(N) -8\ቀኝ)\cdot \bar(k)=\] \[=\ግራ(x_(N) -1\ቀኝ)\cdot \bar(i)+ \ ግራ(y_(N) +2\ቀኝ)\cdot \bar(j)+\ግራ(z_(N) -8\ቀኝ)\cdot \bar(k)\]

ቬክተሮች $\overline(ሲዲ)$ እና $\overline(CN)$ ተመሳሳይ ናቸው፣ስለዚህ እነሱ ኮላይነር ናቸው። የኮሊንየር ቬክተሮችን ሁኔታ እንተገብራለን-

$\frac(x_(N) -1)(5) =\frac(y_(N) +2)(9) =\frac(z_(N) -8)(-10) =n$ የት $n $ የክፍፍሉ ውጤት ነው።

ከዚህ እናገኛለን: $ x_(N) -1=5\cdot n$; $y_(N) +2=9\cdot n$; $z_(N) -8=-10\cdot n$።

በመጨረሻም፣ የነጥብ $N$ መጋጠሚያዎች መግለጫዎችን እናገኛለን፡-

የ$\overline(MN)$ ቬክተር እንገነባለን፡-

\[\ኦቨርላይን(ኤምኤን)=\ግራ(x_(N) -x_(M)\ቀኝ)\cdot \bar(i)+\ግራ(y_(N) -y_(M)\ቀኝ)\cdot \bar (j)+\ግራ(z_(N) -z_(M) \ቀኝ)\cdot \bar(k)\]

የነጥቦቹን $M$ እና $N$ መጋጠሚያ መግለጫዎችን እንተካለን።

\[\overline(MN)=\ግራ(1+5\cdot n-\ግራ(2-5\cdot m\right)\ right)\cdot \bar(i)+\] \[+\ግራ(-) 2+9\cdot n-\ ግራ(-4+9\cdot m\right)\ቀኝ)\cdot \bar(j)+\ግራ(8-10\cdot n-\ግራ(-1+7\cdot) m\ቀኝ)\ቀኝ)\cdot \bar(k)\]

ደረጃዎቹን ከጨረስን በኋላ የሚከተሉትን እናገኛለን

\[\overline(MN)=\ግራ(-1+5\cdot n+5\cdot m\right)\cdot \bar(i)+\ግራ(2+9\cdot n-9\cdot m\right) \cdot \bar(j)+\ግራ(9-10\cdot n-7\cdot m\right)\cdot \bar(k)\]

መስመሮች $AB$ እና $MN$ ቀጥ ያሉ በመሆናቸው የተዛማጅ ቬክተሮች scalar ምርት ከዜሮ ጋር እኩል ነው ማለትም $\overline(AB)\cdot \overline(MN)=0$:

\[-5\cdot \ግራ(-1+5\cdot n+5\cdot m\right)+9\cdot \ግራ(2+9\cdot n-9\cdot m\right)+7\cdot \ ግራ(9-10\cdot n-7\cdot m\right)=0;\] \

ደረጃዎቹን ከጨረስን በኋላ $m$ እና $n$: $155\cdot m+14\cdot n=86$ን ለመወሰን የመጀመሪያውን እኩልታ እናገኛለን።

የ$CD$ እና $MN$ መስመሮች ቀጥ ያሉ በመሆናቸው የተዛማጅ ቬክተሮች scalar ምርት ከዜሮ ጋር እኩል ነው ማለትም $\overline(CD)\cdot \overline(MN)=0$:

\[-5+25\cdot n+25\cdot m+18+81\cdot n-81\cdot m-90+100\cdot n+70\cdot m=0።\]

ደረጃዎቹን ከጨረስን በኋላ $m$ እና $n$: $14\cdot m+206\cdot n=77$ን ለመወሰን ሁለተኛውን እኩልታ እናገኛለን።

የእኩልታዎችን ስርዓት በመፍታት $m$ እና $n$ን ያግኙ $\ግራ\(\ጀማሪ(ድርድር)(c)(155\cdot m+14\cdot n=86) \\(14\cdot m+206\ cdot n =77) \መጨረሻ(ድርድር)\ቀኝ.$.

የ Cramer ዘዴን እንተገብራለን-

የነጥቦች $M$ እና $N$ መጋጠሚያዎችን ያግኙ፡-

\ \

በመጨረሻም፡-

በመጨረሻም ቬክተርን $\overline(MN)$ እንጽፋለን፡-

$\overline(MN)=\ግራ(2.691-\ግራ(-0.6215\ቀኝ)\ቀኝ)\cdot \bar(i)+\ግራ(1.0438-0.7187\ቀኝ)\cdot \bar (j)+\ግራ (4,618-2,6701\ቀኝ)\cdot \bar(k)$ or $\overline(MN)=3,3125\cdot \bar(i)+0,3251\cdot \bar( j)+1.9479\cdot \bar(k)$

በመስመሮች $ AB$ እና በ$CD$ መካከል ያለው ርቀት የቬክተር $\overline(MN)$:$d=\sqrt(3.3125^(2) +0.3251^(2) +1.9479^( 2)) \\ በግምት 3.8565 ዶላር ክፍሎች

ፍቺ

ከአንድ ነጥብ በሚወጡ ሁለት ጨረሮች መካከል የታጠረ የአውሮፕላን ሁሉንም ነጥቦች የያዘ ጂኦሜትሪክ ምስል ይባላል ጠፍጣፋ ጥግ.

ፍቺ

በሁለት መካከል አንግልመቆራረጥ ቀጥተኛበእነዚህ መስመሮች መገናኛ ላይ ያለው ትንሹ የአውሮፕላን አንግል ዋጋ ይባላል. ሁለት መስመሮች ትይዩ ከሆኑ በመካከላቸው ያለው አንግል ዜሮ ነው ተብሎ ይታሰባል።

በሁለት የተጠላለፉ መስመሮች መካከል ያለው አንግል (በራዲያን ውስጥ ከተለካ) እሴቶችን ከዜሮ ወደ $\dfrac(\pi)(2)$ ሊወስድ ይችላል።

ፍቺ

በሁለት የተጠላለፉ መስመሮች መካከል አንግልእሴቱ ከስኬው ጋር ትይዩ በሆኑ ሁለት የተጠላለፉ ቀጥታ መስመሮች መካከል ካለው አንግል ጋር እኩል ይባላል። በመስመሮች $a$ እና $b$ መካከል ያለው አንግል በ$\angle (a, b)$ ይገለጻል።

የተዋወቀው ፍቺ ትክክለኛነት ከሚከተለው ቲዎሪ ይከተላል.

የአውሮፕላን አንግል ቲዎረም ከትይዩ ጎኖች ጋር

በተመጣጣኝ ትይዩ እና በእኩል አቅጣጫ የሚመሩ የሁለት ኮንቬክስ አውሮፕላን ማዕዘኖች እሴቶች እኩል ናቸው።

ማረጋገጫ

ማዕዘኖቹ ቀጥ ካሉ፣ ሁለቱም ከ$\pi$ ጋር እኩል ናቸው። ካልተዳበሩ $ON=O_1ON_1$ እና $OM=O_1M_1$ በማእዘኖቹ $\angle AOB$ እና $\angle A_1O_1B_1$ ላይ እኩል ክፍሎችን እናቀርባለን።

ባለአራት ጎን $O_1N_1NO$ ትይዩ ነው ምክንያቱም ተቃራኒዎቹ $ON$ እና $O_1N_1$ እኩል እና ትይዩ ናቸው። በተመሳሳይ፣ ባለአራት ጎን $O_1M_1MO$ ትይዩ ነው። ስለዚህም $NN_1 = OO_1 = MM_1$ እና $NN_1 \ትይዩ OO_1 \ትይዩ MM_1$፣ስለዚህ $NN_1=MM_1$ እና $NN_1 \ትይዩ MM_1$ በመሸጋገሪያ። ባለአራት ጎን $N_1M_1MN$ ትይዩ ነው ምክንያቱም ተቃራኒ ጎኖቹ እኩል እና ትይዩ ናቸው። ስለዚህ፣ የ$NM$ እና $N_1M_1$ ክፍሎች እንዲሁ እኩል ናቸው። ትሪያንግሎች $ONM$ እና $O_1N_1M_1$ በሦስተኛው ትሪያንግል የእኩልነት መስፈርት መሰረት እኩል ናቸው፣ስለዚህ ተጓዳኝ ማዕዘኖች $\ አንግል NOM$ እና $\ አንግል N_1O_1M_1$ እንዲሁ እኩል ናቸው።

ፍቺሁለት መስመሮች ከተሰጡ y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, ከዚያም በእነዚህ መስመሮች መካከል ያለው አጣዳፊ ማዕዘን እንደሚከተለው ይገለጻል.

ሁለት መስመሮች k 1 = k 2 ከሆነ ትይዩ ናቸው. ሁለት መስመሮች k 1 = -1/ k 2 ከሆነ ቀጥ ያሉ ናቸው.

ቲዎረም.ቀጥ ያሉ መስመሮች Ax + Vy + C \u003d 0 እና A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 የቁጥር መለኪያዎች A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB ተመጣጣኝ ሲሆኑ ትይዩ ናቸው. እንዲሁም С 1 = λС ከሆነ, መስመሮቹ ይጣጣማሉ. የሁለት መስመሮች መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎች የእነዚህ መስመሮች እኩልታዎች ስርዓት እንደ መፍትሄ ሆነው ይገኛሉ.

በተሰጠው ነጥብ ውስጥ የሚያልፍ መስመር እኩልታ

ከዚህ መስመር ጋር በተዛመደ

ፍቺበነጥቡ M 1 (x 1፣ y 1) እና ቀጥታ y \u003d kx + b በኩል የሚያልፈው መስመር በቀመር ይወከላል፡-

ከነጥብ ወደ መስመር ርቀት

ቲዎረም.አንድ ነጥብ M (x 0፣ y 0) ከተሰጠ፣ ወደ መስመር Ax + Vy + C \u003d 0 ያለው ርቀት እንደሚከተለው ይገለጻል

ማረጋገጫ።ነጥቡ M 1 (x 1፣ y 1) ከነጥቡ M ወደ ተሰጠ መስመር የወረደው የፔንዲኩላር መሠረት ይሁን። ከዚያ በ M እና M 1 መካከል ያለው ርቀት:

(1)

የ x 1 እና y 1 መጋጠሚያዎች ለእኩልታዎች ስርዓት እንደ መፍትሄ ሊገኙ ይችላሉ፡-

የስርአቱ ሁለተኛው እኩልታ በተሰጠው ነጥብ M 0 በኩል የሚያልፍ ቀጥተኛ መስመር ከተሰጠው ቀጥታ መስመር ጋር እኩል ነው. የስርዓቱን የመጀመሪያውን እኩልታ ወደ ቅጹ ከቀየርነው፡-

A(x - x 0) + B(y - y 0) + መጥረቢያ 0 + በ 0 + ሲ = 0፣

ከዚያም በመፍታት, እኛ እናገኛለን:

እነዚህን አባባሎች በቀመር (1) በመተካት የሚከተሉትን እናገኛለን፡-

ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.

ለምሳሌ. በመስመሮቹ መካከል ያለውን አንግል ይወስኑ: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= ገጽ /4.

ለምሳሌ. መስመሮች 3x - 5y + 7 = 0 እና 10x + 6y - 3 = 0 ቀጥ ያሉ መሆናቸውን አሳይ።

መፍትሄ. እኛ እናገኛለን: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, ስለዚህ, መስመሮቹ ቀጥ ያሉ ናቸው.

ለምሳሌ. የሶስት ማዕዘኑ ጫፎች A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1) ተሰጥተዋል. ከቬርቴክስ ሐ ለተሳለው ቁመት ያለውን እኩልታ ያግኙ።

መፍትሄ. የጎን AB እኩልታ እናገኛለን: ; 4 x = 6 y - 6;

2x - 3ይ + 3 = 0;

የሚፈለገው ቁመት እኩልታ፡- Ax + By + C = 0 ወይም y = kx + b ነው። k = . ከዚያ y =. ምክንያቱም ቁመቱ በ ነጥብ C ውስጥ ያልፋል ፣ ከዚያ መጋጠሚያዎቹ ይህንን እኩልነት ያሟላሉ ከየት ነው b = 17. ድምር፡.

መልስ፡- 3x + 2ይ - 34 = 0።

በተሰጠው አቅጣጫ ውስጥ በተሰጠው ነጥብ ውስጥ የሚያልፍ መስመር እኩልታ. በሁለት የተሰጡ ነጥቦች ውስጥ የሚያልፍ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ። በሁለት መስመሮች መካከል አንግል. የሁለት መስመሮች ትይዩ እና ቀጥተኛነት ሁኔታ. የሁለት መስመሮች መገናኛ ነጥብ መወሰን

1. በተሰጠው ነጥብ ውስጥ የሚያልፍ መስመር እኩልታ ሀ(x 1 , y 1) በተሰጠው አቅጣጫ, በዳገቱ ይወሰናል ክ,

y - y 1 = ክ(x - x 1). (1)

ይህ እኩልታ በአንድ ነጥብ ውስጥ የሚያልፉ የመስመሮች እርሳስን ይገልፃል። ሀ(x 1 , y 1) የጨረራ መሃከል ተብሎ የሚጠራው.

2. በሁለት ነጥቦች ውስጥ የሚያልፍ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ፡- ሀ(x 1 , y 1) እና ለ(x 2 , y 2) እንዲህ ተጽፏል፡-

በሁለት የተሰጡ ነጥቦች ውስጥ የሚያልፍ ቀጥተኛ መስመር ቁልቁል የሚወሰነው በቀመር ነው።

3. ቀጥታ መስመሮች መካከል አንግል ሀእና ለየመጀመሪያው ቀጥተኛ መስመር መዞር ያለበት ማዕዘን ነው ሀከሁለተኛው መስመር ጋር እስኪመሳሰል ድረስ በነዚህ መስመሮች መገናኛ ነጥብ በተቃራኒ ሰዓት አቅጣጫ ለ. ሁለት መስመሮች በ slope equations ከተሰጡ

y = ክ 1 x + ለ 1 ,

y = ክ 2 x + ለ 2 , (4)

ከዚያም በመካከላቸው ያለው አንግል በቀመር ይወሰናል

በክፍልፋይ አሃዛዊው ውስጥ የመጀመሪያው ቀጥተኛ መስመር ቁልቁል ከሁለተኛው ቀጥተኛ መስመር ቁልቁል እንደሚቀንስ ልብ ሊባል ይገባል.

የአንድ ቀጥተኛ መስመር እኩልታዎች በአጠቃላይ መልክ ከተሰጡ

ሀ 1 x + ለ 1 y + ሲ 1 = 0,

ሀ 2 x + ለ 2 y + ሲ 2 = 0, (6)

በመካከላቸው ያለው አንግል በቀመርው ይወሰናል

4. የሁለት መስመር ትይዩ ሁኔታዎች፡-

ሀ) መስመሮቹ የተሰጡት በቁጥር (4) ተዳፋት ከሆነ፣ ለትይዩነታቸው አስፈላጊ እና በቂ ቅድመ ሁኔታ የቁልቁለታቸው እኩልነት ነው።

ክ 1 = ክ 2 . (8)

ለ) መስመሮቹ በአጠቃላይ ቅፅ (6) እኩልታዎች በሚሰጡበት ጊዜ ለትይዩነት አስፈላጊው እና በቂ ቅድመ ሁኔታ በትክክለኛዎቹ የወቅቱ መጋጠሚያዎች ላይ ያሉት ውህደቶች ተመጣጣኝ ናቸው, ማለትም.

5. የሁለት መስመሮች ቀጥተኛነት ሁኔታዎች

ሀ) መስመሮቹ በቁጥር (4) ተዳፋት በተሰጡበት ጊዜ ለቀጣይነታቸው አስፈላጊው እና በቂ ቅድመ ሁኔታቸው ቁልቁለታቸው በመጠን እና በምልክት ተቃራኒ መሆናቸው ነው፣ ማለትም።

ይህ ሁኔታ በቅጹ ላይም ሊጻፍ ይችላል

ክ 1 ክ 2 = -1. (11)

ለ) የቀጥታ መስመሮች እኩልታዎች በአጠቃላይ ቅፅ (6) ከተሰጡ, ለቀጣይነታቸው ሁኔታ (አስፈላጊ እና በቂ) እኩልነትን ማሟላት ነው.

ሀ 1 ሀ 2 + ለ 1 ለ 2 = 0. (12)

6. የሁለት መስመሮች መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎች የሚገኙት የእኩልታዎችን ስርዓት በመፍታት ነው (6)። መስመሮች (6) የሚገናኙት ከሆነ እና ከሆነ ብቻ ነው።

1. በ ነጥብ M ውስጥ የሚያልፉትን የመስመሮች እኩልታዎች ይፃፉ, አንደኛው ትይዩ እና ሌላኛው በተሰጠው መስመር ላይ ቀጥ ያለ ነው l.

መስመሮች በጠፈር ውስጥ ይሰጡ ኤልእና ኤም. በአንድ የቦታ ነጥብ A በኩል ቀጥታ መስመሮችን እናስባለን ኤል 1 || ኤልእና ኤም 1 || ኤም(ምስል 138).

ነጥቡ A በዘፈቀደ ሊመረጥ እንደሚችል ልብ ይበሉ, በተለይም, ከተሰጡት መስመሮች በአንዱ ላይ ሊተኛ ይችላል. ቀጥተኛ ከሆነ ኤልእና ኤምመቆራረጥ፣ ከዚያም A የእነዚህ መስመሮች መገናኛ ነጥብ ተደርጎ ሊወሰድ ይችላል ( ኤል 1 =ልእና ኤም 1 = ሜትር).

ትይዩ ባልሆኑ መስመሮች መካከል አንግል ኤልእና ኤምቀጥ ያሉ መስመሮችን በማቆራረጥ ከተፈጠሩት የአጎራባች ማዕዘኖች ትንሹ እሴት ነው ኤል 1 እና ኤም 1 (ኤል 1 || ኤል, ኤም 1 || ኤም). በትይዩ መስመሮች መካከል ያለው አንግል ዜሮ ነው ተብሎ ይታሰባል።

በመስመሮች መካከል አንግል ኤልእና ኤምበ $\ widehat ((l;m)) $ ተጠቁሟል። ከትርጓሜው ውስጥ በዲግሪዎች ከተለካ, ከዚያም 0 ° < $\ widehat ((l;m)) $ < 90°፣ እና በራዲያን ውስጥ ከሆነ፣ ከዚያ 0 < $\ widehat ((l;m)) $ < π / 2 .

ተግባር።ኩብ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ተሰጥቷል (ምስል 139).

ቀጥታ መስመሮች AB እና DC 1 መካከል ያለውን አንግል ያግኙ.

ቀጥተኛ AB እና DC 1 መሻገሪያ. መስመሩ ዲሲ ከመስመሩ AB ጋር ትይዩ ስለሆነ በመስመሮች AB እና DC 1 መካከል ያለው አንግል በትርጉሙ መሰረት $\ widehat(C_(1)DC)$ ጋር እኩል ነው።

ስለዚህም $\ widehat ((AB;DC_1))$ = 45°።

ቀጥታ ኤልእና ኤምተብሎ ይጠራል ቀጥ ያለ, ከሆነ $\ widehat ((l;m)) $ = π / 2. ለምሳሌ, በኩብ ውስጥ

በመስመሮች መካከል ያለው አንግል ስሌት.

በጠፈር ውስጥ በሁለት ቀጥታ መስመሮች መካከል ያለውን አንግል የማስላት ችግር በአውሮፕላኑ ውስጥ በተመሳሳይ መንገድ ተፈትቷል. በመስመሮቹ መካከል ያለውን አንግል በ φ አመልክት። ኤል 1 እና ኤል 2, እና በ ψ - በአቅጣጫ ቬክተሮች መካከል ያለው አንግል ግን እና ለ እነዚህ ቀጥታ መስመሮች.

ከዚያም ከሆነ

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90 ° (ምስል 206.6), ከዚያም φ = 180 ° - ψ. በሁለቱም ሁኔታዎች እኩልነት cos φ = |cos ψ| እውነት እንደሆነ ግልጽ ነው። በቀመርው መሰረት (ዜሮ ባልሆኑ ቬክተር ሀ እና ለ መካከል ያለው የማዕዘን ኮሳይን የእነዚህ ቬክተሮች ስክላር ምርት በርዝመታቸው ምርት የተከፈለ እኩል ነው) አለን።

$$ cos \psi = cos\ widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

በዚህም ምክንያት እ.ኤ.አ.

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

መስመሮቹ በቀኖናዊ እኩልታዎቻቸው ይሰጡ

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; እና \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

ከዚያም በመስመሮቹ መካከል ያለው አንግል φ ቀመሩን በመጠቀም ይወሰናል

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

ከመስመሮቹ (ወይም ከሁለቱም) አንዱ በካኖናዊ ባልሆኑ እኩልታዎች ከተሰጠ፣ ከዚያም አንግልን ለማስላት የእነዚህን መስመሮች አቅጣጫ ቬክተሮች መጋጠሚያዎችን ማግኘት እና ከዚያ ቀመር (1) መጠቀም ያስፈልግዎታል።

ተግባር 1.በመስመሮች መካከል ያለውን አንግል አስሉ

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;እና\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

የቀጥታ መስመሮች አቅጣጫ ጠቋሚዎች መጋጠሚያዎች አሏቸው

አ \u003d (-√2; √2; -2)፣ ለ = (√3 ; √3 ; √6 ).

በቀመር (1) እናገኛለን

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

ስለዚህ, በእነዚህ መስመሮች መካከል ያለው አንግል 60 ° ነው.

ተግባር 2.በመስመሮች መካከል ያለውን አንግል አስሉ

$$ \መጀመሪያ(ጉዳይ)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\መጨረሻ(ጉዳይ)እና \መጀመሪያ(ጉዳይ)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\ፍጻሜ(ጉዳይ)$$

ከመመሪያው ቬክተር በስተጀርባ ግን የመጀመሪያው ቀጥተኛ መስመር የመደበኛ ቬክተሮች የቬክተር ምርትን እንወስዳለን n 1 = (3; 0; -12) እና n 2 = (1; 1; -3) ይህን መስመር የሚገልጹ አውሮፕላኖች. በቀመር $=\ጀማሪ(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \ end(vmatrix) $ እናገኛለን።

$$ a==\ጀማሪ(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

በተመሳሳይ የሁለተኛው ቀጥታ መስመር አቅጣጫ ቬክተር እናገኛለን፡-

$$ b=\ጀምር(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \ end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

ነገር ግን ቀመር (1) የሚፈለገውን አንግል ኮሳይን ያሰላል፡-

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2) ^2+4^2+4^2))=0$$

ስለዚህ, በእነዚህ መስመሮች መካከል ያለው አንግል 90 ° ነው.

ተግባር 3.በሶስት ማዕዘን ፒራሚድ MAVS ውስጥ, ጠርዞች MA, MB እና MC እርስ በእርሳቸው ቀጥ ያሉ ናቸው, (ምስል 207);

ርዝመታቸው በቅደም ተከተል ከ 4, 3, 6 ጋር እኩል ነው. ነጥብ D መካከለኛ [MA] ነው. በመስመሮች CA እና DB መካከል ያለውን አንግል φ ያግኙ።

SA እና DB የመስመሮች ኤስኤ እና ዲቢ አቅጣጫ ቬክተር ይሁኑ።

ነጥቡን M እንደ መጋጠሚያዎች መነሻ እንውሰድ። በተግባሩ ሁኔታ, A (4; 0; 0), B (0; 0; 3), C (0; 6; 0), D (2; 0; 0) አለን። ስለዚህ $\ overrightarrow (CA)$ = (4; - 6;0), \ (\ overrightarrow (DB)\)= (-2; 0; 3). ቀመር (1) እንጠቀማለን

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9) ))$$

በኮሳይንስ ሠንጠረዥ መሠረት በሲኤ እና በዲቢ መካከል ያለው አንግል በግምት 72 ° ነው ።

ግን። ሁለት መስመሮች ይስጥ እነዚህ መስመሮች በምዕራፍ 1 ላይ እንደተገለፀው የተለያዩ አወንታዊ እና አሉታዊ ማዕዘኖችን ይመሰርታሉ, በዚህ ሁኔታ, ሁለቱም አጣዳፊ እና ግልጽ ሊሆኑ ይችላሉ. ከእነዚህ ማዕዘኖች አንዱን በማወቅ ሌላ ማንኛውንም በቀላሉ ማግኘት እንችላለን.

በነገራችን ላይ, ለእነዚህ ሁሉ ማዕዘኖች, የታንጀንት አሃዛዊ እሴት አንድ ነው, ልዩነቱ በምልክቱ ላይ ብቻ ሊሆን ይችላል.

የመስመሮች እኩልታዎች. ቁጥሮቹ የመጀመርያው እና የሁለተኛው መስመር የመምራት ቬክተር ትንበያዎች ናቸው።በእነዚህ ቬክተሮች መካከል ያለው አንግል በቀጥተኛ መስመሮች ከተፈጠሩት ማዕዘኖች አንዱ ጋር እኩል ነው። ስለዚህ, ችግሩ በቬክተሮች መካከል ያለውን አንግል ለመወሰን ይቀንሳል, እናገኛለን

ለቀላልነት፣ አጣዳፊ አወንታዊ አንግልን ለመረዳት (ለምሳሌ በስእል 53) በሁለት ቀጥታ መስመሮች መካከል ባለ አንግል ላይ መስማማት እንችላለን።

ከዚያም የዚህ አንግል ታንጀንት ሁልጊዜ አዎንታዊ ይሆናል. ስለዚህ፣ በቀመር (1) በቀኝ በኩል የመቀነስ ምልክት ከተገኘ፣ መጣል አለብን፣ ማለትም፣ ፍፁም እሴቱን ብቻ አቆይ።

ለምሳሌ. በመስመሮች መካከል ያለውን አንግል ይወስኑ

በቀመር (1) አለን።

ከ. ከማእዘኑ ጎን የትኛው ጅማሬ እና መጨረሻው እንደሆነ ከተገለጸ ሁል ጊዜ የማዕዘን አቅጣጫውን በተቃራኒ ሰዓት አቅጣጫ በመቁጠር ከቀመሮች (1) የበለጠ ነገር ማውጣት እንችላለን። ከሥዕሉ ላይ በቀላሉ እንደሚታየው. 53 በቀመሩ በቀኝ በኩል የተገኘው ምልክት (1) የትኛው ነው - አጣዳፊ ወይም ግልጽ ያልሆነ - አንግል ከመጀመሪያው ጋር ሁለተኛውን መስመር ይመሰርታል።

(በእርግጥ ከቁጥር 53 ጀምሮ በመጀመሪያው እና በሁለተኛው አቅጣጫ ቬክተሮች መካከል ያለው አንግል በመስመሮቹ መካከል ከሚፈለገው ማዕዘን ጋር እኩል እንደሆነ ወይም በ ± 180 ° ልዩነት እንዳለው እናያለን.)

መ. መስመሮቹ ትይዩ ከሆኑ አቅጣጫቸው ቬክተሮችም ትይዩ ናቸው የሁለት ቬክተር ትይዩነት ሁኔታን በመተግበር እናገኛለን!

ይህ ለሁለት መስመሮች ትይዩ እንዲሆኑ አስፈላጊ እና በቂ ሁኔታ ነው.

ለምሳሌ. ቀጥታ

ትይዩ ናቸው ምክንያቱም

ሠ. መስመሮቹ ቀጥ ያሉ ከሆኑ የአቅጣጫቸው ቬክተሮችም ቀጥ ያሉ ናቸው። ሁለት ቬክተሮች perpendicularity ያለውን ሁኔታ ተግባራዊ, እኛ ማለትም ሁለት መስመሮች, perpendicularity ሁኔታ ማግኘት.

ለምሳሌ. ቀጥታ

perpendicular ምክንያቱም

በትይዩ እና በቋሚነት ሁኔታዎች ውስጥ, የሚከተሉትን ሁለት ችግሮች እንፈታዋለን.

ረ. በአንድ ነጥብ በኩል ከተሰጠው መስመር ጋር ትይዩ የሆነ መስመር ይሳሉ

ውሳኔው እንደዚህ ነው. የሚፈለገው መስመር ከተሰጠው መስመር ጋር ትይዩ ስለሆነ ለእሱ ዳይሬክት ቬክተር ከተጠቀሰው መስመር ጋር ተመሳሳይ የሆነውን ማለትም ቬክተርን ከ A እና B ጋር ልንወስድ እንችላለን ከዚያም የሚፈለገው መስመር እኩልታ ይጻፋል። በቅጹ (§ 1)

ለምሳሌ. በአንድ ነጥብ (1፤ 3) ከቀጥታ መስመር ጋር ትይዩ የሚያልፍ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ

ቀጥሎ ይሆናል!

ሰ. ከተሰጠው መስመር ጋር ቀጥ ባለ ነጥብ በኩል መስመር ይሳሉ

እዚህ ቬክተርን በፕሮጀክሽን ሀ እና እንደ ዳይሬክተር ቬክተር መውሰድ ከአሁን በኋላ ተስማሚ አይደለም, ነገር ግን በእሱ ላይ ቀጥ ያለ ቬክተር መንፋት አስፈላጊ ነው. ስለዚህ የዚህ ቬክተር ትንበያዎች ሁለቱም ቬክተሮች ቀጥ ያሉ ናቸው, ማለትም እንደ ሁኔታው ሁኔታ መመረጥ አለባቸው.

ይህ ሁኔታ ከሁለት የማይታወቁ ጋር አንድ እኩልታ ስላለ ይህ ሁኔታ ማለቂያ በሌለው መንገድ ሊሟላ ይችላል ። ግን ቀላሉ መንገድ እሱን መውሰድ ነው ። ከዚያ የሚፈለገው ቀጥተኛ መስመር እኩልታ በቅጹ ይፃፋል።

ለምሳሌ. በአንድ ነጥብ (-7; 2) በቋሚ መስመር ውስጥ የሚያልፈው መስመር እኩልታ

የሚከተለው ይሆናል (በሁለተኛው ቀመር መሠረት)!

ሸ. በመስመሮቹ በቅጹ እኩልታዎች በሚሰጡበት ጊዜ

እነዚህን እኩልታዎች በተለየ መንገድ እንደገና መፃፍ አለብን