Skalaarkorrutist läbiva nurga koosinus. Postitused sildiga "leia vektoritevahelise nurga koosinus"

Juhised

Olgu tasapinnale antud kaks nullist erinevat vektorit, mis on joonistatud ühest punktist: vektor A koordinaatidega (x1, y1) B koordinaatidega (x2, y2). Nurk nende vahel on tähistatud θ. Nurga θ kraadimõõtmise leidmiseks peate kasutama skalaarkorrutise määratlust.

Kahe nullist erineva vektori skalaarkorrutis on arv, mis võrdub nende vektorite pikkuste ja nendevahelise nurga koosinuse korrutisega, st (A,B)=|A|*|B|*cos( θ). Nüüd tuleb nurga koosinus väljendada järgmiselt: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).

Skalaarkorrutise saab leida ka valemiga (A,B)=x1*x2+y1*y2, kuna kahe nullist erineva vektori korrutis on võrdne neile vastavate vektorite korrutiste summaga. Kui nullist erineva vektorite skalaarkorrutis on võrdne nulliga, siis on vektorid risti (nendevaheline nurk on 90 kraadi) ja edasised arvutused võib ära jätta. Kui kahe vektori skalaarkorrutis on positiivne, siis nendevaheline nurk vektoridäge ja kui negatiivne, siis on nurk nüri.

Nüüd arvutage vektorite A ja B pikkused valemite abil: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). Vektori pikkus arvutatakse järgmiselt Ruutjuur selle koordinaatide ruutude summast.

Asendage skalaarkorrutise ja vektori pikkuste leitud väärtused sammus 2 saadud nurga valemiga, st cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+y1²)+ √(x2²+y2²)). Nüüd, teades väärtust, et leida vahelise nurga aste vektorid peate kasutama Bradise tabelit või võtma sellest: θ=arccos(cos(θ)).

Kui vektorid A ja B on antud kolmemõõtmelises ruumis ja neil on vastavalt koordinaadid (x1, y1, z1) ja (x2, y2, z2), siis nurga koosinuse leidmisel lisandub veel üks koordinaat. Sel juhul koosinus: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).

Abistavad nõuanded

Kui kaks vektorit ei ole joonistatud samast punktist, siis nendevahelise nurga leidmiseks paralleeltõlke abil peate ühendama nende vektorite algpunktid.
Kahe vektori vaheline nurk ei tohi olla suurem kui 180 kraadi.

Allikad:

• kuidas arvutada vektorite vahelist nurka
• Nurk sirge ja tasapinna vahel

Paljude nii rakenduslike kui ka teoreetiliste ülesannete lahendamiseks füüsikas ja lineaaralgebras on vaja arvutada vektoritevaheline nurk. See pealtnäha lihtne ülesanne võib tekitada palju raskusi, kui te ei saa selgelt aru skalaarkorrutise olemusest ja sellest, milline väärtus selle toote tulemusel ilmneb.

Juhised

Vektorite vaheline nurk vektori lineaarruumis on minimaalne nurk, mille juures saavutatakse vektorite kaassuund. Joonistab ühe vektoritest oma alguspunkti ümber. Definitsioonist selgub, et nurga väärtus ei tohi ületada 180 kraadi (vt sammu).

Sel juhul eeldatakse täiesti õigustatult, et lineaarruumis vektorite paralleelsel ülekandmisel nendevaheline nurk ei muutu. Seetõttu ei ole nurga analüütilise arvutamise jaoks vektorite ruumiline orientatsioon oluline.

Punktkorrutise tulemuseks on arv, muidu skalaar. Pidage meeles (see on oluline teada), et vältida vigu edasistes arvutustes. Tasapinnal või vektorite ruumis paikneva skalaarkorrutise valemil on vorm (vt sammu joonist).

Kui vektorid asuvad ruumis, siis soorita arvutus sarnaselt. Ainus tähtaeg dividendis on avalduse tähtaeg, s.o. vektori kolmas komponent. Vastavalt sellele tuleb vektorite mooduli arvutamisel arvestada ka z-komponenti, siis ruumis paiknevate vektorite puhul teisendatakse viimane avaldis järgmisel viisil(vt etappi jooniselt 6).

Vektor on segment, millel on antud suund. Vektorite vaheline nurk on füüsiline tähendus, näiteks vektori projektsiooni pikkuse leidmisel teljele.

Juhised

Nurk kahe nullist erineva vektori vahel, arvutades punktkorrutise. Definitsiooni järgi on korrutis võrdne pikkuste ja nendevahelise nurga korrutisega. Teisest küljest arvutatakse kahe vektori a koordinaatidega (x1; y1) ja b koordinaatidega (x2; y2) skalaarkorrutis: ab = x1x2 + y1y2. Nendest kahest meetodist on punktkorrutis lihtsalt vektorite vaheline nurk.

Leidke vektorite pikkused või suurused. Meie vektorite a ja b jaoks: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.

Leidke vektorite skalaarkorrutis, korrutades nende koordinaadid paarikaupa: ab = x1x2 + y1y2. Skalaarkorrutise definitsioonist ab = |a|*|b|*cos α, kus α on vektorite vaheline nurk. Siis saame, et x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α. Siis cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.

Leia nurk α, kasutades Bradise tabeleid.

Video teemal

Märge

Skalaarkorrutis on vektorite pikkuste ja nendevahelise nurga skalaarkarakteristik.

Tasand on üks geomeetria põhimõisteid. Tasapind on pind, mille kohta kehtib järgmine väide: iga sirge, mis ühendab selle kahte punkti, kuulub täielikult sellele pinnale. Tavaliselt määratakse lennukid Kreeka tähedα, β, γ jne. Kaks tasapinda lõikuvad alati mööda sirget, mis kuulub mõlemale tasapinnale.

Juhised

Vaatleme ristmikul moodustatud pooltasapindu α ja β. Nurk, mille moodustab sirgjoon a ja kaks pooltasapinda α ja β kahetahulise nurgaga. Sel juhul pooltasapindu, mis moodustavad oma tahkudega kahetahulise nurga, sirget a, mida mööda tasapinnad ristuvad, nimetatakse kahetahulise nurga servaks.

Dihedraalnurk, nagu ka tasapinnaline nurk, on kraadides. Kahenurkse nurga tegemiseks tuleb selle esiküljel valida suvaline punkt O. Mõlemas tõmmatakse läbi punkti O kaks kiirt a. Moodustunud nurka AOB nimetatakse lineaarseks kahetahuliseks nurgaks a.

Olgu siis antud vektor V = (a, b, c) ja tasapind A x + B y + C z = 0, kus A, B ja C on normaalse N koordinaadid. Siis on nurga koosinus α vektorite V ja N vahel on võrdne: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).

Nurga arvutamiseks kraadides või radiaanides tuleb saadud avaldisest arvutada koosinusfunktsiooni pöördfunktsioon, st. arkosiin:α = аrsсos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).

Näide: leia nurk vahel vektor(5, -3, 8) ja lennuk, antud üldvõrrand 2 x – 5 y + 3 z = 0. Lahendus: kirjuta üles tasandi N = (2, -5, 3) normaalvektori koordinaadid. Asendage kõik teadaolevad väärtused antud valemisse: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Video teemal

Koostage võrdus ja eraldage sellest koosinus. Ühe valemi järgi on vektorite skalaarkorrutis võrdne nende pikkuste ja koosinusega korrutatuna nurk, ja teiselt poolt - iga telje koordinaatide korrutiste summa. Võrdsustades mõlemad valemid, võime järeldada, et koosinus nurk see peaks olema võrdne suhtega koordinaatide ja vektori pikkuste korrutise summa.

Kirjutage üles saadud võrdsus. Selleks peate määrama mõlemad vektorid. Oletame, et need on antud kolmemõõtmelises Descartes'i süsteemis ja nende lähtekohad koordinaatide võrgustikus. Esimese vektori suuna ja suuruse annab punkt (X1,Y1,Z1), teise - (X2,Y2,Z2) ja nurk tähistatakse tähega γ. Siis saab iga vektori pikkused määrata näiteks Pythagorase teoreemi abil, mis moodustatakse nende projektsioonidest igale koordinaatteljed: √(X12 + Y12 + Z12) ja √(X22 + Y22 + Z22). Asendage need avaldised eelmises etapis sõnastatud valemiga ja saate võrdsuse: cos(γ) = (X1*X₂ + Y1*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X1² + Y1² + Z₁²) * √(X₂) + Y₂² + Z₂² )).

Kasutage asjaolu, et summa ruudus siinus ja co siinus alates nurk samast kogusest annab alati ühe. See tähendab, et tõstes seda, mis saadi eelmises etapis siinus ruudus ja ühest lahutatud ning seejärel

Nurk kahe vektori vahel:

Kui kahe vektori vaheline nurk on terav, on nende skalaarkorrutis positiivne; kui vektorite vaheline nurk on nüri, siis on nende vektorite skalaarkorrutis negatiivne. Kahe nullist erineva vektori skalaarkorrutis on võrdne nulliga siis ja ainult siis, kui need vektorid on ortogonaalsed.

Harjutus. Leia nurk vektorite ja vahel

Lahendus. Soovitud nurga koosinus

16. Sirgete, sirge ja tasandi vahelise nurga arvutamine

Nurk sirge ja tasapinna vahel, mis lõikab seda sirget ja ei ole sellega risti, on nurk sirge ja selle projektsiooni vahel sellele tasapinnale.

Sirge ja tasapinna vahelise nurga määramine võimaldab järeldada, et sirge ja tasandi vaheline nurk on nurk kahe risuva sirge: sirge enda ja selle projektsiooni tasapinnale vahel. Seetõttu on sirge ja tasapinna vaheline nurk teravnurk.

Nurka risti ja tasapinna vahel loetakse võrdseks nurgaga ning paralleelse sirge ja tasandi vahelist nurka kas ei määrata üldse või loetakse võrdseks .

§ 69. Sirgete vahelise nurga arvutamine.

Kahe sirge vahelise nurga arvutamise probleem ruumis lahendatakse samamoodi nagu tasapinnal (§ 32). Tähistame φ-ga joontevahelise nurga suurust l 1 ja l 2 ja läbi ψ - suunavektorite vahelise nurga suurus A Ja b need sirged jooned.

Siis kui

ψ 90° (joonis 206.6), siis φ = 180° - ψ. Ilmselgelt on mõlemal juhul tõene võrdsus cos φ = |cos ψ|. Valemiga (1) § 20 on meil

seega,

Olgu sirged antud nende kanooniliste võrranditega

Seejärel määratakse joonte vaheline nurk φ valemi abil

Kui üks sirgetest (või mõlemad) on antud mittekanooniliste võrranditega, tuleb nurga arvutamiseks leida nende joonte suunavektorite koordinaadid ja seejärel kasutada valemit (1).

17. Paralleelsirge, Teoreemid paralleelsirgete kohta

Definitsioon. Nimetatakse kahte tasapinna sirget paralleelselt, kui neil pole ühiseid punkte.

Nimetatakse kahte joont kolmemõõtmelises ruumis paralleelselt, kui need asuvad samal tasapinnal ja neil pole ühiseid punkte.

Nurk kahe vektori vahel.

Punkttoote määratlusest:

.

Kahe vektori ortogonaalsuse tingimus:

Kahe vektori kollineaarsuse tingimus:

.

Tuleneb 5. definitsioonist -. Tõepoolest, vektori ja arvu korrutise definitsioonist järeldub. Seetõttu, lähtudes vektorite võrdsuse reeglist, kirjutame , , , mis tähendab . Kuid vektor, mis saadakse vektori korrutamisel arvuga, on vektori suhtes kollineaarne.

Vektori projektsioon vektorile:

.

Näide 4. Antud punktid , , , .

Leidke punktitoode.

Lahendus. leiame, kasutades nende koordinaatidega määratud vektorite skalaarkorrutise valemit. Kuna

, ,

Näide 5. Antud punktid , , , .

Leidke projektsioon.

Lahendus. Kuna

, ,

Projektsioonivalemi põhjal on meil

.

Näide 6. Antud punktid , , , .

Leia nurk vektorite ja .

Lahendus. Pange tähele, et vektorid

, ,

ei ole kollineaarsed, kuna nende koordinaadid ei ole proportsionaalsed:

.

Need vektorid ei ole ka risti, kuna nende skalaarkorrutis on .

Otsime üles

Nurk leiame valemist:

.

Näide 7. Määrake, millistel vektoritel ja kollineaarne.

Lahendus. Kollineaarsuse korral vektorite vastavad koordinaadid ja see peab olema proportsionaalne, see tähendab:

.

Seega ja.

Näide 8. Määrake, millisel vektori väärtusel Ja risti.

Lahendus. Vektor ja on risti, kui nende skalaarkorrutis on null. Sellest tingimusest saame: . See on, .

Näide 9. Otsi , Kui , , .

Lahendus. Skalaarkorrutise omaduste tõttu on meil:

Näide 10. Leia nurk vektorite ja , kus ja - ühikvektorid ja vektorite vaheline nurk ja on võrdne 120°.

Lahendus. Meil on: , ,

Lõpuks on meil: .

5 B. Vektorkunstiteos.

Definitsioon 21.Vektorkunstiteos vektorit vektori kaupa nimetatakse vektoriks või, mis on määratletud järgmise kolme tingimusega:

1) Vektori moodul on võrdne , kus on vektorite ja vaheline nurk, s.t. .

Sellest järeldub, et vektorkorrutise moodul on arvuline võrdne pindalaga vektoritele ja mõlemale küljele konstrueeritud rööpkülik.

2) Vektor on risti iga vektoriga ja ( ; ), st. vektoritele ja konstrueeritud rööpküliku tasapinnaga risti.

3) Vektor on suunatud nii, et selle otsast vaadates oleks lühim pööre vektorist vektorisse vastupäeva (vektorid , , moodustavad paremakäelise kolmiku).

Kuidas arvutada vektorite vahelisi nurki?

Geomeetriat õppides tekib vektorite teemal palju küsimusi. Üliõpilasel on erilisi raskusi, kui on vaja leida vektorite vahelisi nurki.

Põhiterminid

Enne vektoritevaheliste nurkade vaatamist on vaja tutvuda vektori definitsiooni ja vektoritevahelise nurga mõistega.

Vektor on segment, millel on suund, see tähendab segment, mille jaoks on määratletud selle algus ja lõpp.

Nurk kahe vektori vahel tasapinnal, millel on üldine algus, nimetatakse nurkadest väiksemaks, mille võrra ühte vektorit tuleb nihutada ümber ühise punkti asendisse, kus nende suunad langevad kokku.

Lahenduse valem

Kui olete aru saanud, mis on vektor ja kuidas selle nurk määratakse, saate arvutada vektorite vahelise nurga. Selle lahendusvalem on üsna lihtne ja selle rakendamise tulemuseks on nurga koosinuse väärtus. Definitsiooni järgi võrdub see vektorite skalaarkorrutise ja nende pikkuste korrutise jagatisega.

Vektorite skalaarkorrutis arvutatakse faktorvektorite vastavate koordinaatide summana, mis on korrutatud üksteisega. Vektori pikkus ehk moodul arvutatakse selle koordinaatide ruutude summa ruutjuurena.

Olles saanud nurga koosinuse väärtuse, saate kalkulaatori või trigonomeetrilise tabeli abil arvutada nurga enda väärtuse.

Näide

Kui olete aru saanud, kuidas vektorite vahelist nurka arvutada, muutub vastava ülesande lahendamine lihtsaks ja selgeks. Näitena tasub kaaluda lihtsat nurga väärtuse leidmise probleemi.

Esiteks on mugavam arvutada lahenduse jaoks vajalike vektori pikkuste väärtusi ja nende skalaarkorrutist. Kasutades ülaltoodud kirjeldust, saame:

Asendades saadud väärtused valemisse, arvutame soovitud nurga koosinuse väärtuse:

See arv ei ole üks viiest tavalisest koosinusväärtusest, nii et nurga saamiseks peate kasutama kalkulaatorit või Bradise trigonomeetrilist tabelit. Kuid enne vektorite vahelise nurga saamist saab valemit lihtsustada, et vabaneda ekstra negatiivsest märgist:

Täpsuse säilitamiseks võib lõpliku vastuse jätta nii, nagu see on, või arvutada nurga väärtuse kraadides. Bradise tabeli järgi on selle väärtus ligikaudu 116 kraadi ja 70 minutit ning kalkulaator näitab väärtust 116,57 kraadi.

Nurga arvutamine n-mõõtmelises ruumis

Kui vaadelda kahte vektorit kolmemõõtmelises ruumis, on palju keerulisem aru saada, millisest nurgast me räägime, kui need ei asu samas tasapinnas. Tajumise lihtsustamiseks saate joonistada kaks ristuvat segmenti, mis moodustavad nende vahel väikseima nurga; see on soovitud segment. Kuigi vektoris on kolmas koordinaat, ei muutu vektorite vaheliste nurkade arvutamise protsess. Arvutage vektorite skalaarkorrutis ja moodulid, nende jagatise kaarekoosinus on selle probleemi lahendus.

Geomeetrias on sageli probleeme tühikutega, millel on rohkem kui kolm mõõdud. Kuid nende jaoks tundub vastuse leidmise algoritm sarnane.

Erinevus 0 ja 180 kraadi vahel

Üks levinumaid vigu vektorite vahelise nurga arvutamiseks mõeldud ülesandele vastuse kirjutamisel on otsus kirjutada, et vektorid on paralleelsed, see tähendab, et soovitud nurk on 0 või 180 kraadi. See vastus on vale.

Olles saanud lahenduse tulemusel nurga väärtuseks 0 kraadi, oleks õige vastus määrata vektorid kaassuunalisteks, st vektorid on sama suunaga. Kui saadakse 180 kraadi, on vektorid vastupidise suunaga.

Spetsiifilised vektorid

Olles leidnud vektoritevahelised nurgad, leiate lisaks ülalkirjeldatud kaas- ja vastassuunalistele ühe eritüübi.

• Mitut ühe tasapinnaga paralleelset vektorit nimetatakse koplanaarseks.
• Vektoreid, mis on sama pikkuse ja suunaga, nimetatakse võrdseteks.
• Vektoreid, mis asuvad samal sirgel, olenemata suunast, nimetatakse kollineaarseteks.
• Kui vektori pikkus on null, st selle algus ja lõpp langevad kokku, siis nimetatakse seda nulliks ja kui see on üks, siis ühikuks.

Kuidas leida vektorite vahelist nurka?

aita mind palun! Ma tean valemit, aga ma ei oska seda arvutada ((
vektor a (8; 10; 4) vektor b (5; -20; -10)

Aleksander Titov

Nende koordinaatidega määratud vektorite vaheline nurk leitakse standardse algoritmi abil. Kõigepealt tuleb leida vektorite a ja b skalaarkorrutis: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Asendame siin nende vektorite koordinaadid ja arvutame:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Järgmisena määrame iga vektori pikkused. Vektori pikkus või moodul on selle koordinaatide ruutude summa ruutjuur:
|a| = (x1^2 + y1^2 + z1^2) juur = (8^2 + 10^2 + 4^2) = (64 + 100 + 16) juur = 180 juur = 6 juurt 5
|b| = (x2^2 + y2^2 + z2^2) juur = (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = (25 + 400 + 100) juur = juur 525-st = 5 juurt 21-st.
Korrutame need pikkused. Saame 30 juurt 105-st.
Ja lõpuks jagame vektorite skalaarkorrutise nende vektorite pikkuste korrutisega. Saame -200/(30 juurt 105-st) või
- (4 juurt 105-st) / 63. See on vektorite vahelise nurga koosinus. Ja nurk ise on võrdne selle arvu kaarekoosinusega
f = arccos (-4 juurt 105-st) / 63.
Kui ma kõik õigesti lugesin.

Kuidas arvutada vektorite vahelise nurga siinust kasutades vektorite koordinaate

Mihhail Tkatšov

Korrutame need vektorid. Nende skalaarkorrutis on võrdne nende vektorite pikkuste ja nendevahelise nurga koosinuse korrutisega.
Nurk on meile teadmata, kuid koordinaadid on teada.
Paneme selle matemaatiliselt kirja niimoodi.
Olgu vektorid a(x1;y1) ja b(x2;y2) antud
Siis

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Räägime.
vektorite a*b-skalaarkorrutis on võrdne nende vektorite koordinaatide vastavate koordinaatide korrutistega, st võrdne x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-vektori pikkuste korrutis on võrdne √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

See tähendab, et vektorite vahelise nurga koosinus on võrdne:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Teades nurga koosinust, saame arvutada selle siinuse. Arutame, kuidas seda teha:

Kui nurga koosinus on positiivne, siis on see nurk 1 või 4 kvadrandis, mis tähendab, et selle siinus on kas positiivne või negatiivne. Kuid kuna vektorite vaheline nurk on väiksem või võrdne 180 kraadiga, siis on selle siinus positiivne. Arutleme samamoodi, kui koosinus on negatiivne.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

See on kõik)))) edu selle väljamõtlemisel)))

Dmitri Levištšev

Asjaolu, et siinustamist pole võimalik otseselt teha, ei vasta tõele.
Lisaks valemile:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Seal on ka selline:
||=|a|*|b|*sin A
See tähendab, et skalaarkorrutise asemel võite võtta vektorkorrutise mooduli.

Vektorite punktkorrutis

Jätkame vektoritega tegelemist. Esimesel õppetunnil Mannekeenide vektorid Vaatasime vektori mõistet, toiminguid vektoritega, vektori koordinaate ja lihtsamaid ülesandeid vektoritega. Kui sattusite sellele lehele esimest korda otsingumootori kaudu, soovitan tungivalt lugeda ülaltoodud sissejuhatavat artiklit, kuna materjali valdamiseks peate teadma minu kasutatavaid termineid ja tähistusi, omama elementaarseid teadmisi vektorite ja oskama põhiprobleeme lahendada. See õppetund on teema loogiline jätk ja selles analüüsin üksikasjalikult tüüpilisi ülesandeid, mis kasutavad vektorite skalaarkorrutist. See on VÄGA OLULINE tegevus.. Proovige mitte jätta näiteid vahele, nendega on kaasas kasulik boonus – harjutamine aitab teil käsitletud materjali koondada ja levinumaid probleeme paremini lahendada analüütiline geomeetria.

Vektorite liitmine, vektori korrutamine arvuga.... Naiivne oleks arvata, et matemaatikud pole midagi muud välja mõelnud. Lisaks juba käsitletud toimingutele on mitmeid muid vektoritega toiminguid, nimelt: vektorite punktkorrutis, vektorite vektorkorrutis Ja vektorite segakorrutis. Vektorite skalaarkorrutis on meile kooliajast tuttav, ülejäänud kaks korrutist kuuluvad traditsiooniliselt kõrgema matemaatika kursusesse. Teemad on lihtsad, paljude probleemide lahendamise algoritm on sirgjooneline ja arusaadav. Ainuke asi. Infot on korralik kogus, mistõttu pole soovitav püüda KÕIKE KORRAGA meisterdada ja lahendada. See kehtib eriti mannekeenide kohta; uskuge mind, autor ei taha absoluutselt tunda end nagu matemaatikast pärit Chikatilo. No matemaatikast muidugi ka mitte =) Valmistumad õpilased saavad materjale kasutada valikuliselt, sisse teatud mõttes, “hankige” puuduvad teadmised, sinu jaoks olen mina kahjutu krahv Dracula =)

Teeme lõpuks ukse lahti ja vaatame vaimustusega, mis juhtub siis, kui kaks vektorit kohtuvad...

Vektorite skalaarkorrutise definitsioon.
Skalaarkorrutise omadused. Tüüpilised ülesanded

Punkttoote kontseptsioon

Kõigepealt umbes nurk vektorite vahel. Ma arvan, et kõik saavad intuitiivselt aru, mis on vektorite vaheline nurk, aga igaks juhuks natuke täpsemalt. Vaatleme vabasid nullist erinevaid vektoreid ja . Kui joonistate need vektorid suvalisest punktist, saate pildi, mida paljud on juba vaimselt ette kujutanud:

Tunnistan, siin kirjeldasin olukorda ainult mõistmise tasemel. Kui vajate vektorite vahelise nurga ranget määratlust, vaadake õpikut; praktiliste probleemide jaoks me seda põhimõtteliselt ei vaja. Ka SIIN JA SIIN jätan nullvektorid kohati tähelepanuta nende vähese praktilise tähtsuse tõttu. Tegin broneeringu spetsiaalselt edasijõudnutele saidi külastajatele, kes võivad mulle ette heita mõne järgneva väite teoreetilise ebatäielikkuse pärast.

võib võtta väärtusi vahemikus 0 kuni 180 kraadi (0 kuni radiaanid), kaasa arvatud. Analüütiliselt see fakt kirjutatud topeltvõrratusena: või (radiaanides).

Kirjanduses jäetakse nurga sümbol sageli vahele ja lihtsalt kirjutatakse.

Definitsioon: Kahe vektori skalaarkorrutis on ARV, mis on võrdne nende vektorite pikkuste ja nendevahelise nurga koosinuse korrutisega:

Nüüd on see üsna range määratlus.

Keskendume olulisele teabele:

Määramine: skalaarkorrutist tähistatakse või lihtsalt.

Operatsiooni tulemus on NUMBER: vektor korrutatakse vektoriga ja tulemuseks on arv. Tõepoolest, kui vektorite pikkused on arvud, nurga koosinus on arv, siis nende korrutis on ka number.

Paar näidet soojenduseks:

Näide 1

Lahendus: Me kasutame valemit . IN sel juhul:

Vastus:

Koosinusväärtused leiate siit trigonomeetriline tabel. Soovitan selle välja printida - seda läheb vaja peaaegu kõigis torni osades ja läheb vaja mitu korda.

Puhtalt matemaatilisest vaatenurgast on skalaarkorrutis mõõtmeteta, see tähendab, et tulemus on antud juhul vaid arv ja kõik. Füüsikaülesannete seisukohalt on skalaarkorrutisel alati teatud füüsikaline tähendus, st pärast tulemust tuleb näidata üks või teine ​​füüsikaline ühik. Kanoonilise näite jõu töö arvutamisest võib leida igast õpikust (valem on täpselt skalaarkorrutis). Jõu tööd mõõdetakse džaulides, seetõttu kirjutatakse vastus üsna konkreetselt, näiteks .

Näide 2

Leia, kui , ja vektorite vaheline nurk on võrdne .

See on näide sõltumatu otsus, on vastus õppetunni lõpus.

Nurk vektorite ja punktkorrutise väärtuse vahel

Näites 1 osutus skalaarkorrutis positiivseks ja näites 2 negatiivseks. Uurime, millest sõltub skalaarkorrutise märk. Vaatame oma valemit: . Nullist erineva vektorite pikkused on alati positiivsed: , seega saab märk sõltuda ainult koosinuse väärtusest.

Märge: Alloleva teabe paremaks mõistmiseks on parem uurida juhendis koosinusgraafikut Funktsioonigraafikud ja omadused. Vaadake, kuidas koosinus segmendil käitub.

Nagu juba märgitud, võib vektorite vaheline nurk erineda ja võimalikud on järgmised juhtumid:

1) Kui nurk vektorite vahel vürtsikas: (0 kuni 90 kraadi), siis , Ja punktkorrutis on positiivne kaasrežissöör, siis loetakse nendevaheline nurk nulliks ja skalaarkorrutis on samuti positiivne. Kuna , valem lihtsustab: .

2) Kui nurk vektorite vahel nüri: (90-180 kraadi), siis ja vastavalt punktkorrutis on negatiivne: . Erijuhtum: kui vektorid vastassuunas, siis arvestatakse nende vahelist nurka laiendatud: (180 kraadi). Ka skalaarkorrutis on negatiivne, kuna

Tõsi on ka vastupidised väited:

1) Kui , siis on nende vektorite vaheline nurk terav. Teise võimalusena on vektorid kaassuunalised.

2) Kui , siis on nende vektorite vaheline nurk nüri. Teise võimalusena on vektorid vastupidises suunas.

Kuid kolmas juhtum pakub erilist huvi:

3) Kui nurk vektorite vahel otse: (90 kraadi), siis skalaarkorrutis on null: . Tõsi on ka vastupidine: kui , siis . Väite saab kompaktselt sõnastada järgmiselt: Kahe vektori skalaarkorrutis on null siis ja ainult siis, kui vektorid on ortogonaalsed. Lühike matemaatiline märge:

! Märge : kordame matemaatilise loogika alused: Kahepoolse loogilise tagajärje ikooni loetakse tavaliselt "kui ja ainult siis", "kui ja ainult siis". Nagu näete, on nooled suunatud mõlemas suunas - "sellest järgneb see ja vastupidi - sellest järgneb see." Mis vahe on muuseas ühesuunalise jälgimise ikoonist? Ikoon ütleb ainult et, et "sellest järeldub see", ja pole tõsi, et vastupidine on tõsi. Näiteks: , kuid mitte iga loom pole panter, nii et sel juhul ei saa te ikooni kasutada. Samal ajal ikooni asemel Saab kasutage ühepoolset ikooni. Näiteks ülesande lahendamisel saime teada, et jõudsime järeldusele, et vektorid on ortogonaalsed: - selline kanne on õige ja isegi sobivam kui .

Kolmandal juhtumil on suur praktiline tähendus, kuna see võimaldab teil kontrollida, kas vektorid on ortogonaalsed või mitte. See ülesanne lahendame tunni teises osas.

Punkttoote omadused

Pöördume tagasi olukorra juurde, kus kaks vektorit kaasrežissöör. Sel juhul on nende vaheline nurk null, ja skalaarkorrutise valem on järgmisel kujul: .

Mis juhtub, kui vektor korrutatakse iseendaga? On selge, et vektor on joondatud iseendaga, seega kasutame ülaltoodud lihtsustatud valemit:

Numbrile helistatakse skalaarruut vektor ja on tähistatud kui .

Seega vektori skalaarruut on võrdne antud vektori pikkuse ruuduga:

Sellest võrdsusest saame valemi vektori pikkuse arvutamiseks:

Seni tundub ebaselge, kuid tunni eesmärgid panevad kõik oma kohale. Probleemide lahendamiseks, mida me ka vajame punkttoote omadused.

Suvaliste vektorite ja mis tahes arvu korral järgmised omadused:

1) – kommutatiivne või kommutatiivne skalaarkorrutise seadus.

2) – levitamine või jaotav skalaarkorrutise seadus. Lihtsalt saate sulgud avada.

3) – assotsiatiivne või assotsiatiivne skalaarkorrutise seadus. Konstandi saab tuletada skalaarkorrutisest.

Tihtipeale tajuvad õpilased kõikvõimalikke omadusi (mis vajavad ka tõestamist!) tarbetu prügina, mis tuleb vaid kohe pärast eksamit pähe õppida ja turvaliselt unustada. Näib, et mis siin oluline on, kõik teavad juba esimesest klassist, et tegurite ümberpaigutamine ei muuda toodet: . Pean hoiatama, et kõrgemas matemaatikas on sellise lähenemisega lihtne asju sassi ajada. Nii et näiteks kommutatiivne omadus ei kehti algebralised maatriksid. See ei vasta ka tõele vektorite vektorkorrutis. Seetõttu on parem vähemalt süveneda kõigisse omadustesse, millega kõrgema matemaatika kursusel kokku puutute, et mõista, mida saate teha ja mida mitte.

Näide 3

.

Lahendus: Kõigepealt teeme olukorra selgeks vektoriga. Mis see ikkagi on? Vektorite summa on täpselt määratletud vektor, mida tähistatakse . Vektoritega toimingute geomeetrilise tõlgenduse leiate artiklist Mannekeenide vektorid. Sama petersell koos vektoriga on vektorite ja .

Seega on tingimuse järgi vaja leida skalaarkorrutis. Teoreetiliselt peate kandideerima töövalem , aga häda on selles, et me ei tea vektorite pikkusi ja nende vahelist nurka. Kuid tingimus annab vektorite jaoks sarnased parameetrid, seega valime teistsuguse marsruudi:

(1) Asendage vektorite avaldised.

(2) Avame sulud polünoomide korrutamise reegli järgi, vulgaarse keeleväänaja leiab artiklist Keerulised numbrid või Murd-ratsionaalfunktsiooni integreerimine. Ma ei korda ennast =) Muide, skalaarkorrutise jaotusomadus võimaldab sulgusid avada. Meil on õigus.

(3) Esimeses ja viimases osas kirjutame kompaktselt vektorite skalaarruudud: . Teises liikmes kasutame skalaarkorrutise kommuteeritavust: .

(4) Esitame sarnased terminid: .

(5) Esimeses liikmes kasutame skalaarruutvalemit, mida mainiti mitte nii kaua aega tagasi. Viimasel ametiajal töötab vastavalt sama asi: . Laiendame teist terminit standardvalemi järgi .

(6) Asendage need tingimused , ja tehke lõplikud arvutused HOOLIKALT.

Vastus:

Negatiivne tähendus Skalaarkorrutis kinnitab fakti, et vektorite vaheline nurk on nüri.

Probleem on tüüpiline, siin on näide selle ise lahendamiseks:

Näide 4

Leidke vektorite skalaarkorrutis ja kui see on teada .

Nüüd veel üks levinud ülesanne, just uue vektori pikkuse valemi jaoks. Siinne märge kattub veidi, nii et selguse huvides kirjutan selle ümber teise tähega:

Näide 5

Leia vektori pikkus, kui .

Lahendus saab olema järgmine:

(1) Esitame vektori avaldise.

(2) Kasutame pikkuse valemit: , ja kogu avaldis ve toimib vektorina “ve”.

(3) Summa ruudu jaoks kasutame kooli valemit. Pange tähele, kuidas see siin kurioossel viisil toimib: – tegelikult on see erinevuse ruut ja nii see tegelikult on. Soovijad saavad vektoreid ümber paigutada: - juhtub sama, kuni terminite ümberpaigutamiseni.

(4) Järgnev on juba kahest eelnevast ülesandest tuttav.

Vastus:

Kuna me räägime pikkusest, ärge unustage märkida mõõdet - "ühikud".

Näide 6

Leia vektori pikkus, kui .

See on näide, mille saate ise lahendada. Täielik lahendus ja vastus tunni lõpus.

Jätkame punktitootest kasulike asjade väljapressimist. Vaatame uuesti oma valemit . Kasutades proportsioonireeglit, lähtestame vektorite pikkused vasaku külje nimetaja järgi:

Vahetame osad ära:

Mis on selle valemi tähendus? Kui on teada kahe vektori pikkused ja nende skalaarkorrutis, siis saame arvutada nende vektorite vahelise nurga koosinuse ja sellest tulenevalt ka nurga enda.

Kas täpptoode on number? Number. Kas vektori pikkused on arvud? Numbrid. See tähendab, et ka murd on arv. Ja kui nurga koosinus on teada: , seejärel kasutades pöördfunktsioon Nurka ise on lihtne leida: .

Näide 7

Leia vektorite vaheline nurk ja kui on teada, et .

Lahendus: Kasutame valemit:

Peal viimane etapp kasutatud arvutused tehniline tehnika– irratsionaalsuse kõrvaldamine nimetajas. Irratsionaalsuse kõrvaldamiseks korrutasin lugeja ja nimetaja arvuga.

Nii et kui , See:

Pöördväärtused trigonomeetrilised funktsioonid võib leida trigonomeetriline tabel. Kuigi seda juhtub harva. Analüütilise geomeetria ülesannetes meeldib palju sagedamini mõni kohmakas karu ja nurga väärtus tuleb kalkulaatori abil ligikaudselt leida. Tegelikult näeme sellist pilti rohkem kui üks kord.

Vastus:

Jällegi ärge unustage märkida mõõtmeid - radiaanid ja kraadid. Isiklikult eelistan ilmselgelt "kõikide küsimuste lahendamiseks" märkida mõlemad (kui tingimus muidugi ei nõua vastuse esitamist ainult radiaanides või ainult kraadides).

Nüüd saate iseseisvalt hakkama rohkemaga raske ülesanne:

Näide 7*

Antud on vektorite pikkused ja nendevaheline nurk. Leia vektorite vaheline nurk , .

Ülesanne pole niivõrd raske, kuivõrd mitmeastmeline.
Vaatame lahendusalgoritmi:

1) Vastavalt tingimusele peate leidma nurga vektorite ja vahel, seega peate kasutama valemit .

2) Leidke skalaarkorrutis (vt näiteid nr 3, 4).

3) Leidke vektori pikkus ja vektori pikkus (vt näited nr 5, 6).

4) Lahenduse lõpp langeb kokku näitega nr 7 – me teame arvu , mis tähendab, et nurga enda leidmine on lihtne:

Lühilahendus ja vastus tunni lõpus.

Tunni teine ​​osa on pühendatud samale skalaarkorrutisele. Koordinaadid. See on veelgi lihtsam kui esimeses osas.

vektorite punktkorrutis,
antud koordinaatidega ortonormaalsel alusel

Vastus:

Ütlematagi selge, et koordinaatidega tegelemine on palju meeldivam.

Näide 14

Leia vektorite skalaarkorrutis ja kui

See on näide, mille saate ise lahendada. Siin saab kasutada tehte assotsiatiivsust, st mitte arvestada , vaid viia kolmik kohe skalaarkorrutisest välja ja korrutada sellega viimaseks. Lahendus ja vastus on tunni lõpus.

Jaotise lõpus provokatiivne näide vektori pikkuse arvutamise kohta:

Näide 15

Leia vektorite pikkused , Kui

Lahendus: Eelmise jaotise meetod soovitab ennast uuesti: kuid on veel üks viis:

Leiame vektori:

Ja selle pikkus triviaalse valemi järgi:

Punkttoode pole siin üldse asjakohane!

Samuti pole see kasulik vektori pikkuse arvutamisel:
Peatus. Kas me ei peaks ära kasutama vektori pikkuse ilmset omadust? Mida saab öelda vektori pikkuse kohta? See vektor on vektorist 5 korda pikem. Suund on vastupidine, kuid see ei oma tähtsust, sest me räägime pikkusest. Ilmselgelt on vektori pikkus võrdne korrutisega moodul numbrid vektori pikkuse kohta:
– moodulmärk “sööb ära” arvu võimaliku miinuse.

Seega:

Vastus:

Koordinaatidega määratud vektorite vahelise nurga koosinuse valem

nüüd on meil täielik teave, nii et vektoritevahelise nurga koosinuse eelnevalt tuletatud valem väljendada vektori koordinaatide kaudu:

Tasapinnavektorite vahelise nurga koosinus ja , määratud ortonormaalsel alusel, väljendatakse valemiga:
.

Ruumivektorite vahelise nurga koosinus, määratud ortonormaalselt, väljendatakse valemiga:

Näide 16

Antud kolmnurga kolm tippu. Leia (tipunurk).

Lahendus: Tingimuste kohaselt pole joonist vaja, kuid siiski:

Vajalik nurk on tähistatud rohelise kaarega. Meenutagem kohe nurga kooli nimetust: - Erilist tähelepanu peal keskmine täht - see on meile vajaliku nurga tipp. Lühiduse huvides võite kirjutada ka lihtsalt .

Jooniselt on üsna ilmne, et kolmnurga nurk langeb kokku vektorite vahelise nurgaga ja teisisõnu: .

Soovitatav on õppida vaimselt analüüsi tegema.

Leiame vektorid:

Arvutame skalaarkorrutise:

Ja vektorite pikkused:

Nurga koosinus:

Just sellist ülesande täitmise järjekorda soovitan mannekeenidele. Kogenumad lugejad saavad arvutused kirjutada "ühele reale":

Siin on näide "halvast" koosinusväärtusest. Saadud väärtus ei ole lõplik, seega pole mõtet nimetaja irratsionaalsusest vabaneda.

Leiame nurga enda:

Kui vaadata joonist, on tulemus üsna usutav. Kontrollimiseks võib nurka mõõta ka protraktoriga. Ärge kahjustage monitori katet =)

Vastus:

Vastuseks me ei unusta seda küsis kolmnurga nurga kohta(ja mitte vektorite vahelise nurga kohta), ärge unustage näidata täpset vastust: ja nurga ligikaudset väärtust: , leitud kalkulaatori abil.

Need, kes on protsessi nautinud, saavad arvutada nurgad ja kontrollida kanoonilise võrdsuse kehtivust

Näide 17

Kolmnurk on ruumis määratletud selle tippude koordinaatidega. Leia külgede vaheline nurk ja

See on näide, mille saate ise lahendada. Täislahendus ja vastus tunni lõpus

Väike viimane osa on pühendatud projektsioonidele, milles on "kaasatud" ka skalaarkorrutis:

Vektori projektsioon vektorile. Vektori projektsioon koordinaattelgedele.
Vektori suunakoosinused

Kaaluge vektoreid ja:

Projekteerime vektori vektorile; selleks jätame vektori algusest ja lõpust välja perpendikulaarid vektoriks (rohelised punktiirjooned). Kujutage ette, et valguskiired langevad vektorile risti. Siis on segment (punane joon) vektori "vari". Sel juhul on vektori projektsioon vektorile lõigu PIKKUS. See tähendab, PROJEKTSIOON ON NUMBER.

See NUMBER on tähistatud järgmiselt: , "suur vektor" tähistab vektorit MIS projekt, "väike alamindeksi vektor" tähistab vektorit PEAL mis on prognoositud.

Kirje ise kõlab järgmiselt: "vektori "a" projekteerimine vektorile "olla".

Mis juhtub, kui vektor "olla" on "liiga lühike"? Joonistame sirge, mis sisaldab vektorit "olla". Ja vektor “a” projitseeritakse juba vektori "olema" suunas, lihtsalt - sirgele, mis sisaldab vektorit “olla”. Sama juhtub ka siis, kui vektor "a" lükatakse edasi kolmekümnendas kuningriigis - see projitseeritakse ikkagi hõlpsalt sirgele, mis sisaldab vektorit "olla".

Kui nurk vektorite vahel vürtsikas(nagu pildil), siis

Kui vektorid ortogonaalne, siis (projektsioon on punkt, mille mõõtmeid loetakse nulliks).

Kui nurk vektorite vahel nüri(joonisel seadke vektori nool mõtteliselt ümber), seejärel (sama pikk, kuid võetud miinusmärgiga).

Joonistame need vektorid ühest punktist:

Ilmselgelt, kui vektor liigub, siis selle projektsioon ei muutu

Geomeetriat õppides tekib vektorite teemal palju küsimusi. Üliõpilasel on erilisi raskusi, kui on vaja leida vektorite vahelisi nurki.

Põhiterminid

Enne vektoritevaheliste nurkade vaatamist on vaja tutvuda vektori definitsiooni ja vektoritevahelise nurga mõistega.

Vektor on segment, millel on suund, see tähendab segment, mille jaoks on määratletud selle algus ja lõpp.

Tasapinna kahe ühise alguspunktiga vektori vaheline nurk on nurk, mille võrra üht vektorit tuleb nihutada ümber ühispunkti, kuni nende suunad ühtivad.

Lahenduse valem

Kui olete aru saanud, mis on vektor ja kuidas selle nurk määratakse, saate arvutada vektorite vahelise nurga. Selle lahendusvalem on üsna lihtne ja selle rakendamise tulemuseks on nurga koosinuse väärtus. Definitsiooni järgi võrdub see vektorite skalaarkorrutise ja nende pikkuste korrutise jagatisega.

Vektorite skalaarkorrutis arvutatakse faktorvektorite vastavate koordinaatide summana, mis on korrutatud üksteisega. Vektori pikkus ehk moodul arvutatakse selle koordinaatide ruutude summa ruutjuurena.

Olles saanud nurga koosinuse väärtuse, saate kalkulaatori või trigonomeetrilise tabeli abil arvutada nurga enda väärtuse.

Näide

Kui olete aru saanud, kuidas vektorite vahelist nurka arvutada, muutub vastava ülesande lahendamine lihtsaks ja selgeks. Näitena tasub kaaluda lihtsat nurga väärtuse leidmise probleemi.

Esiteks on mugavam arvutada lahenduse jaoks vajalike vektori pikkuste väärtusi ja nende skalaarkorrutist. Kasutades ülaltoodud kirjeldust, saame:

Asendades saadud väärtused valemisse, arvutame soovitud nurga koosinuse väärtuse:

See arv ei ole üks viiest tavalisest koosinusväärtusest, nii et nurga saamiseks peate kasutama kalkulaatorit või Bradise trigonomeetrilist tabelit. Kuid enne vektorite vahelise nurga saamist saab valemit lihtsustada, et vabaneda ekstra negatiivsest märgist:

Täpsuse säilitamiseks võib lõpliku vastuse jätta nii, nagu see on, või arvutada nurga väärtuse kraadides. Bradise tabeli järgi on selle väärtus ligikaudu 116 kraadi ja 70 minutit ning kalkulaator näitab väärtust 116,57 kraadi.

Nurga arvutamine n-mõõtmelises ruumis

Kui vaadelda kahte vektorit kolmemõõtmelises ruumis, on palju keerulisem aru saada, millisest nurgast me räägime, kui need ei asu samas tasapinnas. Tajumise lihtsustamiseks saate joonistada kaks ristuvat segmenti, mis moodustavad nende vahel väikseima nurga; see on soovitud segment. Kuigi vektoris on kolmas koordinaat, ei muutu vektorite vaheliste nurkade arvutamise protsess. Arvutage vektorite skalaarkorrutis ja moodulid, nende jagatise kaarekoosinus on selle probleemi lahendus.

Geomeetrias on sageli probleeme ruumidega, millel on rohkem kui kolm mõõdet. Kuid nende jaoks tundub vastuse leidmise algoritm sarnane.

Erinevus 0 ja 180 kraadi vahel

Üks levinumaid vigu vektorite vahelise nurga arvutamiseks mõeldud ülesandele vastuse kirjutamisel on otsus kirjutada, et vektorid on paralleelsed, see tähendab, et soovitud nurk on 0 või 180 kraadi. See vastus on vale.

Olles saanud lahenduse tulemusel nurga väärtuseks 0 kraadi, oleks õige vastus määrata vektorid kaassuunalisteks, st vektorid on sama suunaga. Kui saadakse 180 kraadi, on vektorid vastupidise suunaga.

Spetsiifilised vektorid

Olles leidnud vektoritevahelised nurgad, leiate lisaks ülalkirjeldatud kaas- ja vastassuunalistele ühe eritüübi.

• Mitut ühe tasapinnaga paralleelset vektorit nimetatakse koplanaarseks.
• Vektoreid, mis on sama pikkuse ja suunaga, nimetatakse võrdseteks.
• Vektoreid, mis asuvad samal sirgel, olenemata suunast, nimetatakse kollineaarseteks.
• Kui vektori pikkus on null, st selle algus ja lõpp langevad kokku, siis nimetatakse seda nulliks ja kui see on üks, siis ühikuks.

Teie soovil!

1. Kõrvaldage nimetaja irratsionaalsus:

3. Lahendage eksponentsiaalvõrrand:

4. Lahendage ebavõrdsus:

Aritmeetiline ruutjuur eksisteerib ainult mittenegatiivse arvu korral ja seda väljendatakse alati mittenegatiivse arvuna Seetõttu kehtib see ebavõrdsus kõigi jaoks X, mis vastab tingimusele: 2-х≥0. Siit saame: x≤2. Vastuse kirjutame numbrilise intervalli kujul: (-∞; 2].

5. Lahendage võrratus: 7 x > -1.

A-prioor: Funktsiooni kujul y = a x nimetatakse eksponentsiaalseks, kus a >0, a≠1, x on suvaline arv. Eksponentfunktsiooni väärtuste vahemik on kõigi positiivsete arvude kogum, sest positiivne arv igal määral positiivne. Sellepärast 7 x >0 iga x ja veelgi enam 7 x > -1, s.o. ebavõrdsus kehtib kõigi x ∈ (-∞; +∞) korral.

6. Teisenda tooteks:

Rakendame siinuste summa valemit: kahe nurga siinuste summa võrdub nende nurkade poolsumma siinuse ja nende poolvahe koosinuse kahekordse korrutisega.

8. On teada, et f(x) = -15x+3. Milliste x väärtuste korral on f(x)=0?

Asendage f(x) asemel arv 0 ja lahendage võrrand:

15x+3=0 ⇒ -15x=-3 ⇒ x=3:15 ⇒ x = 1/5.

11 . Esimeses ja teises sulamis on vask ja tsink vahekorras 5:2 ja 3:4. Kui palju tuleb igast sulamist võtta, et saada 28 kg uut sulamit, milles on võrdne vase ja tsingi sisaldus.

Mõistame, et uus sulam sisaldab 14 kg vaske ja 14 kg tsinki. Sarnased ülesanded lahendatakse kõik ühtemoodi: luuakse võrrand, milles vasak ja parem pool sisaldavad sama palju ainet (võtame vase), mis on kirjutatud erinevalt (ülesande konkreetsetest tingimustest lähtuvalt). Meie 14 kg vaske uues sulamis koosneb mõlemast sulamist saadud vasest. Laske esimese sulami mass X kg, siis on teise sulami mass ( 28-aastased) kg. Esimene sulam sisaldab 5 osa vaske ja 2 osa tsinki, seega on vaske (5/7) alates x kg. Arvu murdosa leidmiseks tuleb murdosa antud arvuga korrutada. Teine sulam sisaldab 3 osa vaske ja 4 osa tsinki, s.o. vask sisaldab (3/7) alates (28) kg. Niisiis:

12. Lahendage võrrand: log 2 8 x = -1.

Logaritmi määratluse järgi:

8 x = 2 -1 ⇒ 2 3x = 2 -1 ⇒ 3x = -1 ⇒ x = -1/3.

15. Leia funktsiooni f(x) = -ln cosx 2 tuletis.

20. Leidke väljendi tähendus:

Arvu moodulit saab väljendada ainult mittenegatiivse arvuna. Kui mooduli märgi all on negatiivne avaldis, siis moodulsulgude avamisel kirjutatakse kõik terminid vastandmärkidega.

22. Lahendage võrratuste süsteem:

Esiteks lahendame iga ebavõrdsuse eraldi.

Pange tähele, et nende funktsioonide väikseim ühine periood oleks 2π, seetõttu omistati nii vasak kui parem 2πn. Vastus C).

23. Leia joonise pindala, mis on piiratud funktsiooni y=3-|x-3| graafikuga ja sirge y=0.

Selle funktsiooni graafik koosneb kahest ühest punktist väljuvast pooljoonest. Kirjutame üles sirgete võrrandid. X≥3 korral avame moodulsulud ja saame: y=3-x+3 ⇒ y = 6-x. Kell x<3 получаем функцию: y=3+x-3 ⇒ y=x.

Funktsiooni graafiku ja Ox-telje segmendiga piiratud kolmnurk on kujund, mille pindala tuleb leida. Muidugi saame siin ilma integraalideta hakkama. Leiame kolmnurga pindala poolena selle aluse ja selle aluse kõrguse korrutisest. Meie alus võrdub 6 ühiku segmendiga ja selle aluse kõrgus on võrdne 3 ühiku segmendiga. Pindala saab olema 9 ruutmeetrit. ühikut

24. Leidke punktides A(1; 4), B(-2; 3), C(4; 2) tippudega kolmnurga nurga A koosinus.

Vektori otste koordinaatidega antud koordinaatide leidmiseks tuleb lõpu koordinaatidest lahutada alguse koordinaadid.

Nurk A moodustub vektoritest:

25. Karbis on 23 palli: punane, valge ja must. Valgeid palle on 11 korda rohkem kui punaseid. Mitu musta palli?

Las see lebab kastis X punased pallid. Siis valge 11x pallid.

Punane ja valge x+11x= 12x pallid. Seetõttu mustad pallid 23-12x. Kuna see on pallide täisarv, on ainus võimalik väärtus x=1. Selgub: 1 punane pall, 11 valget palli ja 11 mustad pallid.