مخطط الدرس حول الموضوع: المعادلات المثلثية المتجانسة. الأنظمة ذات المعادلات غير الخطية

المعادلات غير الخطية في مجهولين

التعريف 1. فليكن بعض مجموعة أزواج من الأرقام (x; ذ). يقال أن المجموعة أ معطاة دالة رقميةض من متغيرين x و y ، إذا تم تحديد قاعدة ، وبمساعدة يتم تعيين رقم معين لكل زوج من الأرقام من المجموعة A.

غالبًا ما يكون تحديد دالة عددية z لمتغيرين x و y عينلذا:

أين F (x , ذ) - أي وظيفة أخرى غير الوظيفة

F (x , ذ) = الفأس + ب + ج ,

حيث يتم إعطاء أرقام أ ، ب ، ج.

التعريف 3. حل المعادلة (2)اسم زوج من الأرقام x; ذ) ، حيث تعتبر الصيغة (2) مساواة حقيقية.

مثال 1 . حل المعادلة

نظرًا لأن مربع أي رقم غير سالب ، فإنه يتبع من الصيغة (4) أن المجهولين x و y يفيان بنظام المعادلات

حلها زوج من الأرقام (6 ؛ 3).

الجواب: (6 ؛ 3)

مثال 2. حل المعادلة

إذن ، حل المعادلة (6) هو عدد لا حصر له من أزواج الأرقامطيب القلب

(1 + ذ ; ذ) ,

حيث y هو أي رقم.

خطي

التعريف 4. حل جملة المعادلات

اسم زوج من الأرقام x; ذ) ، واستبدالها في كل معادلة من معادلات هذا النظام ، نحصل على المساواة الصحيحة.

أنظمة معادلتين ، إحداهما خطية ، لها الشكل

ز(x , ذ)

مثال 4. حل جملة معادلات

المحلول . دعونا نعبر عن المجهول y من المعادلة الأولى للنظام (7) بدلالة المجهول x واستبدال التعبير الناتج في المعادلة الثانية للنظام:

حل المعادلة

x 1 = - 1 , x 2 = 9 .

بالتالي،

ذ 1 = 8 - x 1 = 9 ,
ذ 2 = 8 - x 2 = - 1 .

أنظمة من معادلتين ، إحداهما متجانسة

أنظمة من معادلتين ، إحداهما متجانسة ، لها الشكل

حيث يتم إعطاء أرقام أ ، ب ، ج ، و ز(x , ذ) هي دالة لمتغيرين x و y.

مثال 6. حل جملة معادلات

المحلول . لنحل المعادلة المتجانسة

3x 2 + 2س ص - ذ 2 = 0 ,

3x 2 + 17س ص + 10ذ 2 = 0 ,

التعامل معها على أنها معادلة من الدرجة الثانية فيما يتعلق بالمجهول س:

.

في حالة متى x = - 5ذ، من المعادلة الثانية للنظام (11) نحصل على المعادلة

5ذ 2 = - 20 ,

الذي ليس له جذور.

في حالة متى

من المعادلة الثانية للنظام (11) نحصل على المعادلة

,

التي جذورها أعداد ذ 1 = 3 , ذ 2 = - 3 . لإيجاد كل من هذه القيم y القيمة المقابلة x ، نحصل على حلين للنظام: (- 2 ؛ 3) ، (2 ؛ - 3).

الجواب: (- 2 ؛ 3) ، (2 ؛ - 3)

أمثلة على حل أنظمة معادلات من أنواع أخرى

المثال 8. حل نظام المعادلات (MIPT)

المحلول . نقدم مجاهيل جديدة u و v ، والتي يتم التعبير عنها بدلالة x و y بالصيغتين:

لإعادة كتابة النظام (12) بدلالة مجاهيل جديدة ، نعبر أولاً عن المجهولين x و y بدلالة u و v. ويترتب على نظام (13) أن

نحل النظام الخطي (14) باستبعاد المتغير x من المعادلة الثانية لهذا النظام. ولهذه الغاية نقوم بإجراء التحولات التالية على النظام (14):

• نترك المعادلة الأولى للنظام دون تغيير ؛
• اطرح المعادلة الأولى من المعادلة الثانية واستبدل المعادلة الثانية للنظام بالفرق الناتج.

نتيجة لذلك ، يتحول النظام (14) إلى نظام مكافئ

التي نجد منها

باستخدام الصيغتين (13) و (15) ، نعيد كتابة النظام الأصلي (12) بالشكل

المعادلة الأولى للنظام (16) خطية ، لذا يمكننا التعبير عن المجهول u منها بدلالة المجهول v والتعويض عن هذا التعبير في المعادلة الثانية للنظام.

في هذه المقالة ، سننظر في طريقة لحل المعادلات المثلثية المتجانسة.

المعادلات المثلثية المتجانسة لها نفس بنية المعادلات المتجانسة من أي نوع آخر. دعني أذكرك بكيفية حل المعادلات المتجانسة من الدرجة الثانية:

ضع في اعتبارك المعادلات المتجانسة للصيغة

السمات المميزة للمعادلات المتجانسة:

أ) جميع المونوميل لها نفس الدرجة ،

ب) المصطلح الحر يساوي صفر.

ج) تحتوي المعادلة على قوى ذات قاعدتين مختلفتين.

يتم حل المعادلات المتجانسة بواسطة خوارزمية مماثلة.

لحل هذا النوع من المعادلة ، قسّم طرفي المعادلة على (يمكن القسمة على أو على)

انتباه! عند قسمة الجانبين الأيمن والأيسر من المعادلة على تعبير يحتوي على مجهول ، يمكن أن تفقد الجذور. لذلك ، من الضروري التحقق مما إذا كانت جذور التعبير الذي نقسم به كلا الجزأين من المعادلة هي جذور المعادلة الأصلية.

إذا كان الأمر كذلك ، فسنكتب هذا الجذر حتى لا ننساه لاحقًا ، ثم نقسمه على هذا التعبير.

بشكل عام ، أول شيء يجب فعله عند حل أي معادلة يكون جانبها الأيمن صفرًا هو محاولة تحليل الجانب الأيسر من المعادلة إلى عوامل بواسطة أي طريقة يسهل الوصول إليها. ثم اضبط كل عامل على صفر. في هذه الحالة ، بالتأكيد لن نفقد الجذور.

لذا ، قسّم الجانب الأيسر من المعادلة بعناية إلى تعبير بمصطلح. نحن نحصل:

اختزل البسط والمقام للكسرين الثاني والثالث:

دعنا نقدم بديلاً:

احصل على معادلة من الدرجة الثانية:

نحل المعادلة التربيعية ، ونجد القيم ، ثم نعود إلى المجهول الأصلي.

عند حل المعادلات المثلثية المتجانسة ، هناك بعض الأشياء المهمة التي يجب تذكرها:

1. يمكن تحويل المصطلح المجاني إلى مربع الجيب وجيب التمام باستخدام الهوية المثلثية الأساسية:

2. الجيب وجيب التمام للوسيطة المزدوجة هما أحاديان من الدرجة الثانية - يمكن تحويل جيب الوسيطة المزدوجة بسهولة إلى حاصل ضرب الجيب وجيب التمام ، وجيب التمام للوسيطة المزدوجة إلى مربع الجيب أو جيب التمام :

ضع في اعتبارك عدة أمثلة لحل المعادلات المثلثية المتجانسة.

واحد . لنحل المعادلة:

هذا مثال كلاسيكي لمعادلة مثلثية متجانسة من الدرجة الأولى: درجة كل مونوميتري تساوي واحد ، المصطلح المجاني يساوي صفرًا.

قبل قسمة طرفي المعادلة على ، من الضروري التحقق من أن جذور المعادلة ليست جذور المعادلة الأصلية. تحقق: if ، ثم title = "(! LANG: sin (x) 0">, следовательно их сумма не равна нулю.!}

اقسم طرفي المعادلة على.

نحن نحصل:

، أين

، أين

إجابه: ، أين

2. لنحل المعادلة:

هذا مثال على معادلة مثلثية متجانسة من الدرجة الثانية. نتذكر أنه إذا تمكنا من تحليل الجانب الأيسر من المعادلة ، فمن المستحسن القيام بذلك. في هذه المعادلة ، يمكننا إخراج الأقواس. لنفعلها:

حل المعادلة الأولى: أين

المعادلة الثانية هي معادلة مثلثية متجانسة من الدرجة الأولى. لحلها ، نقسم طرفي المعادلة على. نحن نحصل:

الجواب: أين

3. لنحل المعادلة:

لجعل هذه المعادلة "متجانسة" ، نقوم بتحويلها إلى منتج ، ونمثل الرقم 3 كمجموع مربعات الجيب وجيب التمام:

ننقل كل الحدود إلى اليسار ، ونفتح الأقواس ونعطي حدودًا متشابهة. نحن نحصل:

دعونا نحلل الجانب الأيسر ونساوي كل عامل بالصفر:

الجواب: أين

أربعة. لنحل المعادلة:

نرى ما يمكننا وضعه بين قوسين. لنفعلها:

ضع كل عامل مساويًا للصفر:

حل المعادلة الأولى:

معادلة المجموعة الثانية هي معادلة متجانسة كلاسيكية من الدرجة الثانية. جذور المعادلة ليست جذور المعادلة الأصلية ، لذلك نقسم طرفي المعادلة على:

حل المعادلة الأولى:

حل المعادلة الثانية.

بمساعدة درس الفيديو هذا ، سيتمكن الطلاب من دراسة موضوع المعادلات المثلثية المتجانسة.

دعونا نعطي تعريفات:

1) تبدو المعادلة المثلثية المتجانسة من الدرجة الأولى مثل sin x + b cos x = 0 ؛

2) تبدو المعادلة المثلثية المتجانسة من الدرجة الثانية مثل sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0.

ضع في اعتبارك المعادلة a sin x + b cos x = 0. إذا كانت a صفرًا ، فستبدو المعادلة مثل b cos x = 0 ؛ إذا كانت b تساوي صفرًا ، فستبدو المعادلة مثل sin x = 0. هذه هي المعادلات التي أطلقنا عليها أبسطها وحلناها سابقًا في الموضوعات السابقة.

فكر الآن في الخيار عندما لا تكون a و b مساوية للصفر. بقسمة أجزاء المعادلة على جيب التمام x وسنقوم بالتحول. نحصل على tg x + b = 0 ، ثم tg x يساوي - b / a.

مما ورد أعلاه ، فإن المعادلة a sin mx + b cos mx = 0 متجانسة المعادلة المثلثيةأنا درجة. لحل معادلة ، قسّم أجزائها على cos mx.

دعنا نحلل المثال 1. حل 7 sin (x / 2) - 5 cos (x / 2) = 0. أولاً ، اقسم أجزاء المعادلة على جيب التمام (x / 2). مع العلم أن الجيب مقسومًا على جيب التمام هو المماس ، نحصل على 7 tg (x / 2) - 5 = 0. بتحويل التعبير ، نجد أن قيمة الظل (x / 2) هي 5/7. حل هذه المعادلة هو x = arctan a + n ، في حالتنا x = 2 arctan (5/7) + 2πn.

ضع في اعتبارك المعادلة a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0:

1) مع تساوي الصفر ، ستبدو المعادلة مثل b sin x cos x + c cos 2 x = 0. بالتحول ، نحصل على التعبير cos x (b sin x + c cos x) = 0 وننتقل إلى الحل من معادلتين. بعد قسمة أجزاء المعادلة على جيب التمام x ، نحصل على b tg x + c = 0 ، مما يعني tg x = - c / b. مع العلم أن x \ u003d arctg a + πn ، ثم الحل في هذه القضيةسيكون x \ u003d arctg (- c / b) + n.

2) إذا كانت a لا تساوي صفرًا ، فعند قسمة أجزاء المعادلة على مربع جيب التمام ، نحصل على معادلة تحتوي على الظل ، والذي سيكون مربعًا. يمكن حل هذه المعادلة بإدخال متغير جديد.

3) عندما يكون c يساوي صفرًا ، ستأخذ المعادلة الصيغة a sin 2 x + b sin x cos x = 0. يمكن حل هذه المعادلة بإخراج جيب x من القوس.

1. معرفة ما إذا كان هناك خطيئة 2 x في المعادلة ؛

2. إذا كان المصطلح a sin 2 x موجودًا في المعادلة ، فيمكن حل المعادلة بقسمة كلا الجزأين على مربع جيب التمام ثم إدخال متغير جديد.

3. إذا لم تحتوي المعادلة a sin 2 x ، فيمكن حل المعادلة بحذف القوسين cosx.

خذ بعين الاعتبار المثال 2. نخرج جيب التمام ونحصل على معادلتين. جذر المعادلة الأولى هو x = π / 2 + n. لحل المعادلة الثانية ، نقسم أجزاء هذه المعادلة على جيب التمام x ، عن طريق التحويلات نحصل على x = π / 3 + n. الإجابة: س = π / 2 + n و x = / 3 + n.

لنحل المثال 3 ، معادلة بالصيغة 3 sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + 3 cos 2 2x = 2 ونجد جذورها التي تنتمي إلى المقطع من - π إلى π. لان نظرًا لأن هذه المعادلة غير متجانسة ، فمن الضروري تقليلها إلى شكل متجانس. باستخدام الصيغة sin 2 x + cos 2 x = 1 ، نحصل على المعادلة sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + cos 2 2x = 0. بقسمة جميع أجزاء المعادلة على cos 2 x ، نحصل على tg 2 2x + 2tg 2x + 1 = 0 باستخدام إدخال متغير جديد z = tg 2x ، نحل المعادلة التي يكون جذرها z = 1. ثم tg 2x = 1 ، مما يعني أن x = π / 8 + (πn) / 2. لان وفقًا لحالة المشكلة ، تحتاج إلى إيجاد الجذور التي تنتمي إلى المقطع من - π إلى π ، سيبدو الحل - π< x <π. Подставляя найденное значение x в данное выражение и преобразовывая его, получим - 2,25 < n < 1,75. Т.к. n - это целые числа, то решению уравнения удовлетворяют значения n: - 2; - 1; 0; 1. При этих значениях n получим корни решения исходного уравнения: x = (- 7π)/8, x = (- 3π)/8, x =π/8, x = 5π/8.

تفسير النص:

المعادلات المثلثية المتجانسة

سنقوم اليوم بتحليل كيفية حل "المعادلات المثلثية المتجانسة". هذه معادلات من نوع خاص.

دعنا نتعرف على التعريف.

اكتب المعادلة و sinx +بكوسx = 0 (وجيب س زائد يكون جيب التمام س هو صفر) تسمى معادلة مثلثية متجانسة من الدرجة الأولى ؛

معادلة الشكل أ الخطيئة 2 س +بالخطيئة xكوسx+ جكوس 2 x= 0 (و sine square x plus be sine x cosine x plus se cosine square x يساوي صفرًا) تسمى معادلة مثلثية متجانسة من الدرجة الثانية.

اذا كان أ = 0، ثم تأخذ المعادلة الشكل بكوسx = 0.

اذا كان ب = 0 ، ثم نحصل والخطيئة س = 0.

هذه المعادلات عبارة عن حساب مثلثي أولي ، وقد نظرنا في حلها في موضوعاتنا السابقة

انصحالحالة عندما يكون كلا المعاملين غير صفري. اقسم طرفي المعادلة أالخطيئةx+ بكوسx = 0 مصطلح بمصطلح على كوسx.

يمكننا فعل ذلك ، لأن جيب التمام x لا يساوي صفرًا. بعد كل شيء ، إذا كوسx = 0 ثم المعادلة أالخطيئةx+ بكوسx = 0 سوف يأخذ النموذج أالخطيئةx = 0 , أ≠ 0 ، إذن الخطيئةx = 0 . وهو مستحيل ، لأنه وفقًا للهوية المثلثية الأساسية الخطيئة 2x +كوس 2 x=1 .

قسمة طرفي المعادلة أالخطيئةx+ بكوسx = 0 مصطلح بمصطلح على كوسx، نحصل على: + = 0

لنقم بالتحولات:

1. منذ = tg x ، إذن =و tg x

2 تقليل بنسبة كوسx، ومن بعد

وهكذا نحصل على التعبير التالي و tg x + b = 0.

لنقم بالتحول:

1. انقل b إلى الجانب الأيمن من التعبير ذي الإشارة المعاكسة

و tg x \ u003d - ب

2. تخلص من المضاعف وقسمة طرفي المعادلة على أ

tg س = -.

الخلاصة: معادلة الشكل والخطيئةمx +بكوسمكس = 0 (وجيب م س زائد جيب التمام م س هو صفر) تسمى أيضًا معادلة مثلثية متجانسة من الدرجة الأولى. لحلها ، قسّم كلا الطرفين على كوسمكس.

مثال 1. حل المعادلة 7 sin - 5 cos \ u003d 0 (سبعة جيب س على اثنين ناقص خمسة جيب تمام x على اثنين يساوي صفرًا)

المحلول. نقسم كلا الجزأين من حد المعادلة على حد على cos ، نحصل على

1. \ u003d 7 tg (بما أن نسبة الجيب إلى جيب التمام هي الظل ، إذن سبعة جيب س على اثنين مقسومًا على جيب التمام س على اثنين يساوي 7 مماس س على اثنين)

2. -5 = -5 (عند اختصار cos)

وهكذا حصلنا على المعادلة

7tg - 5 = 0 ، فلنحول التعبير ، ونحرك ناقص خمسة إلى الجانب الأيمن ، ونغير الإشارة.

لقد اختزلنا المعادلة إلى الصورة tg t = a ، حيث t = ، a =. وبما أن هذه المعادلة لها حل لأي قيمة أ وهذه الحلول تبدو

x \ u003d arctg a + πn ، ثم سيبدو حل المعادلة كما يلي:

Arctg + πn ، أوجد x

س \ u003d 2 أركتان + 2 ن.

الجواب: x \ u003d 2 arctg + 2πn.

دعنا ننتقل إلى المعادلة المثلثية المتجانسة من الدرجة الثانية

أsin 2 x + b sin x cos x +معcos2 س = 0.

دعونا ننظر في عدة حالات.

أولا إذا أ = 0، ثم تأخذ المعادلة الشكل بالخطيئةxكوسx+ جكوس 2 x= 0.

عند حل البريدثم نستخدم طريقة التحليل للمعادلات. دعنا نخرج كوسxبين قوسين ونحصل على: كوسx(بالخطيئةx+ جكوسx)= 0 . أين كوسx= 0 أو

ب الخطيئة x +معكوس س = 0.ونحن نعلم بالفعل كيفية حل هذه المعادلات.

نقسم كلا الجزأين من حد المعادلة على حد على cosx ، نحصل على

1 (لأن نسبة الجيب إلى جيب التمام هي الظل).

وهكذا نحصل على المعادلة: ب tg س + ج = 0

لقد اختزلنا المعادلة إلى الصورة tg t = a ، حيث t = x ، a =. وبما أن هذه المعادلة لها حل لأي قيمة أوهذه الحلول تبدو

x \ u003d arctg a + πn ، فسيكون حل المعادلة:

س \ u003d arctg + πn ،.

ثانيًا. اذا كان أ ≠ 0، ثم نقسم كلا الجزأين من مصطلح المعادلة على حد إلى كوس 2 x.

(بالمثل ، كما في حالة المعادلة المثلثية المتجانسة من الدرجة الأولى ، لا يمكن أن يتلاشى جيب التمام x).

ثالثا. اذا كان ج = 0، ثم تأخذ المعادلة الشكل أالخطيئة 2 x+ بالخطيئةxكوسx= 0. يتم حل هذه المعادلة بطريقة العوامل (إخراج الخطيئةxللأقواس).

لذلك ، عند حل المعادلة أالخطيئة 2 x+ بالخطيئةxكوسx+ جكوس 2 x= 0 يمكنك اتباع الخوارزمية:

مثال 2. حل المعادلة sinxcosx - cos 2 x = 0 (sinx في جيب التمام x ناقص جذر ثلاثة في جيب التمام x يساوي صفرًا).

المحلول. دعونا نحلل (cosx بين قوسين). احصل على

cos x (sin x - cos x) = 0 ، أي cos x = 0 أو sin x - cos x = 0.

الإجابة: x \ u003d + πn، x \ u003d + πn.

مثال 3. حل المعادلة 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x + 3cos 2 2x = 2 (ثلاثة جيوب مربعة لاثنين x ناقص ضعف حاصل ضرب الجيب لاثنين x وجيب التمام لاثنين x زائد ثلاثة جيب التمام لاثنين x) وتجد جذورها تنتمي إلى الفترة (- π ؛ π).

المحلول. هذه المعادلة غير متجانسة ، لذلك سنقوم بتحولات. يتم استبدال الرقم 2 الموجود في الجانب الأيمن من المعادلة بالمنتج 2 1

منذ ذلك الحين ، وفقًا للهوية المثلثية الأساسية ، الخطيئة 2 x + cos 2 x \ u003d 1 ، إذن

2 ∙ 1 = 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = فتح الأقواس نحصل على: 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

2 ∙ 1 = 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x

إذن المعادلة 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x + 3cos 2 2x = 2 ستأخذ الشكل:

3sin 2 2x - 2sin 2x cos2 x + 3cos 2 2x = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x + 3cos 2 2x - 2 sin 2 x - 2 cos 2 x = 0 ،

sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x + cos 2 2x = 0.

لقد حصلنا على معادلة مثلثية متجانسة من الدرجة الثانية. لنطبق القسمة على كل مصطلح على cos 2 2x:

tg 2 2x - 2tg 2x + 1 = 0.

دعونا نقدم متغير جديد z = tg2x.

لدينا z 2 - 2 z + 1 = 0. هذه معادلة تربيعية. عند ملاحظة صيغة الضرب المختصرة على الجانب الأيسر - مربع الفرق () ، نحصل على (z - 1) 2 = 0 ، أي z = 1. لنعد إلى التبديل العكسي:

لقد قمنا بتقليل المعادلة إلى النموذج tg t \ u003d a ، حيث t \ u003d 2x ، a \ u003d 1. وبما أن هذه المعادلة لها حل لأي قيمة أوهذه الحلول تبدو

x \ u003d arctg x a + πn ، فسيكون حل المعادلة:

2x \ u003d arctg1 + πn ،

x \ u003d + ، (x يساوي مجموع pi في ثمانية و pi en مضروبة في اثنين).

يبقى بالنسبة لنا إيجاد قيم x الموجودة في الفترة

(- π ؛ π) ، أي تحقق المتباينة المزدوجة - π x π. لان

س = + ، ثم - π + π. قسّم جميع أجزاء هذه المتباينة على π واضرب في 8 ، نحصل على

انقل الوحدة إلى اليمين واليسار ، وقم بتغيير العلامة إلى ناقص واحد

نقسم على أربعة نحصل

للراحة ، في الكسور ، نختار أجزاء صحيحة

-

تتحقق هذه المتباينة من خلال العدد الصحيح التالي n: -2 ، -1 ، 0 ، 1

اليوم سنتعامل مع المعادلات المثلثية المتجانسة. أولاً ، دعنا نتعامل مع المصطلحات: ما هي المعادلة المثلثية المتجانسة. لها الخصائص التالية:

1. يجب أن يكون لها عدة شروط ؛
2. يجب أن يكون لجميع المصطلحات نفس الدرجة ؛
3. يجب أن يكون لجميع الدوال المضمنة في متطابقة مثلثية متجانسة نفس الحجة بالضرورة.

خوارزمية الحل

افصل الشروط

وإذا كان كل شيء واضحًا في النقطة الأولى ، فإن الأمر يستحق الحديث عن الثانية بمزيد من التفصيل. ماذا تعني نفس الدرجة من المصطلحات؟ لنلقِ نظرة على المهمة الأولى:

3cosx + 5sinx = 0

3 \ cos x + 5 \ sin x = 0

المصطلح الأول في هذه المعادلة هو 3cosx 3 \ كوس س. لاحظ أن هناك دالة مثلثية واحدة فقط هنا - كوسكس\ cos x - ولا توجد هنا دوال مثلثية أخرى ، لذا فإن درجة هذا المصطلح هي 1. نفس الدرجة مع الثانية - 5sinx 5 \ sin x - فقط الجيب موجود هنا ، أي أن درجة هذا المصطلح تساوي واحدًا أيضًا. إذن ، أمامنا متطابقة تتكون من عنصرين ، يحتوي كل منهما على دالة مثلثية ، وفي نفس الوقت عنصر واحد فقط. هذه معادلة من الدرجة الأولى.

دعنا ننتقل إلى التعبير الثاني:

4الخطيئة2 س + sin2x − 3 = 0

4 ((\ sin) ^ (2)) x + \ sin 2x-3 = 0

المصطلح الأول لهذا البناء هو 4الخطيئة2 x 4 ((\ sin) ^ (2)) x.

الآن يمكننا كتابة الحل التالي:

الخطيئة2 س = sinx⋅sinx

((\ sin) ^ (2)) x = \ sin x \ cdot \ sin x

بمعنى آخر ، يحتوي المصطلح الأول على وظيفتين مثلثتين ، أي أن درجته هي اثنان. دعونا نتعامل مع العنصر الثاني - sin2x\ الخطيئة 2x. أذكر الصيغة التالية - صيغة الزاوية المزدوجة:

sin2x = 2sinx⋅cosx

\ sin 2x = 2 \ sin x \ cdot \ cos x

ومرة أخرى ، في الصيغة الناتجة ، لدينا دالتان مثلثيتان - الجيب وجيب التمام. وبالتالي ، فإن قيمة الطاقة لهذا العضو في البناء تساوي أيضًا اثنين.

ننتقل إلى العنصر الثالث - 3. من مقرر الرياضيات في المدرسة الثانوية ، نتذكر أنه يمكن ضرب أي رقم في 1 ، لذلك نكتب:

˜ 3=3⋅1

ويمكن كتابة الوحدة التي تستخدم المطابقة المثلثية الأساسية بالشكل التالي:

1=الخطيئة2 x⋅ كوس2 x

1 = ((\ sin) ^ (2)) x \ cdot ((\ cos) ^ (2)) x

لذلك ، يمكننا إعادة كتابة 3 على النحو التالي:

3=3(الخطيئة2 x⋅ كوس2 x)=3الخطيئة2 x + 3 كوس2 x

3 = 3 \ left (((\ sin) ^ (2)) x \ cdot ((\ cos) ^ (2)) x \ right) = 3 ((\ sin) ^ (2)) x + 3 (( \ cos) ^ (2)) ×

وهكذا ، تم تقسيم المصطلح 3 إلى عنصرين ، كل منهما متجانس وله درجة ثانية. الجيب في المصطلح الأول يحدث مرتين ، وجيب التمام في الثاني يحدث مرتين أيضًا. وبالتالي ، يمكن أيضًا تمثيل 3 كمصطلح له أس اثنين.

نفس الشيء مع التعبير الثالث:

الخطيئة3 x + الخطيئة2 xcosx = 2 كوس3 x

دعونا نرى. الفصل الأول - الخطيئة3 x((\ sin) ^ (3)) x دالة مثلثية من الدرجة الثالثة. العنصر الثاني هو الخطيئة2 xcosx((\ sin) ^ (2)) x \ cos x.

الخطيئة2 ((\ sin) ^ (2)) ارتباط بقيمة قوة اثنين مضروبة في كوسكس\ cos x هو الحد الأول. في المجموع ، الحد الثالث له أيضًا قيمة قوة تساوي ثلاثة. أخيرًا ، على اليمين رابط آخر - 2كوس3 x 2 ((cos) ^ (3)) x عنصر من الدرجة الثالثة. وهكذا ، لدينا معادلة مثلثية متجانسة من الدرجة الثالثة.

لقد سجلنا ثلاث متطابقات بدرجات مختلفة. لاحظ مرة أخرى التعبير الثاني. في الإدخال الأصلي ، أحد الأعضاء لديه حجة 2x 2x. نحن مضطرون للتخلص من هذه الحجة من خلال تحويلها وفقًا لصيغة جيب الزاوية المزدوجة ، لأن جميع الوظائف المضمنة في هويتنا يجب أن يكون لها بالضرورة نفس الحجة. وهذا مطلب للمعادلات المثلثية المتجانسة.

نستخدم صيغة المتطابقة المثلثية الرئيسية ونكتب الحل النهائي

توصلنا إلى الشروط ، ننتقل إلى الحل. بغض النظر عن أس القوة ، يتم دائمًا حل المساواة من هذا النوع في خطوتين:

1) إثبات ذلك

cosx ≠ 0

\ cos x \ ne 0. للقيام بذلك ، يكفي تذكر صيغة المتطابقة المثلثية الأساسية (الخطيئة2 x⋅ كوس2 س = 1)\ left (((\ sin) ^ (2)) x \ cdot ((\ cos) ^ (2)) x = 1 \ right) واستبدل في هذه الصيغة cosx = 0\ cosx = 0. سوف نحصل على التعبير التالي:

الخطيئة2 س = 1sinx = ± 1

\ start (محاذاة) & ((\ sin) ^ (2)) x = 1 \\ & \ sin x = \ pm 1 \ end (align)

استبدال القيم التي تم الحصول عليها ، أي بدلاً من كوسكس\ cos x تساوي صفرًا وبدلاً من sinx\ sin x - 1 أو -1 ، في التعبير الأصلي ، نحصل على مساواة عددية غير صحيحة. هذا هو الأساس المنطقي لحقيقة ذلك

cosx ≠ 0

2) الخطوة الثانية تأتي منطقيًا من الأولى. بسبب ال

cosx ≠ 0

\ cos x \ ne 0 ، نقسم كلا جانبي البناء على كوسن x((\ cos) ^ (n)) x حيث نن هو الأس الأس للمعادلة المثلثية المتجانسة. ماذا يعطينا هذا:

\ [\ تبدأ (مجموعة) ((35) (ل))

sinxكوسكس= tgxكوسكسكوسكس=1

\ start (محاذاة) & \ frac (\ sin x) (\ cos x) = tgx \\ & \ frac (\ cos x) (\ cos x) = 1 \\\ end (align) \\ () \\ \ نهاية (مجموعة) \]

نتيجة لهذا ، فإن بنائنا الأولي المرهق يقلل من المعادلة ن n-power بالنسبة إلى الظل ، يمكن كتابة حلها بسهولة باستخدام تغيير المتغير. هذه هي الخوارزمية بأكملها. دعونا نرى كيف يعمل في الممارسة.

نحن نحل مشاكل حقيقية

مهمة 1

3cosx + 5sinx = 0

3 \ cos x + 5 \ sin x = 0

لقد اكتشفنا بالفعل أن هذه معادلة مثلثية متجانسة أسها يساوي واحدًا. لذلك ، أولاً وقبل كل شيء ، دعونا نكتشف ذلك cosx ≠ 0\ cos x \ ne 0. افترض العكس

cosx = 0 → sinx = ± 1

\ cos x = 0 \ to \ sin x = \ pm 1.

نعوض بالقيمة الناتجة في تعبيرنا ، نحصل على:

3⋅0+5⋅(± 1) = 0± 5 = 0

\ start (align) & 3 \ cdot 0 + 5 \ cdot \ left (\ pm 1 \ right) = 0 \\ & \ pm 5 = 0 \\\ end (align)

وعلى هذا يمكن القول cosx ≠ 0\ cos x \ ne 0. اقسم المعادلة على كوسكس\ cos x لأن المقدار بأكمله له قيمة أس واحدة. نحن نحصل:

3(كوسكسكوسكس) +5(sinxكوسكس) =0 3 + 5tgx = 0tgx = - 3 5

\ start (محاذاة) & 3 \ يسار (\ frac (\ cos x) (\ cos x) \ right) +5 \ left (\ frac (\ sin x) (\ cos x) \ right) = 0 \\ & 3 + 5tgx = 0 \\ & tgx = - \ frac (3) (5) \\\ end (محاذاة)

هذه ليست قيمة جدول ، لذا ستتضمن الإجابة arctgx arctgx:

س = arctg (−3 5 ) + πn ، n∈Z

x = arctg \ left (- \ frac (3) (5) \ right) + \ text () \! \! \ pi \! \! \ text () n، n \ in Z

بسبب ال arctg arctg arctg دالة فردية ، يمكننا إخراج "ناقص" من الوسيطة ووضعها قبل arctg. نحصل على الإجابة النهائية:

س = −arctg 3 5 + πn ، n∈Z

x = -arctg \ frac (3) (5) + \ text () \! \! \ pi \! \! \ text () n، n \ in Z

المهمة رقم 2

4الخطيئة2 س + sin2x − 3 = 0

4 ((\ sin) ^ (2)) x + \ sin 2x-3 = 0

كما تتذكر ، قبل الشروع في حلها ، تحتاج إلى إجراء بعض التحولات. نقوم بإجراء التحولات:

4الخطيئة2 س + 2 سينكسكوسكس − 3 (الخطيئة2 x + كوس2 x)=0 4الخطيئة2 س + 2 سينكسكوسكس − 3 الخطيئة2 س − 3 كوس2 س = 0الخطيئة2 س + 2 سينكسكوسكس − 3 كوس2 س = 0

\ start (محاذاة) & 4 ((\ sin) ^ (2)) x + 2 \ sin x \ cos x-3 \ left (((\ sin) ^ (2)) x + ((\ cos) ^ (2 )) x \ right) = 0 \\ & 4 ((\ sin) ^ (2)) x + 2 \ sin x \ cos x-3 ((\ sin) ^ (2)) x-3 ((\ cos ) ^ (2)) x = 0 \\ & ((\ sin) ^ (2)) x + 2 \ sin x \ cos x-3 ((\ cos) ^ (2)) x = 0 \ end (محاذاة)

لقد تلقينا هيكل يتكون من ثلاثة عناصر. في الفصل الدراسي الأول نرى الخطيئة2 ((\ sin) ^ (2)) ، أي أن قيمة قوتها هي اثنان. في الفصل الثاني ، نرى sinx\ sin x و كوسكس\ cos x - مرة أخرى ، هناك وظيفتان ، يتم ضربهما ، وبالتالي فإن الدرجة الكلية هي اثنان مرة أخرى. في الرابط الثالث نراه كوس2 x((\ cos) ^ (2)) x - مشابه للقيمة الأولى.

دعنا نثبت ذلك cosx = 0\ cos x = 0 ليس حلاً لهذا البناء. للقيام بذلك ، افترض العكس:

\ [\ تبدأ (مجموعة) ((35) (ل))

\ cos x = 0 \\\ sin x = \ pm 1 \\ 1 + 2 \ cdot \ left (\ pm 1 \ right) \ cdot 0-3 \ cdot 0 = 0 \\ 1 + 0-0 = 0 \ \ 1 = 0 \ نهاية (مجموعة) \]

لقد أثبتنا ذلك cosx = 0\ cos x = 0 لا يمكن أن يكون حلاً. ننتقل إلى الخطوة الثانية - نقسم التعبير بالكامل على كوس2 x((cos) ^ (2)) x. لماذا في المربع؟ لأن أس هذه المعادلة المتجانسة يساوي اثنين:

الخطيئة2 xكوس2 x+2sinxcosxكوس2 x−3=0 ر ز2 س + 2tgx − 3 = 0

\ start (محاذاة) & \ frac (((\ sin) ^ (2)) x) (((\ cos) ^ (2)) x) +2 \ frac (\ sin x \ cos x) (((\ cos) ^ (2)) x) -3 = 0 \\ & t ((g) ^ (2)) x + 2tgx-3 = 0 \\\ end (محاذاة)

هل يمكن حل هذا التعبير باستخدام المميز؟ نعم ، يمكنك بالتأكيد. لكنني أقترح أن أتذكر النظرية المقابلة لنظرية فييتا ، ونحصل على أن هذا كثير الحدود يمكن تمثيله على أنهما متعددتي حدود بسيطتين ، وهما:

(tgx + 3) (tgx − 1) = 0tgx = −3 → x = −arctg3 + π n ، n∈Ztgx = 1 → x = π 4 + πk، k∈Z

\ start (محاذاة) & \ left (tgx + 3 \ right) \ left (tgx-1 \ right) = 0 \\ & tgx = -3 \ to x = -arctg3 + \ text () \! \! \ pi \ ! \! \ text () n، n \ in Z \\ & tgx = 1 \ to x = \ frac (\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) (4) + \ نص () \! \! \ pi \! \! \ text () k، k \ in Z \\\ end (align)

يتساءل العديد من الطلاب عما إذا كان الأمر يستحق كتابة معاملات منفصلة لكل مجموعة من الحلول للهويات ، أم لا أن تهتم وتكتب نفس المعامل في كل مكان. أنا شخصياً أعتقد أنه من الأفضل والأكثر موثوقية استخدام أحرف مختلفة ، بحيث في حالة دخولك إلى جامعة تقنية جادة مع اختبارات إضافية في الرياضيات ، لا يجد المفتشون خطأ في الإجابة.

المهمة رقم 3

الخطيئة3 x + الخطيئة2 xcosx = 2 كوس3 x

((\ sin) ^ (3)) x + ((\ sin) ^ (2)) x \ cos x = 2 ((\ cos) ^ (3)) x

نحن نعلم بالفعل أن هذه معادلة مثلثية متجانسة من الدرجة الثالثة ، ولا حاجة إلى صيغ خاصة ، وكل ما هو مطلوب منا هو نقل المصطلح 2كوس3 x 2 ((cos) ^ (3)) x إلى اليسار. إعادة كتابة:

الخطيئة3 x + الخطيئة2 xcosx − 2 كوس3 س = 0

((\ sin) ^ (3)) x + ((\ sin) ^ (2)) x \ cos x-2 ((\ cos) ^ (3)) x = 0

نلاحظ أن كل عنصر يحتوي على ثلاث دوال مثلثية ، لذا فإن قيمة هذه المعادلة هي ثلاثة. نحن نحلها. بادئ ذي بدء ، نحن بحاجة إلى إثبات ذلك cosx = 0\ cos x = 0 ليس جذرًا:

\ [\ تبدأ (مجموعة) ((35) (ل))

\ cos x = 0 \\\ sin x = \ pm 1 \\\ end (مجموعة) \]

استبدل هذه الأرقام في بنائنا الأصلي:

(± 1)3 +1⋅0−2⋅0=0 ± 1 + 0−0 = 0± 1 = 0

\ start (محاذاة) & ((\ left (\ pm 1 \ right)) ^ (3)) + 1 \ cdot 0-2 \ cdot 0 = 0 \\ & \ pm 1 + 0-0 = 0 \\ & \ م 1 = 0 \ نهاية (محاذاة)

بالتالي، cosx = 0\ cos x = 0 ليس حلاً. لقد أثبتنا ذلك cosx ≠ 0\ cos x \ ne 0. الآن وبعد أن أثبتنا ذلك ، نقسم معادلتنا الأصلية على كوس3 x((cos) ^ (3)) x. لماذا في المكعب؟ لأننا أثبتنا للتو أن معادلتنا الأصلية لها قوة ثالثة:

الخطيئة3 xكوس3 x+الخطيئة2 xcosxكوس3 x−2=0 ر ز3 س + ت ز2 س − 2 = 0

\ start (محاذاة) & \ frac (((\ sin) ^ (3)) x) (((\ cos) ^ (3)) x) + \ frac (((\ sin) ^ (2)) x \ cos x) (((\ cos) ^ (3)) x) -2 = 0 \\ & t ((g) ^ (3)) x + t ((g) ^ (2)) x-2 = 0 \\\ end (محاذاة)

دعنا نقدم متغير جديد:

tgx = ر

إعادة كتابة الهيكل:

ر3 +ر2 −2=0

((t) ^ (3)) + ((t) ^ (2)) - 2 = 0

لدينا معادلة تكعيبية. كيف حلها؟ في البداية ، عندما كنت أقوم بتجميع هذا الفيديو التعليمي ، خططت للتحدث أولاً عن تحلل كثيرات الحدود إلى عوامل وحيل أخرى. لكن في هذه الحالة ، كل شيء أبسط من ذلك بكثير. انظر ، هويتنا المختصرة ، مع المصطلح ذو الدرجة الأعلى ، هي 1. بالإضافة إلى ذلك ، جميع المعاملات هي أعداد صحيحة. وهذا يعني أنه يمكننا استخدام النتيجة الطبيعية لنظرية بيزوت ، والتي تنص على أن جميع الجذور هي قواسم على الرقم -2 ، أي مصطلح مجاني.

السؤال الذي يطرح نفسه: ما يقسم على -2. نظرًا لأن 2 عدد أولي ، فليس هناك الكثير من الخيارات. يمكن أن تكون الأرقام التالية: 1 ؛ 2 ؛ -واحد؛ -2. الجذور السلبية تختفي على الفور. لماذا ا؟ لأن كلاهما أكبر من 0 في القيمة المطلقة ، لذلك ، ر3 ((t) ^ (3)) سيكون أكبر في المعامل من ر2 ((ر) ^ (2)). وبما أن المكعب دالة فردية ، فإن الرقم في المكعب سيكون سالبًا ، و ر2 ((t) ^ (2)) موجب ، وهذا البناء بأكمله ، مع ر = -1ر = -1 و ر = −2لن يكون t = -2 أكبر من 0. اطرح -2 منه واحصل على رقم أقل من 0 بشكل واضح. لم يتبق سوى 1 و 2. دعنا نستبدل كل من هذه الأرقام:

˜ ر = 1 → 1 + 1−2 = 0 → 0 = 0

˜t = 1 \ to \ text () 1 + 1-2 = 0 \ to 0 = 0

حصلنا على المساواة العددية الصحيحة. بالتالي، ر = 1ر = 1 هو الجذر.

ر = 2 → 8 + 4−2 = 0 → 10 0

ر = 2 \ إلى 8 + 4-2 = 0 \ إلى 10 \ ني 0

ر = 2ر = 2 ليس جذرًا.

وفقًا للنتيجة الطبيعية ونفس نظرية بيزوت ، فإن أي كثير حدود يكون جذره x0 ((x) _ (0)) ، تمثل على النحو التالي:

س (س) = (س = x0 ) ف (x)

Q (x) = (x = ((x) _ (0))) P (x)

في حالتنا ، كما x x متغير رر ، وفي الدور x0 ((x) _ (0)) هو جذر يساوي 1. نحصل على:

ر3 +ر2 −2 = (ر − 1) ⋅P (ر)

((t) ^ (3)) + ((t) ^ (2)) - 2 = (t-1) \ cdot P (t)

كيف تجد كثير الحدود ص (ر)ف \ يسار (t \ يمين)؟ من الواضح أنك تحتاج إلى القيام بما يلي:

الفوسفور (ر) = ر3 +ر2 −2 ر − 1

الفوسفور (t) = \ frac (((t) ^ (3)) + ((t) ^ (2)) - 2) (t-1)

نحن نستبدل:

ر3 +ر2 + 0⋅t − 2ر − 1=ر2 + 2t + 2

\ frac (((t) ^ (3)) + ((t) ^ (2)) + 0 \ cdot t-2) (t-1) = ((t) ^ (2)) + 2t + 2

إذن ، كثير الحدود الأصلي مقسوم بدون باقي. وبالتالي ، يمكننا إعادة كتابة مساواتنا الأصلية على النحو التالي:

(ر − 1) ( ر2 + 2t + 2) = 0

(t-1) (((t) ^ (2)) + 2t + 2) = 0

حاصل الضرب يساوي صفرًا عندما يكون أحد العوامل على الأقل يساوي صفرًا. لقد درسنا بالفعل العامل الأول. لنلقِ نظرة على الثانية:

ر2 + 2t + 2 = 0

((t) ^ (2)) + 2t + 2 = 0

من المحتمل أن الطلاب المتمرسين قد فهموا بالفعل أن هذا البناء ليس له جذور ، لكننا ما زلنا نحسب المميز.

د = 4−4⋅2 = 4−8 = −4

د = 4-4 \ cdot 2 = 4-8 = -4

المميز أقل من 0 ، لذا فالتعبير ليس له جذور. في المجموع ، تم تقليل البناء الضخم إلى المساواة المعتادة:

\ [\ تبدأ (مجموعة) ((35) (ل))

t = \ text () 1 \\ tgx = \ text () 1 \\ x = \ frac (\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) (4) + \ text () \! \! \ pi \! \! \ text () k، k \ in Z \\\ end (array) \]

في الختام ، أود أن أضيف بعض التعليقات على المهمة الأخيرة:

1. ما إذا كان الشرط سيكون دائما راضيا cosx ≠ 0\ cos x \ ne 0 ، وما إذا كان يجب إجراء هذا الفحص على الإطلاق. بالطبع ليس دائما. في الحالات التي يكون فيها cosx = 0\ cos x = 0 هو حل للمساواة لدينا ، يجب أن نخرجه من الأقواس ، وبعد ذلك ستبقى المعادلة الكاملة المتجانسة بين قوسين.
2. ما هو قسمة كثير الحدود على كثير الحدود. في الواقع ، معظم المدارس لا تدرس هذا ، وعندما يرى الطلاب مثل هذا الهيكل لأول مرة ، فإنهم يتعرضون لصدمة طفيفة. لكن ، في الواقع ، هذه تقنية بسيطة وجميلة تسهل بشكل كبير حل المعادلات ذات الدرجات الأعلى. بالطبع ، سيتم تخصيص فيديو تعليمي منفصل له ، والذي سأقوم بنشره في المستقبل القريب.

النقاط الرئيسية

المعادلات المثلثية المتجانسة هي موضوع مفضل في الاختبارات المختلفة. تم حلها بكل بساطة - يكفي التدرب مرة واحدة. لتوضيح ما نتحدث عنه ، نقدم تعريفًا جديدًا.

المعادلة المثلثية المتجانسة هي المعادلة التي يتكون فيها كل مصطلح غير صفري من نفس عدد العوامل المثلثية. يمكن أن تكون هذه الجيب أو جيب التمام أو مجموعات منها - طريقة الحل هي نفسها دائمًا.

درجة المعادلة المثلثية المتجانسة هي عدد العوامل المثلثية المدرجة في المصطلحات غير الصفرية. أمثلة:

sinx + 15 cos x = 0

\ sin x + 15 \ text (cos) x = 0 - هوية من الدرجة الأولى ؛

2 sin2x + 5sinxcosx − 8cos2x = 0

2 \ نص (الخطيئة) 2x + 5 \ sin xcosx-8 \ cos 2x = 0 - الدرجة الثانية ؛

sin3x + 2sinxcos2x = 0

\ sin 3x + 2 \ sin x \ cos 2x = 0 - الدرجة الثالثة ؛

sinx + cosx = 1

\ sin x + \ cos x = 1 - وهذه المعادلة غير متجانسة ، حيث توجد وحدة على اليمين - مصطلح غير صفري ، لا توجد فيه عوامل مثلثية ؛

sin2x + 2sinx − 3 = 0

\ sin 2x + 2 \ sin x-3 = 0 هي أيضًا معادلة غير متجانسة. عنصر sin2x\ sin 2x - الدرجة الثانية (لأنك تستطيع أن تتخيل

sin2x = 2sinxcosx

\ الخطيئة 2 س = 2 \ الخطيئة س \ كوس س) ، 2 سينكس 2 \ sin x - الأول ، والمصطلح 3 بشكل عام صفر ، لأنه لا يوجد فيه جيب أو جيب.

مخطط الحل العام

مخطط الحل هو نفسه دائمًا:

دعونا نتظاهر بذلك cosx = 0\ cosx = 0. ثم sinx = ± 1\ sin x = \ pm 1 - هذا يتبع من الهوية الرئيسية. بديل sinx\ sin x و كوسكس\ cos x في التعبير الأصلي ، وإذا كانت النتيجة هراء (على سبيل المثال ، التعبير 5=0 5 = 0) ، انتقل إلى النقطة الثانية ؛

نقسم كل شيء على قوة جيب التمام: cosx ، cos2x ، cos3x ... - يعتمد على قيمة قوة المعادلة. نحصل على المساواة المعتادة مع الظل ، والتي تم حلها بنجاح بعد الاستبدال tgx = t.

tgx = t ستكون الجذور التي تم العثور عليها هي الإجابة على التعبير الأصلي.

مؤسسة تعليمية مهنية متخصصة في ميزانية الدولة لقرية تيلي بجمهورية تيفا

تطوير درس الرياضيات

موضوع الدرس:

"المعادلات المثلثية المتجانسة"

المعلم: أورزهاق

ايلانا ميخائيلوفنا

موضوع الدرس : "المعادلات المثلثية المتجانسة"(وفقًا للكتاب المدرسي لـ A.G. Mordkovich)

مجموعة : ماجستير في زراعة النبات دورة واحدة

نوع الدرس: درس في تعلم مادة جديدة.

أهداف الدرس:

2. تنمية التفكير المنطقي والقدرة على استخلاص النتائج والقدرة على تقييم نتائج الأعمال المنجزة

3. ترسيخ الدقة والشعور بالمسؤولية في نفوس الطلاب وتنشئة دوافع إيجابية للتعلم

معدات الدرس: كمبيوتر محمول ، جهاز عرض ، شاشة ، بطاقات ، ملصقات علم المثلثات: قيم الدوال المثلثية ، الصيغ الأساسية لعلم المثلثات.

مدة الدرس: 45 دقيقة.

هيكل الدرس:

	العنصر الهيكلي للدرس	PD	(دقيقة)	ميزات منهجية ، تعليمات موجزة لإجراء مرحلة الدرس	نشاط المعلم	الأنشطة الطلابية
	تنظيم الوقت
	التحكم في حضور الطلاب.	α 0			يتحقق المعلم من جاهزية الدرس	الحضور تقرير المتغيبين عن الدرس.
	تحديث المعرفة الأساسية
	فحص الواجبات المنزلية	α2		تكرار المفاهيم الأساسية	يجعل التفاف	3 طلاب على السبورة يكتبون الحل. يتم التحقق من البقية
	تكوين معرفة جديدة
	لحظة تحفيزية	α2		على الشاشة أمثلة على المعادلات المثلثية	يسأل اسئلة	إجابه
	شرح الموضوع الجديد	α 1		على الشاشة الشرائح مع حل المعادلات المثلثية المتجانسة	يشرح المعلم الموضوع	يستمع الطلاب ويكتبون

	حصره
	حل الأمثلة	α2		يعمل الطلاب الضعفاء مع المعلم. المتعلمين الأقوياء يعملون بشكل مستقل.	يعمل مع الطلاب الضعفاء على السبورة.	حل الأمثلة
	عمل مستقل متمايز	α2		اعطِ البطاقات	يجعل التفاف. السيطرة على المتعلمين الضعفاء	حل الأمثلة
	تلخيص	α 1		تلخيص الدرس. الإبلاغ عن الدرجات للطلاب	يلخص المعلم الدرجات ويبلغ عنها	المتعلمون يستمعون
	إصدار الواجب البيتي	α 1		أعط الطلاب واجبات منزلية	يعطي المعلم نبذة مختصرة عن الواجبات المنزلية	اكتب واجباتك المدرسية

خلال الفصول.

1. لحظة تنظيمية (دقيقة واحدة)

تحقق من استعداد الطلاب للدرس ، واستمع إلى المجموعة المناوبة.

2. تفعيل المعرفة الأساسية (3 دقائق)

2.1. فحص الواجبات المنزلية.

ثلاثة طلاب يقررون في السبورة رقم 18.8 (ج ، د) ؛ رقم 18.19. يقوم باقي الطلاب بمراجعة الأقران.

رقم 18.8 (ج) 5 cos 2 x + 6 sin x - 6 = 0 5 (1 - sin x) + 6 sin x - 6 = 0 5-5 sin 2 x + 6 sin x - 6 = 0 5 sin 2 x + 6 sin x - 1 = 0 5 sin 2 x - 6 sin x + 1 = 0 ض = sinx ، 5 ع 2 - 6 ز + 1 = 0 z 1 \ u003d 1، sin x \ u003d 1، x \ u003d +2 π n، n Z ض 2 \ u003d ، الخطيئة س \ u003d ، س \ u003d (-1) ن arcsin + π n ، n Z الإجابة: x \ u003d +2 π n، x \ u003d (-1) n arcsin + π n، n Z	رقم 18.8 (ز) 4 sin 3x + cos 2 3x = 4 4 sin 3x + (1-sin 2 3x) - 4 = 0 الخطيئة 2 3 س + 4 الخطيئة 3 س - 3 = 0 الخطيئة 2 3 س - 4 الخطيئة 3 س + 3 = 0 ض = الخطيئة 3x ، ض 2-4 ع + 3 = 0 z1 = 3 لا تفي بالشرط ض 2 \ u003d 1 ، الخطيئة 3x \ u003d 1 ، 3x \ u003d +2 π n ، n Z X = + π n ، n Z الجواب: x = + n، n Z
رقم 18-19 (ج) كوس = 2 س - = ، ن Z س 1 = ، ن Z س 2 = ، ن Z أ) ب) 0 ، ، ج) - د) - ، 0 ،

3. تعلم مادة جديدة (13 دقيقة)

3.1. تحفيز الطلاب.

الطلاب مدعوون لتسمية المعادلات التي يعرفونها ويمكنهم حلها (الشريحة رقم 1)

1) 3 كوس 2 س - 3 كوس س \ u003d 0 ؛

2) كوس (س - 1) = ؛

3) 2 sin 2 x + 3 sin x \ u003d 0 ؛

4) 6 sin 2 x - 5 cos x + 5 = 0 ؛ 12

5) sin x cos x + cos² x = 0 ؛

6) tg + 3ctg = 4.

7) 2sin x - 3cos x = 0 ؛

8) الخطيئة 2 x + cos 2 x \ u003d 0 ؛

9) sin²x - 3sinx cos x + 2cos²x \ u003d 0.

لن يتمكن الطلاب من تسمية حل المعادلات 7-9.

3.2 شرح الموضوع الجديد.

المعلم: المعادلات التي لا يمكنك حلها شائعة جدًا في الممارسة. يطلق عليهم المعادلات المثلثية المتجانسة. اكتب موضوع الدرس: "المعادلات المثلثية المتجانسة". (الشريحة رقم 2)

تعريف المعادلات المتجانسة على شاشة جهاز العرض. (الشريحة رقم 3)

فكر في طريقة لحل المعادلات المثلثية المتجانسة (الشريحة رقم 4 ، 5)

أنا درجة	الدرجة الثانية
أ sinx + ب cosx = 0 (أ ، ب ≠ 0). لنقسم كلا طرفي حد المعادلة على حد على cosx ≠ 0. نحصل على: a tgx + b = 0 Tgx = - - معادلة مثلثية بسيطة	أ sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0. 1) إذا كانت a ≠ 0 ، نقسم كلا الجزأين من حد المعادلة على حد على cos²x ≠ 0 نحن نحصل: a tg²x + b tgx + c = 0 ، يمكننا الحل بإدخال متغير جديد z = tgx 2) إذا كان a = 0 ، إذن نحن نحصل: b sinx cosx + c cos²x = 0 ، حلها بالتحليل إلى عوامل
عند قسمة معادلة متجانسة a sinx + b cosx = 0 حتى cos x 0	عند قسمة المعادلة المتجانسة ، a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0 على cos 2 × ≠ 0 لم تضيع جذور هذه المعادلة.

تحليل أمثلة الحل

مثال 1 حل المعادلة 2sinس - 3cos x = 0 ؛ (الشريحة رقم 6)

هذه معادلة متجانسة من الدرجة الأولى. نقسم كلا طرفي حد المعادلة على حد على cosس ، نحصل على:

2tg x - 3 = 0

tg س =

س = arctg + πn ، n Z.

الجواب: x \ u003d arctg + π n، n Z.

مثال 2 . حل المعادلة sin 2س + كوس 2 س = 0 ؛ (الشريحة رقم 7)

هذه معادلة متجانسة من الدرجة الأولى. نقسم طرفي حد المعادلة على حد على cos 2س ، نحصل على:

tg2 س + 1 = 0

tg2 س = - 1

2x = arctg (-1) + n ، nZ.

2x = - + n ، nZ.

س = - + ، ن Z.

الجواب: x = - +، n Z.

مثال 3 . حل المعادلة sin²x - 3sinx cos x + 2cos²x \ u003d 0. (الشريحة رقم 8)

كل مصطلح في المعادلة له نفس الدرجة. هذه معادلة متجانسة من الدرجة الثانية. نقسم كلا طرفي حد المعادلة على حد إلى cos 2 × ≠ 0 ، نحصل على:

tg 2 x-3tg x + 2 = 0. لنقدم متغيرًا جديدًا z = tg x ، نحصل عليه

ض 2 - 3 ع + 2 = 0

ض 1 = 1 ، ض 2 = 2

لذلك إما tg x = 1 أو tg x = 2

تان س = 1 x \ u003d arctg 1 + πn ، n Z س = + πn ، ن Z	تان س = 2 x \ u003d arctan 2 + πn ، n Z
الإجابة: x \ u003d + πn، x \ u003d arctg 2 + πn، n Z

4. توحيد المواد المدروسة (10 دقائق)

يحلل المعلم بالتفصيل أمثلة مع الطلاب الضعفاء على السبورة ، ويحل الطلاب الأقوياء بشكل مستقل في دفاتر الملاحظات.

رقم 18.12 (أ)	18.24 (أ)	18.24 (ب)
sin 2 x + 2 sin x cos x - 3 cos² x = 0 tg 2 x + 2 tg x - 3 = 0 ض = تان س ض 2 + 2 ض - 3 = 0 ض 1 = 3 ؛ ض 2 \ u003d - 1. tg x \ u003d 3 ، x \ u003d arctg 3 + πn ، nض tg x \ u003d -1 ، x \ u003d arctg (-1) + πn ، nض س = + πn ، ن Z الجواب: x \ u003d arctg 3 + πn ، X = + πn ، n Z	الخطيئة 2 x \ u003d cos 2 x tg2x = 1 2x = arctg 1 + n، n Z 2x = + n ، n Z س = + ، ن Z الجواب: x = +، n Z	Tg 3 س = 1 tg 3 س = 3 س = + n ، ن Z س = + ، ن Z

5. عمل مستقل متمايز (15 دقيقة)

يصدر المعلم بطاقات بمهام من ثلاثة مستويات: أساسي (أ) ، متوسط ​​(ب) ، متقدم (ج). يختار الطلاب بأنفسهم أمثلة المستوى التي سيحلونها.

المستوى أ 2 sin x + 2 cos x = 0 cos x + 2 sin x = 0

المستوى ب 2 sin x + 2 cos x = 0 6 sin 2 x - 5 sin x cos x + cos 2 x \ u003d 0

المستوى ج 5 sin 2 x + 2 sinx cos x - cos 2 x \ u003d 1 2 sin x - 5 cos x = 3 1 - 4 sin 2x + 6 cos 2 x = 0

6. تلخيص. انعكاس النشاط التربوي في الدرس (دقيقتان)

أجب على الأسئلة:

ما أنواع المعادلات المثلثية التي درسناها؟

كيف يتم حل معادلة متجانسة من الدرجة الأولى؟

كيف يتم حل معادلة متجانسة من الدرجة الثانية؟

اكتشفت …

لقد تعلمت …

ضع علامة على العمل الجيد في الدرس الفردي للطلاب ، وحدد العلامات.

7. الواجب المنزلي. (1 دقيقة)

إبلاغ الطلاب بالواجب المنزلي ، وإعطاء نبذة مختصرة عن تنفيذها.

رقم 18.12 (ج ، د) ، رقم 18-24 (ج ، د) ، رقم 18-27 (أ)

مراجع:

الشريحة 2

"المعادلات المثلثية المتجانسة"

1. معادلة بالصيغة a sin x + b cos x \ u003d 0 ، حيث a ≠ 0، b ≠ 0 تسمى معادلة مثلثية متجانسة من الدرجة الأولى. 2. معادلة بالصيغة a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x \ u003d 0 ، حيث a ≠ 0، b ≠ 0، c ≠ 0 تسمى معادلة مثلثية متجانسة من الدرجة الثانية. تعريف:

أنا درجة a sinx + b cosx = 0 (أ ، ب ≠ 0). قسّم كلا الجزأين من حد المعادلة حسب المصطلح على cosx ≠ 0. نحصل على: a tgx + b = 0 tgx = -b / a أبسط معادلة مثلثية عند قسمة المعادلة المتجانسة a sinx + b cosx = 0 على cos x 0 لم تضيع جذور هذه المعادلة. طريقة لحل المعادلات المثلثية المتجانسة

a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0. 1) إذا كانت a ≠ 0 ، قسّم كلا الجزأين من حد المعادلة على الحد على cos ² x ≠ 0 نحصل على: a tg ² x + b tgx + c = 0 ، نحن حل عن طريق إدخال متغير جديد z \ u003d tgx 2) إذا كانت a \ u003d 0 ، ثم نحصل على: b sinx cosx + c cos ² x \ u003d 0 ، نحلها عن طريق التحليل / عند قسمة المعادلة المتجانسة a sin ² x + b sinx cosx + c cos ² x \ u003d 0 بواسطة cos 2 x ≠ 0 لم تضيع جذور هذه المعادلة. الدرجة الثانية

هذه معادلة متجانسة من الدرجة الأولى. نقسم كلا الجزأين من مصطلح المعادلة حسب المصطلح على cos x ، نحصل على: مثال 1. حل المعادلة 2 sin x - 3 cos x \ u003d 0

هذه معادلة متجانسة من الدرجة الأولى. قسّم كلا الجزأين من حد المعادلة على حد على cos 2 x ، نحصل على: مثال 2. حل المعادلة sin 2 x + cos 2 x = 0

كل مصطلح في المعادلة له نفس الدرجة. هذه معادلة متجانسة من الدرجة الثانية. دعنا نقسم كلا طرفي مصطلح المعادلة على حد في os 2 x ≠ 0 ، نحصل على: مثال 3. حل المعادلة sin ² x - 3 sin x cos x + 2 cos ² x = 0

أجب عن الأسئلة: - ما أنواع المعادلات المثلثية التي درسناها؟ كيف تحل معادلة متجانسة من الدرجة الأولى؟ كيف تحل معادلة متجانسة من الدرجة الثانية؟ تلخيص

تعلمت ... - تعلمت ... تأمل

رقم 18.12 (ج ، د) ، رقم 18-24 (ج ، د) ، رقم 18.27 (أ) الواجب المنزلي.

شكرا لك على الدرس! غودفيلاز!

معاينة:

التحليل الذاتي لدرس المعلم في الرياضيات أورجاك أ.م.

مجموعة : ماجستير في زراعة النبات دورة واحدة.

موضوع الدرس : المعادلات المثلثية المتجانسة.

نوع الدرس : درس تعلم مادة جديدة.

أهداف الدرس:

1. لتكوين مهارات الطلاب في حل المعادلات المثلثية المتجانسة ، فكر في طرق حل المعادلات المتجانسة للمستويات الأساسية والمتقدمة من التعقيد.

2. تنمية التفكير المنطقي والقدرة على استخلاص النتائج والقدرة على تقييم نتائج الأعمال المنجزة.

3. ترسيخ الدقة والشعور بالمسؤولية في نفوس الطلاب وتنشئة دوافع إيجابية للتعلم.

تم إجراء الدرس وفقًا للتخطيط الموضوعي. يعكس موضوع الدرس الجزء النظري والعملي من الدرس وهو مفهوم للطلاب. تهدف جميع مراحل الدرس إلى تحقيق هذه الأهداف ، مع مراعاة خصائص المجموعة.

هيكل الدرس.

1. اشتملت اللحظة التنظيمية على التنظيم الأولي للمجموعة ، والبداية التعبوية للدرس ، وخلق راحة نفسية ، وإعداد الطلاب للاستيعاب النشط والواعي للمواد الجديدة. تم فحص إعداد المجموعة وكل طالب بصريًا. المهمة التعليمية للمرحلة: صالموقف الإيجابي للدرس.

2. المرحلة التالية هي تحقيق المعرفة الأساسية للطلاب. تتمثل المهمة الرئيسية لهذه المرحلة في استعادة ذاكرة الطلاب المعرفة اللازمة لدراسة المواد الجديدة. تم التنفيذ في شكل فحص الواجب المنزلي على السبورة.

3. (المرحلة الرئيسية من الدرس) تكوين معرفة جديدة. في هذه المرحلة ، تم تنفيذ المهام التعليمية التالية: توفير الإدراك والفهم والحفظ الأولي للمعرفة وطرق العمل والصلات والعلاقات في موضوع الدراسة.

تم تسهيل ذلك من خلال: خلق حالة مشكلة ، طريقة المحادثات مع استخدام تكنولوجيا المعلومات والاتصالات. مؤشر فعالية تعلم الطلاب للمعرفة الجديدة هو صحة الإجابات والعمل المستقل والمشاركة النشطة للطلاب في العمل.

4. المرحلة التالية هي التثبيت الأولي للمادة. والغرض منها هو إنشاء التغذية الراجعة للحصول على معلومات حول درجة فهم المادة الجديدة ، واكتمالها ، وصحة استيعابها ، وتصحيح الأخطاء المكتشفة في الوقت المناسب. لهذا استخدمت: حل المعادلات المثلثية البسيطة المتجانسة. هنا ، تم استخدام مهام من الكتاب المدرسي ، والتي تتوافق مع نتائج التعلم المطلوبة. تم تنفيذ الدمج الأولي للمواد في جو من حسن النية والتعاون. في هذه المرحلة ، عملت مع طلاب ضعفاء ، والباقي قرروا بأنفسهم ، يليها فحص ذاتي من المجلس.

5. كانت اللحظة التالية من الدرس هي التحكم الأساسي في المعرفة. المهمة التعليمية للمرحلة: الكشف عن جودة ومستوى إتقان المعرفة وطرق العمل ، وضمان تصحيحها. هنا قمت بتطبيق نهج متباين للتعلم ، وقدمت للأطفال اختيار مهام من ثلاثة مستويات: أساسي (أ) ، متوسط ​​(ب) ، متقدم (ج). قمت بالالتفاف ووضعت علامة على الطلاب الذين اختاروا المستوى الأساسي. قام هؤلاء الطلاب بالعمل تحت إشراف المعلم.

6. في المرحلة التالية - التلخيص ، تم حل مهام تحليل وتقييم نجاح تحقيق الهدف. تلخيصًا للدرس ، قمت في نفس الوقت بعمل انعكاس للأنشطة التعليمية. تعلم الطلاب كيفية حل المعادلات المثلثية المتجانسة. التقييمات أعطيت.

7. المرحلة النهائية هي واجب منزلي. المهمة التعليمية: تزويد الطلاب بفهم محتوى وطرق أداء الواجب المنزلي. أعطى تعليمات موجزة عن الواجب المنزلي.

خلال الدرس ، أتيحت لي الفرصة لتحقيق الأهداف التعليمية والتنموية والتعليمية. أعتقد أنه تم تسهيل ذلك من خلال حقيقة أن الرجال أظهروا نشاطًا منذ الدقائق الأولى من الدرس. كانوا مستعدين لتصور موضوع جديد. كان الجو في المجموعة مواتًا نفسياً.