Онлайн решение на комплексни числа. Решаване на задачи с комплексни числа

Използването на уравнения е широко разпространено в живота ни. Те се използват в много изчисления, изграждане на конструкции и дори спорт. Уравненията са били използвани от човека от древни времена и оттогава употребата им само се е увеличила. За по-голяма яснота нека разрешим следния проблем:

Изчислете \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] ако \

Първо, нека обърнем внимание на факта, че едното число е представено в алгебрични, другото - в тригонометрична форма. Трябва да се опрости и следващ вид

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

Изразът \ казва, че първо правим умножение и повдигане на 10-та степен според формулата на Moivre. Тази формула е формулирана за тригонометричната форма на комплексно число. Получаваме:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

Придържайки се към правилата за умножение на комплексни числа в тригонометрична форма, ще направим следното:

В нашия случай:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]

Правейки дробта \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] правилна, заключаваме, че е възможно да "завъртим" 4 оборота \[(8\pi rad.):\ ]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

Отговор: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

Това уравнение може да бъде решено по друг начин, който се свежда до привеждане на второто число в алгебрична форма, след това извършване на умножение в алгебрична форма, превеждане на резултата в тригонометрична форма и прилагане на формулата на Moivre:

Къде мога да реша онлайн система от уравнения с комплексни числа?

Можете да решите системата от уравнения на нашия уебсайт https: // site. Безплатният онлайн решаващ инструмент ще ви позволи да решите онлайн уравнение с всякаква сложност за секунди. Всичко, което трябва да направите, е просто да въведете данните си в решаващия инструмент. Можете също така да гледате видео инструкцията и да научите как да решите уравнението на нашия уебсайт. И ако имате въпроси, можете да ги зададете в нашата група Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Присъединете се към нашата група, винаги се радваме да ви помогнем.

Изрази, уравнения и системи от уравнения
с комплексни числа

Днес в урока ще разработим типични действия с комплексни числа, както и ще овладеем техниката за решаване на изрази, уравнения и системи от уравнения, които съдържат тези числа. Този семинар е продължение на урока и затова, ако не сте запознати с темата, моля, последвайте връзката по-горе. Е, предлагам на по-подготвените читатели веднага да загреят:

Пример 1

Опростяване на израза , ако . Представете резултата в тригонометрична форма и го изобразете на комплексната равнина.

Решение: така че трябва да замените в "ужасната" дроб, да извършите опростявания и да преведете полученото комплексно числов тригонометрична форма. Плюс по дяволите.

Кой е най-добрият начин да вземете решение? с "фантазия" алгебричен изразПо-добре е да вървите стъпка по стъпка. Първо, вниманието е по-малко разпръснато и, второ, ако задачата не бъде кредитирана, ще бъде много по-лесно да се намери грешка.

1) Нека първо опростим числителя. Заменете стойността в нея, отворете скобите и фиксирайте прическата:

... Да, такъв Квазимодо от сложни числа се оказа ...

Напомням ви, че в хода на трансформациите се използват напълно гениални неща - правилото за умножение на полиноми и вече баналното равенство. Основното нещо е да бъдете внимателни и да не се бъркате в знаците.

2) Сега знаменателят е следващият. Ако , тогава:

Забележете в каква необичайна интерпретация е използвано формула за сбор на квадрат. Като алтернатива можете да промените тук подформула . Резултатите, разбира се, ще съвпадат.

3) И накрая, целият израз. Ако , тогава:

За да се отървем от дробта, умножаваме числителя и знаменателя по израза, спрегнат на знаменателя. Въпреки това, за целите на кандидатстването формули за разлика на квадратитетрябва да бъде предварително (и със сигурност!)поставете отрицателно реална частза 2-ро място:

И сега основното правило:

В НИКАКЪВ СЛУЧАЙ НЕ БЪРЗАМЕ! По-добре да играете на сигурно и да предпишете допълнителна стъпка.
В изрази, уравнения и системи с комплексни числа самонадеяни устни изчисления изпълнен както винаги!

Имаше хубаво свиване в последната стъпка и това е просто страхотен знак.

Забележка : строго погледнато, разделянето на комплексното число на комплексното число 50 се проведе тук (припомнете си, че ). Досега мълчах за този нюанс и ще говорим за него малко по-късно.

Нека отбележим постижението си с буквата

Нека представим резултата в тригонометрична форма. Най-общо казано, тук можете да се справите без чертеж, но щом е необходимо, е малко по-рационално да го завършите точно сега:

Изчислете модула на комплексно число:

Ако изпълните чертеж в мащаб от 1 единица. \u003d 1 cm (2 тетрадни клетки), тогава получената стойност е лесна за проверка с помощта на обикновена линийка.

Да намерим аргумент. Тъй като числото се намира във втората координатна четвърт, тогава:

Ъгълът просто се проверява с транспортир. Това е несъмненият плюс на рисунката.

Така: - желаното число в тригонометрична форма.

Да проверим:
, което трябваше да бъде проверено.

Удобно е да намерите непознати стойности на синус и косинус тригонометрична таблица.

Отговор:

Подобен пример за независимо решение:

Пример 2

Опростяване на израза , където . Начертайте полученото число върху комплексната равнина и го запишете в експоненциална форма.

Опитайте се да не пропускате уроците. Може да изглеждат прости, но без тренировка „влизането в локва“ е не просто лесно, а много лесно. Така че нека се сдобием с него.

Често проблемът позволява повече от едно решение:

Пример 3

Изчислете, ако,

Решение: първо, нека обърнем внимание на първоначалното условие - едното число е представено в алгебрична форма, а другото в тригонометрична форма и дори със степени. Нека веднага да го пренапишем в по-позната форма: .

В каква форма трябва да се извършват изчисленията? Изразът очевидно включва първото умножение и последващото повишаване на 10-та степен в Формулата на Де Моавър, която е формулирана за тригонометричната форма на комплексно число. По този начин изглежда по-логично да се преобразува първото число. Намерете неговия модул и аргумент:

Използваме правилото за умножение на комплексни числа в тригонометрична форма:
ако , тогава

Правейки фракцията правилна, стигаме до извода, че е възможно да „завъртите“ 4 оборота (радвам се.):

Вторият начин за решаванее да преведе второто число в алгебрична форма , извършете умножението в алгебрична форма, преведете резултата в тригонометрична форма и използвайте формулата на De Moivre.

Както можете да видите, едно "допълнително" действие. Желаещите могат да проследят решението докрай и да се уверят, че резултатите съвпадат.

Условието не казва нищо за формата на полученото комплексно число, така че:

Отговор:

Но „за красота“ или при поискване резултатът може лесно да бъде представен в алгебрична форма:

сам:

Пример 4

Опростяване на израза

Тук е необходимо да запомните действия с правомощия, въпреки че един полезно правилоне в ръководството, ето го: .

И още една важна забележка: примерът може да бъде решен в два стила. Първият вариант е да се работи с двечисла и се примирява с дроби. Втората опция е да представите всяко число във формуляра частно на две числа: и отървете се от четириетажния. От формална гледна точка няма значение как се решава, но има смислова разлика! Моля, обмислете добре:
е комплексно число;
е частното на две комплексни числа ( и ), но в зависимост от контекста може да се каже и това: число, представено като частно на две комплексни числа.

Кратко решение и отговор в края на урока.

Изразите са добри, но уравненията са по-добри:

Уравнения с комплексни коефициенти

Как се различават от "обикновените" уравнения? Коефициенти =)

В светлината на горната забележка, нека започнем с този пример:

Пример 5

реши уравнението

И незабавен преамбюл по горещи следи: първоначалнодясната страна на уравнението е позиционирана като частно от две комплексни числа ( и 13) и следователно няма добър тонпренапишете условие с число (въпреки че няма да причини грешка). Между другото, тази разлика се вижда по-ясно във фракции - ако, относително казано, , тогава тази стойност се разбира предимно като "пълен" сложен коренуравнения, а не като делител на числото и още повече - не като част от числото !

Решение, по принцип, също може да се изготви стъпка по стъпка, но в този случайиграта не си струва свещта. Първоначалната задача е да се опрости всичко, което не съдържа неизвестно "Z", в резултат на което уравнението ще бъде намалено до формата:

Уверено опростете средната дроб:

Прехвърляме резултата от дясната страна и намираме разликата:

Забележка : и отново ти обръщам внимание на смисловото - тук не извадихме числото от числото, а сумирахме дробите до общ знаменател! Трябва да се отбележи, че още в хода на решението не е забранено да се работи с числа: , но в разглеждания пример такъв стил е по-скоро вреден, отколкото полезен =)

Съгласно правилото за пропорцията, ние изразяваме "z":

Сега отново можете да разделяте и умножавате по присъединения израз, но подозрително сходните числа на числителя и знаменателя предполагат следния ход:

Отговор:

За целите на проверката заместваме получената стойност в лявата страна на оригиналното уравнение и извършваме опростявания:

- получава се дясната страна на първоначалното уравнение, така че коренът е намерен правилно.

...Сега-сега...ще ти избера нещо по-интересно...чакай:

Пример 6

реши уравнението

Това уравнение се свежда до формата , и следователно е линейно. Мисля, че подсказката е ясна - дерзайте!

Разбира се ... как можете да живеете без него:

Квадратно уравнение с комплексни коефициенти

На урока Комплексни числа за манекенинаучихме това квадратно уравнениес реални коефициенти могат да имат спрегнати комплексни корени, след което възниква логичен въпрос: защо всъщност самите коефициенти не могат да бъдат комплексни? Ще формулирам общия случай:

Квадратно уравнение с произволни комплексни коефициенти (1 или 2 от които или и трите могат да бъдат по-специално валидни)То има две и само двесложни корени (евентуално едното от които или и двете са валидни). Докато корените (както реални, така и с ненулева имагинерна част)могат да съвпадат (да бъдат множество).

Квадратно уравнение с комплексни коефициенти се решава по същия начин като "училищно" уравнение, с някои разлики в изчислителната техника:

Пример 7

Намерете корените на квадратно уравнение

Решение: въображаемата единица е на първо място и по принцип можете да се отървете от нея (умножаване на двете страни по ), обаче няма особена нужда от това.

За удобство записваме коефициентите:

Ние не губим "минуса" на безплатния член! ... Може да не е ясно за всички - ще пренапиша уравнението в стандартна форма :

Нека изчислим дискриминанта:

Ето основното препятствие:

Приложение на общата формула за извличане на корена (вижте последния параграф на статията Комплексни числа за манекени) се усложнява от сериозни трудности, свързани с аргумента на радикалното комплексно число (вижте сами). Но има и друг, "алгебричен" начин! Ще търсим корена във формата:

Нека повдигнем на квадрат двете страни:

Две комплексни числа са равни, ако техните реални и имагинерни части са равни. Така получаваме следната система:

Системата е по-лесна за решаване чрез избор (по-задълбочен начин е да изразите от второто уравнение - заместете в първото, вземете и решете биквадратното уравнение). Ако приемем, че авторът на проблема не е чудовище, ние предполагаме това и са цели числа. От първото уравнение следва, че "x" по модулповече от "у". Освен това положителният продукт ни казва, че неизвестните са с един и същи знак. Въз основа на гореизложеното и фокусирайки се върху второто уравнение, записваме всички двойки, които му отговарят:

Очевидно последните две двойки удовлетворяват първото уравнение на системата, като по този начин:

Една междинна проверка няма да навреди:

което трябваше да се провери.

Като "работещ" корен можете да изберете всякаквизначение. Ясно е, че е по-добре да вземете версията без "против":

Намираме корените, без да забравяме между другото, че:

Отговор:

Нека проверим дали намерените корени удовлетворяват уравнението :

1) Заместник:

правилно равенство.

2) Заместник:

правилно равенство.

Така решението е намерено правилно.

Вдъхновен от току-що обсъдения проблем:

Пример 8

Намерете корените на уравнението

трябва да бъде отбелязано че Корен квадратенот чисто комплексночислата са перфектно извлечени и с помощта на общата формула , където , така че и двата метода са показани в извадката. Втората полезна забележка се отнася до факта, че предварителното извличане на корена от константата изобщо не опростява решението.

А сега можете да се отпуснете - в този пример ще се разминете с лека уплаха :)

Пример 9

Решете уравнението и проверете

Решения и отговори в края на урока.

Последният параграф на статията е посветен на

система от уравнения с комплексни числа

Отпуснахме се и ... не се напрягаме =) Помислете най-простият случай– система от две линейни уравнения с две неизвестни:

Пример 10

Решете системата от уравнения. Представете отговора в алгебрична и експоненциална форма, изобразете корените на чертежа.

Решение: самото условие предполага, че системата има единствено решение, тоест трябва да намерим две числа, които удовлетворяват за всекиуравнение на системата.

Системата наистина може да бъде решена по "детски" начин (изразяват една променлива по отношение на друга) , но е много по-удобен за използване Формули на Крамер. Изчислете основен определящ факторсистеми:

, така че системата има уникално решение.

Повтарям, че е по-добре да не бързате и да предписвате стъпките възможно най-подробно:

Умножаваме числителя и знаменателя по въображаема единица и получаваме първи корен:

По същия начин:

Съответните десни страни, т.т.п.

Нека изпълним чертежа:

Ние представяме корените в експоненциална форма. За да направите това, трябва да намерите техните модули и аргументи:

1) - аркутангенсът на "двете" се изчислява "зле", така че го оставяме така:

Услугата за решаване на уравнения онлайн ще ви помогне да решите всяко уравнение. Използвайки нашия сайт, вие не само ще получите отговора на уравнението, но и ще видите подробно решение, тоест стъпка по стъпка показване на процеса на получаване на резултата. Нашата услуга ще бъде полезна за ученици от гимназията общообразователни училищаи техните родители. Учениците ще могат да се подготвят за контролни, изпитни, да проверяват знанията си, а родителите ще могат да контролират решаването на математически уравнения от децата си. Умението за решаване на уравнения е задължително изискване за учениците. Услугата ще ви помогне да се самообучите и да подобрите знанията си в областта на математическите уравнения. С нея можете да решавате всякакви уравнения: квадратни, кубични, ирационални, тригонометрични и др. Ползата от онлайн услугата е неоценима, тъй като освен верния отговор получавате подробно решение на всяко уравнение. Ползи от решаването на уравнения онлайн. Можете да решите всяко уравнение онлайн на нашия уебсайт абсолютно безплатно. Услугата е напълно автоматична, не е необходимо да инсталирате нищо на компютъра си, трябва само да въведете данните и програмата ще издаде решение. Всички изчислителни грешки или печатни грешки са изключени. Много е лесно да решите всяко уравнение онлайн с нас, така че не забравяйте да използвате нашия сайт за решаване на всякакъв вид уравнения. Трябва само да въведете данните и изчислението ще бъде завършено за секунди. Програмата работи самостоятелно, без човешка намеса и получавате точен и подробен отговор. Решаване на уравнението в общ изглед. В такова уравнение променливите коефициенти и желаните корени са взаимосвързани. Най-високата степен на променлива определя реда на такова уравнение. Въз основа на това, за уравненията използвайте различни методии теореми за намиране на решения. Решаване на уравнения от този типозначава намиране на желаните корени в общи линии. Нашата услуга ви позволява да решавате дори най-сложното алгебрично уравнение онлайн. Можете да получите като общо решениеуравнения, и частното за посочените от вас числови стойностикоефициенти. За да решите алгебрично уравнение на сайта, е достатъчно да попълните правилно само две полета: лявата и дясната част дадено уравнение. Алгебричните уравнения с променливи коефициенти имат безкраен брой решения и чрез задаване на определени условия се избират определени от множеството решения. Квадратно уравнение. Квадратното уравнение има формата ax^2+bx+c=0 за a>0. Решаването на уравнения с квадратна форма предполага намиране на стойностите на x, при които е изпълнено равенството ax ^ 2 + bx + c \u003d 0. За да направите това, стойността на дискриминанта се намира по формулата D=b^2-4ac. Ако дискриминантът по-малко от нула, тогава уравнението няма реални корени (корените са от полето на комплексните числа), ако е равно на нула, тогава уравнението има един реален корен, а ако дискриминантът е по-голям от нула, тогава уравнението има два реални корена, които се намират по формулата: D = -b + - sqrt/2a. За да решите квадратно уравнение онлайн, просто трябва да въведете коефициентите на такова уравнение (цели числа, дроби или десетични стойности). Ако в уравнението има знаци за изваждане, трябва да поставите минус пред съответните членове на уравнението. Можете също така да решите квадратно уравнение онлайн в зависимост от параметъра, тоест променливите в коефициентите на уравнението. Нашата онлайн услуга за намиране на общи решения перфектно се справя с тази задача. Линейни уравнения. За решаване на линейни уравнения (или системи от уравнения) на практика се използват четири основни метода. Нека опишем подробно всеки метод. Метод на заместване. Решаването на уравнения чрез метода на заместване изисква изразяване на една променлива по отношение на другите. След това изразът се замества в други уравнения на системата. Оттук и името на метода на решение, т.е. вместо променлива се замества изразът й чрез останалите променливи. На практика методът изисква сложни изчисления, въпреки че е лесен за разбиране, така че решаването на такова уравнение онлайн ще спести време и ще улесни изчисленията. Просто трябва да посочите броя на неизвестните в уравнението и да попълните данните от линейните уравнения, след което услугата ще направи изчислението. Метод на Гаус. Методът се основава на най-простите трансформации на системата, за да се стигне до еквивалентна триъгълна система. От него се определят едно по едно неизвестните. На практика се изисква такова уравнение да се реши онлайн с Подробно описание, благодарение на което ще усвоите добре метода на Гаус за решаване на системи от линейни уравнения. Запишете системата от линейни уравнения в правилния формат и вземете предвид броя на неизвестните, за да решите правилно системата. Методът на Крамер. Този метод решава системи от уравнения в случаите, когато системата има уникално решение. Основната математическа операция тук е изчисляването на матрични детерминанти. Решаването на уравнения по метода на Крамер се извършва онлайн, получавате резултата незабавно с пълно и подробно описание. Достатъчно е просто да попълните системата с коефициенти и да изберете броя на неизвестните променливи. матричен метод. Този метод се състои в събиране на коефициенти за неизвестни в матрица A, неизвестни в колона X и свободни членове в колона B. По този начин системата от линейни уравнения се свежда до матрично уравнение с формата AxX=B. Това уравнение има уникално решение само ако детерминантата на матрицата A е различна от нула, в противен случай системата няма решения или има безкраен брой решения. Решението на уравненията чрез матричния метод е да се намери обратната матрица A.

За да решавате задачи с комплексни числа, трябва да разберете основните дефиниции. основната задачана тази обзорна статия - за да обясни какво представляват комплексните числа и да представи методи за решаване на основни задачи с комплексни числа. По този начин комплексното число е число от формата z = a + bi, където а, б- реални числа, които се наричат ​​съответно реалната и имагинерната част на комплексното число и обозначават a = Re(z), b=Im(z).
азсе нарича имагинерна единица. i 2 \u003d -1. По-специално, всяко реално число може да се счита за сложно: a = a + 0i, където a е реално. Ако а = 0и b ≠ 0, тогава числото се нарича чисто имагинерно.

Сега въвеждаме операции върху комплексни числа.
Помислете за две комплексни числа z 1 = a 1 + b 1 iи z 2 = a 2 + b 2 i.

Обмисли z = a + bi.

Множеството от комплексни числа разширява множеството от реални числа, което от своя страна разширява множеството от рационални числа и т.н. Тази верига от инвестиции може да се види на фигурата: N - цели числа, Z са цели числа, Q са рационални, R са реални, C са комплексни.

Представяне на комплексни числа

Алгебрична нотация.

Помислете за комплексно число z = a + bi, тази форма на запис на комплексно число се нарича алгебричен. Вече обсъдихме подробно тази форма на писане в предишния раздел. Доста често използвайте следния илюстративен чертеж

тригонометрична форма.

От фигурата се вижда, че броят z = a + biможе да се напише различно. Очевидно е, че a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, Следователно z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) се нарича аргумент на комплексно число. Това представяне на комплексно число се нарича тригонометрична форма. Тригонометричната форма на нотация понякога е много удобна. Например, удобно е да го използвате за повдигане на комплексно число до цяло число, а именно if z = rcos(φ) + rsin(φ)i, тогава z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, тази формула се нарича Формулата на Де Моавър.

Демонстративна форма.

Обмисли z = rcos(φ) + rsin(φ)iе комплексно число в тригонометрична форма, ние го записваме в различна форма z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, последното равенство следва от формулата на Ойлер, така че получаваме нова формазаписи на комплексни числа: z = re iφ, което се нарича демонстративен. Тази форма на запис също е много удобна за повишаване на комплексно число на степен: z n = r n e inφ, тук нне е задължително цяло число, но може да бъде произволно реално число. Тази форма на писане доста често се използва за решаване на проблеми.

Основна теорема на висшата алгебра

Представете си, че имаме квадратно уравнение x 2 + x + 1 = 0 . Очевидно дискриминантът на това уравнение е отрицателен и то няма реални корени, но се оказва, че това уравнение има два различни комплексни корена. И така, основната теорема на висшата алгебра гласи, че всеки полином от степен n има поне един комплексен корен. От това следва, че всеки полином от степен n има точно n комплексни корена, като се вземе предвид тяхната кратност. Тази теорема е много важен резултат в математиката и се прилага широко. Просто следствие от тази теорема е, че има точно n различни корена от n степен на единица.

Основни типове задачи

Този раздел ще обхване основните видове прости задачикъм комплексни числа. Условно задачите върху комплексни числа могат да бъдат разделени на следните категории.

• Извършване на прости аритметични операции със сложни числа.
• Намиране на корените на полиноми в комплексни числа.
• Повдигане на комплексни числа на степен.
• Извличане на корени от комплексни числа.
• Приложение на комплексни числа за решаване на други задачи.

Сега разгледайте общите методи за решаване на тези проблеми.

Извършването на най-простите аритметични операции със сложни числа се извършва съгласно правилата, описани в първия раздел, но ако сложните числа са представени в тригонометрични или експоненциални форми, тогава в този случай те могат да бъдат преобразувани в алгебрична форма и да извършват операции съгласно известни правила.

Намирането на корените на полиноми обикновено се свежда до намиране на корените на квадратно уравнение. Да предположим, че имаме квадратно уравнение, ако неговият дискриминант е неотрицателен, тогава неговите корени ще бъдат реални и ще бъдат намерени по добре известна формула. Ако дискриминантът е отрицателен, тогава D = -1∙a 2, където ае определено число, тогава можем да представим дискриминанта във формата D = (ia) 2, Следователно √D = i|a|, и след това можете да използвате известна формулаза корените на квадратно уравнение.

Пример. Нека се върнем към квадратното уравнение, споменато по-горе x 2 + x + 1 = 0.
Дискриминанта - D \u003d 1 - 4 ∙ 1 = -3 \u003d -1 (√3) 2 = (i√3) 2.
Сега можем лесно да намерим корените:

Повдигането на комплексни числа на степен може да стане по няколко начина. Ако искате да повишите комплексно число в алгебрична форма на малка степен (2 или 3), тогава можете да направите това чрез директно умножение, но ако степента е по-голяма (в задачи често е много по-голяма), тогава трябва да запишете това число в тригонометрични или експоненциални форми и използвайте вече известни методи.

Пример. Да разгледаме z = 1 + i и да повдигнем на десета степен.
Записваме z в експоненциална форма: z = √2 e iπ/4 .
Тогава z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Нека се върнем към алгебричната форма: z 10 = -32i.

Извличането на корени от комплексни числа е операция, обратна на степенуването, така че се извършва по подобен начин. За извличане на корените често се използва експоненциалната форма на записване на число.

Пример. Намерете всички корени от степен 3 на единица. За да направим това, намираме всички корени на уравнението z 3 = 1, ще търсим корените в експоненциална форма.
Заместете в уравнението: r 3 e 3iφ = 1 или r 3 e 3iφ = e 0 .
Следователно: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, следователно φ = 2πk/3.
Получават се различни корени при φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Следователно 1 , e i2π/3 , e i4π/3 са корени.
Или в алгебрична форма:

Последният тип проблеми включва огромно разнообразие от проблеми и няма общи методи за тяхното решаване. Ето прост пример за такава задача:

Намерете сумата sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

Въпреки че формулировката на този проблем не го прави въпросниятза комплексни числа, но с тяхна помощ може лесно да се реши. За решаването му се използват следните представяния:


Ако сега заместим това представяне в сумата, тогава проблемът се свежда до сумирането на обичайната геометрична прогресия.

Заключение

Комплексните числа се използват широко в математиката, тази статия за преглед обсъди основните операции върху комплексни числа, описа няколко типа стандартни проблеми и накратко описа общите методи за решаването им, за по-подробно проучване на възможностите на комплексните числа се препоръчва използвайте специализирана литература.

Литература

Приложение

Решаването на всякакъв вид уравнения онлайн към сайта за консолидиране на изучения материал от студенти и ученици Решаване на уравнения онлайн. Уравнения онлайн. Има алгебрични, параметрични, трансцендентални, функционални, диференциални и други видове уравнения.Някои класове уравнения имат аналитични решения, които са удобни с това, че не само дават точна стойност root и ви позволяват да напишете решението под формата на формула, която може да включва параметри. Аналитичните изрази позволяват не само да се изчислят корените, но и да се анализира тяхното съществуване и техният брой в зависимост от стойностите на параметрите, което често е още по-важно за практическо приложениеотколкото конкретни коренни стойности. Решаване на уравнения онлайн Уравнения онлайн. Решението на уравнението е задачата да се намерят такива стойности на аргументите, за които се постига това равенство. На възможни стойностимогат да се налагат аргументи допълнителни условия(цяло число, реално и т.н.). Решаване на уравнения онлайн Уравнения онлайн. Можете да решите уравнението онлайн незабавно и с висока прецизнострезултат. Аргументите на дадените функции (понякога наричани „променливи“) в случай на уравнение се наричат ​​„неизвестни“. Стойностите на неизвестните, за които се постига това равенство, се наричат ​​решения или корени на даденото уравнение. Твърди се, че корените удовлетворяват дадено уравнение. Решаването на уравнение онлайн означава намиране на множеството от всички негови решения (корени) или доказване, че няма корени. Решаване на уравнения онлайн Уравнения онлайн. Еквивалентни или еквивалентни се наричат ​​уравнения, чиито набори от корени съвпадат. За еквивалентни се считат и уравнения, които нямат корени. Еквивалентността на уравненията има свойството на симетрия: ако едно уравнение е еквивалентно на друго, тогава второто уравнение е еквивалентно на първото. Еквивалентността на уравненията има свойството транзитивност: ако едно уравнение е еквивалентно на друго, а второто е еквивалентно на третото, тогава първото уравнение е еквивалентно на третото. Свойството на еквивалентност на уравненията позволява да се извършват трансформации с тях, на които се основават методите за тяхното решаване. Решаване на уравнения онлайн Уравнения онлайн. Сайтът ще ви позволи да решите уравнението онлайн. Уравненията, за които са известни аналитични решения, включват алгебрични уравнения не по-високи от четвърта степен: линейно уравнение, квадратно уравнение, кубично уравнение и уравнение от четвърта степен. Алгебрични уравненияв общия случай те нямат аналитично решение, въпреки че някои от тях могат да бъдат сведени до уравнения от по-ниски степени. Уравнения, които включват трансцендентни функции, се наричат ​​трансцендентални. Сред тях за някои са известни аналитични решения тригонометрични уравнения, тъй като нулите тригонометрични функциивсеизвестен. В общия случай, когато не може да се намери аналитично решение, се използват числени методи. Числените методи не дават точно решение, а само позволяват стесняване на интервала, в който се намира коренът, до определена предварително зададена стойност. Решаване на уравнения онлайн.. Онлайн уравнения.. Вместо онлайн уравнение ще представим как същият израз формира линейна зависимост и то не само по права допирателна, но и в самата точка на инфлексия на графиката. Този метод е незаменим по всяко време в изучаването на предмета. Често се случва решението на уравненията да се доближи до крайната стойност чрез безкрайни числа и записващи вектори. Необходимо е да се проверят изходните данни и това е същността на задачата. В противен случай местното условие се преобразува във формула. Инверсията на правата линия на дадена функция, която калкулаторът на уравнения ще изчисли без много забавяне в изпълнението, ще бъде компенсирана от привилегията на пространството. Ще става дума за изява на студенти в научна среда. Въпреки това, както всичко по-горе, това ще ни помогне в процеса на намиране и когато решите уравнението напълно, тогава запазете получения отговор в краищата на сегмента на правата линия. Правите в пространството се пресичат в точка и тази точка се нарича пресечена от прави. Интервалът на линията е маркиран като даден по-рано. Ще бъде публикувана най-високата длъжност в изучаването на математика. Задайте стойност на аргумент от параметрично дефинирана повърхност и решете уравнението онлайн, ще можете да посочите принципите продуктивно лечениекъм функцията. Лентата на Мьобиус, или както я наричат ​​безкрайността, прилича на осмица. Това е едностранна повърхност, а не двустранна. По добре познатия на всички принцип ще приемем обективно линейни уравненияза основното обозначение такова, каквото е и в областта на изследване. Само две стойности на последователно дадени аргументи могат да разкрият посоката на вектора. Да приемем, че различно решение на онлайн уравненията е много повече от простото им решаване означава получаване на пълноценна версия на инварианта на изхода. Без интегриран подходЗа учениците е трудно да научат този материал. Както и преди, за всеки специален случай нашият удобен и интелигентен онлайн калкулатор на уравнения ще помогне на всеки в труден момент, защото просто трябва да посочите входните параметри и системата сама ще изчисли отговора. Преди да започнем да въвеждаме данни, имаме нужда от инструмент за въвеждане, което може да се направи без особени затруднения. Броят на резултата за всеки отговор ще бъде квадратно уравнение, водещо до нашите заключения, но това не е толкова лесно да се направи, защото е лесно да се докаже обратното. Теорията, поради своите особености, не е подкрепена от практически знания. Да видите дробен калкулатор на етапа на публикуване на отговор не е лесна задача в математиката, тъй като алтернативата за записване на число върху набор увеличава растежа на функцията. Би било обаче некоректно да не кажем за обучението на студентите, така че ще изразим всеки толкова, колкото е необходимо да се направи. Намереното по-рано кубично уравнение с право ще принадлежи към областта на дефиницията и ще съдържа пространството на числените стойности, както и символните променливи. След като са научили или запомнили теоремата, нашите ученици ще се доказват само с по-добра странаи ще им се радваме. За разлика от набора от пресечни точки на полета, нашите онлайн уравнения се описват от равнина на движение по протежение на умножението на две и три цифрови комбинирани линии. Наборът в математиката не е еднозначно дефиниран. Най-доброто решение според учениците е завършеното докрай писмено изразяване. Както се каза научен език, абстракцията на символните изрази не е включена в състоянието на нещата, но решаването на уравненията дава недвусмислен резултат във всички известни случаи. Продължителността на сесията на учителя се основава на нуждите в тази оферта. Анализът показа необходимостта от всички изчислителни техники в много области и е абсолютно ясно, че калкулаторът с уравнения е незаменим инструмент в талантливите ръце на ученик. Лоялният подход към изучаването на математиката определя значението на възгледите в различни посоки. Искате да посочите една от ключовите теореми и да решите уравнението по такъв начин, в зависимост от отговора на който ще има нужда от по-нататъшно прилагане. Анализите в тази област набират скорост. Да започнем отначало и да изведем формулата. Преминавайки нивото на нарастване на функцията, допирателната линия в точката на инфлексия задължително ще доведе до факта, че решаването на уравнението онлайн ще бъде един от основните аспекти при конструирането на същата графика от аргумента на функцията. Аматьорският подход има право да се прилага, ако това условие не противоречи на изводите на учениците. Това е подзадачата, която поставя анализа на математическите условия като линейни уравнения в съществуващата област на дефиницията на обекта, която е преместена на заден план. Изместването в посока на ортогоналността отменя предимството на единичната абсолютна стойност. По модул, решаването на уравнения онлайн дава същия брой решения, ако отворите скобите първо със знак плюс, а след това със знак минус. В този случай има два пъти повече решения и резултатът ще бъде по-точен. Стабилният и правилен онлайн калкулатор на уравнения е успех в постигането на планираната цел в задачата, поставена от учителя. Изглежда възможно да се избере необходимия метод поради значителните различия във възгледите на големите учени. Полученото квадратно уравнение описва кривата на линиите, така наречената парабола, а знакът ще определи нейната изпъкналост в квадратната координатна система. От уравнението получаваме както дискриминанта, така и самите корени според теоремата на Виета. Необходимо е да представите израза като правилна или неправилна дроб и да използвате калкулатора на дроби на първия етап. В зависимост от това ще се формира план за нашите по-нататъшни изчисления. Математиката с теоретичен подход е полезна на всеки етап. Определено ще представим резултата като кубично уравнение, защото ще скрием корените му в този израз, за ​​да опростим задачата за студент в университет. Всички методи са добри, ако са подходящи за повърхностен анализ. Екстра аритметични операцииняма да доведе до грешки в изчисленията. Определете отговора със зададена точност. Използвайки решението на уравненията, нека си признаем - намирането на независима променлива на дадена функция не е толкова лесно, особено когато изучаваме успоредни прави в безкрайност. С оглед на изключението необходимостта е много очевидна. Разликата в поляритета е недвусмислена. От опита на преподаване в институти, нашият учител взе основен урок, на който онлайн се изучаваха уравнения в пълния математически смисъл. Тук ставаше въпрос за по-големи усилия и специални умения в прилагането на теорията. В полза на нашите заключения не трябва да се гледа през призма. Доскоро се смяташе, че затворено множество се разраства бързо над площта, както е, и решението на уравненията просто трябва да бъде проучено. На първия етап не разгледахме всички възможни варианти, но подобен подход е по-оправдан от всякога. Допълнителните действия със скоби оправдават някои напредвания по ординатната и абсцисната ос, които не могат да бъдат пренебрегнати с просто око. Има инфлексна точка в смисъл на широко пропорционално увеличение на функция. Още веднъж ще докажем как необходимото условие ще бъде приложено върху целия интервал на намаляване на една или друга низходяща позиция на вектора. В ограничено пространство ще изберем променлива от началния блок на нашия скрипт. Системата, изградена като основа на три вектора, е отговорна за отсъствието на главния момент на сила. Въпреки това, калкулаторът на уравнение изведе и помогна за намирането на всички членове на съставеното уравнение, както над повърхността, така и по успоредни линии. Нека опишем кръг около началната точка. Така ще започнем да се движим нагоре по линиите на сечението, а допирателната ще опише кръга по цялата му дължина, в резултат на което ще получим крива, която се нарича еволвента. Между другото, нека поговорим за тази крива малко история. Факт е, че исторически в математиката не е имало понятие за самата математика в чистия смисъл, както е днес. Преди това всички учени се занимаваха с едно общо нещо, тоест с наука. По-късно, няколко века по-късно, когато научен святизпълнено с колосално количество информация, човечеството все още отделя много дисциплини. Те все още остават непроменени. И въпреки това всяка година учени от цял ​​свят се опитват да докажат, че науката е безгранична и не можете да решите уравнение, освен ако нямате познания по природни науки. Може да не е възможно най-накрая да се сложи край. Мисленето за това е толкова безсмислено, колкото и затоплянето на въздуха навън. Нека намерим интервала, при който аргументът с положителната си стойност определя модула на стойността в рязко нарастваща посока. Реакцията ще помогне да се намерят поне три решения, но ще е необходимо да ги проверите. Нека започнем с факта, че трябва да решим уравнението онлайн, използвайки уникалната услуга на нашия уебсайт. Нека въведем двете части на даденото уравнение, натиснете бутона "РЕШИ" и само за няколко секунди ще получите точния отговор. В специални случаи ще вземем книга по математика и ще проверим отново отговора си, а именно ще погледнем само отговора и всичко ще стане ясно. Същият проект ще излети върху изкуствен излишен паралелепипед. Има успоредник с неговите успоредни страни и той обяснява много принципи и подходи към изследването на пространственото отношение на възходящия процес на натрупване на кухо пространство в естествените формули. Нееднозначните линейни уравнения показват зависимостта на желаната променлива с нашето общо решение в момента и е необходимо по някакъв начин да се извлече и приведе неправилна дробкъм нетривиален случай. Маркираме десет точки на правата линия и начертаваме крива през всяка точка дадено направление, и изпъкнете нагоре. Без особени затруднения нашият калкулатор за уравнения ще представи израз в такава форма, че проверката му за валидност на правилата ще бъде очевидна още в началото на записа. Системата от специални представяния на стабилността за математиците на първо място, освен ако не е предвидено друго във формулата. Ще отговорим на това с подробно представяне на доклад за изоморфното състояние на пластична система от тела и онлайн решението на уравнения ще опише движението на всяка материална точка в тази система. На ниво задълбочено изследване ще е необходимо да се изясни подробно въпросът за инверсиите поне на долния слой на пространството. Във възходящ ред върху раздела на прекъсването на функцията ще приложим общия метод на отличен изследовател, между другото, наш сънародник, и ще разкажем по-долу за поведението на самолета. Поради силните характеристики на аналитично зададената функция, ние използваме онлайн калкулатора за уравнения само по предназначение в рамките на извлечените граници на правомощията. Спорейки по-нататък, спираме нашия преглед върху хомогенността на самото уравнение, тоест дясната му страна е приравнена на нула. Още веднъж ще проверим правилността на нашето решение по математика. За да избегнем получаването на тривиално решение, ще направим някои корекции в началните условия на задачата за условната устойчивост на системата. Нека съставим квадратно уравнение, за което изписваме два записа с помощта на добре познатата формула и намираме отрицателни корени. Ако един корен надвишава втория и третия корен с пет единици, тогава, като правим промени в основния аргумент, ние изкривяваме първоначалните условия на подпроблема. В основата си нещо необичайно в математиката винаги може да бъде описано с точност до стотни от стойностите. положително число. Калкулаторът на дроби е няколко пъти по-добър от своите колеги на подобни ресурси в най-добрия момент на натоварване на сървъра. На повърхността на вектора на скоростта, растящ по оста y, начертаваме седем линии, огънати в противоположни посоки една спрямо друга. Съизмеримостта на присвоения аргумент на функцията води до брояча на баланса за възстановяване. В математиката това явление може да бъде представено чрез кубично уравнение с въображаеми коефициенти, както и в двуполюсен прогрес на намаляващи линии. Критични точкитемпературната разлика в много от нейните значения и напредък описват процеса на факторизиране на сложна дробна функция. Ако ви кажат да решите уравнението, не бързайте да го направите тази минута, определено първо оценете целия план за действие и едва след това вземете правилния подход. Със сигурност ще има ползи. Лекотата в работата си личи, така е и в математиката. Решете уравнението онлайн. Всички онлайн уравнения са определен тип запис на числа или параметри и променлива, която трябва да бъде дефинирана. Изчислете тази много променлива, тоест намерете конкретни стойности или интервали от набор от стойности, за които идентичността ще бъде изпълнена. Началните и крайните условия са пряко зависими. Общото решение на уравненията, като правило, включва някои променливи и константи, като зададем, ще получим цели семейства от решения за дадена постановка на проблема. Като цяло това оправдава усилията, положени в посока увеличаване на функционалността на пространствен куб със страна равна на 100 сантиметра. Можете да приложите теорема или лема на всеки етап от конструирането на отговор. Сайтът постепенно издава калкулатор на уравнения, ако е необходимо, показва най-малката стойност на всеки интервал на сумиране на продуктите. В половината от случаите такава топка е куха, а не вътре Повече ▼отговаря на изискванията за задаване на междинен отговор. Поне по оста y в посока на намаляване на векторното представяне тази пропорция несъмнено ще бъде по-оптимална от предишния израз. В часа, когато се извърши пълен точков анализ на линейни функции, ние всъщност ще съберем заедно всички наши комплексни числа и биполярни равнинни пространства. Чрез заместване на променлива в получения израз ще решите уравнението на етапи и ще дадете най-подробния отговор с висока точност. Още веднъж, проверката на вашите действия по математика ще бъде добра форма от страна на ученик. Пропорцията в съотношението на фракциите фиксира целостта на резултата във всички важни области на дейност на нулевия вектор. Тривиалността се потвърждава в края на извършените действия. С прост набор от задачи учениците не могат да имат затруднения, ако решат уравнението онлайн за възможно най-кратки периоди от време, но не забравяйте за всички видове правила. Наборът от подмножества се пресичат в областта на конвергентната нотация. AT различни поводипродуктът не е факторизиран погрешно. Ще ви помогнем да решите уравнението онлайн в нашия първи раздел за основите на математическите техники за важни секции за студенти в университети и технически училища. Отговарянето на примери няма да ни накара да чакаме няколко дни, тъй като процесът на най-доброто взаимодействие на векторния анализ с последователното намиране на решения е патентован в началото на миналия век. Оказва се, че усилията за свързване с околния отбор не са били напразни, нещо друго явно е закъсняло. Няколко поколения по-късно учените от цял ​​свят накараха да вярват, че математиката е кралицата на науките. Независимо дали е левият или десният отговор, изчерпателните термини трябва да бъдат записани в три реда така или иначе, тъй като в нашия случай ще говорим недвусмислено само за векторния анализ на свойствата на матрицата. Нелинейните и линейните уравнения, заедно с биквадратните уравнения, заемат специално място в нашата книга за най-добри практикиизчисляване на траекторията на движение в пространството на всички материални точки на затворена система. Линейният анализ ще ни помогне да оживим идеята точков продукттри последователни вектора. В края на всяка настройка задачата се улеснява чрез въвеждане на оптимизирани числени изключения в контекста на изпълняваните наслагвания на цифрово пространство. Друго решение няма да се противопостави на намерения отговор в произволна форма на триъгълник в кръг. Ъгълът между двата вектора съдържа необходимия процент марж и решаването на уравнения онлайн често разкрива някакъв общ корен на уравнението, за разлика от началните условия. Изключението играе ролята на катализатор в целия неизбежен процес на намиране на положително решение в областта на дефинирането на функцията. Ако не е казано, че не можете да използвате компютър, тогава онлайн калкулаторът на уравнения е точно за вашите трудни задачи. Достатъчно е само да въведете вашите условни данни в правилния формат и нашият сървър ще издаде пълноценен резултатен отговор в най-кратки срокове. Експоненциалната функция расте много по-бързо от линейната. Това се доказва от талмудите на умната библиотечна литература. Ще направи изчислението в общ смисълкакто би направило дадено квадратно уравнение с три комплексни коефициента. Параболата в горната част на полуравнината характеризира праволинейно успоредно движение по осите на точката. Тук си струва да споменем потенциалната разлика в работното пространство на тялото. В замяна на неоптимален резултат, нашият дробен калкулатор с право заема първото място в математическия рейтинг на прегледа на функционалните програми в задната част. Лесното използване на тази услуга ще бъде оценено от милиони интернет потребители. Ако не знаете как да го използвате, тогава ние ще се радваме да ви помогнем. Също така искаме да подчертаем и подчертаем кубичното уравнение от редица задачи на началните ученици, когато трябва бързо да намерите неговите корени и да начертаете функционална графика на равнина. по-високи степенивъзпроизвеждането е една от най-трудните математически задачи в института и за нейното изучаване се отделят достатъчен брой часове. Както всички линейни уравнения, нашето не е изключение от много обективни правила, погледнете от различни гледни точки и ще се окаже просто и достатъчно за задаване на началните условия. Интервалът на нарастване съвпада с интервала на изпъкналост на функцията. Решаване на уравнения онлайн. Изучаването на теорията се основава на онлайн уравнения от множество раздели за изучаване на основната дисциплина. В случай на такъв подход при несигурни проблеми е много лесно да се представи решението на уравненията в предварително определена форма и не само да се направят изводи, но и да се предвиди резултатът от такова положително решение. Услугата ще ни помогне да научим предметната област в най-добрите традиции на математиката, точно както е обичайно на Изток. AT най-добрите моментиинтервал от време, подобни задачи бяха умножени по общ множител десет пъти. С изобилие от умножения на множество променливи в калкулатора на уравнението, той започна да се умножава по качество, а не по количествени променливи, като стойности като маса или телесно тегло. За да избегнете дисбаланси материална система, извеждането на триизмерния преобразувател върху тривиалната конвергенция на неизродени математически матрици е съвсем очевидно за нас. Изпълнете задачата и решете уравнението в зададените координати, тъй като изходът е предварително неизвестен, както и всички променливи, включени в постпространственото време, са неизвестни. На краткосроченпреместете общия множител извън скобите и разделете на най-големия общ делителдвете части предварително. Изпод полученото покрито подмножество от числа извлечете по подробен начин тридесет и три точки подред за кратък период. Доколкото е възможно всеки ученик да реши уравнението онлайн по възможно най-добрия начин, гледайки напред, нека кажем едно важно, но ключово нещо, без което няма да ни е лесно в бъдеще. През миналия век великият учен забеляза редица закономерности в теорията на математиката. На практика се оказа не съвсем очакваното впечатление от събитията. По принцип обаче самото решение на уравнения онлайн помага за подобряване на разбирането и възприемането на холистичен подход към изучаването и практическото консолидиране на теоретичния материал, обхванат от студентите. Много по-лесно е да направите това по време на обучението си.

=