Edu 

Kaal. Koordinaatide kiir. Koordinaatide kiir, skaala, diagramm

Tala on sirge, ühelt poolt piiratud. Seda määratlust saab paremini mõista, kui õpite tala omadused:

  • Sellel on algus, kuid pole lõppu
  • On suund
  • Lõpmatu, s.t. pole suurust.

Õige tala tähistus vastuoluline küsimus. Kõige õigem variant on kaks punkti, näiteks OA. Veelgi enam, esimene punkt näitab kiire algust. Kuid need tähistavad ka lõike ja sirgeid, nii et nad kirjutavad sageli kiiri, mille alguspunkt on O.

Riis. 1. Tala.

Nurgad

Nurgad on ainsad kujundid, mis koosnevad kiirtest. Mis on nurk?

See geomeetriline kujund, mis koosneb kahest kiirest, mille algus asub samas punktis. Joonistel koosnevad nurgad pigem segmentidest kui kiirtest.

Võib tekkida olukord, kui nurga mõlemad pooled langevad kokku, siis öeldakse, et nurk on 0 kraadi. Võib ka juhtuda, et nurga mõlemad pooled moodustavad sirge, siis öeldakse, et nurk on 180 kraadi. Seda nurka nimetatakse voltimata ja kiired on primaarsed ja sekundaarsed.

Nurk peegeldab ühe kiire pöörlemist teise suhtes.

Koordinaatide kiired

Teine kiirte kasutusala on erinevaid süsteeme koordinaadid 5. klassi matemaatikas on esimeseks teemaks koordinaatsirge uurimine. Need on kaks tala, mille pöördenurk on 180 kraadi. Kiirte algus on määratud nullpunktiks või aruande alguseks. Negatiivsed koordinaadid asetatakse aruande algusest vasakule ja positiivsed paremale. Teine koordinaatrea nimi: numbririda.

Riis. 2. Koordinaatide kiir.

Koordinaatkiirt kasutades on mugav murde võrrelda ja seeläbi võrratusi lahendada.

Koordinaatkiirte abil luuakse ja koordinaattasand. Nn Descartes'i koordinaatsüsteem koosneb kahest koordinaatjoonest ehk 4 kiirest. Selline süsteem võimaldab määrata punkti asukohta tasapinnal, joonistada funktsioonide graafikuid ja graafiliselt lahendada erinevat tüüpi võrrandeid.

Lisaks Descartes'i süsteemile on olemas polaarkoordinaatide süsteem. Polaarsüsteem kasutab nurga ja koordinaatjoone mõisteid. Koordinaatjoon määrab punkti asukoha ja nurk määrab selle kõrguse telje kohal.

Polaarkoordinaatide süsteem on üks vanimaid inimkonna ajaloos. Juhtus nii, et just seda süsteemi kasutades vallutasid muistsed meremehed meie maailma tundmatud avarused. Descartes'i süsteem ilmus palju hiljem. Kuid maapinnal orienteerumiseks on see mugavam. Descartes'i süsteemi on lihtsam kasutada nii matemaatikas kui ka teistes teadusharudes: füüsikas, soojustehnikas, hüdraulikas ja programmeerimises.

Descartes'i süsteem on jagatud nelja kiirega neljaks veerandiks, millest igaühes on punkti asukoht määratud koordinaatide märgiga. Koordinaadid jagunevad abstsissdeks ja ordinaatideks. Teisisõnu, x ja y. Näiteks punktil (3, 4) on kaks positiivset koordinaati, mis tähendab, et see asub esimeses kvartalis. Mõlemad negatiivsed koordinaadid vastavad kolmandale kvartalile, positiivne y negatiivse x-ga on teine ​​kvartal ja negatiivne y positiivse x-ga neljas.

Punkti konstrueerimiseks Descartes'i koordinaatsüsteemides on vaja tõsta koordinaadile vastava arvukiire jagamisest risti. Seal on kaks koordinaati, mis tähendab, et on kaks risti. Nende ristumispunkt on soovitud punkt.

Arvrida on kiir, millele on trükitud numbrid või numbrivahemikud. Arvurida kasutatakse murdude, ülesande piltide võrdlemiseks ja funktsiooni ODZ leidmiseks. Viimane on kõige levinum.

Sirgjoone lokkis traks näitab piirkonda, kuhu juured ei ulatu. Pärast võrrandi lahendamist kantakse leitud juured arvjoonele. Lahendusest jäetakse välja juured, mis jäävad kehtetute väärtuste lokkis sulgudesse.

Nii et ühiklõik ja selle kümnendik, sajandik ja nii edasi võimaldavad meil jõuda koordinaatjoone punktideni, mis vastavad viimastele kümnendmurdudele (nagu eelmises näites). Koordinaatide sirgel on aga punkte, kuhu me ei pääse, kuid millele saame jõuda nii lähedale kui tahame, kasutades järjest väiksemaid ja väiksemaid kuni ühikulise lõigu lõpmatu murdosani. Need punktid vastavad lõpmatutele perioodilistele ja mitteperioodilistele kümnendmurdudele. Toome paar näidet. Üks nendest punktidest koordinaatjoonel vastab arvule 3.711711711...=3,(711) . Sellele punktile lähenemiseks peate kõrvale panema 3 ühiku segmenti, 7 kümnendikku, 1 sajandikku, 1 tuhandikku, 7 kümnendikku, 1 sajatuhandik, 1 miljondik ühiku segmenti jne. Ja teine ​​punkt koordinaatjoonel vastab pi-le (π=3,141592...).

Kuna reaalarvude hulga elemendid on kõik arvud, mida saab kirjutada lõplike ja lõpmatute kümnendmurdudena, võimaldab kogu ülaltoodud selles lõigus esitatud teave väita, et oleme iga punktiga seostanud konkreetse reaalarvu koordinaatjoonest ja see on selge erinevad punktid vastavad erinevatele reaalarvudele.

Samuti on üsna ilmne, et see kirjavahetus on üks-ühele. See tähendab, et saame määrata reaalarvu koordinaatjoone konkreetsele punktile, kuid me võime ka antud reaalarvu kasutades näidata koordinaatjoone konkreetset punkti, millele antud reaalarv vastab. Selleks peame loenduse algusest soovitud suunas kõrvale jätma teatud arvu ühikulisi segmente, samuti kümnendikke, sajandikuid ja nii edasi. Näiteks number 703.405 vastab punktile koordinaatjoonel, milleni saab lähtepunktist jõuda, kui joonistada positiivses suunas 703 ühikulist lõiku, millest 4 segmenti moodustavad kümnendiku ühikust ja 5 segmenti moodustavad tuhandendiku ühikust. .

Niisiis, koordinaatjoone iga punkti juurde kuulub reaalarv ja igal reaalarvul on oma koht koordinaatjoone punkti kujul. Seetõttu nimetatakse sageli koordinaatjoont numbririda.

Punktide koordinaadid koordinaatjoonel

Kutsutakse numbrit, mis vastab koordinaatjoone punktile selle punkti koordinaat.

Eelmises lõigus ütlesime, et iga reaalarv vastab koordinaatjoone ühele punktile, seetõttu määrab punkti koordinaat üheselt selle punkti asukoha koordinaatjoonel. Teisisõnu määrab punkti koordinaat selle punkti koordinaatjoonel üheselt. Teisest küljest vastab iga punkt koordinaatjoonel ühele reaalarvule – selle punkti koordinaadile.

Jääb üle öelda vaid aktsepteeritud tähistus. Punkti koordinaat kirjutatakse punkti tähistavast tähest paremale sulgudesse. Näiteks kui punktil M on koordinaat -6, siis saab kirjutada M(-6) ja vormi märkimine tähendab, et koordinaatjoone punktil M on koordinaat.

Bibliograafia.

  • Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matemaatika: õpik 5. klassile. õppeasutused.
  • Vilenkin N.Ya. ja teised matemaatika. 6. klass: õpik üldharidusasutustele.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: õpik 8. klassile. õppeasutused.

Naturaalarve saab kujutada kiirel. Konstrueerime kiiri algusega punktis O, suunates seda vasakult paremale, märkides suunda noolega.

Määrame kiire algusele (punkt O) arvu 0 (null). Eraldame punktist O suvalise pikkusega lõigu OA. Seostame punkti A arvuga 1 (üks). Segmendi OA pikkuseks loetakse 1 (ühik). Nimetatakse lõiku AB = 1 üks segment. Paigaldame punktist A lõigu AB = OA kiire suunas. Määrame punktile B arvu 2. Pange tähele, et punkt B asub punktist O kaks korda suuremal kaugusel kui punkt A. See tähendab, et lõigu OB pikkus võrdub 2 (kaks ühikut). Jätkates ühega võrdsete segmentide joonistamist kiire suunas, saame punktid, mis vastavad numbritele 3, 4, 5 jne. Need punktid eemaldatakse punktist O vastavalt 3, 4, 5 jne võrra. ühikut.

Sel viisil konstrueeritud tala nimetatakse koordineerida või numbriline. Kutsutakse arvurea alguspunkti, punkti O alguspunkt. Nimetatakse selle kiire punktidele määratud numbreid koordinaadid need punktid (seega: koordinaatkiir). Nad kirjutavad: O(0), A(1), B(2), loevad: " punkt O koordinaadiga 0 (null), punkt A koordinaadiga 1 (üks), punkt B koordinaadiga 2 (kaks)" jne.

Mis tahes naturaalarv n saab kujutada koordinaatkiirel ja vastav punkt P eemaldatakse punktist O võrra nühikut. Nad kirjutavad: OP = n ja P( n) - punkt P (loe: "pe") koordinaadiga n(loe: "en"). Näiteks punkti K(107) märkimiseks arvteljel on vaja punktist O joonistada 107 lõiku, mis on võrdne ühega. Saate valida mis tahes pikkusega segmendi ühe segmendina. Tihti valitakse ühiklõigu pikkus nii, et pildi piires oleks võimalik kujutada vajalikke naturaalarve arvteljel. Kaaluge näidet

5.2. Kaal

Arvuvihu oluline rakendus on skaalad ja diagrammid. Neid kasutatakse mõõteriistades ja seadmetes, millega mõõdetakse erinevaid suurusi. Üks mõõtevahendite põhielemente on skaala. See on metallile, puidule, plastile, klaasile või muule alusele kantud numbriline kiir. Sageli on skaala tehtud ringi või ringiosa kujul, mis jagatakse tõmmetega võrdseteks osadeks (jaotused-kaared) nagu arvjoon. Igale sirge või ringikujulise skaalaga tõmbele omistatakse konkreetne number. See on mõõdetud suuruse väärtus. Näiteks termomeetri skaalal olev number 0 vastab temperatuurile 0 0 C, loe: “ null kraadi Celsiuse järgi" See on temperatuur, mille juures hakkab jää sulama (või vesi külmuma).

Mõõteriistade ja kaaludega instrumentide abil määrake mõõdetud suuruse väärtus positsioonide kaupa osuti skaalal. Enamasti toimivad indikaatoritena nooled. Need võivad liikuda mööda skaalat, märkides mõõdetud väärtuse väärtust (näiteks kella osuti, skaala osuti, spidomeetri osuti - kiiruse mõõtmise seade, joonis 3.1.). Elavhõbeda või toonitud piirituse samba piir termomeetris on sarnane liikuva noolega (joonis 3.1). Mõnes instrumendis ei liigu mitte nool mööda skaalat, vaid skaala, mis liigub paigalseisva noole (märk, joon) suhtes, näiteks põrandaskaalal. Mõnes instrumendis (joonlaud, mõõdulint) on osutiks mõõdetava objekti piirid.

Vahekohti (skaala osi) külgnevate skaalajoonte vahel nimetatakse jaotusteks. Mõõdetud väärtuse ühikutes väljendatud külgnevate löökide vahelist kaugust nimetatakse jagamishinnaks(kõrvuti asetsevatele skaalajoontele vastavate arvude erinevus.) Näiteks spidomeetri jaotuse hind joonisel 3.1. on võrdne 20 km/h (kakskümmend kilomeetrit tunnis) ning ruumitermomeetri jaotushind joonisel 3.1. võrdne 1 0 C (üks Celsiuse kraad).

Diagramm

Sest nähtav pilt kogused, kasutades joon-, veerg- või sektordiagramme. Diagramm koosneb numbrilisest kiirskaalast, mis on suunatud vasakult paremale või alt üles. Lisaks sisaldab diagramm segmente või ristkülikuid (veerge), mis kujutavad võrreldavaid väärtusi. Sel juhul on segmentide või veergude pikkus skaalaühikutes võrdne vastavate väärtustega. Skeemil numbrilise kiirgusskaala lähedale kirjutage alla mõõtühikute nimetus, milles suurused on joonistatud. Joonisel 3.2. näitab tulpdiagrammi ja joonisel 3.3 joondiagrammi.

3.2.1. Kogused ja nende mõõtmise instrumendid

Tabelis on mõnede suuruste nimetused, samuti nende mõõtmiseks mõeldud seadmed ja instrumendid. (Põhiühikud on paksus kirjas. Rahvusvaheline süsteemühikut).

5.2.2. Termomeetrid. Temperatuuri mõõtmine

Joonisel 3.4 on kujutatud termomeetreid, mis kasutavad erinevaid temperatuuriskaalasid: Reaumur (°R), Celsius (°C) ja Fahrenheit (°F) Need kasutavad sama temperatuurivahemikku – vee keemistemperatuuride ja jää sulamistemperatuuride vahet. See intervall on jagatud erinev number osad: Reaumuri skaalal - 80 osal, Celsiuse skaalal - 100 osal, Fahrenheiti skaalal - 180 osal. Veelgi enam, Reaumuri ja Celsiuse skaalal vastab jää sulamise temperatuur numbrile 0 (null) ja Fahrenheiti skaalal numbrile 32. Nende termomeetrite temperatuuriühikud on: Reaumur, Celsiuse kraad, Fahrenheiti kraad. . Termomeetrid kasutavad vedelike (alkohol, elavhõbe) omadust kuumutamisel paisuda. Samal ajal paisuvad erinevad vedelikud kuumutamisel erinevalt, nagu on näha jooniselt 3.5, kus piirituse ja elavhõbeda samba löögid ei lange samal temperatuuril kokku.

5.2.3. Õhuniiskuse mõõtmine

Õhuniiskus oleneb selles sisalduva veeauru hulgast. Näiteks suvel on kõrbes õhk kuiv ja õhuniiskus madal, kuna see sisaldab vähe veeauru. Subtroopikas, näiteks Sotšis, on õhuniiskus kõrge ja õhus palju veeauru. Niiskust saate mõõta kahe termomeetriga. Üks neist on tavaline (kuiv pirn). Teisel on pall, mis on mähitud niiskesse lappi (märg termomeeter). On teada, et vee aurustumisel kehatemperatuur langeb. (Pidage meeles külmavärinat, kui pärast ujumist merest välja tulete). Seetõttu näitab märg termomeeter rohkem madal temperatuur. Mida kuivem on õhk, seda suurem on kahe termomeetri näitude erinevus. Kui termomeetri näidud on samad (erinevus on null), siis on õhuniiskus 100%. Sel juhul langeb kaste. Õhuniiskust mõõtvat seadet nimetatakse psühromeeter (Joonis 3.6 ). See on varustatud tabeliga, mis näitab: kuiva pirni näidud, kahe termomeetri näitude erinevus ja õhuniiskus protsentides. Mida lähemal on õhuniiskus 100%, seda niiskem on õhk. Normaalne siseruumide õhuniiskus peaks olema umbes 60%.

Plokk 3.3. Enesevalmistus

5.3.1. Täida tabel

Tabeli küsimustele vastamisel täitke tühi veerg (“Vastus”). Sel juhul kasutage seadmete pilte plokis "Lisa".


760 mm. rt. Art. peetakse normaalseks. Joonis 3.11 näitab muutust atmosfääri rõhk tippu ronides kõrge mägi Everest.

Koostage rõhumuutuste lineaarne diagramm, joonistades kõrguse üle merepinna vertikaalkiirele ja rõhu piki horisontaalkiirt.

Plokk 5.4. Probleem

Antud pikkusega ühiklõiguga arvkiire konstrueerimine

Selle haridusprobleemi lahendamiseks töötage tabeli vasakpoolses veerus toodud plaani järgi, samal ajal kui parem veerg on soovitatav katta paberilehega. Pärast kõikidele küsimustele vastamist võrrelge oma järeldusi antud lahendustega.

Plokk 5.5. Facet test

Numbrikiir, skaala, diagramm

Tahktesti ülesannetes kasutati pilte tabelist. Kõik ülesanded algavad järgmiselt: " KUI arvkiir on kujutatud joonisel..., siis...»

KUI: arvkiir on kujutatud joonisel... Tabel

  1. Ühikute arv arvjoone külgnevate tõmmete vahel.
  2. Punktide A, B, C, D koordinaadid.
  3. Vastavalt lõikude AB, BC, AD, BD pikkus (sentimeetrites).
  4. Vastavalt lõikude AB, BC, AD, BD pikkus (meetrites).
  5. Naturaalarvud, mis asuvad arvujoonel punktist D vasakul.
  6. Naturaalarvud, mis asuvad punktide A ja C vahelisel arvutel.
  7. Kogus naturaalarvud, mis asub punktide A ja D vahelisel arvujoonel.
  8. Naturaalarvude arv, mis asuvad punktide B ja C vahelisel arvteljel.
  9. Instrumentide skaala jaotuse hind.
  10. Sõiduki kiirus km/h, kui spidomeetri nõel osutab vastavalt punktidele A, B, C, D.
  11. Summa (km/h), mille võrra auto kiirus suurenes, kui spidomeetri nõel liigub punktist B punkti C.
  12. Auto kiirus pärast seda, kui juht vähendas kiirust 84 km/h (enne kiiruse vähendamist näitas spidomeetri nõel punkti D).
  13. Kaalude koormuse mass sentimeetrites, kui nool - skaala indikaator - asub vastavalt punktide A, B, C vastas.
  14. Kaalude koormuse mass kilogrammides, kui nool - skaala osuti - asub vastavalt punktide A, B, C vastas.
  15. Kaalude koormuse mass grammides, kui nool - skaala osuti - asub vastavalt punktide A, B, C vastas.
  16. Õpilaste arv 5. klassis.
  17. „4“ ja „3“ saavutanud õpilaste arvu erinevus.
  18. Hinde “4” ja “5” saanud õpilaste arvu suhe hindele “3” saanud õpilaste arvu.

VÕRDNE (võrdne, võrdne, see):

a) 10 b) 6,12,3,3 c) 1 d) 99 102 106 104 d) 2 f) 201 202 g) 49 h) 3500 3000 8000 4500

i) 5,2,1,4 k) 599 l) 6,3,3,9 m) 10,4,16,7 n) 100 o) 4 km/h p) 65,85,105,115 p) 7,2, 4 ,6 c) 20,20,50,30 t) 0 a) 700,600,1600,900 f) 1,2,3,4,5,6 x) 25,10,5,20 c) 3,4, 5,2 h) 203,197,200,206 w) 15,20,25,10 w) 1599 s) 11,12,13,14,15 e) 30,60,15,15 a) 0,700,1300,1600, i) 05,10,5a : 4500000 mm) 11 nn) 36 oo) 1500,3000,4500 pp) 7 rr) 24 ss) 15,30,45

Plokk 5.6. Haridusmosaiik

Mosaiikülesannetes kasutati seadmeid plokist "Lisa". Allpool on mosaiigiväli. Seadmete nimed on sellel märgitud. Lisaks on iga seadme kohta näidatud: mõõdetud väärtus (V), väärtuse mõõtühik (E), instrumendi näit (P), skaala jaotuse väärtus (C). Järgmised on mosaiikrakud. Pärast lahtri lugemist tuleb esmalt tuvastada seade, kuhu see kuulub, ja panna seadme number lahtri ringi. Siis peate ära arvama, millest see rakk räägib. Kui me räägime mõõdetud kogusest, peate numbrile lisama tähe IN. Kui see on mõõtühik, pange täht E, kui instrumendi näit on täht P, kui jagamise hind on täht C. Sel viisil peate määrama kõik mosaiigi lahtrid. Kui lahtrid on välja lõigatud ja paigutatud nagu põllul, saate seadme teavet süstematiseerida. Mosaiigi arvutiversioonis luuakse lahtrite õige paigutusega muster.

Üks segment. ? Üks segment võib olla erineva pikkusega. Näiteks peame konstrueerima koordinaatkiire, mille ühiklõik on võrdne kahe lahtriga. Selleks peate: konstrueerima kiiri (vastavalt ülalkirjeldatud reeglitele), lugema punktist O kaks lahtrit, märkima punkti ja andma sellele koordinaadi 1, kaugus 0-st 1-ni, mis võrdub kahe lahtriga, on ühiku segment. O. 0. 1. Allpool on koordinaatkiir, mille ühiklõik on võrdne viie lahtriga. O. 0. 1.

Slaid 6 esitlusest "Koordinaadikiir". Arhiivi suurus koos esitlusega on 107 KB.

Matemaatika 5. klass

kokkuvõte muud ettekanded

“Matemaatika 5. klass “Tavamurrud”” - Murdude lahutamine. Fraktsioonide vähendamine. Murdude erinevus. Ring. Murrud koos samad nimetajad. Aktsiad. Võrrelge murde. Murdude lisamine. Mis on murdosa? Suurem nimetaja. Murdude jagamise reegel. Murd. Osa ringist. Lisage fraktsioonid. Number. Leia tükk. Õppetund. Töö. Arvestatud näide. Arbuus. Leia erinevus. Ebavõrdsed murrud. Harilikud murded. Murrude jagamine. Murdude korrutamine.

“Ülesanded võrrandite lahendamiseks” – võrrandid. Paneme foori põlema. Test Ivan Tsarevitši jaoks. Soojendama. Iseseisev töö. Kui palju Masha ostu eest maksis. Uurimine kodutöö. Mäng "Maagiline number". Vasta küsimustele. Sääskede perekond. Kohtuprotsess. Kehalise kasvatuse minut.

"Teekond läbi matemaatika" – milline kolmnurkne arv tähistab võrdkülgset kolmnurka. Turistid soovivad uurida mandri tihedalt asustatud osi. Hommikusöögiks sõime 3/8 koogist ja lõunaks – 5/8 koogist. Purjekas läbib 1 miili 10 minutiga. Suure piloodi ülesanded. "Kirjanduse" saar. Reis läbi teadmiste mere. Laeva ehitamiseks on vaja palke lõigata. Lukomorye saar. Draakon. “Kuldsete käte” rannik. Peatage "Kudykiny Gory".

„Avaldiste lihtsustamine” 5. klass” – avaldiste lihtsustamine. Võtke ühine tegur sulgudest välja. Jaotusseadus. Milliseid väljendeid saab lihtsustada? Kuidas avaldist teisendada. Väljendite lihtsustamine. Ülesanne. Võrrandite lahendamine. Termineid, millel on sama täheosa, nimetatakse sarnasteks. Leia väljendite tähendused mugaval viisil. Sarnastele mõistetele joon alla. Tehke kindlaks, mis nendes väljendites puudub.

“Protsent” 5. klass” – protsent on arvu sajas osa. Lahendage probleem. Numbrite protsent. Kontrollime. Arvu leidmine selle protsendi järgi. Leia see. Protsentide leidmine protsentidest. Suurendage numbrit 56 20% võrra. Kirjutage protsendid kümnendkohana. Me võtame alati tervikut kui ühte või 100%. Huvi. Määramine. Kuidas väljendada protsentides kümnendkohtadena. Peate selle murdosa korrutama 100-ga. Kuidas seda kirjutada kümnend kasutades protsente.

"Kolmnurgad ja nende tüübid" - Loominguline töö. Kolmnurga tüüp. Kolmnurgad. Esmane värskendus. Lahenda mõistatus. Geomeetriline periood. Kolmnurgad võib nende nurkade alusel jagada rühmadesse. Kolmnurk ja selle elemendid. Tipud. Mitu joont saab tõmmata läbi kahe punkti? Kaks võrdset külge. Kolmnurgad meie ümber.