ውስብስብ ቁጥሮች ትሪግኖሜትሪክ ቅርፅ። ውስብስብ ቁጥሮች በትሪግኖሜትሪክ ቅርፅ ትሪግኖሜትሪክ የቁጥር ንብረት

ውስብስብ ቁጥሮች XI

§ 256. ውስብስብ ቁጥሮች ትሪግኖሜትሪክ ቅርጽ

ውስብስብ ቁጥሩ ይፍቀዱ a + bi ቬክተርን ይዛመዳል ኦ.ኤ> ከመጋጠሚያዎች ጋር ( ሀ፣ ለ ) (ምሥል 332 ይመልከቱ)።

የዚህን ቬክተር ርዝመት በ አር , እና ከዘንጉ ጋር የሚሠራው አንግል X ፣ በመላ φ . በሳይን እና ኮሳይን ትርጉም፡-

ሀ / አር = cos φ , ለ / አር = ኃጢአት φ .

ለዛ ነው ግን = አር cos φ , ለ = አር ኃጢአት φ . ግን በዚህ ጉዳይ ላይ ውስብስብ ቁጥር a + bi እንደሚከተለው ሊጻፍ ይችላል፡-

a + bi = አር cos φ + ኢር ኃጢአት φ = አር (ኮስ φ + እኔ ኃጢአት φ ).

እንደምታውቁት የማንኛውም የቬክተር ርዝመት ካሬው ከመጋጠሚያዎቹ ካሬዎች ድምር ጋር እኩል ነው. ለዛ ነው አር 2 = ሀ 2 + ለ 2, ከየት አር = √ሀ 2 + ለ 2

ስለዚህ፣ ማንኛውም ውስብስብ ቁጥር a + bi ተብሎ ሊወከል ይችላል። :

a + bi = አር (ኮስ φ + እኔ ኃጢአት φ ), (1)

የት r = √ሀ 2 + ለ 2, እና አንግል φ ከሁኔታው ተወስኗል-

ውስብስብ ቁጥሮችን የመጻፍ ዘዴ ይባላል ትሪግኖሜትሪክ.

ቁጥር አር በቀመር (1) ይባላል ሞጁል, እና አንግል φ - ክርክር, ውስብስብ ቁጥር a + bi .

ውስብስብ ቁጥር ከሆነ a + bi ከዜሮ ጋር እኩል አይደለም, ከዚያም ሞጁሉ አዎንታዊ ነው; ከሆነ a + bi = 0፣ እንግዲህ ሀ = ለ = 0 እና ከዚያ አር = 0.

የማንኛውም ውስብስብ ቁጥር ሞጁል በተለየ ሁኔታ ይወሰናል.

ውስብስብ ቁጥር ከሆነ a + bi ከዜሮ ጋር እኩል አይደለም፣ ከዚያ ክርክሩ በቀመር (2) ይወሰናል። በእርግጠኝነትእስከ 2 አንግል ብዜት። π . ከሆነ a + bi = 0፣ እንግዲህ ሀ = ለ = 0. በዚህ ጉዳይ ላይ አር = 0. ከቀመር (1) እንደ ክርክር ለመረዳት ቀላል ነው φ በዚህ ሁኔታ, ማንኛውንም ማዕዘን መምረጥ ይችላሉ: ከሁሉም በኋላ, ለማንኛውም φ

0 (ኮስ φ + እኔ ኃጢአት φ ) = 0.

ስለዚህ, የዜሮ ነጋሪ እሴት አልተገለጸም.

ውስብስብ ቁጥር ሞጁሎች አር አንዳንዴ ያመለክታሉ | ዝ |, እና ክርክሩ አር ዝ . ውስብስብ ቁጥሮችን በትሪግኖሜትሪክ መልክ የሚያሳዩ ጥቂት ምሳሌዎችን እንመልከት።

ለምሳሌ. አንድ. 1 + እኔ .

ሞጁሉን እንፈልግ አር እና ክርክር φ ይህ ቁጥር.

አር = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

ስለዚህ ኃጢአት φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2 ፣ ከየት φ = π / 4 + 2nπ .

በዚህ መንገድ,

1 + እኔ = √ 2 ,

የት ፒ - ማንኛውም ኢንቲጀር. ብዙውን ጊዜ ወሰን ከሌላቸው የእሴቶች ስብስብ ውስብስብ ቁጥር ያለው ክርክር አንዱ በ 0 እና 2 መካከል ይመረጣል π . በዚህ ሁኔታ, ይህ ዋጋ ነው π / 4 . ለዛ ነው

1 + እኔ = √ 2 (ኮስ π / 4 + እኔ ኃጢአት π / 4)

ምሳሌ 2ውስብስብ ቁጥርን በትሪግኖሜትሪክ መልክ ይፃፉ √ 3 - እኔ . እና አለነ:

አር = √ 3+1 = 2 ኮ φ = √ 3/2፣ ኃጢአት φ = - 1 / 2

ስለዚህ በ 2 የሚከፋፈል እስከ አንግል ድረስ π , φ = 11 / 6 π ; በዚህም ምክንያት እ.ኤ.አ.

√ 3 - እኔ = 2(cos 11/6 π + እኔ ኃጢአት 11/6 π ).

ምሳሌ 3ውስብስብ ቁጥርን በትሪግኖሜትሪክ መልክ ይፃፉ እኔ.

ውስብስብ ቁጥር እኔ ቬክተርን ይዛመዳል ኦ.ኤ> በዘንግ A ነጥብ ላይ ያበቃል በ ከ ordinate 1 ጋር (ምስል 333). የእንደዚህ አይነት ቬክተር ርዝመት ከ 1 ጋር እኩል ነው, እና ከአቢሲሳ ዘንግ ጋር የሚፈጠረው አንግል እኩል ነው. π / 2. ለዛ ነው

እኔ = cos π / 2 + እኔ ኃጢአት π / 2 .

ምሳሌ 4ውስብስብ ቁጥር 3ን በትሪግኖሜትሪክ መልክ ይፃፉ።

ውስብስብ ቁጥር 3 ከቬክተር ጋር ይዛመዳል ኦ.ኤ > X abcissa 3 (ምስል 334).

የእንደዚህ አይነት ቬክተር ርዝመት 3 ነው, እና ከ x-ዘንግ ጋር የሚሠራው አንግል 0 ነው. ስለዚህ

3 = 3 (cos 0 + እኔ ኃጢአት 0)

ምሳሌ 5ውስብስብ ቁጥር -5 በትሪግኖሜትሪክ መልክ ይፃፉ።

ውስብስብ ቁጥር -5 ከቬክተር ጋር ይዛመዳል ኦ.ኤ> በዘንግ ነጥብ ላይ ያበቃል X ከ abscissa -5 ጋር (ምስል 335). የእንደዚህ አይነት ቬክተር ርዝመት 5 ነው, እና ከ x-ዘንግ ጋር የሚያደርገው አንግል ነው π . ለዛ ነው

5 = 5 (ኮስ π + እኔ ኃጢአት π ).

መልመጃዎች

2047. ሞጁሎቻቸውን እና ክርክሮችን በመግለጽ እነዚህን ውስብስብ ቁጥሮች በትሪግኖሜትሪክ መልክ ይፃፉ።

1) 2 + 2√3 እኔ , 4) 12እኔ - 5; 7).3እኔ ;

2) √3 + እኔ ; 5) 25; 8) -2እኔ ;

3) 6 - 6እኔ ; 6) - 4; 9) 3እኔ - 4.

2048. በአውሮፕላኑ ላይ ውስብስብ ቁጥሮችን የሚወክሉ የነጥብ ስብስቦችን ያመልክቱ ሞጁሎች አር እና ክርክሮች φ ሁኔታዎችን ያሟሉ.

1) አር = 1, φ = π / 4 ; 4) አር < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) አር =2; 5) 2 < አር <3; 8) 0 < φ < я;

3) አር < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < አር < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. ቁጥሮች የአንድ ውስብስብ ቁጥር ሞጁል በአንድ ጊዜ ሊሆኑ ይችላሉ? አር እና - አር ?

2050. ውስብስብ ቁጥር ያለው ክርክር በተመሳሳይ ጊዜ ማዕዘን ሊሆን ይችላል φ እና - φ ?

ሞጁሎቻቸውን እና ክርክሮችን በመግለጽ እነዚህን ውስብስብ ቁጥሮች በትሪግኖሜትሪክ መልክ ያቅርቡ፡

2051*። 1+ኮስ α + እኔ ኃጢአት α . 2054*። 2 (cos 20° - እኔ ኃጢአት 20 °).

2052*። ኃጢአት φ + እኔ cos φ . 2055*። 3 (- cos 15° - እኔ ኃጢአት 15 °).

3.1. የዋልታ መጋጠሚያዎች

ብዙውን ጊዜ በአውሮፕላኑ ውስጥ ጥቅም ላይ ይውላል የዋልታ መጋጠሚያ ስርዓት . የሚጠራው ነጥብ O ከተሰጠ ነው ምሰሶ, እና ከፖሊው የሚወጣ ምሰሶ (ለእኛ ይህ ዘንግ ነው ኦክስ) የዋልታ ዘንግ ነው።የነጥብ M አቀማመጥ በሁለት ቁጥሮች ተስተካክሏል. ራዲየስ (ወይም ራዲየስ ቬክተር) እና በፖላር ዘንግ እና በቬክተር መካከል ያለው አንግል φ .አንግል φ ይባላል የዋልታ ማዕዘን; የሚለካው በራዲያን ሲሆን ከዋልታ ዘንግ በተቃራኒ ሰዓት አቅጣጫ ይቆጠራል።

በፖላር መጋጠሚያ ስርዓት ውስጥ የአንድ ነጥብ ቦታ የሚሰጠው በታዘዘ ጥንድ ቁጥሮች (r; φ) ነው። ምሰሶው ላይ r = 0እና φ አልተገለጸም. ለሁሉም ሌሎች ነጥቦች አር > 0እና φ እስከ 2π ብዜት ይገለጻል። በዚህ ሁኔታ, የቁጥሮች ጥንድ (r; φ) እና (r 1; φ 1) ከተመደቡ ተመሳሳይ ነጥብ ይመደባሉ.

ለአራት ማዕዘን መጋጠሚያ ስርዓት xOyየካርቴዥያ መጋጠሚያዎች የነጥብ መጋጠሚያዎች በቀላሉ በሚከተለው የዋልታ መጋጠሚያዎች ይገለጣሉ ።

3.2. የአንድ ውስብስብ ቁጥር ጂኦሜትሪክ ትርጉም

በአውሮፕላኑ ላይ የካርቴዥያን አራት ማዕዘን መጋጠሚያ ስርዓትን አስቡበት xOy.

ማንኛውም ውስብስብ ቁጥር z=(a, b) የአውሮፕላኑ ነጥብ ከመጋጠሚያዎች ጋር ይመደባል ( x, y) የት መጋጠሚያ x = a, i.e. የውስብስብ ቁጥሩ ትክክለኛ ክፍል እና መጋጠሚያ y = bi ምናባዊው ክፍል ነው።

ነጥቦቹ የተወሳሰቡ ቁጥሮች ያሉት አውሮፕላን ውስብስብ አውሮፕላን ነው።

በሥዕሉ ላይ, ውስብስብ ቁጥር z = (ሀ, ለ)የግጥሚያ ነጥብ ኤም(x፣ y).

ተግባሩ.በመጋጠሚያው አውሮፕላን ላይ ውስብስብ ቁጥሮችን ይሳሉ፡-

3.3. የተወሳሰበ ቁጥር ትሪግኖሜትሪክ ቅርፅ

በአውሮፕላኑ ውስጥ ያለው ውስብስብ ቁጥር የአንድ ነጥብ መጋጠሚያዎች አሉት ኤም (x; y). በውስጡ፡

ውስብስብ ቁጥር በመጻፍ ላይ - የተወሳሰበ ቁጥር ትሪግኖሜትሪክ ቅርፅ።

ቁጥሩ r ይባላል ሞጁል ውስብስብ ቁጥር ዝእና ይገለጻል. ሞዱል አሉታዊ ያልሆነ እውነተኛ ቁጥር ነው። ለ .

ሞጁሉ ዜሮ ከሆነ እና ከሆነ ብቻ ነው z = 0, ማለትም. a=b=0.

ቁጥሩ φ ይባላል ክርክር z እና ተጠቁሟል. መከራከሪያው z በአሻሚ ይገለጻል፣ ልክ እንደ ዋልታ አንግል በፖላር መጋጠሚያ ሲስተም ውስጥ ማለትም እስከ 2π ብዜት።

ከዚያም እንቀበላለን:, φ የክርክሩ ትንሹ እሴት የት ነው. እንደሆነ ግልጽ ነው።

.

በርዕሱ ላይ በጥልቀት በማጥናት, ረዳት ክርክር φ * ቀርቧል, እንደዚህ ያለ

ምሳሌ 1. የአንድ ውስብስብ ቁጥር ትሪግኖሜትሪክ ቅርፅ ያግኙ።

መፍትሄ. 1) ሞጁሉን እንመለከታለን:;

2) φ መፈለግ: ;

3) ትሪግኖሜትሪክ ቅርፅ;

ምሳሌ 2ውስብስብ ቁጥር ያለውን የአልጀብራ ቅጽ ያግኙ .

እዚህ የትሪግኖሜትሪክ ተግባራትን እሴቶችን መተካት እና አገላለጹን መለወጥ በቂ ነው-

ምሳሌ 3የአንድ ውስብስብ ቁጥር ሞጁል እና ክርክር ይፈልጉ;

1) ;

2) ; φ - በ 4 ሩብ ውስጥ;

3.4. ውስብስብ ቁጥሮች ያላቸው ክዋኔዎች በትሪግኖሜትሪክ ቅርጽ

· መደመር እና መቀነስውስብስብ በሆኑ ቁጥሮች በአልጀብራ መልክ ማከናወን የበለጠ አመቺ ነው፡-

· ማባዛት።- በቀላል ትሪግኖሜትሪክ ለውጦች እርዳታ ያንን ማሳየት ይቻላል በሚባዙበት ጊዜ የቁጥሮች ሞጁሎች ይባዛሉ እና ክርክሮቹ ይታከላሉ፡ ;

በዚህ ክፍል ውስጥ፣ ውስብስብ ቁጥር ባለው ትሪግኖሜትሪክ ቅርፅ ላይ የበለጠ እናተኩራለን። በተግባራዊ ተግባራት ውስጥ ያለው ገላጭ ቅርጽ በጣም ያነሰ የተለመደ ነው. እባክዎን ያውርዱ እና ከተቻለ ያትሙ። ትሪግኖሜትሪክ ሰንጠረዦች, methodological ቁሳዊ በሒሳብ ቀመሮች እና ጠረጴዛዎች ገጽ ላይ ሊገኙ ይችላሉ. ያለ ጠረጴዛዎች ሩቅ መሄድ አይችሉም.

ማንኛውም ውስብስብ ቁጥር (ከዜሮ በስተቀር) በትሪግኖሜትሪክ መልክ ሊፃፍ ይችላል፡-

የት ነው ውስብስብ ቁጥር ሞጁሎችግን - ውስብስብ ቁጥር ክርክር.

ውስብስብ በሆነው አውሮፕላን ላይ ቁጥር ይሳሉ. ለትክክለኛነት እና ለማብራሪያ ቀላልነት, በመጀመሪያ መጋጠሚያ ሩብ ውስጥ እናስቀምጠዋለን, ማለትም. ብለን እናምናለን፡-

የአንድ ውስብስብ ቁጥር ሞጁልከመጋጠሚያዎች አመጣጥ እስከ ውስብስብ አውሮፕላኑ ተጓዳኝ ነጥብ ያለው ርቀት ነው. በቀላል አነጋገር፣ ሞዱል ርዝመት ነውራዲየስ ቬክተር, በሥዕሉ ላይ በቀይ ምልክት የተደረገበት.

የአንድ ውስብስብ ቁጥር ሞጁል ብዙውን ጊዜ የሚገለጸው በ: ወይም

የፓይታጎሪያን ቲዎረምን በመጠቀም ውስብስብ ቁጥር ያለውን ሞጁል ለማግኘት ቀመር ማግኘት ቀላል ነው። ይህ ቀመር ትክክለኛ ነው። ለማንኛውም“ሀ” እና “መሆን” ማለት ነው።

ማስታወሻ ውስብስብ ቁጥር ያለው ሞጁል የፅንሰ-ሀሳብ አጠቃላይነት ነው። እውነተኛ ቁጥር ሞጁሎች, ከቦታው እስከ መነሻው ድረስ ያለው ርቀት.

የአንድ ውስብስብ ቁጥር ክርክርተብሎ ይጠራል መርፌመካከል አዎንታዊ ዘንግእውነተኛው ዘንግ እና ራዲየስ ቬክተር ከመነሻው ወደ ተጓዳኝ ነጥብ ተወስዷል. ክርክሩ ለነጠላ፡.

እየተገመገመ ያለው መርህ በእውነቱ ከዋልታ መጋጠሚያዎች ጋር ተመሳሳይ ነው ፣ የዋልታ ራዲየስ እና የዋልታ አንግል አንድን ነጥብ በልዩ ሁኔታ የሚገልጹበት።

የአንድ ውስብስብ ቁጥር ክርክር ብዙውን ጊዜ የሚገለጸው በ: ወይም

ከጂኦሜትሪክ ግምቶች ፣ ክርክሩን ለማግኘት የሚከተለው ቀመር ተገኝቷል።

. ትኩረት!ይህ ቀመር የሚሠራው በትክክለኛው ግማሽ አውሮፕላን ውስጥ ብቻ ነው! ውስብስብ ቁጥሩ በ 1 ኛ ወይም 4 ኛ መጋጠሚያ ኳድራንት ውስጥ ካልሆነ, ቀመሩ ትንሽ የተለየ ይሆናል. እነዚህን ጉዳዮችም እንመለከታለን.

ነገር ግን በመጀመሪያ, ውስብስብ ቁጥሮች በመጋጠሚያ መጥረቢያዎች ላይ በሚገኙበት ጊዜ በጣም ቀላል የሆኑትን ምሳሌዎች አስቡባቸው.

ምሳሌ 7

ውስብስብ ቁጥሮችን በትሪግኖሜትሪክ መልክ ይግለጹ፡,,,. ስዕሉን እንፈጽም;

እንደውም ስራው የቃል ነው። ግልጽ ለማድረግ፣ ውስብስብ ቁጥር ያለውን ትሪግኖሜትሪክ ቅርፅ እንደገና እጽፋለሁ፡-

ሞጁሉን በጥብቅ እናስታውስ - ርዝመት(ሁልጊዜ ነው አሉታዊ ያልሆነ) ክርክሩ ነው። መርፌ

1) ቁጥሩን በትሪግኖሜትሪክ መልክ እንወክል። የእሱን ሞጁሎች እና ክርክር ይፈልጉ። እንደሆነ ግልጽ ነው። በቀመር መሠረት መደበኛ ስሌት :. ግልጽ ነው (ቁጥሩ በቀጥታ በእውነተኛው አዎንታዊ ሴሚክሲስ ላይ ነው). ስለዚህ ቁጥሩ በትሪግኖሜትሪክ ቅርፅ ነው፡-

እንደ ቀን አጽዳ፣ የተገላቢጦሽ የፍተሻ እርምጃ፡

2) ቁጥሩን በትሪግኖሜትሪክ መልክ እንወክል። የእሱን ሞጁሎች እና ክርክር ይፈልጉ። እንደሆነ ግልጽ ነው። በቀመር መሠረት መደበኛ ስሌት :. በግልጽ (ወይም 90 ዲግሪዎች). በሥዕሉ ላይ, ማዕዘኑ በቀይ ምልክት ተደርጎበታል. ስለዚህ ቁጥሩ በትሪግኖሜትሪክ ቅርፅ ነው፡- .

በመጠቀም የቁጥሩን አልጀብራዊ ቅርጽ መመለስ ቀላል ነው (በተመሳሳይ ጊዜ በማጣራት)

3) ቁጥሩን በትሪግኖሜትሪክ መልክ እንወክል። ሞጁሉን ያግኙ እና

ክርክር. እንደሆነ ግልጽ ነው። በቀመሩ መሰረት መደበኛ ስሌት፡-

በግልጽ (ወይም 180 ዲግሪዎች). በሥዕሉ ላይ, አንግል በሰማያዊ ይገለጻል. ስለዚህ ቁጥሩ በትሪግኖሜትሪክ ቅርፅ ነው፡-

ምርመራ፡-

4) እና አራተኛው አስደሳች ጉዳይ። እንደሆነ ግልጽ ነው። በቀመር መሠረት መደበኛ ስሌት :.

ክርክሩ በሁለት መንገድ ሊጻፍ ይችላል፡ የመጀመሪያው መንገድ፡ (270 ዲግሪ) እና፣ በዚሁ መሰረት፡- . ምርመራ፡-

ሆኖም፣ የሚከተለው ህግ የበለጠ መደበኛ ነው፡ አንግል ከ 180 ዲግሪ በላይ ከሆነ, ከዚያም በተቀነሰ ምልክት እና በተቃራኒው አቅጣጫ ("ማሸብለል") የማዕዘን: (90 ዲግሪ ሲቀነስ) ይጻፋል, በስዕሉ ውስጥ አንግል በአረንጓዴ ምልክት ይደረግበታል. ማየት ቀላል ነው።

እሱም ተመሳሳይ ማዕዘን ነው.

ስለዚህ መግቢያው እንደሚከተለው ይሆናል-

ትኩረት!በምንም አይነት ሁኔታ የኮሳይን እኩልነት ፣ የሳይኑን እንግዳነት መጠቀም እና ተጨማሪ የመዝገቡን “ማቅለል” ማከናወን የለብዎትም።

በነገራችን ላይ የትሪግኖሜትሪክ እና የተገላቢጦሽ ትሪግኖሜትሪክ ተግባራትን ገጽታ እና ባህሪያት ማስታወስ ጠቃሚ ነው, የማመሳከሪያ ቁሳቁሶች በገጹ የመጨረሻ አንቀጾች ውስጥ የመሠረታዊ የመጀመሪያ ደረጃ ተግባራት ግራፎች እና ባህሪያት ናቸው. እና ውስብስብ ቁጥሮች ለመማር በጣም ቀላል ናቸው!

በጣም ቀላል በሆኑ ምሳሌዎች ንድፍ ውስጥ, ይህ መፃፍ አለበት : "በእርግጥ ሞጁሉስ... በግልጽ ክርክሩ ነው...". ይህ በእውነቱ ግልጽ እና በቀላሉ በቃላት የሚፈታ ነው።

ወደ ብዙ የተለመዱ ጉዳዮች እንሂድ። በሞጁሉ ላይ ምንም ችግሮች የሉም, ሁልጊዜም ቀመሩን መጠቀም አለብዎት. ግን ክርክሩን የማግኘት ቀመሮች የተለያዩ ይሆናሉ ፣ ቁጥሩ በየትኛው አስተባባሪ ሩብ ላይ የተመሠረተ ነው። በዚህ ሁኔታ ሶስት አማራጮች ሊኖሩ ይችላሉ (እነሱን እንደገና መፃፍ ጠቃሚ ነው)

1) ከሆነ (የ 1 ኛ እና 4 ኛ አስተባባሪ ሩብ ፣ ወይም የቀኝ ግማሽ አውሮፕላን) ፣ ከዚያ ክርክሩ በቀመሩ መገኘት አለበት።

2) (2ኛ አስተባባሪ ሩብ) ከሆነ፣ ክርክሩ በቀመሩ መገኘት አለበት። .

3) (3 ኛ አስተባባሪ ሩብ) ከሆነ ፣ ክርክሩ በቀመሩ መገኘት አለበት። .

ምሳሌ 8

ውስብስብ ቁጥሮችን በትሪግኖሜትሪክ መልክ ይግለጹ፡,,,.

ዝግጁ የሆኑ ቀመሮች እንዳሉ ወዲያውኑ ስዕሉ አስፈላጊ አይደለም. ግን አንድ ነጥብ አለ: ቁጥርን በትሪግኖሜትሪክ መልክ እንዲያቀርቡ ሲጠየቁ, ከዚያ መሳል ለማንኛውም ማድረግ የተሻለ ነው. እውነታው ግን መምህራን ብዙውን ጊዜ ያለ ስእል መፍትሄን ውድቅ ያደርጋሉ, ስዕል አለመኖሩ ለመቀነስ እና ለውድቀት ትልቅ ምክንያት ነው.

ቁጥሮቹን እንወክላለን እና ውስብስብ በሆነ መልኩ, የመጀመሪያው እና ሦስተኛው ቁጥሮች ለገለልተኛ መፍትሄ ይሆናሉ.

ቁጥሩን በትሪግኖሜትሪክ መልክ እንወክል። የእሱን ሞጁሎች እና ክርክር ይፈልጉ።

ጀምሮ (ጉዳዩ 2)፣ ከዚያ

- እዚህ የአርክ ታንጀንት እንግዳነት መጠቀም ያስፈልግዎታል። በሚያሳዝን ሁኔታ, በሰንጠረዡ ውስጥ ምንም ዋጋ የለውም, ስለዚህ በእንደዚህ አይነት ጉዳዮች ላይ ክርክሩ በአስቸጋሪ መልክ መተው አለበት: - ቁጥሮች በ trigonometric መልክ.

ቁጥሩን በትሪግኖሜትሪክ መልክ እንወክል። የእሱን ሞጁሎች እና ክርክር ይፈልጉ።

ጀምሮ (ጉዳዩ 1)፣ ከዚያ (ከ60 ዲግሪ ሲቀነስ)።

በዚህ መንገድ:

በትሪግኖሜትሪክ ቅርጽ ያለው ቁጥር ነው።

እና እዚህ ፣ ቀደም ሲል እንደተገለፀው ፣ ጉዳቶች አትንኩ.

ከአስቂኝ የግራፊክ የማረጋገጫ ዘዴ በተጨማሪ, የትንታኔ ማረጋገጫም አለ, እሱም አስቀድሞ በምሳሌ 7 ውስጥ ተከናውኗል. እኛ እንጠቀማለን. የትሪግኖሜትሪክ ተግባራት እሴቶች ሰንጠረዥ, ከግምት ውስጥ በማስገባት አንግል በትክክል የሰንጠረዡ ማዕዘን (ወይም 300 ዲግሪ): - ቁጥሮች በዋናው አልጀብራ መልክ.

ቁጥሮች እና በትሪግኖሜትሪክ መልክ እራስዎ ይወክላሉ። በትምህርቱ መጨረሻ ላይ አጭር መፍትሄ እና መልስ.

በክፍሉ መጨረሻ ላይ ስለ ውስብስብ ቁጥር ገላጭ ቅርጽ በአጭሩ።

ማንኛውም ውስብስብ ቁጥር (ከዜሮ በስተቀር) በገለፃ መልክ ሊፃፍ ይችላል፡-

ውስብስብ ቁጥር ያለው ሞጁል የት ነው እና ውስብስብ ቁጥር ያለው ክርክር ነው.

ውስብስብ ቁጥርን በገለፃ መልክ ለመወከል ምን መደረግ አለበት? ተመሳሳይ ማለት ይቻላል: ስዕሉን ያስፈጽም, ሞጁሉን እና ክርክርን ያግኙ. እና ቁጥሩን እንደ.

ለምሳሌ, ለቀደመው ምሳሌ ቁጥር, ሞጁሉን እና ክርክርን አግኝተናል:,. ከዚያም ይህ ቁጥር በገለፃ መልክ እንደሚከተለው ይጻፋል፡-

በትርጉም መልክ ያለው ቁጥር ይህን ይመስላል፡-

ቁጥር - ስለዚህ:

ብቸኛው ምክር ነው። ጠቋሚውን አይንኩገላጮች፣ ምክንያቶችን እንደገና ማስተካከል አያስፈልግም፣ ቅንፎችን ይክፈቱ፣ ወዘተ. ውስብስብ ቁጥር በገለፃ መልክ ተጽፏል በጥብቅበቅርጽ.

በአልጀብራ መልክ የተጻፉ ውስብስብ ቁጥሮች ላይ ያሉ ድርጊቶች

ውስብስብ ቁጥር z = አልጀብራ ቅርጽ(ሀ,ለ) የቅጹ አልጀብራ አገላለጽ ይባላል

ዝ = ሀ + bi.

ውስብስብ ቁጥሮች ላይ የሂሳብ ስራዎች ዝ 1 = ሀ 1 +ለ 1 እኔእና ዝ 2 = ሀ 2 +ለ 2 እኔ, በአልጀብራ መልክ የተፃፈ, እንደሚከተለው ይከናወናሉ.

1. ውስብስብ ቁጥሮች ድምር (ልዩነት).

ዝ 1 ±z 2 = (ሀ 1 ± ሀ 2) + (ለ 1 ± ለ 2)∙i,

እነዚያ። መደመር (መቀነስ) የሚከናወነው ተመሳሳይ አባላትን በመቀነስ ፖሊኖሚሎችን በመደመር ደንብ መሠረት ነው ።

2. ውስብስብ ቁጥሮች ምርት

ዝ 1 ∙ዝ 2 = (ሀ 1 ∙አ 2 - ለ 1 ∙ለ 2) + (ሀ 1 ∙ለ 2 + ሀ 2 ∙ለ 1)∙i,

እነዚያ። ማባዛት የሚከናወነው እውነታውን ከግምት ውስጥ በማስገባት ፖሊኖሚሎችን ለማባዛት በተለመደው ደንብ መሠረት ነው እኔ 2 = 1.

3. የሁለት ውስብስብ ቁጥሮች ክፍፍል በሚከተለው ደንብ መሰረት ይከናወናል.

, (ዝ 2 ≠ 0),

እነዚያ። ክፍፍሉ የሚከናወነው ክፍፍሉን እና አካፋዩን በአከፋፋዩ ጥምረት በማባዛት ነው.

የተወሳሰቡ ቁጥሮች አገላለጽ በሚከተለው መልኩ ይገለጻል።

ያንን ለማሳየት ቀላል ነው

ምሳሌዎች.

1. የተወሳሰቡ ቁጥሮች ድምርን ያግኙ ዝ 1 = 2 – እኔእና ዝ 2 = – 4 + 3እኔ.

ዝ 1 +z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3እኔ) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) እኔ = –2+2እኔ.

2. ውስብስብ ቁጥሮችን ምርት ያግኙ ዝ 1 = 2 – 3እኔእና ዝ 2 = –4 + 5እኔ.

= (2 – 3እኔ) ∙ (–4 + 5እኔ) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3እኔ)+ 2∙5እኔ– 3እኔ ∙ 5እኔ = 7+22እኔ.

3. የግል ያግኙ ዝከመከፋፈል ዝ 1 \u003d 3 - 2 ዝ 2 = 3 – እኔ.

z= .

4. እኩልታውን ይፍቱ:, xእና y Î አር.

(2x+y) + (x+y)እኔ = 2 + 3እኔ.

በውስብስብ ቁጥሮች እኩልነት መሰረት፡-

የት x=–1 , y= 4.

5. አስላ፡ እኔ 2 ,እኔ 3 ,እኔ 4 ,እኔ 5 ,እኔ 6 ,እኔ -1 , እኔ -2 .

6. ከሆነ አስሉ.

.

7. የቁጥሩን ተገላቢጦሽ አስላ ዝ=3- እኔ.

ውስብስብ ቁጥሮች በትሪግኖሜትሪክ ቅርፅ

ውስብስብ አውሮፕላንየካርቴሲያን መጋጠሚያዎች ያለው አውሮፕላን ይባላል ( x, yእያንዳንዱ ነጥብ ከመጋጠሚያዎች ጋር ከሆነ ( ሀ፣ ለ) ውስብስብ ቁጥር ተሰጥቷል z = a + bi. በዚህ ሁኔታ, አቢሲሳ ዘንግ ይባላል እውነተኛ ዘንግ, እና y-ዘንግ ነው ምናባዊ. ከዚያም እያንዳንዱ ውስብስብ ቁጥር a+biበጂኦሜትሪ በአውሮፕላን ላይ እንደ ነጥብ ተወክሏል አ (a, b) ወይም ቬክተር .

ስለዚህ, የነጥብ አቀማመጥ ግን(እና ስለዚህ ውስብስብ ቁጥር ዝ) በቬክተር ርዝመት ሊዘጋጅ ይችላል | | = አርእና አንግል ጄበቬክተር የተቋቋመ | | ከእውነተኛው ዘንግ አወንታዊ አቅጣጫ ጋር። የቬክተር ርዝመት ይባላል ውስብስብ ቁጥር ሞጁሎችእና በ | z|=r, እና አንግል ጄተብሎ ይጠራል ውስብስብ ቁጥር ክርክርእና ተጠቁሟል j = argz.

ግልጽ ነው | ዝ| ³ 0 እና | ዝ | = 0 Û z= 0.

ከበለስ. 2 መሆኑን ያሳያል።

የአንድ ውስብስብ ቁጥር ክርክር አሻሚ በሆነ መልኩ ይገለጻል እና እስከ 2 ድረስ ፒኬ፣ ኪÎ ዜድ.

ከበለስ. 2 ከሆነ ደግሞ ያሳያል z=a+biእና j=argzከዚያም

cos j =, ኃጢአት j =, tg j = .

ከሆነ zОአርእና z > 0 ከዚያ argz = 0 +2pk;

ከሆነ z Оአርእና ዝ< 0 ከዚያ argz = p + 2pk;

ከሆነ z= 0,argzአልተወሰነም።

የክርክሩ ዋና ዋጋ የሚወሰነው በ 0 መካከል ነው £argz£2 ገጽ፣

ወይም -ገጽ£ arg z £ p.

ምሳሌዎች፡-

1. የተወሳሰቡ ቁጥሮች ሞጁሉን ያግኙ ዝ 1 = 4 – 3እኔእና ዝ 2 = –2–2እኔ.

2. በውስብስብ አውሮፕላኑ ላይ በሁኔታዎች የተገለጹትን ቦታዎች ይወስኑ፡-

1) | ዝ | = 5; 2) | ዝ| £6; 3) | ዝ – (2+እኔ) | £3; 4) £6 | ዝ – እኔ| £7

መፍትሄዎች እና መልሶች:

1) | ዝ| = 5 Û Û ራዲየስ 5 ያለው እና በመነሻው ላይ ያተኮረ የክበብ እኩልነት ነው።

2) ራዲየስ 6 መነሻው ላይ ያተኮረ ክበብ።

3) ራዲየስ 3 በአንድ ነጥብ ላይ ያተኮረ ክበብ z0 = 2 + እኔ.

4) ራዲየስ 6 እና 7 በአንድ ነጥብ ላይ ያተኮረ በክበቦች የታሰረ ቀለበት ዝ 0 = እኔ.

3. የቁጥሮችን ሞጁል እና ክርክር ይፈልጉ 1); 2)

1) ; ግን = 1, ለ = Þ ,

Þ j 1 = .

2) ዝ 2 = –2 – 2እኔ; ሀ =–2, ለ =-2 Þ ,

.

ማሳሰቢያ: ዋናውን ክርክር ሲገልጹ, ውስብስብ የሆነውን አውሮፕላን ይጠቀሙ.

በዚህ መንገድ: ዝ 1 = .

2) , አር 2 = 1, j 2 =, .

3) , አር 3 = 1, j 3 =, .

4) , አር 4 = 1, j4 =, .

ትምህርት

የተወሳሰበ ቁጥር ትሪግኖሜትሪክ ቅርፅ

እቅድ

ውስብስብ ቁጥሮች 1.ጂኦሜትሪክ ውክልና.

ውስብስብ ቁጥሮች 2.Trigonometric ምልክት.

3. በትሪግኖሜትሪክ መልክ ውስብስብ ቁጥሮች ላይ ያሉ ድርጊቶች.

ውስብስብ ቁጥሮች ጂኦሜትሪክ ውክልና.

ሀ) ውስብስብ ቁጥሮች በሚከተለው ደንብ መሰረት በአውሮፕላኑ ነጥቦች ይወከላሉ. ሀ + bi = ኤም ( ሀ ; ለ ) (ምስል 1).

ምስል 1

ለ) ውስብስብ ቁጥር ከቦታው የሚጀምረው እንደ ቬክተር ሊወከል ይችላልስለ እና በተሰጠው ነጥብ ላይ ያበቃል (ምስል 2).

ምስል 2

ምሳሌ 7. ውስብስብ ቁጥሮችን የሚወክሉ ነጥቦችን ያሴሩ፡-1; - እኔ ; - 1 + እኔ ; 2 – 3 እኔ (ምስል 3).

ምስል 3

ውስብስብ ቁጥሮች ትሪግኖሜትሪክ ምልክት።

ውስብስብ ቁጥርዝ = ሀ + bi ራዲየስ - ቬክተር በመጠቀም ማዘጋጀት ይቻላል ከመጋጠሚያዎች ጋር( ሀ ; ለ ) (ምስል 4)

ምስል 4

ፍቺ . የቬክተር ርዝመት ውስብስብ ቁጥርን በመወከልዝ , የዚህ ቁጥር ሞጁል ተብሎ ይጠራል እና ይገለጻል ወይምአር .

ለማንኛውም ውስብስብ ቁጥርዝ የእሱ ሞጁልአር = | ዝ | በቀመርው በተለየ ሁኔታ ይወሰናል .

ፍቺ . በእውነተኛው ዘንግ እና በቬክተር አወንታዊ አቅጣጫ መካከል ያለው የማዕዘን እሴት ውስብስብ ቁጥርን መወከል የዚህ ውስብስብ ቁጥር ክርክር ይባላል እና ይገለጻልግን rg ዝ ወይምφ .

ውስብስብ ቁጥር ክርክርዝ = 0 አልተወሰነም። ውስብስብ ቁጥር ክርክርዝ≠ 0 ባለ ብዙ ዋጋ ያለው መጠን ነው እና እስከ ቃሉ ይወሰናል2k (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): አርግ ዝ = አር ዝ + 2k ፣ የትአር ዝ - የክርክሩ ዋና እሴት, በጊዜ ክፍተት ውስጥ ተዘግቷል(-π; π] ፣ ማለትም እ.ኤ.አ-π < አር ዝ ≤ π (አንዳንድ ጊዜ የክፍተቱ ንብረት የሆነው ዋጋ የክርክሩ ዋና እሴት ተደርጎ ይወሰዳል .

ይህ ቀመር ለአር =1 ብዙውን ጊዜ እንደ De Moivre ቀመር ይባላል፡-

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i ኃጢአት (nφ)፣ n  N .

ምሳሌ 11 አስላ(1 + እኔ ) 100 .

ውስብስብ ቁጥር እንፃፍ1 + እኔ በትሪግኖሜትሪክ ቅርጽ.

a = 1 ፣ b = 1 .

cos φ = , ኃጢአት φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (ኮስ + ኃጢአተኛ ነኝ )] 100 = ( ) 100 (ኮስ 100 + ኃጢአት 100) = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) የአንድ ውስብስብ ቁጥር ካሬ ሥሩን ማውጣት.

የአንድ ውስብስብ ቁጥር ካሬ ሥሩን ሲያወጡሀ + bi ሁለት ጉዳዮች አሉን

ከሆነለ > ስለ , ከዚያም ;