Lahkuminek 

Kuidas arvutada pikkust, teades läbimõõtu. Kuidas arvutada ringi ümbermõõtu, kui ringi läbimõõt ja raadius pole määratud

Esiteks mõistame ringi ja ringi erinevust. Selle erinevuse nägemiseks piisab, kui arvestada, millised on mõlemad arvud. Need on lõpmatu arv tasapinna punkte, mis asuvad ühest keskpunktist võrdsel kaugusel. Aga kui ring koosneb sisemine ruum, siis see ringi ei kuulu. Selgub, et ring on nii ringjoon, mis seda piirab (ring(r)) kui ka lugematu arv punkte, mis on ringi sees.

Mis tahes ringil asuva punkti L korral kehtib võrdus OL=R. (Lõigu OL pikkus võrdub ringi raadiusega).

Segment, mis ühendab kahte ringi punkti, on tema akord.

Otse ringi keskpunkti läbiv akord on läbimõõt see ring (D). Läbimõõtu saab arvutada valemiga: D=2R

Ümbermõõt arvutatakse valemiga: C=2\pi R

Ringi pindala: S=\pi R^(2)

Ringi kaar nimetatakse selle osaks, mis asub selle kahe punkti vahel. Need kaks punkti määravad kaks ringi kaare. Akordi CD-l on kaks kaaret: CMD ja CLD. Identsed akordid moodustavad võrdsed kaared.

Kesknurk Nurka, mis jääb kahe raadiuse vahele, nimetatakse.

Kaare pikkus võib leida järgmise valemi abil:

  1. Kasutades kraadimõõtu: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
  2. Radiaani mõõtmine: CD = \alpha R

Kõõluga risti asetsev läbimõõt jagab kõõlu ja sellega kokkutõmbunud kaared pooleks.

Kui ringjoone kõõlused AB ja CD lõikuvad punktis N, siis punktiga N eraldatud kõõlude lõikude korrutised on omavahel võrdsed.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

Ringi puutuja

Ringi puutuja On tavaks nimetada sirget, millel on ringiga üks ühine punkt.

Kui sirgel on kaks ühist punkti, nimetatakse seda sekant.

Kui tõmbate puutujapunkti raadiuse, on see risti ringi puutujaga.

Joonistame sellest punktist oma ringile kaks puutujat. Selgub, et puutuja segmendid on üksteisega võrdsed ja ringi keskpunkt asub selles punktis tipuga nurga poolitajale.

AC = CB

Nüüd tõmbame oma punktist ringile puutuja ja sekanti. Saame, et puutuja lõigu pikkuse ruut on võrdne kogu sekantse segmendi ja selle välimise osa korrutisega.

AC^(2) = CD \cdot BC

Võime järeldada: esimese sekandi ja selle välisosa terve segmendi korrutis on võrdne teise sekandi ja selle välisosa terve segmendi korrutisega.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

Nurgad ringis

Kesknurga ja kaare, millel see toetub, kraadid on võrdsed.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

Sissekirjutatud nurk on nurk, mille tipp asub ringil ja mille küljed sisaldavad kõõlu.

Seda saab arvutada kaare suurust teades, kuna see võrdne poolega see kaar.

\angle AOB = 2 \angle ADB

Põhineb läbimõõdul, sisse kirjutatud nurgal, täisnurgal.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)

Sissekirjutatud nurgad, mis katavad sama kaare, on identsed.

Ühele kõõlule toetuvad sisse kirjutatud nurgad on identsed või nende summa on 180^ (\circ) .

\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

Samal ringil on identse nurga ja etteantud alusega kolmnurkade tipud.

Nurk, mille tipp on ringi sees ja asub kahe kõõlu vahel, on identne poolega antud ja vertikaalnurgas sisalduvate ringikaarede nurkväärtuste summast.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

Nurk, mille tipp asub väljaspool ringi ja asub kahe sekandi vahel, on identne poolega nurga sees olevate ringikaarede nurkväärtuste erinevusest.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1) (2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

Sisse kirjutatud ring

Sisse kirjutatud ring on hulknurga külgede puutuja.

Punktis, kus hulknurga nurkade poolitajad ristuvad, asub selle keskpunkt.

Igale hulknurgale ei tohi ringjoont kirjutada.

Ringjoonega hulknurga pindala leitakse järgmise valemiga:

S = pr,

p on hulknurga poolperimeeter,

r on sisse kirjutatud ringi raadius.

Sellest järeldub, et sisse kirjutatud ringi raadius on võrdne:

r = \frac(S)(p)

Vastaskülgede pikkuste summad on identsed, kui ringjoon on kantud kumerasse nelinurka. Ja vastupidi: ring sobib kumerasse nelinurka, kui vastaskülgede pikkuste summad on identsed.

AB + DC = AD + BC

Ringi on võimalik kirjutada ükskõik millisesse kolmnurka. Ainult üksainus. Punktis, kus poolitajad ristuvad sisemised nurgad joonisel asub selle sisse kirjutatud ringi keskpunkt.

Sisse kirjutatud ringi raadius arvutatakse järgmise valemi abil:

r = \frac(S)(p) ,

kus p = \frac(a + b + c)(2)

Ümberringi

Kui ringjoon läbib hulknurga iga tippu, siis tavaliselt nimetatakse sellist ringi kirjeldatud hulknurga kohta.

Selle joonise külgede risti poolitajate lõikepunktis on ümberringi keskpunkt.

Raadiuse saab leida, arvutades selle ringi raadiuseks, mis on ümbritsetud hulknurga mis tahes 3 tipuga määratletud kolmnurga ümber.

Siin on järgmine tingimus: ringjoont saab nelinurga ümber kirjeldada ainult siis, kui selle vastasnurkade summa on võrdne 180^( \circ) .

\nurk A + \nurk C = \nurk B + \nurk D = 180^ (\circ)

Mis tahes kolmnurga ümber saate kirjeldada ringi ja ainult ühte. Sellise ringi keskpunkt asub kohas, kus kolmnurga külgede risti poolitajad ristuvad.

Piiratud ringi raadiuse saab arvutada järgmiste valemite abil:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4 S)

a, b, c on kolmnurga külgede pikkused,

S on kolmnurga pindala.

Ptolemaiose teoreem

Lõpuks kaaluge Ptolemaiose teoreemi.

Ptolemaiose teoreem väidab, et diagonaalide korrutis on identne tsüklilise nelinurga vastaskülgede korrutise summaga.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

Ring on kõverjoon, mis ümbritseb ringi. Geomeetrias on kujundid tasased, seega viitab definitsioon kahemõõtmelisele kujutisele. Eeldatakse, et kõik selle kõvera punktid asuvad ringi keskpunktist võrdsel kaugusel.

Ringil on mitmeid tunnuseid, mille alusel tehakse selle geomeetrilise kujundiga seotud arvutusi. Nende hulka kuuluvad: läbimõõt, raadius, pindala ja ümbermõõt. Need omadused on omavahel seotud, st nende arvutamiseks piisab teabest vähemalt ühe komponendi kohta. Näiteks teades ainult geomeetrilise kujundi raadiust, saate valemi abil leida ümbermõõdu, läbimõõdu ja pindala.

  • Ringjoone raadius on lõik ringi sees, mis on ühendatud selle keskpunktiga.
  • Läbimõõt on segment ringi sees, mis ühendab selle punkte ja läbib keskpunkti. Põhimõtteliselt on läbimõõt kaks raadiust. Täpselt selline näeb välja arvutamise valem: D=2r.
  • Ringil on veel üks komponent – ​​akord. See on sirgjoon, mis ühendab kahte ringi punkti, kuid ei läbi alati keskpunkti. Nii et seda läbivat kõõlu nimetatakse ka läbimõõduks.

Kuidas ümbermõõtu teada saada? Uurime nüüd välja.

Ümbermõõt: valem

Selle tunnuse tähistamiseks valiti ladina täht p. Archimedes tõestas ka, et ringi ümbermõõdu ja selle läbimõõdu suhe on kõigi ringide puhul sama arv: see on arv π, mis on ligikaudu võrdne 3,14159. π arvutamise valem on: π = p/d. Selle valemi järgi on p väärtus võrdne πd-ga, see tähendab ümbermõõduga: p= πd. Kuna d (läbimõõt) võrdub kahe raadiusega, võib sama ümbermõõdu valemi kirjutada p=2πr Vaatleme valemi rakendamist lihtsate ülesannete näitel:

Probleem 1

Tsaari kella põhjas on selle läbimõõt 6,6 meetrit. Mis on kella põhja ümbermõõt?

  1. Seega on ringi arvutamise valem p= πd
  2. Asendage olemasolev väärtus valemiga: p=3,14*6,6= 20,724

Vastus: Kellapõhja ümbermõõt on 20,7 meetrit.

Probleem 2

Maa tehissatelliit pöörleb planeedist 320 km kaugusel. Maa raadius on 6370 km. Kui pikk on satelliidi ringorbiidi pikkus?

  1. 1. Arvutage Maa satelliidi ringikujulise orbiidi raadius: 6370+320=6690 (km)
  2. 2. Arvutage satelliidi ringorbiidi pikkus valemiga: P=2πr
  3. 3.P=2*3,14*6690=42013.2

Vastus: Maa satelliidi ringikujulise orbiidi pikkus on 42013,2 km.

Ümbermõõdu mõõtmise meetodid

Ringi ümbermõõdu arvutamist praktikas sageli ei kasutata. Selle põhjuseks on arvu π ligikaudne väärtus. Igapäevaelus kasutatakse ringi pikkuse leidmiseks spetsiaalset seadet - kurvimeetrit. Ringile märgitakse suvaline alguspunkt ja seade juhitakse sellest rangelt mööda joont, kuni nad uuesti sellesse punkti jõuavad.

Kuidas leida ringi ümbermõõtu? Peas lihtsalt hoidma lihtsaid arvutusvalemeid.

Ringjoon on punktide jada, mis asuvad võrdsel kaugusel ühest punktist, mis omakorda on selle ringi keskpunkt. Ringil on ka oma raadius, mis võrdub nende punktide kaugusega keskpunktist.

Ringi pikkuse ja läbimõõdu suhe on kõikidel ringidel ühesugune. See suhe on arv, mis on matemaatiline konstant, mida tähistatakse Kreeka kiri π .

Ümbermõõdu määramine

Ringi saate arvutada järgmise valemi abil:

L= π D = 2 π r

r- ringi raadius

D- ringi läbimõõt

L- ümbermõõt

π - 3.14

Ülesanne:

Arvuta ümbermõõt, mille raadius on 10 sentimeetrit.

Lahendus:

Ringjoone ümbermõõdu arvutamise valem on kujul:

L= π D = 2 π r

kus L on ümbermõõt, π on 3,14, r on ringi raadius, D on ringi läbimõõt.

Seega on 10 sentimeetri raadiusega ringi pikkus:

L = 2 × 3,14 × 10 = 62,8 sentimeetrit

Ring on geomeetriline kujund, mis on kõigi punktide kogum tasapinnal, mis on eemaldatud antud punktist, mida nimetatakse selle keskpunktiks, teatud kaugusel, mis ei ole võrdne nulliga ja mida nimetatakse raadiuseks. Määrake selle pikkus koos erineval määral Teadlased suutsid saavutada täpsust juba iidsetel aegadel: teadusajaloolased usuvad, et esimene ringi ümbermõõdu arvutamise valem koostati umbes 1900 eKr muistses Babüloonias.

Sellisega geomeetrilised kujundid, nagu ringid, kohtame me iga päev ja kõikjal. See on selle kuju, millel on erinevate sõidukitega varustatud rataste välispind. Vaatamata välisele lihtsusele ja tagasihoidlikkusele peetakse seda detaili üheks suurimad leiutised inimkonnale ja on huvitav, et Austraalia ja Ameerika indiaanlaste põliselanikel polnud kuni eurooplaste saabumiseni absoluutselt õrna aimugi, millega tegu.

Suure tõenäosusega olid kõige esimesed rattad palgitükid, mis olid kinnitatud teljele. Tasapisi täiustati ratta konstruktsiooni, nende disain muutus järjest keerukamaks ning nende valmistamine nõudis väga palju erinevate tööriistade kasutamist. Kõigepealt ilmusid puitveljest ja kodaratest koosnevad rattad ning seejärel hakati välispinna kulumise vähendamiseks seda metallribadega katma. Nende elementide pikkuste määramiseks on vaja kasutada ümbermõõdu arvutamiseks valemit (kuigi praktikas tegid meistrimehed seda tõenäoliselt "silma järgi" või lihtsalt ratta ribaga ümbritsedes ja ratta ära lõigates). nõutav jaotis).

Tuleb märkida, et ratas kasutatakse mitte ainult sõidukid. Näiteks on selle kuju kujundatud nagu pottsepa ratas, samuti tehnikas laialdaselt kasutatavad hammasrataste elemendid. Rattaid on pikka aega kasutatud vesiveskite ehitamisel (vanimad teadlastele teadaolevad sedalaadi ehitised ehitati Mesopotaamias), samuti ketrusrattaid, millest valmistati niite loomavillast ja taimsetest kiududest.

Suhtlusringid võib sageli leida ehituses. Nende kuju kujundavad üsna laialt levinud ümaraknad, mis on romaani stiilile väga iseloomulikud arhitektuuriline stiil. Nende konstruktsioonide valmistamine on väga raske ülesanne ja nõuab kõrgeid oskusi, samuti spetsiaalsete tööriistade olemasolu. Üks ümarate akende variante on laevadele ja lennukitele paigaldatud illuminaatorid.

Nii peavad erinevaid masinaid, mehhanisme ja agregaate arendavad projekteerimisinsenerid, aga ka arhitektid ja disainerid sageli lahendama ringi ümbermõõdu määramise probleemi. Alates numbrist π , selleks vajalik, on lõpmatu, seda parameetrit ei ole võimalik absoluutse täpsusega määrata ja seetõttu võetakse arvutustes arvesse selle määra, mis konkreetsel juhul on vajalik ja piisav.

Ükskõik, millises majandusvaldkonnas inimene töötab, kasutab ta teadlikult või tahtmatult paljude sajandite jooksul kogutud matemaatilisi teadmisi. Ringe sisaldavate seadmete ja mehhanismidega puutume kokku iga päev. Ratas on ümara kujuga, pitsa, paljud köögiviljad ja puuviljad moodustavad lõikamisel ringi, samuti taldrikud, tassid ja palju muud. Kuid mitte kõik ei tea, kuidas ümbermõõtu õigesti arvutada.

Ringi ümbermõõdu arvutamiseks peate esmalt meeles pidama, mis on ring. See on kõigi tasapinna punktide kogum, mis on sellest võrdsel kaugusel. Ringjoon on punktide geomeetriline asukoht ringi sees asuval tasapinnal. Eelnevast järeldub, et ringi ümbermõõt ja ümbermõõt on üks ja sama.

Ringjoone ümbermõõdu leidmise meetodid

Lisaks ringjoone ümbermõõdu leidmise matemaatilisele meetodile on ka praktilisi.

  • Võtke köis või nöör ja keerake see üks kord ümber.
  • Seejärel mõõtke köis, saadud arv on ümbermõõt.
  • Veeretage ümmargune objekt üks kord ja loendage tee pikkus. Kui ese on väga väike, võite selle mitu korda nööriga mähkida, seejärel lõnga lahti kerida, mõõta ja jagada pöörete arvuga.
  • Leidke vajalik väärtus järgmise valemi abil:

L = 2πr = πD ,

kus L on nõutav pikkus;

π – konstant, ligikaudu võrdne 3,14 r – ringi raadius, kaugus selle keskpunktist mis tahes punktini;

D on läbimõõt, see on võrdne kahe raadiusega.

Valemi rakendamine ringi ümbermõõdu leidmiseks

  • Näide 1. Jooksurada läbib ringi, mille raadius on 47,8 meetrit. Leidke selle jooksulindi pikkus, võttes π = 3,14.

L = 2πr = 2 * 3,14 * 47,8 ≈ 300 (m)

Vastus: 300 meetrit

  • Näide 2. Jalgrattaratas on 10 korda pöördunud, sõitnud 18,85 meetrit. Leidke ratta raadius.

18,85: 10 =1,885 (m) on ratta ümbermõõt.

1,885: π = 1,885: 3,1416 ≈ 0,6 (m) – nõutav läbimõõt

Vastus: ratta läbimõõt 0,6 meetrit

Hämmastav arv pi

Vaatamata valemi näilisele lihtsusele on paljudel seda millegipärast raske meeles pidada. Ilmselt on see tingitud asjaolust, et valem sisaldab irratsionaalarvu π, mida teiste kujundite, näiteks ruudu, kolmnurga või rombi pindala valemites ei esine. Peate lihtsalt meeles pidama, et see on konstant, see tähendab konstant, mis tähendab ümbermõõdu ja läbimõõdu suhet. Umbes 4 tuhat aastat tagasi märkasid inimesed, et ringi ümbermõõdu ja selle raadiuse (või läbimõõdu) suhe on kõigi ringide puhul sama.

Vanad kreeklased lähendasid arvu π murdarvuga 22/7. Pikka aegaπ arvutati ringi sissekirjutatud ja piiritletud hulknurkade pikkuste keskmisena. Kolmandal sajandil pKr tegi Hiina matemaatik arvutuse 3072-goni jaoks ja sai ligikaudse väärtuse π = 3,1416. Tuleb meeles pidada, et π on iga ringi puhul alati konstantne. Selle tähistus kreeka tähega π ilmus 18. sajandil. See on kreeka sõnade περιφέρεια – ring ja περίμετρος – perimeeter – esimene täht. Kaheksateistkümnendal sajandil tõestati, et see suurus on irratsionaalne, see tähendab, et seda ei saa esitada kujul m/n, kus m on täisarv ja n on naturaalarv.

Ja kuidas see erineb ringist? Võtke pliiats või värvid ja joonistage paberile tavaline ring. Värvige kogu saadud figuuri keskosa sinise pliiatsiga. Kujundi piire tähistav punane kontuur on ring. Kuid sinine sisu selle sees on ring.

Ringi ja ringi mõõtmed määratakse läbimõõduga. Ringi tähistavale punasele joonele märkige kaks punkti nii, et need oleksid üksteise peegelpildid. Ühendage need joonega. Lõik läbib kindlasti ringi keskel asuvat punkti. Seda ringi vastassuunalisi osi ühendavat lõiku nimetatakse geomeetrias läbimõõduks.

Segmenti, mis ei ulatu läbi ringi keskpunkti, vaid liitub selle vastasotstest, nimetatakse kõõluks. Järelikult on ringi keskpunkti läbiv kõõl selle läbimõõt.

Läbimõõt on näidatud Ladina täht D. Ringi läbimõõdu leiate selliste väärtuste abil nagu ringi pindala, pikkus ja raadius.

Kaugust keskpunktist ringile kantud punktini nimetatakse raadiuseks ja seda tähistatakse tähega R. Raadiuse väärtuse teadmine aitab arvutada ringi läbimõõdu ühe lihtsa sammuga:

Näiteks raadius on 7 cm Korrutame 7 cm 2-ga ja saame väärtuseks 14 cm Vastus: antud joonise D on 14 cm.

Mõnikord tuleb ringi läbimõõt määrata ainult selle pikkuse järgi. Siin on vaja rakendada spetsiaalset valemit, mis aitab määrata valemit L = 2 Pi * R, kus 2 on konstantne väärtus (konstant) ja Pi = 3,14. Ja kuna on teada, et R = D * 2, saab valemit esitada ka muul viisil

Seda avaldist saab kasutada ka ringi läbimõõdu valemina. Asendades ülesandes teadaolevad suurused, lahendame võrrandi ühe tundmatuga. Oletame, et pikkus on 7 m. Seetõttu:

Vastus: läbimõõt on 21,98 meetrit.

Kui pindala on teada, saab määrata ka ringi läbimõõdu. Valem, mida kasutatakse sel juhul, näeb välja selline:

D = 2 * (S / Pi) * (1/2)

S - antud juhul oletame, et ülesandes võrdub see 30 ruutmeetriga. m. Saame:

D = 2 * (30/3, 14) * (1/2) D = 9, 55414

Kui ülesandes näidatud väärtus on võrdne kuuli mahuga (V), kasutatakse läbimõõdu leidmiseks järgmist valemit: D = (6 V / Pi) * 1 / 3.

Mõnikord peate leidma kolmnurga sisse kirjutatud ringi läbimõõdu. Selleks kasutage kujutatud ringi raadiuse leidmiseks valemit:

R = S / p (S - pindala antud kolmnurk ja p on ümbermõõt jagatud 2-ga).

Saadud tulemuse kahekordistame, võttes arvesse, et D = 2 * R.

Tihti tuleb igapäevaelus leida ringi läbimõõt. Näiteks selle läbimõõduga samaväärse määramisel. Selleks peate sõrmuse potentsiaalse omaniku sõrme niidiga mähkima. Märkige kahe otsa kokkupuutepunktid. Mõõtke joonlauaga pikkus punktist punktini. Korrutame saadud väärtuse 3,14-ga, järgides teadaoleva pikkusega läbimõõdu määramise valemit. Seega väide, et geomeetria ja algebra tundmisest pole elus kasu, ei pea alati paika. Ja see on tõsine põhjus kooliaineid vastutustundlikumalt võtta.