Изберете реалната и имагинерната част на функцията. Функции на комплексна променлива. Диференциране на функции на комплексна променлива. Условия на Коши-Риман
Функции на комплексна променлива.
Диференциране на функции на комплексна променлива.
Тази статия започва поредица от уроци, в които ще разгледам типични задачи, свързани с теорията на функциите на комплексна променлива. За да усвоите успешно примерите, трябва да имате основни познания за комплексните числа. За да консолидирате и повторите материала, просто посетете страницата. Ще ви трябват и умения за намиране частични производни от втори ред. Ето ги тези частични производни... даже сега бях малко изненадан колко често се срещат...
Темата, която започваме да разглеждаме, не представлява особени трудности и във функциите на сложна променлива по принцип всичко е ясно и достъпно. Основното нещо е да се придържате към основното правило, което извадих експериментално. Прочетете!
Понятие за функция на комплексна променлива
Първо, нека опресним знанията си за училищната функция на една променлива:
Функция на една променливае правило, според което на всяка стойност на независимата променлива (от областта на дефиниране) съответства една и само една стойност на функцията. Естествено, "x" и "y" са реални числа.
В сложния случай функционалната зависимост се определя по подобен начин:
Еднозначна функция на комплексна променлива- това е правилото, според което всеки изчерпателенстойността на независимата променлива (от областта на дефиницията) съответства на една и само една изчерпателенстойност на функцията. Теорията също така разглежда многозначни и някои други видове функции, но за простота ще се съсредоточа върху една дефиниция.
Каква е разликата между функция на сложна променлива?
Основната разлика: комплексни числа. Не съм ироничен. Такива въпроси често оставят хората в ступор; в края на статията ще ви разкажа една забавна история. На урока Комплексни числа за манекениразгледахме комплексно число във формата . От сега буквата "z" стана променлива, тогава ще го обозначим по следния начин: , докато „x“ и „y“ могат да приемат различни валидензначения. Грубо казано, функцията на комплексна променлива зависи от променливите и , които приемат „обикновени“ стойности. от този фактЛогично следва следната точка:
Функцията на комплексна променлива може да бъде записана като:
, където и са две функции на две валиденпроменливи.
Функцията се извиква реална частфункции
Функцията се извиква въображаема частфункции
Тоест функцията на комплексна променлива зависи от две реални функции и . За да изясним най-накрая всичко, нека да разгледаме практически примери:
Пример 1
Решение:Независимата променлива „zet“, както си спомняте, е написана във формата , следователно:
(1) Заменихме .
(2) За първия член е използвана формулата за съкратено умножение. В термина скобите са отворени.
(3) Внимателно квадрат, без да забравяме това
(4) Пренареждане на термини: първо пренаписваме термините , в който няма имагинерна единица(първа група), след това термините, където има (втора група). Трябва да се отбележи, че не е необходимо да се разбъркват термините и този етапможе да се пропусне (като действително го правите устно).
(5) За втората група я изваждаме от скоби.
В резултат на това нашата функция се оказа представена във формата
Отговор:
– реална част от функцията.
– имагинерна част от функцията.
Какви функции се оказаха? Най-обикновените функции на две променливи, от които можете да намерите такива популярни частични производни. Без милост ще го намерим. Но малко по-късно.
Накратко, алгоритъмът за решаваната задача може да се напише по следния начин: заместваме , в оригиналната функция, извършваме опростявания и разделяме всички членове на две групи - без въображаема единица (реална част) и с имагинерна единица (въображаема част) .
Пример 2
Намерете реалната и имагинерната част на функцията
Това е пример за независимо решение. Преди да се впуснете в битка на сложната равнина с извадени пулове, позволете ми да ви дам най-доброто важен съветпо тази тема:
БЪДИ ВНИМАТЕЛЕН!Трябва да внимавате, разбира се, навсякъде, но в сложните числа трябва да сте по-внимателни от всякога! Не забравяйте, че внимателно отворете скобите, не губете нищо. По мои наблюдения най-честата грешка е загубата на знак. Не бързай!
Цялостно решениеи отговорът в края на урока.
Сега кубът. Използвайки формулата за съкратено умножение, извличаме:
.
Формулите са много удобни за използване на практика, тъй като значително ускоряват процеса на решаване.
Диференциране на функции на комплексна променлива.
Имам две новини: добра и лоша. Ще започна с добрия. За функция на комплексна променлива са валидни правилата за диференциране и таблицата с производни на елементарни функции. По този начин производната се взема точно по същия начин, както в случай на функция на реална променлива.
Лошата новина е, че за много сложни функции на променлива изобщо няма производна и вие трябва да разберете диференцируема ли еедна или друга функция. А „разбирането“ как се чувства сърцето ви е свързано с допълнителни проблеми.
Нека разгледаме функцията на комплексна променлива. За да бъде тази функция диференцируема е необходимо и достатъчно:
1) Така че съществуват частни производни от първи ред. Забравете за тези нотации веднага, тъй като в теорията на функциите на комплексна променлива традиционно се използва различна нотация: 
.
2) Да се извърши т.нар Условия на Коши-Риман:
Само в този случай производното ще съществува!
Пример 3
Решениесе разделя на три последователни етапа:
1) Нека намерим реалната и имагинерната част на функцията. Тази задача беше обсъдена в предишни примери, така че ще я запиша без коментар:
От тогава:
По този начин: 
– имагинерна част от функцията.
Нека засегна още една техническа точка: в какъв реднапишете условията в реалната и имагинерната част? Да, по принцип няма значение. Например реалната част може да бъде написана така: 
, а въображаемата – така: .
2) Нека проверим изпълнението на условията на Коши-Риман. Двама са.
Нека започнем с проверка на състоянието. Намираме частични производни:
Така условието е изпълнено.
Разбира се, добрата новина е, че частичните производни почти винаги са много прости.
Проверяваме изпълнението на второто условие: 
Оказа се същото, но с противоположни знаци, тоест условието също е изпълнено.
Условията на Коши-Риман са изпълнени, следователно функцията е диференцируема.
3) Да намерим производната на функцията. Производната също е много проста и се намира по обичайните правила:
Въображаемата единица се счита за константа по време на диференцирането.
Отговор: 
– реална част, 
– въображаема част.
Условията на Коши-Риман са изпълнени, .
Има още два начина за намиране на производната, те, разбира се, се използват по-рядко, но информацията ще бъде полезна за разбирането на втория урок - Как да намерим функция на комплексна променлива?
Производната може да се намери по формулата: 
IN в такъв случай: 
По този начин
Трябва да решим обратната задача - в получения израз трябва да изолираме . За да направите това, е необходимо в условията и извън скобите:
Обратното действие, както мнозина са забелязали, е малко по-трудно за проверка, винаги е по-добре да вземете израза на чернова или устно да отворите скобите обратно, като се уверите, че резултатът е точен;
Огледална формула за намиране на производната: 
В такъв случай: 
, Ето защо:
Пример 4
Определяне на реалните и имагинерните части на функция 
. Проверете изпълнението на условията на Коши-Риман. Ако са изпълнени условията на Коши-Риман, намерете производната на функцията.
Кратко решение и приблизителен образец на окончателния дизайн в края на урока.
Винаги ли са изпълнени условията на Коши-Риман? Теоретично те не се изпълняват по-често, отколкото се изпълняват. Но в практически примери не си спомням случай, в който те не са били изпълнени =) Така, ако вашите частични производни „не се сближават“, тогава с много голяма вероятност можете да кажете, че сте направили грешка някъде.
Нека усложним нашите функции:
Пример 5
Определяне на реалните и имагинерните части на функция 
. Проверете изпълнението на условията на Коши-Риман. Изчисли
Решение:Алгоритъмът за решение е напълно запазен, но в края ще бъде добавена нова точка: намиране на производната в точка. За куба необходимата формула вече е изведена:
Нека дефинираме реалните и въображаемите части на тази функция:
Внимание и пак внимание!
От тогава:
По този начин:
– реална част от функцията;
– имагинерна част от функцията.
Проверка на второто условие: 
Резултатът е същият, но с противоположни знаци, тоест условието също е изпълнено.
Условията на Коши-Риман са изпълнени, следователно функцията е диференцируема:
Нека изчислим стойността на производната в исканата точка:
Отговор:, , условията на Коши-Риман са изпълнени,
Функциите с кубчета са често срещани, така че ето пример за засилване:
Пример 6
Определяне на реалните и имагинерните части на функция 
. Проверете изпълнението на условията на Коши-Риман. Изчисли.
Решение и пример за завършване в края на урока.
На теория цялостен анализДефинират се и други функции на сложен аргумент: експонента, синус, косинус и др. Тези функции имат необичайни и дори странни свойства - и това е наистина интересно! Наистина искам да ви кажа, но тук, както се случва, не е справочник или учебник, а книга с решения, така че ще разгледам същия проблем с някои общи функции.
Първо за т.нар Формули на Ойлер:
За всеки валиденчисла, валидни са следните формули: 
Можете също да го копирате в бележника си като справочен материал.
Строго погледнато, има само една формула, но за удобство те обикновено пишат специален случайс минус в индикатора. Параметърът не трябва да бъде една буква; той може да бъде сложен израз или функция, важно е само те да приемат само валидензначения. Всъщност ще видим това точно сега:
Пример 7
Намерете производната.
Решение:Генералната линия на партията остава непоклатима - необходимо е да се разграничат реалната и мнимата част на функцията. Ще дам подробно решение и ще коментирам всяка стъпка по-долу:
От тогава:
(1) Вместо това заменете „z“.
(2) След заместване трябва да изберете реалните и въображаемите части първи в индикатораизложители. За да направите това, отворете скобите.
(3) Групираме имагинерната част на индикатора, като поставяме имагинерната единица извън скоби.
(4) Използваме училищното действие със степени.
(5) За множителя използваме формулата на Ойлер и .
(6) Отворете скобите, което води до:
– реална част от функцията;
– имагинерна част от функцията.
По-нататъшните действия са стандартни, нека проверим изпълнението на условията на Коши-Риман: 
Пример 9
Определяне на реалните и имагинерните части на функция 
. Проверете изпълнението на условията на Коши-Риман. Така да бъде, няма да намерим производното.
Решение:Алгоритъмът за решение е много подобен на предишните два примера, но има много важни точки, Ето защо Първи етапЩе коментирам отново стъпка по стъпка:
От тогава:
1) Заменете „z“ вместо това.
(2) Първо избираме реалните и въображаемите части вътре в синуса. За тези цели отваряме скобите.
(3) Използваме формулата и 
.
(4) Използвайте четност на хиперболичен косинус: И странност на хиперболичен синус: . Хиперболичните, макар и извън този свят, в много отношения напомнят подобни тригонометрични функции.
В крайна сметка:
– реална част от функцията;
– имагинерна част от функцията.
внимание!Знакът минус се отнася за имагинерната част и в никакъв случай не трябва да я губим! За ясна илюстрация полученият по-горе резултат може да се пренапише, както следва:
Нека проверим изпълнението на условията на Коши-Риман: 
Условията на Коши-Риман са изпълнени.
Отговор:, , условията на Коши-Риман са изпълнени.
Дами и господа, нека да го разберем сами:
Пример 10
Определете реалните и имагинерните части на функцията. Проверете изпълнението на условията на Коши-Риман.
Нарочно избрах по-трудни примери, защото всеки изглежда може да се справи с нещо, като белени фъстъци. В същото време ще тренирате вниманието си! Крекер за ядки в края на урока.
Е, в заключение ще разгледам още един интересен пример, когато сложният аргумент е в знаменателя. Случвало се е няколко пъти на практика, нека да разгледаме нещо просто. Ех, остарях...
Пример 11
Определете реалните и имагинерните части на функцията. Проверете изпълнението на условията на Коши-Риман.
Решение:Отново е необходимо да се разграничат реалните и имагинерните части на функцията.
Ако, тогава
Възниква въпросът какво да правим, когато в знаменателя е Z?
Всичко е просто - стандартният ще помогне метод за умножаване на числителя и знаменателя по спрегнатия израз, то вече е използвано в примерите от урока Комплексни числа за манекени. Да си припомним училищната формула. Вече имаме в знаменателя, което означава, че спрегнатият израз ще бъде . Следователно трябва да умножите числителя и знаменателя по: