Нулева концепция за теорията на тригонометричните формули. Тригонометрични формули
Това е последното и най-много основен урок, необходими за решаване на задачи B11. Вече знаем как да преобразуваме ъгли от радианова мярка в градусна мярка (вижте урока „Радиан и градусна мярка на ъгъл“), а също така знаем как да определим знака на тригонометрична функция, като се фокусираме върху координатните четвърти ( вижте урока „Знаци на тригонометрични функции“).
Остава само да изчислим стойността на самата функция – точното число, което е записано в отговора. Тук идва на помощ основната тригонометрична идентичност.
Основно тригонометрично тъждество. За всеки ъгъл α е вярно следното твърдение:
sin 2 α + cos 2 α = 1.
Тази формула свързва синуса и косинуса на един ъгъл. Сега, знаейки синуса, можем лесно да намерим косинуса - и обратно. Достатъчно е да вземете корен квадратен:
Обърнете внимание на знака "±" пред корените. Факт е, че от основната тригонометрична идентичност не е ясно какви са били първоначалните синус и косинус: положителни или отрицателни. В крайна сметка квадратурата е равномерна функция, която "изгаря" всички минуси (ако има такива).
Ето защо във всички задачи B11, които се срещат в Единния държавен изпит по математика, трябва да има допълнителни условия, които помагат да се отървете от несигурността със знаци. Обикновено това е индикация за координатната четвърт, по която може да се определи знакът.
Внимателен читател вероятно ще попита: „Ами тангенс и котангенс?“ Невъзможно е директно да се изчислят тези функции от горните формули. Има обаче важни следствия от основното тригонометрично тъждество, което вече съдържа тангенси и котангенси. а именно:
Важно следствие: за всеки ъгъл α основната тригонометрична идентичност може да бъде пренаписана, както следва:
Тези уравнения лесно се извеждат от основното тъждество - достатъчно е да разделите двете страни на cos 2 α (за да получите тангенса) или на sin 2 α (за да получите котангенса).
Нека да разгледаме всичко това на конкретни примери. По-долу са действителните проблеми с B11, които са взети от пробни опцииЕдинен държавен изпит по математика 2012г.
Знаем косинуса, но не знаем синуса. Основното тригонометрично тъждество (в неговата „чиста“ форма) свързва точно тези функции, така че ще работим с него. Ние имаме:
sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0,1.
За да решим задачата, остава да намерим знака на синуса. Тъй като ъгълът α ∈ (π /2; π ), тогава в градусна мярка се записва както следва: α ∈ (90°; 180°).
Следователно ъгълът α лежи във II координатна четвърт - всички синуси там са положителни. Следователно sin α = 0,1.
И така, знаем синуса, но трябва да намерим косинуса. И двете функции са в основната тригонометрична идентичност. Нека заместим:
sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0,5.
Остава да се справим със знака пред дробта. Какво да избера: плюс или минус? По условие ъгъл α принадлежи на интервала (π 3π /2). Нека преобразуваме ъглите от радиани в градуси - получаваме: α ∈ (180°; 270°).
Очевидно това е третата координатна четвърт, където всички косинуси са отрицателни. Следователно cos α = −0,5.
Задача. Намерете tan α, ако е известно следното:
Тангенсът и косинусът са свързани с уравнението, следващо от основната тригонометрична идентичност:
Получаваме: tan α = ±3. Знакът на тангентата се определя от ъгъла α. Известно е, че α ∈ (3π /2; 2π ). Нека преобразуваме ъглите от радиани в градуси - получаваме α ∈ (270°; 360°).
Очевидно това е IV координатна четвърт, където всички тангенси са отрицателни. Следователно tan α = −3.
Задача. Намерете cos α, ако е известно следното:
Отново синусът е известен, а косинусът е неизвестен. Нека запишем основната тригонометрична идентичност:
sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0,64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0,36 ⇒ cos α = ±0,6.
Знакът се определя от ъгъла. Имаме: α ∈ (3π /2; 2π ). Нека преобразуваме ъглите от градуси в радиани: α ∈ (270°; 360°) е IV координатна четвърт, косинусите там са положителни. Следователно cos α = 0,6.
Задача. Намерете sin α, ако е известно следното:
Нека запишем формула, която следва от основната тригонометрична идентичност и директно свързва синус и котангенс:
От тук получаваме, че sin 2 α = 1/25, т.е. sin α = ±1/5 = ±0,2. Известно е, че ъгъл α ∈ (0; π /2). В градусна мярка това се записва по следния начин: α ∈ (0°; 90°) - I координатна четвърт.
И така, ъгълът е в I координатния квадрант - всички тригонометрични функции там са положителни, така че sin α = 0,2.
Справочна информация за тригонометричните функции синус (sin x) и косинус (cos x). Геометрична дефиниция, свойства, графики, формули. Таблица със синуси и косинуси, производни, интеграли, разширения в редица, секанс, косеканс. Изрази чрез комплексни променливи. Връзка с хиперболични функции.
Геометрично определение на синус и косинус
|BD|- дължина на дъгата на окръжност с център в точка А.
α
- ъгъл, изразен в радиани.
Определение
Синус (sin α)е тригонометрична функция, зависеща от ъгъла α между хипотенузата и катета на правоъгълен триъгълник, равно на съотношениетодължина срещуположния крак|пр.н.е.| спрямо дължината на хипотенузата |AC|.
Косинус (cos α)е тригонометрична функция, зависеща от ъгъла α между хипотенузата и катета на правоъгълен триъгълник, равен на отношението на дължината на съседния катет |AB| спрямо дължината на хипотенузата |AC|.
Приети означения
;
;
.
;
;
.
Графика на функцията синус, y = sin x
Графика на функцията косинус, y = cos x
Свойства на синуса и косинуса
Периодичност
Функции y = грях хи y = cos xпериодичен с период 2π.
Паритет
Функцията синус е нечетна. Функцията косинус е четна.
Област на определение и стойности, екстремуми, нарастване, намаляване
Функциите синус и косинус са непрекъснати в тяхната област на дефиниране, тоест за всички x (вижте доказателство за непрекъснатост). Основните им свойства са представени в таблицата (n - цяло число).
| y= грях х | y= cos x | |
| Обхват и приемственост | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Диапазон от стойности | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Повишаване на | ||
| Спускане | ||
| Максимум, y = 1 | ||
| Минимуми, y = - 1 | ||
| Нули, y = 0 | ||
| Пресечни точки с ординатната ос, x = 0 | y= 0 | y= 1 |
Основни формули
Сбор от квадрати на синус и косинус
Формули за синус и косинус от сбор и разлика
;
;
Формули за произведение на синуси и косинуси
Формули за сбор и разлика
Изразяване на синус чрез косинус
;
;
;
.
Изразяване на косинус чрез синус
;
;
;
.
Изразяване чрез тангенс
; .
Когато , имаме:
;
.
в:
;
.
Таблица на синусите и косинусите, тангенсите и котангенсите
Тази таблица показва стойностите на синусите и косинусите за определени стойности на аргумента. 
Изрази чрез комплексни променливи
;
Формула на Ойлер
{ -∞ < x < +∞ }
Секанс, косеканс
Обратни функции
Обратните функции на синус и косинус са съответно арксинус и арккосинус.
Арксинус, арксинус
Аркосинус, аркосус
Препратки:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти, “Лан”, 2009 г.
Тригонометрични тъждества- това са равенства, които установяват връзка между синус, косинус, тангенс и котангенс на един ъгъл, което ви позволява да намерите всяка от тези функции, при условие че всяка друга е известна.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Тази идентичност казва, че сумата от квадрата на синуса на един ъгъл и квадрата на косинуса на един ъгъл е равна на едно, което на практика прави възможно изчисляването на синуса на един ъгъл, когато неговият косинус е известен и обратно .
При преобразуване на тригонометрични изрази много често се използва тази идентичност, която ви позволява да замените сумата от квадратите на косинуса и синуса на един ъгъл с единица и също така да извършите операцията за заместване в обратен ред.
Намиране на тангенс и котангенс с помощта на синус и косинус
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace
Тези идентичности се формират от дефинициите на синус, косинус, тангенс и котангенс. В крайна сметка, ако го погледнете, тогава по дефиниция ординатата у е синус, а абсцисата х е косинус. Тогава тангенсът ще бъде равен на отношението \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), и съотношението \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- ще бъде котангенс.
Нека добавим, че само за такива ъгли \alpha, при които тригонометричните функции, включени в тях, имат смисъл, идентичностите ще бъдат валидни, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).
Например: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)е валиден за ъгли \alpha, които са различни от \frac(\pi)(2)+\pi z, А ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- за ъгъл \alpha, различен от \pi z, z е цяло число.
Връзка между тангенс и котангенс
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Тази идентичност е валидна само за ъгли \alpha, които са различни от \frac(\pi)(2) z. В противен случай нито котангенсът, нито тангенсът няма да бъдат определени.
Въз основа на горните точки получаваме това tg \alpha = \frac(y)(x), А ctg \alpha=\frac(x)(y). Следва, че tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. По този начин тангенсът и котангенсът на същия ъгъл, при който имат смисъл, са взаимно обратни числа.
Връзки между тангенс и косинус, котангенс и синус
tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- сумата от квадрата на тангенса на ъгъл \alpha и 1 е равна на обратния квадрат на косинуса на този ъгъл. Тази идентичност е валидна за всички \alpha, различни от \frac(\pi)(2)+ \pi z.
1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- сумата от 1 и квадрата на котангенса на ъгъла \alpha е равна на обратния квадрат на синуса на дадения ъгъл. Тази идентичност е валидна за всеки \alpha, различен от \pi z.
Примери с решения на задачи с тригонометрични тъждества
Пример 1
Намерете \sin \alpha и tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12И \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;
Покажи решение
Решение
Функциите \sin \alpha и \cos \alpha са свързани с формулата \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Заместване в тази формула \cos \alpha = -\frac12, получаваме:
\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1
Това уравнение има 2 решения:
\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)
По условие \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . През втората четвърт синусът е положителен, така че \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).
За да намерим tan \alpha, използваме формулата tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3
Пример 2
Намерете \cos \alpha и ctg \alpha, ако и \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .
Покажи решение
Решение
Заместване във формулата \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1даден номер \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), получаваме \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Това уравнение има две решения \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.
По условие \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Във втората четвърт косинусът е отрицателен, така че \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.
За да намерим ctg \alpha, използваме формулата ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Ние знаем съответните стойности.
ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).
Дадени са връзките между основните тригонометрични функции – синус, косинус, тангенс и котангенс. тригонометрични формули. И тъй като има доста връзки между тригонометричните функции, това обяснява изобилието от тригонометрични формули. Някои формули свързват тригонометрични функции на един и същи ъгъл, други - функции на множествен ъгъл, трети - ви позволяват да намалите степента, четвърти - изразявате всички функции чрез тангенса на половин ъгъл и т.н.
В тази статия ще изброим по ред всички основни тригонометрични формули, които са достатъчни за решаване на по-голямата част от тригонометричните задачи. За по-лесно запомняне и използване ще ги групираме по предназначение и ще ги въведем в таблици.
Навигация в страницата.
Основни тригонометрични тъждества
Основен тригонометрични тъждества дефинирайте връзката между синус, косинус, тангенс и котангенс на един ъгъл. Те следват от определението за синус, косинус, тангенс и котангенс, както и от концепцията за единичната окръжност. Те ви позволяват да изразите една тригонометрична функция по отношение на всяка друга.
За подробно описание на тези тригонометрични формули, тяхното извеждане и примери за приложение вижте статията.
Формули за намаляване
Формули за намаляванеследват от свойствата на синус, косинус, тангенс и котангенс, т.е. те отразяват свойството на периодичност на тригонометричните функции, свойството на симетрия, както и свойството на изместване с даден ъгъл. Тези тригонометрични формули ви позволяват да преминете от работа с произволни ъгли към работа с ъгли, вариращи от нула до 90 градуса.
Обосновката на тези формули, мнемонично правило за запаметяването им и примери за тяхното приложение могат да бъдат проучени в статията.
Формули за добавяне
Тригонометрични събирателни формулипоказват как тригонометричните функции на сумата или разликата на два ъгъла се изразяват чрез тригонометричните функции на тези ъгли. Тези формули служат като основа за извеждане на следните тригонометрични формули.
Формули за двойно, тройно и др. ъгъл
Формули за двойно, тройно и др. ъгъл (те се наричат още формули за множество ъгли) показват как тригонометричните функции на двойно, тройно и т.н. ъгли () се изразяват чрез тригонометрични функции на един ъгъл. Тяхното извеждане се основава на формули за добавяне.
По-подробна информация е събрана в статията формули за двойно, тройно и т.н. ъгъл
Формули за половин ъгъл
Формули за половин ъгълпокажете как тригонометричните функции на половин ъгъл се изразяват чрез косинус на цял ъгъл. Тези тригонометрични формули следват от формулите за двоен ъгъл.
Тяхното заключение и примери за приложение можете да намерите в статията.
Формули за намаляване на градуса
Тригонометрични формули за намаляване на степенитеса предназначени да улеснят прехода от естествени степени на тригонометрични функции към синуси и косинуси на първа степен, но множество ъгли. С други думи, те ви позволяват да намалите мощностите на тригонометричните функции до първата.
Формули за сбор и разлика на тригонометрични функции
Основната цел формули за сбор и разлика на тригонометрични функциие да отидете до произведението на функциите, което е много полезно при опростяване на тригонометрични изрази. Тези формули също се използват широко при решаване тригонометрични уравнения, тъй като те ви позволяват да факторизирате сумата и разликата на синусите и косинусите.
Формули за произведението на синуси, косинуси и синус по косинус
Преходът от произведение на тригонометрични функции към сума или разлика се извършва с помощта на формулите за произведение на синуси, косинуси и синус по косинус.
Авторско право от cleverstudents
Всички права запазени.
Защитен от закона за авторското право. Никаква част от www.site, включително вътрешни материали и външен вид, не може да бъде възпроизвеждана под каквато и да е форма или използвана без предварителното писмено разрешение на притежателя на авторските права.