Мъж и жена 

Как да разберете страните на триъгълник, ако площта е известна. Как да изчислим площта на триъгълник

Някои от задачите в геометрията, или по-точно в планиметрията, изискват намиране на лицето на дадена фигура. Площта на всяка фигура може да бъде: крайна целпроблем и междинното изчисление, необходимо за заместване в по-сложна формула. Често при такива задачи се иска да намерите площта на триъгълник. Първоначалните данни могат да варират. В някои случаи е известна една страна на триъгълника и стойността на начертаната към нея височина, в други - периметърът на триъгълника и т.н.

Да предположим, че сте помолени да намерите площта на триъгълник, ако са известни три страни. За да се намери площта на такъв триъгълник, се използва формулата на Heron. За да определите площта с помощта на тази формула, първо трябва да изчислите полупериметъра на триъгълника (n). Познавайки значенията и на трите страни, това е лесно да се направи. Трябва да сумирате всички страни на триъгълника - това ще бъде неговият периметър и след това разделете получената стойност на две. След това е необходимо да се извадят стойностите на дължината на всеки от трите от стойността на полупериметъра. определени странитриъгълник, тоест извадете a от n, след това извадете b от n и накрая извадете c от n.

Получените три разлики трябва да се умножат помежду си и този продукт отново да се умножи по стойността на полупериметъра. След като извършите всички горепосочени действия и получите резултата от умножението, е необходимо да извлечете от този резултат Корен квадратен. Числото, което излиза след изваждане на квадратен корен, ще бъде площта на дадения триъгълник. Ако го запишем накратко, формулата за площта на триъгълник ще бъде: площ (S) = квадратен корен от (n*(n-a) *(n-b) *(n-c)). Както може да се разбере от формулата, въпросът за намиране на триъгълник с известни стойностистрани много лесно.

Например, как да намерите площта на триъгълник, ако са известни 3 страни: страна a е 3 сантиметра, страна b е 4 сантиметра и страна c е 2 сантиметра. Периметърът на този триъгълник ще бъде равен на a + b + c = 3 сантиметра + 4 сантиметра + 2 сантиметра = 9 см. Така че полупериметърът е 9: 2 = 4,5 сантиметра. Получаваме: S = корен квадратен от (4,5 сантиметра * (4,5 сантиметра - 3 сантиметра) * (4,5 сантиметра - 4 сантиметра) * (4,5 сантиметра - 2 сантиметра)) = 2,9 квадратни сантиметра

Ами ако стойностите на страните не само са известни, но също така е посочено, че са равни според условията на проблема? В този случай, как да намерите площта на триъгълник, ако всички страни са известни и те също са равни? Можете, разбира се, да го изчислите и с помощта на формулата на Херон, обсъдена по-горе, но защо ненужни изчисления, ако за такъв триъгълник е получена друга формула, която е много по-проста от формулата на Херон. Използвайки тази формула, първо трябва да изчислите квадратния корен от числото 3, след това да увеличите стойността на дължината на страната на триъгълника на втора степен, да умножите тази стойност на втора степен с корена на числото 3 и да разделите полученото произведение с числото 4. Ще получите лицето на дадения триъгълник. Когато е написана, тази формула изглежда така: S=(a^2*root(3)) /4

Нека има триъгълник с равни дължини на страните, равни на 3 сантиметра. Използвайки тази формула, можете да получите площта на такъв триъгълник: S=(3^2*корен(3)) /4=3,9 квадратни сантиметра. За да проверите дали площта на определен триъгълник е изчислена правилно или не, можете да извършите допълнителни изчисления, като използвате формулата на Херон и да сравните резултатите.

Полупериметър (n) = (3+3+3) /2 = 4,5 сантиметра. Според формулата на Heron намираме: S = корен квадратен от (4,5 сантиметра * (4,5 сантиметра - 3 сантиметра) * (4,5 сантиметра - 3 сантиметра) * (4,5 сантиметра - 3 сантиметра)) = 3,9 квадратни сантиметра. И двете стойности на площта, получени по различни формули, съвпадат. Това означава, че площта на триъгълника е определена правилно. Когато решавате други задачи, трябва да вземете предвид данните в условието и да използвате формулата, съответстваща на тези данни.

За да определите площта на триъгълник, можете да използвате различни формули. От всички методи най-лесният и най-често използваният е височината да се умножи по дължината на основата и резултатът да се раздели на две. Този метод обаче далеч не е единственият. По-долу можете да прочетете как да намерите площта на триъгълник с помощта на различни формули.

Отделно ще разгледаме начините за изчисляване на площта на конкретни видове триъгълници - правоъгълни, равнобедрени и равностранни. Придружаваме всяка формула с кратко обяснение, което ще ви помогне да разберете нейната същност.

Универсални методи за намиране на площта на триъгълник

Формулите по-долу използват специална нотация. Ще дешифрираме всеки от тях:

  • a, b, c – дължините на трите страни на фигурата, която разглеждаме;
  • r е радиусът на окръжността, която може да бъде вписана в нашия триъгълник;
  • R е радиусът на окръжността, която може да бъде описана около него;
  • α е големината на ъгъла, образуван от страни b и c;
  • β е големината на ъгъла между a и c;
  • γ е големината на ъгъла, образуван от страни a и b;
  • h е височината на нашия триъгълник, спусната от ъгъл α към страна a;
  • p – половината от сбора на страни a, b и c.

Логически е ясно защо можете да намерите площта на триъгълник по този начин. Триъгълникът може лесно да бъде завършен в успоредник, в който едната страна на триъгълника ще действа като диагонал. Площта на успоредник се намира чрез умножаване на дължината на една от страните му по стойността на височината, начертана към нея. Диагоналът разделя този условен паралелограм на 2 еднакви триъгълника. Следователно е съвсем очевидно, че площта на нашия оригинален триъгълник трябва да бъде равна на половината от площта на този спомагателен успоредник.

S=½ a b sin γ

Според тази формула площта на триъгълник се намира чрез умножаване на дължините на двете му страни, тоест a и b, по синуса на ъгъла, образуван от тях. Тази формула е логично изведена от предишната. Ако намалим височината от ъгъл β към страна b, тогава според свойствата правоъгълен триъгълник, когато умножим дължината на страната a по синуса на ъгъла γ, получаваме височината на триъгълника, тоест h.

Площта на въпросната фигура се намира чрез умножаване на половината радиус на окръжността, която може да бъде вписана в нея, по нейния периметър. С други думи, намираме произведението на полупериметъра и радиуса на споменатата окръжност.

S= a b c/4R

Според тази формула стойността, от която се нуждаем, може да се намери, като се раздели произведението на страните на фигурата на 4 радиуса на описаната около нея окръжност.

Тези формули са универсални, тъй като позволяват да се определи площта на всеки триъгълник (мащабен, равнобедрен, равностранен, правоъгълен). Това може да стане с помощта на по-сложни изчисления, на които няма да се спираме подробно.

Площи на триъгълници със специфични свойства

Как да намерим площта на правоъгълен триъгълник? Особеността на тази фигура е, че двете й страни са едновременно нейни височини. Ако a и b са катети и c става хипотенуза, тогава намираме площта по следния начин:

Как да намерите област равнобедрен триъгълник? Има две страни с дължина a и една страна с дължина b. Следователно неговата площ може да бъде определена чрез разделяне на 2 на произведението на квадрата на страната a на синуса на ъгъл γ.

Как да намерите площта на равностранен триъгълник? В него дължината на всички страни е равна на a, а големината на всички ъгли е α. Височината му е равна на половината от произведението на дължината на страната a и корен квадратен от 3. За да намерите лицето правилен триъгълник, трябва да умножите квадрата на страната a по корен квадратен от 3 и да разделите на 4.

Инструкции

Партитаи ъглите се считат за основни елементи А. Триъгълникът е напълно дефиниран от някой от следните основни елементи: или три страни, или една страна и два ъгъла, или две страни и ъгъл между тях. За съществуване триъгълникдадено от три страни a, b, c, е необходимо и достатъчно да се удовлетворят неравенствата, наречени неравенства триъгълник:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

За изграждане триъгълникот три страни a, b, c, е необходимо от точка C на сегмента CB = a да начертаете кръг с радиус b с компас. След това по същия начин начертайте окръжност от точка B с радиус, равен на страната c. Тяхната пресечна точка А е третият връх на търсеното триъгълник ABC, където AB=c, CB=a, CA=b - страни триъгълник. Задачата е , ако страните a, b, c, отговарят на неравенствата триъгълникпосочени в стъпка 1.

Зона S, изградена по този начин триъгълник ABC с известни партии a, b, c, изчислени по формулата на Heron:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
където a, b, c са страни триъгълник, p – полупериметър.
p = (a+b+c)/2

Ако триъгълникът е равностранен, т.е. всичките му страни са равни (a=b=c).Площ триъгълникизчислено по формулата:
S=(a^2 v3)/4

Ако триъгълникът е правоъгълен, тоест един от ъглите му е равен на 90°, а страните, които го образуват, са катети, третата страна е хипотенузата. IN в такъв случай квадрате равно на произведението на краката, разделено на две.
S=ab/2

Да намеря квадрат триъгълник, можете да използвате една от многото формули. Изберете формула в зависимост от това какви данни вече са известни.

Ще имаш нужда

  • познаване на формули за намиране на площта на триъгълник

Инструкции

Ако знаете размера на една от страните и стойността на височината, спусната до тази страна от противоположния на нея ъгъл, тогава можете да намерите площта, като използвате следното: S = a*h/2, където S е площта на триъгълника, a е една от страните на триъгълника, а h - височина, към страна a.

Има известен метод за определяне на площта на триъгълник, ако са известни трите му страни. Това е формулата на Heron. За опростяване на записването му е въведена междинна стойност - полупериметър: p = (a+b+c)/2, където a, b, c - . Тогава формулата на Херон по следния начин: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ степенуване.

Да приемем, че знаете една от страните на триъгълник и три ъгъла. Тогава е лесно да се намери площта на триъгълника: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), където β е ъгълът, противоположен на страната a, а α и γ са ъгли, съседни на страната.

Видео по темата

Забележка

Най-общата формула, която е подходяща за всички случаи, е формулата на Heron.

източници:

Съвет 3: Как да намерите площта на триъгълник въз основа на три страни

Намирането на площта на триъгълник е един от най-често срещаните проблеми в училищната планиметрия. Познаването на трите страни на триъгълника е достатъчно, за да се определи площта на всеки триъгълник. В специални случаи на равностранен триъгълник е достатъчно да се знаят дължините съответно на две и една страна.

Ще имаш нужда

  • дължини на страни на триъгълници, формула на Херон, косинусова теорема

Инструкции

Формулата на Heron за площта на триъгълник е следната: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Ако напишем полупериметъра p, получаваме: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Можете да извлечете формула за площта на триъгълник от съображения, например, като приложите косинусовата теорема.

По косинусовата теорема AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Използвайки въведените обозначения, те също могат да бъдат записани във формата: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Следователно cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Площта на триъгълник също се намира по формулата S = a*c*sin(ABC)/2, като се използват две страни и ъгълът между тях. Синусът на ъгъл ABC може да бъде изразен чрез него с помощта на базиса тригонометрична идентичност: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) Като заместите синуса във формулата за площта и я изпишете, можете да стигнете до формулата за площта на триъгълник ABC.

Видео по темата

За извършване на ремонтни дейности може да се наложи измерване квадратстени Това улеснява изчисляването на необходимото количество боя или тапет. За измервания е най-добре да използвате ролетка или измервателна лента. Измерванията трябва да се направят след стенибяха изравнени.

Ще имаш нужда

  • -рулетка;
  • -стълба.

Инструкции

Да брои квадратстени, трябва да знаете точната височина на таваните и също така да измерите дължината по пода. Това се прави по следния начин: вземете сантиметър и го поставете върху перваза. Обикновено един сантиметър не е достатъчен за цялата дължина, така че го закрепете в ъгъла, след което го развийте до максималната дължина. В тази точка поставете знак с молив, запишете получения резултат и извършете допълнителни измервания по същия начин, като започнете от последната точка на измерване.

Стандартните тавани са 2 метра 80 сантиметра, 3 метра и 3 метра 20 сантиметра, в зависимост от къщата. Ако къщата е построена преди 50-те години, тогава най-вероятно действителната височина е малко по-ниска от посочената. Ако пресмятате квадратза ремонтни дейности, тогава малка доставка няма да навреди - помислете въз основа на стандарта. Ако все пак трябва да знаете реалната височина, направете измервания. Принципът е подобен на измерването на дължина, но ще ви е необходима стълба.

Умножете получените показатели - това е квадраттвоя стени. Вярно е, че при боядисване или за боядисване е необходимо да се извади квадратотвори за врати и прозорци. За да направите това, поставете сантиметър по протежение на отвора. Ако ние говорим заотносно вратата, която впоследствие ще смените, след това извършете със свалена рамка на вратата, като вземете предвид само квадратдиректно до самия отвор. Площта на прозореца се изчислява по периметъра на рамката му. След квадратизчислени прозорец и врата, извадете резултата от общата получена площ на стаята.

Моля, имайте предвид, че измерването на дължината и ширината на стаята се извършва от двама души, което улеснява фиксирането на сантиметър или рулетка и съответно получаването на по-точен резултат. Направете едно и също измерване няколко пъти, за да сте сигурни, че получените числа са точни.

Видео по темата

Намирането на обема на триъгълник е наистина нетривиална задача. Факт е, че триъгълникът е двуизмерна фигура, т.е. лежи изцяло в една равнина, което означава, че просто няма обем. Разбира се, не можете да намерите нещо, което не съществува. Но да не се отказваме! Можем да приемем следното предположение: обемът на двумерна фигура е нейната площ. Ще търсим площта на триъгълника.

Ще имаш нужда

  • лист хартия, молив, линийка, калкулатор

Инструкции

Начертайте върху лист хартия с линийка и молив. Като внимателно разгледате триъгълника, можете да се уверите, че той наистина няма триъгълник, тъй като е начертан на равнина. Обозначете страните на триъгълника: нека едната страна е страна "a", другата страна "b", а третата страна "c". Обозначете върховете на триъгълника с буквите "A", "B" и "C".

Измерете всяка страна на триъгълника с линийка и запишете резултата. След това възстановете перпендикуляр на измерената страна от противоположния на него връх, такъв перпендикуляр ще бъде височината на триъгълника. В случая, показан на фигурата, перпендикулярът "h" се възстановява на страна "c" от върха "A". Измерете получената височина с линийка и запишете резултата от измерването.

Може да ви е трудно да възстановите точния перпендикуляр. В този случай трябва да използвате различна формула. Измерете всички страни на триъгълника с линийка. След това изчислете полупериметъра на триъгълника "p", като добавите получените дължини на страните и разделите сбора им наполовина. Имайки на ваше разположение стойността на полупериметъра, можете да използвате формулата на Heron. За да направите това, трябва да вземете корен квадратен от следното: p(p-a)(p-b)(p-c).

Получихте необходимата площ на триъгълника. Проблемът с намирането на обема на триъгълник не е решен, но както беше споменато по-горе, обемът не е решен. Можете да намерите обем, който по същество е триъгълник в триизмерния свят. Ако си представим, че нашият първоначален триъгълник се е превърнал в триизмерна пирамида, тогава обемът на такава пирамида ще бъде произведението на дължината на нейната основа с площта на триъгълника, който сме получили.

Забележка

Колкото по-внимателно измервате, толкова по-точни ще бъдат вашите изчисления.

източници:

  • Калкулатор “Всичко към всичко” - портал за референтни стойности
  • обем на триъгълника през 2019 г

Трите точки, които еднозначно определят триъгълник в декартовата координатна система, са неговите върхове. Познавайки тяхната позиция спрямо всяка от координатните оси, можете да изчислите всички параметри на това плоска фигура, включително и ограничено от периметъра си квадрат. Това може да стане по няколко начина.

Инструкции

Използвайте формулата на Heron за изчисляване на площта триъгълник. Той включва размерите на трите страни на фигурата, така че започнете изчисленията си с . Дължината на всяка страна трябва да бъде равна на корена от сумата от квадратите на дължините на нейните проекции върху координатни оси. Ако означим координатите A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) и C(X₃,Y3,Z₃), дължините на техните страни могат да бъдат изразени по следния начин: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X3)² + (Y₁-Y3)² + (Z1-Z3)²).

За да опростите изчисленията, въведете спомагателна променлива - полупериметър (P). От факта, че това е половината от сбора на дължините на всички страни: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X3)² + (Y₂-Y3)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X3)² + (Y₁-Y3)² + (Z₁-Z₃) ²).

Триъгълник е като този геометрична фигура, който се състои от три прави, свързващи се в точки, които не лежат на една и съща права. Точките на свързване на линиите са върховете на триъгълника, които са обозначени с латински букви(напр. A, B, C). Свързващите прави линии на триъгълник се наричат ​​сегменти, които също обикновено се обозначават с латински букви. Разграничават се следните видове триъгълници:

  • Правоъгълна.
  • Тъп.
  • Остър ъглов.
  • Разнообразен.
  • Равностранен.
  • Равнобедрен.

Общи формули за изчисляване на площта на триъгълник

Формула за площта на триъгълник въз основа на дължина и височина

S= a*h/2,
където a е дължината на страната на триъгълника, чиято площ трябва да се намери, h е дължината на височината, начертана към основата.

Формулата на Херон

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
където √ е квадратният корен, p е полупериметърът на триъгълника, a,b,c е дължината на всяка страна на триъгълника. Полупериметърът на триъгълник може да се изчисли по формулата p=(a+b+c)/2.


Формула за площта на триъгълник въз основа на ъгъла и дължината на сегмента

S = (a*b*sin(α))/2,
Където b,c едължината на страните на триъгълника, sin(α) е синусът на ъгъла между двете страни.


Формула за площта на триъгълник, даден радиус на вписаната окръжност и три страни

S=p*r,
където p е полупериметърът на триъгълника, чиято площ трябва да се намери, r е радиусът на окръжността, вписана в този триъгълник.


Формула за площта на триъгълник, базирана на три страни и радиуса на описаната около него окръжност

S= (a*b*c)/4*R,
където a,b,c е дължината на всяка страна на триъгълника, R е радиусът на окръжността, описана около триъгълника.


Формула за площта на триъгълник, използваща декартови координати на точки

Декартовите координати на точките са координати в системата xOy, където x е абсцисата, y е ординатата. Декартовата координатна система xOy на равнина е взаимно перпендикулярните числени оси Ox и Oy с общо началореферентна точка в точка O. Ако координатите на точките в тази равнина са дадени във формата A(x1, y1), B(x2, y2) и C(x3, y3), тогава можете да изчислите площта на триъгълник по следната формула, която се получава от векторното произведение на два вектора.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
където || означава модул.


Как да намерите площта на правоъгълен триъгълник

Правоъгълният триъгълник е триъгълник с един ъгъл, измерващ 90 градуса. Един триъгълник може да има само един такъв ъгъл.

Формула за площта на правоъгълен триъгълник от двете страни

S= a*b/2,
където a,b е дължината на краката. Краката са страните, съседни на прав ъгъл.


Формула за площта на правоъгълен триъгълник, базирана на хипотенузата и острия ъгъл

S = a*b*sin(α)/ 2,
където a, b са катетите на триъгълника, а sin(α) е синусът на ъгъла, под който се пресичат правите a, b.


Формула за площта на правоъгълен триъгълник, базирана на страната и срещуположния ъгъл

S = a*b/2*tg(β),
където a, b са катетите на триъгълника, tan(β) е тангенса на ъгъла, под който катетите a, b са свързани.


Как да изчислим площта на равнобедрен триъгълник

Равнобедрен триъгълник е този, който има две равни страни. Тези страни се наричат ​​страни, а другата страна е основа. За да изчислите площта на равнобедрен триъгълник, можете да използвате една от следните формули.

Основна формула за изчисляване на площта на равнобедрен триъгълник

S=h*c/2,
където c е основата на триъгълника, h е височината на триъгълника, спусната до основата.


Формула на равнобедрен триъгълник със страна и основа

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
където c е основата на триъгълника, a е размерът на една от страните на равнобедрения триъгълник.


Как да намерите площта на равностранен триъгълник

Равностранен триъгълник е триъгълник, в който всички страни са равни. За да изчислите площта на равностранен триъгълник, можете да използвате следната формула:
S = (√3*a*a)/4,
където a е дължината на страната на равностранния триъгълник.



Горните формули ще ви позволят да изчислите необходимата площ на триъгълника. Важно е да запомните, че за да изчислите площта на триъгълниците, трябва да вземете предвид вида на триъгълника и наличните данни, които могат да се използват за изчислението.

В интернет можете да намерите над 10 формули за изчисляване на площта на триъгълник.Много от тях се използват в задачи с известни страни и ъгли на триъгълник. Въпреки това, има редица сложни примерикъдето според условията на заданието са известни само едната страна и ъглите на триъгълника или радиусът на описаната или вписаната окръжност и още една характеристика. В такива случаи не може да се приложи проста формула.

Формулите, дадени по-долу, ще ви позволят да решите 95 процента от задачите, в които трябва да намерите площта на триъгълник.
Нека да преминем към разглеждане на формулите за обща площ.
Помислете за триъгълника, показан на фигурата по-долу

На фигурата и по-долу във формулите са въведени класическите обозначения на всички негови характеристики.
a,b,c – страни на триъгълника,
R – радиус на описаната окръжност,
r – радиус на вписаната окръжност,
h[b],h[a],h[c] – височини, начертани в съответствие със страни a,b,c.
алфа, бета, хама – ъгли в близост до върховете.

Основни формули за площта на триъгълник

1. Площта е равна на половината от произведението на страната на триъгълника и височината, спусната до тази страна. На езика на формулите това определение може да се напише по следния начин

Така, ако страната и височината са известни, тогава всеки ученик ще намери площта.
Между другото, от тази формула може да се извлече една полезна връзка между височините

2. Ако вземем предвид, че височината на триъгълник през съседната страна се изразява чрез зависимостта

След това първата формула за площ е последвана от вторите от същия тип



Погледнете внимателно формулите - те са лесни за запомняне, тъй като работата включва две страни и ъгъла между тях. Ако правилно обозначим страните и ъглите на триъгълника (както на фигурата по-горе), ще получим две страни a,b а ъгълът е свързан с третияС (хамма).

3. За ъглите на триъгълник връзката е вярна

Зависимостта ви позволява да използвате следните формули за площта на триъгълник в изчисленията:



Примерите за тази зависимост са изключително редки, но трябва да запомните, че има такава формула.

4. Ако страната и двата съседни ъгъла са известни, тогава площта се намира по формулата

5. Формулата за площ по отношение на страна и котангенс на съседни ъгли е следната

Чрез пренареждане на индексите можете да получите зависимости за други страни.

6. Формулата за площ по-долу се използва в задачи, когато върховете на триъгълник са посочени в равнината с координати. В този случай площта е равна на половината от детерминантата, взета по модул.



7. Формула на Херонизползвани в примери с известни страни на триъгълник.
Първо намерете полупериметъра на триъгълника

И след това определете площта с помощта на формулата

или

Доста често се използва в кода на калкулаторните програми.

8. Ако всички височини на триъгълника са известни, то площта се определя по формулата

Трудно е да се изчисли с калкулатор, но в пакетите MathCad, Mathematica, Maple площта е "време две".

9. Следните формули използват известните радиуси на вписани и описани окръжности.

По-специално, ако радиусът и страните на триъгълника или неговият периметър са известни, тогава площта се изчислява по формулата

10. В примери, където са дадени страните и радиусът или диаметърът на описаната окръжност, площта се намира по формулата

11. Следната формула определя площта на триъгълник по отношение на страната и ъглите на триъгълника.

И накрая - специални случаи:
Площ на правоъгълен триъгълникс катети a и b, равни на половината от техния продукт

Формула за площта на равностранен (правилен) триъгълник=

= една четвърт от произведението на квадрата на страната и корен от три.