Правилни многостени: елементи, симетрия и площ. Симетрия в пространството. Правилни полиедри. Елементи на симетрия на правилните многостени

ТЕКСТОВ ПРЕПИС НА УРОКА:

Нашето запознанство с полиедрите продължава.

Спомнете си, че полиедърът се нарича правилен, ако са изпълнени следните условия:

1.изпъкнал многостен;

2. всички негови лица са равни правилни многоъгълници;

3. се събира във всеки от върховете си същия номерлица;

4. всички негови двустенни ъгли са равни.

В предишните уроци научихте за уникалното съществуване на пет вида правилни полиедри:

тетраедър, октаедър, икосаедър, хексаедър (куб) и додекаедър.

Днес ще разгледаме елементите на симетрия на изследваните правилни многостени.

Правилният тетраедър няма център на симетрия.

Неговата ос на симетрия е права линия, минаваща през средните точки на противоположните ръбове.

Равнината на симетрия е равнината, минаваща през всеки ръб, перпендикулярен на противоположния ръб.

Правилният тетраедър има три оси на симетрия и шест равнини на симетрия.

Кубът има един център на симетрия - това е пресечната точка на неговите диагонали.

Осите на симетрия са прави линии, минаващи през центровете на противоположни лица и средните точки на два противоположни ръба, които не принадлежат на едно и също лице.

Кубът има девет оси на симетрия, които минават през центъра на симетрия.

Равнина, минаваща през произволни две оси на симетрия, е равнина на симетрия.

Кубът има девет равнини на симетрия.

Правилният октаедър има център на симетрия - центърът на октаедъра, 9 оси на симетрия и 9 равнини на симетрия: три оси на симетрия минават през противоположни върхове, шест през средните точки на ръбовете.

Центърът на симетрия на октаедър е пресечната точка на неговите оси на симетрия.

Три от 9-те равнини на симетрия на тетраедъра минават през всеки 4 върха на октаедъра, лежащи в същата равнина.

Шест равнини на симетрия минават през два върха, които не принадлежат на едно и също лице и средните точки на противоположни ръбове.

Правилният икосаедър има 12 върха. Икосаедърът има център на симетрия - центърът на икосаедъра, 15 оси на симетрия и 15 равнини на симетрия: Пет равнини на симетрия минават през първата двойка противоположни върхове (всеки от тях минава през ръб, съдържащ върха, перпендикулярен на противоположния ъгъл).

За третата двойка получаваме 3 нови самолета, за четвъртата - два самолета и за петата двойка само един нов самолет.

Нито една нова равнина на симетрия няма да премине през шестата двойка върхове.

Правилният додекаедър се състои от дванадесет правилни петоъгълника. Додекаедърът има център на симетрия - центърът на додекаедъра, 15 оси на симетрия и 15 равнини на симетрия: равнините на симетрия минават през ръба, съдържащ върха, перпендикулярен на противоположния ръб. Следователно 5 равнини преминават през първата двойка противоположни петоъгълници, 4 през втората двойка, 3 през третата, 2 през четвъртата и 1 през петата.

Нека да решим няколко задачи, използвайки придобитите знания.

Докажете, че в правилния тетраедър отсечките, свързващи центровете на лицата му, са равни.

Тъй като всички лица на правилния тетраедър са равни и всяко от тях може да се счита за основа, а останалите три могат да се считат за странични лица, ще бъде достатъчно да се докаже равенството на сегментите OM и ON.

Доказателство:

1. Допълнителна конструкция: начертайте права линия DN до пресичане със страната AC, получавайки точка F;

начертайте права линия DM, докато се пресече със страната AB, получаваме точка E.

След това свържете връх A към точка F;

връх C с точка E.

2. Разгледайте триъгълниците DEO и DOP, те

правоъгълна, т.к DO е височината на тетраедъра, тогава те са равни по хипотенуза и крак: DO-общо, DE = DF (височини на равни лица на тетраедъра)).

От равенството на тези триъгълници следва, че OE=OF, ME=NF (среди на равни страни),

ъгъл DEO равен на ъгъл DFO.

3. От доказаното по-горе следва, че триъгълниците OEM и OFN са равни по двете страни и ъгъла между тях (виж точка 2).

И от равенството на тези триъгълници следва, че OM = ON.

Q.E.D.

Има ли четириъгълна пирамида, чиито противоположни страни са перпендикулярни на основата?

Нека докажем, че такава пирамида не съществува от противното.

Доказателство:

1. Нека ръб PA1 е перпендикулярен на основата на пирамидата и ръб PA2 също перпендикулярен на основата.

2. Тогава, съгласно теоремата (две прави, перпендикулярни на третата, са успоредни), получаваме, че ръбът RA1 е успореден на ръба RA2.

3. Но пирамидата има обща точка за всички странични ръбове (и следователно лица) - върха на пирамидата.

Получихме противоречие, следователно няма четириъгълна пирамида, чиито противоположни страни да са перпендикулярни на основата.

Основният интерес към правилните полиедри е голямо числосиметриите, които притежават. Под симетрия (или трансформация на симетрия) на полиедър ние разбираме неговото движение като твърдов пространството (например въртене около определена линия, отражение спрямо определена равнина и т.н.), което оставя множествата от върхове, ръбове и лица на полиедъра непроменени. С други думи, под действието на трансформация на симетрия, връх, ръб или лице или запазва първоначалната си позиция, или се прехвърля в началната позиция на друг връх, друг ръб или друго лице. Има една симетрия, която е обща за всички полиедри. Това е заза трансформация на идентичността, която оставя всяка точка в първоначалната й позиция. Срещаме по-малко тривиален пример за симетрия в случай на права правилна p-ъгълна призма.

Примери за размери на симетрия плоски фигуридават правилни многоъгълници. Примери за симетрия на пространствени фигури са правилните призми и пирамиди: те се подравняват със себе си, например чрез завъртане около ос, перпендикулярна на равнината на основата и минаваща през нейния център.

Ще разберем симетрията в в общ смисъл, как се определя в началото и как се разбира, по-специално, когато говорим за симетрията на кристалите. В този случай налагането на фигура върху себе си се нарича трансформация на симетрия.

Теорема. Да разгледаме даден правилен многостен P. Нека A е неговият връх, a е ребро с край A и лице със страна a. За всички други подобни елементи A", a", a" има налагане на многостена P върху себе си, превръщайки A" в A, a" в a, a" в a.

Доказателство

Чрез транслиране на полиедъра ние ще трансформираме върха A" в A. Чрез въртене на полиедъра около A ще транслираме прехвърленото ребро a" в a. Чрез завъртане на многостена около ръб а, ние ще доведем (прехвърленото и завъртяно) лице a" в съвпадение с лице a. Тъй като лицата са равни, лицето a" ще бъде напълно подравнено с a.

Тъй като двустенните ъгли са равни, тогава за лицата p и p", съседни на a и a", има само две възможности: 1) p" съвпада с p; 2) p" не съвпада с p, но p ще бъде симетрично по отношение на равнината на лицето А. В този случай чрез отражение в тази равнина ще преобразуваме P" в p.

И така, чрез наслагване на целия полиедър P, ние комбинирахме върха A" с A, ръба a" с a, лицата a", p", съседни по ръба a", с лицата a, p, съседни по протежение на ръб а.

Нека се уверим, че в този случай полиедърът се оказва комбиниран със себе си. Две страни на многостенния ъгъл при върха A съвпадат (a" с a, p" с p). Да преминем към лицата y и y", съседни на p. Двустенните ъгли, които образуват с p, са равни и са разположени от една и съща страна - от същата страна като лице a. Следователно лицето y" съвпада с y. Така че нека се уверим, че многостенните ъгли във връх A съвпадат. Преминавайки към друг връх, свързан с A с ребро, по подобен начин се уверяваме, че в този връх многостенните ъгли съвпадат. И така, след като минахме през целия полиедър, ще се уверим, че той съвпада със себе си, което трябваше да докажем. ?

Свойството на правилните полиедри, установено от доказаната теорема, означава, че те имат, така да се каже, максималната възможна симетрия. Суперпозицията, комбинацията от полиедър със себе си, неизбежно комбинира някакъв връх A" с A, ръб a" с a, лице на a" с a и съседно лице p" с p. Припокриването е напълно определено от това, то е само едно. Следователно максималният брой възможни припокривания ще бъде, когато всяка колекция A, a, a, p може да бъде преведена във всяка. И това е вярно за правилните полиедри. Очевидно е вярно и обратното. Ако полиедърът има такава максимална симетрия, тогава той е правилен (тъй като ръбът a е комбиниран с a), ъгълът на лицето a" при върха A се комбинира със същия ъгъл, а двустенният ъгъл между a" и p 4 "се комбинира с ъгъла между a и r. - така че всички ръбове и ъгли са равни). Броят на припокриванията, комбиниращи правилния многостен със себе си, е равен на 2, където m е броят на ръбовете, събиращи се в един връх, а e е броят на върховете; това са налагания от първи вид и това са налагания от втори вид. Те образуват групата на симетрия на правилен многостен. Групите на симетрия на куба и октаедъра съвпадат поради тяхната двойственост. Групите на симетрия на додекаедъра и икосаедъра също съвпадат. Групата на тетраедъра е подгрупа на групата на куба, както може да се види от възможността за вграждане на тетраедър в куб (фиг. 1.5, а). Най-интересните елементи на симетрията са огледалните оси: 4-ти ред за тетраедър, 6-ти ред за куб, 10-ти ред за додекаедър (фиг. 1.5b). Уверете се, че това е така, като определите как са разположени тези оси. Осите на симетрия и равнините на симетрия на куба са показани на фиг. 1,5 v, g.

1 .5 Подобие на полиедри

Два многостена се наричат ​​подобни, ако има трансформация на подобие, която отвежда единия многостен към другия.

Подобни полиедри имат съответно еднакви полиедрични ъгли и съответно подобни лица. Съответстващите елементи на подобни полиедри се наричат ​​подобни. В подобни полиедри двустенните ъгли са равни и еднакво разположени, а подобните ръбове са пропорционални.

В допълнение, следните теореми са верни:

Теорема 1. Ако начертаете секуща равнина в пирамида, успоредна на основата, тогава тя ще отсече от нея пирамида, подобна на тази.

Теорема 2. Повърхнините на подобни многостени се отнасят като квадрати, а техните обеми се отнасят като кубове на подобни линейни елементи на многостени.

Слайд 2

Симетрия по отношение на точка Симетрия по отношение на права линия A A1 O Точките A и A1 се наричат ​​симетрични по отношение на точка O (център на симетрия), ако O е средата на отсечката AA1. Точка O се счита за симетрична на себе си. A A1 a Точките A и A1 се наричат ​​симетрични по отношение на права линия (ос на симетрия), ако правата линия минава през средата на сегмента AA1 и е перпендикулярна на този сегмент. Всяка точка на линия се счита за симетрична на себе си. a a a

Слайд 3

Симетрия спрямо равнина A Точките A и A1 се наричат ​​симетрични спрямо равнината (равнина на симетрия), ако равнината минава през средата на сегмента AA1 и е перпендикулярна на този сегмент. Всяка точка от равнината се счита за симетрична на себе си. А1 О

Слайд 4

Ако една фигура има център (ос, равнина) на симетрия, тогава се казва, че има централна (аксиална, огледална) симетрия. Една фигура може да има един или повече центрове на симетрия (оси на симетрия, равнини на симетрия). O A Център на симетрия O A Равнина на симетрия O A a A1 Точка (права линия, равнина) се нарича център (ос, равнина) на симетрия, ако всяка точка от фигурата е симетрична спрямо нея на някаква точка от същата фигура. Център, ос, равнина на симетрия на фигура. A1 Ос на симетрия A1

Слайд 5

Често срещаме симетрия в архитектурата.

Слайд 6

Почти всички открити в природата кристали имат ос или равнина на симетрия. В геометрията центърът, осите и равнините на симетрия на полиедър се наричат ​​елементи на симетрия на този многостен. Апатитно злато

Слайд 7

Калцит (двоен) Трапезна сол Лед

Слайд 8

Алмандин ставролит (двоен)

Слайд 9

Правилният тетраедър е съставен от четири равностранни триъгълника и 3 ръба се срещат във всеки връх. 4 лица, 4 върха и 6 ръба. Сумата от равнинните ъгли във всеки връх е 1800. Изпъкналият многостен се нарича правилен, ако всичките му лица са равни правилни многоъгълници и равен брой ръбове се събират във всеки от върховете му. Във всеки правилен многостен сумата от броя и върховете е равна на броя на ръбовете, увеличени с 2. лицата на ръба на върха Г + В = Р + 2 60+ 60 + 60

Слайд 10

Различаваме правилен тетраедър и правилна пирамида. За разлика от правилния тетраедър, чиито ръбове са равни, в правилния триъгълна пирамидастраничните ребра са равни едно на друго, но може и да не са равни на ребрата на основата на пирамидата. “тетра” - 4 Имената на полиедрите идват от Древна Гърцияи те показват броя на лицата.

Слайд 11

Правилният тетраедър няма център на симетрия. Има 3 оси на симетрия Има 6 равнини на симетрия. Правата линия, минаваща през средните точки на два противоположни ръба, е неговата ос на симетрия. Равнината, минаваща през ръба, перпендикулярен на противоположния ръб, е оста на симетрия. Елементи на симетрия на тетраедъра.

Слайд 12

Кубът е съставен от шест квадрата. Всеки връх на куба е връх на три квадрата. Следователно сумата от равнинните ъгли във всеки връх е 2700. 6 лица, 8 върха и 12 ръба на „шестоъгълника“ - 6 куба, хексаедър.

Слайд 13

Кубът има 9 равнини на симетрия.

Слайд 14

Правилният октаедър е съставен от осем равностранни триъгълника. Всеки връх на октаедъра е връх на четири триъгълника. Сумата от равнинните ъгли във всеки връх е 2400. “окта” - 8 Октаедърът има 8 лица, 6 върха и 12 ръба

Слайд 15

Правилният икосаедър е съставен от двадесет равностранни триъгълника. Всеки връх на икосаедъра е връх на пет правилни триъгълници. Следователно сумата от равнинните ъгли във всеки връх е 3000. “икозаедър” - 20 Икосаедърът има 20 лица, 12 върха и 30 ръба

Слайд 16

Правилният додекаедър се състои от дванадесет правилни шестоъгълника. Всеки връх на додекаедъра е връх на три правилни петоъгълника. Следователно сумата от равнинните ъгли във всеки връх е 3240. “додека” - 12 Додекаедърът има 12 лица, 20 върха и 30 ръба.

Слайд 17

Древногръцкият учен Платон е първият, който описва свойствата на правилните полиедри. Ето защо правилните полиедри се наричат ​​още платонови тела. Платон 428 – 348 пр.н.е Платон вярва, че светът е изграден от четири „елемента“ - огън, земя, въздух и вода, а атомите на тези „елементи“ имат формата на четири правилни полиедра.

Слайд 18

огън въздух вода земя Правилни многостени във философската картина на света на Платон. Тетраедърът олицетворява огъня, тъй като върхът му сочи нагоре, като пламтящ пламък; икосаедър - като най-обтекаем - вода; кубът е най-стабилната от фигурите - земята, а октаедърът е въздухът.

Слайд 19

вселена Петият полиедър, додекаедърът, символизирал целия свят и се смятал за най-важен.

Слайд 20

Скулптори, архитекти и художници проявиха голям интерес към формите на правилните многостени. Те бяха изумени от съвършенството и хармонията на полиедрите. Леонардо да Винчи (1452 - 1519) се интересува от теорията на полиедрите и често ги изобразява върху своите платна. В картината „Тайната вечеря“ Салвадор Дали изобразява Исус Христос с неговите ученици на фона на огромен прозрачен додекаедър.

Слайд 21

Архимед 287 – 212 пр.н.е.

Това са полиедри, които се получават от платонови тела в резултат на тяхното съкращаване. пресечен тетраедър, пресечен хексаедър (куб), пресечен октаедър, пресечен додекаедър, пресечен икосаедър. Архимед описва полуправилни полиедри

Слайд 22

Пресечен тетраедър Чрез извършване на прости сечения можем да получим необичайни полиедри. Пресечен тетраедър се получава, ако се отрежат четири върха на тетраедър.

Слайд 23

Срязан куб Чрез отрязване на върховете получаваме нови лица - триъгълници. И от лицата на куба получаваме лица - осмоъгълници. Пресечен куб се получава, ако се отрежат всичките осем върха на куба. Цел на обучението 1. Да запознае учениците със симетрията в пространството. 2. Запознайте учениците с нов тип изпъкнали многостени - правилни многостени. 3. Покажете влиянието на правилните полиедри върху външния видфилософски теории

Очакван резултат 1. Познава понятията симетрични точки спрямо точка, права, равнина; понятия за център, ос и равнина на симетрия на фигура. 2. Познайте определението за правилни изпъкнали полиедри. 3. Да може да докаже, че има само пет вида такива тела. 4. Да може да характеризира всеки вид правилни многостени. 5. Да може да характеризира елементите на симетрия на правилните многостени. 6. Да може да решава задачи за намиране на елементи от правилни полиедри.

Точка (права линия, равнина) се нарича център (ос, равнина) на симетрия на фигура, ако всяка точка от фигурата е симетрична спрямо нея на някаква точка от същата фигура. Ако една фигура има център (ос, равнина на симетрия), тогава се казва, че има централна (аксиална, огледална) симетрия.

Фигури 4,5,6 показват центъра O, ос a и равнината на симетрия α на правоъгълен паралелепипед. Паралелепипед, който не е правоъгълен, а е права призма, има равнина (или равнини, ако основата му е ромб), ос и център на симетрия.

Една фигура може да има един или повече центрове на симетрия (оси, равнини на симетрия). Например един куб има само един център на симетрия и няколко оси и равнини на симетрия. Има фигури, които имат безкрайно много центрове, оси или равнини на симетрия. Най-простите от тези фигури са правата и равнината. Всяка точка от равнината е нейният център на симетрия. Всяка права линия (равнина), перпендикулярна на дадена равнина, е нейната ос (равнина) на симетрия. От друга страна, има фигури, които нямат центрове, оси или равнини на симетрия. Например паралелепипед, който не е права призма, няма ос на симетрия, но има център на симетрия.

Често се сблъскваме със симетрия в природата, архитектурата, технологиите и ежедневието. Така много сгради са симетрични спрямо равнината, например главната сграда на Москва държавен университет. Много детайли на механизмите са симетрични, напр зъбни колела. Почти всички открити в природата кристали имат център, ос или равнина на симетрия (фиг. 7).

Изпъкнал многостен се нарича правилен, ако всички негови лица са равни правилни многоъгълници и същият брой ръбове се събират във всеки от върховете му. Има пет вида правилни изпъкнали полиедри. Техните лица са правилни триъгълници, правилни четириъгълници (квадрати) и правилни петоъгълници. Изпъкнал многостен се нарича правилен, ако всички негови лица са равни правилни многоъгълници и същият брой ръбове се събират във всеки от върховете му. Има пет вида правилни изпъкнали полиедри. Техните лица са правилни триъгълници, правилни четириъгълници (квадрати) и правилни петоъгълници.

Нека докажем, че няма правилен многоъгълник, чиито лица са правилни шестоъгълници, седмоъгълници и като цяло n-ъгълници за n 6. Ъгълът на правилен многоъгълник се изчислява по формулата α n = (180°(n-2)) : н. Във всеки връх на многостена има най-малко три равнинни ъгъла, като сборът им трябва да бъде по-малък от 360°. При n=3 лицата на многостена са правилни триъгълници с ъгъл равен на 60°. 60° 3 = 180°

Ако n = 4, тогава α = 90°, лицата на многостена са квадрати. 90° 3 = 270° 360°. В този случай също имаме само един правилен многостен - додекаедъра. Ако n 6, тогава α n 120°, α n 3 360° и следователно няма правилен многостен, чиито лица са правилни n-ъгълници за n 6. Ако n = 4, тогава α = 90°, лицата на полиедър - квадрати. 90° 3 = 270° 360°. В този случай също имаме само един правилен многостен - додекаедъра. Ако n 6, тогава α n 120°, α n 3 360° и следователно няма правилен многостен, чиито лица да са правилни n-ъгълници за n 6.

„Правилни многостени във философската картина на света на Платон” Правилните многостени понякога се наричат ​​платонови тела, тъй като те заемат видно място във философската картина на света, разработена от великия мислител на Древна Гърция Платон (ок.428 - около 348 г. пр.н.е.). ). Платон вярва, че светът е изграден от четири „елемента“ - огън, земя, въздух и вода, а атомите на тези „елементи“ имат формата на четири правилни полиедра. Тетраедърът олицетворява огъня, тъй като върхът му сочи нагоре, като пламтящ пламък; икосаедър - като най-обтекаем - вода; кубът е най-стабилната от фигурите - земята, а октаедърът е въздухът. В наше време тази система може да се сравни с четирите състояния на материята – твърдо, течно, газообразно и пламъчно. Петият полиедър, додекаедърът, символизирал целия свят и се смятал за най-важен. Това беше един от първите опити за въвеждане на идеята за систематизация в науката.

А сега от Древна Гърция да преминем към Европа през 10-10-2 век, когато е живял и работил прекрасният немски астроном и математик Йоханес Кеплер (1571 – 1630). „Купата на Кеплер“ Нека си представим себе си на мястото на Кеплер. Пред него има различни таблици - колони с числа. Това са резултатите от наблюденията на движението на планетите слънчева система- както на своя, така и на великите предшественици - астрономи. В този свят на изчислителна работа той иска да намери някои модели. Йоханес Кеплер, за когото правилните многостени са любим предмет на изследване, предполага, че има връзка между петте правилни многостени и шестте планети от Слънчевата система, открити по това време. Според това предположение в сферата на орбитата на Сатурн може да бъде вписан куб, в който се вписва сферата на орбитата на Юпитер. А сега от Древна Гърция да преминем към Европа през 10-10-2 век, когато е живял и работил прекрасният немски астроном и математик Йоханес Кеплер (1571 – 1630). „Купата на Кеплер“ Нека си представим себе си на мястото на Кеплер. Пред него има различни таблици - колони с числа. Това са резултатите от наблюденията на движението на планетите от Слънчевата система - както на него, така и на големите предшественици - астрономите. В този свят на изчислителна работа той иска да намери някои модели. Йоханес Кеплер, за когото правилните многостени са любим предмет на изследване, предполага, че има връзка между петте правилни многостени и шестте планети от Слънчевата система, открити по това време. Според това предположение в сферата на орбитата на Сатурн може да бъде вписан куб, в който се вписва сферата на орбитата на Юпитер.

Тетраедърът, описан в близост до сферата на орбитата на Марс, се вписва в него на свой ред. Додекаедърът се вписва в сферата на орбитата на Марс, в която се вписва сферата на орбитата на Земята. И е описано близо до икосаедъра, в който е вписана сферата на орбитата на Венера. Сферата на тази планета е описана около октаедъра, в който се вписва сферата на Меркурий. Този модел на слънчевата система беше наречен "Космическата чаша" на Кеплер. Резултатите от изчисленията си ученият публикува в книгата „Мистерията на Вселената“. Той вярваше, че тайната на Вселената е разкрита. Година след година той усъвършенства наблюденията си, проверява данните на колегите си, но накрая намира сили да се откаже от примамливата хипотеза. Неговите следи обаче се виждат в третия закон на Кеплер, който говори за кубовете на средните разстояния от Слънцето. Днес можем да кажем с увереност, че разстоянията между планетите и техният брой по никакъв начин не са свързани с полиедрите. Разбира се, структурата на Слънчевата система не е произволна, но истински причини, защо е подреден по този начин, а не по друг начин, все още не са известни. Идеите на Кеплер се оказват погрешни, но без хипотези, понякога най-неочаквани, на пръв поглед налудничави, науката не може да съществува.

Идеите на Платон и Кеплер за връзката на правилните многостени с хармоничното устройство на света в наше време са продължени в интересна научна хипотеза, която в началото на 80-те години на 20 век. изразено от московските инженери В. Макаров и В. Морозов. Те вярват, че ядрото на Земята има формата и свойствата на растящ кристал, което влияе върху развитието на всички естествени процесиходене по планетата. Лъчите на този кристал, или по-скоро неговото силово поле, определят икосаедъра - додекаедърната структура на Земята. (фиг. 8) Тя се изразява в това, че в земната корасякаш проекции на вписаните в Земятаправилни полиедри: икосаедър и додекаедър. Много минерални находища се простират по дължината на икосаедъра - додекаедрична мрежа; 62 върха и средни точки на ръбове на полиедри, наречени възли от авторите, имат редица специфични свойства, което ни позволява да обясним някои неразбираеми явления. Тук се намират центрове на древни култури и цивилизации: Перу, Северна Монголия, Хаити, Обската култура и др. В тези точки се наблюдават максимуми и минимуми атмосферно налягане, гигантски водовъртежи на Световния океан. Тези възли съдържат Лох Нес и Бермудския триъгълник.

А сега от научни хипотезинека да преминем към научни факти. Правилен полиедър Брой върхове, лица Ръбове Тетраедър 446 Куб 6812 Октаедър 8612 Додекаедър Икосаедър

Брой лица и върхове (g+c) Ръбове Тетраедър = 8 6 Куб = Октаедър = Додекаедър = Икосаедър = 32 30

Г + В = Р + 2 Тази формула е забелязана още от Декарт през 1640 г. и по-късно преоткрита от Ойлер (1752 г.), чието име оттогава носи. Формулата на Ойлер е вярна за всеки изпъкнал полиедър. Скулптори, архитекти и художници също проявиха голям интерес към формите на правилните многостени. Всички бяха изумени от съвършенството и хармонията на полиедрите. Леонардо да Винчи () обичаше теорията на многостените и често ги изобразяваше на своите платна. В картината „Тайната вечеря“ Салвадор Дали изобразява I. Христос с неговите ученици на фона на огромен прозрачен додекаедър.
42

В живата природа се срещат правилни полиедри. Например скелетът на едноклетъчния организъм Feodaria има форма на икосаедър. Какво е причинило тази естествена геометризация на феодариите? Очевидно, поради всички полиедри с еднакъв брой лица, икосаедърът има най-голям обемс най-малка повърхност. Това свойство помага на морския организъм да преодолее натиска на водния стълб. Правилните полиедри са най-изгодните фигури. И природата широко използва това. Това се потвърждава от формата на някои кристали. Вземете например трапезната сол, без която не можем. Известно е, че той е разтворим във вода и служи като проводник електрически ток. А кристалите на готварската сол са с форма на куб. При производството на алуминий се използва алуминиево-калиев кварц, чийто монокристал има формата на правилен октаедър. Производството на сярна киселина, желязо и специални видове цимент не може да се направи без серни пирит. Кристали от това химическо веществоимат формата на додекаедър. В различни химична реакцияизползва се натриев антимонов сулфат - вещество, синтезирано от учени. Кристалът на натриев антимон сулфат има формата на тетраедър. Икосаедърът предава формата на борните кристали. Някога борът е бил използван за създаване на полупроводници от първо поколение.

Елементи на симетрия на правилните полиедри Правилният тетраедър няма център на симетрия, има три оси на симетрия и шест равнини на симетрия. Кубът има един център на симетрия - точката на пресичане на неговите диагонали, девет оси на симетрия, девет равнини на симетрия. Правилният октаедър, правилният икосаедър и правилният додекаедър имат център на симетрия и няколко оси и равнини на симетрия.

Тест 1. Кое от изброените геометрични тела не е правилен многостен? а) правилен тетраедър; б) правилен хексаедър; V) правилна призма; г) правилен додекаедър; д) правилен октаедър. 2. Изберете правилното твърдение: а) правилен многостен, чиито лица са правилни шестоъгълници, се нарича правилен хексаедър;

Б) сборът от равнинните ъгли при върха на правилен додекаедър е 324°; в) кубът има два центъра на симетрия - по един във всяка основа; г) правилният тетраедър се състои от 8 правилни триъгълника; д) има общо 6 вида правилни многостени. 3. Кое от следните твърдения е грешно? а) сумата от двустенните ъгли на правилен тетраедър и правилен октаедър е 180°; б) центровете на лицата на куба са върховете на правилен октаедър;

В) правилният додекаедър се състои от 12 правилни петоъгълника; г) сумата от равнинните ъгли при всеки връх на правилен икосаедър е 270°; д) куб и правилен хексаедър са едно и също. Нека да обобщим. - С какви нови геометрични тела се запознахме днес? - Защо Л. Карол оцени толкова високо значението на тези полиедри? -Домашна работа: клауза 35, клауза 36, п (устно)

В раздел 12.1 дефинирахме правилния многостен като многостен, в който всички елементи от един и същи тип са равни един на друг: лица, ръбове и т.н. Но правилните полиедри могат да бъдат определени като най-симетричните от всички полиедри. Това означава следното. Ако вземем за правилен полиедър определен връх A, ребро a, подходящо за него и лице a, подходящо за този ръб, и всяко друго подобно множество, тогава има такова самоподравняване на полиедъра,

който отвежда връх A към връх A, ръб a към ръб a, лице a към лице a.

Нека го докажем. Тъй като всеки две стени на правилния многостен са равни, има движение, което ще трансформира едното от тях в другото. Тъй като всички двустенни ъгли на този многостен са равни, в резултат на комбиниране на лицата, целият многостен ще се самоподравни или ще се трансформира в многостен, който е симетричен на оригиналния спрямо равнината на второто лице. Във втория случай симетрията спрямо равнината на това лице ще завърши процеса на самоподравняване на правилния многостен.

Обратното също е вярно: полиедрите, които имат това свойство, ще бъдат правилни, тъй като всичките им ръбове, всички равнинни ъгли и всички двустенни ъгли ще бъдат равни.

Нека сега разгледаме елементите на симетрия на правилните многостени.

Да започнем с елементите на симетрия на куба.

1. Центърът на симетрия е центърът на куба.

2. Равнини на симетрия (фиг. 12.17): 1) три равнини на симетрия, перпендикулярни на ребрата в техните центрове; 2) шест равнини на симетрия, минаващи през противоположни ръбове.

3. Оси на симетрия: 1) три оси на симетрия от 4-ти ред, минаващи през центровете на противоположни лица (фиг. 12.18а); 2) шест оси на ротационна симетрия от 2-ри ред, минаващи през средата на противоположни ръбове (фиг. 12.186); 4) четирите диагонала на куба са осите на огледално въртене от шести ред, самоподравняващи куба (фиг. 12.18c).

Това е най-интересният и невидим веднага елемент от симетрията на куба. Разрез на куб с равнина, минаваща през неговия център перпендикулярно на диагонала, представлява правилен шестоъгълник; Когато кубът се завърти около диагонал под ъгъл от 60°, шестоъгълникът се отразява върху себе си, но кубът като цяло все още трябва да се отрази в равнината на шестоъгълника.

Октаедърът е двоен на куба и следователно има същите елементи на симетрия с тази разлика, че равнините на симетрия и осите, минаващи през върховете и центровете на лицата на куба, преминават в обратна посока за октаедъра: през центровете на лицата и върховете (фиг. 12.19). И така, огледалната ос на 6-та

редът минава през центровете на противоположните страни на октаедъра.

Нека се обърнем към елементите на симетрия на правилен тетраедър.

1. Шест равнини на симетрия, всяка от които минава през ръб и средата на противоположния ръб (фиг. 12.20а).

2. Четири оси от 3-ти ред, минаващи през върховете и центровете на противоположните им лица, т.е. през височините на тетраедъра (фиг. 12.20b).

3. Три оси на огледално въртене от 4-ти ред, преминаващи през средата на противоположни ребра (фиг. 12.20в).

Тетраедърът няма център на симетрия.

Можете да поставите два правилни тетраедъра в куб (фиг. 12.16). При самоподравняването на куб тези тетраедри са или самоподравнени, или картографирани един върху друг. Разберете при кои самоподравнявания на куба тетраедрите се самоподравняват и при кои се нанасят един върху друг.

Уверете се, че първият случай произвежда всички самоподравнявания на тетраедъра, така че групата на кубична симетрия да включва групата на кубична симетрия като подгрупа. (Вижте точка 28.4).

Групите на симетрия на додекаедъра и икосаедъра са еднакви, тъй като тези правилни полиедри са двойни

взаимно. Те имат център на симетрия, равнини на симетрия, оси на ротационна симетрия и оси на огледална ротационна симетрия. Последните от тези елементи на симетрия са най-трудни за намиране. Ще ви покажем как да ги изградите.

Осите на огледална ротационна симетрия в икосаедъра (както и в куба) свързват противоположните върхове на този полиедър (фиг. 12.21), а в додекаедъра (както в октаедъра) тези оси преминават през центровете на техните успоредни лица (фиг. 12.22). Равнините, минаващи през центровете на симетрия на правилните полиедри и перпендикулярни на посочените оси, пресичат правилните полиедри по правилните многоъгълници (фиг. 12.23).

По-специално, те пресичат додекаедъра и икосаедъра по правилни десетоъгълници (фиг. 12.23 d,e). От горното следва, че икосаедърът и додекаедърът се самоподравняват чрез огледални ротации спрямо осите на шестия и десетия ред.

Намерете сами по-простите елементи на симетрия на икосаедъра и додекаедъра - равнини на симетрия и ос на ротационна симетрия.