Изчислете математическото очакване онлайн. Дискретни случайни променливи

Случайна величинаНаречен променлива стойност, който в резултат на всяко изпитване взема предварително такъв неизвестна стойност, в зависимост от случайни причини. Случайните променливи се означават с главни букви с латински букви: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Според вида си случайните променливи могат да бъдат отделенИ непрекъснато.

Дискретна случайна променлива- това е случайна променлива, чиито стойности не могат да бъдат повече от изброими, т.е. крайни или изброими. Под изброимост имаме предвид, че стойностите на случайна променлива могат да бъдат номерирани.

Пример 1 . Ето примери за дискретни случайни променливи:

а) броят на попаденията в целта с $n$ изстрела, тук възможните стойности са $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

б) броят на падналите емблеми при хвърляне на монета, тук възможните стойности са $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

в) броя на корабите, пристигащи на борда (изброим набор от стойности).

г) броят на повикванията, пристигащи в телефонната централа (изброим набор от стойности).

1. Закон за вероятностно разпределение на дискретна случайна променлива.

Дискретна случайна променлива $X$ може да приема стойности $x_1,\dots ,\ x_n$ с вероятности $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Съответствието между тези стойности и техните вероятности се нарича закон за разпределение на дискретна случайна променлива. По правило това съответствие се посочва с помощта на таблица, чийто първи ред показва стойностите $x_1,\dots ,\ x_n$, а вторият ред съдържа вероятностите $p_1,\dots ,\ p_n$, съответстващи на тези ценности.

$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\край (масив)$

Пример 2 . Нека случайната променлива $X$ е броят точки, паднали по време на хвърлянето зарове. Такава случайна променлива $X$ може да приеме следните стойности$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Вероятностите за всички тези стойности са равни на $1/6$. Тогава законът за разпределение на вероятностите на случайната променлива $X$:

$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\край (масив)$

Коментирайте. Тъй като в закона за разпределение на дискретна случайна променлива $X$ събитията $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ формират пълна групасъбития, тогава сумата на вероятностите трябва да е равна на единица, т.е. $\sum(p_i)=1$.

2. Математическо очакване на дискретна случайна променлива.

Очакване на случайна променливазадава своето „централно“ значение. За дискретна случайна променлива очаквана стойностсе изчислява като сумата от произведенията на стойностите $x_1,\dots ,\ x_n$ по вероятностите $p_1,\dots ,\ p_n$, съответстващи на тези стойности, а именно: $M\left(X\right )=\sum^n_(i=1 )(p_ix_i)$. В англоезичната литература се използва друга нотация $E\left(X\right)$.

Свойства на математическото очакване$M\ляво(X\дясно)$:

1. $M\left(X\right)$ се съдържа между най-малкото и най-високи стойностислучайна променлива $X$.
2. Математическото очакване на константа е равно на самата константа, т.е. $M\ляво(C\дясно)=C$.
3. Постоянният фактор може да бъде изваден от знака на математическото очакване: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Математическото очакване на сумата от случайни променливи е равно на сумата от техните математически очаквания: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Математическото очакване на произведението на независими случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Пример 3 . Нека намерим математическото очакване на случайната променлива $X$ от пример $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\над (6))+4\cdot ((1)\над (6))+5\cdot ((1)\над (6))+6\cdot ((1 )\над (6))=3,5.$$

Можем да забележим, че $M\left(X\right)$ се намира между най-малката ($1$) и най-голямата ($6$) стойности на случайната променлива $X$.

Пример 4 . Известно е, че математическото очакване на случайната променлива $X$ е равно на $M\left(X\right)=2$. Намерете математическото очакване на случайната променлива $3X+5$.

Използвайки горните свойства, получаваме $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=$11.

Пример 5 . Известно е, че математическото очакване на случайната променлива $X$ е равно на $M\left(X\right)=4$. Намерете математическото очакване на случайната променлива $2X-9$.

Използвайки горните свойства, получаваме $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Дисперсия на дискретна случайна променлива.

Възможните стойности на случайни променливи с еднакви математически очаквания могат да се разпръснат по различен начин около техните средни стойности. Например в две ученически групи общ успехза изпита по теория на вероятностите се оказа равно на 4, но в едната група всички се оказаха добри, а в другата бяха само тройници и отличници. Следователно има нужда от числена характеристика на случайна променлива, която да показва разпространението на стойностите на случайната променлива около нейното математическо очакване. Тази характеристика е дисперсия.

Дисперсия на дискретна случайна променлива$X$ е равно на:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

В англоезичната литература се използва обозначението $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Много често дисперсията $D\left(X\right)$ се изчислява по формулата $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ ляво(X \дясно)\дясно))^2$.

Дисперсионни свойства$D\ляво(X\дясно)$:

1. Дисперсията винаги е по-голяма или равна на нула, т.е. $D\наляво(X\надясно)\ge 0$.
2. Дисперсията на константата е нула, т.е. $D\ляво(C\дясно)=0$.
3. Константният фактор може да бъде изваден от знака на дисперсията, при условие че е повдигнат на квадрат, т.е. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. Дисперсията на сумата от независими случайни променливи е равна на сумата от техните дисперсии, т.е. $D\ляво(X+Y\дясно)=D\ляво(X\дясно)+D\ляво(Y\дясно)$.
5. Дисперсията на разликата между независими случайни променливи е равна на сумата от техните дисперсии, т.е. $D\ляво(X-Y\дясно)=D\ляво(X\дясно)+D\ляво(Y\дясно)$.

Пример 6 . Нека изчислим дисперсията на случайната променлива $X$ от пример $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\над (6))\cdot (\left(1-3.5\right))^2+(((1)\over (6))\cdot (\left(2-3.5\right))^2+ \dots +( (1)\над (6))\cdot (\left(6-3.5\right))^2=((35)\над (12))\приблизително 2,92.$$

Пример 7 . Известно е, че дисперсията на случайната променлива $X$ е равна на $D\left(X\right)=2$. Намерете дисперсията на случайната променлива $4X+1$.

Използвайки горните свойства, намираме $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ ляво(X\дясно)=16\cdot 2=32$.

Пример 8 . Известно е, че дисперсията на случайната променлива $X$ е равна на $D\left(X\right)=3$. Намерете дисперсията на случайната променлива $3-2X$.

Използвайки горните свойства, намираме $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ ляво(X\дясно)=4\cdot 3=12$.

4. Функция на разпределение на дискретна случайна величина.

Методът за представяне на дискретна случайна променлива под формата на серия на разпределение не е единственият и най-важното е, че не е универсален, тъй като непрекъсната случайна променлива не може да бъде определена с помощта на серия на разпределение. Има и друг начин за представяне на случайна променлива - функцията на разпределение.

Разпределителна функцияслучайна променлива $X$ се нарича функция $F\left(x\right)$, която определя вероятността случайната променлива $X$ да приеме стойност, по-малка от някаква фиксирана стойност $x$, т.е. $F\ ляво(x\дясно)=P\ляво(X< x\right)$

Свойства на функцията на разпределение:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. Вероятността случайната променлива $X$ да приеме стойности от интервала $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ е равна на разликата между стойностите на функцията на разпределение в краищата на този интервал: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - ненамаляващ.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \right)=1\ )$.

Пример 9 . Нека намерим функцията на разпределение $F\left(x\right)$ за закона за разпределение на дискретната случайна променлива $X$ от пример $2$.

$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\край (масив)$

Ако $x\le 1$, тогава очевидно $F\left(x\right)=0$ (включително за $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Ако $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Ако $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Ако $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Ако $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Ако $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Ако $x > 6$, тогава $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) +P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Така че $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ при\ x\le 1,\\
1/6, при \ 1< x\le 2,\\
1/3,\ на\ 2< x\le 3,\\
1/2, при \ 3< x\le 4,\\
2/3,\ в\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ в\ 4< x\le 5,\\
1,\ за\ x > 6.
\end(матрица)\right.$

Както вече е известно, законът за разпределение напълно характеризира случайна променлива. Въпреки това, често законът за разпределение е неизвестен и човек трябва да се ограничи до по-малко информация. Понякога дори е по-изгодно да се използват числа, които описват сумарно случайната променлива; такива номера се наричат числени характеристики на случайна променлива.Сред важните числови характеристикисе отнася до математическото очакване.

Математическото очакване, както ще бъде показано по-долу, е приблизително равно на средната стойност на случайната променлива. За решаването на много задачи е достатъчно да знаете математическото очакване. Например, ако е известно, че математическото очакване на броя точки, отбелязани от първия стрелец, е по-голямо от това на втория, тогава първият стрелец средно отбелязва повече точки от втория и следователно стреля по-добре отколкото второто. Въпреки че математическото очакване предоставя много по-малко информация за случайна променлива, отколкото законът за нейното разпределение, познаването на математическото очакване е достатъчно за решаване на проблеми като горния и много други.

§ 2. Математическо очакване на дискретна случайна величина

Математическо очакванедискретна случайна променлива е сумата от произведенията на всички нейни възможни стойностивърху техните вероятности.

Нека случайната променлива х може да приема само стойности х 1 , Х 2 , ..., х П , чиито вероятности са съответно равни Р 1 , Р 2 , . . ., Р П . След това математическото очакване М(х) случайна величина х се определя от равенството

М(х) = х 1 Р 1 + х 2 Р 2 + … + х н стр н .

Ако дискретна случайна променлива х тогава приема изброим набор от възможни стойности

М(х)=

Освен това, математическото очакване съществува, ако редовете от дясната страна на равенството се сближават абсолютно.

Коментирайте. От дефиницията следва, че математическото очакване на дискретна случайна променлива е неслучайна (постоянна) величина. Препоръчваме ви да запомните това твърдение, тъй като ще бъде използвано много пъти по-късно. По-късно ще бъде показано, че математическото очакване на непрекъсната случайна променлива също е постоянна стойност.

Пример 1.Намерете математическото очакване на случайна променлива х, знаейки закона за неговото разпределение:

Решение. Изискваното математическо очакване е равно на сумата от продуктите на всички възможни стойности на случайната променлива и техните вероятности:

М(х)= 3* 0, 1+ 5* 0, 6+ 2* 0, 3= 3, 9.

Пример 2.Намерете математическото очакване на броя на случванията на дадено събитие Ав един опит, ако вероятността от събитието Аравна на Р.

Решение. Случайна стойност х - брой появявания на събитието Ав един тест - може да приеме само две стойности: х 1 = 1 (събитие Асе случи) с вероятност РИ х 2 = 0 (събитие Ане се случи) с вероятност р= 1 -Р.Необходимото математическо очакване

М(х)= 1* стр+ 0* р= стр

Така, математическото очакване за броя на случванията на дадено събитие в един опит е равно на вероятността за това събитие.Този резултат ще бъде използван по-долу.

§ 3. Вероятностен смисъл на математическото очакване

Нека се произвежда Птестове, при които случайната променлива х приет T 1 пъти стойност х 1 , T 2 пъти стойност х 2 ,...,м к пъти стойност х к , и T 1 + T 2 + …+т Да се = p.След това сумата от всички взети стойности х, равна на

х 1 T 1 + х 2 T 2 + ... + х Да се T Да се .

Нека намерим средното аритметично всички стойности, приети от случайна променлива, за която разделяме намерената сума на общия брой тестове:

= (х 1 T 1 + х 2 T 2 + ... + х Да се T Да се)/P,

= х 1 (м 1 / н) + х 2 (м 2 / н) + ... + х Да се (T Да се /P). (*)

Забелязвайки, че отношението м 1 / н- относителна честота У 1 стойности х 1 , м 2 / н - относителна честота У 2 стойности х 2 и т.н., ние записваме връзката (*) така:

=х 1 У 1 + х 2 У 2 + .. . + х Да се У к . (**)

Да приемем, че броят на тестовете е доста голям. Тогава относителната честота е приблизително равна на вероятността за възникване на събитието (това ще бъде доказано в глава IX, § 6):

У 1 стр 1 , У 2 стр 2 , …, У к стр к .

Заменяйки относителните честоти със съответните вероятности във връзка (**), получаваме

х 1 стр 1 + х 2 Р 2 + … + х Да се Р Да се .

Дясната страна на това приблизително равенство е М(х). Така,

М(х).

Вероятностното значение на получения резултат е следното: математическото очакване е приблизително равно(колкото по-точно е по-голям бройтестове) средноаритметичната стойност на наблюдаваните стойности на случайна променлива.

Забележка 1. Лесно е да се разбере, че математическото очакване е по-голямо от най-малката и по-малко от най-голямата възможна стойност. С други думи, на числовата линия възможните стойности са разположени отляво и отдясно на математическото очакване. В този смисъл математическото очакване характеризира местоположението на разпределението и затова често се нарича дистрибуционен център.

Този термин е заимстван от механиката: ако масите Р 1 , Р 2 , ..., Р Празположени в точките на абсцисата х 1 , х 2 , ..., х н, и
след това абсцисата на центъра на тежестта

х ° С =
.

Като се има предвид това
= М (х) И
получаваме М(х)= х с .

И така, математическото очакване е абсцисата на центъра на тежестта на системата материални точки, чиито абсциси са равни на възможните стойности на случайната променлива, а масите са равни на техните вероятности.

Забележка 2. Произходът на термина "математическо очакване" се свързва с началния период на възникване на теорията на вероятностите (XVI - XVII век), когато обхватът на нейното приложение е ограничен до хазарта. Играчът се интересуваше от средната стойност на очакваната печалба или, с други думи, математическото очакване за печалба.

Очаквана стойност

дисперсиянепрекъсната случайна променлива X, чиито възможни стойности принадлежат на цялата ос Ox, се определя от равенството:

Цел на услугата. Онлайн калкулаторпредназначени за решаване на проблеми, при които или плътност на разпространение f(x) или функцията на разпределение F(x) (вж пример). Обикновено в такива задачи трябва да намерите математическо очакване, стандартно отклонение, графики на функции f(x) и F(x).

Инструкции. Изберете типа на изходните данни: плътност на разпределение f(x) или функция на разпределение F(x).

Дадена плътност на разпределение f(x) Дадена функция на разпределение F(x).

Плътността на разпределение f(x) е дадена:

Функцията на разпределение F(x) е дадена:

Непрекъсната случайна променлива се определя от плътност на вероятността
(Закон за разпределение на Релей - използва се в радиотехниката). Намерете M(x) , D(x) .

Извиква се случайната променлива X непрекъснато , ако неговата функция на разпределение F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива се използва за изчисляване на вероятността случайна променлива да попадне в даден интервал:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
Освен това за непрекъсната случайна променлива няма значение дали нейните граници са включени в този интервал или не:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Плътност на разпространение непрекъсната случайна променлива се нарича функция
f(x)=F’(x) , производна на функцията на разпределение.

Свойства на плътността на разпределение

1. Плътността на разпределение на случайната променлива е неотрицателна (f(x) ≥ 0) за всички стойности на x.
2. Условие за нормализиране:

Геометричният смисъл на условието за нормализиране: площта под кривата на плътността на разпределението е равна на единица.
3. Вероятността случайна променлива X да попадне в интервала от α до β може да се изчисли по формулата

Геометрично, вероятността непрекъсната случайна променлива X да попадне в интервала (α, β) е равна на площта на криволинейния трапец под кривата на плътността на разпределението въз основа на този интервал.
4. Функцията на разпределение се изразява по отношение на плътността, както следва:

Стойността на плътността на разпределението в точка x не е равна на вероятността да приемем тази стойност; за непрекъсната случайна променлива можем да говорим само за вероятността да попаднем в даден интервал. Позволявам )