Таблични стойности на синусите и косинусите. Синус, косинус, тангенс и котангенс - всичко, което трябва да знаете в OGE и USE
ТАБЛИЦА НА СТОЙНОСТИТЕ НА ТРИГОНОМЕТРИЧНИТЕ ФУНКЦИИ
Таблицата със стойности на тригонометричните функции е съставена за ъгли от 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 и 360 градуса и съответните им ъгли в радиани. От тригонометричните функции таблицата показва синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс. За удобство на решението училищни примеристойностите на тригонометричните функции в таблицата са записани като дроб със запазване на знаците за извличане на квадратен корен от числа, което много често помага за намаляване на сложни математически изрази. За тангенс и котангенс стойностите на някои ъгли не могат да бъдат определени. За стойностите на тангенса и котангенса на такива ъгли има тире в таблицата със стойности на тригонометрични функции. Общоприето е, че тангенсът и котангенсът на такива ъгли са равни на безкрайност. На отделна страница има формули за редуциране на тригонометрични функции.
Таблицата със стойности за синус на тригонометричната функция показва стойностите за следните ъгли: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 в степенна мярка , което съответства на sin 0 pi, sin pi / 6 , sin pi / 4, sin pi / 3, sin pi / 2, sin pi, sin 3 pi / 2, sin 2 pi в радианова мярка за ъгли. Ученическа таблица на синусите.
За тригонометричната косинусова функция таблицата показва стойностите за следните ъгли: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 в градусна мярка, което съответства на cos 0 pi, cos pi до 6, cos pi с 4, cos pi с 3, cos pi с 2, cos pi, cos 3 pi с 2, cos 2 pi в радианова мярка за ъгли. Ученическа маса от косинуси.
Тригонометричната таблица за тангенса на тригонометричната функция дава стойности за следните ъгли: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 в степенна мярка, което съответства на tg 0 pi, tg pi / 6, tg pi / 4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi в радианова мярка за ъгли. Следните стойноститригонометричните функции на тангенса не са определени tg 90, tg 270, tg pi / 2, tg 3 pi / 2 и се считат за равни на безкрайност.
За котангенса на тригонометричната функция в тригонометричната таблица са дадени стойностите на следните ъгли: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 в градусна мярка, което съответства на ctg pi / 6, ctg pi / 4, ctg pi / 3, tg pi / 2, tg 3 pi/2 в радианова мярка за ъгли. Следните стойности на тригонометричните котангенси не са дефинирани ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi и се считат за равни на безкрайност.
Стойностите на тригонометричните функции секанс и косеканс са дадени за същите ъгли в градуси и радиани като синус, косинус, тангенс, котангенс.
Таблицата със стойности на тригонометрични функции на нестандартни ъгли показва стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс за ъгли в градуси 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 градуса и в радиани pi/12 , pi/10, pi/8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 радиана. Стойностите на тригонометричните функции се изразяват чрез дроби и квадратни корени, за да се опрости редуцирането на дроби в училищните примери.
Още три чудовища на тригонометрията. Първият е тангенса от 1,5 градуса и половина, или пи, делено на 120. Второто е косинус от пи, делено на 240, пи/240. Най-дългият е косинус от пи, делено на 17, пи/17.
Тригонометричният кръг на стойностите на функциите синус и косинус визуално представя знаците на синуса и косинуса в зависимост от големината на ъгъла. Специално за блондинките косинусовите стойности са подчертани със зелено тире, за да бъдат по-малко обърквани. Преобразуването на градуси в радиани също е много ясно представено, когато радианите се изразяват чрез pi.
Тази тригонометрична таблица представя стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс за ъгли от 0 нула до 90 деветдесет градуса в интервали от един градус. За първите четиридесет и пет градуса имената на тригонометричните функции трябва да се гледат в горната част на таблицата. Първата колона съдържа градуси, стойностите на синусите, косинусите, тангенсите и котангенсите са записани в следващите четири колони.
За ъгли от четиридесет и пет градуса до деветдесет градуса имената на тригонометричните функции са написани в долната част на таблицата. Последната колона съдържа градуси, стойностите на косинусите, синусите, котангенсите и тангенсите са записани в предходните четири колони. Трябва да внимавате, защото имената на тригонометричните функции в долната част на тригонометричната таблица са различни от имената в горната част на таблицата. Синусите и косинусите се разменят, точно както тангенсът и котангенсът. Това се дължи на симетрията на стойностите на тригонометричните функции.
Знаците на тригонометричните функции са показани на фигурата по-горе. Синусът има положителни стойности от 0 до 180 градуса или от 0 до pi. Отрицателните стойности на синуса са от 180 до 360 градуса или от pi до 2 pi. Косинусовите стойности са положителни от 0 до 90 и 270 до 360 градуса или от 0 до 1/2 pi и 3/2 до 2 pi. Тангенсът и котангенсът имат положителни стойности от 0 до 90 градуса и от 180 до 270 градуса, съответстващи на стойности от 0 до 1/2 pi и от pi до 3/2 pi. Отрицателният тангенс и котангенс са 90 до 180 градуса и 270 до 360 градуса, или 1/2 pi към pi и 3/2 pi към 2 pi. При определяне на знаците на тригонометричните функции за ъгли, по-големи от 360 градуса или 2 pi, трябва да се използват свойствата на периодичност на тези функции.
Тригонометрични функциисинус, тангенс и котангенс са нечетни функции. Стойностите на тези функции за отрицателни ъгли ще бъдат отрицателни. Косинусът е четна тригонометрична функция - стойността на косинуса за отрицателен ъгъл ще бъде положителна. Когато умножавате и разделяте тригонометрични функции, трябва да следвате правилата на знаците.
Таблицата със стойности за тригонометричната функция синус показва стойностите за следните ъгли
ДокументОтделна страница съдържа формули за отливане тригонометриченфункции. AT масастойностизатригонометриченфункциисинуситедаденостойностизаследващияъгли: грях 0, грях 30, грях 45 ...
Предложеният математически апарат е пълен аналог на комплексното смятане за n-мерни хиперкомплексни числа с произволен брой степени на свобода n и е предназначен за математическо моделиране на нелинейни
Документ... функциисе равнява функцииИзображения. От тази теорема Трябва, Какво занамиране на координатите U, V, достатъчно е да се изчисли функция... геометрия; полинарен функции(многоизмерни аналози на двуизмерни тригонометриченфункции), техните свойства, масии приложение; ...
-
Таблица с основни тригонометрични функции за ъгли 0, 30, 45, 60, 90, ... градуса
От тригонометричните дефиниции на функциите $\sin$, $\cos$, $\tan$ и $\cot$ могат да се намерят техните стойности за ъгли $0$ и $90$ градуса:
$\sin0°=0$, $\cos0°=1$, $\tan 0°=0$, $\cot 0°$ не е дефинирано;
$\sin90°=1$, $\cos90°=0$, $\cot90°=0$, $\tan 90°$ не е дефинирано.
В училищния курс по геометрия при изучаване на правоъгълни триъгълници се намират тригонометричните функции на ъглите $0°$, $30°$, $45°$, $60°$ и $90°$.
Намерените стойности на тригонометричните функции за посочените ъгли съответно в градуси и радиани ($0$, $\frac(\pi)(6)$, $\frac(\pi)(4)$, $\frac(\ pi)(3) $, $\frac(\pi)(2)$) за по-лесно запомняне и използване се въвеждат в таблица, наречена тригонометрична таблица, таблица на основните стойности на тригонометричните функциии т.н.
Когато се използват формули за намаляване, тригонометричната таблица може да бъде разширена до ъгъл от $360°$ и $2\pi$ радиана съответно:
Прилагайки свойствата на периодичност на тригонометричните функции, всеки ъгъл, който се различава от вече известния с $360°$, може да бъде изчислен и записан в таблица. Например, тригонометричната функция за ъгъл $0°$ ще има една и съща стойност за ъгъл $0°+360°$, и за ъгъл $0°+2 \cdot 360°$, и за ъгъл $0°+3 \ cdot 360°$ и др.
С помощта на тригонометрична таблица можете да определите стойностите на всички ъгли на единична окръжност.
В училищния курс по геометрия се предполага да се запомнят основните стойности на тригонометрични функции, събрани в тригонометрична таблица за удобство при решаването на тригонометрични проблеми.
Използване на маса
В таблицата е достатъчно да намерите необходимата тригонометрична функция и стойността на ъгъла или радиана, за които трябва да се изчисли тази функция. В пресечната точка на реда с функцията и колоната със стойността получаваме желаната стойност на тригонометричната функция на дадения аргумент.
На фигурата можете да видите как да намерите стойността $\cos60°$, която е равна на $\frac(1)(2)$.
Разширената тригонометрична таблица се използва по подобен начин. Предимството на използването му е, както вече беше споменато, изчисляването на тригонометричната функция на почти всеки ъгъл. Например можете лесно да намерите стойността $\tan 1 380°=\tan (1 380°-360°)=\tan(1 020°-360°)=\tan(660°-360°)=\tan300 °$:
Таблици на Брадис на основните тригонометрични функции
Възможността за изчисляване на тригонометричната функция на абсолютно всяка стойност на ъгъл за цяло число от градуси и цяло число от минути дава използването на таблиците на Bradis. Например, намерете стойността $\cos34°7"$. Таблиците са разделени на 2 части: таблицата на $\sin$ и $\cos$ стойностите и таблицата на $\tan$ и $\ cot$ стойности.
Таблиците на Bradis позволяват да се получи приблизителна стойност на тригонометричните функции с точност до 4 знака след десетичната запетая.
Използване на таблици Bradis
Използвайки таблиците на Bradys за синуси, намираме $\sin17°42"$. За да направим това, в колоната отляво на таблицата на синусите и косинусите намираме стойността на градусите - $17°$, а в на горния ред намираме стойността на минутите - $42"$. В тяхното пресичане получаваме желаната стойност:
$\sin17°42"=0,304$.
За да намерите стойността на $\sin17°44"$, трябва да използвате корекцията от дясната страна на таблицата. В този случайкъм стойността на $42"$, която е в таблицата, трябва да добавите корекция за $2"$, което е равно на $0,0006$. Получаваме:
$\sin17°44"=0,304+0,0006=0,3046$.
За да намерим стойността на $\sin17°47"$, ние също използваме корекцията от дясната страна на таблицата, само че в този случай вземаме стойността на $\sin17°48"$ като основа и изваждаме корекцията за $1"$:
$\sin17°47"=0,3057-0,0003=0,3054$.
Когато изчисляваме косинусите, извършваме подобни действия, но гледаме градусите в дясната колона и минутите в долната колона на таблицата. Например $\cos20°=0,9397$.
Няма корекции за стойности на тангенс до $90°$ и котангенс на малък ъгъл. Например, нека намерим $\tan 78°37"$, което според таблицата е $4,967$.
Понятията синус (), косинус (), тангенс (), котангенс () са неразривно свързани с понятието ъгъл. За да ги разберете добре на пръв поглед, сложни понятия(които причиняват състояние на ужас при много ученици) и се уверете, че „дяволът не е толкова страшен, колкото е нарисуван“, нека започнем от самото начало и разберем концепцията за ъгъл.
Концепцията за ъгъл: радиан, градус
Нека погледнем снимката. Векторът се "обърна" спрямо точката с определена стойност. Така че мярката на това завъртане спрямо началната позиция ще бъде ъгъл.
Какво още трябва да знаете за понятието ъгъл? Е, ъглови единици, разбира се!
Ъгълът, както в геометрията, така и в тригонометрията, може да бъде измерен в градуси и радиани.
Ъгълът при (един градус) е централният ъгъл в окръжността, основан на кръгова дъга, равна на частта от окръжността. По този начин цялата окръжност се състои от "парчета" от кръгови дъги или ъгълът, описан от окръжността, е равен.
Тоест фигурата по-горе показва ъгъл, който е равен, тоест този ъгъл се основава на кръгова дъга с размера на обиколката.
Ъгъл в радиани се нарича централен ъгъл в окръжност, основан на окръжна дъга, чиято дължина е равна на радиуса на окръжността. Е, разбрахте ли? Ако не, тогава нека погледнем снимката.
И така, фигурата показва ъгъл, равен на радиан, тоест този ъгъл се основава на кръгова дъга, чиято дължина е равна на радиуса на окръжността (дължината е равна на дължината или радиуса равен на дължинатадъги). Така дължината на дъгата се изчислява по формулата:
Къде е централният ъгъл в радиани.
Е, като знаете това, можете ли да отговорите колко радиана съдържа ъгъл, описан от окръжност? Да, за това трябва да запомните формулата за обиколката на кръг. Ето я:
Е, сега нека съпоставим тези две формули и ще разберем, че ъгълът, описан от окръжността, е равен. Тоест, съпоставяйки стойността в градуси и радиани, получаваме това. Съответно,. Както можете да видите, за разлика от "градуси", думата "радиан" е пропусната, тъй като мерната единица обикновено е ясна от контекста.
Колко радиана са? Това е вярно!
Схванах го? След това затегнете напред:
Някакви трудности? Тогава погледнете отговори:
Правоъгълен триъгълник: синус, косинус, тангенс, котангенс на ъгъл
И така, с разбраната концепция за ъгъла. Но какво е синус, косинус, тангенс, котангенс на ъгъл? Нека да го разберем. За това ще ни помогне правоъгълен триъгълник.
Как се наричат страните? правоъгълен триъгълник? Точно така, хипотенузата и краката: хипотенузата е страната, която лежи срещу правия ъгъл (в нашия пример това е страната); краката са двете останали страни и (тези в съседство с прав ъгъл), освен това, ако разгледаме катетите спрямо ъгъла, тогава катетът е съседният катет, а катетът е срещуположният. И така, нека сега отговорим на въпроса: какво са синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъл?
Синус на ъгъле съотношението на противоположния (далечен) катет към хипотенузата.
в нашия триъгълник.
Косинус на ъгъл- това е отношението на съседния (близък) крак към хипотенузата.
в нашия триъгълник.
Ъглова допирателна- това е съотношението на противоположния (далечен) крак към съседния (близък).
в нашия триъгълник.
Котангенс на ъгъл- това е съотношението на съседния (близкия) крак към противоположния (далечния).
в нашия триъгълник.
Тези определения са необходими помня! За да улесните запомнянето кой крак на какво да разделите, трябва ясно да разберете това в допирателнаи котангенсседят само краката, а хипотенузата се появява само в синуситеи косинус. И тогава можете да измислите верига от асоциации. Например този:
косинус→докосване→докосване→съседно;
Котангенс→докосване→докосване→съседно.
Преди всичко е необходимо да запомните, че синусът, косинусът, тангенсът и котангенсът като съотношения на страните на триъгълника не зависят от дължините на тези страни (под един ъгъл). Не се доверявай? Тогава се уверете, като погледнете снимката:
Помислете, например, за косинуса на ъгъл. По дефиниция от триъгълник: , но можем да изчислим косинуса на ъгъл от триъгълник: . Виждате ли, дължините на страните са различни, но стойността на косинуса на един ъгъл е една и съща. По този начин стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс зависят единствено от големината на ъгъла.
Ако разбирате дефинициите, продължете напред и ги поправете!
За триъгълника, показан на фигурата по-долу, намираме.
Е, разбрахте ли? След това опитайте сами: изчислете същото за ъгъла.
Единична (тригонометрична) окръжност
Разбирайки концепциите за градуси и радиани, разгледахме кръг с радиус, равен на. Такъв кръг се нарича единичен. Той е много полезен при изучаването на тригонометрията. Затова се спираме на него малко по-подробно.
Както можете да видите, тази окръжност е построена в декартовата координатна система. Радиусът на окръжността е равен на единица, докато центърът на окръжността лежи в началото, началната позиция на радиус вектора е фиксирана по положителната посока на оста (в нашия пример това е радиусът).
Всяка точка от кръга съответства на две числа: координатата по оста и координатата по оста. Какви са тези координатни числа? И въобще какво общо имат те с разглежданата тема? За да направите това, помнете за разглеждания правоъгълен триъгълник. На фигурата по-горе можете да видите два цели правоъгълни триъгълника. Помислете за триъгълник. Тя е правоъгълна, защото е перпендикулярна на оста.
На какво е равно от триъгълник? Това е вярно. Освен това знаем, че това е радиусът на единичната окръжност и следователно, . Заместете тази стойност в нашата формула за косинус. Ето какво се случва:
И на какво е равно от триъгълник? Добре, разбира се, ! Заместете стойността на радиуса в тази формула и получете:
И така, можете ли да ми кажете какви са координатите на точка, която принадлежи на окръжността? Е, няма начин? И ако осъзнаете, че и са само числа? На коя координата отговаря? Е, разбира се, координатите! На коя координата отговаря? Точно така, координирайте! Така точката.
И какво тогава са равни и? Точно така, нека използваме подходящите определения за тангенс и котангенс и да получим това, а.
Ами ако ъгълът е по-голям? Ето, например, като на тази снимка:
Какво се е променило в този пример? Нека да го разберем. За да направите това, отново се обръщаме към правоъгълен триъгълник. Помислете за правоъгълен триъгълник: ъгъл (като съседен на ъгъл). Каква е стойността на синуса, косинуса, тангенса и котангенса на ъгъл? Точно така, ние се придържаме към съответните дефиниции на тригонометричните функции:
Е, както виждате, стойността на синуса на ъгъла все още съответства на координатата; стойността на косинуса на ъгъла - координатата; и стойностите на тангенса и котангенса към съответните съотношения. По този начин тези отношения са приложими за всякакви ротации на радиус вектора.
Вече беше споменато, че началната позиция на радиус вектора е по положителната посока на оста. Досега въртяхме този вектор обратно на часовниковата стрелка, но какво ще стане, ако го завъртим по посока на часовниковата стрелка? Нищо необичайно, ще получите и ъгъл с определена големина, но само той ще бъде отрицателен. По този начин, когато въртим радиус вектора обратно на часовниковата стрелка, получаваме положителни ъгли, а при въртене по часовниковата стрелка - отрицателен.
И така, ние знаем, че цяло завъртане на радиус вектора около окръжността е или. Възможно ли е радиус векторът да се завърти с или с? Е, разбира се, че можете! Следователно в първия случай радиус-векторът ще направи едно пълно завъртане и ще спре в позиция или.
Във втория случай, тоест радиус векторът ще направи три пълни завъртания и ще спре в позиция или.
Така от горните примери можем да заключим, че ъгли, които се различават с или (където е цяло число), съответстват на една и съща позиция на радиус вектора.
Фигурата по-долу показва ъгъл. Същото изображение съответства на ъгъла и т.н. Този списък може да бъде продължен за неопределено време. Всички тези ъгли могат да бъдат записани с общата формула или (където е цяло число)
Сега, знаейки дефинициите на основните тригонометрични функции и използвайки единичната окръжност, опитайте се да отговорите на какво са равни стойностите:
Ето единичен кръг, за да ви помогне:
Някакви трудности? Тогава нека го разберем. Значи знаем, че:
От тук определяме координатите на точките, съответстващи на определени мерки на ъгъла. Е, нека започнем по ред: ъгълът при съответства на точка с координати, следователно:
Не съществува;
Освен това, придържайки се към същата логика, откриваме, че ъглите в съответстват съответно на точки с координати. Знаейки това, е лесно да се определят стойностите на тригонометричните функции в съответните точки. Първо опитайте сами, след това проверете отговорите.
Отговори:
Не съществува
Не съществува
Не съществува
Не съществува
Така можем да направим следната таблица:
Няма нужда да помните всички тези стойности. Достатъчно е да запомните съответствието между координатите на точките на единичния кръг и стойностите на тригонометричните функции:
Но стойностите на тригонометричните функции на ъглите в и, дадени в таблицата по-долу, трябва да се помни:
Не се страхувайте, сега ще покажем един от примерите доста просто запаметяване на съответните стойности:
За да използвате този метод, е жизненоважно да запомните стойностите на синуса за всичките три мерки на ъгъла (), както и стойността на тангенса на ъгъла в. Познавайки тези стойности, е доста лесно да възстановите цялата таблица - стойностите на косинусите се прехвърлят в съответствие със стрелките, тоест:
Знаейки това, можете да възстановите стойностите за. Числителят „ “ ще съвпада, а знаменателят „ “ ще съвпада. Котангенсните стойности се прехвърлят в съответствие със стрелките, показани на фигурата. Ако разберете това и запомните диаграмата със стрелки, тогава ще бъде достатъчно да запомните цялата стойност от таблицата.
Координати на точка върху окръжност
Възможно ли е да се намери точка (нейните координати) върху окръжност, познаване на координатите на центъра на кръга, неговия радиус и ъгъл на въртене?
Е, разбира се, че можете! Да изведем обща формула за намиране на координатите на точка.
Ето, например, имаме такъв кръг:
Дадено ни е, че точката е центърът на окръжността. Радиусът на окръжността е равен. Необходимо е да се намерят координатите на точката, получена чрез завъртане на точката на градуси.
Както се вижда от фигурата, координатата на точката съответства на дължината на сегмента. Дължината на сегмента съответства на координатата на центъра на окръжността, тоест е равна на. Дължината на сегмент може да бъде изразена с помощта на определението за косинус:
Тогава имаме това за координатата на точката.
По същата логика намираме стойността на y координатата за точката. По този начин,
Така че в общ изгледкоординатите на точките се определят по формулите:
Координати на центъра на кръга,
радиус на кръга,
Ъгъл на завъртане на радиус вектора.
Както можете да видите, за единичния кръг, който разглеждаме, тези формули са значително намалени, тъй като координатите на центъра са нула, а радиусът е равен на едно:
Е, нека опитаме тези формули за вкус, упражнявайки се да намираме точки върху окръжност?
1. Намерете координатите на точка върху единична окръжност, получена чрез завъртане на точка.
2. Намерете координатите на точка от единична окръжност, получена чрез завъртане на точка върху.
3. Намерете координатите на точка от единична окръжност, получена чрез завъртане на точка.
4. Точка - център на кръга. Радиусът на окръжността е равен. Необходимо е да се намерят координатите на точката, получена чрез завъртане на началния радиус-вектор с.
5. Точка - център на кръга. Радиусът на окръжността е равен. Необходимо е да се намерят координатите на точката, получена чрез завъртане на началния радиус-вектор с.
Имате проблеми с намирането на координатите на точка от окръжност?
Решете тези пет примера (или разберете добре решението) и ще научите как да ги намирате!
1.
Вижда се, че. Но знаем какво отговаря на пълен оборот начална точка. Така желаната точка ще бъде в същата позиция, както при завъртане. Знаейки това, намираме желаните координати на точката:
2. Окръжността е единица с център в точка, което означава, че можем да използваме опростени формули:
Вижда се, че. Знаем какво съответства на две пълни завъртания на началната точка. Така желаната точка ще бъде в същата позиция, както при завъртане. Знаейки това, намираме желаните координати на точката:
Синус и косинус са таблични стойности. Помним техните стойности и получаваме:
Така желаната точка има координати.
3. Окръжността е единица с център в точка, което означава, че можем да използваме опростени формули:
Вижда се, че. Нека изобразим разглеждания пример на фигурата:
Радиусът сключва ъгли с оста, равни на и. Знаейки, че стойностите на таблицата на косинуса и синуса са равни и след като определихме, че косинусът тук отнема отрицателно значениеи синусът е положителен, имаме:
| Повече ▼ подобни примериразбират, когато изучават формули за редуциране на тригонометрични функции в темата.
Така желаната точка има координати.
4.
Ъгъл на въртене на радиус вектора (по условие)
За да определим съответните знаци на синус и косинус, изграждаме единична окръжност и ъгъл:
Както можете да видите, стойността е положителна, а стойността е отрицателна. Познавайки табличните стойности на съответните тригонометрични функции, получаваме, че:
Нека заместим получените стойности в нашата формула и намерим координатите:
Така желаната точка има координати.
5. За да разрешим този проблем, използваме формули в общ вид, където
Координатите на центъра на кръга (в нашия пример,
Радиус на окръжност (по условие)
Ъгъл на завъртане на радиус вектора (по условие).
Заменете всички стойности във формулата и получете:
и - таблични стойности. Запомняме ги и ги заместваме във формулата:
Така желаната точка има координати.
ОБОБЩЕНИЕ И ОСНОВНА ФОРМУЛА
Синусът на ъгъл е съотношението на противоположния (далечен) крак към хипотенузата.
Косинусът на ъгъл е съотношението на съседния (близък) крак към хипотенузата.
Тангенсът на ъгъл е съотношението на противоположния (далечен) крак към съседния (близък).
Котангенсът на ъгъл е съотношението на съседния (близкия) крак към противоположния (далечния).
внимание!
Има допълнителни
материал в специален раздел 555.
За тези, които силно "не много..."
И за тези, които "много...")Първо, позволете ми да ви напомня едно просто, но много полезно заключение от урока "Какво са синус и косинус? Какво са тангенс и котангенс?"
Ето този резултат:
Синусът, косинусът, тангенсът и котангенсът са тясно свързани с техните ъгли. Знаем едно, значи знаем друго.
С други думи, всеки ъгъл има свой собствен фиксиран синус и косинус. И почти всеки има свой тангенс и котангенс. Защо почти?Повече за това по-долу.
Това знание ще ви помогне много! Има много задачи, при които трябва да преминете от синуси към ъгли и обратно. За това има синусова таблица.По същия начин, за задачи с косинус - косинусова таблица.И, познахте, има допирателна масаи котангенсна таблица.)
Таблиците са различни. Дълги, където можете да видите на какво е равно, да кажем, sin37 ° 6 '. Отваряме таблиците на Брадис, търсим ъгъл от тридесет и седем градуса шест минути и виждаме стойността от 0,6032. Разбира се, запомнянето на това число (и хиляди други таблични стойности) абсолютно не е задължително.
Всъщност в наше време не са необходими дълги таблици с косинуси, синуси, тангенси и котангенси. Един добър калкулатор ги замества напълно. Но не боли да знаете за съществуването на такива таблици. За обща ерудиция.)
Защо тогава този урок? - ти питаш.
Но защо. Сред безкрайния брой ъгли има специален,за които трябва да знаете всичко. Цялата училищна геометрия и тригонометрия са изградени върху тези ъгли. Това е един вид "таблица за умножение" на тригонометрията. Ако не знаете на какво е равно sin50°, например, никой няма да ви съди.) Но ако не знаете на какво е равно sin30°, пригответе се да вземете заслужена двойка...
Такива специаленъглите също са прилично въведени. Училищни учебнициобикновено любезно се предлагат за запаметяване таблица на синусите и таблица на косинуситеза седемнадесет ъгъла. И разбира се, тангенсна таблица и котангенсна таблицаза същите седемнадесет ъгъла... Т.е. предлага се да запомните 68 стойности. Които, между другото, много си приличат, повтарят се и сменят знаците от време на време. За човек без идеал визуална памет- друг проблем...)
Ще тръгнем по другия път. Нека заменим механичното запаметяване с логика и изобретателност. След това трябва да запомним 3 (три!) стойности за таблицата на синусите и таблицата на косинусите. И 3 (три!) Стойности за таблицата на тангенсите и таблицата на котангенсите. И това е. Шест стойности са по-лесни за запомняне от 68, мисля...)
Ще получим всички други необходими стойностиот тези шест, като използваме мощна правна измама. - тригонометрична окръжност. Ако не сте изучавали тази тема, отидете на връзката, не бъдете мързеливи. Този кръг не е само за този урок. Той е незаменим за цялата тригонометрия наведнъж. Неизползването на такъв инструмент е просто грях! Не искате? Това си е ваша работа. запаметявам синусова таблица. косинусова таблица. Тангентна таблица. Котангенсна таблица.Всички 68 стойности за различни ъгли.)
И така, да започваме. Като начало, нека разделим всички тези специални ъгли на три групи.
Първата група ъгли.
Помислете за първата група ъгли на седемнадесет специален. Това са 5 ъгъла: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.
Ето как изглежда таблицата със синуси, косинуси, тангенси и котангенси за тези ъгли:
Ъгъл x
(в градуси)0
90
180
270
360
Ъгъл x
(в радиани)0
грях х
0
1
0
-1
0
cos x
1
0
-1
0
1
tg x
0
не съществително
0
не съществително
0
ctg x
не съществително
0
не съществително
0
не съществително
Който иска да помни - помни. Но трябва веднага да кажа, че всички тези единици и нули са много объркани в главата ми. Много по-силен, отколкото искате.) Затова включваме логиката и тригонометричния кръг.
Начертаваме окръжност и отбелязваме същите ъгли върху нея: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°. Маркирах тези ъгли с червени точки:
Веднага се вижда каква е особеността на тези ъгли. да Това са ъглите, които падат точно по координатната ос!Всъщност, затова хората се объркват ... Но ние няма да се объркаме. Нека разберем как да намерим тригонометричните функции на тези ъгли без много запаметяване.
Между другото, позицията на ъгъла е 0 градуса напълно съвпадас ъгъл 360 градуса. Това означава, че синусите, косинусите и тангенсите на тези ъгли са абсолютно еднакви. Маркирах ъгъла от 360 градуса, за да завърша кръга.
Да предположим, че в трудна стресова среда на Единния държавен изпит по някакъв начин се съмнявате ... На какво е равен синусът от 0 градуса? Изглежда като нула ... Ами ако е единица?! Механичната памет е такова нещо. AT тежки условиясъмненията започват да глождат ...)
Спокойствие, само спокойствие!) Ще ви кажа една практична техника, която ще ви даде 100% правилен отговор и напълно ще премахне всички съмнения.
Като пример, нека да разберем как ясно и надеждно да определим, да речем, синус от 0 градуса. И в същото време косинус 0. Именно в тези стойности, колкото и да е странно, хората често се объркват.
За да направите това, нарисувайте кръг произволенъгъл х. През първото тримесечие, така че не беше далеч от 0 градуса. Отбележете върху осите синуса и косинуса на този ъгъл Х,всичко е чинар. Като този:
А сега - внимание! Намалете ъгъла х, приведете подвижната страна към оста ОХ Задръжте курсора на мишката върху снимката (или докоснете снимката на таблета) и вижте всичко.
Сега включете елементарната логика!.Гледайте и мислете: Как се държи sinx, когато ъгълът x намалява? Когато ъгълът се доближава до нула?Свива се! И cosx - увеличава!Остава да разберем какво ще се случи със синуса, когато ъгълът се срине напълно? Кога подвижната страна на ъгъла (точка А) ще се установи на оста OX и ъгълът ще стане равен на нула? Очевидно е, че синусът на ъгъла също ще отиде до нула. И косинусът ще се увеличи до ... до ... Каква е дължината на подвижната страна на ъгъла (радиуса на тригонометричната окръжност)? Единство!
Ето и отговора. Синусът от 0 градуса е 0. Косинусът от 0 градуса е 1. Абсолютно желязо и без никакво съмнение!) Просто защото иначе не може да бъде.
По абсолютно същия начин можете да разберете (или да изясните) синуса на 270 градуса, например. Или косинус 180. Начертайте кръг, произволенъгъл в една четвърт до координатната ос, която ни интересува, преместете мислено страната на ъгъла и уловете какво ще станат синусът и косинусът, когато страната на ъгъла се установи върху оста. Това е всичко.
Както можете да видите, няма нужда да запомняте нищо за тази група ъгли. не е необходимо тук синусова таблица...да и косинусова таблица- също.) Между другото, след няколко приложения на тригонометричния кръг, всички тези стойности се запомнят сами. И ако са забравени, нарисувах кръг за 5 секунди и го изясних. Много по-лесно, отколкото да се обадите на приятел от тоалетната с риск от сертификат, нали?)
Що се отнася до тангенса и котангенса, всичко е същото. Начертаваме линия на допирателна (котангенс) върху окръжността - и всичко се вижда веднага. Къде са равни на нула, а къде ги няма. Какво, не знаете ли за правите на тангенса и котангенса? Това е тъжно, но поправимо.) Посетихте раздел 555 Тангенс и котангенс върху тригонометрична окръжност - и няма проблем!
Ако разбирате как ясно да дефинирате синуса, косинуса, тангенса и котангенса за тези пет ъгъла - поздравления! За всеки случай ви информирам, че вече можете да дефинирате функции всякакви ъгли, които попадат върху оста.И това е 450 °, и 540 °, и 1800 °, и дори безкраен брой ...) Преброих (правилно!) Ъгълът върху окръжността - и няма проблеми с функциите.
Но точно с броенето на ъгли възникват проблеми и грешки... Как да ги избегнем е написано в урока: Как да начертаем (броим) всеки ъгъл на тригонометрична окръжност в градуси. Елементарно, но много полезно в борбата с грешките.)
А ето и урока: Как се чертае (брои) всеки ъгъл на тригонометрична окръжност в радиани - ще е по-рязко. По отношение на възможностите. Да речем, определете на коя от четирите полуоси пада ъгълът
можете след няколко секунди. Не се шегувам! Само след няколко секунди. Е, разбира се, не само 345 "pi" ...) И 121, и 16, и -1345. Всеки коефициент на цяло число е добър за мигновен отговор.
Ами ако ъгълът
Мисля! Верният отговор се получава за 10 секунди За всяка дробна стойност на радианите със знаменател две.
Всъщност за това е добра тригонометричната окръжност. Фактът, че способността за работа с някоиъгли, до които автоматично се разширява безкрайно множествоъгли.
И така, с пет ъгъла от седемнадесет - разбрах го.
Втората група ъгли.
Следващата група ъгли са 30°, 45° и 60°. Защо тези, а не например 20, 50 и 80? Да, по някакъв начин се случи така ... Исторически.) По-нататък ще се види колко добри са тези ъгли.
Таблицата със синуси, косинуси, тангенси, котангенси за тези ъгли изглежда така:
Ъгъл x
(в градуси)0
30
45
60
90
Ъгъл x
(в радиани)0
грях х
0
1
cos x
1
0
tg x
0
1
не съществително
ctg x
не съществително
1
0
Оставих стойностите за 0° и 90° от предишната таблица за пълнота.) За да стане ясно, че тези ъгли лежат в първата четвърт и нарастват. От 0 до 90. Това ще ни бъде полезно по-нататък.
Стойностите в таблицата за ъглите 30°, 45° и 60° трябва да се запомнят. Почеши, ако искаш. Но и тук има възможност да улесните живота си.) Обърнете внимание на стойности на синусовата таблицатези ъгли. И сравнете с стойности на косинусната таблица...
да Те са един и същ!Намира се само в обратен ред. Ъглите се увеличават (0, 30, 45, 60, 90) - и синусовите стойности нарастваот 0 до 1. Можете да проверите с калкулатор. И стойностите на косинуса - намаляванеот 1 до нула. Освен това самите ценности един и същ.За ъгли от 20, 50, 80 това нямаше да се случи...
Оттук полезен извод. Достатъчно за учене тристойности за ъгли 30, 45, 60 градуса. И запомни, че те нарастват по синус и намаляват по косинус. Към синуса.) По средата (45°) те се срещат, т.е. синусът от 45 градуса е равен на косинусът от 45 градуса. И тогава те отново се разминават ... Три значения могат да се научат, нали?
При тангентите - котангенсите картината е изключително същата. Едно към едно. Само стойностите са различни. Тези стойности (още три!) също трябва да бъдат научени.
Е, почти цялото запаметяване свърши. Разбрахте (надявам се) как да определите стойностите за петте ъгъла, които попадат на оста и научихте стойностите за ъглите от 30, 45, 60 градуса. Общо 8.
Остава да се справим последна групаот 9 ъгъла.
Това са ъглите:
120°; 135°; 150°; 210°; 225°; 240°; 300°; 315°; 330°. За тези ъгли трябва да знаете желязната таблица на синусите, таблицата на косинусите и т.н.Кошмар, нали?)
И ако добавите ъгли тук, като: 405 °, 600 ° или 3000 ° и много, много от същите красиви?)
Или ъгли в радиани? Например за ъглите:
и много други, които трябва да знаете всичко.
Най-смешното е да знаеш всичко - невъзможно по принцип.Ако използвате механична памет.
И е много лесно, всъщност елементарно - ако използвате тригонометрична окръжност. Ако се сдобиете с тригонометричния кръг, всички тези ужасни ъгли в градуси могат лесно и елегантно да бъдат намалени до добрите стари:
Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)
Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)
можете да се запознаете с функции и производни.
Тригонометрията, като наука, възниква в Древния Изток. Първите тригонометрични съотношения са получени от астрономите за създаване точен календари ориентиране по звездите. Тези изчисления са свързани със сферичната тригонометрия, докато в училищния курс те изучават съотношението на страните и ъгъла на плосък триъгълник.
Тригонометрията е дял от математиката, занимаващ се със свойствата на тригонометричните функции и връзката между страните и ъглите на триъгълниците.
По време на разцвета на културата и науката през 1-вото хилядолетие от н. е. знанието се разпространява от Древния Изток до Гърция. Но основните открития на тригонометрията са заслуга на мъжете от Арабския халифат. По-специално, туркменският учен ал-Маразви въведе такива функции като тангенс и котангенс, състави първите таблици със стойности за синуси, тангенси и котангенси. Концепцията за синус и косинус е въведена от индийски учени. Много внимание се отделя на тригонометрията в произведенията на такива велики фигури от древността като Евклид, Архимед и Ератостен.
Основни величини на тригонометрията
Основните тригонометрични функции на числов аргумент са синус, косинус, тангенс и котангенс. Всеки от тях има своя собствена графика: синус, косинус, тангенс и котангенс.
Формулите за изчисляване на стойностите на тези количества се основават на теоремата на Питагор. По-известен е на учениците във формулировката: „Питагорови панталони, равни във всички посоки“, тъй като доказателството е дадено на примера на равнобедрен правоъгълен триъгълник.
Синус, косинус и други зависимости установяват връзка между острите ъгли и страните на всеки правоъгълен триъгълник. Даваме формули за изчисляване на тези величини за ъгъл А и проследяваме връзката на тригонометричните функции:
Както можете да видите, tg и ctg са обратни функции. Ако представим крак a като произведение на sin A и хипотенуза c и крак b като cos A * c, тогава получаваме следните формули за тангенс и котангенс:
тригонометричен кръг
Графично съотношението на посочените количества може да се представи по следния начин:
Кръгът в този случай е всичко възможни стойностиъгъл α — от 0° до 360°. Както можете да видите от фигурата, всяка функция приема отрицателно или положителна стойноств зависимост от ъгъла. Например, sin α ще бъде със знак „+“, ако α принадлежи към I и II четвърти на кръга, т.е. е в диапазона от 0 ° до 180 °. При α от 180° до 360° (III и IV четвърти), sin α може да бъде само отрицателна стойност.
Нека се опитаме да изградим тригонометрични таблици за конкретни ъгли и да разберем значението на количествата.
Стойностите на α, равни на 30 °, 45 °, 60 °, 90 °, 180 ° и т.н., се наричат специални случаи. Стойностите на тригонометричните функции за тях се изчисляват и представят под формата на специални таблици.
Тези ъгли не са избрани случайно. Означението π в таблиците е за радиани. Rad е ъгълът, при който дължината на кръгова дъга съответства на нейния радиус. Тази стойност е въведена, за да се установи универсална връзка, няма значение при изчисляване в радиани действителна дължинарадиус в см.
Ъглите в таблиците за тригонометрични функции съответстват на стойности в радиан:
Така че не е трудно да се отгатне, че 2π е пълен кръгили 360°.
Свойства на тригонометричните функции: синус и косинус
За да разгледаме и сравним основните свойства на синуса и косинуса, тангенса и котангенса, е необходимо да начертаем техните функции. Това може да стане под формата на крива, разположена в двумерна координатна система.
Помислете за сравнителна таблица на свойствата на синусоида и косинусова вълна:
синусоида косинусова вълна y = sin x y = cos x ODZ [-1; един] ODZ [-1; един] sin x = 0, за x = πk, където k ϵ Z cos x = 0, за x = π/2 + πk, където k ϵ Z sin x = 1, за x = π/2 + 2πk, където k ϵ Z cos x = 1, за x = 2πk, където k ϵ Z sin x = - 1, при x = 3π/2 + 2πk, където k ϵ Z cos x = - 1, за x = π + 2πk, където k ϵ Z sin (-x) = - sin x, т.е. странна функция cos (-x) = cos x, т.е. функцията е четна функцията е периодична, най-малкият период е 2π sin x › 0, като x принадлежи на четвърти I и II или от 0° до 180° (2πk, π + 2πk) cos x › 0, като x принадлежи на четвърти I и IV или от 270° до 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) sin x ‹ 0, като x принадлежи на четвъртини III и IV или от 180° до 360° (π + 2πk, 2π + 2πk) cos x ‹ 0, като x принадлежи на четвъртини II и III или от 90° до 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk) нараства на интервала [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] нараства на интервала [-π + 2πk, 2πk] намалява на интервалите [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] намалява на интервали производна (sin x)' = cos x производна (cos x)’ = - sin x Определянето дали дадена функция е четна или не е много лесно. Достатъчно е да си представите тригонометричен кръг със знаци на тригонометрични величини и мислено да „сгънете“ графиката спрямо оста OX. Ако знаците са еднакви, функцията е четна, в противен случай е нечетна.
Въвеждането на радиани и изброяването на основните свойства на синусоидната и косинусовата вълна ни позволяват да донесем следния модел:
Много е лесно да се провери правилността на формулата. Например, за x = π/2, синусът е равен на 1, както и косинусът на x = 0. Проверката може да се извърши, като се разгледат таблици или чрез проследяване на функционални криви за дадени стойности.
Свойства на тангентоида и котангентоида
Графиките на функциите тангенс и котангенс се различават значително от синусоидата и косинусовата вълна. Стойностите tg и ctg са обратни една на друга.
- Y = tgx.
- Допирателната клони към стойностите на y при x = π/2 + πk, но никога не ги достига.
- Най-малкият положителен период на тангентоида е π.
- Tg (- x) \u003d - tg x, т.е. функцията е странна.
- Tg x = 0, за x = πk.
- Функцията се увеличава.
- Tg x › 0, за x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Tg x ‹ 0, за x ϵ (— π/2 + πk, πk).
- Производна (tg x)' = 1/cos 2 x.
Разгледайте графичното представяне на котангентоида по-долу в текста.
Основните свойства на котангентоида:
- Y = ctgx.
- За разлика от функциите синус и косинус, в тангентоида Y може да приеме стойностите на набора от всички реални числа.
- Котангентоидът клони към стойностите на y при x = πk, но никога не ги достига.
- Най-малкият положителен период на котангентоида е π.
- Ctg (- x) \u003d - ctg x, т.е. функцията е странна.
- Ctg x = 0, за x = π/2 + πk.
- Функцията намалява.
- Ctg x › 0, за x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Ctg x ‹ 0, за x ϵ (π/2 + πk, πk).
- Производна (ctg x)' = - 1/sin 2 x Фикс