Длина действительной полуоси. Гипербола: определение, свойства, построение
Гипербола и парабола
Переходим ко второй части статьи о линиях второго порядка , посвященной двум другим распространённым кривым – гиперболе и параболе . Если вы зашли на данную страницу с поисковика либо ещё не успели сориентироваться в теме, то рекомендую сначала изучить первый раздел урока, на котором мы рассмотрели не только основные теоретические моменты, но и познакомились с эллипсом . Остальным же читателям предлагаю существенно пополнить свои школьные знания о параболе и гиперболе. Гипербола и парабола – это просто? …Не дождётесь =)
Гипербола и её каноническое уравнение
Общая структура изложения материала будет напоминать предыдущий параграф. Начнём с общего понятия гиперболы и задачи на её построение.
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид , где – положительные действительные числа. Обратите внимание, что в отличие от эллипса , здесь не накладывается условие , то есть, значение «а» может быть и меньше значения «бэ».
Надо сказать, довольно неожиданно… уравнение «школьной» гиперболы и близко не напоминает каноническую запись. Но эта загадка нас ещё подождёт, а пока почешем затылок и вспомним, какими характерными особенностями обладает рассматриваемая кривая? Раскинем на экране своего воображения график функции ….
У гиперболы две симметричные ветви.
У гиперболы две асимптоты .
Неплохой прогресс! Данными свойствами обладает любая гипербола, и сейчас мы с неподдельным восхищением заглянем в декольте этой линии:
Пример 4
Построить гиперболу, заданную уравнением
Решение
: на первом шаге приведём данное уравнение к каноническому виду . Пожалуйста, запомните типовой порядок действий. Справа необходимо получить «единицу», поэтому обе части исходного уравнения делим на 20:
Здесь можно сократить обе дроби, но оптимальнее сделать каждую из них трёхэтажной
:
И только после этого провести сокращение:
Выделяем квадраты в знаменателях:
Почему преобразования лучше проводить именно так? Ведь дроби левой части можно сразу сократить и получить . Дело в том, что в рассматриваемом примере немного повезло: число 20 делится и на 4 и на 5. В общем случае такой номер не проходит. Рассмотрим, например, уравнение . Здесь с делимостью всё печальнее и без трёхэтажных дробей
уже не обойтись:
Итак, воспользуемся плодом наших трудов – каноническим уравнением :
Как построить гиперболу?
Существует два подхода к построению гиперболы – геометрический и алгебраический.
С практической точки зрения вычерчивание с помощью циркуля... я бы даже сказал утопично, поэтому гораздо выгоднее вновь привлечь на помощь нехитрые расчёты.
Целесообразно придерживаться следующего алгоритма, сначала готовый чертёж, потом комментарии:
1) Прежде всего, находим асимптоты
. Если гипербола задана каноническим уравнением , то её асимптотами являются прямые
. В нашем случае: 
. Данный пункт обязателен!
Это принципиальная особенность чертежа, и будет грубой ошибкой, если ветви гиперболы «вылезут» за свои асимптоты.
2) Теперь находим две вершины гиперболы
, которые расположены на оси абсцисс в точках 
. Выводится элементарно: если , то каноническое уравнение превращается в , откуда и следует, что . Рассматриваемая гипербола имеет вершины 
3) Ищем дополнительные точки. Обычно хватает 2-3-х. В каноническом положении гипербола симметрична относительно начала координат и обеих координатных осей, поэтому вычисления достаточно провести для 1-ой координатной четверти. Методика точно такая же, как и при построении эллипса
. Из канонического уравнения на черновике выражаем:
Уравнение распадается на две функции:
– определяет верхние дуги гиперболы (то, что нам надо);
– определяет нижние дуги гиперболы.
Напрашивается нахождение точек с абсциссами :
4) Изобразим на чертеже асимптоты , вершины , дополнительные и симметричные им точки в других координатных четвертях. Аккуратно соединим соответствующие точки у каждой ветви гиперболы:
Техническая трудность может возникнуть с иррациональным угловым коэффициентом , но это вполне преодолимая проблема.
Отрезок
называют действительной осью
гиперболы,
его длину – расстоянием между вершинами;
число
называют действительной полуосью
гиперболы;
число
– мнимой полуосью
.
В нашем примере: 
, и, очевидно, если данную гиперболу повернуть вокруг центра симметрии и/или переместить, то эти значения не изменятся
.
Определение гиперболы. Фокусы и эксцентриситет
У гиперболы, точно так же, как и у эллипса , есть две особенные точки , которые называются фокусами . Не говорил, но на всякий случай, вдруг кто неверно понимает: центр симметрии и точки фокуса, разумеется, не принадлежат кривым .
Общая концепция определения тоже похожа:
Гиперболой называют множество всех точек плоскости, абсолютное значение разности расстояний до каждой из которых от двух данных точек – есть величина постоянная, численно равная расстоянию между вершинами этой гиперболы: . При этом расстояние между фокусами превосходит длину действительной оси: .
Если гипербола задана каноническим уравнением , то расстояние от центра симметрии до каждого из фокусов
рассчитывается по формуле: .
И, соответственно, фокусы имеют координаты 
.
Для исследуемой гиперболы :
Разбираемся в определении. Обозначим через расстояния от фокусов до произвольной точки гиперболы:
Сначала мысленно передвигайте синюю точку по правой ветви гиперболы – где бы мы ни находились, модуль
(абсолютное значение) разности между длинами отрезков будет одним и тем же:
Если точку «перекинуть» на левую ветвь, и перемещать её там, то данное значение останется неизменным.
Знак модуля нужен по той причине, что разность длин может быть как положительной, так и отрицательной. Кстати, для любой точки правой ветви 
(поскольку отрезок короче отрезка ). Для любой точки левой ветви ситуация ровно противоположная и 
.
Более того, ввиду очевидного свойства модуля безразлично, что из чего вычитать.
Удостоверимся, что в нашем примере модуль данной разности действительно равен расстоянию между вершинами. Мысленно поместите точку в правую вершину гиперболы . Тогда: , что и требовалось проверить.
Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек F_1 и F_2 есть величина постоянная (2a) , меньшая расстояния (2c) между этими заданными точками (рис.3.40,а). Это геометрическое определение выражает фокальное свойство гиперболы .
Фокальное свойство гиперболы
Точки F_1 и F_2 называются фокусами гиперболы, расстояние 2c=F_1F_2 между ними - фокусным расстоянием, середина O отрезка F_1F_2 - центром гиперболы, число 2a - длиной действительной оси гиперболы (соответственно, a - действительной полуосью гиперболы). Отрезки F_1M и F_2M , соединяющие произвольную точку M гиперболы с ее фокусами, называются фокальными радиусами точки M . Отрезок, соединяющий две точки гиперболы, называется хордой гиперболы.
Отношение e=\frac{c}{a} , где c=\sqrt{a^2+b^2} , называется эксцентриситетом гиперболы . Из определения (2a<2c) следует, что e>1 .
Геометрическое определение гиперболы , выражающее ее фокальное свойство, эквивалентно ее аналитическому определению - линии, задаваемой каноническим уравнением гиперболы:
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.
Действительно, введем прямоугольную систему координат (рис.3.40,б). Центр O гиперболы примем за начало системы координат; прямую, проходящую через фокусы (фокальную ось), примем за ось абсцисс (положительное направление на ней от точки F_1 к точке F_2 ); прямую, перпендикулярную оси абсцисс и проходящую через центр гиперболы, примем за ось ординат (направление на оси ординат выбирается так, чтобы прямоугольная система координат Oxy оказалась правой).
Составим уравнение гиперболы, используя геометрическое определение, выражающее фокальное свойство. В выбранной системе координат определяем координаты фокусов F_1(-c,0) и F_2(c,0) . Для произвольной точки M(x,y) , принадлежащей гиперболе, имеем:
\left||\overrightarrow{F_1M}|-|\overrightarrow{F_2M}|\right|=2a.
Записывая это уравнение в координатной форме, получаем:
\sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}=\pm2a.
Выполняя преобразования, аналогичные преобразованиям, используемым при выводе уравнения эллипса (т.е. избавляясь от иррациональности), приходим к каноническому уравнению гиперболы:
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\,
где b=\sqrt{c^2-a^2} , т.е. выбранная система координат является канонической.
Проводя рассуждения в обратном порядке, можно показать, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (3.50), и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому гиперболой. Таким образом, аналитическое определение гиперболы эквивалентно его геометрическому определению.
Директориальное свойство гиперболы
Директрисами гиперболы называются две прямые, проходящие параллельно оси ординат канонической системы координат на одинаковом расстоянии a^2\!\!\not{\phantom{|}}\,c от нее (рис.3.41,а). При a=0 , когда гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых, директрисы совпадают.
Гиперболу с эксцентриситетом e=1 можно определить, как геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки F (фокуса) к расстоянию до заданной прямой d (директрисы), не проходящей через заданную точку, постоянно и равно эксцентриситету e (директориальное свойство гиперболы ). Здесь F и d - один из фокусов гиперболы и одна из ее директрис, расположенные по одну сторону от оси ординат канонической системы координат.
В самом деле, например, для фокуса F_2 и директрисы d_2 (рис.3.41,а) условие \frac{r_2}{\rho_2}=e можно записать в координатной форме:
\sqrt{(x-c)^2+y^2}=e\left(x-\frac{a^2}{c}\right)
Избавляясь от иррациональности и заменяя e=\frac{c}{a},~c^2-a^2=b^2 , приходим к каноническому уравнению гиперболы (3.50). Аналогичные рассуждения можно провести для фокуса F_1 и директрисы d_1 :
\frac{r_1}{\rho_1}=e \quad \Leftrightarrow \quad \sqrt{(x+c)^2+y^2}= e\left(x+\frac{a^2}{c} \right).
Уравнение гиперболы в полярной системе координат
Уравнение правой ветви гиперболы в полярной системе координат F_2r\varphi (рис.3.41,б) имеет вид
r=\frac{p}{1-e\cdot\cos\varphi} , где p=\frac{p^2}{a} - фокальный параметр гиперболы .
В самом деле, выберем в качестве полюса полярной системы координат правый фокус F_2 гиперболы, а в качестве полярной оси - луч с началом в точке F_2 , принадлежащий прямой F_1F_2 , но не содержащий точки F_1 (рис.3.41,б). Тогда для произвольной точки M(r,\varphi) , принадлежащей правой ветви гиперболы, согласно геометрическому определению (фокальному свойству) гиперболы, имеем F_1M-r=2a . Выражаем расстояние между точками M(r,\varphi) и F_1(2c,\pi) (см. пункт 2 замечаний 2.8):
F_1M=\sqrt{(2c)^2+r^2-2\cdot(2c)^2\cdot r\cdot\cos(\varphi-\pi)}=\sqrt{r^2+4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2}.
Следовательно, в координатной форме уравнение гиперболы имеет вид
\sqrt{r^2+4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2}-r=2a.
Уединяем радикал, возводим обе части уравнения в квадрат, делим на 4 и приводим подобные члены:
r^2+4cr\cdot\cos\varphi+4c^2=4a^2+4ar+r^2 \quad \Leftrightarrow \quad a\left(1-\frac{c}{a}\cos\varphi\right)r=c^2-a^2.
Выражаем полярный радиус r и делаем замены e=\frac{c}{a},~b^2=c^2-a^2,~p=\frac{b^2}{a} :
r=\frac{c^2-a^2}{a(1-e\cos\varphi)} \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac{b^2}{a(1-e\cos\varphi)} \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac{p}{1-e\cos\varphi},
что и требовалось доказать. Заметим, что в полярных координатах уравнения гиперболы и эллипса совпадают, но описывают разные линии, поскольку отличаются эксцентриситетами (e>1 для гиперболы, 0\leqslant e<1 для эллипса).
Геометрический смысл коэффициентов в уравнении гиперболы
Найдем точки пересечения гиперболы (рис.3.42,а) с осью абсцисс (вершины гиперболы). Подставляя в уравнение y=0 , находим абсциссы точек пересечения: x=\pm a . Следовательно, вершины имеют координаты (-a,0),\,(a,0) . Длина отрезка, соединяющего вершины, равна 2a . Этот отрезок называется действительной осью гиперболы, а число a - действительной полуосью гиперболы. Подставляя x=0 , получаем y=\pm ib . Длина отрезка оси ординат, соединяющего точки (0,-b),\,(0,b) , равна 2b . Этот отрезок называется мнимой осью гиперболы, а число b - мнимой полуосью гиперболы. Гипербола пересекает прямую, содержащую действительную ось, и не пересекает прямую, содержащую мнимую ось.
Замечания 3.10.
1. Прямые x=\pm a,~y=\pm b ограничивают на координатной плоскости основной прямоугольник, вне которого находится гипербола (рис.3.42,а).
2. Прямые , содержащие диагонали основного прямоугольника, называются асимптотами гиперболы (рис.3.42,а).
Для равносторонней гиперболы , описываемой уравнением (т.е. при a=b ), основной прямоугольник является квадратом, диагонали которого перпендикулярны. Поэтому асимптоты равносторонней гиперболы также перпендикулярны, и их можно взять в качестве координатных осей прямоугольной системы координат Ox"y" (рис.3.42,б). В этой системе координат уравнение гиперболы имеет вид y"=\frac{a^2}{2x"} (гипербола совпадает с графиком элементарной функции, выражающей обратно-пропорциональную зависимость).
В самом деле, повернем каноническую систему координат на угол \varphi=-\frac{\pi}{4} (рис.3.42,б). При этом координаты точки в старой и новой системах координат связаны равенствами
\left\{\!\begin{aligned}x&=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot x"+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot y",\\ y&=-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot x"+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot y"\end{aligned}\right. \quad \Leftrightarrow \quad \left\{\!\begin{aligned}x&=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot(x"+y"),\\ y&=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot(y"-x")\end{aligned}\right.
Подставляя эти выражения в уравнение \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2}=1 равносторонней гиперболы и приводя подобные члены, получаем
\frac{\frac{1}{2}(x"+y")^2}{a^2}-\frac{\frac{1}{2}(y"-x")^2}{a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad 2\cdot x"\cdot y"=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad y"=\frac{a^2}{2\cdot x"}.
3. Координатные оси (канонической системы координат) являются осями симметрии гиперболы (называются главными осями гиперболы), а ее центр - центром симметрии.
Действительно, если точка M(x,y) принадлежит гиперболе . то и точки M"(x,y) и M""(-x,y) , симметричные точке M относительно координатных осей, также принадлежат той же гиперболе.
Ось симметрии, на которой располагаются фокусы гиперболы, является фокальной осью.
4. Из уравнения гиперболы в полярных координатах r=\frac{p}{1-e\cos\varphi} (см. рис.3.41,б) выясняется геометрический смысл фокального параметра - это половина длины хорды гиперболы, проходящей через ее фокус перпендикулярно фокальной оси (r=p при \varphi=\frac{\pi}{2} ).
5. Эксцентриситет e характеризует форму гиперболы. Чем больше e , тем шире ветви гиперболы, а чем ближе e к единице, тем ветви гиперболы уже (рис.3.43,а).
Действительно, величина \gamma угла между асимптотами гиперболы, содержащего ее ветвь, определяется отношением сторон основного прямоугольника: \operatorname{tg}\frac{\gamma}{2}=\frac{b}{2} . Учитывая, что e=\frac{c}{a} и c^2=a^2+b^2 , получаем
e^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2}=1+{\left(\frac{b}{a}\right)\!}^2=1+\operatorname{tg}^2\frac{\gamma}{2}.
Чем больше e
, тем больше угол \gamma
. Для равносторонней гиперболы (a=b)
имеем e=\sqrt{2}
и \gamma=\frac{\pi}{2}
. Для e>\sqrt{2}
угол \gamma
тупой, а для 1 6
. Две гиперболы, определяемые в одной и той же системе координат уравнениями \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1
и называются сопряженными друг с другом
. Сопряженные гиперболы имеют одни и те же асимптоты (рис.3.43,б). Уравнение сопряженной гиперболы
-\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
приводится к каноническому при помощи переименования координатных осей (3.38). 7.
Уравнение \frac{(x-x_0)^2}{a^2}-\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1
определяет гиперболу с центром в точке O"(x_0,y_0)
, оси которой параллельны координатным осям (рис.3.43,в). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36). Уравнение -\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1
определяет сопряженную гиперболу с центром в точке O"(x_0,y_0)
. Параметрическое уравнение гиперболы в канонической системе координат имеет вид \begin{cases}x=a\cdot\operatorname{ch}t,\\y=b\cdot\operatorname{sh}t,\end{cases}t\in\mathbb{R},
где \operatorname{ch}t=\frac{e^t+e^{-t}}{2}
- гиперболический косинус, a \operatorname{sh}t=\frac{e^t-e^{-t}}{2}
гиперболический синус. Действительно, подставляя выражения координат в уравнение (3.50), приходим к основному гиперболическому тождеству \operatorname{ch}^2t-\operatorname{sh}^2t=1
. Пример 3.21.
Изобразить гиперболу \frac{x^2}{2^2}-\frac{y^2}{3^2}=1
в канонической системе координат Oxy
. Найти полуоси, фокусное расстояние, эксцентриситет, фокальный параметр, уравнения асимптот и директрис. Решение.
Сравнивая заданное уравнение с каноническим, определяем полуоси: a=2
- действительная полуось, b=3
- мнимая полуось гиперболы. Строим основной прямоугольник со сторонами 2a=4,~2b=6
с центром в начале координат (рис.3.44). Проводим асимптоты, продлевая диагонали основного прямоугольника. Строим гиперболу, учитывая ее симметричность относительно координатных осей. При необходимости определяем координаты некоторых точек гиперболы. Например, подставляя x=4
в уравнение гиперболы, получаем \frac{4^2}{2^2}-\frac{y^2}{3^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=27 \quad \Leftrightarrow \quad y=\pm3\sqrt{3}.
Следовательно, точки с координатами (4;3\sqrt{3})
и (4;-3\sqrt{3})
принадлежат гиперболе. Вычисляем фокусное расстояние 2\cdot c=2\cdot\sqrt{a^2+b^2}=2\cdot\sqrt{2^2+3^2}=2\sqrt{13}
эксцентриситет e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{13}}{2}
; фокальныи параметр p=\frac{b^2}{a}=\frac{3^2}{2}=4,\!5
. Составляем уравнения асимптот y=\pm\frac{b}{a}\,x
, то есть y=\pm\frac{3}{2}\,x
, и уравнения директрис: x=\pm\frac{a^2}{c}=\frac{4}{\sqrt{13}}
. Занятие 10
.
Кривые
второго порядка.
10.1. Эллипс. Каноническое уравнение.
Полуоси, эксцентриситет, график. 10.2. Гипербола. Каноническое уравнение.
Полуоси, эксцентриситет, асимптоты,
график. 10.3. Парабола. Каноническое уравнение.
Параметр параболы, график. Кривыми второго порядка на плоскости
называются линии, неявное задание
которых имеет вид: где
10.1. Эллипс. Каноническое уравнение.
Полуоси, эксцентриситет, график.
Определение эллипса.
Эллипсом
называется плоская кривая, у которой
сумма расстояний от двух фиксированных
точек
Каноническое уравнение эллипса
: Если эллипс задан уравнением (2), то
фокусы эллипса находятся так. 1) Сначала определяем, где лежат фокусы:
фокусы лежат на той координатной оси,
на которой расположены бóльшие полуоси. 2) Затем вычисляется фокусное расстояние
При
При
Эксцентриситетом
эллипса называется
величина: У эллипса всегда
Если эллипс (2) переместить так, что центр
эллипса попадет в точку
10.2. Гипербола. Каноническое уравнение.
Полуоси, эксцентриситет, асимптоты,
график.
Определение гиперболы.
Гиперболой
называется плоская кривая, у которой
абсолютная величина разности расстояний
от двух фиксированных точек
Каноническое уравнение гиперболы
: Такое уравнение получается, если
координатная ось
Фокусы гиперболы находятся так. У гиперболы
У гиперболы
Здесь
Эксцентриситетом
гиперболы называется
величина: У гиперболы всегда
Асимптотами гипербол
(3) являются
две прямые: Построение графика гиперболы следует
проводить так: сначала по полуосям
Если гиперболы (3) переместить так, что
их центр попадет в точку
10.3. Парабола. Каноническое уравнение.
Параметр параболы, график.
Определение параболы.
Параболой
называется плоская кривая, у которой
для любой точки
Каноническое уравнение параболы
: где
Точка
Уравнение
Если параболу (4) переместить так, что
ее вершина попадет в точку
Перейдем к примерам. Пример 1
. Кривая второго порядка
задана уравнением Решение. Данная кривая является эллипсом
с центром в точке
Найдем фокусы.
Пример 2
. Дать название кривой второго
порядкаи привести ее график. Решение. Выделим полные квадраты по
слагаемым, содержащим переменные
Теперь, уравнение кривой можно переписать
так: Следовательно, заданная кривая является
эллипсом с центром в точке
Пример 3
. Дать название и привести
график линии Решение.
.
Это – каноническое уравнение эллипса
с центром в точке Поскольку,
Пример 4
. Дать название кривой второго
порядка Фокусное расстояние. Знак "минус" стоит перед слагаемым
с
Асимптоты гиперболы:
. Построение графика этой гиперболы
осуществляется в соответствии с
изложенным выше порядком действий:
строим вспомогательный прямоугольник,
проводим асимптоты гиперболы, рисуем
ветви гиперболы (см. рис.2.б). Пример 5
. Выяснить вид кривой,
заданной уравнением Т.к.
,
заключаем: заданное уравнение определяет
ту часть гиперболы, которая лежит Справа
от прямой Пример 6
. Выяснить вид кривойи нарисовать ее график. Решение. Выделим полный квадрат по
слагаемым с переменной
Перепишем уравнение кривой.
Это – уравнение параболы с вершиной в
точке Домашнее задание
. 1. Нарисовать эллипсы, заданные уравнениями:
2. Нарисовать гиперболы, заданные
уравнениями:
3. Нарисовать параболы, заданные
уравнениями:
4. Уравнение
Параметрическое уравнение гиперболы
- заданные вещественные числа,
- координаты точек кривой. Наиболее
важными линиями среди кривых второго
порядка являются эллипс, гипербола,
парабола.
плоскости до любой точки
(т.е.).
Точки
называются фокусами эллипса.
.
(2)
(или
ось
)
проходит через фокусы
,
а начало координат – точка
-
находится в центре отрезка
(рис.1). Эллипс (2) симметричен относительно
осей координат и начала координат
(центра эллипса). Постоянные
,
называютсяполуосями эллипса
.
(расстояние от фокусов до начала
координат).
фокусы лежат на оси
;
;
.
фокусы лежат на оси
;
;
.
(при
);
(при
).
.
Эксцентриситет служит характеристикой
сжатия эллипса.
,
,
то уравнение полученного эллипса имеет
вид
.
плоскости до любой точки
этой кривой есть постоянная величина,
независящая от точки
(т.е.). Точки
называются фокусами гиперболы.
или
.
(3)
(или
ось
)
проходит через фокусы
,
а начало координат – точка
-
находится в центре отрезка
.
Гиперболы (3) симметричны относительно
осей координат и начала координат.
Постоянные
,
называютсяполуосями гиперболы
.
фокусы лежат на оси
:
(рис. 2.а).
фокусы лежат на оси
:
(рис. 2.б)
-
фокусное расстояние (расстояние от
фокусов до начала координат). Оно
вычисляется по формуле:
.
(для
);
(для
).
.
.
Обе ветви гиперболы неограниченно
приближаются к асимптотам с ростом
.
строим вспомогательный прямоугольник
со сторонами, параллельными осям
координат; затем через противоположные
вершины этого прямоугольника проводим
прямые, это – асимптоты гиперболы;
наконец изображаем ветви гиперболы,
они касаются середин соответствующих
сторон вспомогательного прямоугольника
и приближаются с ростом
к асимптотам (рис. 2).
,
а полуоси останутся параллельны осям
,
,
то уравнение полученных гипербол
запишутся в виде
,
.
этой кривой расстояние от
до фиксированной точки
плоскости (называемой фокусом параболы)
равно расстоянию от
до фиксированной прямой на плоскости
(называемой директрисой параболы).
,
(4)
- постоянная, называемаяпараметром
параболы.
параболы (4) называется вершиной параболы.
Ось
является осью симметрии. Фокус параболы
(4) находится в точке
,
уравнение директрисы
.
Графики параболы (4) со значениями
и
приведены
на рис. 3.а и 3.б соответственно.
также определяет параболу на плоскости
,
у которой по сравнению с параболой (4),
оси
,
поменялись местами.
,
а ось симметрии останется параллельна
оси
,
то уравнение полученной параболы имеют
вид
.
.
Дать название этой кривой. Найти ее
фокусы и эксцентриситет. Изобразить
кривую и ее фокусы на плоскости
.
и полуосями
.
В этом легко убедиться, если провести
замену
.
Это преобразование означает переход
от заданной декартовой системы координат
к новой декартовой системе координат
,
у которой оси
параллельны
осям
,
.
Это преобразование координат называется
сдвигом системы
в точку
.
В новой системе координат
уравнение кривой преобразуется в
каноническое уравнение эллипса
,
его график приведен на рис. 4.
,
поэтому фокусы
эллипса расположены на оси
..
В системе координат
:
.
Т.к.
,
в старой системе координат
фокусы имеют координаты.
и
.
и полуосями
.
Полученные сведения позволяют нарисовать
его график.
.
и полуосями
.
,
делаем заключение: заданное уравнение
определяет на плоскости
нижнюю половину эллипса (рис. 5).
.
Найти ее фокусы, эксцентриситет. Привести
график этой кривой.
-
каноническое уравнение гиперболы с
полуосями
.
,
поэтому фокусы
гиперболы лежат на оси
:.
Ветви гиперболы располагаются над и
под осью
.
- эксцентриситет гиперболы.
и построить ее график.
- гипербола с центром в точке
и полуосями.
.
Гиперболу лучше нарисовать во
вспомогательной системе координат
,
полученной из системы координат
сдвигом
,
а затем жирной линией выделить нужную
часть гиперболы
:
.
Преобразованием сдвигауравнение параболы приводится к
каноническому виду
,
из которого видно, что- параметр параболы. Фокус
параболы в системе
имеет координаты
,,
а в системе
(согласно преобразованию сдвига).
График параболы приведен на рис. 7.
Найти их полуоси, фокусное расстояние,
эксцентриситет и указать на графиках
эллипсов места расположения их фокусов.
Найти их полуоси, фокусное расстояние,
эксцентриситет и указать на графиках
гипербол места расположения их фокусов.
Написать уравнения асимптот данных
гипербол.
.
Найти их параметр, фокусное расстояние
и указать на графиках парабол место
расположения фокуса.
определяет часть кривой 2-го порядка.
Найти каноническое уравнение этой
кривой, записать ее название, построить
ее график и выделить на нем ту часть
кривой, которая отвечает исходному
уравнению.