Aritmeetilised arvutused. Aritmeetilised arvutused. Positiivsed täisarvud

Mathematical-Calculator-Online v.1.0

Kalkulaator teostab järgmisi toiminguid: liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine, kümnendkohtadega töötamine, juure eraldamine, astendamine, protsentide arvutamine ja muud toimingud.

Lahendus:

Kuidas kasutada matemaatikakalkulaatorit

Võti	Määramine	Selgitus
5	numbrid 0-9	Araabia numbrid. Naturaalsete täisarvude sisestamine, null. Negatiivse täisarvu saamiseks peate vajutama +/- klahvi
.	semikoolon)	Eraldaja tähistamiseks kümnend. Kui punkti ees pole arvu (koma), asendab kalkulaator punkti ees automaatselt nulliga. Näiteks: kirjutatakse .5 - 0,5
+	plussmärk	Arvude lisamine (täisarvud, kümnendkohad)
-	miinusmärk	Arvude lahutamine (täisarvud, kümnendkohad)
÷	jagamise märk	Arvude jagamine (täisarvud, kümnendkohad)
X	korrutusmärk	Arvude korrutamine (täisarvud, kümnendkohad)
√	juur	Arvu juure eraldamine. Kui vajutate uuesti nuppu "juur", arvutatakse tulemuse juur. Näiteks: juur 16-st = 4; juur 4-st = 2
x 2	ruudustamist	Arvu ruudustamiseks. Kui vajutate uuesti nuppu "ruudus", on tulemus ruudus Näiteks: ruut 2 = 4; ruut 4 = 16
1/x	murdosa	Väljund kümnendmurdudes. Lugeja on 1, nimetaja on sisestatud arv
%	protsenti	Arvu protsendi saamine. Töötamiseks peate sisestama: numbri, millest protsent arvutatakse, märk (pluss, miinus, jagamine, korrutamine), mitu protsenti numbrilisel kujul, nupp "%"
(	avatud sulg	Avatud sulg arvutusprioriteedi määramiseks. Suletud sulgud on kohustuslikud. Näide: (2+3)*2=10
)	suletud sulg	Suletud sulg arvutusprioriteedi määramiseks. Avatud sulgud on kohustuslikud
±	pluss miinus	Pöörab märki
=	võrdub	Kuvab lahenduse tulemuse. Ka kalkulaatori kohal, väljal “Lahendus”, kuvatakse vahearvutused ja tulemus.
←	märgi kustutamine	Eemaldab viimase tähemärgi
KOOS	lähtestada	Reset-nupp. Lähtestab kalkulaatori täielikult asendisse "0"

Interneti-kalkulaatori algoritm näidete abil

Lisand.

Looduslike täisarvude liitmine (5 + 7 = 12)

Täisarvude loomulike ja negatiivsete arvude liitmine ( 5 + (-2) = 3 )

Kümnendkohtade lisamine murdarvud { 0,3 + 5,2 = 5,5 }

Lahutamine.

Naturaalsete täisarvude lahutamine ( 7 - 5 = 2 )

Naturaalsete ja negatiivsete täisarvude lahutamine ( 5 -- ( -2) = 7 )

Kümnendmurdude lahutamine (6,5–1,2 = 4,3)

Korrutamine.

Naturaalsete täisarvude korrutis (3 * 7 = 21)

Naturaalsete ja negatiivsete täisarvude korrutis ( 5 * (-3) = -15 )

Kümnendmurdude korrutis ( 0,5 * 0,6 = 0,3 )

Jaoskond.

Looduslike täisarvude jagamine (27/3 = 9)

Looduslike ja negatiivsete täisarvude jagamine (15 / (-3) = -5)

Kümnendmurdude jagamine (6,2 / 2 = 3,1)

Arvu juure eraldamine.

Täisarvu juure eraldamine ( juur(9) = 3)

Kümnendmurdude juure eraldamine (juur(2,5) = 1,58)

Arvude summa juure eraldamine ( juur(56 + 25) = 9)

Arvude erinevuse juure eraldamine (juur (32–7) = 5)

Arvu ruudustamiseks.

Täisarvu ruut ( (3) 2 = 9 )

Kümnendkohtade ruudustamine ((2,2)2 = 4,84)

Teisendamine kümnendmurdudeks.

Arvu protsentide arvutamine

Suurendage arvu 230 15% ( 230 + 230 * 0,15 = 264,5 )

Vähendage arvu 510 35% (510–510 * 0,35 = 331,5)

18% arvust 140 on (140 * 0,18 = 25,2)

Selle jaotise eripäraks on juriidiliste ja majanduslike lähenemisviiside kombinatsioon maksuauditite läbiviimisel. Tõepoolest, maksurevisjonid on ühelt poolt reguleeritud õigusaktidega. Nende tulemused on juriidiliselt olulised ja võivad kaasa tuua õiguslikke tagajärgi isikule, kelle suhtes konkreetne kontroll läbi viiakse. Teisalt on nende sisuks ühel või teisel viisil (maksukontrollimeetodid või muud seadusega keelatud meetodid) tuvastada kontrollitava isiku finants- ja majandustegevuse kohta olemasolevate andmete vastavus, mille eesmärk on tekitada. tulu tegelikele andmetele. See protsess on võimatu ilma raamatupidamis- ja aruandlusandmeid (st puhtalt majanduslikku laadi teavet) auditeeritava isiku majandustegevuse kohta analüüsimata. Maksumaksja poolt tehtud ja maksuaruandluse vormis esitatud aritmeetilise arvutuse õigsuse kontrollimine, maksumäärade ja soodustuste kohaldamise seaduslikkuse kontrollimine, maksubaasi arvutamise õigsuse kontrollimine, samuti maksustamise kontrollimise meetodite rakendamine. auditeeritava raamatupidamisdokumentatsioon, raamatupidamisandmete usaldusväärsuse analüüsimine, erinevate maksuliikide arvestuse ja eelarvesse tasumise õigsus eeldab inspektori majandusalase ettevalmistuse vajalikkust.  

Venemaa maksuministeeriumi poolt maksuhaldurile seatud ülesande täielik täitmine on võimalik ainult esitatud raamatupidamis- ja maksuaruannete arvutipõhiseks töötlemiseks ühtsete meetodite loomise alusel, et tuvastada üksikute näitajate võimalikud ebakõlad ja tasuta maksuhaldurid. rutiinse töö vajadusest aritmeetiliste arvutuste õigsuse kontrollimiseks. Selliste meetodite väljatöötamist soodustab juba auditi käigus kontrollitavate dokumentide olemus, millel on ühtne vorm. Arvutimeetodite laialdane kasutuselevõtt maksuaruandluse kontrollimiseks on aga seotud üleminekuga aruandlusdokumentatsiooni esitamisele masinaga töödeldaval kandjal.  

Aritmeetilise arvutuse õigsuse kontrollimine  

Aritmeetiliste arvutuste õigsuse kontrollimine hõlmab kontrollimist aritmeetilised tehted- hindade korrutamine kogusega (maksustamine) ja kogusummade arvutamine.  

Raamatupidamisosakonda saabunud dokumente tuleb hoolikalt kontrollida. Kõigepealt on vaja tuvastada vajalike allkirjade ja muude üksikasjade olemasolu dokumendis, kustutamiste, plekkide ja täpsustamata ja kinnitamata paranduste puudumine ning aritmeetiliste arvutuste õigsus. Seejärel määravad nad kindlaks tehtud toimingute majandusliku otstarbekuse, nende toimingute vastavuse kavandatud eesmärkidele või hinnangulistele eraldistele, sõlmitud lepingute tingimused, kehtivad õigusaktid ja halduskorraldused ning tuvastavad väärjuhtimise faktid. Seega on dokumentide kontrollimine operatiivtöötajate tegevuse jälgimise vahend.  

Kõigepealt tuleb analüüsiks kogutud info kvaliteeti kontrollida. Kontrollimine toimub mõlemalt poolt. Esiteks kontrollib analüütik, kui täielikud on plaanid ja aruanded sisaldavad andmed ja kas need on õigesti vormindatud. Kontrollida tuleb aritmeetiliste arvutuste õigsust. Samuti peaks analüütik tähelepanu pöörama sellele, kas plaani või aruande jne erinevates tabelites toodud näitajad on järjepidevad. See kontroll on tehnilist laadi.  

Aritmeetiliste arvutuste õigsuse väljaselgitamiseks tehakse aritmeetiline kontroll ehk loenduskontroll (summade arvutamisel, arvutusprotseduuride õigsuse kontrollimisel, näiteks kaudkulude jaotuse arvutamisel, amortisatsiooni arvutamisel, juurdehindluste, allahindluste jms määramisel). ).  

Majandustegevuse analüüsist tulenevate järelduste õigsus sõltub suuresti analüüsiprotsessis kasutatava info usaldusväärsusest. Seetõttu peaks analüüsile eelnema hoolikas usaldusväärsus ja täpsus. Selleks viiakse läbi aruandluse loenduskontroll (kontrollitakse aritmeetiliste arvutuste õigsust, seost  

Raamatupidamisosakonda laekunud materjalide arvestuse sissetulevad ja väljaminevad dokumendid töödeldakse hoolikalt, kontrollitakse aritmeetiliste arvutuste õigsust, sooritatud tehingute olemust. Erilist tähelepanu makstakse koodi ja muude konkreetset äritehingut iseloomustavate näitajate täielikkuse ja õigsuse kontrollimise eest. Pärast seda rühmitatakse materjalide arvestuse esmased dokumendid ja saadud üldistatud andmed kantakse raamatupidamisregistritesse.  

Auditi käigus peaksite kontrollima töötasu arvestamise ja maksmise dokumentides olevate aritmeetiliste arvutuste õigsust. Arvutuste õigsust vertikaalselt kontrollides saab tuvastada (kuluna mahakandmine kinnipeetud maksude summade vähendamise ja eelarvesse kantavate summade vähendamise kaudu. Selline kuritarvitamine ei nõua raamatupidamisregistrite muutmist. Sarnane horisontaalse kontrolli abil saab tuvastada juhtumeid, kus mõnelt töötajalt on võlgade tasumiseks raha maha arvatud. Samuti võib tuvastada muid ebakõlasid, mis on tingitud töötajate hooletust tööülesannete täitmisest või kuritarvitamisest.  

Raamatupidamine võtab aruande vastu, kontrollides sellele lisatud esmaste dokumentide olemasolu, nende juriidilist registreerimist ja aritmeetiliste arvutuste õigsust. Järelevalvet teostatakse kaupade, toodete ja pakendite sissetulevate ja väljaminevate saldode, nende aruandeperioodi laekumise ja tarbimise, samuti koguse, käibe müügiliikide, valmistoodete näitamise õigsuse üle.  

Valikuliselt tuleks läbi viia a) palgaarvestuse kogusummade arvutamise, b) kassaraamatu pidamise, päevakäibe, kuvatud saldode jms õigsuse pisteline aritmeetiline kontroll nimed palgalehtedel koos muude dokumentidega (tööle lubamise avaldus jms), volikirja alusel raha väljastamise õigsus (volikirjade raamat) jne.  

Esiteks kontrollib analüütik, kui täielikud on plaanid ja aruanded sisaldavad andmed ja kas need on õigesti vormindatud. Kontrollida tuleb aritmeetiliste arvutuste õigsust, plaani või aruande erinevates tabelites antud näitajate kooskõla jms. See kontroll on tehnilist laadi.  

Kontroll jaguneb tehniliseks ja sisuliseks. Tehnilise kontrolli käigus tehakse kindlaks kasutatud allikate täielikkus, nende ülesehituse õigsus, vigade puudumine aritmeetilistes arvutustes ja tulemustes (arvutuskontroll), erinevates kaasatud allikates antud samade näitajate vastavus, näitajate kooskõla. mitmes aruandlusvormis korratud aruandeperioodi materjalide järjepidevus eelmise perioodi andmetega . Sisulise kontrolli käigus selgitatakse välja materjalide töökindlus ja vastavus objektiivne reaalsus. See saavutatakse mõningate infonäitajate loogilise kontrolli testimistehnikate, nende vastukontrollimise, raamatupidamise seisu kontrollimise, omavahel seotud näitajate järjepidevuse jms abil.  

Dokumentide aritmeetiline kontrollimine võimaldab kontrollida tulemuste aritmeetilisi arvutusi, kvantitatiivsete ja kulunäitajate kajastamise õigsust.  

DOKUMENTIDE KONTROLL - järelevalve ja kontrolli eesmärgil läbiviidav ekspertiis koosneb dokumentide vormilisest kontrollist (kõikide andmete täitmise õigsus, täpsustamata paranduste olemasolu, kustutamised, teksti- ja numbrilisandused, ametnike ja rahaliselt vastutavate isikute allkirjade õigsus ), aritmeetiline kontrollimine (arvestuste õigsus algdokumentides, raamatupidamisregistrites ja aruandevormides) ning dokumentide sisuline kontrollimine (majandustehingu seaduslikkus ja otstarbekus, tehingute raamatupidamises kajastamise õigsus ja kuluartiklitesse kaasamine).  

Lihtne käibe ja algsaldode aritmeetiline arvutus võimaldab kuvada deebetsaldo kogusummas 100 000 (700 000 + 100 000 - 800 000 - 800 000), kuid selle õigsuses pole kindlust, avame analüütilise  

Aritmeetiline kontroll - dokumendi andmete arvutuse õigsuse kontrollimine.  

Aritmeetika on loendamise, maksustamise, summeerimise ja muude aritmeetiliste toimingute õigsuse kontroll. Kehtestatud reegleid rikkudes vormistatud dokumendid tagastatakse täitjatele edasiseks menetlemiseks.  

Dokumentide aritmeetilisel kontrollimisel loendatakse arvutused, tehakse kindlaks dokumendis märgitud loodus- ja loodusväärtuste õigsus.

Alates iidsetest aegadest on numbritega töötamine jagatud kaheks erinevaid valdkondi: üks puudutas otseselt arvude omadusi, teine ​​oli seotud loendustehnikatega. "Aritmeetika" all mõeldakse paljudes riikides tavaliselt seda viimast valdkonda, mis on kahtlemata vanim matemaatika haru.

Ilmselt oli iidsete kalkulaatorite jaoks suurim raskus murrudega töötamine. Seda võib näha Ahmesi papüürusest (nimetatakse ka Rhindi papüüruseks), Vana-Egiptuse matemaatikateosest, mis pärineb umbes aastast 1650 eKr. Kõigil papüüruses mainitud murdudel, välja arvatud 2/3, on lugejad võrdsed 1-ga. Murdude käsitlemise raskus on märgatav ka Vana-Babüloonia kiilkirjatahvlite uurimisel. Nii iidsed egiptlased kui ka babüloonlased tegid ilmselt arvutusi mingisuguse aabitsa abil. Numbriteadus arenes iidsete kreeklaste seas märkimisväärselt, alates Pythagorasest, umbes 530 eKr. Mis puudutab arvutustehnoloogiat ennast, siis kreeklased tegid selles valdkonnas palju vähem.

Hilisemad roomlased, vastupidi, praktiliselt mingit panust arvuteadusesse ei andnud, kuid lähtudes kiiresti areneva tootmise ja kaubanduse vajadustest, täiustasid nad aabitsat kui loendusseadet. India aritmeetika päritolu kohta on väga vähe teada. Meieni on jõudnud vaid mõned hilisemad arvutehte teooriat ja praktikat käsitlevad tööd, mis on kirjutatud pärast seda, kui India positsioonisüsteemi täiustati nulli lisamisega. Millal see täpselt juhtus, ei tea me kindlalt, kuid just siis pandi alus meie kõige tavalisematele aritmeetilistele algoritmidele.

India arvusüsteemi ja esimesed aritmeetilised algoritmid laenasid araablased. Varaseima säilinud araabia keele aritmeetikaõpiku kirjutas al-Khwarizmi umbes 825. aastal. Selles kasutatakse laialdaselt ja selgitatakse India numbreid. See õpik tõlgiti hiljem ladina keelde ja sellel oli oluline mõju Lääne-Euroopale. Nime al-Khwarizmi moonutatud versioon on jõudnud meieni sõnast "algorism", mis segamisel kreeka sõnaga rütmihäired sai terminiks "algoritm".

Indoaraabia aritmeetika sai tuntuks aastal Lääne-Euroopa peamiselt tänu L. Fibonacci tööle Aabitsaraamat (Liber abaci, 1202). Abacisti meetod pakkus meie positsioonisüsteemi kasutamisega sarnaseid lihtsustusi, vähemalt liitmiseks ja korrutamiseks. Abasistid asendati algoritmidega, mis kasutasid nulli ja araabia jagamis- ja ekstraheerimismeetodit ruutjuur. Üks esimesi aritmeetikaõpikuid, mille autor on meile teadmata, ilmus 1478. aastal Trevisos (Itaalia), mis käsitles arvutusi kaubatehingute tegemisel. Sellest õpikust sai paljude hiljem ilmunud aritmeetikaõpikute eelkäija. Kuni 17. sajandi alguseni. Euroopas anti välja üle kolmesaja sellise õpiku. Aritmeetilised algoritmid on selle aja jooksul oluliselt paranenud. 16.–17. sajandil. Ilmusid aritmeetiliste toimingute sümbolid, nagu =, +, -, ґ, ё ja .

Aritmeetiliste arvutuste mehhaniseerimine.

Ühiskonna arenedes kasvas ka vajadus kiiremate ja täpsemate arvutuste järele. Sellest vajadusest sündis neli tähelepanuväärset leiutist: indoaraabia numbrid, kümnendkohad, logaritmid ja kaasaegsed arvutusmasinad.

Tegelikult olid kõige lihtsamad arvutusseadmed olemas juba enne tänapäevase aritmeetika tulekut, sest iidsetel aegadel tehti aritmeetilisi elementaarseid tehteid aabitsaga (Venemaal kasutati selleks aritmeetikat). Lihtsaimaks kaasaegseks arvutusseadmeks võib pidada slaidireeglit, mis koosneb kahest üksteise järel libisevast logaritmilisest skaalast, mis võimaldab skaala segmente liites ja lahutades korrutada ja jagada. B. Pascalit (1642) peetakse esimese mehaanilise lisamismasina leiutajaks. Hiljem samal sajandil leiutasid G. Leibniz (1671) Saksamaal ja S. Moreland (1673) Inglismaal masinad korrutamise sooritamiseks. Nendest masinatest said 20. sajandi lauaarvutite (aritmomeetrid) eelkäijad, mis võimaldasid kiiresti ja täpselt sooritada liitmis-, lahutamis-, korrutamis- ja jagamisoperatsioone.

1812. aastal hakkas inglise matemaatik C. Babbage looma matemaatikatabelite arvutamise masina kavandit. Kuigi töö projekti kallal jätkus pikki aastaid, jäi see pooleli. Sellegipoolest andis Babbage'i projekt tõuke kaasaegse elektroonika loomisele arvutid, mille esimesed näidised ilmusid umbes 1944. Nende masinate kiirus oli hämmastav: nende abiga suudeti minutite või tundidega lahendada probleeme, mis varem nõudsid pikki aastaid pidevat arvutamist, isegi masinate liitmise abil.

Positiivsed täisarvud.

Lase A Ja B– kaks lõplikku hulka, millel pole ühised elemendid, lase sel minna A sisaldab n elemendid ja B sisaldab m elemendid. Siis paljud S, mis koosneb komplektide kõigist elementidest A Ja B koos on lõplik hulk, mis sisaldab näiteks s elemendid. Näiteks kui A koosneb elementidest ( a, b, c), trobikond IN- elementidest ( x, y), seejärel komplekt S=A+B ja koosneb elementidest ( a, b, c, x, y). Number s helistas summa numbrid n Ja m ja kirjutame selle järgmiselt: s = n + m. Selles kirjes numbrid n Ja m kutsutakse tingimustele, summa leidmise operatsioon – lisamine. Toimingu sümbol "+" loetakse "plussiks". Trobikond P, mis koosneb kõigist järjestatud paaridest, mille hulgast valitakse esimene element A, ja teine ​​on komplektist B, on lõplik hulk, mis sisaldab näiteks lk elemendid. Näiteks kui, nagu varem, A = {a, b, c}, B = {x, y), See P=AґB = {(a,x), (a,y), (b,x), (b,y), (c,x), (c,y)). Number lk helistas tööd numbrid a Ja b ja kirjutame selle järgmiselt: p = aґb või p = a × b. Numbrid a Ja b töös nimetatakse kordajad, toote leidmise toiming – korrutamine. Toimingu sümbol ґ loetakse "korrutatuna".

Võib näidata, et nendest definitsioonidest tulenevad järgmised täisarvude liitmise ja korrutamise põhiseadused:

– kommutatiivse liitmise seadus: a + b = b + a;

- assotsiatiivse liitmise seadus: a + (b + c) = (a + b) + c;

– kommutatiivse korrutamise seadus: aґb = bґa;

– korrutamise assotsiatiivsuse seadus: aґ(bґc) = (aґb)ґc;

- jaotusseadus: aґ(b + c)= (aґb) + (aґc).

Kui a Ja b– kaks positiivset täisarvu ja kui on positiivne täisarv c, selline, et a = b + c, siis me ütleme seda a rohkem b(see on kirjutatud nii: a>b), või mis b vähem a(see on kirjutatud nii: b). Mis tahes kahe numbri jaoks a Ja büks kolmest suhtest kehtib: kas a = b, või a>b, või a.

Esimesed kaks põhiseadust ütlevad, et kahe või rohkem terminid ei sõltu sellest, kuidas need on rühmitatud ja millises järjekorras need on paigutatud. Samamoodi järeldub kolmandast ja neljandast seadusest, et kahe või enama teguri korrutis ei sõltu sellest, kuidas tegurid on rühmitatud või milline on nende järjekord. Neid fakte tuntakse liitmise ja korrutamise "kommutatiivsuse ja assotsiatiivsuse üldistatud seadustena". Neist järeldub, et mitme liikme summa või mitme teguri korrutise kirjutamisel ei ole terminite ja tegurite järjekord oluline ning sulud võib ära jätta.

Eelkõige korduv kogus a + a + ... + a alates n mõisted on võrdne nґa. Korduv töö aґaґ ... ґa alates n Leppisime kokku, et tähistame tegureid a n; number a helistas alus ja number n – korduv toote indikaator, korduv töö ise – n-s võimsus numbrid a. Need määratlused võimaldavad meil kehtestada eksponentide jaoks järgmised põhiseadused:

Veel üks oluline määratluste tagajärg: aґ1 = a mis tahes täisarvu jaoks a, ja 1 on ainus täisarv, millel on see omadus. Kutsutakse numbrit 1 üksus.

Täisarvude jagajad.

Kui a, b, c– täisarvud ja aґb = c, See a Ja b on arvu jagajad c. Sest aґ1 = a mis tahes täisarvu jaoks a, järeldame, et 1 on iga täisarvu jagaja ja iga täisarv on iseenda jagaja. Mis tahes täisarvu jagaja a, erineb 1 või a, sai nime õige jagaja numbrid a.

Kutsutakse iga täisarv peale 1 ja millel pole oma jagajaid algarv. (Algusarvu näiteks on arv 7.) Kutsutakse täisarvu, millel on oma jagajad liitarv. (Näiteks arv 6 on liitarvud, kuna 2 jagab 6.) Eeltoodust järeldub, et kõigi täisarvude hulk jaguneb kolme klassi: üks, algarvud ja liitarvud.

Arvuteoorias on väga oluline teoreem, mis ütleb, et "mis tahes täisarvu saab esitada algarvude korrutisena ja kuni tegurite järjestuseni on selline esitus ainulaadne". See teoreem on tuntud kui "aritmeetika põhiteoreem". See näitab, et algarvud toimivad "ehitusplokkidena", millest saab korrutamise abil konstrueerida kõik täisarvud peale ühe.

Kui on antud teatud hulk täisarvusid, siis nimetatakse suurimat täisarvu, mis on iga selles komplektis sisalduva arvu jagaja suurim ühine jagaja antud arvude komplekt; nimetatakse väikseimat täisarvu, mille jagaja on antud hulga iga arv vähim ühiskordne antud numbrite komplekt. Jah, suurim ühine jagaja arvud 12, 18 ja 30 on 6. Samade arvude väikseim ühiskordne on 180. Kui kahe täisarvu suurim ühisjagaja a Ja b on võrdne 1-ga, siis arvud a Ja b kutsutakse vastastikku prime. Näiteks arvud 8 ja 9 on suhteliselt algarvud, kuigi kumbki neist pole algarvud.

Positiivsed ratsionaalsed arvud.

Nagu nägime, on täisarvud abstraktsioonid, mis tulenevad objektide lõplike kogumite loendamise protsessist. Küll aga vajadustele Igapäevane elu täisarvudest ei piisa. Näiteks lauaplaadi pikkuse mõõtmisel võib vastuvõetud mõõtühik olla liiga suur ega mahu mõõdetud pikkusesse täisarvu. Sellise raskusega toimetulemiseks kasutades nn. murdosaline(st sõna otseses mõttes "katki") numbrid, võetakse kasutusele väiksem pikkusühik. Kui d– mõni täisarv, siis murdühik 1/ d määrab vara dґ1/d= 1 ja kui n on siis täisarv nґ1/d kirjutame selle lihtsalt nii n/d. Neid uusi numbreid nimetatakse "tavalisteks" või "lihtmurrudeks". Täisarv n helistas lugeja murrud ja arvud d – nimetaja. Nimetaja näitab, mitmeks võrdseks osaks osak jagati ja lugeja näitab, kui palju selliseid aktsiaid võeti. Kui n d, murdosa nimetatakse õigeks; kui n = d või n>d, siis on see vale. Täisarve käsitletakse murdudena, mille nimetaja on 1; näiteks 2 = 2/1.

Kuna murdosa n/d võib tõlgendada jagamise tulemusena nühikut per d võrdsed osad ja võttes ühe neist osadest, võib murdosa pidada kahe täisarvu "jagatiseks" või "suhteks" n Ja d ja mõista murdujoont jagamismärgina. Seetõttu on murrud (sh täisarvud nagu erijuhtum murrud) nimetatakse tavaliselt ratsionaalne numbrid (ladina keelest suhe - suhe).

Kaks murdosa n/d Ja ( kґn)/(kґd), Kus k– täisarv, võib lugeda võrdseks; näiteks 4/6 = 2/3. (Siin n = 2, d= 3 ja k= 2.) Seda nimetatakse "murru põhiomaduseks": ühegi murru väärtus ei muutu, kui murru lugeja ja nimetaja korrutatakse (või jagatakse) sama arvuga. Sellest järeldub, et iga murdosa saab kirjutada kahe suhteliselt algarvu suhtena.

Eespool pakutud murru tõlgendusest järeldub ka, et kahe murru summana n/d Ja m/d millel on sama nimetaja, peaksite võtma murdosa ( n + m)/d. Murdude lisamisel koos erinevad nimetajad esmalt tuleb need teisendada, kasutades murdosa põhiomadust, sama (ühise) nimetajaga samaväärseteks murdudeks. Näiteks, n 1 /d 1 = (n 1 H d 2)/(d 1 H d 2) ja n 2 /d 2 = (n 2 H d 1)/(d 1 H d 2), kust

Võiks teha teisiti ja leida esmalt näiteks vähim ühiskordne m, nimetajad d 1 ja d 2. Siis on täisarvud k 1 ja k 2, nii et m = k 1 H d 1 = k 2 H d 2 ja saame:

Selle meetodi korral number m tavaliselt kutsutakse väikseim ühisnimetaja kaks murdosa. Need kaks tulemust on samaväärsed murdude võrdsuse definitsiooniga.

Kahe fraktsiooni korrutis n 1 /d 1 ja n 2 /d 2 võetakse võrdseks murdosaga ( n 1 H n 2)/(d 1 H d 2).

Kaheksa ülaltoodud põhiseadust täisarvude kohta kehtivad ka siis, kui all a, b, c saab aru suvalistest positiivsetest ratsionaalarvudest. Samuti, kui on antud kaks positiivset ratsionaalarvu n 1 /d 1 ja n 2 /d 2, siis me ütleme seda n 1 /d 1 > n 2 /d 2 siis ja ainult siis n 1 H d 2 > n 2 H d 1 .

Positiivsed reaalarvud.

Numbrite kasutamine joonelõikude pikkuse mõõtmiseks viitab sellele, et mis tahes kahe antud joonelõigu puhul AB Ja CD mingi segment peab olema UV, võib-olla väga väike, mida saab igas segmendis täisarv kordi edasi lükata AB Ja CD. Kui selline ühine pikkusühik UV on olemas, siis segmendid AB Ja CD nimetatakse proportsionaalseteks. Juba iidsetel aegadel teadsid pütagoorlased võrreldamatute sirgete segmentide olemasolust. Klassikaline näide on ruudu külg ja selle diagonaal. Kui võtta pikkusühikuks ruudu külg, siis pole olemas ratsionaalset arvu, mis võiks olla selle ruudu diagonaali mõõt. Saate seda kontrollida vasturääkimisega. Tõepoolest, oletame, et ratsionaalne arv n/d on diagonaali mõõt. Aga siis segment 1/ d võiks edasi lükata n kord diagonaalselt ja d korda väljaku küljel, hoolimata sellest, et diagonaal ja ruudu külg on võrreldamatud. Järelikult, olenemata pikkuseühiku valikust, ei ole kõigil joonelõikudel ratsionaalsete arvudega väljendatavaid pikkusi. Selleks, et kõiki joonelõike saaks mõõta mingi pikkuseühikuga, tuleb arvusüsteemi laiendada nii, et see hõlmaks numbreid, mis esindavad valitud pikkuseühikuga mitteproportsionaalseid joonelõikude pikkuste mõõtmise tulemusi. Neid uusi numbreid nimetatakse positiivseteks irratsionaalne numbrid. Viimased koos positiivsete ratsionaalarvudega moodustavad laiema arvude hulga, mille elemente nimetatakse positiivseteks kehtiv numbrid.

Kui VÕI– punktist lähtuv horisontaalne pooljoon O, U- osutage VÕI, erineb päritolust O, Ja OU valitakse ühiklõiguks, seejärel iga punkt P pooljoonel VÕI võib seostada ühe positiivse reaalarvuga lk, mis väljendab segmendi pikkust OP. Sel viisil loome positiivsete reaalarvude ja muude punktide vahel üks-ühele vastavuse O, pooljoonel VÕI. Kui lk Ja q– kaks positiivset reaalarvu, mis vastavad punktidele P Ja K peal VÕI, siis kirjutame p>q,p = q või p sõltuvalt punkti asukohast P punktist paremale K peal VÕI, langeb kokku K või asub sellest vasakul K.

Positiivsete irratsionaalarvude kasutuselevõtt laiendas oluliselt aritmeetika rakendusala. Näiteks kui a– mis tahes positiivne reaalarv ja n on suvaline täisarv, siis on ainult üks positiivne reaalarv b, selline, et bn=a. See number b nimetatakse juureks n aste a ja see on kirjutatud kujul , kus sümbol selle kontuuris sarnaneb Ladina täht r, millega algab ladina sõna radix(juur) ja seda nimetatakse radikaalne. Seda saab näidata

Neid seoseid tuntakse radikaalide põhiomadustena.

Praktilisest vaatenurgast on väga oluline, et iga positiivset irratsionaalarvu saaks positiivse ratsionaalarvuga nii täpselt kui soovitakse lähendada. See tähendab, et kui r on positiivne irratsionaalne arv ja e on suvaliselt väike positiivne ratsionaalarv, siis leiame positiivsed ratsionaalarvud a Ja b, selline, et a ja b. Näiteks arv on irratsionaalne. Kui valite e= 0,01, siis ; kui valid e= 0,001, siis .

Indoaraabia numbrisüsteem.

Aritmeetika algoritmid või arvutusskeemid sõltuvad kasutatavast arvusüsteemist. On üsna ilmne, et näiteks rooma arvusüsteemi jaoks leiutatud arvutusmeetodid võivad erineda praeguse indo-araabia süsteemi jaoks leiutatud algoritmidest. Pealegi võivad mõned arvusüsteemid olla aritmeetiliste algoritmide koostamiseks täiesti sobimatud. Ajaloolised andmed näitavad, et enne indo-araabia numbrite tähistussüsteemi kasutuselevõttu polnud üldse algoritme, mis võimaldasid arvude liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise pliiatsi ja paberi abil piisavalt lihtsaks. Indoaraabia süsteemi eksisteerimise pikkade aastate jooksul töötati välja arvukalt spetsiaalselt sellele kohandatud algoritmilisi protseduure, nii et meie kaasaegsed algoritmid on kogu arendus- ja täiustamisajastu tulemus.

Hindu-araabia numbrisüsteemis on iga numbrit tähistav kirje kümnest põhisümbolist koosnev komplekt 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, mida nimetatakse numbriteks. Näiteks hindu-araabia tähistus numbrile nelisada kakskümmend kolm on numbrite jada 423 kujul. Numbri tähendus hindu-araabiakeelses numbris on määratud selle koha või asukoha järgi, numbrite jadas, mis selle tähise moodustavad. Meie toodud näites tähendab number 4 neljasada, number 2 kaht kümmet ja number 3 kolme ühikut. Väga oluline roll mängitakse numbrit 0 (null), mida kasutatakse tühjade kohtade täitmiseks; näiteks kirje 403 tähendab arvu nelisada kolm, s.o. kümned on puudu. Kui a, b, c, d, e tähendab üksikuid numbreid, siis indoaraabia süsteemis abcde tähendab täisarvu lühendit

Kuna iga täisarv lubab vormis ainulaadset esitust

Kus n on täisarv ja a 0 , a 1 ,..., a n- arvud, järeldame, et antud arvusüsteemis saab iga täisarvu esitada ainulaadsel viisil.

Hindu-araabia numbrite süsteem võimaldab teil lühidalt kirjutada mitte ainult täisarvud, vaid ka kõik positiivsed reaalarvud. Tutvustame tähistust 10 - n 1/10 eest n, Kus n– suvaline positiivne täisarv. Seejärel, nagu võib näidata, saab vormil esitada mis tahes positiivse reaalarvu ja üheselt

Seda kirjet saab tihendada, kirjutades selle numbrijadana

kus on märk, mida nimetatakse kümnendkohaks, vahel a 0 ja b 1 näitab, kust algavad 10 negatiivsed astmed (mõnes riigis kasutatakse selleks punkti). Seda positiivse reaalarvu kirjutamise meetodit nimetatakse kümnendlaiendiks ja selle kümnendlaiendi kujul esitatud murdosa on kümnend.

Saab näidata, et positiivse ratsionaalarvu puhul kümnendlaiend pärast koma kas katkeb (näiteks 7/4 = 1,75) või kordub (näiteks 6577/1980 = 3,32171717...). Kui arv on irratsionaalne, siis selle kümnendlaiend ei katke ega kordu. Kui kümnendlaiend irratsionaalne arv mõnes kümnendkohas ära lõigatud, saame ratsionaalse lähenduse. Mida kaugemal koma paremal pool asub märk, millega kümnendlaienduse lõpetame, seda parem on ratsionaalne lähendus (mida väiksem on viga).

Hindu-araabia süsteemis kirjutatakse arv kümne põhinumbri abil, mille tähendus sõltub nende kohast ehk asukohast numbri tähistuses (numbri väärtus võrdub numbri ja mõne numbri korrutisega võimsus 10). Seetõttu nimetatakse sellist süsteemi kümnendkohasüsteemiks. Positsioonilised arvusüsteemid on aritmeetiliste algoritmide koostamiseks väga mugavad ja just seetõttu on indoaraabia arvusüsteem maailmas nii laialt levinud. kaasaegne maailm, kuigi sisse erinevad riigidÜksikute numbrite tähistamiseks võib kasutada erinevaid sümboleid.

Numbrite nimed.

Indo-araabia süsteemi numbrite nimetused põhinevad teatud reeglid. Levinuim viis numbrite nimetamiseks on see, et number jagatakse esmalt kolmekohalisteks rühmadeks paremalt vasakule. Neid rühmi nimetatakse perioodideks. Esimest perioodi nimetatakse "ühikute perioodiks", teist - "tuhandete" perioodiks, kolmandat - "miljonite" perioodiks jne, nagu on näidatud järgmises näites:

Iga punkt loetakse nii, nagu oleks see kolmekohaline arv. Näiteks perioodi 962 loetakse kui "üheksasada kuuskümmend kaks". Mitmest punktist koosneva arvu lugemiseks loetakse iga perioodi numbrite rühm, alustades kõige vasakpoolsemast ja jätkates siis järjekorras vasakult paremale; Igale rühmale järgneb perioodi nimi. Näiteks ülaltoodud arv kõlab "seitsekümmend kolm triljonit kaheksasada nelikümmend kaks miljardit üheksasada kuuskümmend kaks miljonit viissada kolmkümmend kaks tuhat seitsesada üheksakümmend kaheksa". Pange tähele, et täisarvude lugemisel ja kirjutamisel sidesõna "ja" tavaliselt ei kasutata. Üksuse kategooria nimi on välja jäetud. Triljonitele järgnevad kvadrillionid, kvintiljonid, sekstiljonid, septiljonid, oktiljonid, mittealljonid ja detsiljonid. Iga perioodi väärtus on 1000 korda suurem kui eelmisel.

Hindu-araabia süsteemis on komakohast paremal olevate numbrite lugemisel tavaks järgida järgmist protseduuri. Siin nimetatakse positsioone (vasakult paremale): "kümnendikud", "sajandikud", "tuhanded", "kümnetuhanded" jne. Korralik koma loetakse nii, nagu moodustaksid kümnendkoha järel olevad numbrid täisarvu, millele järgneb paremal asuva viimase numbri asukoha nimi. Näiteks 0,752 loetakse kui "seitsesada viiskümmend kaks tuhandikku". Segatud kümnendkoha lugemiseks kombineeritakse täisarvude nimetamise reegel õigete kümnendkohtade nimetamise reegliga. Näiteks 632.752 on "kuussada kolmkümmend kaks koma seitsesada viiskümmend kaks tuhandikku". Pange tähele sõna "täisarvud" enne koma. IN viimased aastad kümnendarvud järjest lihtsamalt lugeda, näiteks 3,782 kui "kolm koma seitsesada kaheksakümmend kaks".

Lisand.

Nüüd oleme valmis analüüsima aritmeetilisi algoritme, mida algkoolis õpetatakse. Need algoritmid käsitlevad tehteid positiivsete reaalarvudega, mis on kirjutatud kümnendlaiendustena. Eeldame, et elementaarsed liitmistabelid ja korrutustabelid on pähe õpitud.

Mõelge liitmisprobleemile: arvutage 279,8 + 5,632 + 27,54:

Esmalt liidame arvu 10 samad astmed. Arv 19Х10 –1 jagatakse vastavalt jaotusseadusele 9Х10 –1 ja 10Х10 –1 = 1. Liigutame ühiku vasakule ja liidame selle 21-le, mis annab 22. Omakorda jagame arvu 22 2-ks ja 20 = 2H10. Nihutame arvu 2H10 vasakule ja lisame selle 9H10-le, mis annab 11H10. Lõpuks jagame 11H10 1H10 ja 10H10 = 1H10 2, liigutame 1H10 2 vasakule ja lisame selle 2H10 2-le, mis annab 3H10 2. Lõplikuks kogusummaks selgub 312 972.

Selge on see, et tehtud arvutusi saab esitada ülevaatlikumal kujul, kasutades seda samas koolis õpetatava liitmisalgoritmi näitena. Selleks kirjutame kõik kolm numbrit üksteise alla nii, et kümnendkohad oleksid samal vertikaalil:

Paremalt alustades leiame, et koefitsientide summa 10 –3 juures on võrdne 2-ga, mille kirjutame vastavasse veergu rea alla. Koefitsientide summa 10 –2 juures võrdub 7-ga, mis on samuti kirjas vastavasse veergu rea alla. Koefitsientide summa 10 –1 korral on 19. Kirjutame rea alla arvu 9 ja liigume 1 eelmisesse veergu, kus on ühed. Seda ühikut arvesse võttes osutub selle veeru koefitsiendi summaks 22. Kirjutame rea alla ühe kaks ja teise kanname eelmisesse veergu, kus on kümned. Võttes arvesse ülekantud kahte, on selle veeru koefitsientide summa võrdne 11-ga. Ühe ühiku kirjutame rea alla ja teise kanname eelmisesse veergu, kus on sadu. Selle veeru koefitsientide summa osutub võrdseks 3-ga, mille kirjutame rea alla. Nõutav summa on 312 972.

Lahutamine.

Lahutamine on liitmise pöördväärtus. Kui kolm positiivset reaalarvu a, b, c omavahel ühendatud nii, et a+b=c, siis kirjutame a = c – b, kus sümbol "-" loetakse "miinus". Numbri leidmine a teadaolevate numbrite järgi b Ja c nimetatakse "lahutamiseks". Number c kutsus minuend, number b– „lahutav” ja arv a- "erinevus". Kuna tegemist on positiivsete reaalarvudega, peab tingimus olema täidetud c > b.

Vaatame lahutamise näidet: arvuta 453,87 – 82,94.

Kõigepealt laenates vajadusel vasakult ühikut, teisendame minuendi lagunemise nii, et selle koefitsient mis tahes astme 10 korral on suurem kui sama võimsuse alamosa koefitsient. Alates 4H10 2 laename 1H10 2 = 10H10, lisades viimane number laienemise järgmisele liikmele, mis annab 15H10; samamoodi laename 1Х10 0 või 10Ч10 –1 ja lisame selle arvu laienduse eelviimasele tähtajale. Pärast seda saame võimaluse lahutada arvu 10 samade astmete koefitsiendid ja hõlpsalt leida vahe 370,93.

Lahutustehte salvestust saab esitada tihendatumal kujul ja saate näite koolis õpitud lahutamisalgoritmi kohta. Kirjutame alamjaotuse minuendi alla nii, et nende kümnendkohad oleksid samal vertikaalil. Paremalt alustades leiame, et koefitsientide erinevus 10 –2 juures võrdub 3-ga ja kirjutame selle arvu samasse veergu rea alla. Kuna järgmises vasakpoolses veerus ei saa me 8-st lahutada 9, siis muudame minuendi ühikupositsioonis oleva kolme kaheks ja käsitleme kümnendiku positsioonis olevat arvu 8 kui 18. Pärast 18-st 9 lahutamist saame 9 jne. ., st .

Korrutamine.

Vaatleme esmalt nn "lühike" korrutamine – positiivse reaalarvu korrutamine ühega ühekohalised numbrid 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, näiteks 32.67ґ4. Kasutades distributiivsuse seadust, samuti korrutamise assotsiatiivsuse ja kommutatiivsuse seadusi, saame võimaluse tegurid osadeks jaotada ja mugavamalt järjestada. Näiteks,

Neid arvutusi saab kirjutada kompaktsemalt järgmisel viisil:

Tihendusprotsessi saab jätkata. Kirjutame teguri 4 kordaja 32,67 alla, nagu näidatud:

Kuna 4ґ7 = 28, kirjutame rea alla arvu 8 ja kordaja numbri 6 kohale asetame 2. Järgmiseks 4ґ6 = 24, mis, võttes arvesse parempoolsest veerust ülekantavat, annab 26. Rea alla kirjutame numbri 6 ja kordaja numbri 2 kohale 2. Siis saame 4ґ2 = 8, mis koos ülekantud kahega annab 10. Märkame rea alla arvu 0 ja kordaja numbri 3 kohal. Lõpuks 4ґ3 = 12, mis ülekantud ühikut arvesse võttes annab 13; Rea alla on kirjutatud number 13. Pannes koma, saame vastuse: korrutis on 130,68.

"Pikk" korrutamine on lihtsalt "lühike" korrutamine, mida korratakse ikka ja jälle. Korrutage näiteks arv 32,67 arvuga 72,4. Asetame kordaja kordaja alla, nagu näidatud:

Tehes lühikest korrutamist paremalt vasakule, saame esimese jagatise 13,068, teise 65,34 ja kolmanda 2286,9. Jaotusseaduse järgi on korrutis, mida tuleb leida, nende osakorrutite summa ehk 2365.308. Kirjalikul märgistusel jäetakse osaproduktide koma ära, kuid need peavad olema korrektselt "sammude kaupa" järjestatud, et seejärel terviktoote saamiseks summeerida. Korrutise kümnendkohtade arv võrdub kordaja ja kordaja kümnendkohtade arvu summaga.

Jaoskond.

Jagamine on korrutamise pöördtehte; nii nagu korrutamine asendab korduvat liitmist, asendab jagamine korduvat lahutamist. Mõelge näiteks küsimusele: mitu korda sisaldub 3 14-s? Korrates 14-st 3 lahutamist, leiame, et 3 “siseneb” neli korda 14-sse ja arv 2 “jääb”, s.t.

Helistatakse numbrile 14 jagatav, number 3 – jagaja, number 4 – privaatne ja number 2 - Meeldetuletus. Saadud seost saab sõnadega väljendada järgmiselt:

dividend = (jagaja ґ jagatis) + jääk,

0 Ј jääk

Jagatise ja jäägi leidmine 1400 jagatud 3-ga 3 korduva lahutamise teel nõuaks palju aega ja vaeva. Protseduuri saaks oluliselt kiirendada, kui lahutame 1400-st esmalt 300, seejärel jäägist 30 ja lõpuks 3. Pärast 300 neljakordset lahutamist saaksime jäägi 200; pärast kuuekordset 200-st 30 lahutamist oleks jääk 20; lõpuks, pärast kuuekordset 20-st 3 lahutamist, saame jäägi 2. Seetõttu

Leitav jagatis ja jääk on vastavalt 466 ja 2 Arvutused saab korraldada ja seejärel järjestikku tihendada järgmiselt.

Ülaltoodud põhjendus kehtib juhul, kui dividend ja jagaja on mis tahes positiivsed reaalarvud, mis on väljendatud kümnendsüsteemis. Illustreerime seda 817.65е23.7 näitega.

Esiteks tuleb jagaja teisendada täisarvuks, kasutades koma nihet. Sel juhul nihutatakse dividendi koma sama arvu komakohti. Jagaja ja dividend on paigutatud järgmiselt:

Teeme kindlaks, mitu korda jagaja sisaldub kolmekohalises numbris 817, mis on esimene osa dividendist, mille jagame jagajaga. Kuna see sisaldub hinnanguliselt kolm korda, korrutame 237 3-ga ja lahutame 817-st korrutise 711. Erinevus 106 on väiksem kui jagaja. See tähendab, et number 237 ilmub proovidividendis mitte rohkem kui kolm korda. Number 3, mis on kirjutatud allpool oleva numbri 2 jagaja alla horisontaaljoon, on jagatise esimene number, mis tuleb leida. Pärast dividendi järgmise numbri allapoole liikumist saame järgmise proovidividendi 1066 ja peame määrama, mitu korda jagaja 237 mahub arvu 1066; Ütleme 4 korda. Korrutame jagaja 4-ga ja saame korrutise 948, mille lahutame 1066-st; erinevus osutub 118, mis tähendab, et jagatise järgmine number on 4. Seejärel lahutame dividendi järgmise numbri ja kordame kogu ülalkirjeldatud protseduuri. Seekord selgub, et proovidividend 1185 jagub täpselt (ilma jäägita) 237-ga (jaotuse jääk osutub lõpuks 0-ks). Eraldades jagatis komaga sama arvu numbreid, kui need on dividendis eraldatud (pidage meeles, et me nihutasime varem koma), saame vastuse: jagatis võrdub 34,5.

Murrud.

Arvutused murdarvudega hõlmavad liitmist, lahutamist, korrutamist ja jagamist, samuti keerukate murdude lihtsustamist.

Sama nimetajaga murdude lisamine toimub lugejate liitmise teel, näiteks

1/16 + 5/16 + 7/16 = (1 + 5 + 7)/16 = 13/16.

Kui murdudel on erinevad nimetajad, siis tuleb need esmalt taandada ühiseks nimetajaks, s.t. teisendada samade nimetajatega murdudeks. Selleks leiame väikseima ühisnimetaja ( väikseim number, iga nimetatud nimetaja kordne). Näiteks 2/3, 1/6 ja 3/5 liitmisel on väikseim ühisnimetaja 30:

Kokkuvõtteks saame

20/30 + 5/30 + 18/30 = 43/30.

Murdude lahutamine toimub samamoodi nagu nende liitmine. Kui nimetajad on samad, taandub lahutamine lugejate lahutamisele: 10/13 – 2/13 = 8/13; Kui murdudel on erinevad nimetajad, peate need esmalt viima ühise nimetaja juurde:

7/8 – 3/4 = 7/8 – 6/8 = (7 – 6)/8 = 1/8.

Murdude korrutamisel korrutatakse nende lugejad ja nimetajad eraldi. Näiteks,

5/6ґ4/9 = 20/54 = 10/27.

Ühe murru teisega jagamiseks tuleb esimene murd (jagada) korrutada teise murdosaga (jagaja) (pöördmurru saamiseks tuleb vahetada algmurru lugeja ja nimetaja), s.t. ( n 1 /d 1)е( n 2 /d 2) = (n 1 H d 2)/(d 1 H n 2). Näiteks,

3/4е7/8 = 3/4ґ8/7 = 24/28 = 6/7.

Segaarv on täisarvu ja murru summa (või vahe), näiteks 4 + 2/3 või 10 – 1/8. Kuna täisarvu võib pidada murdarvuks, mille nimetaja on 1, pole segaarv midagi muud kui kahe murru summa (või erinevus). Näiteks,

4 + 2/3 = 4/1 + 2/3 = 12/3 + 2/3 = 14/3.

Kompleksmurd on selline, mille lugejas, nimetajas või lugejas ja nimetajas on murd. Selle murdosa saab teisendada lihtsaks:

Ruutjuur.

Kui n r, selline, et r 2 = n. Number r helistas ruutjuur alates n ja on määratud . Koolis õpetatakse ruutjuuri eraldama kahel viisil.

Esimene meetod on populaarsem, kuna seda on lihtsam ja lihtsam rakendada; seda meetodit kasutavaid arvutusi saab hõlpsasti rakendada lauakalkulaatoris ja neid saab üldistada kuupjuurte ja kõrgemate juurte puhul. Meetod põhineb sellel, et kui r 1 – juurele lähenemine, siis r 2 = (1/2)(r 1 + n/r 1) – juure täpsem lähendus.

Illustreerime protseduuri, arvutades ruutjuure mõnest arvust vahemikus 1 kuni 100, ütleme arvu 40. Kuna 6 2 = 36 ja 7 2 = 49, järeldame, et 6 on täisarvudes parim lähendus. Täpsem lähendus 6-st saadakse järgmiselt. 40 jagamine 6-ga annab 6,6 (ümardatuna esimese kümnendkohani) isegi kümnendike arvud). Teise lähenduse saamiseks arvutame kahe arvu 6 ja 6,6 keskmise ning saame 6,3. Protseduuri kordades saame veelgi parema ligikaudse hinnangu. Jagades 40 6,3-ga, leiame arvu 6,350 ja kolmas lähendus on (1/2)(6,3 + 6,350) = 6,325. Veel üks kordus annab 40е6,325 = 6,3241106 ja neljas lähendus on (1/2) (6,325 + 6,3241106) = 6,3245553. Protsess võib jätkuda nii kaua, kui soovite. Üldiselt võib iga järgnev lähendus sisaldada kaks korda rohkem numbreid kui eelmine. Nii et meie näites, kuna esimene lähendus, täisarv 6, sisaldab ainult ühte numbrit, saame teises lähenduses jätta kaks numbrit, kolmandas neli ja neljandas kaheksa.

Kui number n ei asu 1 ja 100 vahel, siis peate esmalt jagama (või korrutama) n mingi astmeni 100, ütleme, et k-th, nii et korrutis on vahemikus 1 kuni 100. Siis on korrutise ruutjuur vahemikus 1 kuni 10 ja pärast selle eraldamist korrutame (või jagame) saadud arvu 10-ga k, leidke vajalik ruutjuur. Näiteks kui n= 400 000, siis kõigepealt meie jagama 400 000 korda 100 2 ja saame arvu 40, mis jääb vahemikku 1 kuni 100. Nagu ülal näidatud, on see ligikaudu võrdne 6,3245553-ga. Korrutamine see arv 10 2 võrra, saame 632.45553 ligikaudseks väärtuseks ja arv 0.63245553 on ligikaudne väärtus.

Teine ülalmainitud protseduuridest põhineb algebralisel identiteedil ( a + b) 2 = a 2 + (2a + b)b. Igal sammul võetakse juba saadud ruutjuure osa kui a, ja see osa, mis tuleb veel kindlaks teha, on mõeldud b.

Kuubijuur.

Positiivse reaalarvu kuupjuure eraldamiseks on olemas algoritmid, mis on sarnased ruutjuure eraldamise algoritmidega. Näiteks numbri kuupjuure leidmiseks n, esmalt lähendame juurt mõne arvu võrra r 1 . Seejärel koostame täpsema lähenduse r 2 = (1/3)(2r 1 + n/r 1 2), mis omakorda annab teed veelgi täpsemale lähendusele r 3 = (1/3)(2r 2 + n/r 2 2) jne. Protseduur juure üha täpsemate lähenduste konstrueerimiseks võib kesta lõputult.

Vaatleme näiteks arvu kuupjuure arvutamist vahemikus 1 kuni 1000, ütleme arvu 200. Kuna 5 3 = 125 ja 6 3 = 216, järeldame, et 6 on kuupjuurele 200 lähim täisarv. Seetõttu valime r 1 = 6 ja arvutage järjestikku r 2 = 5,9, r 3 = 5,85, r 4 = 5,8480. Igas lähenduses, alates kolmandast, on lubatud säilitada märkide arv, mis on ühe võrra väiksem kui kahekordne märkide arv eelmises lähenduses. Kui arv, millest soovite kuupjuure eraldada, ei ole vahemikus 1 kuni 1000, peate selle esmalt jagama (või korrutama) mõnega, näiteks k th, arvu 1000 võimsus ja seeläbi viia see soovitud numbrivahemikku. Uue arvu kuupjuur on vahemikus 1 kuni 10. Pärast selle arvutamist tuleb see korrutada (või jagada) 10-ga k algnumbri kuupjuure saamiseks.

Teine, keerulisem, positiivse reaalarvu kuupjuure leidmise algoritm põhineb algebralise identiteedi ( a + b) 3 = a 3 + (3a 2 + 3ab + b 2)b. Praegu on kuupjuurte, aga ka kõrgema astme juurte eraldamise algoritmid Keskkool ei uurita, sest neid on lihtsam leida logaritmide või algebraliste meetodite abil.

Eukleidese algoritm.

See algoritm esitati aastal Algused Eukleides (umbes 300 eKr). Seda kasutatakse kahe täisarvu suurima ühisjagaja arvutamiseks. Positiivsete arvude puhul on see sõnastatud protseduurireeglina: „Jagage kahest antud arvust suurem väiksemaga. Seejärel jagage jagaja jäägiga ja jätkake nii, kuni viimane jagaja on viimase jäägiga võrdselt jagatud. Viimane jagajatest on kahe antud arvu suurim ühine jagaja.

Arvulise näitena vaadeldakse kahte täisarvu 3132 ja 7200. Algoritm taandub sel juhul järgmistele sammudele:

Suurim ühisjagaja on sama, mis viimane jagaja – arv 36. Seletus on lihtne. Meie näites näeme viimaselt realt, et arv 36 jagab arvu 288. Eelviimasest reast järeldub, et arv 36 jagab 324. Seega, liikudes realt reale, oleme veendunud, et arv 36 jagab arvu 936 , 3132 ja 7200 Nüüd väidame, et arv 36 on arvude 3132 ja 7200 ühine jagaja. g on arvude 3132 ja 7200 suurim ühisjagaja g jagab 3132 ja 7200, esimesest reast järeldub, et g jagab 936. Teisest reast järeldame, et g jagab 324. Niisiis oleme realt reale laskudes veendunud, et g jagab 288 ja 36. Ja kuna 36 on arvude 3132 ja 7200 ühine jagaja ning on jagatud nende suurima ühisjagajaga, järeldame, et 36 on see suurim ühisjagaja.

Läbivaatus.

Aritmeetilised arvutused nõuavad pidevat tähelepanu ja on seetõttu altid vigadele. Seetõttu on väga oluline arvutustulemusi kontrollida.

1. Arvude veeru lisamist saab kontrollida, lisades veerus olevad numbrid kõigepealt ülalt alla ja seejärel alt üles. Selle kontrollimeetodi põhjenduseks on liitmise kommutatiivsuse ja assotsiatiivsuse üldistatud seadus.

2. Lahutamist kontrollitakse vahe liitmise teel lahutusosaga – tuleks saada minuend. Selle kontrollimeetodi põhjenduseks on lahutamistehte määratlus.

3. Korrutamist saab kontrollida korrutise ja kordaja ümberkorraldamisega. Selle kontrollimeetodi õigustuseks on kommutatiivse korrutamise seadus. Korrutamist saate kontrollida, jagades teguri (või korrutise) kaheks liikmeks, tehes kaks eraldi korrutamistoimingut ja liites saadud korrutised – peaksite saama algkorrutise.

4. Jagamise kontrollimiseks tuleb jagatis korrutada jagajaga ja lisada jääk korrutisele. See peaks olema dividend. Selle kontrollimeetodi põhjenduseks on jagamise operatsiooni määratlus.

5. Ruutjuure (või kuupjuure) eraldamise õigsuse kontrollimine seisneb saadud arvu suurendamises ruudu (või kuubi) teel – tuleks saada algne arv.

Eriti lihtne ja väga usaldusväärne viis täisarvude liitmise või korrutamise kontrollimiseks on tehnika, mis kujutab endast üleminekut nn. "võrdlused modulo 9". Nimetagem "ülejäägiks" arvu kirjutamiseks kasutatud numbrite summa ülejäänud osa, kui see jagatakse 9-ga. Seejärel saab "ülemäärade" kohta sõnastada kaks teoreemi: "täisarvude summa ülejääk on võrdne liikmete liigsummade summaga" ja "kahe täisarvu korrutise liig on võrdne nende liialduste korrutis. Allpool on näited sellel teoreemil põhinevatest kontrollidest:

Võrdlustele ülemineku meetodit modulo 9 saab kasutada ka teiste aritmeetiliste algoritmide testimisel. Muidugi pole selline kontroll eksimatu, kuna ka "liigsustega" töötades esineb vigu, kuid selline olukord on ebatõenäoline.

Huvi.

Protsent on murd, mille nimetaja on 100; Intressi saab kirjutada kolmel viisil: as harilik murd, kümnendmurruna või kasutades spetsiaalset protsendimärget %. Näiteks 7 protsenti saab kirjutada kui 7/100, kui 0,07 või 7%.

Kõige tavalisema protsendiprobleemi tüübi näide on järgmine: "Leia 17% 82-st." Selle probleemi lahendamiseks peate arvutama korrutise 0,17ґ82 = 13,94. Seda tüüpi toodete puhul nimetatakse kursiks 0,17, baasiks 82 ja osakaaluks 13,94 protsentides. Kolm mainitud suurust on omavahel seotud seose kaudu

Intress ґ baas = protsentuaalne osa.

Kui on teada mis tahes kaks suurust, saab selle seose põhjal määrata kolmanda. Sellest lähtuvalt saame "protsentide abil" kolme tüüpi probleeme.

Näide 1. Sissekirjutatud õpilaste arv see kool, kasvas 351 inimeselt 396 inimesele. Mitme protsendi võrra see arv suurenes?

Kasv oli 396 – 351 = 45 inimest. Kirjutades murdosa 45/351 protsentides, saame 45/351 = 0,128 = 12,8%.

Näide 2. Soodusmüügi ajal poes olev reklaam ütleb "25% allahindlus kõikidest kaupadest". Mis on tavaliselt 3,60 dollari eest müüdava eseme müügihind?

25% hinnalangus 3,60 dollari võrra tähendab langust 0,25-3,60 = 0,90 dollarit; seetõttu on kauba hind müügi ajal $3.60 – $0.90 = $2.70.

Näide 3. Panka hoiustatud raha 5% aastas tõi kasumit 40 dollarit aastas. Kui suur summa panka kanti?

Kuna 5% summast on $40, st. 5/100 ґ summa = 40 dollarit või 1/100 ґ summa = 8 dollarit, kogusumma on 800 dollarit.

Ligikaudsete arvude aritmeetika.

Paljud arvutustes kasutatavad arvud tulenevad kas mõõtmistest või hinnangutest ja seetõttu saab neid pidada vaid ligikaudseteks. On ilmne, et ligikaudsete arvudega tehtud arvutuste tulemus saab olla vaid ligikaudne arv. Oletame näiteks, et loenduri pinna mõõtmised andsid järgmised tulemused (ümardatuna lähima kümnendikuni): laius 1,2 m, pikkus 3,1 m; võiks öelda, et leti pindala on 1,2ґ3,1 = 3,72 m2. Kuid tegelikkuses pole teave kaugeltki nii kindel. Kuna väärtus 1,2 m näitab ainult seda, et laiuse mõõt on vahemikus 1,15–1,25 m ja 3,1 näitab, et pikkus on vahemikus 3,05–3,15 m, saame loenduri ala kohta öelda vaid, et see peaks olema suurem kui 1,15ґ3,05 = 3,5075, kuid vähem kui 1,25ґ3,15 = 3,9375. Seetõttu on ainuke mõistlik vastus küsimusele leti pindala kohta öelda, et see on ligikaudu 3,7 m 2.

Vaatleme järgmisena 3,73 m, 52,1 m ja 0,282 m ligikaudsete mõõtmiste tulemuste liitmise probleemi peab olema suurem kui 3,725 + 52,05 + 0,2815 = 56,0565 m ja väiksem kui 3,735 + 52,15 + 0,2825 = 56,1765 m. Seega on küsimusele ainus mõistlik vastus öelda, et summa on ligikaudu 56 m.

Kaks ülaltoodud näidet illustreerivad mõningaid reegleid, mis on kasulikud ligikaudsete arvudega töötamisel. Olemas erinevaid viise numbrite ümardamine. Üks neist on numbri alumiste numbrite ärajätmine. Veelgi enam, kui esimene ära jäetav number on suurem kui viis, siis tuleb viimast allesjäänud numbrit ühe võrra suurendada, kui see on väiksem, siis jääb ülejäänud osa viimane number muutumatuks.

Kui esimene ära jäetav number on täpselt viis, siis viimast säilitatavat numbrit suurendatakse ühe võrra, kui see on paaritu, ja jääb muutumatuks, kui see on paaris. Näiteks ümardades lähima sajandikuni arv 3,14159;17,7682; 28 999; 0,00234; 7,235 ja 7,325 muutuvad 3,14-ks; 17,77; 29.00; 0,00; 7.24 ja 7.32.

Teine ümardamismeetod on seotud märgiliste numbrite kontseptsiooniga ja seda kasutatakse arvude kirjutamisel masinaga. Ligikaudse arvu olulised numbrid on selle numbrid kümnendmärk järjekorras vasakult paremale, alustades esimesest nullist erineva numbriga ja lõpetades numbriga, mis asub veale vastava kümnendkoha asemel. Näiteks ligikaudse arvu 12.1 tähenduslikud numbrid on arvud 1, 2, 1; ligikaudne arv 0,072 – numbrid 7, 2; ligikaudne arv 82000, kirjutatuna saja täpsusega, on 8, 2, 0.

Nüüd sõnastame kaks ülalmainitud ligikaudsete arvudega töötamise reeglit.

Ligikaudsete arvude liitmisel ja lahutamisel tuleb iga arv ümardada kõige vähem täpse arvu viimasele numbrile järgneva numbrini ning saadud summa ja vahe ümardada sama arvu numbriteni kui kõige vähem täpne arv. Ligikaudsete arvude korrutamisel ja jagamisel tuleb iga arv ümardada järgmise märgini pärast viimast olulist numbrit. märkimisväärne arv, ning korrutis ja jagatis tuleks ümardada sama täpsusega, millega on teada kõige vähem täpne arv.

Varem käsitletud probleemide juurde tagasi tulles saame:

1,2ґ3,1 = 3,72 m 2 » 3,7 m 2

3,73 + 52,1 + 0,28 = 56,11 m 2 "56,1 m,

kus märk " tähendab "ligikaudu võrdne".

Mõned aritmeetikaõpikud pakuvad algoritme ligikaudsete arvudega töötamiseks, mis võimaldab teil arvutamisel vältida tarbetuid märke. Lisaks kasutavad nad nn. ligikaudsete arvude salvestamine, st. mis tahes arv esitatakse kujul (arv vahemikus 1 kuni 10) ґ (10 aste), kus esimene tegur sisaldab ainult arvu olulisi numbreid. Näiteks 82000 km, ümardatuna lähima saja km-ni, kirjutatakse 8,20ґ10 4 km ja 0,00702 cm kirjutatakse 7,02ґ10 –3 cm.

Arvud matemaatilistes, trigonomeetrilistes või logaritmilistes tabelites on ligikaudsed, kirjutatud teatud arvu märkidega. Selliste tabelitega töötades peaksite järgima ligikaudsete arvudega arvutamise reegleid.

Logaritmid.

17. sajandi alguseks. Rakendusarvutusprobleemide keerukus on nii palju kasvanud, et liigse töö- ja ajakulu tõttu ei olnud võimalik nendega “käsitsi” toime tulla. Õnneks leiutas õigel ajal J. Napier 17. sajandi alguses. logaritmid võimaldasid tekkinud probleemiga toime tulla. Kuna logaritmide teooriat ja rakendusi kirjeldatakse üksikasjalikult spetsiaalses artiklis LOGARITM, piirdume ainult kõige vajalikuma teabega.

Saab näidata, et kui n on positiivne reaalarv, siis on olemas kordumatu positiivne reaalarv x, nii et 10 x = n. Number x kutsutud (tavaline või kümnend) logaritm numbrid n; tavapäraselt kirjutatakse see nii: x=logi n. Seega on logaritm eksponent ja astendajatega tehte seadustest järeldub, et

Just need logaritmide omadused selgitavad nende laialdast kasutamist aritmeetikas. Esimene ja teine ​​omadus võimaldavad meil taandada kõik korrutamise ja jagamise ülesanded lihtsamaks liitmise ja lahutamise ülesandeks. Kolmas ja neljas omadus võimaldavad taandada eksponentsimise ja juure ekstraheerimise palju lihtsamate toiminguteni: korrutamine ja jagamine.

Logaritmide kasutamise hõlbustamiseks on koostatud nende tabelid. Kümnendlogaritmide tabeli koostamiseks piisab, kui lisada ainult arvude 1 kuni 10 logaritmid. Näiteks kuna 247,6 = 10 2 ґ2,476, on meil: log247,6 = log10 2 + log2,476 = 2 + log2,476 ja kuna 0,02476 = 10 –2 ґ2,476, siis log0,02476 = log10 –2 + log2,476 = –2 + log2,476. Märka seda kümnendlogaritm arv 1 ja 10 vahel jääb 0 ja 1 vahele ja selle saab kirjutada kümnendkohana. Sellest järeldub, et mis tahes arvu kümnendlogaritm on täisarvu, mida nimetatakse logaritmi tunnuseks, ja kümnendmurru, mida nimetatakse logaritmi mantissiks, summa. Mis tahes arvu logaritmi tunnuse võib leida "meelest"; Mantiss tuleks leida logaritmitabelite abil. Näiteks leiame tabelitest, et log2.476 = 0.39375, seega log247.63 = 2.39375. Kui logaritmi tunnus on negatiivne (kui arv on väiksem kui üks), siis on mugav seda esitada kahe positiivse täisarvu erinevusena, näiteks log0,02476 = –2 + 0,39375 = 8,39375 – 10. järgmised näited selgitavad seda tehnikat.

Kirjandus:

Matemaatika ajalugu iidsetest aegadest kuni XIX algus V., vol. 1–3. M., 1970–1972.
Serre J.-P. Aritmeetika kursus. M., 1972
Netšajev V.I. Arvsüsteemid. M., 1975
Daan-Dalmedico A., Peiffer J . Rajad ja labürindid. Esseed matemaatika ajaloost. M., 1986
Ingler E. Elementaarne matemaatika. M., 1987



Aritmeetiline keskmine on statistiline näitaja, mis näitab antud andmemassiivi keskmist väärtust. See indikaator arvutatakse murdosana, mille lugeja on kõigi massiivi väärtuste summa ja nimetaja on nende arv. Aritmeetiline keskmine on oluline koefitsient, mida kasutatakse igapäevastes arvutustes.

Koefitsiendi tähendus

Aritmeetiline keskmine on elementaarne näitaja andmete võrdlemiseks ja vastuvõetava väärtuse arvutamiseks. Näiteks müüakse erinevates kauplustes ühe kindla tootja õllepurki. Kuid ühes poes maksab see 67 rubla, teises - 70 rubla, kolmandas - 65 rubla ja viimases - 62 rubla. Hindade valik on üsna lai, nii et ostjat huvitab konservi keskmine maksumus, et toodet ostes saaks ta oma kulusid võrrelda. Õllepurgi keskmine hind linnas on:

Keskmine hind = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 rubla.

Teades keskmist hinda, on lihtne kindlaks teha, kus on kasulik toodet osta ja kus peate rohkem maksma.

Aritmeetilist keskmist kasutatakse statistilistes arvutustes pidevalt juhtudel, kui analüüsitakse homogeenset andmekogumit. Ülaltoodud näites on see sama kaubamärgi õllepurgi hind. Samas ei saa me võrrelda erinevate tootjate õlle hindu ega õlle ja limonaadi hindu, kuna sel juhul on väärtuste levik suurem, keskmine hind on udune ja ebausaldusväärne ning arvutuste sisu. moonutatakse karikatuursuseni." keskmine temperatuur haigla ümber." Heterogeensete andmekogumite arvutamiseks kasutatakse kaalutud aritmeetilist keskmist, kui iga väärtus saab oma kaalukoefitsiendi.

Aritmeetilise keskmise arvutamine

Arvutuste valem on äärmiselt lihtne:

P = (a1 + a2 + … an) / n,

kus an on suuruse väärtus, n on kokku väärtused.

Milleks saab seda indikaatorit kasutada? Selle esimene ja kõige ilmsem kasutus on statistikas. Peaaegu igas statistilises uuringus kasutatakse aritmeetilist keskmist. See võib olla keskmine abiellumisvanus Venemaal, koolilapse keskmine hinne mõnes aines või keskmine kulutus toidukaupadele päevas. Nagu eespool mainitud, võib keskmiste arvutamine ilma kaalusid arvesse võtmata anda kummalisi või absurdseid väärtusi.

Näiteks president Venemaa Föderatsioon tegi avalduse, et statistika järgi on venelase keskmine palk 27 000 rubla. Enamiku Venemaa elanike jaoks tundus selline palgatase absurdne. Pole ime, kui arvestate arvutamisel oligarhide ja juhtide sissetulekuid tööstusettevõtted, ühelt poolt suured pankurid ja teiselt poolt õpetajate, koristajate ja müüjate palgad. Isegi keskmised palgad ühel erialal, näiteks raamatupidajal, on Moskvas, Kostromas ja Jekaterinburgis tõsised.

Kuidas arvutada heterogeensete andmete keskmisi

Loendamisolukordades palgad Oluline on arvestada iga väärtuse kaaluga. See tähendab, et oligarhide ja pankurite palgad saaksid kaaluks näiteks 0,00001 ja müügiinimeste palgad - 0,12. Need on tühjad arvud, kuid need illustreerivad umbkaudu oligarhide ja müügimeeste levikut Venemaa ühiskonnas.

Seega on heterogeenses andmekogumis keskmiste või keskmiste väärtuste keskmise arvutamiseks vaja kasutada aritmeetilist kaalutud keskmist. Muidu saad keskmine palk Venemaal 27 000 rubla tasemel. Kui soovid teada saada oma keskmist hinnet matemaatikas või valitud hokimängija poolt löödud väravate keskmist arvu, siis sobib sulle aritmeetiline keskmise kalkulaator.

Meie programm on lihtne ja mugav kalkulaator aritmeetilise keskmise arvutamiseks. Arvutuste tegemiseks peate sisestama ainult parameetrite väärtused.

Vaatame paari näidet

Keskmise punktisumma arvutamine

Paljud õpetajad kasutavad aine aastahinde määramiseks aritmeetilise keskmise meetodit. Kujutagem ette, et laps sai matemaatikas järgmised veerandihinded: 3, 3, 5, 4. Millise aastahinde paneb õpetaja talle? Kasutame kalkulaatorit ja arvutame aritmeetilise keskmise. Alustuseks valige sobiv arv välju ja sisestage kuvatavatesse lahtritesse reitingu väärtused:

(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75

Õpetaja ümardab väärtuse õpilase kasuks ja õpilane saab aasta eest kindla B.

Söödud kommide arvutus

Illustreerime mõnda aritmeetilise keskmise absurdsust. Kujutagem ette, et Mašal ja Voval oli 10 kommi. Maša sõi 8 kommi ja Vova ainult 2. Mitu kommi sõi iga laps keskmiselt? Kalkulaatori abil on lihtne välja arvutada, et lapsed sõid keskmiselt 5 kommi, mis on täiesti vale ja terve mõistus. See näide näitab, et aritmeetiline keskmine on tähenduslike andmekogumite jaoks oluline.

Järeldus

Aritmeetilise keskmise arvutamist kasutatakse laialdaselt paljudes teaduslikud valdkonnad. See näitaja on populaarne mitte ainult statistilistes arvutustes, vaid ka füüsikas, mehaanikas, majanduses, meditsiinis või rahanduses. Kasutage meie kalkulaatoreid assistendina, et lahendada aritmeetilise keskmise arvutamisega seotud ülesandeid.