Нарича се пирамида, в основата на която лежи триъгълник. Правилна четириъгълна пирамида

Пирамида. Пресечена пирамида

Пирамидае полиедър, едно от чиито лица е многоъгълник ( база ), а всички останали лица са триъгълници с общ връх ( странични лица ) (фиг. 15). Пирамидата се нарича правилно , ако основата му е правилен многоъгълник и върхът на пирамидата е проектиран в центъра на основата (фиг. 16). Триъгълна пирамида с равни ръбове се нарича тетраедър .

Странично реброна пирамида е страната на страничното лице, която не принадлежи на основата Височина пирамида е разстоянието от нейния връх до равнината на основата. Всички странични ръбове на правилна пирамида са равни помежду си, всички странични лица са равни равнобедрени триъгълници. Височината на страничната повърхност на правилна пирамида, изтеглена от върха, се нарича апотема . Диагонално сечение се нарича сечение на пирамида от равнина, минаваща през два странични ръба, които не принадлежат на едно и също лице.

Площ на страничната повърхностпирамида е сумата от площите на всички странични лица. ■ площ пълна повърхност се нарича сумата от площите на всички странични лица и основата.

Теореми

1. Ако в една пирамида всички странични ръбове са еднакво наклонени към равнината на основата, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на окръжността, описана близо до основата.

2. Ако всички странични ръбове на пирамида имат равни дължини, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на окръжност, описана близо до основата.

3. Ако всички лица в една пирамида са еднакво наклонени към равнината на основата, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на окръжност, вписана в основата.

За да изчислите обема на произволна пирамида, правилната формула е:

Където V- сила на звука;

S база– базова площ;

з– височина на пирамидата.

За правилна пирамида следните формули са правилни:

Където стр– основен периметър;

з а– апотема;

з- височина;

S пълен

S страна

S база– базова площ;

V– обем на правилна пирамида.

Пресечена пирамиданарича частта от пирамидата, затворена между основата и режещата равнина, успоредна на основата на пирамидата (фиг. 17). Правилна пресечена пирамида наречена част от правилна пирамида, затворена между основата и режеща равнина, успоредна на основата на пирамидата.

Причинипресечена пирамида - подобни многоъгълници. Странични лица – трапецовидни. Височина на пресечена пирамида е разстоянието между нейните основи. Диагонал пресечена пирамида е сегмент, свързващ нейните върхове, които не лежат на едно и също лице. Диагонално сечение е сечение на пресечена пирамида от равнина, минаваща през два странични ръба, които не принадлежат на едно и също лице.

За пресечена пирамида са валидни следните формули:

(4)

Където С 1 , С 2 – зони на горна и долна основа;

S пълен– обща повърхност;

S страна– площ на страничната повърхност;

з- височина;

V– обем на пресечена пирамида.

За правилна пресечена пирамида формулата е правилна:

Където стр 1 , стр 2 – периметри на основите;

з а– апотема на правилна пресечена пирамида.

Пример 1.В правилната триъгълна пирамида двустенният ъгъл в основата е 60º. Намерете тангенса на ъгъла на наклона на страничния ръб към равнината на основата.

Решение.Да направим чертеж (фиг. 18).

Пирамидата е правилна, което означава, че в основата има равностранен триъгълник и всички странични стени са равни равнобедрени триъгълници. Двустенният ъгъл при основата е ъгълът на наклона на страничната повърхност на пирамидата към равнината на основата. Линейният ъгъл е ъгълът амежду два перпендикуляра: и т.н. Върхът на пирамидата се проектира в центъра на триъгълника (центъра на описаната окръжност и вписаната окръжност на триъгълника ABC). Ъгълът на наклона на страничния ръб (напр С.Б.) е ъгълът между самия ръб и неговата проекция върху равнината на основата. За реброто С.Б.този ъгъл ще бъде ъгълът SBD. За да намерите допирателната, трябва да знаете краката ТАКАИ O.B.. Нека дължината на сегмента BDе равно на 3 А. Точка ОТНОСНОлинейна отсечка BDсе разделя на части: и От намираме ТАКА: От намираме:

Отговор:

Пример 2.Намерете обема на правилна пресечена четириъгълна пирамида, ако диагоналите на основите й са равни на cm и cm, а височината й е 4 cm.

Решение.За да намерим обема на пресечена пирамида, използваме формула (4). За да намерите площта на основите, трябва да намерите страните на основните квадрати, като знаете техните диагонали. Страните на основите са равни съответно на 2 см и 8 см. Това означава площите на основите и Замествайки всички данни във формулата, изчисляваме обема на пресечената пирамида:

Отговор: 112 см 3.

Пример 3.Намерете площта на страничната страна на правилна триъгълна пресечена пирамида, страните на основите на която са 10 cm и 4 cm, а височината на пирамидата е 2 cm.

Решение.Да направим чертеж (фиг. 19).

Страничната страна на тази пирамида е равнобедрен трапец. За да изчислите площта на трапец, трябва да знаете основата и височината. Основите са дадени според състоянието, само височината остава неизвестна. Ще я намерим откъде А 1 дперпендикулярно от точка А 1 на равнината на долната основа, А 1 д– перпендикулярно от А 1 на AC. А 1 д= 2 см, тъй като това е височината на пирамидата. Да намеря DEНека направим допълнителен чертеж, показващ изглед отгоре (фиг. 20). Точка ОТНОСНО– проекция на центровете на горната и долната основа. тъй като (виж Фиг. 20) и От друга страна Добре– радиус, вписан в окръжността и ОМ– радиус, вписан в окръжност:

MK = DE.

Според Питагоровата теорема от

Странична лицева зона:

Отговор:

Пример 4.В основата на пирамидата лежи равнобедрен трапец, чиито основи АИ b (а> b). Всяка странична повърхност образува ъгъл, равен на равнината на основата на пирамидата й. Намерете общата повърхност на пирамидата.

Решение.Да направим чертеж (фиг. 21). Обща повърхност на пирамидата SABCDравна на сумата от площите и площта на трапеца ABCD.

Нека използваме твърдението, че ако всички лица на пирамидата са еднакво наклонени към равнината на основата, тогава върхът се проектира в центъра на окръжността, вписана в основата. Точка ОТНОСНО– проекция на върха Св основата на пирамидата. Триъгълник SODе ортогоналната проекция на триъгълника CSDкъм равнината на основата. Използвайки теоремата за площта на ортогоналната проекция на равнинна фигура, получаваме:

По същия начин означава По този начин проблемът беше намален до намиране на площта на трапеца ABCD. Нека начертаем трапец ABCDотделно (фиг. 22). Точка ОТНОСНО– център на окръжност, вписана в трапец.

Тъй като окръжност може да бъде вписана в трапец, тогава или От Питагоровата теорема имаме

Въведение

Когато започнахме да изучаваме стереометрични фигури, засегнахме темата „Пирамида“. Тази тема ни хареса, защото пирамидата се използва много често в архитектурата. И тъй като нашите бъдеща професияархитект, вдъхновени от тази фигура, смятаме, че тя може да ни тласне към страхотни проекти.

Здравината на архитектурните структури е най-важното им качество. Свързвайки силата, първо, с материалите, от които са създадени, и, второ, с характеристиките на дизайнерските решения, се оказва, че здравината на конструкцията е пряко свързана с геометричната форма, която е основна за нея.

С други думи, ние говорим заза онази геометрична фигура, която може да се разглежда като модел на съответната архитектурна форма. Оказва се, че геометрична формаопределя и здравината на една архитектурна конструкция.

От древни времена египетските пирамиди се считат за най-издръжливите архитектурни структури. Както знаете, те имат формата на правилни четириъгълни пирамиди.

Именно тази геометрична форма осигурява най-голяма стабилност поради голямата площ на основата. От друга страна, формата на пирамида гарантира, че масата намалява с увеличаване на височината над земята. Именно тези две свойства правят пирамидата стабилна и следователно здрава в условията на гравитация.

Цел на проекта: научете нещо ново за пирамидите, задълбочете знанията си и намерете практическо приложение.

За постигането на тази цел беше необходимо да се решат следните задачи:

· Научете историческа информация за пирамидата

· Разгледайте пирамидата като геометрична фигура

· Намерете приложение в бита и архитектурата

· Намерете приликите и разликите между пирамидите, разположени в различни частиСвета

Теоретична част

Историческа информация

Началото на геометрията на пирамидата обаче е поставено в Древен Египет и Вавилон активно развитиеполучени в Древна Гърция. Първият, който установява обема на пирамидата, е Демокрит, а Евдокс от Книд го доказва. Древногръцкият математик Евклид систематизира знанията за пирамидата в XII том на своите „Елементи“ и също така извежда първото определение на пирамида: твърда фигура, ограничена от равнини, които се събират от една равнина в една точка.

Гробници на египетските фараони. Най-големите от тях - пирамидите на Хеопс, Хефрен и Микерин в Ел Гиза - в древността са били смятани за едно от Седемте чудеса на света. Изграждането на пирамидата, в която гърците и римляните вече виждат паметник на безпрецедентната гордост на царете и жестокостта, обрекла целия народ на Египет на безсмислено строителство, беше най-важният култов акт и трябваше да изрази, очевидно, мистична идентичност на страната и нейния владетел. Населението на страната е работело по изграждането на гробницата през свободната от земеделска работа част от годината. Редица текстове свидетелстват за вниманието и грижите, които самите царе (макар и от по-късно време) са полагали към изграждането на гробницата и нейните строители. Известни са и специалните култови почести, които са били отдавани на самата пирамида.

Основни понятия

Пирамидасе нарича многостен, чиято основа е многоъгълник, а останалите лица са триъгълници, които имат общ връх.

апотема- височината на страничната повърхност на правилна пирамида, изтеглена от нейния връх;

Странични лица- триъгълници, срещащи се във връх;

Странични ребра- общи страни на страничните лица;

Върхът на пирамидата- точка, свързваща страничните ребра и не лежаща в равнината на основата;

Височина- перпендикулярен сегмент, прекаран през върха на пирамидата до равнината на нейната основа (краищата на този сегмент са върхът на пирамидата и основата на перпендикуляра);

Диагонално сечение на пирамида- сечение на пирамидата, минаващо през върха и диагонала на основата;

База- многоъгълник, който не принадлежи на върха на пирамидата.

Основни свойства на правилната пирамида

Страничните ръбове, страничните лица и апотемите са съответно равни.

Двустенните ъгли при основата са равни.

Двустенните ъгли при страничните ръбове са равни.

Всяка точка на височина е на еднакво разстояние от всички върхове на основата.

Всяка точка на височина е на еднакво разстояние от всички странични лица.

Основни пирамидални формули

Площта на страничната и общата повърхност на пирамидата.

Площта на страничната повърхност на пирамида (пълна и пресечена) е сумата от площите на всичките й странични лица, общата повърхност е сумата от площите на всичките й лица.

Теорема: Площта на страничната повърхност на правилна пирамида е равна на половината от произведението на периметъра на основата и апотемата на пирамидата.

стр- основен периметър;

ч- апотема.

Площта на страничните и пълните повърхности на пресечена пирамида.

стр. 1, стр 2 - базови периметри;

ч- апотема.

Р- обща площ на правилна пресечена пирамида;

S страна- площ на страничната повърхност на правилна пресечена пирамида;

S 1 + S 2- основна площ

Обем на пирамидата

форма volume ula се използва за пирамиди от всякакъв вид.

з- височина на пирамидата.

Ъгли на пирамида

Ъглите, образувани от страничната повърхност и основата на пирамидата, се наричат ​​двустенни ъгли в основата на пирамидата.

Двустенният ъгъл е образуван от два перпендикуляра.

За да определите този ъгъл, често трябва да използвате теоремата за трите перпендикуляра.

Ъглите, образувани от страничния ръб и неговата проекция върху основната равнина, се наричат ъгли между страничния ръб и равнината на основата.

Ъгълът, образуван от два странични ръба, се нарича двустенен ъгъл при страничния ръб на пирамидата.

Ъгълът, образуван от два странични ръба на едно лице на пирамидата, се нарича ъгъл на върха на пирамидата.

Пирамидни секции

Повърхнината на пирамида е повърхността на многостен. Всяко от нейните лица е равнина, следователно сечението на пирамидата, определено от режеща равнина, е начупена линия, състояща се от отделни прави линии.

Диагонално сечение

Сечението на пирамида с равнина, минаваща през два странични ръба, които не лежат на едно и също лице, се нарича диагонално сечениепирамиди.

Паралелни секции

Теорема:

Ако пирамидата е пресечена от равнина, успоредна на основата, тогава страничните ръбове и височини на пирамидата се разделят от тази равнина на пропорционални части;

Разрезът на тази равнина е многоъгълник, подобен на основата;

Площите на сечението и основата са свързани една с друга като квадрати на техните разстояния от върха.

Видове пирамиди

Правилна пирамида– пирамида, чиято основа е правилен многоъгълник, а върхът на пирамидата е проектиран в центъра на основата.

За правилна пирамида:

1. страничните ребра са равни

2. страничните лица са равни

3. апотемите са равни

4. двустенните ъгли в основата са равни

5. двустенните ъгли при страничните ръбове са равни

6. всяка точка на височина е на еднакво разстояние от всички върхове на основата

7. всяка точка на височина е на еднакво разстояние от всички странични ръбове

Пресечена пирамида- част от пирамидата, затворена между нейната основа и режеща равнина, успоредна на основата.

Основата и съответното сечение на пресечена пирамида се наричат основи на пресечена пирамида.

Нарича се перпендикуляр, изтеглен от всяка точка на една основа към равнината на друга височината на пресечена пирамида.

Задачи

номер 1. В правилна четириъгълна пирамида точка O е центърът на основата, SO=8 cm, BD=30 cm Намерете страничния ръб SA.

Разрешаване на проблем

номер 1. В правилната пирамида всички лица и ръбове са равни.

Помислете за OSB: OSB е правоъгълен правоъгълник, защото.

SB 2 =SO 2 + OB 2

SB 2 =64+225=289

Пирамида в архитектурата

Пирамидата е монументална структура под формата на обикновена правилна геометрична пирамида, в която странисе събират в една точка. от функционално предназначениеПирамидите в древността са били места за погребения или култови поклонения. Основата на пирамидата може да бъде триъгълна, четириъгълна или във формата на многоъгълник с произволен брой върхове, но най-разпространената версия е четириъгълната основа.

Има значителен брой построени пирамиди различни култури Древен святпредимно като храмове или паметници. Големите пирамиди включват египетските пирамиди.

По цялата земя можете да видите архитектурни структури под формата на пирамиди. Сградите на пирамидите напомнят за древни времена и изглеждат много красиви.

Египетски пирамидинай велик архитектурни паметници Древен Египет, сред които едно от „Седемте чудеса на света” е Хеопсовата пирамида. От подножието до върха достига 137,3 м, а преди да загуби върха, височината му е била 146,7 м

Сградата на радиостанцията в столицата на Словакия, наподобяваща обърната пирамида, е построена през 1983 г. В допълнение към офисите и сервизните помещения, вътре в обема има доста просторна концертна зала, която има един от най-големите органи в Словакия.

Лувърът, който е „мълчалив, непроменен и величествен като пирамида“, е претърпял много промени през вековете, преди да се превърне в най-великия музей в света. Роден е като крепост, издигната от Филип Август през 1190 г., която скоро се превръща в кралска резиденция. През 1793 г. дворецът става музей. Колекциите се обогатяват чрез завещания или покупки.

Учениците се сблъскват с концепцията за пирамида много преди изучаването на геометрия. Вината е в известните големи египетски чудеса на света. Ето защо, когато започват да изучават този прекрасен полиедър, повечето ученици вече ясно си го представят. Всички горепосочени атракции имат правилна форма. Какво стана правилна пирамида, и какви свойства има, ще бъдат обсъдени допълнително.

Във връзка с

Определение

Има доста определения за пирамида. От древни времена той е много популярен.

Например Евклид го определя като телесна фигура, състояща се от равнини, които, започвайки от една, се събират в определена точка.

Heron предостави по-точна формулировка. Той настоя, че това е фигурата, която има база и самолети вътре под формата на триъгълници, събиращи се в една точка.

Разчитайки на съвременна интерпретация, пирамидата е представена като пространствен полиедър, състоящ се от определен k-ъгъл и k плоски фигуритриъгълна форма с една обща точка.

Нека го разгледаме по-подробно, от какви елементи се състои:

• K-gon се счита за основа на фигурата;
• 3-ъгълни форми изпъкват като ръбове на страничната част;
• горната част, от която произхождат страничните елементи, се нарича връх;
• всички сегменти, свързващи един връх, се наричат ​​ръбове;
• ако права линия се спусне от върха към равнината на фигурата под ъгъл от 90 градуса, тогава нейната част, затворена в вътрешно пространство— височина на пирамидата;
• във всеки страничен елемент може да се начертае перпендикуляр, наречен апотема, към страната на нашия полиедър.

Броят на ръбовете се изчислява по формулата 2*k, където k е броят на страните на k-ъгълника. Колко лица има полиедър като пирамида може да се определи с помощта на израза k+1.

важно!Пирамида правилна форманарича стереометрична фигура, чиято основна равнина е k-ъгълник с равни страни.

Основни свойства

Правилна пирамида има много свойства,които са уникални за нея. Нека ги изброим:

1. Основата е фигура с правилна форма.
2. Ръбовете на пирамидата, които ограничават страничните елементи, имат еднакви числени стойности.
3. Страничните елементи са равнобедрени триъгълници.
4. Основата на височината на фигурата попада в центъра на многоъгълника, като тя е едновременно централна точка на вписаното и описаното.
5. Всички странични ребра са наклонени към равнината на основата под същия ъгъл.
6. Всички странични повърхности имат еднакъв ъгъл на наклон спрямо основата.

Благодарение на всички изброени свойства, извършването на изчисления на елементи е много по-лесно. Въз основа на горните свойства, обръщаме внимание на два знака:

1. В случай, че многоъгълникът се вписва в кръг, страничните лица ще имат основата равни ъгли.
2. Когато описвате кръг около многоъгълник, всички ръбове на пирамидата, излизащи от върха, ще имат еднаква дължинаи равни ъгли с основата.

Основата е квадрат

Правилна четириъгълна пирамида - многостен, чиято основа е квадрат.

Има четири странични лица, които изглеждат равнобедрени.

Квадратът е изобразен на равнина, но се основава на всички свойства на правилния четириъгълник.

Например, ако е необходимо да се свърже страната на квадрат с неговия диагонал, използвайте следната формула: диагоналът е равен на произведението от страната на квадрата и квадратния корен от две.

Тя се основава на правилен триъгълник

Правилната триъгълна пирамида е многостен, чиято основа е правилен 3-ъгълник.

Ако основата е правилен триъгълник и страничните ръбове са равни на ръбовете на основата, тогава такава фигура наречен тетраедър.

Всички лица на тетраедър са равностранни 3-ъгълници. IN в такъв случайТрябва да знаете някои точки и да не губите време за тях, когато изчислявате:

• ъгълът на наклона на ребрата спрямо всяка основа е 60 градуса;
• размерът на всички вътрешни лица също е 60 градуса;
• всяко лице може да действа като основа;
• , начертани вътре във фигурата, това са равни елементи.

Сечения на многостен

Във всеки полиедър има няколко вида секцииапартамент. Често в училищен курс по геометрия те работят с двама:

• аксиален;
• успоредно на основата.

Аксиално сечение се получава чрез пресичане на полиедър с равнина, която минава през върха, страничните ръбове и оста. В този случай оста е височината, изтеглена от върха. Режещата равнина е ограничена от линиите на пресичане с всички лица, което води до триъгълник.

внимание!В правилната пирамида аксиалното сечение е равнобедрен триъгълник.

Ако режещата равнина е успоредна на основата, тогава резултатът е втората опция. В този случай имаме фигура в напречно сечение, подобна на основата.

Например, ако в основата има квадрат, тогава успоредното на основата сечение също ще бъде квадрат, само че с по-малки размери.

При решаване на проблеми при това условие те използват признаци и свойства на подобие на фигури, въз основа на теоремата на Талес. На първо място е необходимо да се определи коефициентът на подобие.

Ако равнината е начертана успоредно на основата и тя отрязва горна частполиедър, то в долната част се получава правилна пресечена пирамида. Тогава основите на пресечен многостен се наричат ​​подобни многоъгълници. В този случай страничните лица са равнобедрени трапеци. Аксиалното сечение също е равнобедрено.

За да се определи височината на пресечен полиедър, е необходимо да се начертае височината в аксиалното сечение, тоест в трапеца.

Повърхностни площи

Основните геометрични задачи, които трябва да се решават в училищния курс по геометрия, са намиране на повърхността и обема на пирамида.

Има два типа стойности на повърхността:

• площ на страничните елементи;
• площ на цялата повърхност.

От самото име става ясно за какво иде реч. Странична повърхноствключва само странични елементи. От това следва, че за да го намерите, просто трябва да съберете площите на страничните равнини, тоест площите на равнобедрените 3-ъгълници. Нека се опитаме да изведем формулата за площта на страничните елементи:

1. Площта на равнобедрен 3-ъгълник е Str=1/2(aL), където a е страната на основата, L е апотемата.
2. Броят на страничните равнини зависи от вида на k-ъгълника в основата. Например правилната четириъгълна пирамида има четири странични равнини. Следователно е необходимо да се добави площ от четирифигури Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. Изразът е опростен по този начин, защото стойността е 4a = Rosn, където Rosn е периметърът на основата. А изразът 1/2*Rosn е неговият полупериметър.
3. И така, заключаваме, че площта на страничните елементи на правилна пирамида е равна на произведението на полупериметъра на основата и апотемата: Sside = Rosn * L.

Площта на общата повърхност на пирамидата се състои от сумата от площите на страничните равнини и основата: Sp.p = Sside + Sbas.

Що се отнася до площта на основата, тук формулата се използва според вида на многоъгълника.

Обем на правилна пирамидаравно на произведението на площта на основната равнина и височината, разделена на три: V=1/3*Sbas*H, където H е височината на полиедъра.

Какво е правилна пирамида в геометрията

Свойства на правилна четириъгълна пирамида

Триъгълна пирамида е пирамида, която има триъгълник в основата си. Височината на тази пирамида е перпендикулярът, който се спуска от върха на пирамидата до нейната основа.

Намиране на височината на пирамида

Как да намерите височината на пирамида? Много просто! За да намерите височината на който и да е триъгълна пирамидаможете да използвате формулата за обем: V = (1/3)Sh, където S е площта на основата, V е обемът на пирамидата, h е нейната височина. От тази формула извлечете формулата за височина: за да намерите височината на триъгълна пирамида, трябва да умножите обема на пирамидата по 3 и след това да разделите получената стойност на площта на основата, тя ще бъде: h = (3V)/S. Тъй като основата на триъгълна пирамида е триъгълник, можете да използвате формулата за изчисляване на площта на триъгълник. Ако знаем: площта на триъгълника S и неговата страна z, тогава според формулата за площ S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, където h е височината на пирамидата, γ е ръбът на триъгълника; ъгълът между страните на триъгълника и самите две страни, след което използвайки следната формула: S = (1/2)γφsinQ, където γ, φ са страните на триъгълника, намираме площта на триъгълника. Стойността на синуса на ъгъл Q трябва да се разгледа в таблицата на синусите, която е достъпна в Интернет. След това заместваме стойността на площта във формулата за височина: h = (2S)/γ. Ако задачата изисква изчисляване на височината на триъгълна пирамида, тогава обемът на пирамидата вече е известен.

Правилна триъгълна пирамида

Намерете височината на правилна триъгълна пирамида, тоест пирамида, в която всички лица са равностранни триъгълници, като знаете размера на ръба γ. В този случай ръбовете на пирамидата са страни на равностранни триъгълници. Височината на правилна триъгълна пирамида ще бъде: h = γ√(2/3), където γ е ръбът на равностранния триъгълник, h е височината на пирамидата. Ако площта на основата (S) е неизвестна и са дадени само дължината на ръба (γ) и обемът (V) на полиедъра, тогава необходимата променлива във формулата от предишната стъпка трябва да бъде заменена чрез неговия еквивалент, който се изразява като дължина на ръба. Площта на триъгълник (правилен) е равна на 1/4 от произведението на дължината на страната на този триъгълник на квадрат по корен квадратен от 3. Ние заместваме тази формула вместо площта на основата в предишния формула и получаваме следната формула: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Обемът на тетраедър може да се изрази чрез дължината на неговия ръб, след което от формулата за изчисляване на височината на фигура можете да премахнете всички променливи и да оставите само страната на триъгълното лице на фигурата. Обемът на такава пирамида може да се изчисли, като се раздели на 12 от произведението на кубичната дължина на лицето й на корен квадратен от 2.

Замествайки този израз в предишната формула, получаваме следната формула за изчисление: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2/3) = (1/3)γ√6. Също правилно триъгълна призмаможе да се впише в сфера и като се знае само радиуса на сферата (R), може да се намери височината на самия тетраедър. Дължината на ръба на тетраедъра е: γ = 4R/√6. Заменяме променливата γ с този израз в предишната формула и получаваме формулата: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Същата формула може да се получи, като се знае радиуса (R) на окръжност, вписана в тетраедър. В този случай дължината на ръба на триъгълника ще бъде равна на 12 съотношения между корен квадратенот 6 и радиус. Заместваме този израз в предишната формула и имаме: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Как да намерите височината на правилна четириъгълна пирамида

За да отговорите на въпроса как да намерите дължината на височината на пирамида, трябва да знаете какво е правилна пирамида. Четириъгълна пирамида е пирамида, която има четириъгълник в основата си. Ако в условията на проблема имаме: обем (V) и площ на основата (S) на пирамидата, тогава формулата за изчисляване на височината на полиедъра (h) ще бъде следната - разделете обема, умножен с 3 по площта S: h = (3V)/S. Дадена е квадратна основа на пирамида с даден обем (V) и дължина на страната γ, заменете площта (S) в предишната формула с квадрата на дължината на страната: S = γ 2 ; H = 3V/γ2. Височината на правилна пирамида h = SO минава точно през центъра на окръжността, която е описана близо до основата. Тъй като основата на тази пирамида е квадрат, точка O е пресечната точка на диагонали AD и BC. Имаме: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. След това сме вътре правоъгълен триъгълникНамираме SOC (използвайки Питагоровата теорема): SO = √(SC 2 -OC 2). Сега знаете как да намерите височината на правилна пирамида.

Тук можете да намерите основна информация за пирамидите и свързаните с тях формули и концепции. Всички те се изучават с преподавател по математика като подготовка за Единния държавен изпит.

Помислете за равнина, многоъгълник , лежаща в нея и точка S, нележаща в нея. Нека свържем S с всички върхове на многоъгълника. Полученият полиедър се нарича пирамида. Сегментите се наричат ​​странични ребра. Многоъгълникът се нарича основа, а точка S е връх на пирамидата. В зависимост от числото n пирамидата се нарича триъгълна (n=3), четириъгълна (n=4), петоъгълна (n=5) и т.н. Алтернативно име за триъгълна пирамида е тетраедър. Височината на пирамидата е перпендикулярът, спускащ се от върха й към равнината на основата.

Пирамида се нарича правилна, ако правилен многоъгълник, а основата на надморската височина на пирамидата (основата на перпендикуляра) е нейният център.

Коментар на преподавателя:
Не бъркайте понятията „правилна пирамида“ и „правилен тетраедър“. В правилната пирамида страничните ръбове не са непременно равни на ръбовете на основата, но в правилния тетраедър всичките 6 ръба са равни. Това е неговото определение. Лесно се доказва, че равенството предполага, че центърът P на многоъгълника съвпада с височина на основата, така че правилният тетраедър е правилна пирамида.

Какво е апотема?
Апотемата на пирамидата е височината на страничната й страна. Ако пирамидата е правилна, тогава всички нейни апотеми са равни. Обратното не е вярно.

Преподавател по математика за неговата терминология: 80% от работата с пирамиди е изградена чрез два вида триъгълници:
1) Съдържа апотема SK и височина SP
2) Съдържащ страничния ръб SA и неговата проекция PA

За да се опростят препратките към тези триъгълници, е по-удобно за учителя по математика да извика първия от тях апотематичен, и второ крайбрежен. За съжаление няма да намерите тази терминология в нито един от учебниците и учителят трябва да я въведе едностранно.

Формула за обем на пирамида:
1) , където е площта на основата на пирамидата и е височината на пирамидата
2) , където е радиусът на вписаната сфера и е площта на общата повърхност на пирамидата.
3) , където MN е разстоянието между всеки два пресичащи се ръба и е площта на успоредника, образуван от средните точки на четирите оставащи ръба.

Свойство на основата на височината на пирамида:

Точка P (вижте фигурата) съвпада с центъра на вписаната окръжност в основата на пирамидата, ако е изпълнено едно от следните условия:
1) Всички апотеми са равни
2) Всички странични лица са еднакво наклонени към основата
3) Всички апотеми са еднакво наклонени спрямо височината на пирамидата
4) Височината на пирамидата е еднакво наклонена към всички странични стени

Коментар на учителя по математика: Моля, имайте предвид, че всички точки имат едно общо нещо обща собственост: по един или друг начин страничните лица са включени навсякъде (апотемите са техните елементи). Следователно учителят може да предложи по-малко точна, но по-удобна за учене формулировка: точка P съвпада с центъра на вписаната окръжност, основата на пирамидата, ако има равна информация за нейните странични стени. За да го докажем, е достатъчно да покажем, че всички триъгълници-апотеми са еднакви.

Точка P съвпада с центъра на окръжност, описана близо до основата на пирамидата, ако е изпълнено едно от трите условия:
1) Всички странични ръбове са равни
2) Всички странични ребра са еднакво наклонени към основата
3) Всички странични ребра са еднакво наклонени спрямо височината