Размита логика - математически основи. Теория на размитите множества

Анотация: Лекцията представя методи за моделиране на икономически проблеми с помощта на размити множества в среда Mathcad. Въвеждат се основните понятия от теорията на размитите множества. Примерите показват операции върху множества, изчисляване на свойства. Разглеждат се оригинални задачи, при които се прилага размито-множествен подход в процеса на вземане на решения. Техниката на моделиране е реализирана с помощта на матриците на програмата Mathcad.

Целта на лекцията.Въведете размитите множества. Да научите как да поставите задача за изграждане на размит-множествен модел. Покажете как да създавате размити набори и да оперирате с тях в Mathcad. Представете методи за решаване на размит-множествен модел в процеса на решаване на проблеми.

6.1 Размито множествено моделиране

При моделирането на широк клас реални обекти става необходимо да се вземат решения в условия на непълна размита информация. Съвременна перспективна посока на моделиране различен виднесигурности е теорията на размитите множества. В рамките на теорията на размитите множества са разработени методи за формализиране и моделиране на човешките разсъждения, такива понятия като "повече или по-малко висока инфлация", "стабилна позиция на пазара", "по-ценен" и др.

За първи път концепцията за размитите множества е предложена от американския учен Л. А. Заде (1965 г.). Неговите идеи послужиха за разработване на размита логика. За разлика от стандартната логика с две двоични състояния (1/0, Да/Не, Вярно/Невярно), размитата логика ви позволява да дефинирате междинни стойности между стандартните резултати. Примери за такива оценки са: „по-скоро, отколкото не“, „вероятно да“, „леко надясно“, „рязко наляво“ за разлика от стандартните: „надясно“ или „наляво“, "да". В теорията на размитите множества размитите числа се въвеждат като размити подмножества от специализиран тип, съответстващи на твърдения като "стойността на променливата е приблизително равна на a". Като пример, разгледайте триъгълно размито число, където са разпределени три точки: минималната възможна, най-очакваната и максималната възможно значениефактор а. Триъгълните числа са най-често използваният тип размити числа в практиката, освен това най-често се използват като прогнозни стойности на параметри. Например очакваната стойност на инфлацията за следващата година. Нека най-вероятната стойност е 10%, минималната възможна стойност е 5%, а максималната възможна стойност е 20%, тогава всички тези стойности могат да бъдат намалени до формата на размито подмножество или размито число A: A: ( 5, 10, 20)

С въвеждането на размитите числа се оказа възможно да се предвидят бъдещите стойности на параметрите, които се променят в установения изчислен диапазон. Въвежда се набор от операции върху размити числа, които се свеждат до алгебрични операции с обикновени числа, когато е зададен определен доверителен интервал (ниво на членство). Използването на размити числа ви позволява да зададете прогнозния коридор на стойностите на прогнозираните параметри. След това очакваният ефект също се оценява от експерта като размито число със собствен изчислен спред (степен на размиване).

Размитата логика, като модел на човешки мисловни процеси, е вградена в системи с изкуствен интелект и автоматизирани инструменти за поддръжка вземане на решение(по-специално в системите за управление технологични процеси).

6.2 Основни понятия на теорията на размитите множества

Множеството е неопределимо понятие от математиката. Георг Кантор (1845-1918) немски математик, чиято работа е в основата съвременна теориямножества, дава такава концепция: "... множеството е много, мислимо като едно."

Набор, който включва всички обекти, разглеждани в проблема, се нарича универсален набор. Универсален комплектобикновено се обозначава с буквата. Универсален комплекте максимално множество в смисъл, че всички обекти са негови елементи, т.е. твърдението в проблема винаги е вярно. Минималният набор е празен комплект– което не съдържа никакъв елемент. Всички останали множества в разглежданата задача са подмножества на множеството . Спомнете си, че наборът се нарича подмножество на набор, ако всички елементи също са елементи на . Присвояването на набор е правило, което позволява недвусмислено да се определи по отношение на който и да е елемент от универсално множество, дали той принадлежи към множеството или не. С други думи, това е правило за определяне кое от две твърдения, или , е вярно и кое е невярно. Един от начините за дефиниране на множества е използването на характеристична функция.

Характеристичната функция на набор е функция, дефинирана върху универсално множество и приемаща стойност единица за онези елементи от множеството, които принадлежат на , и стойност нула за онези елементи, които не принадлежат на :

(6.1)

Като пример, помислете универсален комплекти неговите две подмножества: - множеството от числа, по-малки от 7, и - множеството от числа, малко по-малки от 7. Характеристичната функция на множеството има формата

(6.2)

Поставете в този примере обичайният набор.

Невъзможно е да се напише характеристичната функция на множеството само с 0 и 1. Например трябва ли да се включат числата 1 и 2? 3 по-малко от 7 "много" ли е или "не много"? Отговори на тези и подобни въпроси могат да бъдат получени в зависимост от условията на проблема, в който се използват множествата и , както и от субективния поглед на този, който решава този проблем. Множеството се нарича размито множество. При съставяне на характеристичната функция на размито множество разрешаване на проблем(експерт) може да изрази мнението си за степента, в която всяко от числата в множеството принадлежи на множеството. Като степен на членство можете да изберете произволно число от сегмента. В същото време това означава пълната увереност на експерта, че - е също толкова пълна увереност, което означава, че експертът се затруднява да отговори на въпроса дали принадлежи към множеството или не. Ако , тогава експертът е склонен да се позовава на множеството , ако , тогава не е наклонен.

Функцията на членство на размито множество е функция, която

Такава функция се нарича членска функцияразмит набор. - Максимална стойностфункция на принадлежност, присъстваща в множеството - горната граница - се нарича супремум. Членска функцияотразява субективния поглед на специалиста върху задачата, внася индивидуалност в нейното решение.

Характеристичната функция на обикновеното множество може да се разглежда като функция на принадлежност към това множество, но за разлика от размитото множество, тя приема само две стойности: 0 или 1.

Размитото множество е двойка , където - универсален комплект, - членска функцияразмит набор.

Носещо множество или носител на размито множество е подмножество на множеството, състоящо се от елементи, върху които .

Преходната точка на размито множество се нарича зададен елемент, на която .

В разглеждания пример, където , е наборът от числа, по-малък от 7, е наборът от числа, малко по-малък от 7, ние субективно избираме стойностите за набора, които ще представляват функцията на принадлежност. Таблица 6.1 изброява функциите за членство за и за и .

Таблица 6.1.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1	1	1	1	1	0	0	0	0
0	0	0,5	0,6	0,8	0,9	0	0	0	0

Често се използва по-компактна нотация на крайни или преброими размити множества. Така че, вместо горното таблично представяне на подмножества и , тези подмножества могат да бъдат записани по следния начин.

Здравейте граждани и граждани. По заповед на лявата пета реших да започна поредица от научно-популярни статии, където ще обясня основите на изкуствения интелект. Затова в бъдеще ще се пробвам в ролята на гост-лектор, разказвайки как Космически корабиразорават просторите на Болшой театър.

Не мога да публикувам по една статия на ден, така че няма да обещавам нищо, за да не се затруднявам с тези задължения. Единственото нещо: няма да измъчвам другите с изобилие от математика, ще се опитам да изложа всичко възможно най-достъпно, но без ругатни. Ще започна цикъла с апарата на размитата логика, където ще обясня каква е интелектуалността му.

Да започна кратко отклонениев теорията на множествата. Наборът е колекция от няколко обекта, които имат определено свойство. Например съвкупността от всички хора на нашата планета. Комплект автомобили Audi с RGB цветови координати (255, 165, 0). Комплект от всички мъжки какаду, седнали на клон на една лапа точно в 15:39 GMT. Същността на хрупкавите комплекти се крие в тяхната абсолютна категоричност. Тоест, за да се определи дали даден обект принадлежи към някакво множество, е необходимо да се отговори на въпроса дали той има свойство, което определя това множество. Не точно. Нито повече, нито по - малко. Единицата по-голяма ли е от нула? да Така че принадлежи на множеството от положителни числа.

Нека се приближим до тялото, до теорията на размитите множества. Създадена е от американски учен от азербайджански произход Лотфи Заде, за да адаптира теорията на множествата към начина на човешкото мислене. В крайна сметка, как мисли човек? Ако, докато сте на плажа, попитате плувец: „Кажи ми, скъпи човече, каква е температурата на водата по скалата на Фаренхайт, с точност до десета от градуса?“ - той ще ви погледне, сякаш сте психически аз ще. И ако зададете въпроса: „Как е водата днес?“, Той ще каже: „Студена / гореща / топла“ или ще промърмори „мокра“, ако днес не е в духа. Целият цимес е, че " студена вода“ е доста неясна формулировка. Единият ще се грее в блаженство, където другият ще тича до брега, за да се грее след две минути. Така работи човек, субективизъм и липса на ясни граници- това е за нас.

Някои вече са успели да разберат защо са размити множества. Изключително трудно е да се определи колко хора имат свойството "високо". За мен двуметров красив мъж, наклонен фатмън в раменете, висок поне не е по-нисък от нивото на ухото ми. И нисък мъж от метър и половина ще гледа човек с височина 170 см с вдигната глава - за него високият растеж започва много по-рано. Тук става дума за субективизъм.

Втората трудност се състои в размиването на границите. Възможно ли е точно да се определи броят на сантиметрите, които ще разделят човек със среден ръст от нисък? 170 и половина? 172 и три четвърти? Разделението е много, много условно. И така, ние се доближихме до разликата между размитите множества и ясните.

Дърлене на барабани, пауза на Мхатов… И така, размитите множества се различават от отчетливите по това, че обектите, принадлежащи към размитите множества, могат да имат свойство, което ги определя в различна степен. Ние се съгласихме да считаме тази степен на членство като лежаща в диапазона от нула до едно, но ако на някого е по-удобно, той може да умножи по 100 и ще получите проценти.

Да кажем, че пиете горящо кафе, чашата дими. Със сигурност от 0,99 (99 процента - първият и последният път, когато върша работата вместо вас), може да се твърди, че кафето има свойството "горещо". Ако то (кафето, в смисъл) има температура 50 градуса по Целзий, тогава степента на притежание на свойството "горещо" ще бъде много по-ниска, да речем, 0,76 (сега пребройте сами). В същото време има обекти, които принадлежат към "горещия" набор с нула или една степен. Например, полузамразеното кафе може да се нарече горещо само от луд или човек, който не знае руски език, а варенето е сто фунта горещо. Има безкраен брой примери, за щастие почти всяка човешка категория, която се използва в ежедневието, е неясна. Разчитайки на вашето богато въображение, оставям задачата да намеря други примери за самостоятелно решение.

Защо създаването на такава теория беше толкова важно, защо й беше обърнато толкова голямо внимание? Отговорът е прост: тук е скрита златна мина. Огромна широчина на приложение. Да приемем, че сте инженер и задачата ви е да проектирате микровълнова фурна. До каква температура човек ще затопли храната? До 40,2°C? Майната му. До горещ, че има размит набор. А задачата на микровълновата фурна е да даде на мъфина такава температура, която с една степен на сигурност да принадлежи към набора „горещо“.

Тогава започва най-забавното, бягащите от уроците по математика могат да се разпръснат настрани с вой. НО? Какво? Обещах ли да се справя без него? Както каза старият Арни известен филм- "Излъгах". Степента на членство обикновено се обозначава с гръцката буква "mu" - μ. За да не се отегчаваме, нека въведем понятието лингвистична променлива - това е такава променлива, която може да приеме стойност под формата на думи на човешки език. Тоест лингвистичната променлива "растеж" може да приема следните стойности: "висока", "средна", "ниска". Стойностите на лингвистичната променлива ще се наричат набори от термини, обръщам внимание на факта, че те са размити. И накрая, има концепцията за универсален набор - обикновен, ясен набор, съдържащ всички стойности, които една обикновена променлива може да приеме. Обичайната променлива "височина на човек" може да приема стойности от нула до "колко има рекорд на Гинес, не помня."

Задачата на функцията за принадлежност (FP) е да определи степента, в която обикновена променлива принадлежи към стойността на лингвистична променлива. Тъй като започнах да педалирам темата за височината, ще развия: FP определя степента, в която човек с височина 184 см принадлежи към „средния“ набор от термини. И така, да заприличаме на бабите. Имаме лингвистична променлива. Имаме няколко негови стойности, всяка от които е размит набор. И накрая, имаме универсален набор - набор от числени стойности на обикновена променлива. Изправени сме пред следната цел: да определим за всяко от размитите множества собствена функция на принадлежност, т.е. за всеки от елементите на универсалното множество посочете степента на членство в съответното размито множество. След това можем да разгледаме конкретна стойност на променливата и да видим до каква степен тя принадлежи към всяко размито множество. Всичко, бурята отмина, можете да изтриете потта и да се отпуснете за известно време. След това ще излязат забавни снимки, след което ще продължим да се забавляваме известно време. В снимките ще илюстрирам значението на функцията на членство, ще покажа какви видове са тези животни, с какво се хранят и ще обясня как да построя тези животни. Да се върнем към любимата ви тема за човешкия растеж. Нека вземем за пример набора "средно" и начертаем графиката на функцията на принадлежност.

Сега, въоръжени с подострен молив, можете да изберете всяка стойност на "x" и да видите до каква степен това x удовлетворява условието за среден ръст. Фактът, че осемдесет метра е желязо. Метър седемдесет и два - със степен 0,5. Растежът на метър и петдесет не е среден, така че степента на принадлежност е нула. И така нататък. Обърнете внимание, че намалената функция се нарича триъгълна. Трудно е за вярване, но въпреки това.

Но ние взехме готова функция, която някой (някой!) любезно ни предостави. Как сами да изградите подобна функция? Има два начина: прост и с проблеми. По очевидни причини ще опиша само една проста. Първо, трябва да съберете група от експерти. Е, това са тези безделници, които вярват, че разбират всичко и знаят как всъщност работи светът. Дайте на всеки експерт молив и бележник. След това избройте стойностите на променливата и помолете да поставите "1" (стик, кръстче - по избор) пред тази стойност, ако експертът смята, че стойността на променливата принадлежи към размития набор. Нула - иначе. След това за всяка стойност на променливата сумирайте нулите и единиците и вземете средната стойност - тоест разделете получената сума на броя на безделниците. Получената стойност ще бъде в диапазона от нула до едно (и двете стойности са включени). Някои може да се досетят, че сме получили стойността на функцията за принадлежност за определена стойност на променливата. След като сте получили стойностите на FP за всички стойности на променливата x, можете да изградите графика. Или не строете, ако сте твърде мързеливи.

Математическа теория на размитите множества, създадена през 60-те години. за решаване на тесен утилитарен проблем за разпознаване на образи, в момента има приложения в повечето различни областинаучни и стопанска дейност- от работа по създаването на изкуствен интелект в компютри от пето поколение до управление на сложни технологични процеси.
Тази теория се основава на понятията за размито множество и функция на принадлежност, чиято дефиниция е дадена по-долу.

Нека E е множество, изброимо или не, тяхното: - елемент от E. Тогава размито подмножество A на множеството E се дефинира като набор от подредени двойки - характерна функция на членство, която приема своите стойности в добре- подредено множество M, указващо степента на членство на елемента x в подмножеството A. Множеството M се нарича множество на членство.
Ще илюстрираме приложението на теорията на размитите множества в икономиката чрез примера за изчисляване на бъдещия асортимент на предприятие за търговия на едро в един продуктов профил с фиксирана търговска площ. Под обещаващия диапазон в този случайсе разбира като набор от стоки, които със сигурност ще бъдат търсени сред потребителите - в този случай търговските предприятия на дребно, включени в зоната на ефективна търговска дейност на организацията за търговия на едро. Намирането на обещаващ асортимент гарантира на организацията за търговия на едро формирането на асортиментно ядро, което ще се продава на пазара с минимален риск, а също така помага да се отразят общите тенденции на това потребителски пазарна които организацията търговия на едроизвършва своята търговска дейност.
Успешно решениезадачата за намиране на обещаващ асортимент ви позволява да вземете решение за сключване на сделка, когато анализирате входящите търговско предложение.
дадени:
X = \xr x2,..., xn) - набор от стоки, налични в склада на търговско предприятие на едро или представени като търговски предложения.
Y = (yy y2,..., yur) е наборът от атрибути на стоките.
Z = (zr z2,., zm) е множеството от разглежданите търговски предприятия на дребно - потребители на организацията за търговия на едро.
Необходимо е да се определи бъдещият асортимент на търговската организация на едро, т.е. набор x; за удовлетворяване на предполагаеми искания от З.
Моделът е изграден при следните допускания:

на пазара има доставчици и потребители - съответно търговски организации на едро и дребно;
търговски заявки от търговци на дребно zt, z2,..., zm се разглеждат и при възможност се удовлетворяват, независимо от часа на тяхното получаване.
сделки между търговци на едро и дребно търговски организацииимат различен ред, който се определя от тегловната функция на организациите за търговия на дребно, използващи пр
партньорска оценка въз основа на резултатите от предишни търговски дейности;
стоките xp x2,...,xn се характеризират с p характеристики;
степента на принадлежност на атрибутите yy y2,...,ur към стоки варира между отделните стоки xp x2,..., xn;
една стока се предпочита пред друга винаги, когато характеристиките й са v. по важност се доближават до оценката на потребителя z. (търговец на дребно).

Нека l x Y -gt; - функция на принадлежност на размито бинарно отношение R, определена с помощта на експерт.
Съотношението R е представено в матрична форма, както следва:
.U, U2 " * * Ur ¦

%r(xi' Y i)^r(xpY2) ^r(xi" Ur)

X2
*„1,іzh(\'Uі) y2-gt; любим
В тази матрица елементите на всеки ред изразяват относителните степени на принадлежност на признаците към определени стоки. Колкото по-висока е стойността, толкова по-важен е атрибутът.
Нека fs:7xZ-gt; е функцията на принадлежност на размитата двоична релация S. За всички y є Y и всички zeZ φ5(y, z) е равно на степента на съвместимост на търговското предприятие на дребно z с атрибута y. Колкото по-висока е стойността на функцията, толкова повече тази функция е съвместима с конкретно предприятие. на дребно.
В матрична форма тази връзка има формата:
Стойността на матрицата S отразява относителната важност на характеристиките Yt при вземане на решение от предприятието
при закупуване на партида от всеки продукт от търговеца на едро, който обмисляме.

З, ... З
2 стр
От матриците R и S получаваме матрицата T:
чиито елементи се определят от функцията на принадлежност
? IR(X, Y) -f(Y, Z,)
Pl/Xgt; zi) =¦
, за всички xe X, ye Y, zi Z.
Сумата 2, fv(x, y) е равна на степента на размитото подмножество,
При
указващ броя на най-важните характеристики y, които са присъщи на продукта d: от гледна точка на търговеца на дребно. Изгражда се следната матрица:
^A,(xl'zl) L 1*A7(X1-z2gt; - Iі L /*/¦ zm-l) L Ml (xl'zm)\
‘*m-i t
аз
\!lAt(xn‘Zl)^ltA7(xn-z2) - ,(xn-zm-l) L TA (xn-zm)\
"1*t-1t"
където връзката A означава двойната минимална операция. Прагът на разделяне/обхват е ограничен от условието
i.j X ЯІ ‘ Aj 3
След като прагът I е избран, е възможно да се определи нивото, зададено за всяко z:
M\ \u003d (x \ u, (x) gt; tіptachtіn (u (x, z), u (x, z))),
I 1 L, j x I 1 L] J
YxeMr
Нека oj(z) е тегловна функция, която дава теглото на всеки търговец на дребно въз основа на предишна търговска дейност.

Асортиментът на търговско предприятие на едро се описва от обединението на набори от нива:
m = U 0)(z)Mr
І
Изчисляването на бъдещия асортимент помага на търговеца на едро да определи:
как да се оптимизира продуктовата гама (кои продукти трябва да се поддържат на склад при запазване на съществуващата структура на потребителите);
как да промените асортиментната концепция при дадена промяна в зоната на обслужване, т.е. какви стратегически действия да се предприемат в случай на излизане от броя на обслужваните потребители на отделни търговски организации;
как да оптимизираме зоната на обслужване (в нашия случай това е зоната на ефективна търговска дейност), като същевременно изключваме от асортимента онези стоки, чиито характеристики не отговарят на организацията за търговия на едро, или включваме онези стоки, чиито характеристики са подходящи за нея).
За да илюстрирате този проблем, разгледайте опростен числен пример.
Нека организацията за търговия на едро има 6 потребителски стоки на склад (x „ x2, ..., x6) и доставя до трима потребители - Zj (голям универсален магазин), z2 ( малък магазин) и z3 (палатка).
Нека приемем следното като характеристики на разглежданите стоки:
yt - "цена", y3 - "външен вид"
y2-"качество", y4-"сезонност",
y5-"етап кръговат на животастоки".
Нека: X x Y -gt; и f5: Y x Z -gt; [O, 1] са дадени от следните матрици:

1	0,8	0,5	1	0,2		1	0,5	относно
0,8	0,7	1	0,1	0,7		1	0,5	0
0,5	0,5 0,3		1	0,7	gt;	1	0,3	1
0,5	0,3	0,9	0,1	0,2	5 =	0	1	0.5
0,3	0,4 0,1		0	0		1	0	0,5
0,5 0,5		1	1	0,5/		,		і

и стойностите на функцията за тегло са:
co(Zj) = 30, w(z) = 20, co(z,) = 15.

Характеристиките на стоките в матрицата R показват например, че продуктът x е скъп, висококачествен, външно ненатрапчив, отговаря на сезона, но е малко остарял технически (или, обратното, току-що навлиза на пазара и е все още непознат за купувачите).
Характеристиките на магазините в матрица 5 показват, например, че вторият потребител, магазин z2, е тесен в складове и следователно предпочита да търгува със стоки, съответстващи на даден сезон, което следва от стойността на функцията φ$(y4, zJ.
Изчисляваме матрицата T:

/0,714	0,586	0,314
0,97	0,348	0,41
0,667	0,53	0,234
0,95	0,34	0,525
1	0,475	0,125
\ 0,714	0,514	0,5

Предварително отбелязваме за внимателния читател, че вече на този етап може да се предположи, че продуктът x6, както следва от последния ред на матрицата T, най-вероятно ще бъде закупен и от тримата потребители.
Чрез информация по двойки получаваме матрицата W:

(0,586	0,314	0,314
0,348	0,41	0,348
0,53	0,234	0,234
0,34	0,525	0,34
0,475	0,125	0,125
№,514	0,5	0,5

На този етап от изчисленията се взема предвид конкуренцията между потребителите-магазини zr z2 и z).
След това намираме максималните елементи във всяка от колоните на матрицата W:
maxmin(nAi(x, zl)tjiAJx, z2))= 0,586; maxmm(nA](x, zl),nAJx, z3)) =0,525; maxminfnAJx, r2),cA](x, z))) = 0,5.

(x, x2, x3, x4, x), x6,) ,
(Xg x3, xy x6),
(x4,x6,),
По този начин големият универсален магазин zt има достатъчно възможности за търговия с цялата гама продукти, предлагани на едро, магазинът z2, поради липса на място за съхранение, избягва закупуването на стоки, които ще отнеме много време за продажба, а палатката z3 отнема само лъскави и сравнително евтини стоки. Високото търсене на продукта x6 не е случайно, това наистина е продукт с брилянтни характеристики: има ниска цена със средно качество, изглежда страхотно, отговаря на сезона и е доста добре познат на купувача на дребно.
Използвайки стойностите на функцията за тегло, получаваме стойностите на асортимента:
M = (50xp 30x2, 50x3, 45x4, 50x), 105x6)
Резултатите от тази задача са лесни за използване при вземане на решение за сключване на сделка (при анализ на входяща търговска оферта).
За да направите това, като определите функцията на членство на предложения продукт xn +, извършете изчислението съгласно горния алгоритъм и определете до каква степен този продукт принадлежи към набора от стоки от обещаващия асортимент и ако го направи, тогава дали ще измести някоя стока от комплекта xr,..,xn вече в склада на търговеца на едро.
Въз основа на тази оценка лицето, отговорно за приключването на сделката, може да вземе положително, очаквано или отрицателно решение.

К. Хирота (Институт за държавата и правото)

Измина повече от четвърт век, откакто Л. А. Заде от Калифорнийския университет предложи теорията за размитите множества. Тази теория се е развила в много посоки, така че ще отнеме доста време, за да се усвоят всички нейни идеи. Въпреки това, за да го приложите в конкретна област, са достатъчни малък брой концепции. Основните положения на теорията на размитите множества са разгледани по-долу, за да се усвои бързо в приложната област. Първо, ще изучаваме теорията на ясните множества и двузначната булева логика. След това, въз основа на тях, преминаваме към концепциите на теорията на размитите множества и размитата логика. В допълнение, нека обърнем внимание на размитите заключения, които са особено важни от гледна точка на прилагането на тази теория, както и на размитите производствени правила и размитите отношения.

2.1. ЯСНИ КОМПЛЕКТИ

Английската дума fuzz, от която произлиза прилагателното fuzzy (размити), означава "купчина" - специален термин, който определя свойството на тъканите. Когато гледаме рисунка върху мъхест плат, тя ни се струва размазана, така че когато кажем „размита“, ще имаме предвид „неясна“, „размазана“. Размит набор, например, ще наречем всички японски красавици. Значението на това определение е ясно за нас, но ни е трудно да кажем дали това или онова момиче принадлежи към този набор недвусмислено, само с помощта на думите „да“ или „не“; по този начин имаме работа с неопределени, нестроги свойства на обектите на изследване.

За разлика от това, светът, чиито свойства могат да бъдат строго определени с две думи, например "мъж или жена?", Да наречем ясен свят. Следователно ще бъде извикана логиката на компютрите, които работят с 0 и 1

ясна логика, а обикновените множества - ясни множества. Като разширение на тези понятия може да се разглежда размитата логика и размитите множества. За да се подготвим за разбирането на тези понятия, първо ще изучим теорията на ясните множества.

Теорията на ясните множества обикновено включва аксиоматична теория на множествата и теория на елементарните множества. Първата е една от фундаменталните теории на математиката, тя изисква достатъчно високо нивофилософско мислене. Тук обаче ни е достатъчно само да разширим понятието за множество, изучавано в училище, до понятията на елементарната теория на множествата. В допълнение, за да разберем теорията на размитите множества, се нуждаем от концепцията за характеристична функция.

Първо, нека обясним няколко основни термина и обозначения. Главни букви (например X) ще означават набор от обекти, с които ще се занимаваме, а малки букви (например x) - отделни структурни елементи. В този случай въвеждаме нотацията

Къдравите скоби означават колекция от обекти. Самата колекция (тук X) ще се нарича предметна област, пълно пространство или спомагателен комплект. фамилияособено често се използва в областта на размитото управление. (Думата "спомагателен" в математически анализи редица други области има малко по-различен нюанс, така че обръщаме внимание на това.) Отделните структурни елементи ще се наричат просто елементи или обекти. Фактът, че x е елемент от X, се означава по следния начин:

В пълно пространство X дефинираме множество (ясно множество). Като имена (етикети) на набори ще използваме главни букви A, B, C. Например нека пълният набор се състои от десет цифри

тогава множеството от четни цифри A е множеството

В същото време броят структурни елементище наричаме силата на множеството или кардиналното число; нека въведем обозначението за него. В горните примери

В случая ще го наречем сингълтън. Множество с краен се нарича крайно множество, всички елементи в такова множество могат да бъдат записани както във формули (2.3) и (2.4), но, например, в случай на естествени или реални числа, т.е. безкрайни множества, това не може да се направи. В този случай често се използва метод на запис, при който всички свойства на набора се записват вдясно от вертикалната лента. Например формула (2.4) може да бъде записана като

В допълнение, диаграмите на Venn често се използват за обозначаване на концепция под формата на картина (фиг. 2.1).

В допълнение към горните методи за дефиниране на концепциите за отчетлив набор, има метод за дефиниране, използващ характеристичната функция. Характеристичната функция, дефинираща множеството A в пълното пространство X, е картографиране, за което X е областта на дефиницията, а (двузначно множество от 0 и 1) е областта на стойностите:

Освен това, ако елементът удовлетворява свойства А и 0, ако не. Следователно, ако поставим X на хоризонталната и на вертикалната ос, получаваме графично представяне, показано на фиг. 2.2.

В пълното пространство X могат да се разглеждат различни множества, например A с някои свойства и B с други свойства. Обединението на всички такива множества се нарича степенно множество и се обозначава Например, нека

тогава комплектът мощност е

Ориз. 2.1. Представяне на набор с помощта на диаграма на Wain.

Ориз. 2.2. Дефиниране на множество с помощта на характеристичната функция.

Тук 0 е специално множество без елементи, нарича се празно множество. Неговата характерна функция

Тук V се нарича универсален квантор, може да се чете като "всички". (Освен него има екзистенциален квантор 3 в смисъл „има...“.) Тези квантори често се използват в логиката и изкуствен интелект. За разлика от празното множество, характеристичната функция на пълното множество X има формата

В допълнение, за кардиналността на набор, в общия случай, твърдението

Това може лесно да се изведе от формули (2.8) и (2.9).

Сега нека изучим някои операции върху множества (фиг. 2.3). На първо място, отношението на влагане на множества: ако елементите на A са непременно елементи на B, тогава A се нарича подмножество на B (или B е надмножество на A), което се означава като (също вярно за , ако , но , тогава A се нарича правилно подмножество на B). Ако дефинираме A c: B чрез характеристичната функция, получаваме следното неравенство:

За отношението на вграждане на множества може да се докаже

Ориз. 2.3. Вграждане (a), допълнение (b), произведение (c) и сбор от множества

валидност на три свойства:

1) рефлексивност

2) антисиметрия

3) преходност

Можем да кажем, че образува частично подредено множество, или (За релация на вграждане на множества, обикновено за произволни A, B, не винаги е вярно A с B или B a A, така че нашето множество не е линейно подредено или напълно поръчан комплект.)

С помощта на размити множества е възможно формално да се дефинират неточни и полисемантични понятия, като "висока температура", "млад мъж", "среден ръст" или " Голям град". Преди да формулираме определението за размито множество, е необходимо да дефинираме така наречената вселена на дискурса. В случай на двусмисленото понятие "много пари" една сума ще бъде призната за голяма, ако се ограничим до диапазона и съвсем различно - в диапазона. Областта на разсъждение, наричана по-нататък пространство или множество, най-често ще бъде обозначена със символа. Трябва да се помни, че това е ясен набор.

Определение 3.1

Размито множество в някакво (непразно) пространство, което се означава като , е набор от двойки

, (3.1)

Функция за принадлежност към размито множество. Тази функция присвоява на всеки елемент степента на принадлежност към размито множество, като могат да се разграничат три случая:

1) означава, че елементът принадлежи към размитото множество, т.е. ;

2) означава липсата на елемент, принадлежащ към размито множество, т.е.

3) означава частична принадлежност на елемент към размито множество.

В литературата се използва символно описание на размитите множества. Ако е пространство с краен брой елементи, т.е. , тогава размитото множество се записва като

Горният запис е символичен. Знакът „–“ не означава разделяне, а означава присвояване на степени на принадлежност към определени елементи . С други думи, влизането

означава двойка

По същия начин знакът "+" в израз (3.3) не означава операцията на събиране, а се интерпретира като многократно сумиране на елементи (3.5). Трябва да се отбележи, че отчетливите набори също могат да бъдат написани по подобен начин. Например набор от училищни оценки може да бъде представен символично като

, (3.6)

което е същото като писане

Ако е пространство с безкраен брой елементи, тогава размитото множество се записва символично като

. (3.8)

Пример 3.1

Да кажем, че това е набор естествени числа. Нека дефинираме понятието множество от естествени числа, „близки до числото 7“. Това може да стане чрез дефиниране на следния размит набор:

Пример 3.2

Ако , където е наборът от реални числа, тогава наборът от реални числа „близо до числото 7“ може да бъде определен от функцията на принадлежност на формата

. (3.10)

Следователно размитото множество от реални числа „близко до числото 7“ се описва с израза

. (3.11)

Забележка 3.1

Размитите набори от естествени или реални числа, „близки до числото 7“, могат да бъдат записани по различни начини. Например функцията на принадлежност (3.10) може да бъде заменена с израза

(3.12)

На фиг. Фигури 3.1a и 3.1b представят две функции на членство за размит набор от реални числа "близо до 7".

Ориз. 3.1. Илюстрация за пример 3.2: функции на принадлежност на размито множество от реални числа "близко до числото 7".

Пример 3.3

Нека формализираме неточното определение за „подходяща температура за плуване в Балтийско море“. Нека зададем областта на разсъждение под формата на набор . Почивайки аз, чувствайки се най-добре при температура от 21°C, бих определил за себе си размития набор

Рестинг II, който предпочита температура от 20°, би предложил друга дефиниция на този набор:

С помощта на размити набори ние формализирахме неточно определение на понятието „подходяща температура за плуване в Балтийско море“. Някои приложения използват стандартни формичленски функции. Нека конкретизираме тези функции и разгледаме техните графични интерпретации.

1. Функцията за членство в класа (фиг. 3.2) се дефинира като

(3.15)

където . Функцията за членство, принадлежаща към този клас, има графично представяне (фиг. 3.2), наподобяващо буквата "", и нейната форма зависи от избора на параметри , и . В точката функцията за членство в класа приема стойност равна на 0,5.

2. Функцията за членство в класа (фиг. 3.3) се дефинира чрез функцията за членство в класа:

(3.16)

Ориз. 3.2. Функция за членство в класа.

Ориз. 3.3. Функция за членство в класа.

Функцията за членство в клас приема нулеви стойности за и . В точки стойността му е 0,5.

3. Функцията за членство в класа (фиг. 3.4) е дадена с израза

(3.17)

Читателят лесно ще забележи аналогията между формите на функциите на принадлежност на класовете и .

4. Функцията за членство в класа (фиг. 3.5) се дефинира като

(3.18)

Ориз. 3.4. Функция за членство в класа.

Ориз. 3.5. Функция за членство в класа.

В някои приложения функцията за членство на клас може да бъде алтернатива на функцията за членство на класа.

5. Функцията за членство в класа (фиг. 3.6) се определя от израза

(3.19)

Пример 3.4

Помислете за три неточни формулировки:

1) „ниска скорост на превозното средство“;

2) " Средната скоросткола";

3) "висока скорост на автомобила."

Като област на разсъждение вземаме диапазона, където е максималната скорост. На фиг. 3.7 са представени размити множества , и , съответстващи на дадените формулировки. Обърнете внимание, че функцията за принадлежност на набор има тип, наборите имат тип и наборите имат тип. При фиксирана точка km/h функцията на принадлежност на размитото множество „ниска скорост на превозното средство“ приема стойност 0,5, т.е. . Същата стойност приема и функцията на принадлежност на размитото множество „средна скорост на превозното средство“, т.е. , докато .

Пример 3.5

На фиг. 3.8 показва функцията на членство на размитото множество "големи пари". Това е функция от клас и , , .

Ориз. 3.6. Функция за членство в класа.

Ориз. 3.7. Илюстрация за пример 3.4: функции за членство на размити множества "малка", "средна", "голяма" скорост на автомобила.

Ориз. 3.8. Илюстрация за пример 3.5: Функцията на принадлежност на размитото множество "големи пари".

Следователно суми, надвишаващи 10 000 рубли, определено могат да се считат за "големи", тъй като стойностите на членската функция стават равни на 1. Суми под 1000 рубли не принадлежат към "големи", тъй като съответните стойности на членството функция са равни на 0. Разбира се, такова определение на размитото множество "големи пари" е субективно. Читателят може да има своя собствена представа за двусмислената концепция за "големи пари". Това представяне ще бъде отразено от други стойности на параметрите и функциите на класа.

Определение 3.2

Множеството от елементи на пространството , за което , се нарича носител на размитото множество и се означава с (опора). Формалната му нотация има формата

. (3.20)

Определение 3.3

Височината на размито множество се означава и определя като

. (3.21)

Пример 3.6

Ако и

, (3.22)

тогава .

, (3.23)

Определение 3.4

Едно размито множество се нарича нормално тогава и само ако . Ако размитото множество не е нормално, то може да се нормализира с помощта на трансформацията

, (3.24)

къде е височината на този набор.

Пример 3.7

размит набор

(3.25)

след нормализиране приема формата

. (3.26)

Определение 3.5

Размитото множество се нарича празно и се обозначава тогава и само ако за всяко .

Определение 3.6

Размитото множество се съдържа в размитото множество , което се записва като , ако и само ако

(3.27)

за всеки .

Пример за включване (съдържание) на размито множество в размито множество е илюстрирано на фиг. 3.9. В литературата съществува и концепцията за степента на включване на размитите множества. Степента на включване на размито множество в размито множество на фиг. 3,9 е равно на 1 (пълно включване). Размитите множества, представени на фиг. 3.10 не отговарят на зависимостта (3.27), следователно няма включване по смисъла на определението (3.6). Въпреки това, размитото множество се съдържа в размитото множество до степен

, (3.28)

, условието

Ориз. 3.12. Размит изпъкнал набор.

Ориз. 3.13. Размит вдлъбнат комплект.

Ориз. 3.13 илюстрира размито вдлъбнато множество. Лесно е да се провери, че едно размито множество е изпъкнало (вдлъбнато) тогава и само тогава, когато всички негови разрези са изпъкнали (вдлъбнати).