Основна площ от 6 карбонови призми. Как да намерите обема на правилна шестоъгълна призма (формула)
Различните призми са различни една от друга. В същото време те имат много общи неща. За да намерите площта на основата на призмата, ще трябва да разберете какъв тип има.
Обща теория
Призма е всеки многостен страникоито имат формата на успоредник. Освен това основата му може да бъде всеки полиедър - от триъгълник до n-ъгълник. Освен това основите на призмата винаги са равни една на друга. Това, което не важи за страничните лица е, че те могат да варират значително по размер.
При решаването на проблеми се среща не само площта на основата на призмата. Може да изисква познаване на страничната повърхност, тоест всички лица, които не са основи. Пълна повърхноствече ще има обединение на всички лица, съставляващи призмата.
Понякога проблемите включват височина. Тя е перпендикулярна на основите. Диагоналът на полиедър е сегмент, който свързва по двойки всеки два върха, които не принадлежат на едно и също лице.
Трябва да се отбележи, че основната площ на права или наклонена призма не зависи от ъгъла между тях и страничните повърхности. Ако те имат еднакви фигури на горната и долната страна, тогава техните площи ще бъдат равни.
Триъгълна призма
В основата си има фигура с три върха, тоест триъгълник. Както знаете, може да бъде различно. Ако е така, достатъчно е да запомните, че неговата площ се определя от половината от произведението на краката.
Математическата нотация изглежда така: S = ½ av.
За да разберете площта на основата в общ изглед, формулите ще бъдат полезни: Чапла и тази, в която половината от страната е взета до начертаната към нея височина.
Първата формула трябва да бъде написана по следния начин: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Тази нотация съдържа полупериметър (p), тоест сумата от три страни, разделена на две.
Второ: S = ½ n a * a.
Ако искате да разберете площта на основата на триъгълна призма, която е правилна, тогава триъгълникът се оказва равностранен. Има формула за това: S = ¼ a 2 * √3.
Четириъгълна призма
Неговата основа е някой от известните четириъгълници. Може да бъде правоъгълник или квадрат, паралелепипед или ромб. Във всеки случай, за да изчислите площта на основата на призмата, ще ви трябва ваша собствена формула.
Ако основата е правоъгълник, тогава неговата площ се определя, както следва: S = ab, където a, b са страните на правоъгълника.
Кога ние говорим заоколо четириъгълна призма, тогава площта на основата на правилна призма се изчислява по формулата за квадрат. Защото именно той лежи в основата. S = a 2.
В случай, че основата е паралелепипед, ще е необходимо следното равенство: S = a * n a. Случва се да са дадени страната на паралелепипед и един от ъглите. След това, за да изчислите височината, ще трябва да използвате допълнителна формула: n a = b * sin A. Освен това ъгъл A е съседен на страната "b", а височината n е противоположна на този ъгъл.
Ако в основата на призмата има ромб, тогава за определяне на неговата площ ще ви е необходима същата формула като за успоредник (тъй като това е негов частен случай). Но можете да използвате и това: S = ½ d 1 d 2. Тук d 1 и d 2 са два диагонала на ромба.
Правилна петоъгълна призма
Този случай включва разделянето на многоъгълника на триъгълници, чиито площи са по-лесни за намиране. Въпреки че се случва фигурите да имат различен брой върхове.
Тъй като основата на призмата е правилен петоъгълник, тя може да бъде разделена на пет равностранни триъгълника. Тогава площта на основата на призмата е равна на площта на един такъв триъгълник (формулата може да се види по-горе), умножена по пет.
Правилна шестоъгълна призма
Използвайки принципа, описан за петоъгълна призма, е възможно да разделим шестоъгълника на основата на 6 равностранни триъгълника. Формулата за основната площ на такава призма е подобна на предишната. Само че трябва да се умножи по шест.
Формулата ще изглежда така: S = 3/2 a 2 * √3.
Задачи
№ 1. Като се има предвид правилна права линия, нейният диагонал е 22 cm, височината на многостена е 14 cm. Изчислете площта на основата на призмата и цялата повърхност.
Решение.Основата на призмата е квадрат, но страната му е неизвестна. Можете да намерите стойността му от диагонала на квадрата (x), който е свързан с диагонала на призмата (d) и нейната височина (h). x 2 = d 2 - n 2. От друга страна, този сегмент "x" е хипотенузата в триъгълник, чиито катети са равни на страната на квадрата. Тоест x 2 = a 2 + a 2. Така се оказва, че a 2 = (d 2 - n 2)/2.
Заменете числото 22 вместо d и заменете „n“ с неговата стойност - 14, оказва се, че страната на квадрата е 12 cm Сега просто разберете площта на основата: 12 * 12 = 144 cm 2.
За да разберете площта на цялата повърхност, трябва да добавите два пъти основната площ и да учетворите страничната площ. Последното може лесно да се намери с помощта на формулата за правоъгълник: умножете височината на полиедъра и страната на основата. Тоест 14 и 12, това число ще бъде равно на 168 cm 2. Общата повърхност на призмата се оказва 960 cm 2.
Отговор.Площта на основата на призмата е 144 cm 2. Цялата повърхност е 960 cm 2.
No 2. Дадено В основата има триъгълник със страна 6 cm. В този случай диагоналът на страничната повърхност е 10 cm.
Решение.Тъй като призмата е правилна, нейната основа е равностранен триъгълник. Следователно неговата площ се оказва равна на 6 на квадрат, умножено по ¼ и корен квадратен от 3. Едно просто изчисление води до резултата: 9√3 cm 2. Това е площта на една основа на призмата.
Всички странични лица са еднакви и са правоъгълници със страни 6 и 10 см. За да изчислите техните площи, просто умножете тези числа. След това ги умножете по три, защото призмата има точно толкова страни. Тогава площта на страничната повърхност на раната се оказва 180 cm 2.
Отговор.Области: основа - 9√3 cm 2, странична повърхност на призмата - 180 cm 2.
Скъпи приятели! Още една статия с призми за вас. Изпитът включва такъв тип задачи, в които трябва да определите обема на многостен. Освен това тя не е дадена в „чист вид“, а първо трябва да бъде изградена. Бих го казал така: той трябва да бъде „видян“ в друго дадено тяло.
В блога вече имаше статия за такива задачи. В представените по-долу задачи са дадени прави правилни призми - триъгълни или шестоъгълни. Ако напълно сте забравили какво е призма, тогава...
Правилната призма има правилен многоъгълник в основата си. Следователно в основата на правилна триъгълна призма лежи равностранен триъгълник, а в основата на правилна шестоъгълна призмалежи правилен шестоъгълник.
При решаване на задачи се използва формулата за обем на пирамида, препоръчвам да разгледате информацията.Ще бъде полезно и с паралелепипеди; принципът на решаване на проблеми е подобен.Погледнете отново формулите, които трябва да знаете.
Обем на призмата:
Обем на пирамидата:
245340. Намерете обема на многостен, чиито върхове са точки A, B, C, A 1 правилна триъгълна призма ABCA 1 B 1 C 1 , чиято основна площ е 2, а страничният ръб е 3.
Имаме пирамида с основа ABC и връх A 1 . Площта на основата му е равна на площта на основата на призмата (обща основа). Височината също е често срещана. Обемът на пирамидата е:
Отговор: 2
245341. Намерете обема на полиедър, чиито върхове са точки A, B, C, A 1, C 1, правилна триъгълна призма ABCA 1 B 1 C 1, чиято основна площ е 3, а страничният ръб е 2.
Нека построим посочения полиедър на скицата:
Това е пирамида с основа АА 1 C 1 C и височина, равна на разстоянието между ръба AC и върха B. Но в в такъв случайизчислете площта на тази основа и посочената височина също дълги разстояниякъм резултата. По-лесно е да направите това:
За да се получи обемът на посочения многостен, е необходимо от обема на дадената призма ABCA 1 B 1 C 1 извадете обема на пирамидата BA 1 B 1 C 1 . Нека запишем:
Отговор: 4
245342. Намерете обема на полиедър, чиито върхове са точки A 1, B 1, B, C, правилна триъгълна призма ABCA 1 B 1 C 1, чиято основна площ е 4, а страничният ръб е 3.
Нека построим посочения полиедър на скицата:
За да се получи обемът на посочения многостен е необходимо от обема на призмата ABCA 1 B 1 C 1 извадете обемите на две тела - пирамида ABCA 1 и пирамиди CA 1 B 1 C 1. Нека запишем:
Отговор: 4
245343. Намерете обема на полиедър, чиито върхове са точки A, B, C, D, E, F, A 1 на правилна шестоъгълна призма ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, основната площ на което е 4, а страничният ръб е равен на 3.
Нека построим посочения полиедър на скицата:
Това е пирамида с обща основа с призма и височина, равна на височината на призмата. Обемът на пирамидата ще бъде равен на:
Отговор: 4
245344. Намерете обема на полиедър, чиито върхове са точки A, B, C, A 1, B 1, C 1 на правилна шестоъгълна призма ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, основната площ на което е 6, а страничният ръб е 3.
Нека построим посочения полиедър на скицата:
Полученият полиедър е права призма. Обемът на призмата е равен на произведението на площта на основата и височината.
Височината на първоначалната и получената призма е обща; тя е равна на три (това е дължината на страничния ръб). Остава да се определи площта на основата, тоест на триъгълника ABC.
Тъй като призмата е правилна, в основата й има правилен шестоъгълник. Площта на триъгълник ABC е равна на една шеста от този шестоъгълник, повече за това (точка 6). Следователно площта ABC е равна на 1.Изчисляваме:
Отговор: 3
245345. Намерете обема на многостен, чиито върхове са точки A, B, D, E, A 1, B 1, D 1, E 1 на правилна шестоъгълна призма ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, основната площ на която е 6, а страничният ръб е 2.
Нека построим посочения полиедър на скицата:
Височината на първоначалната и получената призма са равни на две (това е дължината на страничния ръб). Остава да се определи площта на основата, тоест четириъгълника ABDE.
Тъй като призмата е правилна, в основата й има правилен шестоъгълник. Площта на четириъгълника ABDE е равна на четири шести от този шестоъгълник. Защо? Вижте повече за това (точка 6). Следователно площта ABDE ще бъде равна на 4. Изчисляваме:
Отговор: 8
245346. Намерете обема на многостен, чиито върхове са точки A, B, C, D, A 1, B 1, C 1, D 1 на правилна шестоъгълна призма ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, основната площ на която е 6, а страничният ръб е 2.
Нека построим посочения полиедър на скицата:
Полученият полиедър е права призма.
Височината на първоначалната призма и получената призма са равни на две (това е дължината на страничния ръб). Остава да се определи площта на основата, тоест четириъгълника ABCD. Отсечката AD свързва диаметрално противоположни точки на правилен шестоъгълник, което означава, че го разделя на два равни трапеца. Следователно площта на четириъгълника ABCD (трапец) е равна на три.
Изчисляваме:
Отговор: 6
245347. Намерете обема на полиедър, чиито върхове са точки A, B, C, B 1 на правилна шестоъгълна призма ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, чиято основна площ е 6, а страничната ръбът е 3.
Нека построим посочения полиедър на скицата:
Полученият полиедър е пирамида с основа ABC и височина BB 1.
*Височината на оригиналната и получената призма е обща, равна е на три (това е дължината на страничния ръб).
Остава да се определи площта на основата на пирамидата, тоест триъгълник ABC. Тя е равна на една шеста от площта на правилния шестоъгълник, който е основата на призмата. Изчисляваме:
Отговор: 1
245357. Намерете обема на правилна шестоъгълна призма, чиито ръбове са равни на корен от три.
Обемът на призмата е равен на произведението на площта на основата на призмата и нейната височина.
Височината на права призма е равна на нейния страничен ръб, тоест тя вече ни е дадена - това е корен от три. Нека изчислим площта на правилния шестоъгълник, лежащ в основата. Площта му е равна на шест равни една на друга площи правилни триъгълници, при което страната на такъв триъгълник е равна на ръба на шестоъгълника:
*Използвахме формулата за площта на триъгълник - площта на триъгълника е равна на половината от произведението на съседните страни и синуса на ъгъла между тях.
Изчисляваме обема на призмата:
Отговор: 13.5
Нещо специално за отбелязване? Внимателно изградете полиедъра, не мислено, а го нарисувайте на лист хартия. Тогава възможността за грешки поради невнимание ще бъде елиминирана. Запомнете свойствата на правилния шестоъгълник. Е, важно е да запомните формулите за обем, които използвахме.
Решете сами два проблема с обема:
27084. Намерете обема на правилна шестоъгълна призма, чиито основни страни са равни на 1 и чиито странични ръбове са равни на √3.
27108. Намерете обема на призма, чиято основа съдържа правилни шестоъгълници със страни 2, а страничните ръбове са равни на 2√3 и са наклонени към равнината на основата под ъгъл 30 0.
Това е всичко. Късмет!
С уважение, Александър.
P.S: Ще съм благодарен, ако ми разкажете за сайта в социалните мрежи
В сайта вече са разгледани някои видове задачи по стереометрия, които са включени в единна банка от задачи за изпита по математика.Например задачи за.
Призма се нарича правилна, ако нейните страни са перпендикулярни на основите и в основите лежи правилен многоъгълник. Тоест правилната призма е права призма с правилен многоъгълник в основата си.
Правилната шестоъгълна призма има правилен шестоъгълник в основата, страничните стени са правоъгълници.
В тази статия ще намерите задачи за решаване на призма, чиято основа е правилен шестоъгълник. Няма особености или трудности в решението.Какъв е смисълът? Дадена е правилна шестоъгълна призма, трябва да изчислите разстоянието между два върха или да намерите даден ъгъл. Проблемите всъщност са прости; в крайна сметка решението се свежда до намирането на елемент в правоъгълен триъгълник.
Използва се Питагоровата теорема и. Изисква се познаване на определенията тригонометрични функциив правоъгълен триъгълник.
Не забравяйте да погледнете информацията за правилния шестоъгълник в.Ще ви трябва и умението да ги извличате. голямо число. Можете да решавате полиедри, те също изчисляват разстоянието между върховете и ъглите.
Накратко: какво е правилен шестоъгълник?
Известно е, че в правилния шестоъгълник страните са равни. Освен това ъглите между страните също са равни.
*Срещуположните страни са успоредни.
Допълнителна информация
Радиусът на окръжност, описана около правилен шестоъгълник, е равен на неговата страна. *Това се потвърждава много просто: ако свържем срещуположните върхове на шестоъгълник, получаваме шест еднакви равностранни триъгълника. Защо равностранен?
Всеки триъгълник има ъгъл с върха, лежащ в центъра, равен на 60 0 (360:6=60). Тъй като двете страни на триъгълник с общ връх в центъра са равни (това са радиусите на описаната окръжност), то всеки ъгъл в основата на такъв равнобедрен триъгълниксъщо е равно на 60 градуса.
Тоест правилният шестоъгълник, образно казано, се състои от шест равни равностранни триъгълника.
Какъв друг полезен факт за решаване на проблеми трябва да се отбележи? Ъгълът на върха на шестоъгълник (ъгълът между съседните му страни) е 120 градуса.
*Нарочно не засегнахме формулите за правилен N-ъгълник. Ще разгледаме подробно тези формули в бъдеще, те просто не са необходими тук.
Нека разгледаме задачите:
272533. В правилна шестоъгълна призма ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 всички ръбове са равни 48. Намерете разстоянието между точките A и E 1 .
Нека помислим правоъгълен триъгълникА.А. 1 E 1 . Според теоремата на Питагор:
* Ъгълът между страните на правилния шестоъгълник е 120 градуса.
Раздел AE 1 е хипотенузата, AA 1 и A 1 E 1 крака. Ребро АА 1 ние знаем. Раздел А 1 E 1 можем да намерим с помощта на .
Теорема: Квадратът на която и да е страна на триъгълник е равен на сумата от квадратите на другите му две страни без удвоеното произведение на тези страни по косинуса на ъгъла между тях.
Следователно
Според теоремата на Питагор:
Отговор: 96
*Моля, имайте предвид, че повдигането на квадрат 48 не е необходимо.
В правилна шестоъгълна призма ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 всички ръбове са 35. Намерете разстоянието между точки B и E.
Казва се, че всички ръбове са равни на 35, тоест страната на шестоъгълника, лежащ в основата, е равна на 35. И също така, както вече беше казано, радиусът на описаната около него окръжност е равен на същото число.
По този начин,
Отговор: 70
273353. В правилна шестоъгълна призма ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 всички ръбове са равни на четиридесет корен от пет. Намерете разстоянието между точките Би Е 1.
Да разгледаме правоъгълния триъгълник BB 1 E 1 . Според теоремата на Питагор:
Сегмент B 1 E 1 е равен на два радиуса на окръжността, описана около правилен шестоъгълник, а неговият радиус е равен на страната на шестоъгълника, т.е.
По този начин,
Отговор: 200
273683. В правилна шестоъгълна призма ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 всички ръбове са равни на 45. Намерете тангенса на ъгъл AD 1 D.
Помислете за правоъгълен триъгълник ADD 1, в който ADравен на диаметъра на окръжност, описана около основата. Известно е, че радиусът на окръжност, описана около правилен шестоъгълник, е равен на неговата страна.
По този начин,
Отговор: 2
В правилна шестоъгълна призма ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 всички ръбове са равни 23. Намерете ъгъла DAB. Дайте отговора си в градуси.
Помислете за правилен шестоъгълник:
При него ъглите между страните са 120°. означава,
Дължината на самия ръб няма значение; тя не влияе на ъгъла.
Отговор: 60
В правилна шестоъгълна призма ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 всички ръбове са равни на 10. Намерете ъгъла AC 1 C. Дайте отговора в градуси.
Да разгледаме правоъгълния триъгълник AC 1 C:
Да намерим A.C.. В правилния шестоъгълник ъглите между страните му са равни на 120 градуса, то според косинусовата теорема за триъгълникABC:
По този начин,
Така че ъгъл AC 1 С е равно на 60 градуса.
Отговор: 60
274453. В правилна шестоъгълна призма ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 всички ръбове са равни на 10. Намерете ъгъла AC 1 C. Дайте отговора в градуси.
Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.
Събиране и използване на лична информация
Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.
Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.
По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.
Каква лична информация събираме:
- Когато подадете заявление на сайта, може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.
Как използваме вашата лична информация:
- Събрани от нас лична информацияни позволява да се свържем с вас и да ви информираме за уникални предложения, промоции и други събития и предстоящи събития.
- От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
- Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
- Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.
Разкриване на информация на трети лица
Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.
Изключения:
- При необходимост, в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на обществени запитвания или искания от правителствени агенциина територията на Руската федерация - разкрийте вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
- В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.
Защита на личната информация
Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.
Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво
За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.
Призма е една от триизмерните фигури, чиито свойства се изучават в училище в хода на пространствената геометрия. В тази статия ще разгледаме конкретна призма - шестоъгълна. Що за фигура е това, как да намерим обема на правилна шестоъгълна призма и нейната повърхност? Отговорите на тези въпроси се съдържат в статията.
Призма фигура
Да предположим, че имаме произволен многоъгълник с брой страни n, който се намира в някаква равнина. За всеки връх на този многоъгълник ще построим вектор, който няма да лежи в равнината на многоъгълника. Използвайки тази операция, ще получим n еднакви вектора, върховете на които образуват многоъгълник, точно равен на оригиналния. Фигура, ограничена от два еднакви многоъгълника и успоредни линии, свързващи върховете им, се нарича призма.
Лицата на призмата са две основи, представени от многоъгълници с n страни и n странични паралелограмни повърхности. Броят на ръбовете P на фигура е свързан с броя на нейните върхове B и лица G по формулата на Ойлер:
За многоъгълник с n страни, получаваме n + 2 лица и 2 * n върха. Тогава броят на ръбовете ще бъде равен на:
P = B + G - 2 = 2 * n + n + 2 - 2 = 3 * n
Най-простата призма е триъгълна, тоест нейната основа е триъгълник.
Класификацията на призмите е доста разнообразна. И така, те могат да бъдат правилни и неправилни, правоъгълни и наклонени, изпъкнали и вдлъбнати.
Шестоъгълна призма
Тази статия е посветена на въпроса за обема на правилна шестоъгълна призма. Първо, нека разгледаме по-отблизо тази фигура.
Както подсказва името, основата на шестоъгълна призма е многоъгълник с шест страни и шест ъгъла. В общия случай могат да се направят голямо разнообразие от такива многоъгълници, но за практиката и за решаване на геометрични задачи е важен един единствен случай - правилен шестоъгълник. Всичките му страни са равни една на друга, а всеки от 6-те ъгъла е 120o. Този многоъгълник може лесно да се построи, като кръгът се раздели на 6 равни части с три диаметъра (те трябва да се пресичат под ъгъл от 60 o).
Правилната шестоъгълна призма изисква не само наличието на правилен многоъгълник в основата си, но и факта, че всички страни на фигурата трябва да са правоъгълници. Това е възможно само ако страничните стени са перпендикулярни на шестоъгълните основи.
Правилната шестоъгълна призма е доста перфектна фигура, която се среща в ежедневието и природата. Човек трябва само да помисли за формата на пчелна пита или шестостенен ключ. Шестоъгълните призми също са често срещани в областта на нанотехнологиите. Например, кристални решетки HPU и C32, които се реализират при определени условия в титан и цирконий, както и графитната решетка, имат формата на шестоъгълни призми.
Площ на повърхността на шестоъгълна призма
Нека сега да преминем директно към въпроса за изчисляване на площта и обема на призмата. Първо, нека изчислим площта на тази фигура.
Площта на всяка призма се изчислява с помощта на следното уравнение:
Тоест необходимата площ S е равна на сумата от площите на двете основи S o и площта на страничната повърхност S b . За да определите стойността на S o, можете да продължите по два начина:
- Изчислете го сами. За да направите това, шестоъгълникът е разделен на 6 равностранни триъгълника. Знаейки, че площта на един триъгълник е равна на половината от произведението на височината и основата (дължината на страната на шестоъгълника), можете да намерите площта на въпросния многоъгълник.
- Възползвам се добре позната формула. Показано е по-долу:
S n = n / 4 * a 2 * ctg(pi / n)
Тук a е дължината на страната на правилен многоъгълник с n върха.
Очевидно и двата метода водят до един и същ резултат. За правилен шестоъгълник площта е:
S o = S 6 = 3 * √3 * a 2 / 2
Лесно е да намерите площта на страничната повърхност, умножете основата на всеки правоъгълник a по височината на призмата h, умножете получената стойност по броя на тези правоъгълници, т.е. по 6. В резултат на това:
Използвайки формулата за общата повърхност, за правилна шестоъгълна призма получаваме:
S = 3 * √3 * a 2 + 6 * a * h = 3 * a * (√3 * a + 2 * h)
Как да намерим обема на призма?
Обемът е физическо количество, което отразява площта на пространството, заемано от обекта. За призма тази стойност може да се изчисли по следната формула:
Този израз отговаря на въпроса как да се намери обемът на призма с произволна форма, т.е. необходимо е да се умножи основната площ S o по височината на фигурата h (разстоянието между основите).
Имайте предвид, че горният израз е валиден за всяка призма, включително вдлъбнати и наклонени фигури, образувани от неправилни многоъгълници в основата.
Формула за обем на шестоъгълна правилна призма
На този моментразгледахме всички необходими теоретични изчисления, за да получим израз за обема на въпросната призма. За да направите това, достатъчно е да умножите площта на основата по дължината на страничния ръб, което е височината на фигурата. В резултат на това шестоъгълната призма ще приеме формата:
V = 3 * √3 * a 2 * h / 2
По този начин изчисляването на обема на въпросната призма изисква познаване само на две величини: дължината на страната на нейната основа и височината. Тези две величини еднозначно определят обема на фигурата.
Сравнение на обеми и цилиндър
По-горе беше казано, че основата на шестоъгълна призма може лесно да бъде конструирана с помощта на кръг. Известно е също, че ако увеличите броя на страните на правилния многоъгълник, неговата форма ще се доближи до кръг. В тази връзка е интересно да се изчисли колко обемът на правилната шестоъгълна призма се различава от тази стойност за цилиндър.
За да отговорите на този въпрос, трябва да изчислите дължината на страната на шестоъгълник, вписан в кръг. Лесно може да се покаже, че е равен на радиуса. Нека обозначим радиуса на окръжността с буквата R. Да приемем, че височината на цилиндъра и призмата е равна на определена стойност h. Тогава обемът на призмата е равен на следваща стойност:
V p = 3 * √3 * R 2 * h / 2
Обемът на цилиндъра се определя по същата формула като обема на произволна призма. Като се има предвид, че площта на кръга е равна на pi * R 2, за обема на цилиндъра имаме:
Нека намерим съотношението на обемите на тези фигури:
V p / V с = 3 * √3 * R 2 * h / 2 / (pi * R 2 * h) = 3 * √3 / (2 * pi)
Пи е 3,1416. Заменяйки го, получаваме:
Така обемът на правилната шестоъгълна призма е около 83% от обема на цилиндъра, в който е вписана.