Biograafiad 

Võrrandite lahendamine eksamil. Irratsionaalsed võrrandid. Põhjalik juhend. Keerukate võrrandite lahendamise skeem

Võrrandid, osa $C$

Võrdsust, mis sisaldab tundmatut arvu, mida tähistatakse tähega, nimetatakse võrrandiks. Võrdlusmärgist vasakul olevat avaldist nimetatakse võrrandi vasakuks pooleks ja paremal asuvat avaldist võrrandi parempoolseks pooleks.

Keerukate võrrandite lahendamise skeem:

  1. Enne võrrandi lahendamist on vaja üles kirjutada selle lubatud väärtuste vahemik (ADV).
  2. Lahenda võrrand.
  3. Valige saadud võrrandi juurtest need, mis vastavad ODZ-le.

Erinevate väljendite ODZ (avaldise all peame silmas tähtnumbrilist tähistust):

1. Nimetaja avaldis ei tohi olla võrdne nulliga.

$(f(x))/(g(x)); g(x)≠0$

2. Radikaalne avaldis ei tohi olla negatiivne.

$√(g(x)); g(x) ≥ 0 $.

3. Nimetaja radikaalavaldis peab olema positiivne.

$(f(x))/(√(g(x))); g(x) > 0 $

4. Logaritmi puhul: alamaritmiline avaldis peab olema positiivne; alus peab olema positiivne; Alus ei saa võrduda ühega.

$log_(f(x))g(x)\table\(\g(x) > 0;\ f(x) > 0;\ f(x)≠1;$

Logaritmilised võrrandid

Logaritmvõrrandid on võrrandid kujul $log_(a)f(x)=log_(a)g(x)$, kus $a$ on positiivne arv, mis erineb $1$-st, ja võrrandid, mida saab sellele vormile taandada.

Logaritmvõrrandite lahendamiseks on vaja teada logaritmide omadusi: me võtame arvesse kõiki logaritmide omadusi $a > 0, a≠ 1, b> 0, c> 0, m$ – mis tahes reaalarvu puhul.

1. Mis tahes reaalarvude $m$ ja $n$ korral on võrdsused tõesed:

$log_(a)b^m=mlog_(a)b;$

$log_(a^m)b=(1)/(m)log_(a)b.$

$log_(a^n)b^m=(m)/(n)log_(a)b$

$log_(3)3^(10)=10log_(3)3=10;$

$log_(5^3)7=(1)/(3)log_(5)7;$

$log_(3^7)4^5=(5)/(7)log_(3)4;$

2. Korrutise logaritm võrdub iga teguri sama aluse logaritmide summaga.

$log_a(bc)=log_(a)b+log_(a)c$

3. Jagatise logaritm võrdub sama aluse lugeja ja nimetaja logaritmide vahega

$log_(a)(b)/(c)=log_(a)b-log_(a)c$

4. Kahe logaritmi korrutamisel saate nende aluseid vahetada

$log_(a)b∙log_(c)d=log_(c)b∙log_(a)d$, kui $a, b, c$ ja $d > 0, a≠1, b≠1.$

5. $c^(log_(a)b)=b^(log_(a)b)$, kus $a, b, c > 0, a≠1$

6. Valem uude baasi kolimiseks

$log_(a)b=(log_(c)b)/(log_(c)a)$

7. Eelkõige juhul, kui on vaja vahetada baasi ja alamaritmilist avaldist

$log_(a)b=(1)/(log_(b)a)$

Logaritmilisi võrrandeid on mitut tüüpi:

Lihtsamad logaritmvõrrandid: $log_(a)x=b$. Seda tüüpi võrrandi lahendus tuleneb logaritmi definitsioonist, s.o. $x=a^b$ ja $x > 0$

Esitame võrrandi mõlemad pooled logaritmina baasiks $2$

$log_(2)x=log_(2)2^3$

Kui sama alusega logaritmid on võrdsed, siis on võrdsed ka alaaritmilised avaldised.

Vastus: $ x = 8 $

Võrrandid kujul: $log_(a)f(x)=log_(a)g(x)$. Sest alused on samad, siis võrdsustame alaaritmilised avaldised ja võtame arvesse ODZ-d:

$\table\(\ f(x)=g(x);\ f(x)>0;\ g(x) > 0, а > 0, а≠1;$

$log_(3)(x^2-3x-5)=log_(3)(7-2x)$

Sest alused on samad, siis võrdsustame alaaritmilised avaldised

Liigutame kõik terminid võrrandi vasakule poole ja esitame sarnased terminid

Kontrollime leitud juuri vastavalt tingimustele $\table\(\ x^2-3x-5>0;\ 7-2x>0;$

Teise võrratuse asendamisel ei vasta juur $x=4$ tingimusele, seega on tegemist kõrvalise juurega

Vastus: $x=-3$

  • Muutuv asendusmeetod.

Selle meetodi puhul vajate:

  1. Kirjutage üles ODZ võrrandid.
  2. Kasutades logaritmide omadusi, veenduge, et võrrandid annavad identsed logaritmid.
  3. Asenda $log_(a)f(x)$ mis tahes muutujaga.
  4. Lahendage uue muutuja võrrand.
  5. Naaske 3. sammu juurde, asendage muutuja väärtus ja hankige lihtsaim võrrand kujul: $log_(a)x=b$
  6. Lahendage kõige lihtsam võrrand.
  7. Pärast juurte leidmist logaritmiline võrrand on vaja need panna lõikesse 1 ja kontrollida ODZ seisukorda.

Lahendage võrrand $log_(2)√x+2log_(√x)2-3=0$

1. Kirjutame üles ODZ võrrandi:

$\table\(\ x>0,\text"kuna see on juure ja logaritmi märgi all";\ √x≠1→x≠1;$

2. Teeme logaritmid baasile $2$, selleks kasutame teisel liikmel uude baasi liikumise reeglit:

$log_(2)√x+(2)/(log_(2)√x)-3=0$

4. Muutuja t jaoks saame murdartsionaalvõrrandi

Tahandagem kõik terminid ühisele nimetajale $t$.

$(t^2+2-3t)/(t)=0$

Murd on võrdne nulliga, kui lugeja on null ja nimetaja ei ole null.

$t^2+2-3t=0$, $t≠0$

5. Lahendame tulemuse ruutvõrrand Vastavalt Vieta teoreemile:

6. Naaskeme 3. sammu juurde, teeme pöördasenduse ja saame kaks lihtsat logaritmilist võrrandit:

$log_(2)√x=1$, $log_(2)√x=2$

Logaritme võrrandite paremad küljed

$log_(2)√x=log_(2)2$, $log_(2)√x=log_(2)4$

Võrdleme sublogaritmilised avaldised

$√x=2$, $√x=4$

Juurest vabanemiseks paneme võrrandi mõlemad pooled ruutu

$х_1 = 4 $, $х_2 = 16 $

7. Asendame sammus 1 logaritmilise võrrandi juured ja kontrollime ODZ tingimust.

$\(\table\ 4 >0; \4≠1;$

Esimene juur vastab ODZ-le.

$\(\table\ 16 >0; \16≠1;$ Teine juur vastab ka ODZ-le.

Vastus: 4 dollarit; 16 dollarit

  • Võrrandid kujul $log_(a^2)x+log_(a)x+c=0$. Sellised võrrandid lahendatakse uue muutuja sisseviimisega ja üleminekuga tavalisele ruutvõrrandile. Pärast võrrandi juurte leidmist tuleb need valida, võttes arvesse ODZ-d.

Murdratsionaalvõrrandid

  • Kui murdosa on null, siis lugeja on null ja nimetaja ei ole null.
  • Kui vähemalt üks osa ratsionaalsest võrrandist sisaldab murdosa, siis nimetatakse võrrandit murdratsionaalvõrrandiks.

Murdarvulise ratsionaalvõrrandi lahendamiseks peate:

  1. Leidke muutuja väärtused, mille puhul võrrandil pole mõtet (ODZ)
  2. Leia võrrandis sisalduvate murdude ühisnimetaja;
  3. Korrutage võrrandi mõlemad pooled ühise nimetajaga;
  4. Lahendage saadud täisvõrrand;
  5. Jäta selle juurtest välja need, mis ei vasta ODZ tingimusele.
  • Kui võrrand hõlmab kahte murdosa ja lugejad on nende võrdsed avaldised, siis saab nimetajaid omavahel võrdsustada ja saadud võrrandit lahendada lugejatele tähelepanu pööramata. AGA võttes arvesse kogu algse võrrandi ODZ-d.

Eksponentvõrrandid

Eksponentvõrrandid on need, mille eksponendis sisaldub tundmatu.

Eksponentvõrrandite lahendamisel kasutatakse astmete omadusi, meenutagem mõnda neist:

1. Kui korrutada astmeid samade alustega, jääb alus samaks ja astendajad liidetakse.

$a^n·a^m=a^(n+m)$

2. Kraadide jagamisel samade alustega jääb alus samaks ja astendajad lahutatakse

$a^n:a^m=a^(n-m)$

3. Kraadi tõstmisel astmeni jääb alus samaks, kuid eksponendid korrutatakse

$(a^n)^m=a^(n∙m)$

4. Korrutise tõstmisel astmeni tõstetakse iga tegur selle astmeni

$(a b)^n=a^n b^n$

5. Murru tõstmisel astmeni tõstetakse lugeja ja nimetaja selle astmeni

$((a)/(b))^n=(a^n)/(b^n)$

6. Kui ükskõik milline alus on tõstetud nullastendajani, on tulemus võrdne ühega

7. Mis tahes negatiivse eksponendi alust saab esitada sama positiivse eksponendi alusena, muutes aluse asukohta murdosa käigu suhtes

$a^(-n)=(1)/(a^n)$

$(a^(-n))/(b^(-k))=(b^k)/(a^n)$

8. Radikaali (juure) saab esitada murdarvulise astendajaga astmena

$√^n(a^k)=a^((k)/(n))$

Eksponentvõrrandite tüübid:

1. Lihtsad eksponentsiaalvõrrandid:

a) Kuju $a^(f(x))=a^(g(x))$, kus $a >0, a≠1, x$ on tundmatu. Selliste võrrandite lahendamiseks kasutame kraadide omadust: kraadid koos samal alusel($a >0, a≠1$) on võrdsed ainult siis, kui nende eksponendid on võrdsed.

b) Võrrand kujul $a^(f(x))=b, b>0$

Selliste võrrandite lahendamiseks tuleb mõlemad pooled võtta logaritmiliselt alusele $a$, selgub

$log_(a)a^(f(x))=log_(a)b$

2. Aluse tasandamise meetod.

3. Faktoriseerimise ja muutuja asendamise meetod.

  • Selle meetodi jaoks on kogu võrrandis, vastavalt astmete omadusele, vaja teisendada astmed üheks kujule $a^(f(x))$.
  • Muutke muutujat $a^(f(x))=t, t > 0$.
  • Saame ratsionaalse võrrandi, mis tuleb lahendada avaldise faktoriseerimisega.
  • Teeme pöördasendusi, võttes arvesse asjaolu, et $t >

Lahendage võrrand $2^(3x)-7 2^(2x-1)+7 2^(x-1)-1=0$

Kasutades astmete omadust, teisendame avaldise nii, et saame astme 2^x.

$(2^x)^3-(7·(2^x)^2)/(2)+(7·2^x)/(2-1)=0$

Muudame muutujat $2^x=t; t>0 $

Saame vormi kuupvõrrandi

$t^3-(7 t^2)/(2)+(7 t)/(2)-1=0$

Nimetajatest vabanemiseks korrutage kogu võrrand 2 dollariga

2t^3-7 t^2+7 t-2=0$

Laiendame võrrandi vasakut poolt rühmitusmeetodi abil

$(2t^3-2)-(7 t^2-7 t)=0$

Võtame esimesest suust välja ühisteguri $2$ ja teisest $7t$

$2(t^3-1)-7t(t-1)=0$

Lisaks näeme esimeses sulus kuubikute valemi erinevust

$(t-1)(2t^2+2t+2-7t)=0$

Korrutis on null, kui vähemalt üks teguritest on null

1) $(t-1)=0;$ 2) $2t^2+2t+2-7t=0$

Lahendame esimese võrrandi

Lahendame teise võrrandi diskriminandi kaudu

$D=25-4·2·2=9=3^2$

$t_2=(5-3)/(4)=(1)/(2)$

$t_3=(5+3)/(4)=2$

$2^x=1; 2^x=(1)/(2); 2^x=2$

$2^x=2^0; 2^x=2^(-1); 2^x=2^1$

$x_1=0; x_2=-1; x_3 = 1 $

Vastus: $-1; 0; 1 $

4. Ruutvõrrandi teisendusmeetod

  • Meil on võrrand kujul $A·a^(2f(x))+B·a^(f(x))+C=0$, kus $A, B$ ja $C$ on koefitsiendid.
  • Teeme asenduseks $a^(f(x))=t, t > 0$.
  • Tulemuseks on ruutvõrrand kujul $A·t^2+B·t+С=0$. Lahendame saadud võrrandi.
  • Teeme pöördasenduse, võttes arvesse asjaolu, et $t > 0$. Saame kõige lihtsama eksponentsiaalvõrrand$a^(f(x))=t$, lahenda see ja kirjuta tulemus vastusesse.

Faktoriseerimise meetodid:

  • Ühise teguri väljavõtmine sulgudest.

Polünoomi faktoriseerimiseks, võttes ühisteguri sulgudest välja, peate:

  1. Määrake ühine tegur.
  2. Jagage antud polünoom sellega.
  3. Kirjutage üles ühisteguri ja saadud jagatise korrutis (märkige see jagatis sulgudes).

Polünoomi kordamine: $10a^(3)b-8a^(2)b^2+2a$.

Selle polünoomi ühine tegur on $2a$, kuna kõik liikmed jaguvad $2$ ja “a”-ga. Järgmisena leiame jagatise, mis jagatakse algse polünoomiga "2a", saame:

$10a^(3)b-8a^(2)b^2+2a=2a((10a^(3)b)/(2a)-(8a^(2)b^2)/(2a)+( 2a)/(2a))=2a(5a^(2)b-4ab^2+1)$

See on faktoriseerimise lõpptulemus.

Lühendatud korrutusvalemite kasutamine

1. Summa ruut jagatakse ruuduks, kus on esimene arv pluss esimese ja teise arvu kahekordne korrutis ning pluss teise arvu ruut.

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

2. Erinevuse ruut jagatakse esimese arvu ruuduks, millest on lahutatud esimese ja teise arvu kahekordne korrutis ning pluss teise arvu ruut.

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

3. Ruudude vahe jagatakse arvude erinevuse ja nende summa korrutiseks.

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

4. Summakuubik võrdne kuubikuga esimene arv pluss kolmekordne esimese arvu ruudu korrutis teise arvuga pluss esimese arvu korrutis kolmekordne teise arvu ruuduga pluss teise arvu kuup.

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

5. Erinevuse kuup võrdub esimese arvu kuubiga, millest on lahutatud esimese arvu ruudu kolmikkorrutis teise arvuga pluss esimese numbri kolmikkorrutis teise arvu ruuduga ja miinus kuup teine ​​number.

$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

6. Kuubikute summa võrdub arvude summa ja vahe osalise ruudu korrutisega.

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

7. Kuubikute vahe võrdub arvude erinevuse ja summa mittetäieliku ruudu korrutisega.

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Rühmitamise meetod

Rühmitamismeetodit on mugav kasutada siis, kui on vaja paarisarvuliste liikmetega polünoomi faktoriseerida. IN seda meetodit on vaja terminid rühmadesse koguda ja igast rühmast ühistegur välja võtta. Pärast nende paigutamist sulgudesse peaksid mitmed rühmad saama identsed avaldised, seejärel võtame selle sulg ühiseks teguriks edasi ja korrutame selle saadud jagatise suuga.

Korrutage polünoomi $2a^3-a^2+4a-2$

Selle polünoomi lagundamiseks kasutame terminite rühmitamise meetodit, selleks rühmitame kaks esimest ja kaks viimast liiget ning oluline on panna märk õigesti teise rühmituse ette, paneme + märgi ja seetõttu kirjuta terminid koos nende märkidega sulgudes.

$(2a^3-a^2)+(4a-2)=a^2(2a-1)+2(2a-1)$

Pärast ühiste tegurite väljavõtmist saime paar identset sulgu. Nüüd võtame selle klambri ühise tegurina välja.

$a^2(2a-1)+2(2a-1)=(2a-1)(a^2+2)$

Nende sulgude korrutis on faktoriseerimise lõpptulemus.

Ruuttrinoomvalemi kasutamine.

Kui on olemas ruuttrinoom kujul $ax^2+bx+c$, siis saab seda valemi järgi laiendada

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, kus $x_1$ ja $x_2$ on ruuttrinoomi juured

Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me seda teavet kasutada võime.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

  • Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, e-posti aadressi jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

  • Meie poolt kogutud isiklik informatsioon võimaldab meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsed pakkumised, tutvustusi ja muid üritusi ning eelseisvaid sündmusi.
  • Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
  • Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
  • Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Teabe avaldamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

  • Vajadusel vastavalt seadusele, kohtumenetlus, kohtumenetluses ja/või avalike päringute või taotluste alusel valitsusagentuurid Vene Föderatsiooni territooriumil - avaldage oma isikuandmed. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
  • Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.

Isikuandmete kaitse

Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas halduslikud, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.

Täna treenime ühtse riigieksami 5. ülesande lahendamise oskust - leidke võrrandi juur. Otsime võrrandi juurt. Vaatame näiteid seda tüüpi ülesannete lahendamisest. Kuid kõigepealt meenutagem, mida tähendab võrrandi juure leidmine?

See tähendab, et tuleb leida x all krüpteeritud arv, mille asendame x asemel ja meie võrrand on tõeline võrdsus.

Näiteks 3x=9 on võrrand ja 3 . 3=9 on juba tõeline võrdsus. See tähendab, sisse sel juhul, asendasime x asemel numbri 3 - saime õige väljend ehk võrdsus, see tähendab, et oleme võrrandi lahendanud ehk oleme leidnud etteantud arvu x=3, mis muudab võrrandi tõeliseks võrrandiks.

Seda me teeme – leiame võrrandi juure.

Ülesanne 1 - leida võrrandi 2 juur 1-4x =32

See on eksponentsiaalvõrrand. See on lahendamisel järgmisel viisil- on vajalik, et nii võrdusmärgist vasakul kui ka paremal oleks sama alusega aste.

Vasakul on 2. astme alus ja paremal pole kraadi üldse. Kuid me teame, et 32 ​​on 2 viiendale astmele. See tähendab, 32 = 2 5

Seega näeb meie võrrand välja selline: 2 1-4x = 2 5

Vasakul ja paremal on meie eksponendid samad, mis tähendab, et selleks, et meil oleks võrdsus, peavad ka eksponendid olema võrdsed:

Saame tavalise võrrandi. Otsustame tavapärasel viisil— jätame kõik tundmatud vasakule ja liigutame teadaolevad paremale, saame:

Kontrollime: 2 1-4(-1) =32

Oleme leidnud võrrandi juure. Vastus: x=-1.

Leidke võrrandi juur ise järgmistes ülesannetes:

b) 2 1-3x =128

2. ülesanne – leida võrrandi juur

Lahendame võrrandi sarnaselt – taandades võrrandi vasaku ja parema külje samale võimsusalusele. Meie puhul - 2. astme alusele.

Me kasutame järgmine vara kraadid:

Seda omadust kasutades saame võrrandi parema poole:

Kui astme alused on võrdsed, on eksponendid võrdsed:

Vastus: x=9.

Teeme kontrolli – asendame leitud väärtuse x algsesse võrrandisse – kui saame õige võrrandi, siis oleme võrrandi õigesti lahendanud.

Leidsime võrrandi juure õigesti.

Ülesanne 3 – leida võrrandi juur

Pange tähele, et paremal on meil 1/8 ja 1/8 on

Siis kirjutatakse meie võrrand järgmiselt:

Kui astme alused on võrdsed, siis on eksponendid võrdsed, saame lihtsa võrrandi:

Vastus: x=5. Tehke kontroll ise.

Ülesanne 4 - leia võrrandi juur 3 (15's)=log 3 2

Seda võrrandit saab lahendada samamoodi nagu eksponentsiaalset võrrandit. Vajame, et võrdusmärgist vasakul ja paremal olevate logaritmide alused oleksid samad. Nüüd on need samad, mis tähendab, et võrdsustame need avaldised, mis on logaritmi märgi all:

Vastus: x=13

Ülesanne 5 - leida võrrandi juur 3 (3-x)=3

Arv 3 on log 3 27. Selguse mõttes on logaritmimärgi all oleva alaindeksi all number, mis on tõstetud astmeni, meie puhul 3, logaritmi märgi all on arv, mis saadi astmele tõstmisel. - see on 27 ja logaritm ise on eksponent, milleni 3 tuleb 27 saamiseks tõsta.

Vaata pilti:

Seega saab logaritmina kirjutada mis tahes arvu. Sel juhul on väga mugav kirjutada arv 3 logaritmina, mille alus on 3. Saame:

log 3 (3-x) = log 3 27

Logaritmide alused on võrdsed, mis tähendab, et logaritmi märgi all olevad arvud on võrdsed:

Kontrollime:

log 3 (3-(-24)) = log 3 27

log 3 (3+24) = log 3 27

log 3 27 = log 3 27

Vastus: x=-24.

Leidke võrrandi juur. 6. ülesanne.

log 2 (x+3) = log 2 (3x-15)

Kontrollige: log 2 (9+3) = log 2 (27-15)

log 2 12 = log 2 12

Vastus: x=9.

Leidke võrrandi juur. Ülesanne 7.

log 2 (14-2x)=2log 2 3

log 2 (14-2x) = log 2 3 2

Kontrollige: log 2 (14-5) = 2log 2 3

log 2 9=2 log 2 3

log 2 3 2 = 2 log 2 3

2log 2 3=2log 2 3

Vastus: x=2,5

Valmistuge ühtseks riigieksamiks ja ühtseks riigieksamiks – vaadake eelnevaid teemasid ja.