ወደ ዘንግ ላይ ያለውን የቬክተር ትንበያ ይወስኑ. የቬክተር ትንበያ. መጥረቢያዎችን ያስተባበሩ. የነጥብ ትንበያ. የነጥብ መጋጠሚያዎች በአንድ ዘንግ

አልጀብራ የቬክተር ትንበያበማንኛዉም ዘንግ ላይ የቬክተር ርዝመት እና በዘንግ እና በቬክተር መካከል ካለው አንግል ኮሳይን ምርት ጋር እኩል ነው።

ትክክል a b = |b|cos(a,b) ወይም

ሀ ለ የቬክተር ስክላር ውጤት በሆነበት |a| - የቬክተር ሀ ሞጁሎች .

መመሪያ. በመስመር ላይ የቬክተር Пp a b ትንበያን ለማግኘት የቬክተሩን a እና b መጋጠሚያዎች መግለጽ አለብዎት። በዚህ ሁኔታ ቬክተሩ በአውሮፕላኑ ውስጥ (ሁለት መጋጠሚያዎች) እና በቦታ (ሶስት መጋጠሚያዎች) ውስጥ ሊሰጥ ይችላል. የተገኘው መፍትሔ በ Word ፋይል ውስጥ ተቀምጧል. ቬክተሮቹ በነጥቦቹ መጋጠሚያዎች በኩል ከተሰጡ, ይህንን ካልኩሌተር መጠቀም አለብዎት.

የተሰጠው፡
ሁለት የቬክተር መጋጠሚያዎች
ሶስት አስተባባሪ ቬክተር
ሀ፡ ; ;
ለ፡ ; ;

የቬክተር ትንበያ ምደባ

የትርጉም ዓይነቶች በቬክተር ትንበያ

የትንበያ ዓይነቶች በቅንጅት ስርዓት

የቬክተር ትንበያ ባህሪያት

1. የቬክተር ጂኦሜትሪክ ትንበያ ቬክተር ነው (አቅጣጫ አለው).
2. የቬክተር አልጀብራ ትንበያ ቁጥር ነው።

የቬክተር ትንበያ ቲዎሬሞች

ቲዎሪ 1. በማንኛውም ዘንግ ላይ ያለው የቬክተር ድምር ትንበያ በተመሳሳይ ዘንግ ላይ ካሉት የቬክተሮች ቃላቶች ትንበያ ጋር እኩል ነው.

ቲዎሪ 2. የቬክተር በማንኛውም ዘንግ ላይ ያለው የአልጀብራ ትንበያ የቬክተር ርዝመት እና በዘንግ እና በቬክተር መካከል ካለው አንግል ኮሳይን ምርት ጋር እኩል ነው።

ትክክል a b = |b|cos(a,b)

የቬክተር ትንበያ ዓይነቶች

1. በ OX ዘንግ ላይ ትንበያ.
2. በ OY ዘንግ ላይ ትንበያ።
3. በቬክተር ላይ ትንበያ.

በኦክስ ዘንግ ላይ ትንበያ	በ OY ዘንግ ላይ ትንበያ	የቬክተር ትንበያ
የቬክተር A'B' አቅጣጫ ከኦክስ ዘንግ አቅጣጫ ጋር የሚጣጣም ከሆነ የቬክተር A'B' ትንበያ አዎንታዊ ምልክት አለው.	የቬክተር A'B' አቅጣጫ ከ OY ዘንግ አቅጣጫ ጋር ከተጣመረ የቬክተር A'B' ትንበያ አዎንታዊ ምልክት አለው.	የቬክተር A'B' አቅጣጫ ከቬክተር NM አቅጣጫ ጋር ከተጣመረ የቬክተር A'B' ትንበያ አዎንታዊ ምልክት አለው.
የቬክተሩ አቅጣጫ ከኦክስ ዘንግ አቅጣጫ ተቃራኒ ከሆነ የቬክተር A'B' ትንበያ አሉታዊ ምልክት አለው.	የቬክተር A'B' አቅጣጫ ከ OY ዘንግ አቅጣጫ ተቃራኒ ከሆነ የቬክተር A'B' ትንበያ አሉታዊ ምልክት አለው.	የቬክተር A'B' አቅጣጫ ከቬክተር NM አቅጣጫ ተቃራኒ ከሆነ የቬክተር A'B' ትንበያ አሉታዊ ምልክት አለው.
ቬክተር AB ከዘንግ ኦክስ ጋር ትይዩ ከሆነ፣ የቬክተር A'B' ትንበያ ከቬክተር AB ሞጁል ጋር እኩል ነው።	የቬክተር AB ከ OY ዘንግ ጋር ትይዩ ከሆነ, የቬክተር A'B' ትንበያ ከቬክተር AB ሞጁል ጋር እኩል ነው.	ቬክተር AB ከቬክተር NM ጋር ትይዩ ከሆነ የቬክተር A'B' ትንበያ ከቬክተር AB ሞጁል ጋር እኩል ነው.
የቬክተር AB ወደ ዘንግ OX ቀጥ ያለ ከሆነ፣ የ A'B ትንበያ ከዜሮ (ዜሮ-ቬክተር) ጋር እኩል ነው።	የቬክተር AB በ OY ዘንግ ላይ ቀጥ ያለ ከሆነ፣ የA'B' ትንበያ ከዜሮ (ኑል ቬክተር) ጋር እኩል ነው።	ቬክተር AB ከቬክተር NM ጋር ቀጥ ያለ ከሆነ፣ የ A'B ትንበያ ከዜሮ (ኑል ቬክተር) ጋር እኩል ነው።

1. ጥያቄ፡ የቬክተር ትንበያ አሉታዊ ምልክት ሊኖረው ይችላል? መልስ፡ አዎ፣ የቬክተር ትንበያዎች አሉታዊ ሊሆኑ ይችላሉ። በዚህ ሁኔታ ቬክተሩ ተቃራኒው አቅጣጫ አለው (የኦክስ ዘንግ እና AB ቬክተር እንዴት እንደሚመሩ ይመልከቱ)
2. ጥያቄ፡ የቬክተር ትንበያ ከቬክተር ሞጁሎች ጋር ሊጣጣም ይችላል? መልስ፡- አዎ ይችላል። በዚህ ሁኔታ, ቬክተሮች ትይዩ ናቸው (ወይም በተመሳሳይ መስመር ላይ ይተኛሉ).
3. ጥያቄ፡ የቬክተር ትንበያ ከዜሮ (ዜሮ-ቬክተር) ጋር እኩል ሊሆን ይችላል. መልስ፡- አዎ ይችላል። በዚህ ሁኔታ, ቬክተሩ ወደ ተጓዳኝ ዘንግ (ቬክተር) ቀጥ ያለ ነው.

ምሳሌ 1. ቬክተር (ምስል 1) ከኦክስ ዘንግ ጋር 60 o አንግል ይመሰርታል (በቬክተር ሀ ይሰጣል)። OE መለኪያ አሃድ ከሆነ |b|=4፣ ስለዚህ .

በእርግጥ, የቬክተር (ጂኦሜትሪክ ትንበያ ለ) ርዝመት ከ 2 ጋር እኩል ነው, እና አቅጣጫው ከኦክስ ዘንግ አቅጣጫ ጋር ይጣጣማል.

ምሳሌ 2. ቬክተር (ምስል 2) ከኦክስ ዘንግ (ከቬክተር ጋር) (a, b) = 120 o ጋር አንድ ማዕዘን ይሠራል. ርዝመት |b| vector b ከ 4 ጋር እኩል ነው፣ ስለዚህ pr a b=4 cos120 o = -2።

በእርግጥ, የቬክተሩ ርዝመት ከ 2 ጋር እኩል ነው, እና አቅጣጫው ከአክሱ አቅጣጫ ጋር ተቃራኒ ነው.

አሁን በጣም አስፈላጊ የሆነውን የቬክተር ትንበያ ወደ ዘንግ ላይ ለማስተዋወቅ ተዘጋጅተናል። አካላዊ ችግሮችን ለመፍታት በቋሚነት ጥቅም ላይ ይውላል.

7.5.1 የቬክተር ወደ ዘንግ ላይ ያለው ትንበያ ምንድን ነው?

ቬክተር ~ ሀ እና ኤክስ ዘንግ ይሰጡ።የ X-ዘንግ መለኪያ አለው ተብሎ ይታሰባል ይህም የክፍሎቹን ርዝመት ለመለካት እና የቬክተሩን መጠን ለመመደብ ያስችላል ~ ሀ.

ከቬክተር መጀመሪያ እና መጨረሻ ~a perpendiculars to the X axis; A እና B የእነዚህ ቋሚዎች መሠረቶች ይሁኑ (ምሥል 7.26). የ AB ክፍል ርዝመት በ jABj ያመልክቱ።

ሩዝ. 7.26. በአንድ ዘንግ ላይ የቬክተር ትንበያ

ፍቺ የቬክተር ~a የ X ዘንግ ላይ ያለው ትንበያ መጥረቢያ ከ AB ክፍል ርዝመት ጋር እኩል ነው፣ በፕላስ ምልክት የተወሰደው በቬክተር ~a እና በ X ዘንግ መካከል ያለው አንግል አጣዳፊ ከሆነ እና በመቀነስ ምልክት ይወሰዳል። እንደቅደም ተከተላቸው፣ " ግልጽ ያልሆነ (ወይም የማይታጠፍ) ከሆነ። አንግልው ትክክል ከሆነ፡ መጥረቢያ = 0።

ባጭሩ የሚከተለው ቀመር አለን።

ምስል 7.27 እነዚህን ሁሉ እድሎች ያሳያል።

እዚህ እንደተለመደው a = j~aj የቬክተር ~a ሞጁል ነው።

በእርግጥ ከሆነ "< 90 , то формула (7.10 ) даёт длину левого красного отрезка на рис.7.27 .

"\u003e 90 ከሆነ, ከዚያም, በስእል 7.27 ወደ አንግል አጠገብ ያለውን አንግል ወደ መካከለኛ ክፍል ውስጥ መንቀሳቀስ ", እኛ ቀመር (7.10) ተቀንሶ ምልክት ጋር መካከለኛ ቀይ ክፍል ርዝመት ይሰጣል (ምክንያት አሉታዊ አሉታዊ) መሆኑን እናያለን. የኮሳይን), በትክክል የሚያስፈልገንን ነው.

በመጨረሻም ፣ \u003d 90 ከሆነ ፣ ከዚያ ቀመር (7.10) መጥረቢያ \u003d 0 ይሰጣል ፣ ምክንያቱም የቀኝ አንግል ኮሳይን ዜሮ ነው ። ልክ እንደዚህ መሆን አለበት (በሥዕሉ በቀኝ በኩል)።

አሁን የ x-ዘንግ ተጨማሪ አመጣጥ ተሰጥቶታል, ስለዚህም የተለመደው የመጋጠሚያ ዘንግ ነው. ከዚያ ለፕሮጀክሽን መጥረቢያ አንድ ተጨማሪ ቀመር አለን ፣ እሱም በስእል 7.27 ¾ በማህደር የተቀመጡትን ሶስቱንም ጉዳዮች ይይዛል።

አስተባባሪ 2. x1 እና x2 የቬክተር ~a መጀመሪያ እና መጨረሻ መጋጠሚያዎች ይሁኑ። ከዚያም ትንበያ መጥረቢያ በቀመር ይሰላል፡-

መጥረቢያ = x2 x1

በእርግጥም, ስእልን እንመልከት. 7.28. ይህ የአዎንታዊ ትንበያ ጉዳይ ነው። ከሥዕሉ ላይ ያለው ልዩነት x2 x1 ከቀይ ክፍል ርዝመት ጋር እኩል እንደሆነ ግልጽ ነው, እና በዚህ ጉዳይ ላይ ይህ ርዝመት በትክክል ትንበያ መጥረቢያ ነው.

ሩዝ. 7.28. በአንድ ዘንግ ላይ የቬክተር ትንበያ. ወደ ማጠቃለያ 2

በቀሪዎቹ ሁለት ጉዳዮች (አክስ< 0 и ax = 0)? Убедитесь, пожалуйста, самостоятельно, что формула (7.11 ) и для них остаётся справедливой.

7.5.2 የቬክተር ወደ አክሰስ ፕሮጄክሽን ባህሪያት

ቬክተርን ወደ ዘንግ የማውጣት ተግባር ከቬክተር መደመር እና ስካላር-ቬክተር ብዜት ስራዎች ጋር በጥሩ ሁኔታ ይስማማል። ማለትም የ x-ዘንግ ምንም ይሁን ምን, የሚከተሉት ሁለት የንድፍ ባህሪያት ይይዛሉ.

1. የቬክተር ~a + b በ X ዘንግ ላይ ያለው ትንበያ ax + bx ነው።

አጭር የቃል አጻጻፍ፡ የቬክተሮች ድምር ትንበያ ከግምታቸው ድምር ጋር እኩል ነው። ይህ ለሁለት ብቻ ሳይሆን ለማንኛውም የቬክተር ብዛት ድምር እውነት ነው።

		ሩዝ. 7.29. ~ ሐ = ~ ሀ + ለ) cx = መጥረቢያ

በመጀመሪያ ደረጃ, ይህንን መግለጫ በስዕሉ ላይ እናሳያለን. የክፍለ ዘመኑን መጀመሪያ እናስቀምጥ-

የ torus b እስከ ቬክተር ~a መጨረሻ ድረስ, እና ~ c = ~ a + b (ስዕል 7.29).

ይህ አኃዝ በግልጽ የሚያሳየው ትንበያ cx ከቀይ እና አረንጓዴ ክፍልፋዮች ርዝመቶች ድምር ድምር ጋር እኩል እንደሆነ ማለትም ልክ መጥረቢያ + bx ነው።

እውነት ነው, የበለስ. 7.29 የተሰራው ለጉዳይ መጥረቢያ> 0 እና bx> 0 ነው። ለሁሉም ሊሆኑ የሚችሉ የፕሮጀክሽን መጥረቢያ እና bx እሴቶች መግለጫችንን በአንድ ጊዜ ለማረጋገጥ በቀመር (7.11) ላይ በመመስረት የሚከተለውን ሁለንተናዊ አመክንዮ እናከናውናለን።

ስለዚህ፣ ቬክተሮች ~a እና b በዘፈቀደ ይቀመጡ። እንደገና ተኳሃኝ ጅምር
የቬክተር ለ ከቬክተር መጨረሻ ~ ሀ እና ~ ሐ = ~ a + bን ያመለክታሉ። ይሁን፡-
	የቬክተር አጀማመር ቅንጅት ~ a እና በተመሳሳይ ጊዜ የቬክተር ~ ሐ;
	የቬክተር መጨረሻ መጋጠሚያ ~ a እና በተመሳሳይ ጊዜ የቬክተር መጀመሪያ ለ;
	የቬክተር መጨረሻ መጋጠሚያ ለ እና በተመሳሳይ ጊዜ የቬክተር መጨረሻ ~ ሐ.

እነዚህ ስያሜዎች በስእል ውስጥም ይገኛሉ. 7.29.

በቀመር (7.11) አለን: ax = x2 x1, bx = x3 x2, cx = x3 x1. አሁን ያንን ማየት ቀላል ነው-

መጥረቢያ + bx = (x2 x1) + (x3 x2) = x3 x1 = cx:

የእኛ የመጀመሪያ ትንበያ ንብረታችን በዚህ መንገድ ተረጋግጧል።

2. የቬክተር ~a በ X ዘንግ ላይ ያለው ትንበያ ሀ x .

የቃል አቀነባበር፡ የአንድ ስካላር እና የቬክተር ምርት ትንበያ ከስካላር እና ከቬክተር ትንበያ ጋር እኩል ነው።

እንደገና በምሳሌ እንጀምር። በስእል 7.30 በግራ በኩል ቬክተር ~a አዎንታዊ ትንበያ መጥረቢያ ያሳያል።

ሩዝ. 7.30. የቬክተር ~a ትንበያ ከመጥረቢያ ጋር እኩል ነው።

ቬክተሩን ~a በ 2 ካባዙት ርዝመቱ በእጥፍ ይጨምራል፣ የቬክተሩ ትንበያም በእጥፍ ይጨምራል (ምልክቱን ይጠብቃል) እና ከ 2ax ጋር እኩል ይሆናል።

ቬክተር ~aን በ 2 ብናባዛው ርዝመቱ እንደገና በእጥፍ ይጨምራል፣ ግን አቅጣጫው ይገለበጣል። ትንበያው ምልክቱን ይለውጣል እና ከ 2ax ጋር እኩል ይሆናል።

ስለዚህ, የሁለተኛው ንብረት ምንነት ግልጽ ነው, እና አሁን ጥብቅ ማረጋገጫ ልንሰጥ እንችላለን.

እንግዲያውስ ~. ያንን ለማረጋገጥ እንሄዳለን x x. b = ~a b = a

ለዚህ ቀመር (7.10) እንጠቀም. እና አለነ:

መጥረቢያ = a cos "; bx = b cos;

በቬክተር እና ዘንግ መካከል ያለው አንግል, እና በቬክተር ~ እና ዘንግ መካከል ያለው አንግል የት አለ. በስተቀር

በተጨማሪም፣ ስካላርን በቬክተር ማባዛት በሚለው ፍቺው መሠረት፡-

ስለዚህም፡-

bx = j ja cos:

ከሆነ, ከዚያም j j; በዚህ ሁኔታ ቬክተር ~ ከቬክተር ጋር አብሮ ይመራል, እና ስለዚህ.

> 0 = b~a = "

bx = a cos" = መጥረቢያ:

ከሆነ, ከዚያም j j; በዚህ ሁኔታ, ቬክተር ~ በቬክተር አቅጣጫ ተቃራኒ ነው

ru ~a. ያንን ለመረዳት ቀላል ነው = " (ለምሳሌ, " ሹል ከሆነ, ማለትም ከእሱ አጠገብ, እና በተቃራኒው). ከዚያ እኛ አለን:

bx = () a cos (") = () a(cos ") = a cos" = መጥረቢያ:

ስለዚህ, በሁሉም ሁኔታዎች, የሚፈለገው ግንኙነት ተገኝቷል, ስለዚህም የትንበያ ሁለተኛው ንብረት ሙሉ በሙሉ ተረጋግጧል.

7.5.3 በፊዚክስ ውስጥ የንድፍ አሠራር

የንድፍ አሠራር የተረጋገጡ ባህሪያት ለእኛ በጣም አስፈላጊ ናቸው. በሜካኒክስ ለምሳሌ በእያንዳንዱ ዙር እንጠቀማቸዋለን።

ስለዚህ፣ በተለዋዋጭነት ውስጥ ያሉ የብዙ ችግሮች መፍትሄ የኒውተንን ሁለተኛ ህግ በቬክተር መልክ በመፃፍ ይጀምራል። ለምሳሌ ያህል በክር ላይ የተንጠለጠለ የጅምላ ፔንዱለምን እንውሰድ. ለፔንዱለም፣ የኒውተን ሁለተኛ ህግ የሚከተለው ይሆናል፡-

የኒውተንን ሁለተኛ ህግ በቬክተር መልክ ከጻፍን በኋላ፣ ወደ ትንበያው እንቀጥላለን

ተስማሚ መጥረቢያዎች. እኩልነትን እንይዛለን (7.12) እና ወደ X ዘንግ ላይ እንዘረጋለን፡
ከፍተኛ = mgx + Tx + fx:

ከቬክተር እኩልነት (7.12) ወደ ስክላር እኩልነት (7.13) ሲተላለፉ ሁለቱም የንድፍ ባህሪያት ጥቅም ላይ ይውላሉ! ይኸውም በንብረት 1 ምክንያት የቬክተሮች ድምር ትንበያቸውን እንደ ትንበያዎቻቸው ድምር ጽፈናል; ንብረት 2 የቬክተሮች m~a እና m~g ትንበያዎችን እንደ ከፍተኛ እና mgx እንድንጽፍ ያስችለናል።

ስለዚህ ሁለቱም የፕሮጀክሽን ስራዎች ባህሪያት ከቬክተር ወደ ስክላር እኩልነት መሸጋገራቸውን ያረጋግጣሉ, እና ይህ ሽግግር በመደበኛነት እና ሳያስቡ ሊከናወን ይችላል-ቀስቶችን በቬክተሮች ኖት ውስጥ እናስወግዳለን እና በምትኩ ትንበያ ኢንዴክሶችን እናስቀምጣለን. ከሒሳብ (7.12) ወደ ቀመር (7.13) የሚደረገው ሽግግር በትክክል ይህን ይመስላል።

በአንድ ሥዕል ውስጥ ሁል ጊዜ ብዙ የተለያዩ ቬክተሮችን ማሳየት እና በዓይንዎ ፊት ግልጽ የሆነ የእንቅስቃሴ “ሥዕል” ስለሚያገኙ የእንቅስቃሴ መግለጫ ጠቃሚ ነው። ሆኖም ከቬክተር ጋር ለመስራት ገዢ እና ፕሮትራክተር በተጠቀምክ ቁጥር በጣም ጊዜ የሚወስድ ነው። ስለዚህ, እነዚህ ድርጊቶች በአዎንታዊ እና አሉታዊ ቁጥሮች ወደ ድርጊቶች ይቀንሳሉ - የቬክተሮች ትንበያዎች.

የቬክተር ትንበያ ወደ ዘንግከተገመተው የቬክተር ሞጁል ምርት እና በቬክተር አቅጣጫዎች እና በተመረጠው የመጋጠሚያ ዘንግ መካከል ካለው አንግል ኮሳይን ምርት ጋር እኩል የሆነ scalar value ይደውሉ።

የግራ ስእል የመፈናቀያ ቬክተር ያሳያል, ሞጁሉ 50 ኪ.ሜ ነው, እና አቅጣጫው ይመሰረታል obtuse አንግል 150° ከ X ዘንግ አቅጣጫ ጋር፡ ፍቺውን ተጠቅመን የመፈናቀሉን ትንበያ በX ዘንግ ላይ እናገኛለን፡-

sx = s cos(α) = 50 km cos( 150°) = -43 ኪሜ

በመጥረቢያዎቹ መካከል ያለው አንግል 90 ° ስለሆነ ፣ የእንቅስቃሴው አቅጣጫ ከ Y ዘንግ አቅጣጫ ጋር 60 ° አጣዳፊ አንግል እንደሚሰራ ለማስላት ቀላል ነው። ትርጉሙን በመጠቀም፣ ወደ Y ዘንግ ላይ የመፈናቀል ትንበያ እናገኛለን፡-

sy = s cos(β) = 50 ኪሜ cos( 60°) = +25 ኪሜ

ከዚህ ማየት እንደምትችለው, የቬክተር አቅጣጫ ወደ ዘንግ አቅጣጫ ጋር አጣዳፊ ማዕዘን ቅጾችን ከሆነ, ትንበያ አዎንታዊ ነው; የቬክተሩ አቅጣጫ ከዘንግ አቅጣጫው ጋር ግልጽ ያልሆነ አንግል ካደረገ ትንበያው አሉታዊ ነው።

ትክክለኛው ሥዕል የፍጥነት ቬክተርን ያሳያል ፣ ሞጁሉ 5 ሜ / ሰ ነው ፣ እና አቅጣጫው ከ X ዘንግ አቅጣጫ ጋር 30 ° አንግል ይመሰርታል ። ትንበያዎቹን እንፈልግ ።

υx = υ cos(α) = 5 m/s cos( 30°) = +4.3 m/s
υy = υ cos(β) = 5 m/s cos( 120°) = -2.5 ሜ/ሰ

የታቀዱት ቬክተሮች ከተመረጡት መጥረቢያዎች ጋር ትይዩ ወይም ቀጥ ያሉ ከሆኑ የቬክተሮችን ትንበያዎች በመጥረቢያዎቹ ላይ ማግኘት በጣም ቀላል ነው. ለትይዩነት ሁኔታ ሁለት አማራጮች ሊኖሩ እንደሚችሉ ልብ ይበሉ-ቬክተር ወደ ዘንግ አብሮ ይመራል እና ቬክተር ወደ ዘንግ ተቃራኒ ነው, እና ለ perpendicularity ሁኔታ አንድ አማራጭ ብቻ ነው.

የቬክተር በቅርንጫፉ ዘንግ ላይ ያለው ትንበያ ሁል ጊዜ ዜሮ ነው (በግራ ስእል ላይ sy እና ay እና sx እና υx በቀኝ ስዕል ይመልከቱ)። በእርግጥም ለቬክተር ወደ ዘንግ ቀጥ ብሎ ባለው ዘንግ እና ዘንግ መካከል ያለው አንግል 90 ° ነው ስለዚህ ኮሳይን ዜሮ ነው ይህ ማለት ትንበያው ዜሮ ነው ማለት ነው።

ከዘንግ ጋር አብሮ የሚመራው የቬክተር ትንበያ አወንታዊ እና ከእሱ ሞጁሎች ጋር እኩል ነው፣ ለምሳሌ sx = +s (የግራውን ስዕል ይመልከቱ)። በእርግጥም, ለቬክተር አብሮ-አቅጣጫ ዘንግ ያለው, በእሱ እና በዘንግ መካከል ያለው አንግል ዜሮ ነው, እና ኮሳይኑ "+1" ነው, ማለትም ትንበያው ከቬክተሩ ርዝመት ጋር እኩል ነው: sx = x - xo = +s 

የቬክተር ትንበያ ከአክሱ ተቃራኒ የሆነ አሉታዊ እና ከሞጁሉ ጋር እኩል ነው፣ በመቀነስ ምልክት የተወሰደ፣ ለምሳሌ sy = –s (ትክክለኛውን ስዕል ይመልከቱ)። በእርግጥ ፣ ከአክሱ ጋር ተቃራኒ ላለው ቬክተር ፣ በእሱ እና በዘንግ መካከል ያለው አንግል 180 ° ነው ፣ እና ኮሳይኑ “-1” ነው ፣ ማለትም ፣ ትንበያው ከአሉታዊ ምልክት ጋር የተወሰደው ከቬክተር ርዝመት ጋር እኩል ነው ። sy = y - ዮ = -s 

የሁለቱም ሥዕሎች የቀኝ ጎኖች ቬክተሮቹ ከአንዱ አስተባባሪ መጥረቢያ ጋር ትይዩ የሆኑ ሌሎች ጉዳዮችን ያሳያሉ። በእነዚህ አጋጣሚዎች በቀደሙት አንቀጾች ውስጥ የተቀመጡት ደንቦችም እንደሚከተሉ እራስዎ እንዲመለከቱ እንጋብዝዎታለን.

መልስ፡-

የፕሮጀክት ባህሪዎች

የቬክተር ትንበያ ባህሪያት

ንብረት 1.

በአንድ ዘንግ ላይ የሁለት ቬክተር ድምር ትንበያ በተመሳሳይ ዘንግ ላይ ካለው የቬክተር ትንበያ ድምር ጋር እኩል ነው።

ይህ ንብረት የቬክተሮች ድምር ትንበያን ከግምገማቸው ድምር ጋር እና በተቃራኒው እንዲተኩ ያስችልዎታል.

ንብረት 2.አንድ ቬክተር በቁጥር λ ከተባዛ፣ ወደ ዘንግ ላይ ያለው ትንበያ እንዲሁ በዚህ ቁጥር ተባዝቷል።

ንብረት 3.

የቬክተር ወደ l-ዘንጉ ላይ ያለው ትንበያ የቬክተር ሞጁል ምርት እና በቬክተር እና ዘንግ መካከል ካለው አንግል ኮሳይን ምርት ጋር እኩል ነው።

Orth ዘንግ. ከተቀናጁ ቬክተሮች አንፃር የቬክተር መበስበስ. የቬክተር መጋጠሚያዎች. ንብረቶችን ማስተባበር

መልስ፡-

የመጥረቢያ ሆርቶች.

አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው መጋጠሚያ ስርዓት (ከየትኛውም ልኬት) በተጨማሪ ከመጋጠሚያ መጥረቢያዎች ጋር በተጣጣሙ የንጥል ቬክተሮች ስብስብ ይገለጻል. የኦርቶች ቁጥር ከአስተባባሪ ስርዓቱ ስፋት ጋር እኩል ነው, እና ሁሉም እርስ በእርሳቸው ቀጥ ያሉ ናቸው.

በሶስት አቅጣጫዊ ሁኔታ, ኦርትስ አብዛኛውን ጊዜ ይገለጻል

እና ምልክቶች ከቀስቶች እና እንዲሁም ጥቅም ላይ ሊውሉ ይችላሉ።

በተጨማሪም ፣ በትክክለኛው ቅንጅት ስርዓት ውስጥ ፣ የሚከተሉት ቀመሮች ከኦርትስ ​​የቬክተር ምርቶች ጋር ትክክለኛ ናቸው ።

ከተቀናጁ ቬክተሮች አንፃር የቬክተር መበስበስ.

የመጋጠሚያው ዘንግ orth በ ፣ መጥረቢያ - በ ፣ መጥረቢያ - በ (ምስል 1) ይገለጻል

በአውሮፕላን ውስጥ ለሚተኛ ማንኛውም ቬክተር የሚከተለው መበስበስ ይከናወናል፡

ቬክተር ከሆነ በጠፈር ላይ ይገኛል፣ከዚያም የማስተባበሪያ መጥረቢያዎች ክፍል ቬክተር አንፃር መስፋፋቱ ቅፅ አለው፡

የቬክተር መጋጠሚያዎች፡-

የቬክተርን መጋጠሚያዎች ለማስላት የጅማሬውን መጋጠሚያዎች (x1; y1) እና የፍጻሜውን B መጋጠሚያዎች (x2; y2) በማወቅ የመጀመርያውን መጋጠሚያዎች ከመጨረሻው መጋጠሚያዎች መቀነስ ያስፈልግዎታል: (x2 - x1; y2 - y1).

ንብረቶችን ማስተባበር.

በነጥብ O ላይ ካለው መነሻ እና ከዩኒት ቬክተር i ጋር የተቀናጀ መስመርን አስቡበት። ከዚያም በዚህ መስመር ላይ ላለ ማንኛውም ቬክተር: a = axi.

ቁጥሩ መጥረቢያ በአገናኝ ዘንግ ላይ የቬክተር a መጋጠሚያ ተብሎ ይጠራል.

ንብረት 1.ዘንግ ላይ ቬክተሮች ሲጨመሩ መጋጠሚያዎቻቸው ይታከላሉ.

ንብረት 2.ቬክተር በቁጥር ሲባዛ፣ አስተባባሪው በዚያ ቁጥር ይባዛል።

የቬክተሮች Scalar ምርት. ንብረቶች.

መልስ፡-

የሁለት ዜሮ ያልሆኑ ቬክተሮች scalar ምርት ቁጥር ነው።

የእነዚህ ቬክተሮች ምርት በመካከላቸው ባለው አንግል ኮሳይን እኩል ነው።

ንብረቶች፡

1. ስካላር ምርቱ ተዘዋዋሪ ባህሪ አለው፡ ab=ba

የአስተባበር ቬክተሮች Scalar ምርት. በአስተባባሪዎቻቸው የተሰጡ የቬክተሮች scalar ምርትን መወሰን.

መልስ፡-

የነጥብ ምርት (×) orts

(X)	አይ	ጄ	ኬ
አይ
ጄ
ኬ

በአስተባባሪዎቻቸው የተሰጡ የቬክተሮች scalar ምርትን መወሰን.

የሁለት ቬክተሮች scalar ምርት እና በአስተባባሪዎቻቸው የተሰጠው በቀመር ሊሰላ ይችላል።

የሁለት ቬክተር የቬክተር ምርት. የቬክተር ምርት ባህሪያት.

መልስ፡-

ከሦስተኛው ቬክተር መጨረሻ ጀምሮ ከመጀመሪያው ቬክተር ወደ ሁለተኛው መዞር በተቃራኒ ሰዓት አቅጣጫ ከሆነ ሶስት ኮፕላላር ያልሆኑ ቬክተሮች ትክክለኛ ሶስት እጥፍ ይመሰርታሉ. በሰዓት አቅጣጫ ከሆነ - ከዚያ ወደ ግራ ፣ ካልሆነ ፣ ከዚያ በተቃራኒው ( በ"መያዣዎች" እንዴት እንዳሳየ አሳይ

የቬክተር ተሻጋሪ ምርት ሀበቬክተር ለቬክተር ይባላል ከየትኛው ጋር፡-

1. ከቬክተሮች ጋር በተዛመደ ሀእና ለ

2. ላይ ከተፈጠረው ትይዩ ስፋት ጋር በቁጥር እኩል የሆነ ርዝመት አለው። ሀእና ለቬክተሮች

3. ቬክተሮች, a,b, እና ሐትክክለኛውን ሶስት እጥፍ የቬክተር ይፍጠሩ

ንብረቶች፡

1.

3.

4.

አስተባባሪ ቬክተር የቬክተር ምርት. በአስተባባሪዎቻቸው የተሰጡ የቬክተሮች የቬክተር ምርትን መወሰን.

መልስ፡-

አስተባባሪ ቬክተር የቬክተር ምርት.

በአስተባባሪዎቻቸው የተሰጡ የቬክተሮች የቬክተር ምርትን መወሰን.

ቬክተሮች a = (x1; y1; z1) እና b = (x2; y2; z2) በአስተባባሪዎቻቸው በአራት ማዕዘን ቅርጽ ባለው የካርቴዥያ መጋጠሚያ ስርዓት O, i, j, k እና ሶስት እጥፍ i, j, k ነው. ቀኝ.

ከመሠረታዊ ቬክተሮች አንፃር a እና bን እናሰፋለን፡-

a = x 1 i + y 1 j + z 1 k፣ b = x 2 i + y 2 j + z 2 k.

የቬክተር ምርቱን ባህሪያት በመጠቀም, እናገኛለን

[ሀ; ለ] ==

= x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 1 z 2 +

+ y 1 x 2 + y 1 y 2 + y 1 z 2 +

+ z 1 x 2 + z 1 y 2 + z 1 z 2 . (አንድ)

በቬክተር ምርት ትርጉም, እናገኛለን

= 0, = k, = - j,

= - k, = 0, = እኔ,

= j, = - እኔ. = 0.

ከነዚህ እኩልነቶች አንፃር፣ ቀመር (1) እንደሚከተለው ሊፃፍ ይችላል።

[ሀ; b] = x 1 y 2 k - x 1 z 2 j - y 1 x 2 k + y 1 z 2 i + z 1 x 2 j - z 1 y 2 i

[ሀ; b] = (y 1 z 2 - z 1 y 2) i + (z 1 x 2 - x 1 z 2) j + (x 1 y 2 - y 1 x 2) k. (2)

ቀመር (2) በአስተባባሪዎቻቸው የተሰጡ የሁለት ቬክተሮች የመስቀለኛ መንገድ መግለጫን ይሰጣል።

የውጤቱ ቀመር አስቸጋሪ ነው የወሳኞችን ምልክት በመጠቀም ለማስታወስ የበለጠ አመቺ በሆነ ሌላ ቅጽ መጻፍ ይችላሉ-

ብዙውን ጊዜ ቀመር (3) የበለጠ አጭር ይጻፋል፡-

ብዙ የአካል መጠኖች ሙሉ በሙሉ የሚወሰነው በተወሰኑ ቁጥሮች ምደባ ነው። እነዚህ ለምሳሌ የድምጽ መጠን, የጅምላ, ጥግግት, የሰውነት ሙቀት, ወዘተ የመሳሰሉት ናቸው እነዚህ መጠኖች ስካላር ይባላሉ. በዚህ ምክንያት, ቁጥሮች አንዳንድ ጊዜ scalars ይባላሉ. ነገር ግን ቁጥርን ብቻ ሳይሆን የተወሰነ አቅጣጫን በማዘጋጀት የሚወሰኑ እንደዚህ ዓይነት መጠኖችም አሉ. ለምሳሌ, አንድ አካል በሚንቀሳቀስበት ጊዜ, አንድ ሰው የሰውነት እንቅስቃሴን ፍጥነት ብቻ ሳይሆን የእንቅስቃሴውን አቅጣጫ ጭምር መግለጽ አለበት. በተመሳሳይ ሁኔታ, የማንኛውንም ኃይል ድርጊት በሚያጠናበት ጊዜ, የዚህን ኃይል ዋጋ ብቻ ሳይሆን የእርምጃውን አቅጣጫም ማመልከት አስፈላጊ ነው. እንደነዚህ ዓይነቶቹ መጠኖች ይባላሉ ቬክተር.እነሱን ለመግለጽ የቬክተር ጽንሰ-ሐሳብ ተጀመረ, ይህም ለሂሳብ ጠቃሚ ሆኖ ተገኝቷል.

የቬክተር ትርጉም

በጠፈር ውስጥ ያለው ማንኛውም የታዘዙ ጥንድ ነጥቦች ከ A እስከ B ይገልጻል የተመራው ክፍል፣ ማለትም እ.ኤ.አ. በእሱ ላይ ከተሰጠው መመሪያ ጋር ክፍልፋይ. ነጥብ A የመጀመሪያው ከሆነ, ከዚያም የተመራው ክፍል መጀመሪያ ይባላል, እና ነጥብ B መጨረሻው ይባላል. የክፍሉ አቅጣጫ ከመጀመሪያው እስከ መጨረሻው አቅጣጫ ነው.

ፍቺ
የተመራው ክፍል ቬክተር ይባላል።

ቬክተሩን በ \ (\ overrightarrow (AB) \) ምልክት እናሳያለን, የመጀመሪያው ፊደል ማለት የቬክተር መጀመሪያ ማለት ነው, እና ሁለተኛው - መጨረሻው.

መጀመሪያውና መጨረሻው አንድ የሆነ ቬክተር ይባላል ዜሮእና በ \(\vec(0) \) ወይም በ0 ብቻ ይገለጻል።

በቬክተር መጀመሪያ እና መጨረሻ መካከል ያለው ርቀት የእሱ ተብሎ ይጠራል ረጅምእና በ \(|\ overrightarrow(AB)| \) ወይም \(|\vec(a)| \) ተጠቁሟል።

ቬክተሮች \(\vec(a) \) እና \(\vec(b) \) ተብለው ይጠራሉ ኮላይኔርበተመሳሳይ መስመር ላይ ወይም በትይዩ መስመሮች ላይ ቢዋሹ. ኮላይኔር ቬክተሮች ተመሳሳይ ወይም ተቃራኒ ሊመሩ ይችላሉ.

አሁን የሁለት ቬክተሮች እኩልነት አስፈላጊ ጽንሰ-ሀሳብ መቅረጽ እንችላለን.

ፍቺ
ቬክተሮች \(\vec(a) \) እና \(\vec(b) \) እኩል ይባላሉ (\(\vec(a) = \vec(b) \)) ኮላይነር ከሆኑ አቅጣጫቸው ተመሳሳይ ነው። እና ርዝመታቸው እኩል ነው.

በለስ ላይ. 1, እኩል ያልሆኑ ቬክተሮች በግራ በኩል ይታያሉ, እና እኩል ቬክተር \ (\ vec (a) \) እና \ (\ vec (b) \) በቀኝ በኩል ይታያሉ. ከቬክተር እኩልነት ትርጉም በመነሳት የተሰጠው ቬክተር ከራሱ ጋር በትይዩ የሚንቀሳቀስ ከሆነ ከተጠቀሰው ጋር እኩል የሆነ ቬክተር ይገኛል. በዚህ ረገድ, በመተንተን ጂኦሜትሪ ውስጥ ያሉ ቬክተሮች ይባላሉ ፍርይ.

በአንድ ዘንግ ላይ የቬክተር ትንበያ

ዘንግ \(u\) እና አንዳንድ ቬክተር \(\ overrightarrow(AB)\) በህዋ ላይ ይስጥ። በአውሮፕላኑ ውስጥ ባለው ዘንግ \ (u \) ላይ ባሉት ነጥቦች A እና B እንሳል። የእነዚህን አውሮፕላኖች መገናኛ ነጥብ ከዘንጉ ጋር በ A "እና B" እንጥቀስ (ስእል 2 ይመልከቱ).

በ \(u\) ዘንግ ላይ ያለው የቬክተር \(\overright ቀስት(AB) \) ትንበያ በ \(u\) ዘንግ ላይ ያለው የተመራው ክፍል A"B" እሴት ነው። ያንን አስታውስ
\(A"B"= |\overrightarrow(A"B")|
\(A"B" = -|\overrightarrow(A"B")|
የቬክተር \(\ በላይኛው የቀስት (AB) \) ወደ ዘንግ ላይ \(u \) ትንበያ በሚከተለው መልኩ ይገለጻል፡- \(Pr_u \overrightarrow(AB) \)።

ቲዎረም
የቬክተር \(\ በላይኛው የቀስት (AB) \) ወደ ዘንግ ላይ ያለው ትንበያ ከቬክተር ርዝመት ጋር እኩል ነው \(\ overright arrow (AB) \) በቬክተር መካከል ካለው አንግል ኮሳይን \() ጋር እኩል ነው። \overrightarrow(AB) \) እና ዘንግ \( u \) ፣ i.e.

\(P_u \overrightarrow(AB) = |\overrightarrow(AB)|\cos \varphi \)በዚህ \(\ቫርፊ \) በቬክተር \(\overright (\overright (AB) \) እና ዘንግ \(u) መካከል ያለው አንግል ነው። \)

አስተያየት
\(\overright arrow(A_1B_1)=\ቀጥታ ቀስት(A_2B_2) \)እና አንዳንድ ዘንግ \(u \) ይስጥ። የቲዎሪውን ቀመር በእያንዳንዱ እነዚህ ቬክተሮች ላይ በመተግበር እናገኛለን

\(Ex_u \ overrightarrow(A_1B_1) = Ex_u \overrightarrow(A_2B_2) \) ማለትም እኩል ቬክተሮች በተመሳሳይ ዘንግ ላይ እኩል ትንበያዎች አሏቸው.

በተጋጠሙትም መጥረቢያዎች ላይ የቬክተር ትንበያዎች

አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው አስተባባሪ ስርዓት Oxyz እና የዘፈቀደ ቬክተር \(\ከላይ ቀስት(AB) \) በጠፈር ላይ ይስጥ። እንበል፡ \(X = Pr_u \overrightarrow(AB))፣ \;\; Y = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Z = Pr_u \overrightarrow(AB) \)። የቬክተር \(\ቀጥታ ቀስት(AB) \) ትንበያዎች X፣ Y፣ Z በተጋጠሙትም መጥረቢያዎች ላይ ይጠሩታል። መጋጠሚያዎች.በተመሳሳይ ጊዜ ይጽፋሉ
\(\ቀጥታ ቀስት(AB) = (X;Y;Z) \)

ቲዎረም
ሁለት ነጥቦች A(x 1; y 1; z 1) እና B(x 2; y 2; z 2) ምንም ቢሆኑም የቬክተር \(\overrightarrow (AB) \) መጋጠሚያዎች በሚከተሉት ቀመሮች ተገልጸዋል :

X \u003d x 2 -x 1, Y \u003d y 2 -y 1, Z \u003d z 2 -z 1

አስተያየት
ቬክተር \(\ overright arrow (AB) \) መነሻውን ከለቀቀ, ማለትም. x 2 = x፣ y 2 = y፣ z 2 = z፣ ከዚያ የቬክተር X፣ Y፣ Z መጋጠሚያዎች \(\overrightarrow(AB) \) ከመጨረሻው መጋጠሚያዎች ጋር እኩል ናቸው።
X=x፣ Y=y፣ Z=z

የቬክተር አቅጣጫ ኮሲኖች

የዘፈቀደ ቬክተር (\ vec (a) = (X; Y; Z) \); \(\ vec(a) \) መነሻውን ይተዋል እና በማንኛውም አስተባባሪ አውሮፕላን ውስጥ እንደማይተኛ እንገምታለን። ነጥብ ሀ አውሮፕላኖችን ወደ መጥረቢያዎቹ ቀጥ ብለን እንሳል። ከተጋጠሙትም አውሮፕላኖች ጋር አንድ ላይ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ትይዩ (ዲያግናል) የ OA ክፍል ነው (ሥዕሉን ይመልከቱ)።

ከኤሌሜንታሪ ጂኦሜትሪ የሚታወቀው አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ትይዩ የዲያግኖል ርዝመት ካሬው የሶስት ልኬት ርዝመቶች ካሬ ድምር እኩል ነው። ስለዚህም እ.ኤ.አ.
\(|OA|^2 = |OA_x|^2 + |OA_y|^2 + |OA_z|^2 \)
ግን \(|OA| = |\vec(a)|, \;\; |OA_x| = |X|, \; \); ስለዚህ እናገኛለን
\(|\vec(a)|^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 \)
ወይም
\(|\vec(a)|= \sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2) \)
ይህ ቀመር የዘፈቀደ ቬክተር ርዝመትን ከመጋጠሚያዎቹ አንፃር ይገልጻል።

በ \(\ alpha, \; \ beta, \; \ gamma \) በቬክተር \(\vec(a) \) እና በመጋጠሚያ ዘንጎች መካከል ያሉትን ማዕዘኖች አመልክት. የቬክተርን ወደ ዘንግ እና የቬክተር ርዝመት ለመገመት ከተቀመጡት ቀመሮች ውስጥ እናገኛለን
\(\cos \alpha = \frac(X)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \ቤታ = \frac(Y)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \gamma = \frac(Z)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \alpha, \;\; \cos \ beta, \;\; \cos \ gamma \) ይባላሉ. የቬክተር አቅጣጫ ኮሳይኖች \(\ vec(a) \).

ከእያንዳንዱ የቀደመ እኩልነት ግራ እና ቀኝ ጎን እና ውጤቶቹን በማጠቃለል እኛ አለን
\(\cos^2 \alpha + \cos^2 \ቤታ + \cos^2 \gamma = 1 \)
እነዚያ። የማንኛውም ቬክተር የካሬ አቅጣጫ ኮሲኖች ድምር ከአንድ ጋር እኩል ነው።

በቬክተር እና በዋና ንብረታቸው ላይ የመስመር ስራዎች

በቬክተሮች ላይ የሚደረጉ የመስመራዊ ስራዎች ቬክተሮችን የመደመር እና የመቀነስ እና ቬክተሮችን በቁጥር የማባዛት ስራዎች ናቸው።

ሁለት ቬክተሮች መጨመር

ሁለት ቬክተሮች \(\vec(a) \) እና \(\vec(b) \) ይሰጡ። ድምር \(\vec(a) + \vec(b) \) ከቬክተር መጀመሪያ \(\vec(a) \) ወደ ቬክተር መጨረሻ የሚሄድ ቬክተር ነው። \) ቬክተር \ (\ vec (b) \) ከቬክተሩ መጨረሻ ጋር ከተጣበቀ \ (\ vec (a) \) (ሥዕሉን ይመልከቱ).

አስተያየት
ቬክተሮችን የመቀነስ ተግባር የመደመር ተግባር ተቃራኒ ነው, ማለትም. ልዩነቱ \(\vec(b) - \vec(a) \) የቬክተር \(\vec(b) \) እና \(\vec(a) \) ቬክተር ሲሆን ከቬክተር ጋር አብሮ \( \vec(a) ) \) ቬክተርን ይሰጣል \(\vec(b) \) (ሥዕሉን ተመልከት)።

አስተያየት
የሁለት ቬክተር ድምርን ከወሰንን ፣አንድ ሰው የተሰጡትን የቬክተር ብዛት ድምርን ማግኘት ይችላል። ለምሳሌ ሶስት ቬክተሮችን እንስጥ \(\vec(a),\;\; \vec(b), \;\; \vec(c) \)። \(\ vec(a) \) እና \(\vec(b) \\(\vec(b) \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ vec(a) + \vec(b) \\ (\ vec(b) \) \\ (\ vec(a) + \vec(b) \) እናገኛለን። አሁን ቬክተሩን \(\ vec (c) \) ወደ እሱ ጨምረን ፣ \u200b\u200b ቬክተር \(\vec(a) + \vec(b) + \vec(c) \) እናገኛለን።

የቬክተር ምርት በቁጥር

ቬክተር \(\vec(a) \neq \vec(0) \) እና ቁጥር \(\ lambda \neq 0 \) ይስጥ። ምርቱ \(\lambda \vec(a) \) ከቬክተር ጋር ኮላይኔር የሆነ ቬክተር ነው \(\vec(a) \) ርዝመት ያለው \(|\lambda| |\vec(a)|| \) እና ከቬክተር ጋር አንድ አይነት አቅጣጫ \(\ vec(a) \) \(\ lambda > 0 \ ከሆነ) እና ተቃራኒው \(\ lambda (0) \) በቁጥር \(\ lambda) ከሆነ \neq 0 \) እንደሚከተለው ሊገለፅ ይችላል፡- \(|\ lambda| >1 \) ከሆነ፣ ከዚያም ቬክተርን \(\vec(a) \) በቁጥር \( \lambda \) ቬክተር \() ሲያባዙ። \vec(a) \) በ \(\ lambda \) ጊዜያት "የተዘረጋ" ነው፣ እና ከሆነ \(|\lambda | 1 \)።

\(\ lambda =0 \) ወይም \(\ vec(a) = \vec(0) \) ከሆነ፣ ምርቱ \(\ lambda \vec(a) \) ከዜሮ ቬክተር ጋር እኩል ነው ተብሎ ይታሰባል።

አስተያየት
የቬክተርን በቁጥር ማባዛት ፍቺን በመጠቀም፣ ቬክተሮች \(\vec(a) \) እና \(\vec(b) \) ኮሊነር እና \(\vec(a) መሆናቸውን ማረጋገጥ ቀላል ነው። \neq \vec(0) \) ፣ ከዚያ አለ (እና አንድ) ቁጥር ​​\(\ lambda \) እንደዚህ \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \)

የመስመራዊ ስራዎች መሰረታዊ ባህሪያት

1. የመደመር ንብረት
\(\vec(a) + \vec(b) = \vec(b) + \vec(a) \)

2. የመደመር ተጓዳኝ ንብረት
\((\vec(a) + \vec(b))+ \vec(c) = \vec(a) + (\vec(b)+ \vec(c)) \)

3. የማባዛት ተጓዳኝ ንብረት
\(\lambda (\mu \vec(a)) = (\lambda \mu) \vec(a) \)

4. የቁጥሮች ድምርን በተመለከተ የማከፋፈያ ንብረት
\((\lambda +\mu) \vec(a) = \lambda \vec(a) + \mu \vec(a) \)

5. የቬክተር ድምርን በተመለከተ የማከፋፈያ ንብረት
\(\lambda (\vec(a)+\vec(b)) = \lambda \vec(a) + \lambda \vec(b) \)

አስተያየት
በቬክተሮች ላይ ተራ የአልጀብራ ስራዎችን ለማከናወን ስለሚያስችል እነዚህ የመስመራዊ ስራዎች ባህሪያት መሠረታዊ ጠቀሜታ አላቸው. ለምሳሌ በንብረት 4 እና 5 ምክንያት የ scalar polynomial በ vector polynomial "term by term" ማባዛት ይቻላል.

የቬክተር ትንበያ ቲዎሬሞች

ቲዎረም
የሁለት ቬክተር ድምር በአንድ ዘንግ ላይ ያለው ትንበያ በዚህ ዘንግ ላይ ካለው ትንበያ ድምር ጋር እኩል ነው፣ ማለትም
\(Pr_u (\vec(a) + \vec(b)) = Pr_u \vec(a) + Pr_u \vec(b) \)

ንድፈ ሃሳቡ ለማንኛውም የቃላት ብዛት አጠቃላይ ሊሆን ይችላል።

ቲዎረም
ቬክተሩን \(\vec(a) \) በቁጥር \(\ lambda \) ሲያባዙ ፣ ወደ ዘንግ ላይ ያለው ትንበያ እንዲሁ በዚህ ቁጥር ተባዝቷል ፣ ማለትም። \(Ex_u \lambda \vec(a) = \lambda Ex_u \vec(a) \)

መዘዝ
\(\vec(a) = (x_1;y_1;z_1) \) እና \(\vec(b) = (x_2;y_2;z_2) \) ከሆነ፣ እንግዲያውስ
\(\vec(a) + \vec(b) = (x_1+x_2; \; y_1+y_2; \; z_1+z_2) \)

መዘዝ
\(\vec(a) = (x;y;z) \) ከሆነ፣ ከዚያ \(\ lambda \vec(a) = (\ lambda x; \; \ lambda y; \; \ lambda z) \) ለ ማንኛውም ቁጥር \(\ lambda \)

ከዚህ በመነሳት ቀላል ነው በመጋጠሚያዎች ውስጥ የሁለት ቬክተሮች የጋራነት ሁኔታ።
በእርግጥ እኩልነት \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \) እኩልነት ነው \(x_2 = \lambda x_1, \; y_2 = \lambda y_1, \; z_2 = \ lambda z_1 \) ) ወይም
\(\frac(x_2)(x_1) = \frac(y_2)(y_1) = \frac(z_2)(z_1) \) ማለትም ቬክተሮች \(\vec(a) \) እና \(\vec(b) \) ኮላይነር የሚባሉት መጋጠሚያዎቻቸው ተመጣጣኝ ከሆኑ ብቻ ነው።

ከመሠረት አንፃር የቬክተር መበስበስ

ቬክተሮች \(\ vec(i)፣ \፣ \vec(j)፣ \፣ \vec(k) \) የመጋጠሚያ መጥረቢያዎች አሃድ ቬክተር ይሁኑ፣ ማለትም = | ሶስት እጥፍ የቬክተር \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) ይባላል መሠረት.
የሚከተለው ንድፈ ሐሳብ ይይዛል.

ቲዎረም
ማንኛውም ቬክተር \(\ vec (a) \) በመሠረቱ \(\vec(i), \; \vec(j), \; \ vec (k) \; \) መሠረት ላይ ሊሰፋ ይችላል, i.e. በቅጹ ላይ ቀርቧል
\(\vec(a) = \lambda \vec(i) + \mu \vec(j) + \nu \vec(k) \)
የት \(\lambda, \;\; \mu, \;\; \nu \) አንዳንድ ቁጥሮች ናቸው.