حساب مساحة الدائرة عبر الإنترنت. مساحة الدائرة: الصيغة. ما هي مساحة الدائرة المقيدة والمدرجة في مربع، مثلث قائم ومتساوي الساقين، مستطيل، شبه منحرف متساوي الساقين

الدائرة عبارة عن مجموعة مرئية من العديد من النقاط التي تقع على نفس المسافة من المركز. للعثور على مساحتها، عليك أن تعرف نصف القطر والقطر وعدد π والمحيط.

الكميات المستخدمة في حساب مساحة الدائرة

المسافة التي تحددها النقطة المركزية للدائرة وأي نقطة من نقاط الدائرة تسمى نصف قطر هذا الشكل الهندسي. أطوال جميع أنصاف أقطار الدائرة الواحدة متساوية. الجزء الواقع بين أي نقطتين من الدائرة والذي يمر عبر النقطة المركزية يسمى القطر. طول القطر يساوي طول نصف القطر مضروبًا في 2.

لحساب مساحة الدائرة، يتم استخدام قيمة الرقم π. هذه القيمة تساوي نسبة المحيط إلى طول قطر الدائرة ولها قيمة ثابتة. Π = 3.1415926. يتم حساب المحيط باستخدام الصيغة L=2πR.

أوجد مساحة الدائرة باستخدام نصف القطر

وبالتالي فإن مساحة الدائرة تساوي حاصل ضرب الرقم π ونصف قطر الدائرة مرفوعًا للقوة الثانية. على سبيل المثال، لنأخذ طول نصف قطر الدائرة 5 سم، فإن مساحة الدائرة S ستكون 3.14*5^2=78.5 متر مربع. سم.

مساحة الدائرة من خلال القطر

ويمكن أيضًا حساب مساحة الدائرة من خلال معرفة قطر الدائرة. في هذه الحالة، S = (π/4)*d^2، حيث d هو قطر الدائرة. لنأخذ نفس المثال حيث نصف القطر 5 سم فيكون قطرها 5*2=10 سم مساحة الدائرة S = 3.14/4*10^2=78.5 سم مربع. والنتيجة، التي تساوي مجموع الحسابات في المثال الأول، تؤكد صحة الحسابات في كلتا الحالتين.

مساحة الدائرة عبر المحيط

إذا تم تمثيل نصف قطر الدائرة من حيث المحيط، فستكون الصيغة العرض التالي: R=(L/2)π. دعنا نستبدل هذا التعبير في صيغة مساحة الدائرة ونتيجة لذلك نحصل على S=(L^2)/4π. لنأخذ مثالاً يكون محيطه 10 سم، إذن مساحة الدائرة هي S = (10^2)/4*3.14=7.96 متر مربع. سم.

مساحة الدائرة بطول ضلع المربع المدرج

إذا كان المربع محفورا في دائرة، فإن طول قطر الدائرة يساوي طول قطر المربع. بمعرفة حجم ضلع المربع، يمكنك بسهولة معرفة قطر الدائرة باستخدام الصيغة: d^2=2a^2. بمعنى آخر، القطر مرفوعًا للقوة الثانية يساوي ضلع المربع مرفوعًا للقوة الثانية مضروبًا في 2.

بعد حساب طول قطر الدائرة، يمكنك معرفة نصف قطرها، ثم استخدام إحدى الصيغ لتحديد مساحة الدائرة.

مساحة قطاع الدائرة

القطاع هو جزء من دائرة محدودة بنصف قطرين ويوجد بينهما قوس. لمعرفة مساحتها، تحتاج إلى قياس زاوية القطاع. بعد ذلك، تحتاج إلى إنشاء كسر، سيكون بسطه هو قيمة زاوية القطاع، وسيكون مقامه 360. ولحساب مساحة القطاع، يجب أن تكون القيمة التي تم الحصول عليها عن طريق قسمة الكسر يتم ضربها في مساحة الدائرة، ويتم حسابها باستخدام إحدى الصيغ المذكورة أعلاه.

- هذا شخصية مسطحةوهي عبارة عن مجموعة من النقاط متساوية البعد عن المركز. جميعهم على نفس المسافة ويشكلون دائرة.

يسمى الجزء الذي يصل مركز الدائرة بالنقاط الموجودة على محيطها نصف القطر. في كل دائرة، جميع أنصاف الأقطار متساوية مع بعضها البعض. يسمى الخط المستقيم الذي يصل بين نقطتين في الدائرة ويمر بمركزها قطر الدائرة. يتم حساب صيغة مساحة الدائرة باستخدام ثابت رياضي - الرقم π..

هذا مثير للاهتمام : الرقم π. يمثل نسبة محيط الدائرة إلى طول قطرها وهي قيمة ثابتة. تم استخدام القيمة π = 3.1415926 بعد عمل L. Euler في عام 1737.

يمكن حساب مساحة الدائرة باستخدام الثابت π. ونصف قطر الدائرة. تبدو صيغة مساحة الدائرة من حيث نصف القطر كما يلي:

دعونا نلقي نظرة على مثال لحساب مساحة الدائرة باستخدام نصف القطر. دعونا نحصل على دائرة نصف قطرها R = 4 سم.

مساحة دائرتنا ستكون 50.24 مترًا مربعًا. سم.

هناك صيغة مساحة الدائرة من خلال القطر. كما أنه يستخدم على نطاق واسع لحساب المعلمات الضرورية. يمكن استخدام هذه الصيغ للعثور على.

لنأخذ مثالاً لحساب مساحة دائرة من خلال قطرها، ومعرفة نصف قطرها. لنحصل على دائرة نصف قطرها R = 4 سم. أولًا، لنوجد القطر، وهو كما هو معروف ضعف نصف القطر.


الآن نستخدم البيانات كمثال لحساب مساحة الدائرة باستخدام الصيغة أعلاه:

كما ترون، فإن النتيجة هي نفس الإجابة كما في الحسابات الأولى.

ستساعدك معرفة الصيغ القياسية لحساب مساحة الدائرة على تحديدها بسهولة في المستقبل منطقة القطاعوالعثور بسهولة على القيم المفقودة.

نحن نعلم بالفعل أن صيغة مساحة الدائرة يتم حسابها بضرب القيمة الثابتة π في مربع نصف قطر الدائرة. يمكن التعبير عن نصف القطر من حيث المحيط واستبدال التعبير في صيغة مساحة الدائرة من حيث المحيط:
الآن دعونا نستبدل هذه المساواة في صيغة حساب مساحة الدائرة ونحصل على صيغة لإيجاد مساحة الدائرة باستخدام المحيط

لنفكر في مثال لحساب مساحة الدائرة باستخدام المحيط. دع الدائرة التي طولها l = 8 cm تعوض بالقيمة في الصيغة المشتقة:

المساحة الإجمالية للدائرة ستكون 5 أمتار مربعة. سم.

مساحة دائرة محاطة بمربع

من السهل جدًا العثور على مساحة الدائرة المحيطة بالمربع.

للقيام بذلك، ما عليك سوى جانب المربع ومعرفة الصيغ البسيطة. سيكون قطر المربع مساوياً لقطر الدائرة المقيدة. بمعرفة الضلع أ يمكن إيجاده باستخدام نظرية فيثاغورس: من هنا.
بعد أن نجد القطر، يمكننا حساب نصف القطر: .
وبعد ذلك سنعوض كل شيء في الصيغة الأساسية لمساحة الدائرة المحيطة بالمربع:

تعليمات

استخدم Pi للعثور على نصف القطر الساحة الشهيرةدائرة. يحدد هذا الثابت النسبة بين قطر الدائرة وطول حدها (الدائرة). طول الدائرة هو أقصى مساحة للمستوى الذي يمكن تغطيته بمساعدته، وقطرها يساوي نصفي قطر، وبالتالي فإن المساحة ونصف القطر يرتبطان أيضًا ببعضهما البعض بنسبة يمكن التعبير عنها من خلال رقم بي. يتم تعريف هذا الثابت (π) على أنه المساحة (S) ومربع نصف القطر (r) للدائرة. ويترتب على ذلك أنه يمكن التعبير عن نصف القطر بـ الجذر التربيعيمن حاصل قسمة المساحة على Pi: r=√(S/π).

لفترة طويلةوترأس إراستوثينس مكتبة الإسكندرية أشهر المكتبات العالم القديم. بالإضافة إلى حساب حجم كوكبنا، قام بعدد من الاختراعات والاكتشافات المهمة. لقد اخترع طريقة بسيطة لتحديد الأعداد الأولية، تسمى الآن "منخل إيراستوفين".

ورسم "خريطة العالم"، أظهر فيها جميع أجزاء العالم التي عرفها اليونانيون القدماء في ذلك الوقت. تعتبر الخريطة واحدة من أفضل الخرائط في وقتها. طور نظام خطوط الطول والعرض والتقويم الذي شمله سنوات كبيسة. اخترع الكرة الحلقية، وهو جهاز ميكانيكي استخدمه علماء الفلك الأوائل لتوضيح الحركة الظاهرة للنجوم في السماء والتنبؤ بها. كما قام بتجميع كتالوج النجوم الذي ضم 675 نجمًا.

مصادر:

• كان العالم اليوناني إراتوستينس القيرواني أول من قام بحساب نصف قطر الأرض في العالم
• إراتوستينس "حساب محيط الأرض".
• إراتوستينس

• طول القطر هو قطعة تمر بمركز الدائرة وتربط بين نقطتين متقابلتين من الدائرة، أو نصف القطر قطعة تكون إحدى أقصى نقطتها في مركز الدائرة، والثانية هي على قوس الدائرة. لذلك القطر يساوي الطولنصف القطر مضروبًا في اثنين.
• قيمة الرقم π. هذه القيمة ثابتة - جزء غير منطقي ليس له نهاية. ومع ذلك، فهي ليست دورية. هذا الرقم يعبر عن النسبة محيطإلى نصف قطرها. لحساب مساحة الدائرة في مهام الدورة المدرسية، يتم استخدام قيمة π، لأقرب جزء من مائة - 3.14.

صيغ للعثور على مساحة الدائرة أو قطاعها أو قطاعها

اعتمادا على الظروف المحددة للمشكلة الهندسية، اثنان صيغ للعثور على مساحة الدائرة:

لتحديد أسهل طريقة للعثور على مساحة الدائرة، تحتاج إلى تحليل شروط المهمة بعناية.

تتضمن دورة الهندسة المدرسية أيضًا مهام حساب مساحة الأجزاء أو القطاعات، والتي تستخدم لها صيغ خاصة:

1. القطاع هو جزء من دائرة تحدها دائرة وزاوية يقع رأسها في المركز. يتم حساب مساحة القطاع باستخدام الصيغة: S = (π*r 2 /360)*A;
   • ص - نصف القطر؛
   • A هو مقدار الزاوية بالدرجات.
   • ص - نصف القطر؛
   • ع - طول القوس.

هناك أيضًا خيار ثانٍ S = 0.5*p*r;

2. القطعة هي جزء محدود بقسم من دائرة (وتر) ودائرة. يمكن إيجاد مساحتها باستخدام الصيغة S=(π*r 2 /360)*A ± س ∆ ;

• ص - نصف القطر؛
• أ - قيمة الزاوية بالدرجات؛
• S ∆ - مساحة المثلث الذي تكون أضلاعه نصف قطر الدائرة ووترها؛ في هذه الحالة، يقع أحد رؤوسها في وسط الدائرة، والآخران عند نقاط اتصال قوس الدائرة بالوتر. نقطة مهمة- توضع علامة "ناقص" إذا كانت قيمة A أقل من 180 درجة، وعلامة "زائد" إذا كانت أكثر من 180 درجة.

لتبسيط حل مشكلة هندسية، يمكنك إجراء حساب مساحة الدائرة على الانترنت. سيقوم برنامج خاص بإجراء الحساب بسرعة ودقة في بضع ثوانٍ. كيفية حساب مساحة الأشكال على الانترنت؟ للقيام بذلك، تحتاج إلى إدخال البيانات الأولية المعروفة: نصف القطر، القطر، الزاوية.

في الهندسة في كل مكانهي مجموعة من نقاط المستوى التي تبتعد عن نقطة واحدة تسمى مركزه بمسافة لا تزيد عن نقطة معينة تسمى نصف القطر. في هذه الحالة، الحد الخارجي للدائرة هو دائرة، وفي حالة إذا كان طول نصف القطر صفرًا، دائرةيتدهور إلى حد ما.

تحديد مساحة الدائرة

اذا كان ضروري مساحة الدائرةيمكن حسابها باستخدام الصيغة:

س

ص 2

د 2

ص- شعاع الدائرة

د- قطر الدائرة

س- مساحة الدائرة

π - 3.14

هذا الشكل الهندسيغالبًا ما توجد في كل من التكنولوجيا والهندسة المعمارية. يقوم مصممو الآلات والآليات بتطوير أجزاء مختلفة، وأقسام العديد منها هي بالضبط دائرة. على سبيل المثال، هذه هي مهاوي، وقضبان، وقضبان، واسطوانات، والمحاور، والمكابس، وما إلى ذلك. في تصنيع هذه الأجزاء الفراغات من مواد متعددة(المعادن، الخشب، البلاستيك)، وأقسامها تمثل أيضًا بالضبط دائرة. وغني عن القول أن المطورين غالبًا ما يتعين عليهم إجراء الحسابات مساحة الدائرةمن خلال القطر أو نصف القطر، وذلك باستخدام بسيطة الصيغ الرياضية، اكتشف في العصور القديمة.

بالضبط إذن عناصر مستديرةبدأ استخدامه بنشاط وعلى نطاق واسع في الهندسة المعمارية. ومن أبرز الأمثلة على ذلك السيرك، وهو نوع من المباني المصممة لاستضافة الفعاليات الترفيهية المختلفة. تتشكل ساحاتهم دائرة، وقد بدأ بناؤها لأول مرة في العصور القديمة. الكلمة نفسها " سيرك"مترجم من لغة لاتينيةوسائل " دائرة" إذا ذهبوا في العصور القديمة إلى السيرك عروض مسرحيةوعقدت معارك المصارع، وهي الآن بمثابة مكان تقام فيه عروض السيرك بشكل حصري تقريبًا بمشاركة المدربين والألعاب البهلوانية والسحرة والمهرجين، وما إلى ذلك. يبلغ القطر القياسي لساحة السيرك 13 مترًا، وهذا ليس على الإطلاق عرضي: الحقيقة هي أنه هو الذي يوفر الحد الأدنى من المعلمات الهندسية اللازمة للساحة التي يمكن لخيول السيرك أن تركض فيها في دائرة. إذا حسبنا مساحة الدائرةمن خلال القطر يتبين أن هذه القيمة لساحة السيرك تبلغ 113.04 مترًا مربعًا.

العناصر المعمارية التي يمكن أن تأخذ شكل دائرة هي النوافذ. بالطبع، في معظم الحالات تكون مستطيلة أو مربعة (يرجع ذلك إلى حد كبير إلى حقيقة أن هذا أسهل لكل من المهندسين المعماريين والبنائين)، ولكن في بعض المباني يمكنك أيضًا العثور على نوافذ مستديرة. علاوة على ذلك، في مثل هذا مركبات، مثل السفن الجوية والبحرية والنهرية، غالبًا ما تكون هكذا تمامًا.

ليس من غير المألوف استخدام العناصر المستديرة لإنتاج الأثاث، مثل الطاولات والكراسي. حتى أن هناك مفهوم " طاوله دائريه الشكل "، وهو ما يعني مناقشة بناءة، يتم خلالها مناقشة شاملة لمختلف القضايا موضوعات هامةويتم تطوير طرق حلها. أما بالنسبة لتصنيع أسطح العمل نفسها، والتي لها شكل دائري، يتم استخدام أدوات ومعدات متخصصة لإنتاجها، بشرط مشاركة العمال ذوي المؤهلات العالية إلى حد ما.