периметър на тръбата. Как да намерите и каква ще бъде обиколката на кръг

§ 117. Обиколка и площ на кръг.

1. Обиколка.Окръжността е затворена плоска крива линия, всички точки на която са на еднакво разстояние от една точка (О), наречена център на окръжността (фиг. 27).

Кръгът се чертае с пергел. За да направите това, острия крак на компаса се поставя в центъра, а другият (с молив) се завърта около първия, докато краят на чертежите с молив пълен кръг. Разстоянието от центъра до която и да е точка на окръжността се нарича нейно радиус.От определението следва, че всички радиуси на една окръжност са равни един на друг.

Нарича се отсечка с права линия (АВ), свързваща произволни две точки от окръжността и минаваща през нейния център диаметър. Всички диаметри на един кръг са равни един на друг; диаметърът е равен на два радиуса.

Как да намерите обиколката на кръг? На практика в някои случаи обиколката може да се намери чрез директно измерване. Това може да се направи например при измерване на обиколката на относително малки предмети (кофа, стъкло и др.). За да направите това, можете да използвате рулетка, плитка или шнур.

В математиката се използва методът за косвено определяне на обиколката на кръг. Състои се в изчислението по готовата формула, която сега ще изведем.

Ако вземем няколко големи и малки кръгли предмета (монета, чаша, кофа, варел и др.) и измерим обиколката и диаметъра на всеки от тях, ще получим две числа за всеки предмет (едното измерва обиколката, а другото е дължината на диаметъра). Естествено, за малките обекти тези числа ще бъдат малки, а за големите обекти ще бъдат големи.

Ако обаче във всеки от тези случаи вземем съотношението на двете получени числа (обиколка и диаметър), то при внимателно измерване ще намерим почти същото число. Означете обиколката с буквата ОТ, дължината на диаметъра с буквата д, тогава тяхната връзка ще изглежда така C:D. Реалните измервания винаги са придружени от неизбежни неточности. Но след като извършихме посочения експеримент и направихме необходимите изчисления, ще получим за отношението C:Dприблизително следните числа: 3,13; 3.14; 3.15. Тези числа се различават много малко един от друг.

В математиката чрез теоретични съображения се установява, че желаното съотношение C:Dникога не се променя и е равна на безкрайна непериодична дроб, чиято приблизителна стойност с точност до десет хилядни е равна на 3,1416 . Това означава, че всеки кръг е по-дълъг от диаметъра си със същия брой пъти. Това число обикновено се обозначава гръцка буква π (пи). Тогава съотношението на обиколката към диаметъра се записва като: C:D = π . Ще ограничим това число само до стотни, т.е π = 3,14.

Нека напишем формула за определяне на обиколката на кръг.

защото C:D= π , тогава

° С = πD

т.е. обиколката е равна на произведението на числото π за диаметър.

Задача 1.Намерете обиколката ( ОТ) на кръгла стая, ако нейният диаметър д= 5,5 м.

Като вземем предвид горното, трябва да увеличим диаметъра с 3,14 пъти, за да решим този проблем:

5,5 3,14 = 17,27 (m).

Задача 2.Намерете радиуса на колело, чиято обиколка е 125,6 cm.

Този проблем е обратен на предишния. Намерете диаметъра на колелото:

125,6 : 3,14 = 40 (cm).

Сега нека намерим радиуса на колелото:

40:2 = 20 (cm).

2. Площ на кръг.За да се определи площта на кръг, човек може да начертае кръг с даден радиус върху хартия, да го покрие с прозрачна карирана хартия и след това да преброи клетките вътре в кръга (фиг. 28).

Но този метод е неудобен по много причини. Първо, близо до контура на кръга се получават множество непълни клетки, чийто размер е трудно да се прецени. Второ, не можете да покриете голям обект с лист хартия (кръгла цветна леха, басейн, фонтан и др.). Трето, след като преброихме клетките, все още не получихме никакво правило, което да ни позволи да решим друг подобен проблем. Поради това нека го направим по различен начин. Нека сравним кръга с някоя позната фигура и го направим по следния начин: изрязваме кръг от хартия, разрязваме го първо по диаметър наполовина, след това всяка половина отново наполовина, всяка четвъртина отново наполовина и т.н., докато разрежем кръга например на 32 части, които имат формата на зъби (фиг. 29) .

След това ги сгъваме, както е показано на Фигура 30, т.е. първо поставяме 16 зъба под формата на трион, след това поставяме 15 зъба в образуваните дупки и накрая срязваме последния останал зъб по радиуса наполовина и го прикрепяме едната част отляво, другата - отдясно. Тогава ще получите фигура, наподобяваща правоъгълник.

Дължината на тази фигура (основата) е приблизително равна на дължината на полукръга, а височината е приблизително равна на радиуса. Тогава площта на такава фигура може да се намери чрез умножаване на числата, изразяващи дължината на полукръга и дължината на радиуса. Ако означим площта на кръг с буквата С, обиколката на буквата ОТ, радиус буква r, тогава можем да напишем формула за определяне на площта на кръг:

което гласи така: Площта на кръга е равна на дължината на полукръга, умножена по радиуса.

Задача.Намерете площта на кръг, чийто радиус е 4 см. Първо намерете обиколката, след това дължината на полукръга и след това го умножете по радиуса.

1) Обиколка ОТ = π д= 3,14 8 = 25,12 (cm).

2) Дължина на половин кръг ° С / 2 \u003d 25,12: 2 \u003d 12,56 (cm).

3) Площ на окръжност S = ° С / 2 r\u003d 12,56 4 \u003d 50,24 (кв. см).

§ 118. Повърхнина и обем на цилиндър.

Задача 1.Намерете общата повърхност на цилиндър с диаметър на основата 20,6 cm и височина 30,5 cm.

Формата на цилиндър (фиг. 31) е: кофа, чаша (нефасетирана), тенджера и много други предмети.

Пълна повърхностцилиндър (като пълната повърхност на правоъгълен паралелепипед) се състои от странична повърхност и области на две основи (фиг. 32).

За да визуализирате за какво говорим, трябва внимателно да направите модел на цилиндър от хартия. Ако извадим две основи от този модел, тоест два кръга, и разрежем страничната повърхност по дължина и я разгънем, тогава ще бъде съвсем ясно как да изчислим общата повърхност на цилиндъра. Странична повърхностсе разгъва в правоъгълник, чиято основа е равна на обиколката на кръга. Следователно решението на проблема ще изглежда така:

1) Обиколка: 20,6 3,14 = 64,684 (cm).

2) Площ на страничната повърхност: 64,684 30,5= 1972,862 (кв.см).

3) Площта на една основа: 32.342 10.3 \u003d 333.1226 (кв. см).

4) Пълна повърхност на цилиндъра:

1972,862 + 333,1226 + 333,1226 = 2639,1072 (кв.см) ≈ 2639 (кв.см).

Задача 2.Намерете обема на желязна бъчва с форма на цилиндър с размери: диаметър на основата 60 cm и височина 110 cm.

За да изчислите обема на цилиндър, трябва да запомните как изчислихме обема на правоъгълен паралелепипед (полезно е да прочетете § 61).

Мерната единица за обем е кубическият сантиметър. Първо трябва да разберете колко кубични сантиметра могат да бъдат поставени върху основната площ и след това да умножите намереното число по височината.

За да разберете колко кубични сантиметра могат да бъдат поставени върху основната площ, трябва да изчислите основната площ на цилиндъра. Тъй като основата е кръг, трябва да намерите площта на кръга. След това, за да определите обема, го умножете по височината. Решението на проблема изглежда така:

1) Обиколка: 60 ​​3,14 = 188,4 (cm).

2) Площ на кръг: 94.230 = 2826 (кв. см).

3) Обем на цилиндъра: 2826 110 \u003d 310 860 (cc).

Отговор. Обемът на цевта е 310,86 куб.м. дм.

Ако означим обема на един цилиндър с буквата V, основна площ С, височина на цилиндъра з, тогава можете да напишете формула за определяне на обема на цилиндър:

V = S H

което гласи така: обем на цилиндъра равна на площоснова, умножена по височина.

§ 119. Таблици за изчисляване на обиколката на кръг по диаметър.

При решаване на различни производствени задачичесто трябва да се изчисли обиколката на кръг. Представете си работник, който произвежда кръгли детайли според посочените му диаметри. Той трябва всеки път, знаейки диаметъра, да изчисли обиколката. За да спести време и да се застрахова от грешки, той прибягва до готови таблици, в които са посочени диаметрите и съответните обиколки.

Ето малка част от тези таблици и ще ви кажа как да ги използвате.

Нека се знае, че диаметърът на кръга е 5 м. Търсим в таблицата във вертикалната колона под буквата дномер 5. Това е дължината на диаметъра. До това число (вдясно, в колоната, наречена "Обиколка") ще видим числото 15,708 (m). По абсолютно същия начин откриваме, че if д\u003d 10 cm, тогава обиколката е 31,416 cm.

Същите таблици могат да се използват за извършване на обратни изчисления. Ако обиколката е известна, тогава можете да намерите съответния диаметър в таблицата. Нека обиколката е приблизително 34,56 см. Нека намерим в таблицата най-близкото до даденото число. Това ще бъде 34,558 (0,002 разлика). Диаметърът, съответстващ на такава обиколка, е приблизително 11 cm.

Споменатите тук таблици са налични в различни справочници. По-специално те могат да бъдат намерени в книгата "Четирицифрени математически таблици" на В. М. Брадис. и в проблемната книга по аритметика на С. А. Пономарев и Н. И. Сърнев.

И каква е разликата му с кръга. Вземете химикал или бои и начертайте правилен кръг върху лист хартия. Оцветете цялата среда на получената фигура със син молив. Червеният контур, обозначаващ границите на фигурата, е кръг. Но синьото съдържание вътре в него е кръгът.

Размерите на кръг и кръг се определят от диаметъра. На червената линия, обозначаваща кръга, маркирайте две точки, така че да са огледални изображения една на друга. Свържете ги с линия. Сегментът трябва да минава през точката в центъра на кръга. Този сегмент, свързващ противоположните части на окръжността, в геометрията се нарича диаметър.

Сегмент, който не преминава през центъра на кръга, а се слива с него в противоположните краища, се нарича хорда. Следователно хордата, минаваща през точката на центъра на окръжността, е нейният диаметър.

Определен диаметър латиница D. Можете да намерите диаметъра на кръг, като използвате стойности като площ, дължина и радиус на кръга.

Разстоянието от централната точка до точката, начертана върху окръжността, се нарича радиус и се обозначава с буквата R. Познаването на стойността на радиуса помага да се изчисли диаметърът на окръжността в една проста стъпка:

Например радиусът е 7 см. Умножаваме 7 см по 2 и получаваме стойност, равна на 14 см. Отговор: D на дадена фигура е 14 см.

Понякога е необходимо да се определи диаметърът на кръг само по дължината му. Тук е необходимо да се приложи специална формула, за да се определи Формулата L \u003d 2 Pi * R, където 2 е постоянна стойност (константа), а Pi \u003d 3,14. И тъй като е известно, че R \u003d D * 2, формулата може да бъде представена по друг начин

Този израз е приложим и като формула за диаметъра на кръг. Замествайки известните стойности в проблема, решаваме уравнението с едно неизвестно. Да кажем, че дължината е 7 м. Следователно:

Отговор: Диаметърът е 21,98 метра.

Ако стойността на площта е известна, тогава може да се определи и диаметърът на кръга. Формулата, използвана в този случай, изглежда така:

D = 2 * (S / Pi) * (1 / 2)

S - в този случай Да кажем, че в задачата е равно на 30 квадратни метра. м. Получаваме:

D=2*(30/3,14)*(1/2) D=9,55414

Когато стойността, посочена в задачата, е равна на обема (V) на топката, се прилага следната формула за намиране на диаметъра: D = (6 V / Pi) * 1/3.

Понякога трябва да намерите диаметъра на кръг, вписан в триъгълник. За да направите това, по формулата намираме радиуса на представения кръг:

R = S / p (S е площта даден триъгълник, а p е периметърът, разделен на 2).

Резултатът се удвоява, като се има предвид, че D = 2 * R.

Често в ежедневието е необходимо да се намери диаметърът на кръг. Например, когато се определя какво е еквивалентно на неговия диаметър. За да направите това, увийте пръста на потенциалния собственик на пръстена с конец. Маркирайте допирните точки между двата края. Измерете дължината от точка до точка с линийка. Получената стойност се умножава по 3,14, като се следва формулата за определяне на диаметъра с известна дължина. Така че твърдението, че знанията по геометрия и алгебра няма да бъдат полезни в живота, не винаги отговаря на реалността. И това е сериозна причина да се отнасяме по-отговорно към учебните предмети.

Много често, когато решавате училищни задачи по физика или физика, възниква въпросът - как да намерите обиколката на кръг, знаейки диаметъра? Всъщност няма трудности при решаването на този проблем, просто трябва ясно да разберете какво формули, за това са необходими понятия и определения.

Във връзка с

Основни понятия и определения

1. Радиусът е свързващата линия центъра на окръжността и нейната произволна точка. Означава се с латинската буква r.
2. Хорда е линия, свързваща две произволни точки върху кръг.
3. Диаметърът е свързващата линия две точки от окръжност и минаваща през нейния център. Означава се с латинската буква d.
4. - това е линия, състояща се от всички точки, които са на еднакво разстояние от една избрана точка, наречена неин център. Дължината му ще бъде обозначена с латинската буква l.

Площта на кръга е цялата площ затворени в кръг. Измерено е в квадратни единици и се обозначава с латинската буква s.

Използвайки нашите определения, заключаваме, че диаметърът на окръжност е равен на най-голямата й хорда.

внимание!От определението какво е радиусът на окръжност можете да разберете какъв е диаметърът на окръжност. Това са два радиуса, разположени в противоположни посоки!

Диаметър на кръга.

Намиране на обиколка на кръг и неговата площ

Ако ни е даден радиус на окръжност, тогава диаметърът на окръжността се описва с формулата d = 2*r. По този начин, за да се отговори на въпроса как да се намери диаметърът на кръг, знаейки неговия радиус, последното е достатъчно умножете по две.

Формулата за обиколката на окръжност, изразена чрез нейния радиус, е l \u003d 2 * P * r.

внимание!Латинската буква P (Pi) обозначава съотношението на обиколката на кръг към неговия диаметър и това е непериодично десетичен знак. В училищната математика се смята, че се знае предварително. таблична стойностравно на 3,14!

Сега нека пренапишем предишната формула, за да намерим обиколката на окръжност по отношение на нейния диаметър, като си спомним каква е разликата й спрямо радиуса. Вземете: l \u003d 2 * P * r \u003d 2 * r * P \u003d P * d.

От курса на математиката е известно, че формулата, описваща площта на кръга, има формата: s \u003d P * r ^ 2.

Сега нека пренапишем предишната формула, за да намерим площта на кръг по отношение на неговия диаметър. Получаваме

s = P*r^2 = P*d^2/4.

Един от най трудни задачив тази тема е дефиницията на площта на окръжност през обиколката и обратно. Използваме факта, че s = P*r^2 и l = 2*P*r. От тук получаваме r = l/(2*П). Заместваме получения израз за радиуса във формулата за площта, получаваме: s = l^2/(4P). Обиколката на кръг се определя по абсолютно същия начин по отношение на площта на кръг.

Определяне на дължината и диаметъра на радиуса

важно!Първо ще научим как да измерваме диаметъра. Много е просто - чертаем произволен радиус, разширяваме го в обратна посока, докато се пресече с дъгата. Измерваме полученото разстояние с компас и с помощта на всеки метричен инструмент откриваме какво търсим!

Нека да отговорим на въпроса как да разберем диаметъра на кръг, знаейки неговата дължина. За да направите това, ние го изразяваме от формулата l \u003d P * d. Получаваме d = l/P.

Вече знаем как да намерим неговия диаметър от обиколката на кръг и ще намерим радиуса по същия начин.

l \u003d 2 * P * r, следователно r \u003d l / 2 * P. Като цяло, за да разберете радиуса, той трябва да бъде изразен чрез диаметъра и обратно.

Нека сега е необходимо да се определи диаметърът, като се знае площта на кръга. Използваме факта, че s \u003d P * d ^ 2/4. Ние изразяваме от тук d. Оказва се d^2 = 4*s/P. За да определите самия диаметър, трябва да извлечете корен квадратен от дясната страна. Оказва се d \u003d 2 * sqrt (s / P).

Решение на типови задачи

1. Научете как да намерите диаметъра по обиколката на кръг. Нека е равно на 778,72 километра. Необходимост от намиране d. d \u003d 778,72 / 3,14 \u003d 248 километра. Нека си спомним какъв е диаметърът и веднага да определим радиуса, за това разделяме стойността d, определена по-горе, наполовина. Оказва се r=248/2=124километри.
2. Помислете как да намерите дължината на дадена окръжност, знаейки нейния радиус. Нека r има стойност 8 dm 7 см. Нека преведем всичко това в сантиметри, тогава r ще бъде равно на 87 сантиметра. Нека използваме формулата, за да намерим неизвестната дължина на окръжност. Тогава нашето желано ще бъде равно на л=2*3,14*87=546,36см. Нека преведем получената ни стойност в цели числа от метрични стойности l \u003d 546,36 cm \u003d 5 m 4 dm 6 cm 3,6 mm.
3. Нека трябва да определим площта на даден кръг според формулата чрез него известен диаметър. Нека d = 815 метра. Спомнете си формулата за намиране на площта на кръг. Замествайки дадените стойности тук, получаваме s \u003d 3,14 * 815 ^ 2/4 \u003d 521416,625 кв. м.
4. Сега ще научим как да намерим площта на кръг, знаейки дължината на неговия радиус. Нека радиусът е 38 см. Използваме формулата, която знаем. Заместете тук стойността, дадена ни от условието. Получавате следното: s \u003d 3,14 * 38 ^ 2 \u003d 4534,16 квадратни метра. см.
5. Последната задача е да се определи площта на кръга от известната обиколка. Нека l = 47 метра. s \u003d 47 ^ 2 / (4P) \u003d 2209 / 12,56 \u003d 175,87 кв. м.

Обиколка

Кръгът е затворена крива, всички точки на която са на еднакво разстояние от центъра. Тази фигура е плоска. Следователно решението на проблема, чийто въпрос е как да се намери обиколка,е достатъчно просто. Всички налични методи ще разгледаме в днешната статия.

Описания на фигури

В допълнение към доста проста описателна дефиниция, има още три математически характеристики на кръг, които сами по себе си съдържат отговора на въпроса как да се намери обиколката на кръг:

• Състои се от точки A и B и всички останали, от които AB може да се види под прав ъгъл. Диаметър на тази фигура равен на дължинатаразглеждания раздел.
• Включва само точки X, така че отношението AX/BX да е постоянно и да не е равно на единица. Ако това условие не е изпълнено, то това не е кръг.
• Състои се от точки, за всяка от които е в сила следното равенство: сумата от квадратите на разстоянията до другите две е дадена стойност, която винаги е по-голяма от половината от дължината на отсечката между тях.

Терминология

Не всички в училище са имали добър учителматематика. Следователно отговорът на въпроса как да се намери обиколката на кръг също се усложнява от факта, че не всеки знае основните геометрични понятия. Радиус - сегмент, който свързва центъра на фигурата с точка от кривата. специален случайв тригонометрията е единичната окръжност. Хорда е линеен сегмент, който свързва две точки на крива. Например вече разгледаният АВ попада в това определение. Диаметърът е хорда, минаваща през центъра. Числото π е равно на дължината на единичния полукръг.

Основни формули

Това следва пряко от дефинициите геометрични формули, които ви позволяват да изчислите основните характеристики на кръга:

1. Дължината е равна на произведението на числото π и диаметъра. Формулата обикновено се записва по следния начин: C = π*D.
2. Радиус половинатадиаметър. Може също да се изчисли чрез изчисляване на частното от разделянето на обиколката на удвоеното число π. Формулата изглежда така: R = C/(2* π) = D/2.
3. Диаметърът е равен на обиколката, разделена на π или два пъти радиуса. Формулата е доста проста и изглежда така: D = C/π = 2*R.
4. Площта на кръга е равна на произведението на числото π и квадрата на радиуса. По подобен начин в тази формула може да се използва диаметър. В този случай площта ще бъде равна на частното от деленето на произведението на числото π и квадрата на диаметъра на четири. Формулата може да бъде записана по следния начин: S = π*R 2 = π*D 2 /4.

Как да намерите обиколката на кръг от диаметър

За простота на обяснението ние обозначаваме с букви характеристиките на фигурата, необходими за изчисляване. Нека C е желаната дължина, D е нейният диаметър и нека pi е приблизително 3,14. Ако имаме само едно известно количество, тогава проблемът може да се счита за решен. Защо е необходимо в живота? Да предположим, че решим да оградим кръгъл басейн с ограда. Как да изчислим необходимия брой колони? И тук на помощ идва способността за изчисляване на обиколката на кръг. Формулата е следната: C = π D. В нашия пример диаметърът се определя въз основа на радиуса на басейна и необходимото разстояние до оградата. Да предположим например, че нашият домашен изкуствен резервоар е широк 20 метра и ще поставим стълбове на разстояние десет метра от него. Диаметърът на получения кръг е 20 + 10 * 2 = 40 м. Дължината е 3,14 * 40 = 125,6 метра. Ще ни трябват 25 колони, ако разстоянието между тях е около 5 m.

Дължина през радиуса

Както винаги, нека започнем с присвояване на кръгове от букви на характеристики. Всъщност те са универсални, така че математиците от различни странине е задължително да си знаем езика. Да предположим, че C е обиколката на кръг, r е неговият радиус и π е приблизително 3,14. В този случай формулата изглежда така: C = 2*π*r. Очевидно това е абсолютно правилно равенство. Както вече разбрахме диаметър на кръгае равно на два пъти неговия радиус, така че тази формула изглежда така. В живота този метод също често може да бъде полезен. Например, печем торта в специална плъзгаща се форма. За да не се замърсява, имаме нужда от декоративна обвивка. Но как да изрежете кръг с желания размер. Тук на помощ идва математиката. Тези, които знаят как да намерят обиколката на кръг, веднага ще кажат, че трябва да умножите числото π по два пъти радиуса на формата. Ако радиусът му е 25 см, тогава дължината ще бъде 157 сантиметра.

Примерни задачи

Вече разгледахме няколко практически случая на придобитите знания за това как да разберем обиколката на кръг. Но често не се занимаваме с тях, а с истинските математически задачи, които се съдържат в учебника. Все пак учителят дава точки за тях! Така че нека да разгледаме проблема повишена сложност. Да приемем, че обиколката е 26 см. Как да намерим радиуса на такава фигура?

Примерно решение

Като начало, нека запишем какво ни е дадено: C \u003d 26 cm, π \u003d 3.14. Също така запомнете формулата: C = 2* π*R. От него можете да извлечете радиуса на окръжността. Така R= C/2/π. Сега нека преминем към директното изчисление. Първо, разделете дължината на две. Получаваме 13. Сега трябва да разделим на стойността на числото π: 13 / 3,14 \u003d 4,14 см. Важно е да не забравите да запишете отговора правилно, тоест с мерни единици, в противен случай цялата практическа смисълът на подобни проблеми се губи. Освен това за такова невнимание можете да получите оценка с една точка по-ниска. И колкото и досадно да е, трябва да се примирите с това състояние на нещата.

Звярът не е толкова страшен, колкото го описват

Така че разбрахме толкова трудна задача на пръв поглед. Както се оказа, просто трябва да разберете значението на термините и да запомните няколко лесни формули. Математиката не е толкова страшна, просто трябва да положите малко усилия. Така че геометрията ви очаква!