ግራፊንግ እና ምርምር. በልዩ የካልኩለስ ዘዴዎች የአንድ ተግባር ምርመራ

ዛሬ ከእኛ ጋር የተግባር ግራፍ እንዲያስሱ እና እንዲያዘጋጁ እንጋብዝዎታለን። ይህንን ጽሑፍ በጥንቃቄ ካጠና በኋላ, ይህን የመሰለ ተግባር ለማጠናቀቅ ለረጅም ጊዜ ላብ አይኖርብዎትም. የአንድን ተግባር ግራፍ ማሰስ እና መገንባት ቀላል አይደለም, ስራው ከፍተኛ መጠን ያለው ነው, ከፍተኛ ትኩረትን እና የስሌቶችን ትክክለኛነት ይጠይቃል. የቁሳቁስን ግንዛቤ ለማመቻቸት, ተመሳሳይ ተግባርን ቀስ በቀስ እናጠናለን, ሁሉንም ድርጊቶቻችንን እና ስሌቶቻችንን እንገልፃለን. ወደ አስደናቂው እና አስደናቂው የሂሳብ ዓለም እንኳን በደህና መጡ! ሂድ!

ጎራ

አንድን ተግባር ለመመርመር እና ለማቀድ፣ ጥቂት ፍቺዎችን ማወቅ ያስፈልግዎታል። ተግባር በሂሳብ ውስጥ ካሉት መሰረታዊ (መሰረታዊ) ጽንሰ-ሐሳቦች አንዱ ነው። በበርካታ ተለዋዋጮች (ሁለት፣ ሶስት ወይም ከዚያ በላይ) መካከል ያለውን ጥገኝነት ከለውጦች ጋር ያንፀባርቃል። ተግባሩም የቅንጅቶችን ጥገኛነት ያሳያል.

የተወሰነ የለውጥ ክልል ያላቸው ሁለት ተለዋዋጮች እንዳሉን አስብ። ስለዚህ፣ y የ x ተግባር ነው፣ እያንዳንዱ የሁለተኛው ተለዋዋጭ እሴት ከሁለተኛው አንድ እሴት ጋር የሚዛመድ ከሆነ። በዚህ ሁኔታ, ተለዋዋጭ y ጥገኛ ነው, እና ተግባር ተብሎ ይጠራል. ተለዋዋጮች x እና y ውስጥ ናቸው ማለት የተለመደ ነው ለዚህ ጥገኝነት የበለጠ ግልጽነት፣ የተግባሩ ግራፍ ተገንብቷል። የተግባር ግራፍ ምንድን ነው? ይህ በአስተባባሪ አውሮፕላን ላይ ያሉ የነጥቦች ስብስብ ነው፣ እያንዳንዱ የ x እሴት ከአንድ የy እሴት ጋር የሚዛመድበት። ግራፎች የተለያዩ ሊሆኑ ይችላሉ - ቀጥ ያለ መስመር, ሃይፐርቦላ, ፓራቦላ, sinusoid እና የመሳሰሉት.

ያለ ማሰስ የተግባር ግራፍ ሊቀረጽ አይችልም። ዛሬ እንዴት ምርምር ማድረግ እና የተግባር ግራፍ ማቀድ እንደሚቻል እንማራለን. በጥናቱ ወቅት ማስታወሻዎችን ማዘጋጀት በጣም አስፈላጊ ነው. ስለዚህ ስራውን ለመቋቋም በጣም ቀላል ይሆናል. በጣም ምቹ የጥናት እቅድ;

1. ጎራ
2. ቀጣይነት.
3. እንኳን ወይም እንግዳ።
4. ወቅታዊነት.
5. ምልክቶች.
6. ዜሮዎች
7. ቋሚነት
8. መውጣት እና መውረድ.
9. ጽንፍ.
10. መወዛወዝ እና መጨናነቅ.

በመጀመሪያው ነጥብ እንጀምር። የትርጉም ጎራውን እንፈልግ፣ ማለትም፣ ተግባራችን በምን አይነት ክፍተቶች ላይ እንደሚገኝ፡ y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)። በእኛ ሁኔታ ፣ ተግባሩ ለማንኛውም የ x እሴቶች አለ ፣ ማለትም ፣ የትርጉም ጎራ አር ነው። ይህ እንደ xОR ሊፃፍ ይችላል።

ቀጣይነት

አሁን የማቋረጥ ተግባርን እንመረምራለን. በሂሳብ ውስጥ "ቀጣይነት" የሚለው ቃል በእንቅስቃሴ ህጎች ጥናት ምክንያት ታየ. ማለቂያ የሌለው ምንድን ነው? ቦታ፣ ጊዜ፣ አንዳንድ ጥገኞች (ለምሳሌ በእንቅስቃሴ ችግሮች ውስጥ የ S እና T ተለዋዋጮች ጥገኝነት ነው)፣ የሚሞቀው ነገር ሙቀት (ውሃ፣ መጥበሻ፣ ቴርሞሜትር እና የመሳሰሉት)፣ ተከታታይ መስመር (ይህም አንድ ነው)። ከሉህ እርሳስ ላይ ሳይወስዱ ሊሳል ይችላል).

ግራፍ በተወሰነ ጊዜ የማይሰበር ከሆነ ቀጣይ እንደሆነ ይቆጠራል. የዚህ ዓይነቱ ግራፍ በጣም ግልጽ ከሆኑት ምሳሌዎች አንዱ በዚህ ክፍል ውስጥ በሥዕሉ ላይ ሊያዩት የሚችሉት የሲን ሞገድ ነው. በርካታ ሁኔታዎች ከተሟሉ ተግባሩ በተወሰነ ነጥብ x0 ላይ ቀጣይነት ያለው ነው።

• አንድ ተግባር በተሰጠው ነጥብ ላይ ይገለጻል;
• በአንድ ነጥብ ላይ የቀኝ እና የግራ ገደቦች እኩል ናቸው;
• ገደቡ በ x0 ነጥብ ላይ ካለው ተግባር ዋጋ ጋር እኩል ነው.

ቢያንስ አንድ ቅድመ ሁኔታ ካልተሟላ, ተግባሩ ይቋረጣል ይባላል. እና ተግባሩ የሚቋረጥባቸው ነጥቦች የእረፍት ነጥቦች ይባላሉ. በግራፊክ ሲታይ “የሚሰብረው” ተግባር ምሳሌ፡ y=(x+4)/(x-3) ነው። ከዚህም በላይ y በ x = 3 ነጥብ ላይ የለም (በዜሮ ለመከፋፈል የማይቻል ስለሆነ).

እያጠናን ባለው ተግባር (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) ግራፉ ቀጣይ ስለሚሆን ሁሉም ነገር ቀላል ሆነ።

እንኳን ፣ እንግዳ

አሁን ለእኩልነት ተግባሩን ይመርምሩ. በትንሽ ቲዎሪ እንጀምር። እኩል የሆነ ተግባር ለማንኛውም የተለዋዋጭ x እሴት (ከእሴቶች ክልል) f (-x) = f (x) ሁኔታን የሚያረካ ተግባር ነው። ምሳሌዎች፡-

• ሞጁል x (ግራፉ ጃክዳው ይመስላል ፣ የግራፉ የመጀመሪያ እና ሁለተኛ ሩብ ክፍል)።
• x ስኩዌር (ፓራቦላ);
• ኮሳይን x (ኮሳይን ሞገድ).

እነዚህ ሁሉ ግራፎች ከ y ዘንግ አንጻር ሲታዩ የተመጣጠነ መሆኑን ልብ ይበሉ።

ታዲያ ያልተለመደ ተግባር ምን ይባላል? እነዚህ ሁኔታዎችን የሚያሟሉ ተግባራት ናቸው f (-x) \u003d - f (x) ለማንኛውም ተለዋዋጭ x እሴት። ምሳሌዎች፡-

• ሃይፐርቦላ;
• ኩብ ፓራቦላ;
• sinusoid;
• ታንጀንት እና ወዘተ.

እባኮትን እነዚህ ተግባራት ከነጥቡ (0፡0) ማለትም ከመነሻው ጋር የተመጣጠኑ መሆናቸውን ልብ ይበሉ። በዚህ የአንቀጹ ክፍል ከተነገረው በመነሳት እኩል እና ያልተለመደ ተግባር ንብረቱ ሊኖረው ይገባል፡ x ለትርጉሙ ስብስብ እና -x ጭምር ነው።

ለተመሳሳይነት ተግባሩን እንመርምር. ከማንኛቸውም መግለጫዎች ጋር እንደማይስማማ እናያለን። ስለዚህ ተግባራችን እንግዳ ወይም እንግዳ አይደለም።

ምልክቶች

በትርጉም እንጀምር። አሲምፕቶት በተቻለ መጠን ወደ ግራፉ ቅርብ የሆነ ኩርባ ነው ፣ ማለትም ፣ ከአንዳንድ ነጥብ ያለው ርቀት ወደ ዜሮ ይቀየራል። ሶስት አይነት አሲምፖቶች አሉ፡-

• ቀጥ ያለ, ማለትም, ከ y ዘንግ ጋር ትይዩ;
• አግድም, ማለትም ከ x-ዘንግ ጋር ትይዩ;
• ግዴለሽ.

እንደ መጀመሪያው ዓይነት ፣ እነዚህ መስመሮች በአንዳንድ ነጥቦች ላይ መፈለግ አለባቸው-

• ክፍተት;
• የጎራውን ጫፎች.

በእኛ ሁኔታ, ተግባሩ ቀጣይ ነው, እና የፍቺው ጎራ አር ነው.

የአንድ ተግባር ግራፍ አግድም አሲምፕቶት አለው፣ እሱም የሚከተለውን መስፈርት ያሟላል፡- x ወደ ኢንፊኒቲዝም ወይም ሲቀንስ፣ እና ገደቡ ከተወሰነ ቁጥር (ለምሳሌ ሀ) ጋር እኩል ነው። በዚህ አጋጣሚ y=a አግድም አሲምፕቶት ነው። እኛ እያጠናን ባለው ተግባር ውስጥ ምንም አግድም አሲምፖቶች የሉም።

አስገዳጅ አሲምፕቶት ሁለት ሁኔታዎች ከተሟሉ ብቻ ነው፡-

• ሊም (f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

ከዚያ በቀመርው ሊገኝ ይችላል: y=kx+b. በድጋሚ, በእኛ ሁኔታ ውስጥ ምንም ዓይነት አስማታዊ ምልክቶች የሉም.

የተግባር ዜሮዎች

ቀጣዩ ደረጃ የተግባርን ግራፍ ለዜሮዎች መመርመር ነው. በተጨማሪም የተግባርን ዜሮዎችን ከመፈለግ ጋር የተያያዘው ተግባር የተግባርን ግራፍ በማጥናት እና በማቀድ ላይ ብቻ ሳይሆን እንደ ገለልተኛ ተግባር እና እኩልነትን የመፍታት መንገድ መሆኑን ልብ ሊባል ይገባል። በግራፍ ላይ የተግባርን ዜሮዎች ፈልጎ ማግኘት ወይም የሂሳብ ኖት መጠቀም ሊኖርብህ ይችላል።

እነዚህን እሴቶች ማግኘቱ ተግባሩን በትክክል ለማቀድ ይረዳዎታል። በቀላል አነጋገር፣ የተግባሩ ዜሮ የተለዋዋጭ x እሴት ነው፣ በዚህ y \u003d 0። በግራፍ ላይ የአንድ ተግባር ዜሮዎችን እየፈለጉ ከሆነ ፣ ግራፉ ከ x-ዘንግ ጋር የሚገናኝባቸውን ነጥቦች ትኩረት መስጠት አለብዎት።

የተግባሩን ዜሮዎች ለማግኘት የሚከተለውን እኩልታ መፍታት ያስፈልግዎታል፡- y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0። አስፈላጊውን ስሌት ካደረግን በኋላ የሚከተለውን መልስ እናገኛለን.

ቋሚነት ምልክት

የአንድ ተግባር (ግራፊክስ) ጥናት እና ግንባታ ቀጣዩ ደረጃ የምልክት ቋሚነት ክፍተቶችን ማግኘት ነው። ይህ ማለት በየትኞቹ ክፍተቶች ላይ ተግባሩ አወንታዊ እሴት እንደሚወስድ እና በየትኞቹ ክፍተቶች ላይ አሉታዊ እሴት እንደሚወስድ መወሰን አለብን። በቀደመው ክፍል ውስጥ የሚገኙት ተግባራት ዜሮዎች ይህንን ለማድረግ ይረዱናል. ስለዚህ, ቀጥታ መስመር (ከግራፉ ተለይቶ) መገንባት እና የተግባሩን ዜሮዎች ከትንሽ ወደ ትልቅ በትክክለኛው ቅደም ተከተል ማሰራጨት አለብን. አሁን ከሚመጡት ክፍተቶች መካከል የትኛው "+" ምልክት እንዳለው እና የትኛው "-" እንዳለው መወሰን ያስፈልግዎታል.

በእኛ ሁኔታ ፣ ተግባሩ በእረፍቶቹ ላይ አወንታዊ እሴት ይወስዳል-

• ከ 1 እስከ 4;
• ከ 9 እስከ ማለቂያ የሌለው.

አሉታዊ ትርጉም፡-

• ከማያልቅነት ወደ 1;
• ከ 4 እስከ 9 ።

ይህ ለመወሰን በጣም ቀላል ነው. ከክፍለ ጊዜው ወደ ተግባር ውስጥ ማንኛውንም ቁጥር ይተኩ እና መልሱ ምን ምልክት እንደሆነ ይመልከቱ (ሲቀነስ ወይም ሲደመር)።

ተግባር ወደ ላይ መውጣት እና መቀነስ

አንድን ተግባር ለመመርመር እና ለመገንባት፣ ግራፉ የት እንደሚጨምር (በኦይ ላይ መውጣት) እና የት እንደሚወድቅ (በ y-ዘንግ ላይ ሾልኮ መውጣት) ማወቅ አለብን።

ተግባራቱ የሚጨምረው የተለዋዋጭ x ትልቅ እሴት ከትልቅ የy እሴት ጋር የሚዛመድ ከሆነ ብቻ ነው። ማለትም x2 ከ x1 ይበልጣል፣ እና f(x2) ከ f(x1) ይበልጣል። እና በመቀነስ ተግባር ውስጥ ሙሉ ለሙሉ ተቃራኒ የሆነ ክስተት እናስተውላለን (ብዙ x ፣ y ያነሰ)። የመጨመር እና የመቀነስ ክፍተቶችን ለመወሰን የሚከተሉትን ማግኘት አለብዎት:

• ስፋት (አስቀድመን አለን);
• ተወላጅ (በእኛ ሁኔታ፡ 1/3(3x^2-28x+49);
• ቀመር 1/3(3x^2-28x+49)=0 ፍታ።

ከስሌቶች በኋላ ውጤቱን እናገኛለን-

እኛ እናገኛለን፡ ተግባራቱ ከኢንፍኔቲቲ ወደ 7/3 እና ከ 7 ወደ ኢንፊኒቲ በየእረፍተቶቹ ይጨምራል፣ እና በክፍለ ጊዜው ከ 7/3 ወደ 7 ይቀንሳል።

ጽንፍ

የተመረመረው ተግባር y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) ቀጣይነት ያለው እና ለማንኛውም የተለዋዋጭ x እሴቶች አለ። ከፍተኛው ነጥብ የዚህን ተግባር ከፍተኛ እና ዝቅተኛ ያሳያል. በእኛ ሁኔታ, ምንም የለም, ይህም የግንባታ ስራውን በእጅጉ ያቃልላል. አለበለዚያ, የመነሻ ተግባሩን በመጠቀምም ይገኛሉ. ካገኙ በኋላ በገበታው ላይ ምልክት ማድረጉን አይርሱ።

መወዛወዝ እና መጨናነቅ

ተግባሩን y (x) ማጥናታችንን እንቀጥላለን። አሁን ለኮንቬክስ እና ለቆንጣጣነት ማረጋገጥ አለብን. የእነዚህ ጽንሰ-ሐሳቦች ፍቺዎች ለመረዳት በጣም አስቸጋሪ ናቸው, ሁሉንም ነገር በምሳሌዎች መተንተን ይሻላል. ለፈተናው፡ አንድ ተግባር የማይቀንስ ተግባር ከሆነ ኮንቬክስ ነው። እስማማለሁ ፣ ይህ ለመረዳት የማይቻል ነው!

የሁለተኛውን የትዕዛዝ ተግባር አመጣጥ መፈለግ አለብን። y=1/3(6x-28) እናገኛለን። አሁን ትክክለኛውን ጎን ከዜሮ ጋር እናነፃፅራለን እና እኩልታውን እንፈታዋለን. መልስ፡- x=14/3 የመቀየሪያ ነጥቡን ማለትም ግራፉ ከኮንቬክስ ወደ ኮንቬክስ ወይም በተቃራኒው የሚቀይርበትን ቦታ አግኝተናል. ከኢንፊኒቲ ከተቀነሰ እስከ 14/3 ባለው የጊዜ ክፍተት፣ ተግባሩ ኮንቬክስ ነው፣ እና ከ14/3 እስከ ፕላስ ኢንፊኒቲ፣ ሾጣጣ ነው። በተጨማሪም በግራፉ ላይ ያለው የመቀየሪያ ነጥብ ለስላሳ እና ለስላሳ መሆን አለበት, ምንም አይነት ሹል ማዕዘኖች ሊኖሩ አይገባም.

የተጨማሪ ነጥቦች ፍቺ

የእኛ ተግባር የተግባር ግራፉን ማሰስ እና ማቀድ ነው። ጥናቱን አጠናቅቀናል, አሁን ተግባሩን ማቀድ አስቸጋሪ አይሆንም. ለበለጠ ትክክለኛ እና ዝርዝር ከርቭ ወይም ቀጥታ መስመር በአስተባባሪ አውሮፕላን ላይ ብዙ ረዳት ነጥቦችን ማግኘት ይችላሉ። እነሱን ለማስላት በጣም ቀላል ነው. ለምሳሌ, x=3 ን እንወስዳለን, የተገኘውን እኩልነት እንፈታ እና y=4 ን እናገኛለን. ወይም x=5 እና y=-5 እና የመሳሰሉት። ለመገንባት የሚያስፈልግዎትን ያህል ተጨማሪ ነጥቦችን መውሰድ ይችላሉ። ቢያንስ 3-5 የሚሆኑት ይገኛሉ.

ማሴር

ተግባሩን (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y መመርመር ነበረብን። በስሌቶች ሂደት ውስጥ ሁሉም አስፈላጊ ምልክቶች በመጋጠሚያው አውሮፕላን ላይ ተሠርተዋል. የሚቀረው ሁሉ ግራፍ መገንባት ነው, ማለትም ሁሉንም ነጥቦች እርስ በርስ ማገናኘት ነው. ነጥቦቹን ማገናኘት ለስላሳ እና ትክክለኛ ነው, ይህ የችሎታ ጉዳይ ነው - ትንሽ ልምምድ እና የጊዜ ሰሌዳዎ ፍጹም ይሆናል.

ተግባሩን ሙሉ በሙሉ ለማጥናት እና ግራፉን ለማቀድ የሚከተለው እቅድ ይመከራል።
ሀ) የትርጉም ጎራውን ይፈልጉ ፣ ነጥቦችን ይቁረጡ; በማቋረጥ ነጥቦች አቅራቢያ ያለውን የተግባር ባህሪን ይመርምሩ (በእነዚህ ነጥቦች ላይ በግራ እና በቀኝ በኩል ያለውን የተግባር ወሰን ይፈልጉ). ቀጥ ያሉ አሲምፖችን ይግለጹ.
ለ) የተግባሩን እኩልነት ወይም እንግዳነት ይወስኑ እና ስለ ሲምሜትሪ መኖር መደምደሚያ ይሳሉ። ከሆነ ፣ ከዚያ ተግባሩ ከ OY ዘንግ አንፃር የተመጣጠነ ነው ፣ ለ , ተግባሩ ያልተለመደ ነው, ከመነሻው ጋር ተመጣጣኝ ነው; እና የአጠቃላይ ቅፅ ተግባር ከሆነ.
ሐ) የተግባርን መገናኛ ነጥቦችን ከአስተባባሪ መጥረቢያዎች OY እና OX ጋር ይፈልጉ (ከተቻለ) የተግባሩን ምልክት ክፍተቶችን ይወስኑ። የአንድ ተግባር ምልክት ቋሚ ክፍተቶች ድንበሮች የሚወሰኑት ተግባሩ ከዜሮ (የተግባሩ ዜሮዎች) ጋር እኩል በሆነበት ወይም በሌለባቸው ነጥቦች እና የዚህ ተግባር ፍቺ ጎራ ወሰን ነው። የሥራው ግራፍ ከኦክስ ዘንግ በላይ በሚገኝበት ክፍተቶች ውስጥ, እና የት - ከዚህ ዘንግ በታች.
መ) የተግባሩን የመጀመሪያ ተዋጽኦ ይፈልጉ ፣ ዜሮዎቹን እና የቋሚነቱን ክፍተቶች ይወስኑ። ተግባሩ በሚጨምርበት እና በሚቀንስባቸው ክፍተቶች ውስጥ። ስለ ጽንፍ መኖር (ተግባሩ እና ተዋጽኦው ያሉበት እና ምልክቱን በሚቀይርበት ጊዜ ምልክቶችን የሚቀይርባቸው ነጥቦች) ስለመኖሩ መደምደሚያ ይስጡ ። ምልክቱን ከፕላስ ወደ ሲቀነስ ከቀየረ ፣ ከዚያ በዚህ ጊዜ ተግባሩ ከፍተኛ ነው ፣ እና ከተቀነሰ ወደ ሲደመር, ከዚያም ቢያንስ). የተግባር እሴቶችን በከፍተኛ ነጥቦች ያግኙ።
መ) ሁለተኛውን ተዋጽኦ፣ ዜሮዎቹን እና የቋሚነት ክፍተቶችን ያግኙ። የት ክፍተቶች ውስጥ< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
ሠ) እኩልዮቻቸው ቅጹ ያላቸውን ገደላማ (አግድም) ምልክቶችን ያግኙ ; የት
.
በ የተግባሩ ግራፍ ሁለት አስማታዊ ምልክቶች ይኖረዋል ፣ እና እያንዳንዱ የ x at እና ከሁለት እሴቶች ጋር ሊዛመድ ይችላል።
ሰ) ግራፉን ለማጣራት (አስፈላጊ ከሆነ) እና ግራፍ ለመሥራት ተጨማሪ ነጥቦችን ያግኙ.

ምሳሌ 1 ተግባሩን ይመርምሩ እና ግራፉን ያቅዱ። መፍትሄ፡ ሀ) የትርጉም ጎራ; በትርጉም ጎራ ውስጥ ተግባሩ ቀጣይ ነው; - መሰባበር ነጥብ, ምክንያቱም ; . ከዚያ ቀጥ ያለ አሲምፕቶት ነው.
ለ)
እነዚያ። y(x) አጠቃላይ ተግባር ነው።
ሐ) የግራፉን መገናኛ ነጥቦች ከ OY ዘንግ ጋር እናገኛለን: x = 0 አዘጋጅተናል; ከዚያ y(0)=–1፣ ማለትም እ.ኤ.አ. የተግባሩ ግራፍ (0; -1) ላይ ያለውን ዘንግ ይሻገራል. የተግባሩ ዜሮዎች (የግራፉ መገናኛ ነጥቦች ከኦክስ ዘንግ ጋር): y = 0 እንገምታለን; ከዚያም
.
የኳድራቲክ እኩልታ አድልዎ ከዜሮ ያነሰ ነው, ስለዚህ ምንም ዜሮዎች የሉም. ከዚያ የቋሚነት ክፍተቶች ወሰን x=1 ነጥብ ነው፣ ተግባሩ በሌለበት።
በእያንዳንዱ ክፍተቶች ውስጥ ያለው የተግባር ምልክት የሚወሰነው በከፊል እሴቶች ዘዴ ነው-

ከሥዕላዊ መግለጫው ላይ በሚታየው የጊዜ ክፍተት ውስጥ የሥራው ግራፍ በኦክስ ዘንግ ስር እና ከኦክስ ዘንግ በላይ ባለው ክፍተት ውስጥ እንደሚገኝ ይታያል.
መ) ወሳኝ ነጥቦች መኖራቸውን እናገኛለን.
.
ወሳኝ ነጥቦች (በሌሉበት ወይም በሌሉበት) ከእኩልነት እና .

እናገኛለን፡- x1=1፣ x2=0፣ x3=2። ረዳት ጠረጴዛ እንፍጠር

ሠንጠረዥ 1

(የመጀመሪያው መስመር ወሳኝ ነጥቦችን እና እነዚህ ነጥቦች በኦክስ ዘንግ የተከፋፈሉበት ክፍተቶችን ይዟል። ሁለተኛው መስመር በወሳኝ ነጥቦች ላይ የመነጩን እሴቶች እና በመካከላቸው ያሉትን ምልክቶች ያሳያል ። ምልክቶቹ የሚወሰኑት በዘዴ ነው ። ከፊል እሴቶች ሦስተኛው መስመር የተግባር y (x) ወሳኝ በሆኑ ነጥቦች ላይ ያለውን እሴት ያሳያል እና የተግባሩን ባህሪ ያሳያል - በቁጥር ዘንግ ተጓዳኝ ክፍተቶች ላይ እየጨመረ ወይም እየቀነሰ ይሄዳል። ወይም ከፍተኛው ተጠቁሟል።
መ) የተግባርን መወዛወዝ እና መጨናነቅ ክፍተቶችን ይፈልጉ።
; በአንቀጽ D ውስጥ እንደ ጠረጴዛ እንሠራለን); በሁለተኛው መስመር ላይ ብቻ ምልክቶቹን እንጽፋለን, በሦስተኛው ደግሞ የቡልጋሪያውን አይነት እንጠቁማለን. ምክንያቱም ; ከዚያ ወሳኙ ነጥብ አንድ x=1 ነው።
ጠረጴዛ 2

ነጥቡ x=1 የመቀየሪያ ነጥብ ነው።
መ) አግድም እና አግድም ምልክቶችን ይፈልጉ

ከዚያ y=x የተገደበ asymptote ነው።
G) በተገኘው መረጃ መሰረት የተግባርን ግራፍ እንገነባለን

ምሳሌ2 ስለ ተግባሩ የተሟላ ጥናት ያካሂዱ እና ግራፉን ያቅዱ። ውሳኔ.

1). የተግባር ወሰን.
በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው, ይህ ተግባር በጠቅላላው የቁጥር መስመር ላይ ይገለጻል, ከ "" እና "" ነጥቦች በስተቀር, ምክንያቱም በእነዚህ ነጥቦች ላይ, መለያው ከዜሮ ጋር እኩል ነው, ስለዚህም, ተግባሩ የለም, እና መስመሮች እና ቀጥ ያሉ አሲሚክተሮች ናቸው.

2). ክርክሩ ወደ ማለቂያ ሲሄድ የተግባሩ ባህሪ፣ የማቋረጥ ነጥቦች መኖራቸው እና የተገደቡ አሲምፖችን መፈተሽ።
መጀመሪያ ወደ ግራ እና ቀኝ ወደ ማይታወቅ ሲቃረብ ተግባሩ እንዴት እንደሚሠራ እንፈትሽ።

ስለዚህ, በ, ተግባሩ ወደ 1, ማለትም. አግድም asymptote ነው.
በማቋረጥ ነጥቦች አካባቢ, የተግባሩ ባህሪ እንደሚከተለው ይገለጻል.


እነዚያ። በግራ በኩል ወደ መቋረጡ ነጥቦች ሲቃረቡ, ተግባሩ ያለማቋረጥ ይቀንሳል, በቀኝ በኩል ደግሞ ያለማቋረጥ ይጨምራል.
እኩልነትን ከግምት ውስጥ በማስገባት አስገዳጅ አሲምፕቶት መኖሩን እንወስናለን-

ምንም ግዳጅ ምልክቶች የሉም።

3). የመጋጠሚያ ነጥቦች ከመጋጠሚያ መጥረቢያዎች ጋር።
እዚህ ላይ ሁለት ሁኔታዎችን ግምት ውስጥ ማስገባት አስፈላጊ ነው-ከኦክስ ዘንግ እና ከኦይ ዘንግ ጋር ያለውን የመገናኛ ነጥብ ለማግኘት. ከ x-ዘንግ ጋር ያለው የመገናኛ ምልክት የተግባር ዜሮ እሴት ነው, ማለትም. እኩልታውን መፍታት ያስፈልግዎታል

ይህ እኩልነት ሥሮች የሉትም, ስለዚህ, የዚህ ተግባር ግራፍ ከኦክስ ዘንግ ጋር ምንም የመገናኛ ነጥብ የለውም.
ከኦይ ዘንግ ጋር የመገናኘት ምልክት ዋጋው x \u003d 0 ነው. በዚህ ሁኔታ
,
እነዚያ። - የተግባር ግራፉ መገናኛ ነጥብ ከኦይ ዘንግ ጋር.

4).የአክራሪ ነጥቦችን መወሰን እና የመጨመር እና የመቀነስ ክፍተቶች.
ይህንን ጉዳይ ለመመርመር፣ የመጀመሪያውን መነሻ እንገልፃለን፡-
.
የመጀመሪያውን ተዋጽኦ ዋጋ ከዜሮ ጋር እናመሳስላለን።
.
ክፍልፋይ ዜሮ ሲሆን አሃዛዊው ዜሮ ሲሆን ማለትም. .
የሥራውን የመጨመር እና የመቀነስ ክፍተቶችን እንወስን.

ስለዚህ, ተግባሩ አንድ ጽንፍ ነጥብ ያለው እና በሁለት ነጥቦች ላይ የለም.
ስለዚህ, ተግባራቱ በየእረፍተ-ጊዜው ላይ ይጨምራል እና በየተወሰነ ጊዜ ይቀንሳል እና .

5). የመቀየሪያ ነጥቦች እና የመወዛወዝ እና የእንቆቅልሽ ቦታዎች.
ይህ የተግባሩ ባህሪ ባህሪ የሚወሰነው ሁለተኛውን ተውሳክ በመጠቀም ነው. በመጀመሪያ የመተጣጠፍ ነጥቦችን መኖሩን እንወስን. ሁለተኛው የተግባር ተወላጅ ነው

ለ እና ተግባር concave ነው;

ለ እና ተግባር convex ነው.

6). የተግባር ግራፍ ማቀድ።
በነጥቦች ውስጥ የሚገኙትን እሴቶች በመጠቀም የተግባሩን ንድፍ ግራፍ እንገነባለን-

ምሳሌ3 ተግባርን አስስ እና ያሴሩት.

ውሳኔ
የተሰጠው ተግባር የአጠቃላይ ቅፅ ወቅታዊ ያልሆነ ተግባር ነው. የእሱ ግራፍ በመነሻው በኩል ያልፋል, ጀምሮ.
የተሰጠው ተግባር ጎራ ሁሉም የተለዋዋጭ እሴቶች ነው ፣ በስተቀር እና ፣ የክፍልፋይ መለያው የሚጠፋበት።
ስለዚህ, ነጥቦቹ እና የተግባሩ መግቻዎች ናቸው.
እንደ ,

እንደ ,
, ከዚያም ነጥቡ የሁለተኛው ዓይነት የማቋረጥ ነጥብ ነው.
ቀጥተኛ መስመሮች እና የተግባሩ ግራፍ ቋሚ ምልክቶች ናቸው.
አግድም አሲምፕቶት እኩልታዎች፣ የት፣ .
በ ,
.
ስለዚህ, ለ እና የተግባሩ ግራፍ አንድ ምልክት አለው.
የሥራውን የመጨመር እና የመቀነስ ክፍተቶችን እና የአክራሪነት ነጥቦችን እንፈልግ.
.
የተግባሩ የመጀመሪያ ተዋጽኦ በ እና , ስለዚህ, በ እና ተግባሩ ይጨምራል.
ለ፣ ስለዚህ፣ ለ፣ ተግባሩ እየቀነሰ ነው።
ለ, የለም.
ስለዚህ, በ የተግባሩ ግራፍ ሾጣጣ ነው.
በ ስለዚህ, በ የተግባሩ ግራፍ ኮንቬክስ ነው.

ነጥቦቹን በሚያልፉበት ጊዜ , ለውጦች ምልክት. መቼ , ተግባሩ አልተገለጸም, ስለዚህ, የተግባሩ ግራፍ አንድ ነጥብ አለው.
የተግባርን ግራፍ እንገንባ።

ተግባሩን ሙሉ በሙሉ ለማጥናት እና ግራፉን ለማቀድ የሚከተለውን እቅድ ለመጠቀም ይመከራል።

1) የተግባሩን ወሰን ማግኘት;

2) የተግባሩን የማቋረጥ ነጥቦችን እና ቀጥ ያሉ አሲሚክተሮች (ካለ);

3) የተግባርን ባህሪ ወሰን በሌለው ሁኔታ መመርመር ፣ አግድም እና አግድም ምልክቶችን ይፈልጉ ፣

4) ለእኩልነት (አስገራሚነት) እና ለጊዜያዊነት (ለ ​​trigonometric ተግባራት) ተግባሩን መመርመር;

5) የተግባሩ monotonicity መካከል extrema እና ክፍተቶች ማግኘት;

6) የመቀየሪያ እና የመተጣጠፍ ነጥቦችን ክፍተቶች መወሰን;

7) የመጋጠሚያ ነጥቦችን ከተጋጠሙትም መጥረቢያዎች ጋር ፣ ከተቻለ እና ግራፉን የሚያጠሩ አንዳንድ ተጨማሪ ነጥቦችን ይፈልጉ ።

የተግባሩ ጥናት በግራፍ ግንባታው በአንድ ጊዜ ይከናወናል.

ምሳሌ 9ተግባሩን ይመርምሩ እና ግራፍ ይገንቡ።

1. የትርጉም ጎራ፡;

2. ተግባሩ በነጥቦች ይቋረጣል
,
;

አቀባዊ አሲምፕቶስ መኖሩ ተግባሩን እንመረምራለን.

;
,
─ ቀጥ ያለ አሲምፕቶት.

;
,
─ ቀጥ ያለ አሲምፕቶት.

3. አግድም እና አግድም አሲሚክተሮች መኖራቸውን ተግባር እንመረምራለን.

ቀጥታ
─ አስገዳጅ አሲምፕቶት ፣ ከሆነ
,
.

,
.

ቀጥታ
─ አግድም asymptote.

4. ተግባሩ እንኳን ምክንያቱም
. የተግባሩ እኩልነት ከ y-ዘንግ አንጻር የግራፉን ሲሜትሪ ያሳያል።

5. የነጠላነት እና የተግባሩ ጽንፍ ክፍተቶችን ይፈልጉ.

ወሳኝ ነጥቦችን እንፈልግ, ማለትም. ተዋጽኦው 0 የሆነበት ወይም የሌለባቸው ነጥቦች፡-
;
. ሶስት ነጥብ አለን።
;

. እነዚህ ነጥቦች ሙሉውን ትክክለኛ ዘንግ በአራት ክፍተቶች ይከፍላሉ. ምልክቶቹን እንገልጻቸው በእያንዳንዳቸው ላይ.

በክፍተቶች (-∞; -1) እና (-1; 0) ተግባራቱ ይጨምራል፣ በየእረፍቶቹ (0፤ 1) እና (1፤ +∞) ይቀንሳል። በአንድ ነጥብ ውስጥ ሲያልፍ
የመነሻ ለውጦች ከፕላስ ወደ ሲነስ ምልክት, ስለዚህ, በዚህ ጊዜ, ተግባሩ ከፍተኛ ነው
.

6. የተዘበራረቀ ክፍተቶችን, የመቀየሪያ ነጥቦችን እንፈልግ.

ነጥቦቹን የት እንፈልግ 0 ነው፣ ወይም የለም።

እውነተኛ ሥሮች የሉትም።
,
,

ነጥቦች
እና
ትክክለኛውን ዘንግ በሦስት ክፍተቶች ይከፋፍሉት. ምልክቱን እንግለጽ በእያንዳንዱ ክፍተት.

ስለዚህ, በክፍተቶች ላይ ያለው ኩርባ
እና
ኮንቬክስ ወደ ታች, በክፍተቱ ላይ (-1; 1) ወደ ላይ መወዛወዝ; በነጥቦቹ ላይ ያለው ተግባር ስለሆነ ምንም የመቀየሪያ ነጥቦች የሉም
እና
አልተገለጸም።

7. የመገናኛ ነጥቦችን ከመጥረቢያዎች ጋር ያግኙ.

ከአክስል ጋር
የተግባሩ ግራፍ ነጥቡ (0; -1) ላይ እና ከዘንጉ ጋር ይገናኛል
ግራፉ አይገናኝም, ምክንያቱም የዚህ ተግባር አሃዛዊ ምንም እውነተኛ ሥሮች የለውም.

የተሰጠው ተግባር ግራፍ በስእል 1 ይታያል።

ምስል 1 ─ የተግባሩ ግራፍ

በኢኮኖሚክስ ውስጥ የመነሻ ጽንሰ-ሀሳብ አተገባበር። የተግባር የመለጠጥ ችሎታ

ኢኮኖሚያዊ ሂደቶችን ለማጥናት እና ሌሎች የተተገበሩ ችግሮችን ለመፍታት, የተግባር የመለጠጥ ጽንሰ-ሐሳብ ብዙውን ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላል.

ፍቺየተግባር የመለጠጥ ችሎታ
የተግባሩ አንጻራዊ ጭማሪ ጥምርታ ገደብ ይባላል ከተለዋዋጭ አንጻራዊ ጭማሪ ጋር በ
, . (VII)

የአንድ ተግባር የመለጠጥ ችሎታ ምን ያህል በመቶኛ ተግባሩ እንደሚቀየር ያሳያል
ገለልተኛውን ተለዋዋጭ ሲቀይሩ በ 1%

የአንድ ተግባር የመለጠጥ ችሎታ በፍላጎት እና በፍጆታ ትንተና ውስጥ ጥቅም ላይ ይውላል። የፍላጎት የመለጠጥ (በፍፁም ዋጋ) ከሆነ
, ከዚያም ፍላጎት እንደ ላስቲክ ይቆጠራል
─ ገለልተኛ ከሆነ
─ ከዋጋ (ወይም ከገቢ) ጋር ተመጣጣኝ ያልሆነ።

ምሳሌ 10የአንድ ተግባር የመለጠጥ መጠን ያሰሉ
እና የመለጠጥ መረጃ ጠቋሚውን ለ = 3.

መፍትሄ፡ በቀመር (VII) የተግባሩ የመለጠጥ መጠን፡-

እንግዲህ x=3 ይሁን
ይህ ማለት ነፃው ተለዋዋጭ በ 1% ቢጨምር ፣ ከዚያ የጥገኛ ተለዋዋጭ እሴት በ 1.42% ይጨምራል።

ምሳሌ 11ፍላጎቱ ይሠራ ዋጋን በተመለከተ መልክ አለው።
፣ የት ─ ቋሚ ቅንጅት. የፍላጎት ተግባርን የመለጠጥ መረጃ ጠቋሚ ዋጋ በ x = 3 den. ክፍሎች

መፍትሄ፡ ቀመሩን (VII) በመጠቀም የፍላጎት ተግባርን የመለጠጥ መጠን ያሰሉ

መገመት
የገንዘብ ክፍሎች, እናገኛለን
. ይህ ማለት በዋጋ ማለት ነው
የገንዘብ ክፍል የ 1% የዋጋ ጭማሪ ፍላጎት በ 6% ይቀንሳል, ማለትም. ፍላጎት የመለጠጥ ነው.

ተግባራትን በማጥናት እና የግራፎቻቸውን ግንባታ የማመሳከሪያ ነጥቦች ባህሪያት ናቸው - የማቋረጥ ነጥቦች, ጽንፍ, ኢንፍሌክሽን, ከአስማሚ መጥረቢያዎች ጋር መጋጠሚያዎች. ልዩነት ካልኩለስ እርዳታ ተግባራት ውስጥ ያለውን ለውጥ ባሕርይ ባህሪያት መመስረት ይቻላል: መጨመር እና መቀነስ, maxima እና minima, ግራፍ ያለውን convexity እና concavity አቅጣጫ, asymptotes ፊት.

የተግባር ግራፍ ንድፍ አሲምፕቶተስ እና ጽንፈኛ ነጥቦችን ካገኘ በኋላ ሊቀረጽ ይችላል (እና አለበት) እና በጥናቱ ሂደት ውስጥ የተግባር ጥናት ማጠቃለያ ሰንጠረዥን ለመሙላት ምቹ ነው.

ብዙውን ጊዜ የሚከተለው የተግባር ምርምር እቅድ ጥቅም ላይ ይውላል.

1.የአንድ ተግባር ጎራ፣ ቀጣይነት ክፍተቶች እና መግቻ ነጥቦችን ያግኙ.

2.ተግባሩን ለእኩል ወይም ለጎደለው (የግራፉ አክሲያል ወይም ማዕከላዊ ሲሜትሪ) ይመርምሩ።

3.አሲምፕቶስ (አቀባዊ፣ አግድም ወይም ገደላማ) ያግኙ።

4.የተግባሩን የመጨመር እና የመቀነስ ክፍተቶችን ይፈልጉ እና ይመርምሩ ፣ ጽንፍ ነጥቦቹ።

5.የጠመዝማዛ እና የጠመዝማዛ ክፍተቶችን ፣ የመቀየሪያ ነጥቦቹን ይፈልጉ።

6.የክርን መገናኛ ነጥቦችን ከተጋጠሙትም ዘንጎች ጋር ያግኙ።

7.የጥናቱ ማጠቃለያ ሰንጠረዥ አዘጋጅ።

8.ከላይ በተጠቀሱት ነጥቦች መሰረት የተከናወነውን የተግባር ጥናት ግምት ውስጥ በማስገባት ግራፍ ይገንቡ.

ለምሳሌ.ተግባርን አስስ

እና ያሴሩት.

7. ሁሉንም የባህሪ ነጥቦችን እና በመካከላቸው ያለውን ክፍተቶች የምናስገባበትን የተግባር ጥናት ማጠቃለያ ሰንጠረዥ እናድርግ. የተግባሩን ተመሳሳይነት ከግምት ውስጥ በማስገባት የሚከተለውን ሰንጠረዥ እናገኛለን።

				ገበታ ባህሪያት
[-1, 0[			እየጨመረ ነው።	ኮንቬክስ
				(0; 1) - ከፍተኛው ነጥብ
]0, 1[			ይቀንሳል	ኮንቬክስ
				የመቀየሪያ ነጥብ, ከዘንግ ጋር ይመሰረታል ኦክስ obtuse አንግል

መመሪያ

የተግባሩን ወሰን ይፈልጉ. ለምሳሌ ሲን(x) የሚለው ተግባር በጠቅላላው ከ -∞ እስከ +∞ ላይ ይገለጻል እና 1/x ደግሞ ከ -∞ እስከ +∞ ከ x = 0 በስተቀር ይገለጻል።

ቀጣይነት ያላቸውን ቦታዎች ይግለጹ እና ነጥቦችን ይሰብሩ። ብዙውን ጊዜ አንድ ተግባር በሚገለጽበት ተመሳሳይ ጎራ ውስጥ ቀጣይነት ያለው ነው። መቋረጦችን ለማወቅ ክርክሩ በትርጉሙ ጎራ ውስጥ ወደተለዩ ነጥቦች ሲቃረብ ማስላት ያስፈልግዎታል። ለምሳሌ፣ 1/x ተግባር በ x→0+ እና በ x→0- ጊዜ ኢንፊኒቲሽን ይቀንሳል። ይህ ማለት በ x = 0 ነጥብ ላይ የሁለተኛው ዓይነት መቋረጥ አለው.
በማቋረጡ ቦታ ላይ ያሉት ገደቦች የመጨረሻ ከሆኑ ግን እኩል ካልሆኑ ይህ የመጀመሪያው ዓይነት መቋረጥ ነው። እነሱ እኩል ከሆኑ, ምንም እንኳን በገለልተኛ ቦታ ላይ ባይገለጽም, ተግባሩ ቀጣይነት ያለው እንደሆነ ይቆጠራል.

ካሉ ቀጥ ያሉ ምልክቶችን ያግኙ። ቀጥ ያለ አሲምፕቶት ሁልጊዜ ማለት ይቻላል በሁለተኛው ዓይነት የማቋረጥ ነጥብ ላይ ስለሆነ ከቀዳሚው ደረጃ ላይ ያሉት ስሌቶች እዚህ ይረዱዎታል። ሆኖም ፣ አንዳንድ ጊዜ ከትርጓሜው ጎራ የተገለሉ ግለሰባዊ ነጥቦች አይደሉም ፣ ግን ሙሉ የነጥቦች ክፍተቶች ፣ እና ከዚያ ቀጥ ያሉ asymptotes በእነዚህ ክፍተቶች ጠርዝ ላይ ሊገኙ ይችላሉ።

ተግባሩ ልዩ ባህሪያት እንዳለው ያረጋግጡ፡ እንኳን፣ እንግዳ እና ወቅታዊ።
ተግባሩ በ f(x) = f(-x) ውስጥ ላለ ማንኛውም x ቢሆንም። ለምሳሌ፣ cos(x) እና x^2 ተግባራት ናቸው።

ፔሪዮዲሲቲ (ፔርዮዲሲቲቲቲ) የተወሰነ ቁጥር T አለ ፔሬድ (ፔርደር) አለ ይህም ለማንኛውም x f(x) = f(x + T) የሚል ንብረት ነው። ለምሳሌ፣ ሁሉም መሰረታዊ ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት (ሳይን፣ ኮሳይን፣ ታንጀንት) ወቅታዊ ናቸው።

ነጥቦችን ያግኙ. ይህንን ለማድረግ የተሰጠውን ተግባር አመጣጥ አስላ እና የሚጠፋባቸውን የ x እሴቶችን ያግኙ። ለምሳሌ f(x) = x^3 + 9x^2 -15 ተግባር በ x = 0 እና x = -6 ላይ የሚጠፋ g(x) = 3x^2 + 18x ተወላጅ አለው።

የትኛዎቹ ጽንፈኛ ነጥቦች ከፍተኛ እና ዝቅተኛ እንደሆኑ ለመወሰን በተገኙት ዜሮዎች ውስጥ የመነጩ ምልክቶችን ለውጥ ይፈልጉ። g(x) ምልክቱን ከፕላስ በ x = -6 ይለውጣል እና ከተቀነሰበት ወደ ፕላስ x = 0 ይመለሳል። ስለዚህ, ተግባር f (x) በመጀመሪያው ነጥብ ላይ በትንሹ እና በሁለተኛው ላይ ዝቅተኛ ነው.

ስለዚህ፣ ብቸኛ የሆኑ ቦታዎችንም አግኝተዋል፡- f(x) በመካከላቸው በነጠላነት ይጨምራል -∞;-6፣ በብቸኝነት በ -6;0 ይቀንሳል እና እንደገና በ0+∞ ይጨምራል።

ሁለተኛውን ተዋጽኦ ያግኙ። ሥሮቹ የአንድ ተግባር ግራፍ ሾጣጣ የሆነበትን ቦታ እና የት ሾጣጣ እንደሚሆን ያሳያሉ። ለምሳሌ፣ ሁለተኛው የተግባር f(x) አመጣጥ h(x) = 6x + 18 ይሆናል። በ x = -3 ይጠፋል፣ ምልክቱን ከመቀነስ ወደ ፕላስ ይለውጣል። ስለዚህ, ከዚህ ነጥብ በፊት ያለው ግራፍ f (x) ኮንቬክስ ይሆናል, ከሱ በኋላ - ሾጣጣ, እና ይህ ነጥብ እራሱ የመቀየሪያ ነጥብ ይሆናል.

አንድ ተግባር ከአቀባዊ ካልሆነ በስተቀር ሌሎች ምልክቶች ሊኖሩት ይችላል፣ ነገር ግን የትርጓሜው ጎራ የሚያካትት ከሆነ ብቻ ነው። እነሱን ለማግኘት፣ x→∞ ወይም x→-∞ በሚሆንበት ጊዜ የf(x) ወሰን ያሰሉ። ውሱን ከሆነ, ከዚያም አግድም አሲምፕቶት አግኝተዋል.

የግዳጅ asymptote የ kx + b ቀጥተኛ መስመር ነው። k ለማግኘት የf(x)/x ወሰንን እንደ x→∞ አስላ። b ለማግኘት - ገደብ (f(x) – kx) ከተመሳሳይ x→∞ ጋር።

በተሰላ ውሂብ ላይ ያለውን ተግባር ያቅዱ። ካለ፣ አሲምፕቶቶቹን ይሰይሙ። የጽንፈኛ ነጥቦችን እና በውስጣቸው ያሉትን የተግባር እሴቶችን ምልክት ያድርጉባቸው። ለግራፉ የበለጠ ትክክለኛነት ፣ የተግባር እሴቶቹን በበርካታ ተጨማሪ መካከለኛ ነጥቦች ያሰሉ ። ጥናት ተጠናቅቋል።