رسم بياني للدالة الخطية y kx. كيفية حل التوابع الخطية

1) نطاق الوظيفة ونطاق الوظيفة.

نطاق الدالة هو مجموعة كل القيم الصالحة للوسيطة x(عامل x) التي من أجلها الوظيفة ص = و (س)يعرف. نطاق الدالة هو مجموعة كل القيم الحقيقية ذالتي تقبلها الوظيفة.

في الرياضيات الابتدائية ، تدرس الوظائف فقط على مجموعة من الأعداد الحقيقية.

2) وظيفة الأصفار.

صفر من الدالة هو قيمة الوسيطة التي تكون فيها قيمة الدالة مساوية للصفر.

3) فترات ثبات إشارة دالة.

الفواصل الزمنية للعلامة الثابتة للدالة هي مجموعات من قيم الوسيطة التي تكون فيها قيم الوظيفة موجبة فقط أو سلبية فقط.

4) رتابة الوظيفة.

وظيفة متزايدة (في بعض الفترات الزمنية) - وظيفة من أجلها قيمة أكبروسيطة من هذا الفاصل الزمني تتوافق مع قيمة أكبر للدالة.

وظيفة متناقصة (في بعض الفترات الزمنية) - دالة تتوافق فيها قيمة أكبر من الوسيطة من هذا الفاصل مع قيمة أصغر للدالة.

5) الوظائف الزوجية (الفردية).

الوظيفة الزوجية هي دالة يكون مجال تعريفها متماثلًا فيما يتعلق بالأصل ولأي منها Xمن مجال تعريف المساواة و (-x) = و (س). جدول دالة زوجيةمتماثل حول المحور ص.

الوظيفة الفردية هي دالة يكون مجال تعريفها متماثلًا فيما يتعلق بالأصل ولأي منها Xمن مجال تعريف المساواة و (-x) = - و (س). جدول وظيفة غريبةمتماثل حول الأصل.

6) وظائف محدودة وغير محدودة.

تسمى الوظيفة محدودة إذا كان هناك مثل هذا رقم موجب، عدد إيجابي M مثل هذا | f (x) | ≤ M لجميع قيم x. إذا لم يكن هناك مثل هذا الرقم ، فإن الوظيفة غير محدودة.

7) دورية الوظيفة.

تكون الوظيفة f (x) دورية إذا كان هناك رقم غير صفري T بحيث بالنسبة لأي x من مجال الوظيفة ، f (x + T) = f (x). يسمى هذا الرقم الأصغر فترة الدالة. الجميع الدوال المثلثيةدورية. (الصيغ المثلثية).

19. الوظائف الأساسية الأساسية وخصائصها والرسوم البيانية. تطبيق الوظائف في الاقتصاد.

وظائف الابتدائية الأساسية. خصائصها والرسوم البيانية

1. وظيفة خطية.

دالة خطية تسمى دالة في النموذج ، حيث x متغير ، و b أعداد حقيقية.

رقم أيسمى ميل الخط المستقيم ، وهو يساوي مماس زاوية ميل هذا الخط المستقيم إلى الاتجاه الموجب للمحور x. التمثيل البياني للدالة الخطية هو خط مستقيم. يتم تعريفه بنقطتين.

خصائص الوظيفة الخطية

1. مجال التعريف - مجموعة جميع الأرقام الحقيقية: D (y) \ u003d R

2. مجموعة القيم هي مجموعة جميع الأرقام الحقيقية: E (y) = R

3. تأخذ الدالة قيمة صفرية لـ أو.

4. تزيد الوظيفة (النقصان) على نطاق التعريف بأكمله.

5. دالة خطيةمستمر على نطاق التعريف بأكمله ، وقابل للتفاضل و.

2. وظيفة من الدرجة الثانية.

دالة في النموذج ، حيث x متغير ، والمعاملات أ ، ب ، ج أرقام حقيقية ، تسمى تربيعي.

تعليمات

إذا كان الرسم البياني عبارة عن خط مستقيم يمر عبر الأصل ويشكل زاوية α مع محور OX (زاوية ميل الخط المستقيم إلى المحور OX الموجب). ستبدو الوظيفة التي تصف هذا الخط مثل y = kx. عامل التناسب k يساوي tg α. إذا كان الخط يمر عبر ربعي إحداثيات الثاني والرابع ، فعندئذٍ k< 0, и является убывающей, если через 1-ю и 3-ю, то k >0 والدالة تتزايد. فليكن خطًا مستقيمًا يقع بطرق متعددةنسبة إلى محاور الإحداثيات. هذه دالة خطية ، ولها الصيغة y = kx + b ، حيث يكون المتغيران x و y في القوة الأولى ، ويمكن أن تأخذ k و b كلاهما موجبًا و القيم السالبةأو يساوي الصفر. الخط موازٍ للخط y = kx ويقطع على المحور | b | الوحدات. إذا كان الخط المستقيم موازٍ لمحور الإحداثي ، فعندئذٍ k = 0 ، إذا كان المحور الإحداثي ، فإن المعادلة لها الشكل x = const.

منحنى يتكون من فرعين يقعان في أرباع مختلفة ومتماثل حول الأصل ، القطع الزائد. هذا الرسم البياني هو الاعتماد العكسي للمتغير y على x ويتم وصفه بواسطة المعادلة y = k / x. هنا ك ≠ 0 هو معامل التناسب. علاوة على ذلك ، إذا كانت k> 0 ، تقل الوظيفة ؛ إذا ك< 0 - функция возрастает. Таким образом, областью определения функции является вся числовая прямая, кроме x = 0. Ветви приближаются к осям координат как к своим асимптотам. С уменьшением |k| ветки гиперболы все больше «вдавливаются» в координатные углы.

الدالة التربيعية لها الصيغة y = ax2 + bx + c ، حيث a و b و c ثوابت و a 0. عندما يتحقق الشرط b = c = 0 ، تبدو معادلة الوظيفة مثل y = ax2 ( أبسط حالة) ، والرسم البياني الخاص به عبارة عن قطع مكافئ يمر عبر الأصل. الرسم البياني للدالة y = ax2 + bx + c له نفس شكل أبسط حالة للدالة ، لكن رأسها (نقطة التقاطع مع محور OY) لا يقع في الأصل.

القطع المكافئ هو أيضًا الرسم البياني لدالة القدرة المعبر عنها بالمعادلة y = xⁿ إذا كان n أي عدد زوجي. إذا كان n أي رقم فردي ، فسيبدو الرسم البياني لدالة القدرة مثل القطع المكافئ التكعيبي.
إذا كان n موجودًا ، فإن معادلة الدالة تأخذ الشكل. سيكون الرسم البياني لوظيفة n غريبًا قطعًا زائدًا ، وحتى n ستكون فروعها متناظرة حول محور المرجع y.

ايضا في سنوات الدراسةيتم دراسة الوظائف بالتفصيل ويتم إنشاء الرسوم البيانية الخاصة بهم. لكن ، لسوء الحظ ، لا يعلمون عمليًا قراءة الرسم البياني لوظيفة ما والعثور على نوعها وفقًا للرسم المقدم. إنه في الواقع بسيط للغاية إذا كنت تتذكر الأنواع الأساسية للوظائف.

تعليمات

إذا كان الرسم البياني المقدم هو من خلال الأصل وبزاوية محور OX α (وهي زاوية ميل الخط المستقيم إلى المحور شبه الموجب) ، فسيتم تمثيل الوظيفة التي تصف مثل هذا الخط المستقيم على أنها y = ككس. في هذه الحالة ، معامل التناسب k يساوي ظل الزاوية α.

إذا كان الخط المعين يمر عبر ربعي الإحداثي الثاني والرابع ، فإن k تساوي 0 وتتزايد الدالة. اجعل الرسم البياني المقدم خطًا مستقيمًا يقع بأي شكل من الأشكال بالنسبة إلى محاور الإحداثيات. ثم وظيفة من هذا القبيل الفنون التصويريةسيكون خطيًا ، والذي يتم تمثيله بالصيغة y = kx + b ، حيث يكون المتغيران y و x في الأول ، ويمكن أن يأخذ b و k كلاهما سالب و القيم الإيجابيةأو .

إذا كان الخط موازٍ للخط الذي يحتوي على الرسم البياني y = kx ويقطع وحدات b على المحور y ، فإن المعادلة لها الصيغة x = const ، إذا كان الرسم البياني موازيًا للمحور x ، فإن k = 0 .

خط منحني ، يتكون من فرعين ، متماثل حول الأصل ويقع في أرباع مختلفة ، القطع الزائد. يوضح هذا الرسم البياني الاعتماد العكسي للمتغير y على المتغير x ويتم وصفه بمعادلة بالصيغة y = k / x ، حيث لا ينبغي أن يكون k مساويًا للصفر ، لأنه معامل تناسب عكسي. في هذه الحالة ، إذا كانت قيمة k أكبر من الصفر ، تنخفض الدالة ؛ إذا ك أقل من الصفر- يزيد.

إذا كان الرسم البياني المقترح عبارة عن قطع مكافئ يمر عبر الأصل ، فإن وظيفته ، إذا تم استيفاء الشرط الذي ب = ج = 0 ، ستبدو مثل y = ax2. هذه هي أبسط حالة للدالة التربيعية. الرسم البياني للدالة بالصيغة y = ax2 + bx + c سيكون له نفس شكل أبسط حالة ، ومع ذلك ، لن يكون الرأس (النقطة التي يتقاطع فيها الرسم البياني مع المحور y) في الأصل. في دالة تربيعية ممثلة بالصيغة y = ax2 + bx + c ، تكون قيم a و b و c ثابتة ، بينما a لا تساوي صفرًا.

يمكن أن يكون القطع المكافئ أيضًا رسمًا بيانيًا لدالة قدرة معبر عنها بمعادلة بالصيغة y = xⁿ ، فقط إذا كان n هو أي عدد زوجي. إذا كانت قيمة n عددًا فرديًا ، فسيتم تمثيل هذا الرسم البياني لدالة القدرة بواسطة قطع مكافئ تكعيبي. إذا كان المتغير n هو أي عدد السلبي، تأخذ معادلة الدالة الشكل.

فيديوهات ذات علاقة

يتم تحديد تنسيق أي نقطة على المستوى على الإطلاق من خلال قيمتهما: على طول محور الإحداثي والمحور الإحداثي. مجموعة العديد من هذه النقاط هي الرسم البياني للوظيفة. وفقًا لذلك ، يمكنك أن ترى كيف تتغير قيمة Y اعتمادًا على التغيير في قيمة X. يمكنك أيضًا تحديد القسم (الفاصل الزمني) الذي تزداد فيه الوظيفة والذي تنقص فيه.

تعليمات

ماذا يمكن أن يقال عن دالة إذا كان التمثيل البياني لها خطًا مستقيمًا؟ تحقق مما إذا كان هذا الخط يمر عبر أصل الإحداثيات (أي ، الخط الذي تكون فيه قيمتا X و Y 0). إذا نجحت ، فسيتم وصف هذه الوظيفة بالمعادلة y = kx. من السهل أن نفهم أنه كلما زادت قيمة k ، كلما اقترب هذا الخط من المحور y. والمحور Y نفسه يتوافق مع ما لا نهاية أهمية عظيمةك.

الوظيفة الخطية هي دالة في النموذج

x- وسيطة (متغير مستقل) ،

ص- وظيفة (متغير تابع) ،

k و b بعض الأرقام الثابتة

الرسم البياني للدالة الخطية هو مباشرة.

يكفي لرسم الرسم البياني. اثنينالنقاط ، لأن من خلال نقطتين يمكنك رسم خط مستقيم ، وخط واحد فقط.

إذا كان k˃0 ، فإن الرسم البياني يقع في ربعي الإحداثي الأول والثالث. إذا كان k˂0 ، فإن الرسم البياني يقع في ربعي الإحداثي الثاني والرابع.

الرقم k يسمى ميل الرسم البياني المباشر للدالة y (x) = kx + b. إذا كانت k˃0 ، فإن زاوية ميل الخط المستقيم y (x) = kx + b إلى الاتجاه الموجب Ox تكون حادة ؛ إذا k˂0 ، فهذه الزاوية منفرجة.

يُظهر المعامل ب نقطة تقاطع الرسم البياني مع المحور ص (0 ؛ ب).

ص (س) = ك ∙ س-- حالة خاصةتسمى الوظيفة النموذجية التناسب المباشر. الرسم البياني عبارة عن خط مستقيم يمر عبر نقطة الأصل ، لذا تكفي نقطة واحدة لبناء هذا الرسم البياني.

الرسم البياني للدالة الخطية

حيث المعامل k = 3 ، وبالتالي

سيزداد الرسم البياني للدالة ويكون له زاوية حادة مع محور الثور. المعامل k له علامة زائد.

OOF لدالة خطية

FRF لدالة خطية

باستثناء الحالة حيث

أيضا دالة خطية للنموذج

هي وظيفة نظرة عامة.

ب) إذا ك = 0 ؛ ب ≠ 0 ،

في هذه الحالة ، يكون الرسم البياني عبارة عن خط مستقيم يوازي محور الثور ويمر بالنقطة (0 ؛ ب).

ج) إذا ك ≠ 0 ؛ ب ≠ 0 ، إذن للدالة الخطية الصيغة y (x) = k ∙ x + b.

مثال 1 . ارسم الدالة y (x) = -2x + 5

مثال 2 . أوجد أصفار الدالة y = 3x + 1 ، y = 0 ؛

هي أصفار الوظيفة.

الجواب: أو (؛ 0)

مثال 3 . حدد قيمة الدالة y = -x + 3 لـ x = 1 و x = -1

ص (-1) = - (- 1) + 3 = 1 + 3 = 4

الجواب: y_1 = 2 ؛ y_2 = 4.

مثال 4 . حدد إحداثيات نقطة تقاطعها أو أثبت أن الرسوم البيانية لا تتقاطع. دع الدوال y 1 = 10 ∙ x-8 و y 2 = -3 ∙ x + 5 معطاة.

إذا تقاطعت الرسوم البيانية للوظائف ، فإن قيمة الوظائف في هذه النقطة تساوي

عوّض x = 1 ثم y 1 (1) = 10 ∙ 1-8 = 2.

تعليق. يمكنك أيضًا استبدال القيمة التي تم الحصول عليها من الوسيطة في الدالة y 2 = -3 ∙ x + 5 ، ثم سنحصل على نفس الإجابة y 2 (1) = - 3 ∙ 1 + 5 = 2.

y = 2 - إحداثيات نقطة التقاطع.

(1 ؛ 2) - نقطة تقاطع الرسوم البيانية للوظائف y \ u003d 10x-8 و y \ u003d -3x + 5.

الجواب: (1 ؛ 2)

مثال 5 .

أنشئ رسومًا بيانية للدوال y 1 (x) = x + 3 و y 2 (x) = x-1.

يمكن ملاحظة أن المعامل k = 1 لكلتا الوظيفتين.

يترتب على ما سبق أنه إذا كانت معاملات الدالة الخطية متساوية ، فإن الرسوم البيانية في نظام الإحداثيات تكون متوازية.

مثال 6 .

لنقم ببناء رسمين بيانيين للدالة.

الرسم البياني الأول له الصيغة

الرسم البياني الثاني له الصيغة

في هذه القضيةأمامنا رسم بياني لخطين مستقيمين يتقاطعان عند النقطة (0 ؛ 4). هذا يعني أن المعامل b ، المسؤول عن ارتفاع ارتفاع الرسم البياني فوق المحور x ، إذا كانت x = 0. لذا يمكننا أن نفترض أن المعامل b لكلا الرسمين البيانيين هو 4.

المحررين: أجيفا ليوبوف أليكساندروفنا ، جافريلينا آنا فيكتوروفنا

تعليمات

هناك عدة طرق لحل الدوال الخطية. دعونا نلقي نظرة على معظمهم. الأكثر استخداما طريقة خطوة بخطوةبدائل. في إحدى المعادلات ، من الضروري التعبير عن متغير واحد من حيث متغير آخر ، واستبداله في معادلة أخرى. وهكذا حتى يبقى متغير واحد فقط في إحدى المعادلات. لحلها ، تحتاج إلى ترك المتغير على جانب واحد من علامة المساواة (يمكن أن يكون مع معامل) ، وعلى الجانب الآخر من علامة المساواة جميع البيانات الرقمية ، مع عدم نسيان تغيير علامة الرقم إلى العكس عند التحويل. بعد حساب متغير واحد ، استبدله في تعبيرات أخرى ، تابع العمليات الحسابية وفقًا لنفس الخوارزمية.

على سبيل المثال ، خذ نظامًا خطيًا المهامتتكون من معادلتين:
2 س + ص -7 = 0 ؛
x-y-2 = 0.
من المعادلة الثانية ، من المناسب التعبير عن x:
س = ص + 2.
كما ترى ، عند التحويل من جزء من المساواة إلى جزء آخر ، تغيرت علامة ومتغيرات ، كما هو موضح أعلاه.
نعوض بالتعبير الناتج في المعادلة الأولى ، وبالتالي نستبعد المتغير x منها:
2 * (ص + 2) + ص -7 = 0.
توسيع الأقواس:
2y + 4 + y-7 = 0.
نؤلف المتغيرات والأرقام ونضيفها:
3 ص -3 = 0.
ننقل إلى الجانب الأيمن من المعادلة ، ونغير العلامة:
3 ص = 3.
نقسم على المعامل الكلي ، نحصل على:
ص = 1.
استبدل القيمة الناتجة في التعبير الأول:
س = ص + 2.
نحصل على x = 3.

هناك طريقة أخرى لحل المعادلات المتشابهة وهي حل معادلتين على حدة للحصول على معادلة جديدة بمتغير واحد. يمكن ضرب المعادلة بمعامل معين ، الشيء الرئيسي هو ضرب كل حد في المعادلة وعدم نسيانها ، ثم إضافة أو طرح معادلة واحدة منها. هذه الطريقة توفر الكثير عند إيجاد خطي المهام.

لنأخذ نظام المعادلات المألوف بالفعل بمتغيرين:
2 س + ص -7 = 0 ؛
x-y-2 = 0.
من السهل ملاحظة أن معامل المتغير y متطابق في المعادلتين الأولى والثانية ويختلف فقط في الإشارة. هذا يعني أنه عند إضافة هاتين المعادلتين حدًا بمحدود ، نحصل على واحدة جديدة ، ولكن بمتغير واحد.
2x + x + y-y-7-2 = 0 ؛
3 س -9 = 0.
نقوم بنقل البيانات الرقمية إلى الجانب الأيمن من المعادلة ، مع تغيير العلامة:
3 س = 9.
نجد عاملًا مشتركًا يساوي المعامل عند x ونقسم كلا طرفي المعادلة عليه:
س = 3.
يمكن استبدال الناتج الناتج في أي من معادلات النظام لحساب y:
x-y-2 = 0 ؛
3 ص 2 = 0 ؛
-ص + 1 = 0 ؛
-ص = -1 ؛
ص = 1.

يمكنك أيضًا حساب البيانات عن طريق رسم رسم بياني دقيق. للقيام بذلك ، تحتاج إلى إيجاد الأصفار المهام. إذا كان أحد المتغيرات يساوي صفرًا ، فإن هذه الوظيفة تسمى متجانسة. بحل هذه المعادلات ، ستحصل على نقطتين ضروريتين وكافيتين لبناء خط مستقيم - تقع إحداهما على المحور السيني والأخرى على المحور الصادي.

نأخذ أي معادلة للنظام ونستبدل القيمة x \ u003d 0 هناك:
2 * 0 + ص -7 = 0 ؛
نحصل على y = 7. وبالتالي ، فإن النقطة الأولى ، دعنا نسميها A ، سيكون لها إحداثيات A (0 ؛ 7).
من أجل حساب نقطة ملقاة على المحور السيني ، من الملائم استبدال القيمة y \ u003d 0 في المعادلة الثانية للنظام:
x-0-2 = 0 ؛
س = 2.
سيكون للنقطة الثانية (ب) إحداثيات ب (2 ؛ 0).
نحدد النقاط التي تم الحصول عليها على شبكة الإحداثيات ونرسم خطًا مستقيمًا من خلالها. إذا قمت ببنائه بدقة إلى حد ما ، فيمكن حساب قيم x و y الأخرى مباشرة منه.