Hägusloogika – matemaatilised alused. Hägune hulga teooria
Märkus: Loengus esitatakse meetodid majandusprobleemide modelleerimiseks, kasutades fuzzy komplekte Mathcad keskkonnas. Tutvustatakse hägusate hulkade teooria põhimõisteid. Näited näitavad tehteid hulkadega ja omaduste arvutamist. Käsitletakse algseid probleeme, mille puhul otsustusprotsessis kasutatakse hägusate komplektide lähenemisviisi. Modelleerimistehnikat rakendatakse Mathcad programmi maatriksite abil.
Loengu eesmärk. Tutvustage hägusaid komplekte. Õppige püstitama hägusa komplekti mudeli konstrueerimisel probleemi. Näidake, kuidas Mathcadis luua hägusaid komplekte ja teha nendega toiminguid. Tutvustage meetodeid häguse hulga mudeli lahendamiseks ülesannete lahendamise protsessis.
6.1 Häguskomplektne modelleerimine
Laia klassi reaalsete objektide modelleerimisel on vaja teha otsuseid mittetäieliku häguse teabe tingimustes. Kaasaegne paljutõotav modelleerimise suund erinevat tüüpi määramatus on hägusate hulkade teooria. Hägusate hulkade teooria raames on välja töötatud meetodid inimliku arutluse formaliseerimiseks ja modelleerimiseks, nagu mõisted "enam-vähem kõrge inflatsioonitase", "stabiilne positsioon turul", "väärtuslikum" jne.
Hägusate komplektide kontseptsiooni pakkus esmakordselt välja Ameerika teadlane L. A. Zade (1965). Tema ideed aitasid kaasa häguse loogika arendamisele. Erinevalt standardloogikast, millel on kaks kahendolekut (1/0, Jah/ei, Tõene/Väär), võimaldab häguloogika määrata standardhinnangute vahepealseid väärtusi. Selliste hinnangute näited on järgmised: "tõenäolisemalt jah kui ei", "tõenäoliselt jah", "natuke paremale", "järsult vasakule", erinevalt tavapärastest hinnangutest: "paremale" või "paremale" vasakule", "jah". Hägusate hulkade teoorias tutvustatakse hägusaid numbreid spetsiaalset tüüpi hägusate alamhulkadena, mis vastavad sellistele väidetele nagu "muutuja väärtus on ligikaudu võrdne a-ga". Vaatleme näiteks kolmnurkset hägusarvu, kus eristatakse kolme punkti: minimaalne võimalik, kõige oodatud ja maksimaalne võimalik tähendus tegur a. Kolmnurksed arvud on praktikas kõige sagedamini kasutatav häguste arvude tüüp ja enamasti kasutatakse neid ennustavate parameetrite väärtustena. Näiteks järgmise aasta oodatav inflatsiooniväärtus. Olgu kõige tõenäolisem väärtus 10%, minimaalne võimalik väärtus 5% ja maksimaalne võimalik väärtus 20%, siis saab kõik need väärtused taandada hägusa alamhulga või hägusa arvu A kujule: A: ( 5, 10, 20)
Hägusate numbrite kasutuselevõtuga on muutunud võimalikuks ennustada parameetrite tulevasi väärtusi, mis varieeruvad kindlaksmääratud disainivahemikus. Tutvustatakse hägusarvudega tehteid, mis teatud usaldusvahemiku (liikmelisuse taseme) määramisel taandatakse algebralisteks tehteteks tavaarvudega. Hägusate numbrite kasutamine võimaldab määrata prognoositud parameetrite väärtuste jaoks arvutatud koridori. Seejärel hindab ekspert eeldatavat efekti ka hägusarvuna, millel on oma arvutatud hajuvus (hägususaste).
Hägusloogika kui inimese mõtlemisprotsesside mudel on sisse ehitatud tehisintellektisüsteemidesse ja automatiseeritud tugitööriistadesse otsuse tegemine(eriti juhtimissüsteemides tehnoloogilised protsessid).
6.2 Hägusate hulgateooria põhimõisted
Hulk on matemaatikas määratlemata mõiste. Georg Cantor (1845 – 1918) – saksa matemaatik, kelle töö on aluseks kaasaegne teooria seab, annab järgmise kontseptsiooni: "... komplekt on palju, kui üks on."
Hulka, mis sisaldab kõiki ülesandes vaadeldavaid objekte, nimetatakse universaalseks hulgaks. Universaalne komplekt tavaliselt tähistatakse tähega . Universaalne komplekt on maksimaalne hulk selles mõttes, et kõik objektid on selle elemendid, s.t. probleemi sees olev väide on alati tõene. Minimaalne komplekt on tühi komplekt– , mis ei sisalda elemente. Kõik ülejäänud vaadeldava ülesande hulgad on hulga alamhulgad. Tuletame meelde, et hulka nimetatakse hulga alamhulgaks, kui kõik elemendid on ka elemendid. Hulga määramine on reegel, mis võimaldab universaalse hulga mis tahes elemendi suhtes üheselt kindlaks teha, kas see kuulub hulka või mitte. Teisisõnu on reegel määrata, milline kahest väitest ehk , on tõene ja milline vale. Üks komplektide defineerimise viise on nende määramine iseloomuliku funktsiooni abil.
Hulgi iseloomulik funktsioon on universaalsel hulgal defineeritud funktsioon, mille väärtus on üks nendele hulga elementidele, mis kuuluvad ja väärtuseks null nendele elementidele, mis ei kuulu:
 |
(6.1) |
Näiteks kaaluge universaalne komplekt ja selle kaks alamhulka: - arvude hulk, mis on väiksemad kui 7, ja - arvude hulk, mis on veidi väiksemad kui 7. Hulgi iseloomulik funktsioon on kujul
 |
(6.2) |
Seadke sisse selles näites on tavaline komplekt.
Hulga iseloomulikku funktsiooni on võimatu üles kirjutada, kasutades ainult 0 ja 1. Näiteks, kas numbrid peaksid sisaldama 1 ja 2? Kas number 3 on "palju" või "mitte palju" väiksem kui 7? Nendele ja sarnastele küsimustele saab vastuseid sõltuvalt probleemi tingimustest, milles komplekte ja kasutatakse, aga ka selle probleemi lahendaja subjektiivsest vaatest. Komplekti nimetatakse hägusaks hulgaks. Häguse hulga iseloomuliku funktsiooni koostamisel probleemi lahendaja(ekspert) saab avaldada oma arvamust selle kohta, mil määral iga komplekti olev arv hulka kuulub. Liikmelisuse astmeks saate valida segmendist mis tahes numbri. Samas tähendab see eksperdi täielikku kindlustunnet, et - samamoodi täielikku usaldust, mis näitab, et eksperdil on raske vastata küsimusele, kas see kuulub komplekti või ei kuulu. Kui 
, siis kaldub ekspert liigitama seda komplekti, kuid kui 
, siis ma ei kipu.
Häguse hulga liikmelisuse funktsioon on funktsioon, mis
Seda funktsiooni nimetatakse liikmelisuse funktsioon hägune komplekt. - Maksimaalne väärtus Hulgas esinevat liikmefunktsiooni – supremum – nimetatakse supremumiks. Liikmelisuse funktsioon peegeldab spetsialisti subjektiivset nägemust probleemist ja toob selle lahendusesse individuaalsuse.
Tavalise hulga iseloomulikku funktsiooni võib pidada selle hulga liikmefunktsiooniks, kuid erinevalt hägusast hulgast on sellel ainult kaks väärtust: 0 või 1.
Hägune komplekt on paar 
, Kus - universaalne komplekt, - liikmelisuse funktsioon hägune komplekt.
Häguse hulga kandjahulk ehk kandja on hulga alamhulk, mis koosneb elementidest, millel 
.
Häguse hulga üleminekupunkti nimetatakse seatud element, mille peal 
.
Vaadeldavas näites, kus , on arvude hulk, mis on väiksem kui 7, on arvude kogum, mis on veidi väiksem kui 7, valime subjektiivselt väärtused komplektile, mis moodustab liikmelisuse funktsiooni. Tabelis 6.1 on toodud ja ja ja liikmelisuse funktsioonid.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| 0 | 0 | 0,5 | 0,6 | 0,8 | 0,9 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Sageli kasutatakse lõplike või loendatavate häguste hulkade jaoks kompaktsemat tähistust. Nii et ülaltoodud alamhulkade ja tabelitabeli asemel saab need alamhulgad kirjutada järgmisel viisil.
Tere, kodanikud ja kodanikud. Vasaku kanna käsul otsustasin alustada populaarteaduslike artiklite sarja, kus selgitan tehisintellekti põhitõdesid. Seetõttu proovin edaspidi külalislektori rolli, rääkides kuidas kosmoselaevad hulkuma Suure Teatri avarustes.
Ma ei saa avaldada ühte artiklit päevas, nii et ma ei luba midagi, et mitte end nende kohustustega häbistada. Ainuke asi: ma ei piina teisi matemaatika rohkusega, püüan esitada kõike võimalikult selgelt, kuid ilma roppusteta. Alustan tsüklit hägusloogika aparaadiga, kus selgitan, mis on selle intelligentsus.
Alustama lühike ekskursioon hulgateooriasse. Komplekt on mitme objekti kogum, millel on teatud omadus. Näiteks kõigi meie planeedi inimeste kogum. Palju Audi autosid RGB värvikoordinaatidega (255, 165, 0). Kõik isased kakaduud istuvad ühel jalal oksal täpselt kell 1539 GMT. Selgete komplektide olemus on nende absoluutne kategoorilisus. See tähendab, et teha kindlaks, kas objekt kuulub teatud hulka, tuleb vastata küsimusele, kas sellel on omadus, mis seda hulka määratleb. Mitte päris. Ei rohkem ega vähem. Kas üks on suurem kui null? Jah. See tähendab, et see kuulub positiivsete arvude hulka.
Liigume kehale lähemale, häguste hulkade teooriale. Selle lõi Aserbaidžaani päritolu Ameerika teadlane Lotfi Zadeh, et kohandada hulgateooriat inimese mõtteviisiga. Lõppude lõpuks, kuidas väike mees mõtleb? Kui te rannas olles küsite ujujalt: "Ütle mulle, kallis mees, mis temperatuur on Fahrenheiti skaalal kümnendiku kraadi täpsusega?", siis vaatab ta teile, nagu oleksite vaimuhaige. Ja kui esitate küsimuse: "Kuidas vesi täna on?", siis ta ütleb: "Külm/kuum/soe" või pomiseb "märg", kui tal täna tuju pole. Asi on selles, et " külm vesi" - see on üsna ebamäärane sõnastus. Üks peesitab õndsuses, kus teine jookseb kahe minuti pärast kaldale peesitama. Nii töötab inimene, subjektiivsus ja selle puudumine selged piirid- see käib meie kohta.
Mõned on juba suutnud välja mõelda, miks hägused komplektid. On äärmiselt raske kindlaks teha, kui paljudel inimestel on omadus "pikk". Minu, kahemeetrise nägusa mehe, õlgade poole kaldu, pikk, ei jää vähemalt kõrva kõrgusele alla. Ja pooleteise meetri pikkune lühike mees vaatab 170 cm pikkust inimest üles tõstetud peaga - tema jaoks algab pikk kasv palju varem. See puudutab subjektiivsust.
Teiseks raskuseks on piiride hägustumine. Kas on võimalik täpselt määrata sentimeetrite arv, mis eraldab keskmise pikkusega inimest lühikesest? 170 ja pool? 172 ja kolmveerand? Jaotus on väga-väga meelevaldne. Seega oleme jõudnud lähedale hägusate komplektide ja teravate komplektide erinevusele.
Trummipõrin, Moskva Kunstiteatri paus... Seega erinevad hägused komplektid teravatest komplektidest selle poolest, et hägustesse komplekti kuuluvatel objektidel võib olla omadus, mis neid erineval määral määratleb. Leppisime kokku, et loeme selle kuuluvusastme vahemikku nullist üheni, aga kui kellelegi on mugavam, võib ta korrutada 100-ga ja saadki protsendid.
Oletame, et jood kõrvetavat kohvi ja tass suitseb. 0,99 kindlusega (99 protsenti – see on esimene ja viimane kord, kui ma seda tööd teie eest teen) võime öelda, et kohvil on “kuum” omadus. Kui selle (mõttes mõttes kohvi) temperatuur on 50 kraadi Celsiuse järgi, siis on “kuuma” omaduse omamise aste palju madalam, näiteks 0,76 (nüüd tehke ise arvutus). Samas on objekte, mis kuuluvad nulli või ühe kraadiga “kuuma” hulka. Näiteks poolkülmutatud kohvi võib kuumaks nimetada vaid hull või vene keele mitteoskaja, aga kohvi keetmine on sada puuda kuuma. Näiteid võib tuua lõputult, õnneks on peaaegu iga igapäevaelus kasutatav inimkategooria hägune. Toetudes teie rikkalikule kujutlusvõimele, jätan teiste näidete leidmise teie ülesandeks ise lahendada.
Miks oli sellise teooria loomine nii oluline, miks nad sellele nii suurt tähelepanu pöörasid? Vastus on lihtne: siin on peidetud kullakaevandus. Tohutu kasutusala. Oletame, et olete insener ja seisate silmitsi ülesandega kujundada mikrolaineahi. Millise temperatuurini inimene toitu soojendab? Kuni 40,2°C? Persse. Kuumale, mis on hägune komplekt. Ja mikrolaineahju ülesanne on anda suupistele temperatuur, mis üheainsa kindlusastmega kuuluks "kuuma" komplekti.
Siis algab lõbu, matemaatikatundidest koolist kõrvalejääjad võivad karjudes minema joosta. A? Mida? Kas ma lubasin ilma selleta hakkama saada? Nagu vana Arnie ütles kuulus film- "Ma valetasin". Liikmelisuse astet tähistatakse tavaliselt kreeka tähega "mu" - μ. Et igav ei hakkaks, tutvustame keelelise muutuja mõistet – see on muutuja, mis võib omandada väärtuse inimkeele sõnade kujul. See tähendab, et keeleline muutuja "kõrgus" võib võtta järgmisi väärtusi: "kõrge", "keskmine", "madal". Me nimetame keelelise muutuja väärtusi terminikomplektideks; pange tähele, et need on hägused. Ja lõpuks on universaalse komplekti kontseptsioon - tavaline selge komplekt, mis sisaldab kõiki väärtusi, mida tavaline muutuja võib võtta. Tavaline muutuja "inimese pikkus" võib võtta väärtused nullist kuni "ma ei mäleta, mitu Guinnessi rekordit seal on".
Liikmesusfunktsiooni (MF) eesmärk on määrata, mil määral tavaline muutuja kuulub keelelise muutuja väärtuse hulka. Kuna olen hakanud rõhutama pikkuse teemat, siis täpsustan: FP määrab, mil määral kuulub 184 cm pikkune inimene mõistekomplekti “keskmine”. Niisiis, paneme vanaemad kokku. Meil on keeleline muutuja. Meil on mitu selle väärtust, millest igaüks on hägune komplekt. Lõpuks on meil universaalne komplekt - tavalise muutuja arvväärtuste komplekt. Meil on järgmine eesmärk: määrata iga häguse komplekti jaoks oma liikmefunktsioon, st. määrake universaalse hulga iga elemendi jaoks kuuluvusaste vastavasse hägusasse hulka. Seejärel saame osutada muutuja konkreetsele väärtusele ja vaadata, mil määral see kuulub mis tahes häguse hulka. See on kõik, torm on möödas, saate higi maha pühkida ja korraks lõõgastuda. Järgmiseks tulevad naljakad pildid, misjärel jätkame veel mõnda aega lõbutsemist. Piltidel illustreerin liikmelisuse funktsiooni tähendust, näitan, mis tüüpi neid loomi on, millega neid süüakse ja selgitan, kuidas neid loomi ehitada. Tuleme tagasi teie lemmikteema juurde, mis puudutab inimese kasvu. Võtame näitena "keskmise" komplekti ja joonistame liikmefunktsiooni.
Nüüd saate teritatud pliiatsiga relvastuses valida "x" mis tahes väärtuse ja vaadata, mil määral see x vastab keskmise pikkuse tingimusele. Asjaolu, et meeter kaheksakümmend on raudkindel. Mõõtur seitsekümmend kaks - kraadiga 0,5. Ühe meetri ja viiekümne kõrgus pole sugugi keskmine, seega on liikmelisuse aste null. Ja nii edasi. Pange tähele, et antud funktsiooni nimetatakse kolmnurkseks. Seda on raske uskuda ja siiski.
Võtsime aga valmis funktsiooni, mille keegi (keegi!) meile lahkelt andis. Kuidas saame ise sarnase funktsiooni üles ehitada? On kaks võimalust: lihtne ja keeruline. Arusaadavatel põhjustel kirjeldan ainult ühte lihtsat. Esiteks peate kokku panema ekspertide rühma. Noh, see tähendab, need laisklased, kes usuvad, et saavad kõigest aru ja teavad, kuidas maailm tegelikult toimib. Andke igale eksperdile pliiats ja märkmik. Seejärel loetlege muutuja väärtused ja paluge panna selle väärtuse vastas "1" (pulk, rist - valikuline), kui ekspert usub, et muutuja väärtus kuulub hägusasse komplekti. Muidu null. Seejärel liidage muutuja iga väärtuse kohta nullid ja ühed ning võtke keskmine – see tähendab, et saadud summa jagage slackerite arvuga. Saadud väärtus jääb vahemikku nullist üheni (mõlemad väärtused kaasa arvatud). Mõned võivad arvata, et saime liikmelisuse funktsiooni väärtuse muutuja konkreetse väärtuse jaoks. Olles saanud muutuja x kõigi väärtuste PT väärtused, saate koostada graafiku. Või ära ehita, kui oled laisk.
60ndatel loodud hägusate hulkade matemaatiline teooria. mustrituvastuse kitsa utilitaarse probleemi lahendamiseks on praegu rakendusi kõige rohkem erinevaid valdkondi teaduslikud ja majanduslik tegevus- alates tööst tehisintellekti loomisel viienda põlvkonna arvutites kuni keerukate tehnoloogiliste protsesside juhtimiseni.See teooria põhineb häguse hulga ja liikmelisuse funktsiooni kontseptsioonidel, mille definitsioon on toodud allpool.
Olgu E hulk, loendatav või mitte, nende: - E element. Siis defineeritakse hulga E hägune alamhulk A järjestatud paaride hulgana ((x, μ~A(x))), Vx є E , kus μ-A(x) on iseloomulik liikmelisuse funktsioon, mis võtab oma väärtused täielikult järjestatud hulka M, mis näitab elemendi x kuuluvuse alamhulka A. Hulka M nimetatakse liikmesuse hulgaks.
Illustreerime hägusate hulkade teooria rakendamist majanduses hulgimüügiettevõtte perspektiivse sortimendi arvutamise näitel ühes tooteprofiilis fikseeritud kauplemispiirkonna jaoks. Paljulubava sortimendi all sisse sel juhul Mõiste all mõistetakse kaupade kogumit, mis on tarbijate seas ilmselgelt nõutud - antud juhul hulgimüügiorganisatsiooni tõhusa äritegevuse valdkonda kuuluvad jaekaubandusettevõtted. Perspektiivse sortimendi leidmine tagab hulgimüügiorganisatsioonile minimaalse riskiga turule müüdava sortimendituuma kujunemise ning aitab kajastada ka selle üldisi trende. tarbijaturg, millel organisatsioon hulgikaubandus teostab oma äritegevust.
Edukas lahendus paljutõotava sortimendi leidmise ülesanne võimaldab sissetulevat analüüsides teha tehingu tegemise otsuse kommertspakkumine.
Arvestades:
X = \xr x2,..., xn) - hulgikaubandusettevõtte laos saadaolevate või kommertspakkumistena esitatavate kaupade komplekt.
Y = (yg y2,..., ur) - toote atribuutide komplekt.
Z = (zr z2,., zm) - vaadeldavate jaekaubandusettevõtete kogum - hulgimüügiorganisatsiooni tarbijad.
On vaja kindlaks määrata hulgikaubandusorganisatsiooni perspektiivne sortiment, s.o. määra x; et rahuldada Z oodatud taotlusi.
Mudel on üles ehitatud järgmistel eeldustel:
- turul on tarnijad ja tarbijad - vastavalt hulgi- ja jaekaubandusorganisatsioonid;
- jaekaubandusorganisatsioonide zt, z2,..., zm kaubanduslikud päringud arvestatakse ja võimalusel rahuldatakse sõltumata nende laekumise ajast.
- tehingud hulgi- ja jaemüügi vahel kaubandusorganisatsioonid neil on erinev järjestus, mille määrab jaemüügiorganisatsioonide kaalufunktsioon, kasutades nt
eelhindamine eelneva äritegevuse tulemuste põhjal; - kaupa xp x2,..., xp iseloomustavad tunnused;
- atribuutide y y2,..., ur kaupade kuuluvusastmed varieeruvad üksikute kaupade xp x2,..., xn vahel;
- ühte kaupa eelistatakse teisele alati, kui selle omadused v. tähtsuselt on need tarbija hinnangule lähemal z. (jaemüüja).
Suhe R esitatakse maatriksi kujul järgmiselt:
.U, U2 " * * Ur ¦
- %r(xi' У і)^r(xpУ2) ^r(xi" Ур)
*„1,іж(\’Уі) у2-gt; fav.
Selles maatriksis väljendavad iga rea elemendid teatud toodetele kuuluvate atribuutide suhtelisi astmeid. Mida suuremad väärtused, seda olulisem on atribuut.
Olgu fs:7xZ-gt; - häguse binaarseose S liikmesusfunktsioon. Kõigi y є Y ja kõigi zeZ jaoks on f5(y, z) võrdne jaekaubandusettevõtte z ühilduvusastmega atribuudiga y. Mida suuremad on funktsiooni väärtused, seda paremini ühildub see omadus konkreetse ettevõttega. jaekaubandus.
Maatriksi kujul on sellel seosel vorm:
Maatriksi S väärtused peegeldavad tunnuste Yt suhtelist tähtsust, kui ettevõte teeb otsuseid
mis tahes toote partii ostmise kohta hulgimüüjalt, mida kaalume.
Z,...Z
2 p
Maatriksitest R ja S saame maatriksi T:
mille elemendid määrab liikmelisuse funktsioon
? IR (X, Y) -f (Y, Z,)
Rl/Xgt; zi) =¦
, kõigi xe X, ye Y, zi Z jaoks.
Summa 2, fv(x, y) on võrdne hägusa alamhulga astmega,
U
tootele d omaste olulisemate tunnuste y arvu näitamine: jaekaubandusettevõtte seisukohast. Järgmisena koostatakse maatriks:
^A,(xl’zl) L 1*A7(X1- z2gt; - Iі L /*/¦ zm-l) L Ml (xl’zm)\
‘ * m-i t
I
\!lAt(xn‘Zl)^ltA7(xn-z2) - ,(xn-zm-l) L CA (xn-zm)\
"1*t-1t"
kus side A tähendab paaripõhist miinimumtehtet. Eraldus-/sortimenti künnis on piiratud tingimusega
i.j X ИІ ‘ Aj 3
Kui lävi I on valitud, saab määrata mis tahes z jaoks tasemekomplekti:
M\ = (x\t,(x)gt; tіptahtіp(t (x, z),t (x, z))),
I 1 L,j x I 1 L] J
YxeMr
Olgu oj(z) kaalumisfunktsioon, mis määrab igale jaekaubandusettevõttele tema kaalu eelneva äritegevuse tulemuste põhjal.
Hulgikaubandusettevõtte sortimenti kirjeldatakse tasemekomplektide kombineerimise teel:
m = U 0) (z) Mr
І
Paljutõotava sortimendi arvutamine aitab hulgimüügiettevõttel kindlaks teha:
kuidas optimeerida tootevalikut (millised tooted peaksid kindlasti laos olema, säilitades olemasoleva tarbijastruktuuri);
kuidas muuta sortimendi kontseptsiooni antud teeninduspiirkonna muudatusega, s.t. milliseid strateegilisi meetmeid võtta juhul, kui üksikud jaemüügiorganisatsioonid lahkuvad oma teenindatavatest tarbijatest;
kuidas optimeerida teeninduspiirkonda (meie puhul on see tõhusa äritegevuse valdkond), jättes sortimendist välja need kaubad, mille omadused ei rahulda hulgimüügiorganisatsiooni, või kaasates need kaubad, mille omadused sellele sobivad).
Selle probleemi illustreerimiseks vaadake lihtsustatud numbrinäidet.
Las hulgimüügiorganisatsioonil olla laos 6 tarbekaupa (x„ x2,..., x6) ja tarnida kolmele tarbijale - Zj (suur kaubamaja), z2 ( väike pood) ja z3 (telk).
Võtame vaadeldava kauba omadusteks järgmised:
yt – “hind”, y3 – “välimus”
y2 - "kvaliteet", y4 - "hooajalisus",
y5-"etapp eluring kaubad".
Olgu: X x Y -gt; ja f5: Y x Z-gt; [O, 1] on antud järgmiste maatriksitega:
| 1 | 0,8 | 0,5 | 1 | 0,2 | | 1 | 0,5 | O |
| 0,8 | 0,7 | 1 | 0,1 | 0,7 | | 1 | 0,5 | 0 |
| 0,5 | 0,5 0,3 | 1 | 0,7 | gt; | 1 | 0,3 | 1 |
|
| 0,5 | 0,3 | 0,9 | 0,1 | 0,2 | 5 = | 0 | 1 | 0.5 |
| 0,3 | 0,4 0,1 | 0 | 0 | | 1 | 0 | 0,5 |
|
| 0,5 0,5 | 1 | 1 | 0,5/ | | , | | і |
|
ja kaalufunktsiooni väärtused on võrdsed:
co(Zj) = 30, w(^) = 20, co(z,) = 15.
Kaupade omadused maatriksis R viitavad näiteks sellele, et toode x on kallis, kvaliteetne, väliselt silmatorkamatu, hooajale vastav, kuid tehniliselt mõnevõrra aegunud (või vastupidi, alles turule tulemas ja veel teadmata). ostjatele).
Kaupluste omadused maatriksis 5 näitavad näiteks, et teine tarbija - kauplus z2 - on laopinnaga kitsas ja eelistab seetõttu müüa kaupu, mis vastavad antud hooajale, mis tuleneb funktsiooni φ$( väärtusest y4, zJ.
Arvutame maatriksi T:
| /0,714 | 0,586 | 0,314 |
| 0,97 | 0,348 | 0,41 |
| 0,667 | 0,53 | 0,234 |
| 0,95 | 0,34 | 0,525 |
| 1 | 0,475 | 0,125 |
| \ 0,714 | 0,514 | 0,5 |
Pange tähele tähelepanelikule lugejale ette, et juba selles etapis võib eeldada, et toote x6, nagu maatriksi T viimasest reast tuleneb, ostavad suure tõenäosusega kõik kolm tarbijat.
Kasutades paaripõhist teavet, saame maatriksi W:
| (0,586 | 0,314 | 0,314 |
| 0,348 | 0,41 | 0,348 |
| 0,53 | 0,234 | 0,234 |
| 0,34 | 0,525 | 0,34 |
| 0,475 | 0,125 | 0,125 |
| №,514 | 0,5 | 0,5 |
Arvutuste selles etapis võetakse arvesse konkurentsi tarbijakaupluste zr z2 ja z) vahel.
Järgmisena on toodud maksimaalsed elemendid maatriksi W igas veerus:
maxmin(nAi(x, zl)tjiAJx, z2))= 0,586; maxmm(nA](x, zl),nAJx, z3)) = 0,525; maxminfnAJx, z2),tsA](x, z))) =0,5.
(X, x2, x3, x4, x), x6) ,
(Xg x3, xy x6),
(x4,x6,),
Seega võimaldab suure kaubamaja zt laiad võimalused müüa kogu pakutavat tootevalikut hulgi, kauplus z2 väldib laopinna vähesuse tõttu pikka müügiaega nõudvate kaupade ostmist ning z3 telk võtab ainult toretsevaid ja suhteliselt odavaid kaupu. Suur nõudlus x6 toote järele pole juhuslik, see on tõesti hiilgavate omadustega toode: see on madala hinnaga ja keskmise kvaliteediga, näeb hea välja, sobib hooajale ja on jaeostjale üsna hästi tuntud.
Kasutades kaalumisfunktsiooni väärtusi, saame sortimendi väärtused:
M = (50хр 30х2, 50х3, 45х4, 50х), 105х6)
Selle ülesande tulemusi saab hõlpsasti kasutada tehingu tegemise otsuse tegemisel (sissetuleva äripakkumise analüüsimisel).
Selleks peaksite pärast pakutava toote xn + liikmelisuse funktsiooni kindlaksmääramist teostama arvutuse antud algoritmi järgi ja määrama, mil määral see toode kuulub paljutõotava sortimendi kaupade hulka ja kas see teeb, siis kas see tõrjub välja juba hulgikaubandusettevõtte laos olevast komplektist xr,..., HP.
Selle hinnangu põhjal saab tehingu tegemise eest vastutav isik teha positiivse, äraootava või negatiivse otsuse.
K. Hirota (Riigi- ja Õigusinstituut)
Rohkem kui veerand sajandit on möödunud ajast, mil L. A. Zadeh California ülikoolist pakkus välja hägusate hulkade teooria. Seda teooriat on välja töötatud mitmes suunas, nii et kõigi selle ideede mõistmine võtab üsna kaua aega. Selle rakendamiseks konkreetses valdkonnas piisab aga vähesest mõistete hulgast. Allpool käsitleme häguste hulkade teooria peamisi sätteid, et seda rakendusvaldkonnas kiiresti omandada. Kõigepealt uurime teravate hulkade teooriat ja kaheväärtuslikku Boole'i loogikat. Seejärel liigume nende põhjal edasi häguste hulkade teooria ja hägusloogika mõistete juurde. Lisaks pöörakem tähelepanu ähmastele järeldustele, mis on selle teooria rakendamise seisukohalt eriti olulised, aga ka hägustele tootmisreeglitele ja hägustele suhetele.
2.1. TÜHISTA KOMPLEKTID
Ingliskeelne sõna fuzz, millest on tuletatud omadussõna fuzzy (fuzzy), tähendab "lint" - eritermin, mis määratleb kangaste omadusi. Kui vaatame kujundust fliisil kangal, tundub see meile udune, nii et kui ütleme "hägune", peame silmas "ebaselget" või "udune". Näiteks nimetame kõiki Jaapani iludusi hägusaks komplektiks. Selle definitsiooni tähendus on meile selge, kuid meil on raske öelda, kas see või teine tüdruk kuulub üheselt sellesse komplekti, ainult sõnade “jah” või “ei” abil; Seega on meil tegemist uuritavate objektide ebamääraste, mitte rangete omadustega.
Seevastu maailma, mille omadusi saab rangelt määratleda kahe sõnaga, näiteks "mees või naine?", nimetatakse selgeks maailmaks. Seetõttu nimetatakse 0-de ja 1-dega tegelevate arvutite loogikat
selge loogika ja tavalised hulgad - selged komplektid. Häguloogikat ja hägusaid hulki võib pidada nende mõistete laienduseks. Nende mõistete mõistmiseks valmistumiseks uurime esmalt terava hulga teooriat.
Karge hulgateooria hõlmab üldiselt aksiomaatilist hulgateooriat ja elementaarset hulgateooriat. Esimene on üks matemaatika põhiteooriaid, see nõuab piisavalt kõrge tase filosoofiline mõtlemine. Siin tuleb aga koolis õpitud hulga mõistet laiendada elementaarse hulgateooria mõistetele. Lisaks vajame häguste hulkade teooria mõistmiseks iseloomuliku funktsiooni mõistet.
Esiteks selgitame mõningaid põhitermineid ja tavasid. Suurtähed (näiteks X) tähistavad objektide kogumit, millega me tegeleme, ja väikesed tähed (näiteks x) tähistavad üksikuid struktuurielemente. Sel juhul tutvustame tähistust
Lokkis traksid tähistavad objektide kogumit. Me nimetame kollektsiooni ennast (siin X) ainevaldkonnaks, terviklikuks ruumiks või abikomplektiks. Viimane pealkiri kasutatakse eriti sageli häguse juhtimise valdkonnas. (Sõna "abi" keeles matemaatiline analüüs ja paljudel muudel aladel on veidi erinev varjund, seega pöörame sellele tähelepanu.) Üksikuid konstruktsioonielemente nimetame lihtsalt elementideks või objektideks. Seda, et x on X-i element, tähistatakse järgmiselt:
Täisruumis X defineerime hulga (karge komplekt). Komplektide nimedena (sildidena), mida kasutame suured tähed A, B, C. Näiteks olgu kogu komplekt kümnest numbrist koosnev
siis paarisarvude hulk A on hulk
Sel juhul number konstruktsioonielemendid nimetagem seda hulga astmeks või kardinaalarvuks; Tutvustame selle tähistust. Ülaltoodud näidetes
Sel juhul nimetame seda üksikuks. Nimetagem lõpliku hulgaga hulka lõplikuks hulgaks, sellise hulga elemendid võib kirjutada nii nagu valemites (2.3) ja (2.4), aga näiteks naturaal- või reaalarvude ehk lõpmatute hulkade puhul , seda ei saa teha. Sel juhul kasutatakse sageli salvestusmeetodit, kus kõik komplekti omadused on kirjutatud vertikaalsest joonest paremale. Näiteks valemi (2.4) saab kirjutada vormile
Lisaks kasutatakse Venni diagramme sageli mõiste kujutamiseks pildi kujul (joonis 2.1).
Lisaks ülaltoodud meetoditele selge hulga mõistete defineerimiseks on olemas defineerimismeetod, mis kasutab iseloomulikku funktsiooni. Iseloomulik funktsioon, mis määratleb komplekti A täielikus ruumis X, on vastendus, mille jaoks X on määratluspiirkond ja (kahe väärtusega hulk 0 ja 1) on väärtuste domeen:
Veelgi enam, kui element vastab omadustele A ja 0, kui see ei vasta. Seega, kui joonistame X horisontaal- ja vertikaalteljele, saame joonisel fig 1 näidatud graafilise esituse. 2.2.
Täisruumis X võime vaadelda erinevaid hulki, näiteks A teatud omadustega ja B teiste omadustega. Kõigi selliste hulkade ühendust nimetatakse astmehulgaks ja tähistatakse Näiteks las
siis võimsuskomplekt on
Riis. 2.1. Komplekti kujutamine Wayne'i diagrammi abil.
Riis. 2.2. Hulga määratlemine iseloomuliku funktsiooni abil.
Siin on 0 spetsiaalne hulk, millel pole elemente, seda nimetatakse tühjaks hulgaks. Selle iseloomulik funktsioon
Siin nimetatakse V-d universaalseks kvantoriks; seda võib lugeda kui "kõik". (Peale selle on olemas eksistentsiaalne kvantor 3 tähenduses "on...".) Neid kvantoreid kasutatakse sageli loogikas ja tehisintellekt. Vastupidiselt tühjale hulgale on tervikhulga X iseloomulikul funktsioonil vorm
Lisaks kehtib üldjuhul hulga kardinaalsuse kohta järgmine väide:
Seda saab hõlpsasti tuletada valemitest (2.8) ja (2.9).
Nüüd uurime mõningaid tehteid hulkadega (joonis 2.3). Kõigepealt hulkade pesasuhe: kui A elemendid on tingimata B elemendid, siis nimetatakse A-d B alamhulgaks (või B on A superhulgaks), mida tähistatakse kui (kehtib ka , kui , kuid , siis A nimetatakse B õigeks alamhulgaks). Kui defineerime A c: B karakteristiku funktsiooni kaudu, saame järgmise ebavõrdsuse:
Määratud manustamisseose puhul saame tõestada
Riis. 2.3. Põimimine (a), täiend (b), korrutis (c) ja hulkade summa
kolme omaduse kehtivus:
1) refleksiivsus
2) antisümmeetria
3) transitiivsus
Võime öelda, et see moodustab osaliselt järjestatud hulga või (hulkade pesastusrelatsiooni puhul tavaliselt suvalise A korral B, A ja B või B ja A ei ole alati tõesed, seetõttu pole meie hulk lineaarselt järjestatud ega täielikult järjestatud seatud.)
Hägusate komplektide abil on võimalik formaalselt määratleda ebatäpsed ja mitmetähenduslikud mõisted, nagu "kõrge temperatuur", "noormees", "keskmine pikkus" või " Suur linn" Enne häguse hulga definitsiooni sõnastamist on vaja defineerida nn diskursuse universum. Mitmetähendusliku mõiste “palju raha” puhul peetakse ühte summat suureks, kui piirdume vahemikuga ja täiesti erinevat summat - vahemikus. Põhjendusala, mida edaspidi nimetatakse tühikuks või hulgaks, tähistatakse enamasti sümboliga. Tuleb meeles pidada, et see on selge komplekt.
Definitsioon 3.1
Hägune hulk mõnes (mittetühjas) ruumis, mida tähistatakse kui , on paaride hulk
, (3.1)
Hägune komplekt liikmelisuse funktsioon. See funktsioon määrab igale elemendile selle kuuluvuse ähmasesse komplekti ja eristada saab kolme juhtumit:
1) tähendab elemendi täielikku kuulumist hägusasse hulka, s.o. ;
2) tähendab, et element ei kuulu hägusasse hulka, s.t.;
3) tähendab, et element kuulub osaliselt hägusasse hulka.
Kirjanduses kasutatakse häguste hulkade sümboolset kirjeldust. If on lõpliku arvu elementidega ruum, s.o. 
, siis kirjutatakse hägune hulk kujul
Ülaltoodud kirje on sümboolne. Märk “–” ei tähenda jagunemist, vaid tähendab kindlatele elementidele kuuluvusastmete määramist 
. Teisisõnu rekord
tähendab paari
Samamoodi ei tähenda "+" märk avaldises (3.3) liitmisoperatsiooni, vaid seda tõlgendatakse kui elementide mitmekordset liitmist (3.5). Tuleb märkida, et sarnaselt saab kirjutada ka krõbedaid komplekte. Näiteks koolihinnete kogumit saab sümboolselt kujutada kui
, (3.6)
mis on samaväärne kirjutamisega
Kui on lõpmatu arvu elementidega ruum, siis on hägune hulk sümboolselt vormile kirjutatud
. (3.8)
Näide 3.1
Oletame, et komplekt on olemas naturaalarvud. Defineerime naturaalarvude hulga mõiste "arvule 7". Seda saab teha järgmise häguse hulga määratlemisega:
Näide 3.2
Kui , kus on reaalarvude hulk, siis reaalarvude hulga “arvule 7 lähedane” saab määrata vormi liikmelisuse funktsiooniga
. (3.10)
Seetõttu kirjeldatakse avaldisega hägusat reaalarvude kogumit, mis on "arvule 7 lähedal".
. (3.11)
Märkus 3.1
Naturaal- või reaalarvude hägusaid komplekte “arvule 7” saab kirjutada mitmel viisil. Näiteks liikmelisuse funktsiooni (3.10) saab asendada avaldisega
(3.12)
Joonisel fig. 3.1a ja 3.1b esitavad kaks liikmesusfunktsiooni ähmase reaalarvude komplekti jaoks, mis on "arvule 7 lähedal".
Riis. 3.1. Illustratsioon näiteks 3.2: ähmase reaalarvude komplekti liikmefunktsioonid, mis on "lähedased numbrile 7".
Näide 3.3
Vormistame ebatäpse määratluse "Läänemeres ujumiseks sobiv temperatuur". Määratleme arutlusala hulga kujul 
. Puhkaja I, kes tunneb end kõige paremini temperatuuril 21°, määratleks enda jaoks häguse komplekti
Puhkaja II, kes eelistab temperatuuri 20°, soovitaks sellele komplektile teistsugust määratlust:
Hägusate komplektide abil vormistasime mõiste "Läänemeres ujumiseks sobiv temperatuur" ebatäpse määratluse. Mõned rakendused kasutavad standardvormid liikmelisuse funktsioonid. Täpsustame neid funktsioone ja kaalume nende graafilisi tõlgendusi.
1. Klassi kuuluvusfunktsioon (joonis 3.2) on defineeritud kui
(3.15)
Kus. Sellesse klassi kuuluval liikmelisuse funktsioonil on graafiline esitus (joonis 3.2), mis meenutab tähte “”, ja selle kuju sõltub parameetrite valikust ja . Punktis 
klassi liikmelisuse funktsiooni väärtus on 0,5.
2. Klassi kuuluvusfunktsioon (joonis 3.3) määratakse klassikuuluvusfunktsiooni kaudu:
(3.16)
Riis. 3.2. Klassi liikmelisuse funktsioon.
Riis. 3.3. Klassi liikmelisuse funktsioon.
Klassi liikmelisuse funktsioon võtab ja jaoks nullväärtused. Punktides on selle väärtus 0,5.
3. Klassi kuuluvusfunktsioon (joonis 3.4) on antud avaldisega
(3.17)
Lugeja märkab kergesti analoogiat klassikuuluvusfunktsioonide vormide ja .
4. Klassi kuulumise funktsioon (joonis 3.5) on määratletud kui
(3.18)
Riis. 3.4. Klassi liikmelisuse funktsioon.
Riis. 3.5. Klassi liikmelisuse funktsioon.
Mõnes rakenduses võib klassikuuluvusfunktsioon olla klassifunktsiooni alternatiiviks.
5. Klassi kuuluvusfunktsioon (joonis 3.6) määratakse avaldise abil
(3.19)
Näide 3.4
Vaatleme kolme ebatäpset formulatsiooni:
1) „madal sõiduki kiirus”;
2)" keskmine kiirus auto";
3) "sõiduki suur kiirus".
Põhjenduspiirkonnana võtame vahemiku, kus on maksimaalne kiirus. Joonisel fig. 3.7 esitab hägused komplektid , ja , mis vastavad ülaltoodud formuleeringutele. Pange tähele, et komplekti liikmelisuse funktsioonil on tüüp, komplektidel on tüüp ja komplektidel on tüüp. Fikseeritud punktis km/h saab häguse hulga “madal auto kiirus” liikmelisuse funktsioon väärtuse 0,5, s.o. . Häguse hulga “auto keskmine kiirus” liikmelisuse funktsioon saab sama väärtuse, st. , kusjuures .
Näide 3.5
Joonisel fig. Joonisel 3.8 on kujutatud häguse hulga “suur raha” liikmelisuse funktsioon. See on klassifunktsioon ja 
, , .
Riis. 3.6. Klassi liikmelisuse funktsioon.
Riis. 3.7. Illustratsioon näiteks 3.4: hägusate komplektide „väike“, „keskmine“, „suur“ auto kiirus liikmelisuse funktsioonid.
Riis. 3.8. Illustratsioon näiteks 3.5: Häguse hulga “suur raha” liikmelisuse funktsioon.
Järelikult võib summasid, mis ületavad 10 000 rubla, kindlasti pidada "suureks", kuna liikmefunktsiooni väärtused muutuvad võrdseks 1-ga. Alla 1000 rubla summasid ei loeta "suurteks", kuna liikmefunktsiooni vastavaid väärtusi ei loeta on võrdne 0-ga. Muidugi on selline häguse hulga “suur raha” määratlus subjektiivne. Lugejal võib olla oma arusaam "suure raha" mitmetähenduslikust mõistest. Seda esitust kajastavad klassi parameetrite ja funktsioonide muud väärtused.
Definitsioon 3.2
Ruumielementide hulka, mille puhul , nimetatakse häguse hulga toeks ja seda tähistatakse (toetus). Selle formaalsel tähistusel on vorm
. (3.20)
Definitsioon 3.3
Häguse hulga kõrgus on tähistatud ja määratletud kui
. (3.21)
Näide 3.6
Kui 
Ja
, (3.22)
See 
.
, (3.23)
Definitsioon 3.4
Hägusat hulka nimetatakse normaalseks siis ja ainult siis, kui . Kui hägune hulk ei ole normaalne, saab seda teisenduse abil normaliseerida
, (3.24)
kus on selle komplekti kõrgus.
Näide 3.7
Hägune komplekt
(3.25)
pärast normaliseerimist võtab see vormi
. (3.26)
Definitsioon 3.5
Hägusat hulka nimetatakse tühjaks ja seda tähistatakse siis ja ainult siis, kui iga .
Definitsioon 3.6
Hägune hulk sisaldub hägusas komplektis, mis on kirjutatud kujul , siis ja ainult siis
(3.27)
igaühele .
Näide hägusa komplekti kaasamisest (sisu) hägusasse komplekti on illustreeritud joonisel fig. 3.9. Kirjandusest leiab ka hägusate hulkade kaasamisastme mõiste. Häguse hulga kaasamise määr hägusesse komplekti joonisel fig. 3,9 on võrdne 1-ga (täielik kaasamine). Hägused komplektid, mis on esitatud joonisel fig. 3.10 ei rahulda sõltuvust (3.27), seepärast puudub definitsiooni (3.6) tähenduses kaasamine. Hägune komplekt sisaldub aga häguses komplektis teatud määral
, (3.28)
, tingimus on täidetud
Riis. 3.12. Hägune kumer komplekt.
Riis. 3.13. Hägune nõgus komplekt.
Riis. Joonis 3.13 illustreerib hägust nõgusat komplekti. Seda, kas hägune hulk on kumer (nõgus), on lihtne kontrollida siis ja ainult siis, kui kõik selle -lõiked on kumerad (nõgusad).