Edu 

Tõenäosusteooria ühtse riigieksami profiili tase. Tõenäosusteooria ülesannete lahendamine ühtsel riigieksamil

Tehases keraamilised plaadid 5% toodetud plaatidest on defektsed. Toote kvaliteedikontrolli käigus avastatakse vaid 40% defektsetest plaatidest. Ülejäänud plaadid saadetakse müüki. Leidke tõenäosus, et ostmisel juhuslikult valitud plaadil pole defekte. Ümarda oma vastus lähima sajandikuni.

Näita lahendust

Lahendus

Toote kvaliteedikontrolli käigus tuvastatakse 40% defektsetest plaatidest, mis moodustavad 5% toodetud plaatidest ja need ei jõua müüki. See tähendab, et 0,4 · 5% = 2% toodetud plaatidest ei jõua müüki. Ülejäänud toodetud plaadid - 100% - 2% = 98% - lähevad müüki.

100% - 95% toodetud plaatidest on defektideta. Tõenäosus, et ostetud plaadil ei ole defekte, on 95%: 98% = \frac(95)(98)\umbes 0,97

Vastus

Seisund

Tõenäosus, et aku pole laetud, on 0,15. Klient ostab poest juhusliku paki, mis sisaldab kahte sellist akut. Leidke tõenäosus, et mõlemad selles pakendis olevad akud saavad laetud.

Näita lahendust

Lahendus

Aku laetuse tõenäosus on 1-0,15 = 0,85. Leiame sündmuse "mõlemad akud on laetud" tõenäosuse. Tähistame A ja B-ga sündmusi “esimene aku on laetud” ja “teine ​​aku on laetud”. Saime P(A) = P(B) = 0,85. Sündmus "mõlemad akud on laetud" on sündmuste A \cap B ristumiskoht, selle tõenäosus on võrdne P(A\kork B) = P(A)\cdot P(B) = 0,85\cdot 0,85 = 0,7225.

Vastus

Allikas: “Matemaatika. Ettevalmistus 2017. aasta ühtseks riigieksamiks. Profiili tase." Ed. F. F. Lõssenko, S. Yu. Kulabukhova.

Seisund

Tõenäosus, et uus pesumasin esitatakse garantiiremondile aasta jooksul, mis võrdub 0,065. Teatud linnas müüdi aasta jooksul 1200 pesumasinat, millest 72 toimetati garantiitöökotta. Tehke kindlaks, kui erinev on "garantiiremondi" sündmuse toimumise suhteline sagedus selle tõenäosusest selles linnas?

Näita lahendust

Lahendus

Sündmuse “pesumasin remonditakse garantii korras aasta jooksul” sagedus on võrdne \frac(72)(1200) = 0,06. See erineb tõenäosusest 0,065-0,06=0,005 võrra.

Vastus

Allikas: “Matemaatika. Ettevalmistus 2017. aasta ühtseks riigieksamiks. Profiili tase." Ed. F. F. Lõssenko, S. Yu. Kulabukhova.

Seisund

Tõenäosus, et pliiats on defektne, on 0,05. Klient ostab poest juhusliku paki, mis sisaldab kahte pastakat. Leidke tõenäosus, et mõlemad selles pakendis olevad pliiatsid on head.

Näita lahendust

Lahendus

Tõenäosus, et käepide töötab, on 1-0,05 = 0,95. Leiame sündmuse "mõlemad käepidemed töötavad" tõenäosuse. Tähistame A ja B-ga sündmusi “esimene käepide töötab” ja “teine ​​käepide töötab”. Saime P(A) = P(B) = 0,95. Sündmus "mõlemad käepidemed töötavad" on sündmuste A\cap B ristumiskoht, selle tõenäosus on võrdne P(A\kork B) = P(A)\cdot P(B) = 0,95\cdot 0,95 = 0,9025.

Vastus

Allikas: “Matemaatika. Ettevalmistus 2017. aasta ühtseks riigieksamiks. Profiili tase." Ed. F. F. Lõssenko, S. Yu. Kulabukhova.

Seisund

Pildil on labürint. Mardikas roomab sissepääsupunktis labürinti. Pöörake ümber ja roomake sisse vastupidine suund mardikas ei saa, nii et iga hargnemise juures valib ta ühe tee, millel ta pole veel käinud. Kui suure tõenäosusega tuleb mardikas D-st väljapääsu, kui edasise tee valik on juhuslik?

Näita lahendust

Lahendus

Asetame ristumiskohtadele nooled mardika liikumissuundadesse (vt joonist).

Igal ristmikul valime kahest võimalikust ühe suuna ja eeldame, et ristmikule jõudes liigub mardikas meie valitud suunas.

Selleks, et mardikas jõuaks D-väljapääsuni, tuleb igal ristmikul valida pideva punase joonega näidatud suund. Kokku tehakse suunavalik 4 korda, iga kord sõltumata eelmisest valikust. Tõenäosus, et iga kord valitakse pidev punane nool, on \frac12\cdot\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12= 0,5^4= 0,0625.

Vastus

Allikas: “Matemaatika. Ettevalmistus 2017. aasta ühtseks riigieksamiks. Profiili tase." Ed. F. F. Lõssenko, S. Yu. Kulabukhova.

Seisund

Sektsioonis on 16 sportlast, nende hulgas kaks sõpra - Olya ja Masha. Sportlased jagatakse juhuslikult 4 võrdsesse rühma. Leidke tõenäosus, et Olya ja Maša satuvad samasse rühma.

Tund-loeng teemal “tõenäosusteooria”

Ühtse riigieksami 2016 ülesanne nr 4.

Profiili tase.


1 rühm:ülesanded klassikalise tõenäosusvalemi kasutamise kohta.



  • 1. harjutus. Taksofirmal on 60 autot; 27 neist on musta värvi, külgedel kollaste kirjadega, ülejäänud on kollast värvi mustade kirjadega. Leidke tõenäosus, et kollane musta kirjaga auto vastab juhuslikule kõnele.

  • 2. ülesanne. Miša, Oleg, Nastja ja Galja heitsid loosi, kes peaks mängu alustama. Leidke tõenäosus, et Galya ei alusta mängu.

  • 3. ülesanne. 1000 müüdud aiapumbast lekib keskmiselt 7. Leidke tõenäosus, et üks juhuslikult juhtimiseks valitud pump ei leki.

  • 4. ülesanne. Keemia piletite kogus on ainult 15 piletit, neist 6 sisaldab küsimust teemal “Happed”. Leia tõenäosus, et õpilane saab juhuslikult valitud eksamipiletil küsimuse teemal “Happed”.

  • 5. ülesanne. Sukeldumismeistrivõistlustel võistleb 45 sportlast, sealhulgas 4 sukeldujat Hispaaniast ja 9 sukeldujat USA-st. Esinemiste järjekord määratakse loosi teel. Leidke tõenäosus, et USA hüppaja on kahekümne neljas.

  • 6. ülesanne. Teaduskonverents toimub 3 päeva jooksul. Kokku on kavas 40 aruannet - 8 aruannet esimesel päeval, ülejäänud jagunevad võrdselt teise ja kolmanda päeva vahel. Aruannete esitamise järjekord määratakse loosi teel. Kui suur on tõenäosus, et professor M. ettekanne jääb konverentsi viimasele päevale?


  • 1. harjutus. Enne tennisemeistrivõistluste esimese ringi algust jagatakse osalejad loosiga juhuslikult mängupaaridesse. Kokku osaleb meistrivõistlustel 26 tennisisti, sealhulgas 9 osalejat Venemaalt, sealhulgas Timofey Trubnikov. Leidke tõenäosus, et esimeses ringis mängib Timofey Trubnikov ükskõik millise Venemaa tennisistiga.

  • 2. ülesanne. Enne sulgpalli meistrivõistluste esimese ringi algust jagatakse osalejad loosiga juhuslikult mängupaaridesse. Kokku osaleb meistrivõistlustel 76 sulgpallurit, sealhulgas 22 sportlast Venemaalt, sealhulgas Viktor Poljakov. Leia tõenäosus, et Viktor Poljakov mängib esimeses ringis ükskõik millise Venemaa sulgpalluriga.

  • 3. ülesanne. Klassis on 16 õpilast, nende hulgas kaks sõpra - Oleg ja Mihhail. Klass jagatakse juhuslikult 4 võrdsesse rühma. Leidke tõenäosus, et Oleg ja Mihhail on samas grupis.

  • 4. ülesanne. Klassis on 33 õpilast, nende hulgas kaks sõpra - Andrey ja Mihhail. Õpilased jagatakse juhuslikult 3 võrdsesse rühma. Leidke tõenäosus, et Andrei ja Mihhail on samas rühmas.


  • 1. harjutus: Keraamiliste lauanõude tehases on 20% toodetud taldrikutest defektsed. Toote kvaliteedikontrolli käigus tuvastatakse 70% defektsetest plaatidest. Ülejäänud plaadid on müügil. Leidke tõenäosus, et ostmisel juhuslikult valitud taldrikul pole defekte. Ümarda oma vastus lähima sajandikuni.

  • 2. ülesanne. Keraamiliste lauanõude tehases on 30% toodetud taldrikutest defektsed. Toote kvaliteedikontrolli käigus tuvastatakse 60% defektsetest plaatidest. Ülejäänud plaadid on müügil. Leidke tõenäosus, et ostu käigus juhuslikult valitud taldrikul on defekt. Ümarda oma vastus lähima sajandikuni.

  • Ülesanne 3: Kaks tehast toodavad autode esituledele ühesuguseid klaase. Esimene tehas toodab 30% neist klaasidest, teine ​​- 70%. Esimene tehas toodab 3% defektiga klaasist ja teine ​​- 4%. Leidke tõenäosus, et poest kogemata ostetud klaas on defektiga.

2 rühm: vastupidise sündmuse tõenäosuse leidmine.


  • 1. harjutus. 20 m kauguselt märklaua keskpunkti tabamise tõenäosus professionaalsel laskuril on 0,85. Leidke tõenäosus, et sihtmärgi keskpunkt jääb puudu.

  • 2. ülesanne. 67 mm läbimõõduga laagrite valmistamisel on tõenäosus, et läbimõõt erineb ettenähtust vähem kui 0,01 mm, 0,965. Leidke tõenäosus, et juhusliku laagri läbimõõt on alla 66,99 mm või suurem kui 67,01 mm.

3 rühm: Vähemalt ühe kokkusobimatu sündmuse toimumise tõenäosuse leidmine. Tõenäosuste lisamise valem.


  • 1. harjutus. Leia tõenäosus, et täringu viskamisel saad 5 või 6 punkti.

  • 2. ülesanne. Urnis on 30 palli: 10 punast, 5 sinist ja 15 valget. Leidke värvilise palli joonistamise tõenäosus.

  • 3. ülesanne. Laskur laseb sihtmärki, mis on jagatud 3 alaks. Esimese ala tabamise tõenäosus on 0,45, teise 0,35. Leia tõenäosus, et laskur tabab ühe lasuga kas esimest või teist ala.

  • 4. ülesanne. Linnaosa keskusest külasse sõidab iga päev buss. Tõenäosus, et esmaspäeval on bussis vähem kui 18 reisijat, on 0,95. Tõenäosus, et reisijaid on vähem kui 12, on 0,6. Leidke tõenäosus, et reisijate arv on 12–17.

  • 5. ülesanne. Tõenäosus, et uus Elektriline veekeetja kestab rohkem kui aasta, võrdub 0,97. Tõenäosus, et see kestab üle kahe aasta, on 0,89. Leidke tõenäosus, et see kestab vähem kui kaks aastat, kuid rohkem kui aasta.

  • 6. ülesanne. Tõenäosus, et õpilane U. lahendab bioloogiatesti käigus õigesti rohkem kui 9 ülesannet, on 0,61. Tõenäosus, et U. lahendab õigesti rohkem kui 8 ülesannet, on 0,73. Leia tõenäosus, et U lahendab täpselt 9 ülesannet õigesti.

4 Grupp: Sõltumatute sündmuste samaaegse toimumise tõenäosus. Tõenäosuse korrutamise valem.


  • 1. harjutus. Ruumi valgustab kahe lambiga latern. Ühe lambi läbipõlemise tõenäosus aasta jooksul on 0,3. Leia tõenäosus, et aasta jooksul ei põle vähemalt üks lamp läbi.

  • 2. ülesanne. Ruumi valgustab kolme lambiga latern. Ühe lambi läbipõlemise tõenäosus aasta jooksul on 0,3. Leia tõenäosus, et aasta jooksul ei põle vähemalt üks lamp läbi.

  • 3. ülesanne. Kaupluses on kaks müüjat. Igaüks neist on hõivatud kliendiga tõenäosusega 0,4. Leidke tõenäosus, et juhuslikul ajahetkel on mõlemad müüjad samal ajal hõivatud (oletame, et kliendid tulevad üksteisest sõltumatult).

  • 4. ülesanne. Kaupluses on kolm müüjat. Igaüks neist on hõivatud kliendiga tõenäosusega 0,2. Leidke tõenäosus, et juhuslikul ajahetkel on kõik kolm müüjat samal ajal hõivatud (oletame, et kliendid tulevad üksteisest sõltumatult).

  • Ülesanne 5: Klientide arvustuste põhjal hindas Mihhail Mihhailovitš kahe veebipoe töökindlust. Tõenäosus, et soovitud toode kauplusest A tarnitakse, on 0,81. Tõenäosus, et see toode tarnitakse kauplusest B, on 0,93. Mihhail Mihhailovitš tellis kaupa mõlemast poest korraga. Eeldades, et veebipoed tegutsevad üksteisest sõltumatult, leidke tõenäosus, et ükski pood toodet ei tarni.

  • Ülesanne 6: Kui vanameister A. mängib valget, siis võidab ta suurmeister B. vastu tõenäosusega 0,6. Kui A. mängib mustanahalist, siis A. võidab B. vastu tõenäosusega 0,4. Suurmeistrid A. ja B. mängivad kaks mängu ja teises mängus muudavad nad nuppude värvi. Leidke tõenäosus, et A. võidab mõlemal korral.

5 Grupp: Mõlema valemi kasutamisega seotud probleemid.


  • 1. harjutus: Kõik hepatiidi kahtlusega patsiendid läbivad vereanalüüsi. Kui test tuvastab hepatiidi, nimetatakse testi tulemust positiivseks. Hepatiidiga patsientidel annab test positiivse tulemuse tõenäosusega 0,9. Kui patsiendil ei ole hepatiiti, võib test anda valepositiivse tulemuse tõenäosusega 0,02. On teada, et 66%-l hepatiidikahtlusega vastuvõetud patsientidest on tegelikult hepatiit. Leidke tõenäosus, et kliinikusse hepatiidikahtlusega patsiendi test on positiivne.

  • 2. ülesanne. Kauboi Johnil on nullitud revolvrist tulistades 0,9 tõenäosus, et ta tabab kärbse seinale. Kui John tulistab nägematust revolvrist, tabab ta kärbest tõenäosusega 0,2. Laual on 10 revolvrit, millest ainult 4 on lastud. Kauboi John näeb seinal kärbest, haarab juhuslikult esimese ettejuhtuva revolvri ja tulistab kärbse. Leidke tõenäosus, et John jätab vahele.

Ülesanne 3:

Mõnes piirkonnas näitasid vaatlused:

1. Kui juuni hommik on selge, siis on sel päeval saju tõenäosus 0,1. 2. Kui juunikuu hommik on pilvine, siis päeval on saju tõenäosus 0,4. 3. Tõenäosus, et juuni hommik on pilvine, on 0,3.

Leidke tõenäosus, et ühel juhuslikul juunikuu päeval vihma ei saja.


4. ülesanne. Suurtükitule ajal laseb automaatsüsteem lasku sihtmärgi pihta. Kui sihtmärki ei hävitata, teeb süsteem teise lasu. Laske korratakse, kuni sihtmärk on hävitatud. Teatud sihtmärgi hävitamise tõenäosus esimese lasuga on 0,3 ja iga järgneva lasuga 0,9. Mitu lasku on vaja selleks, et sihtmärgi hävitamise tõenäosus oleks vähemalt 0,96?

V-6-2014 (kõik 56 prototüüpi ühtse riigieksami pangast)

Suuda ehitada ja uurida kõige lihtsamat matemaatilised mudelid(tõenäosusteooria)

1. Juhusliku katse käigus visatakse kaks täringut. Leidke tõenäosus, et kogusumma on 8 punkti. Ümarda tulemus sajandikuteks. Lahendus: Tulemuste arv, milles viske tulemus täringut Veeretatakse 8 punkti, mis võrdub 5: 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2. Igal täringul on kuus võimalikku viskamist koguarv Tulemused on 6·6 = 36. Seega on tõenäosus, et kokku saadakse 8 punkti, 5: 36=0,138…=0,14

2. Juhusliku katse käigus visatakse sümmeetriline münt kaks korda. Leidke tõenäosus, et pead ilmuvad täpselt üks kord. Lahendus: Eksperimendil on 4 võrdselt võimalikku tulemust: pead-pead, pead-sabad, sabad-pead, sabad-sabad. Pead ilmuvad täpselt üks kord kahel juhul: pea-saba ja saba-pea. Seetõttu on tõenäosus, et pead ilmuvad täpselt 1 kord, 2: 4 = 0,5.

3. Võimlemise meistrivõistlustel osaleb 20 sportlast: 8 Venemaalt, 7 USA-st, ülejäänud Hiinast. Võimlejate esinemise järjekord määratakse loosi teel. Leidke tõenäosus, et esimesena võistlev sportlane on pärit Hiinast. Lahendus: Osaleb meistrivõistlustelsportlased Hiinast. Siis on tõenäosus, et esimesena võistlev sportlane on Hiinast 5: 20 = 0,25

4. 1000 müüdud aiapumbast lekib keskmiselt 5. Leidke tõenäosus, et üks juhuslikult juhtimiseks valitud pump ei leki. Lahendus: Keskmiselt 1000 müüdud aiapumbast 1000 − 5 = 995 ei leki. See tähendab, et tõenäosus, et üks juhuslikult juhtimiseks valitud pump ei leki, on 995: 1000 = 0,995

5. Tehas toodab kotte. Keskmiselt tuleb iga 100 kvaliteetkoti kohta kaheksa varjatud defektidega kotti. Leidke tõenäosus, et ostetud kott on kvaliteetne. Ümarda tulemus sajandikuteks. Lahendus: Tingimuse kohaselt tuleb iga 100 + 8 = 108 koti kohta 100 kvaliteetset kotti. See tähendab, et tõenäosus, et ostetud kott on kvaliteetne, on 100: 108 =0,925925...= 0,93

6. Kuulitõukevõistlusel osaleb 4 sportlast Soomest, 7 sportlast Taanist, 9 sportlast Rootsist ja 5 sportlast Norrast. Sportlaste võistlemise järjekord määratakse loosi teel. Leia tõenäosus, et viimasena võistlev sportlane on pärit Rootsist. Lahendus: Kokku osaleb võistlustel 4 + 7 + 9 + 5 = 25 sportlast. See tähendab, et tõenäosus, et viimasena võistlev sportlane on Rootsist, on 9: 25 = 0,36

7. Teaduskonverents toimub 5 päeva jooksul. Kokku on kavas 75 aruannet – esimesed kolm päeva sisaldavad 17 teadet, ülejäänud jagunevad võrdselt neljanda ja viienda päeva vahel. Aruannete esitamise järjekord määratakse loosi teel. Kui suur on tõenäosus, et professor M. ettekanne jääb konverentsi viimasele päevale? Lahendus: Esimesel kolmel päeval loetakse ette 51, kahel viimasel päeval on kavas 24 ettekannet. Seetõttu on viimasele päevale planeeritud 12 teadet. See tähendab, et tõenäosus, et professor M. ettekanne on kavandatud konverentsi viimasele päevale, on 12: 75 = 0,16

8. Esinejate konkurss toimub 5 päeva jooksul. Kokku on välja kuulutatud 80 etendust – üks igast riigist. Esimesel päeval on 8 etendust, ülejäänud jagunevad võrdselt ülejäänud päevade vahel. Esinemiste järjekord määratakse loosi teel. Kui suur on tõenäosus, et kolmandal võistluspäeval esineb Venemaa esindaja? Lahendus: Plaanitud kolmandaks päevakskõned. See tähendab, et tõenäosus, et Venemaa esindaja esinemine on kavas kolmandal võistluspäeval, on 18: 80 = 0,225

9. Seminarile tuli 3 teadlast Norrast, 3 Venemaalt ja 4 Hispaaniast. Aruannete esitamise järjekord määratakse loosi teel. Leidke tõenäosus, et kaheksas raport on Venemaa teadlase aruanne. Lahendus: Kokku osaleb seminaril 3 + 3 + 4 = 10 teadlast, mis tähendab, et tõenäosus, et kaheksandana kõnelev teadlane on Venemaalt, on 3:10 = 0,3.

10. Enne sulgpalli meistrivõistluste esimese ringi algust jagatakse osalejad loosiga juhuslikult mängupaaridesse. Kokku osaleb meistrivõistlustel 26 sulgpallurit, sealhulgas 10 osalejat Venemaalt, sealhulgas Ruslan Orlov. Leia tõenäosus, et Ruslan Orlov mängib esimeses ringis mõne Venemaa sulgpalluriga? Lahendus: Ruslan Orlov saab esimeses ringis mängida 26 − 1 = 25 sulgpalluriga, kellest 10 − 1 = 9 on Venemaalt. See tähendab, et tõenäosus, et Ruslan Orlov mängib esimeses ringis ükskõik millise Venemaa sulgpalluriga, on 9: 25 = 0,36

11. Bioloogia piletite kollektsioonis on ainult 55 piletit, neist 11 sisaldab botaanikaalast küsimust. Leidke tõenäosus, et õpilane saab juhuslikult valitud eksamipiletil botaanikaalase küsimuse. Lahendus: 11: 55 = 0,2

12. Sukeldumismeistrivõistlustel esineb 25 sportlast, nende hulgas 8 hüppajat Venemaalt ja 9 hüppajat Paraguayst. Esinemiste järjekord määratakse loosi teel. Leidke tõenäosus, et Paraguay hüppaja on kuues.

13.Kaks tehast toodavad auto esitulede jaoks sama klaasi. Esimene tehas toodab 30% neist klaasidest, teine ​​- 70%. Esimene tehas toodab 3% defektsest klaasist ja teine ​​- 4%. Leidke tõenäosus, et poest kogemata ostetud klaas osutub defektseks.

Lahendus. Teisenda %% murdarvudeks.

Sündmus A – "Osteti esimese tehase klaas." P(A) = 0,3

Sündmus B – "Osteti teise tehase klaas." P(B) = 0,7

Sündmus X - "Defektne klaas".

P(A ja X) = 0,3*0,03=0,009

P(B ja X) = 0,7*0,04=0,028 Kogutõenäosuse valemi järgi: P = 0,009+0,028 = 0.037

14.Kui vanameister A. mängib valget, siis võidab ta suurmeister B. vastu tõenäosusega 0,52. Kui A. mängib mustanahalist, siis A. võidab B. vastu tõenäosusega 0,3. Suurmeistrid A. ja B. mängivad kaks mängu ja teises mängus muudavad nad nuppude värvi. Leidke tõenäosus, et A. võidab mõlemal korral. Lahendus: 0,52 * 0,3 = 0,156.

15. Vasja, Petja, Kolja ja Lyoša heitsid loosi, kes peaks mängu alustama. Leidke tõenäosus, et Petya peab mängu alustama.

Lahendus: Juhuslik katse – liisuheitmine.
Selles katses on põhisündmuseks osaleja, kes võidab loosi.
Loetleme võimalikud elementaarsed sündmused:
(Vasja), (Petja), (Kolja), (Lõša).
Neid tuleb 4, st. N=4. Loos viitab sellele, et kõik elementaarsed sündmused on võrdselt võimalikud.
Sündmust A= (Petya võitis loosi) soosib ainult üks elementaarne sündmus (Petya). Seega N(A)=1.
Siis P(A)=0,25 Vastus: 0,25.

16. MM-il osaleb 16 meeskonda. Loosi kasutades tuleb nad jagada nelja rühma, igaühes neli meeskonda. Kastis on segatud kaardid rühmanumbritega: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Võistkondade kaptenid tõmbavad igaüks ühe kaardi. Kui suur on tõenäosus, et Venemaa koondis jääb teise gruppi? Lahendus: Tulemused kokku - 16. Neist soodsad, s.o. numbriga 2 on see 4. Seega 4: 16=0,25

17. Geomeetria eksamil saab õpilane nimekirjast ühe küsimuse eksami küsimused. Tõenäosus, et see on sisse kirjutatud ringi küsimus, on 0,2. Tõenäosus, et see on küsimus teemal “Parallelogramm”, on 0,15. Nende kahe teemaga samaaegselt seotud küsimusi pole. Leidke tõenäosus, et õpilane saab eksamil küsimuse ühel neist kahest teemast.

= (küsimus teemal "Sisse kirjutatud ring"),
= (küsimus teemal “Parallelogramm”).
Sündmused Ja on kokkusobimatud, kuna tingimusel ei sisalda loend nende kahe teemaga seotud küsimusi korraga.
Sündmus= (küsimus ühel neist kahest teemast) on nende kombinatsioon:.
Kasutame kokkusobimatute sündmuste tõenäosuste liitmise valemit:
.

18.B kaubanduskeskus kaks identset masinat müüvad kohvi. Tõenäosus, et masinast saab päeva lõpuks kohv otsa, on 0,3. Tõenäosus, et mõlemas masinas saab kohv tühjaks, on 0,12. Leia tõenäosus, et päeva lõpuks jääb mõlemasse masinasse kohv.

Määratleme sündmused
= (kohv saab esimesest masinast otsa),
= (teisest masinast saab kohv otsa).
Vastavalt probleemi tingimustele Ja .
Tõenäosuste liitmise valemit kasutades leiame sündmuse tõenäosuse
Ja = (vähemalt ühes masinas saab kohv otsa):

.
Seetõttu on vastupidise sündmuse tõenäosus (kohv jääb mõlemasse masinasse) võrdne
.

19. Laskesuusataja laseb viis korda märklauda. Ühe lasuga sihtmärgi tabamise tõenäosus on 0,8. Leia tõenäosus, et laskesuusataja tabab sihtmärke esimesel kolmel korral ja jääb kahel viimasel korral mööda. Ümarda tulemus sajandikuteks.

Selles ülesandes eeldatakse, et iga järgmise löögi tulemus ei sõltu eelmistest. Seetõttu sündmused "tabasid esimesel lasul", "tabasid teisel lasul" jne. sõltumatu.
Iga tabamuse tõenäosus on võrdne. See tähendab, et iga möödalaskmise tõenäosus on võrdne. Kasutame sõltumatute sündmuste tõenäosuste korrutamise valemit. Leiame, et jada
= (tabamus, tabamus, tabamus, möödalaskmine, möödalaskmine) on tõenäosusega
=
= . Vastus:.

20. Kaupluses on kaks makseautomaati. Igaüks neist võib olla vigane tõenäosusega 0,05, olenemata teisest masinast. Leidke tõenäosus, et vähemalt üks masin töötab.

See probleem eeldab ka seda, et automaadid töötavad iseseisvalt.
Leiame vastupidise sündmuse tõenäosuse
= (mõlemad masinad on vigased).
Selleks kasutame sõltumatute sündmuste tõenäosuste korrutamise valemit:
.
See tähendab sündmuse tõenäosust= (vähemalt üks masin töötab) on võrdne. Vastus:.

21. Ruumi valgustab kahe lambiga latern. Tõenäosus, et üks lamp aasta jooksul läbi põleb, on 0,3. Leia tõenäosus, et aasta jooksul ei põle vähemalt üks lamp läbi. Lahendus: mõlemad põlevad läbi (sündmused on sõltumatud ja kasutame tõenäosuste korrutise valemit) tõenäosusega p1=0,3⋅0,3=0,09
Vastupidine sündmus(Mõlemad EI põle läbi = vähemalt ÜKS ei põle läbi)
juhtub tõenäosusega p=1-p1=1-0,09=0,91
VASTUS: 0,91

22. Tõenäosus, et uus elektriline veekeetja peab vastu üle aasta, on 0,97. Tõenäosus, et see kestab üle kahe aasta, on 0,89. Leidke tõenäosus, et see kestab vähem kui kaks aastat, kuid rohkem kui aasta

Lahendus.

Olgu A = "veekeetja peab vastu üle aasta, kuid vähem kui kaks aastat", B = "veekeetja kestab üle kahe aasta", siis A + B = "veekeetja kestab üle aasta".

Sündmused A ja B on ühised, nende summa tõenäosus võrdub nende sündmuste tõenäosuste summaga, mida on vähendatud nende toimumise tõenäosusega. Nende sündmuste toimumise tõenäosus, mis seisneb selles, et veekeetja läheb rikki täpselt kahe aasta pärast – täpselt samal päeval, tunnil ja sekundil – on null. Seejärel:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) = P(A) + P(B),

kust tingimuse andmeid kasutades saame 0,97 = P(A) + 0,89.

Seega on soovitud tõenäosuse jaoks: P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08.

23.Põllumajandusettevõtete ostud kana munad kahes majapidamises. 40% esimese farmi munadest on kõrgeima kategooria munad ja teise farmi munadest 20% kõrgeima kategooria munadest. Kokku kõrgeim kategooria saab 35% munadest. Leidke tõenäosus, et sellelt põllumajandusettevõttelt ostetud muna tuleb esimesest talust. Lahendus: Las põllumajandusfirma ostab esimesest talust munad, sealhulgas kõrgeima kategooria munad ja teises farmis - munad, sealhulgas kõrgeima kategooria munad. Seega kogusumma, mille agrovorm ostab munad, sealhulgas kõrgeima kategooria munad. Vastavalt tingimusele on 35% munadest kõrgeima kategooriaga, siis:

Seetõttu on tõenäosus, et ostetud muna pärineb esimesest talust, võrdne =0,75

24. Telefoni klahvistikul on 10 numbrit, 0 kuni 9. Kui suur on tõenäosus, et juhuslikult vajutatud number on paaris?

25.Kui suur on tõenäosus, et juhuslikult valitud naturaalarv Kas 10 kuni 19 jagub kolmega?

26.Kauboi John lööb kärbse seinale tõenäosusega 0,9, kui ta tulistab nullitud revolvrist. Kui John laseb tulistamata revolvrist, tabab ta kärbest tõenäosusega 0,2. Laual on 10 revolvrit, millest ainult 4 on lastud. Kauboi John näeb seinal kärbest, haarab juhuslikult esimese ettejuhtuva revolvri ja tulistab kärbse. Leidke tõenäosus, et John jätab vahele. Lahendus: John tabab kärbest, kui ta haarab nullitud revolvri ja lööb sellega, või kui ta haarab tulistamata revolvri ja lööb sellega. Tingimusliku tõenäosuse valemi järgi on nende sündmuste tõenäosused vastavalt 0,4·0,9 = 0,36 ja 0,6·0,2 = 0,12. Need sündmused on kokkusobimatud, nende summa tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga: 0,36 + 0,12 = 0,48. Sündmus, mille John vahele jätab, on vastupidine. Selle tõenäosus on 1 − 0,48 = 0,52.

27. Turistide grupis on 5 inimest. Loosi kasutades valivad nad välja kaks inimest, kes peavad külas toitu ostma minema. Turist A. tahaks poodi minna, aga ta täidab loosi. Kui suur on tõenäosus, et A. poodi läheb? Lahendus: Turiste on kokku viis, neist kaks valitakse juhuslikult. Valituks osutumise tõenäosus on 2: 5 = 0,4. Vastus: 0,4.

28. Enne jalgpallimatši algust viskab kohtunik mündi, et teha kindlaks, milline meeskond alustab mängu palliga. Fiziku meeskond mängib kolm kohtumist erinevate meeskondadega. Leidke tõenäosus, et nendes mängudes võidab "füüsik" loosi täpselt kaks korda. Lahendus: Tähistame “1” mündi poolt, mis vastutab selle eest, et “füüsik” võidab loosi, ja märgime mündi teist poolt “0”. Siis on kolm soodsat kombinatsiooni: 110, 101, 011 ja kokku on 2 kombinatsiooni 3 = 8: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Seega on nõutav tõenäosus võrdne:

29. Täringut visatakse kaks korda. Mitu katse elementaarset tulemust soosib sündmust "A = punktide summa on 5"? Lahendus: punktide summa võib olla võrdne 5-ga neljal juhul: "3 + 2", "2 + 3", "1 + 4", "4 + 1". Vastus: 4.

30. Juhusliku katse käigus visatakse sümmeetriline münt kaks korda. Leidke tõenäosus, et OP tulemus saabub (esimesel korral pea, teisel korral saba). Lahendus: Võimalikke tulemusi on neli: pead-pead, pead-sabad, sabad-pead, sabad-sabad. Üks on soodne: pead ja sabad. Seetõttu on soovitud tõenäosus 1: 4 = 0,25. Vastus: 0,25.

31. Rokifestivalil esinevad bändid – üks igast deklareeritud riigist. Esitamise järjekord määratakse loosiga. Kui suur on tõenäosus, et Rootsi ja Norra grupi järel esineb Taanist pärit rühm? Ümarda tulemus sajandikuteks. Lahendus: Kokku festivalil esinevad bändid pole küsimusele vastamiseks olulised. Ükskõik kui palju neid on, on nende riikide jaoks 6 võimalust suhteline positsioon esinejate hulgas (D - Taani, W - Rootsi, N - Norra):

D...SH...N..., ...D...N...SH..., ...SH...N...D..., ...W. ..P...N..., ...N...D...W..., ...N...W...P...

Taani on kahel juhul Rootsist ja Norrast tagapool. Seetõttu on tõenäosus, et rühmad sel viisil juhuslikult jaotuvad, võrdne Vastus: 0,33.

32. Suurtükitule ajal laseb automaatsüsteem lasku sihtmärki. Kui sihtmärki ei hävitata, teeb süsteem teise lasu. Laske korratakse, kuni sihtmärk on hävitatud. Teatud sihtmärgi hävitamise tõenäosus esimese lasuga on 0,4 ja iga järgneva lasuga 0,6. Mitu lasku on vaja selleks, et sihtmärgi hävitamise tõenäosus oleks vähemalt 0,98? Lahendus: Saate ülesande lahendada "tegevusega", arvutades ellujäämise tõenäosuse pärast järjestikuste möödalaskmiste seeriat: P(1) = 0,6. P(2) = P(1) 0,4 = 0,24. P(3) = P(2) 0,4 = 0,096. P(4) = P(3) 0,4 = 0,0384; P(5) = P(4) 0,4 = 0,01536. Viimane tõenäosus on väiksem kui 0,02, seega piisab viiest laskust märklauda.

33. Järgmisesse võistlusvooru pääsemiseks jalgpallimeeskond sa pead koguma kahe mänguga vähemalt 4 punkti. Võidu korral saab võistkond 3 punkti, viigi korral 1 punkti, kaotuse korral 0 punkti. Leidke tõenäosus, et meeskond pääseb järgmisesse võistlusvooru. Arvestage, et igas mängus on võidu ja kaotuse tõenäosus sama ja võrdne 0,4. Lahendus : Võistkond võib kahe mänguga saada vähemalt 4 punkti kolmel viisil: 3+1, 1+3, 3+3. Need sündmused on kokkusobimatud, nende summa tõenäosus võrdub nende tõenäosuste summaga. Kõik need sündmused on kahe sõltumatu sündmuse tulemus – esimese ja teise mängu tulemus. Siit on meil:

34. Teatud linnas on 5000 sündinud lapsest 2512 poissi. Leia tüdrukute sündide sagedus selles linnas. Ümardage tulemus lähima tuhandeni. Lahendus: 5000 – 2512 = 2488; 2488: 5000 = 0,4976 ≈0,498

35. Lennuki pardal on 12 istekohta avariiväljapääsude kõrval ja 18 istekohta kajuteid eraldavate vaheseinte taga. Ülejäänud istmed on pikkadele reisijatele ebamugavad. Reisija V. on pikk. Leidke tõenäosus, et juhuslikult valitud istekoha korral saab reisija B reisija B mugava istekoha, kui lennukis on kokku 300 kohta. Lahendus : Reisijale B mugavaid istekohti on lennukis 12 + 18 = 30 ja kokku on lennukis 300 kohta. Seetõttu on tõenäosus, et reisija B saab mugava istme, 30: 300 = 0,1. Vastus: 0,1.

36. Ülikoolis toimuval olümpiaadil istuvad osalejad kolmes klassiruumis. Kahes esimeses on kummaski 120 inimest, ülejäänud viiakse teises hoones asuvasse reservauditooriumisse. Kokku lugedes selgus, et osalejaid oli kokku 250. Leidke tõenäosus, et juhuslikult valitud osaleja kirjutas võistluse vabas klassiruumis. Lahendus: Kokku saadeti varupublikule 250 − 120 − 120 = 10 inimest. Seetõttu on tõenäosus, et juhuslikult valitud osaleja kirjutas olümpiaadi vabas klassiruumis, 10: 250 = 0,04. Vastus: 0,04.

37. Klassis on 26 inimest, nende hulgas kaks kaksikut - Andrey ja Sergey. Klass jaguneb juhuslikult kaheks 13-liikmeliseks rühmaks. Leidke tõenäosus, et Andrei ja Sergei on samas rühmas. Lahendus: Las üks kaksikutest olla mõnes rühmas. Temaga koos on gruppi 12 inimest 25 allesjäänud klassikaaslasest. Tõenäosus, et nende 12 inimese hulgas on ka teine ​​kaksik, on 12: 25 = 0,48.

38. Taksofirmal on 50 autot; Neist 27 on musta värvi, külgedel kollaste kirjadega, ülejäänud on kollased mustade kirjadega. Leidke tõenäosus, et kollane musta kirjaga auto vastab juhuslikule kõnele. Lahendus: 23:50=0,46

39.Turistide grupis on 30 inimest. Nad kukutatakse helikopteriga raskesti ligipääsetavasse piirkonda mitmes etapis, 6 inimest lennu kohta. Järjekord, milles helikopter turiste veab, on juhuslik. Leidke tõenäosus, et turist P. sooritab esimese helikopterilennu. Lahendus: Esimesel lennul on 6 kohta, kokku 30. Siis on tõenäosus, et turist P. lendab esimesel helikopteril: 6:30 = 0,2

40. Tõenäosus, et uus DVD-mängija saab aasta jooksul garantii korras remonditud, on 0,045. Teatud linnas sai aasta jooksul müüdud 1000 DVD-mängijast garantiitöökotta 51 ühikut. Kuivõrd erineb “garantiiremondi” sündmuse sagedus selle tõenäosusest selles linnas? Lahendus: Garantiiremondi sündmuse sagedus (suhteline sagedus) on 51: 1000 = 0,051. See erineb prognoositud tõenäosusest 0,006 võrra.

41. 67 mm läbimõõduga laagrite valmistamisel on tõenäosus, et läbimõõt erineb ettenähtust mitte rohkem kui 0,01 mm, 0,965. Leidke tõenäosus, et juhusliku laagri läbimõõt on alla 66,99 mm või suurem kui 67,01 mm. Lahendus. Vastavalt tingimusele jääb laagri läbimõõt vahemikku 66,99–67,01 mm tõenäosusega 0,965. Seetõttu on vastupidise sündmuse soovitud tõenäosus 1–0,965 = 0,035.

42. Tõenäosus, et õpilane O. lahendab bioloogiatestis õigesti rohkem kui 11 ülesannet, on 0,67. Tõenäosus, et O. lahendab õigesti rohkem kui 10 ülesannet, on 0,74. Leidke tõenäosus, et O. lahendab õigesti täpselt 11 ülesannet. Lahendus: Mõelge sündmustele A = "õpilane lahendab 11 ülesannet" ja B = "õpilane lahendab rohkem kui 11 ülesannet". Nende summa on sündmus A + B = "õpilane lahendab rohkem kui 10 ülesannet". Sündmused A ja B ei ühildu, nende summa tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga: P(A + B) = P(A) + P(B). Seejärel saame neid ülesandeid kasutades: 0,74 = P(A) + 0,67, kust P(A) = 0,74 − 0,67 = 0,07. Vastus: 0,07.

43. Keeleteaduse eriala instituuti astumiseks peab taotleja koguma ühtsel riigieksamil vähemalt 70 punkti kolmes õppeaines – matemaatikas, vene keeles ja võõrkeel. Erialale "Kaubandus" registreerumiseks peate koguma vähemalt 70 punkti kolmes õppeaines - matemaatikas, vene keeles ja ühiskonnaõpetuses. Tõenäosus, et taotleja Z. saab matemaatikas vähemalt 70 punkti, on 0,6, vene keeles - 0,8, võõrkeeles - 0,7 ja ühiskonnaõpetuses - 0,5. Leidke tõenäosus, et Z. suudab end sisse kirjutada vähemalt ühte kahest nimetatud erialast. Lahendus: Et kuhugi sisse astuda, peab Z. läbima nii vene keele kui ka matemaatika vähemalt 70 punktiga ning lisaks sellele veel võõrkeele või ühiskonnaõpetuse vähemalt 70 punktiga. Lase A, B, C ja D - need on üritused, kus Z. läbib vastavalt matemaatika, vene keele, välis- ja ühiskonnaõpetuse vähemalt 70 punktiga. Siis sellest ajast

Saabumise tõenäosuse jaoks on meil:

44. Keraamiliste lauanõude tehases on 10% toodetud taldrikutest defektsed. Toote kvaliteedikontrolli käigus tuvastatakse 80% defektsetest plaatidest. Ülejäänud plaadid on müügil. Leidke tõenäosus, et ostmisel juhuslikult valitud taldrikul pole defekte. Ümarda oma vastus lähima sajandikuni. Lahendus : Las tehas toodabtaldrikud. Kõik kvaliteetplaadid ja 20% avastamata defektsetest plaatidest tulevad müüki:taldrikud. Sest kvaliteetsed, kvaliteetse plaadi ostmise tõenäosus on 0,9p:0,92p=0,978 Vastus: 0,978.

45.Poes on kolm müüjat. Igaüks neist on hõivatud kliendiga tõenäosusega 0,3. Leidke tõenäosus, et juhuslikul ajahetkel on kõik kolm müüjat samal ajal hõivatud (oletame, et kliendid tulevad üksteisest sõltumatult). Lahendus : Sõltumatute sündmuste korrutise tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste korrutisega. Seetõttu on tõenäosus, et kõik kolm müüjat on hõivatud, võrdne

46.Klientide arvustuste põhjal hindas Ivan Ivanovitš kahe veebipoe töökindlust. Tõenäosus, et soovitud toode kauplusest A tarnitakse, on 0,8. Tõenäosus, et see toode kauplusest B tarnitakse, on 0,9. Ivan Ivanovitš tellis kaupa mõlemast poest korraga. Eeldades, et veebipoed tegutsevad üksteisest sõltumatult, leidke tõenäosus, et ükski pood toodet ei tarni. Lahendus: Tõenäosus, et esimene pood kaupa ei too, on 1 − 0,9 = 0,1. Tõenäosus, et teine ​​kauplus kaupa ei too, on 1 − 0,8 = 0,2. Kuna need sündmused on sõltumatud, on nende toimumise tõenäosus (mõlemad poed kaupa ei tarni) võrdne nende sündmuste tõenäosuste korrutisega: 0,1 · 0,2 = 0,02

47.Ringkonnakeskusest külasse sõidab iga päev buss. Tõenäosus, et esmaspäeval on bussis alla 20 reisija, on 0,94. Tõenäosus, et reisijaid on vähem kui 15, on 0,56. Leidke tõenäosus, et reisijate arv jääb vahemikku 15–19. Lahendus: Mõelge sündmustele A = "bussis on vähem kui 15 reisijat" ja B = "bussis on 15 kuni 19 reisijat". Nende summa on sündmus A + B = "bussis on vähem kui 20 reisijat." Sündmused A ja B ei ühildu, nende summa tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga: P(A + B) = P(A) + P(B). Seejärel saame neid ülesandeid kasutades: 0,94 = 0,56 + P(B), kust P(B) = 0,94 − 0,56 = 0,38. Vastus: 0,38.

48.Enne võrkpallimatši algust loosivad meeskondade kaptenid õiglase loosi, et otsustada, milline meeskond alustab mängu palliga. "Staatori" meeskond mängib kordamööda "Rootori", "Mootori" ja "Starteri" meeskondadega. Leidke tõenäosus, et Stator alustab ainult esimest ja viimast mängu. Lahendus. Peate leidma kolme sündmuse toimumise tõenäosuse: "Stator" alustab esimest mängu, ei alusta teist mängu ja alustab kolmandat mängu. Sõltumatute sündmuste korrutise tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste korrutisega. Nende igaühe tõenäosus on 0,5, millest leiame: 0,5·0,5·0,5 = 0,125. Vastus: 0,125.

49. IN Haldjamaa Ilm on kahte tüüpi: hea ja suurepärane ning hommikul kehtestatud ilm püsib muutumatuna kogu päeva. On teada, et tõenäosusega 0,8 on homme samasugune ilm nagu täna. Täna on 3. juuli, ilm on Võlumaal hea. Leidke tõenäosus, et 6. juulil võlumaal see toimub Ilus ilm. Lahendus. 4., 5. ja 6. juuli ilma jaoks on 4 võimalust: ХХО, ХОО, ОХО, OOO (siin on X hea, O on suurepärane ilm). Leiame sellise ilma esinemise tõenäosused: P(XXO) = 0,8·0,8·0,2 = 0,128; P(XOO) = 0,8 0,2 0,8 = 0,128; P(OXO) = 0,2 0,2 ​​0,2 ​​= 0,008; P(OOO) = 0,2 0,8 0,8 = 0,128. Need sündmused ei ühildu, nende summa tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga: P(ХХО) + P(ХОО) + P(ХХО) + P(ООО) = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 0,392.

50. Kõigile hepatiidi kahtlusega patsientidele tehakse vereanalüüs. Kui test tuvastab hepatiidi, nimetatakse testi tulemust positiivne . Hepatiidiga patsientidel annab test positiivse tulemuse tõenäosusega 0,9. Kui patsiendil ei ole hepatiiti, võib test anda valepositiivse tulemuse tõenäosusega 0,01. On teada, et 5% hepatiidi kahtlusega vastuvõetud patsientidest põeb tegelikult hepatiiti. Leidke tõenäosus, et kliinikusse hepatiidikahtlusega patsiendi test on positiivne. Lahendus. Patsiendi analüüs võib olla positiivne kahel põhjusel: A) patsiendil on hepatiit, tema analüüs on õige; B) patsiendil ei ole hepatiiti, tema analüüs on vale. Need on kokkusobimatud sündmused, nende summa tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga. Meil on: p(A)=0,9 0,05=0,045; p(B) = 0,01 0,95 = 0,0095; p(A+B)=P(A)+p(B)=0,045+0,0095=0,0545.

51. Mišhal oli taskus neli kommi - “Griljaž”, “Orav”, “Korovka” ja “Pääsuke”, samuti korteri võtmed. Võtmeid välja võttes kukkus Miša taskust kogemata üks komm. Leidke tõenäosus, et "Grillage" komm läks kaduma.

52. Kaheteisttunnise sihverplaadiga mehaaniline kell läks mingil hetkel katki ja lakkas töötamast. Leia tõenäosus, et tunniosuti tardub, jõudes kella 10-ni, kuid mitte jõudes kella 1-ni. Lahendus: 3: 12=0,25

53. Tõenäosus, et aku on defektne, on 0,06. Ostja poes valib juhusliku pakendi, mis sisaldab kahte sellist patareid. Leidke tõenäosus, et mõlemad patareid on head. Lahendus: Tõenäosus, et aku on hea, on 0,94. Sõltumatute sündmuste toimumise tõenäosus (mõlemad patareid on head) võrdub nende sündmuste tõenäosuste korrutisega: 0,94·0,94 = 0,8836. Vastus: 0,8836.

54. Automaatliin toodab akusid. Tõenäosus, et valmis aku on vigane, on 0,02. Enne pakendamist läbib iga aku juhtimissüsteemi. Tõenäosus, et süsteem lükkab vigase aku tagasi, on 0,99. Tõenäosus, et süsteem lükkab töötava aku ekslikult tagasi, on 0,01. Leidke tõenäosus, et kontrollsüsteem lükkab juhuslikult valitud aku tagasi. Lahendus. Olukord, kus aku tagasi lükatakse, võib tekkida järgmiste sündmuste tagajärjel: A = aku on tõesti vigane ja lükati korrektselt tagasi või B = aku töötab, kuid lükati ekslikult tagasi. Need on kokkusobimatud sündmused, nende summa tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga. Meil on:

55.Pildil on labürint. Ämblik roomab sissepääsupunktis labürinti. Ämblik ei saa ümber pöörata ja tagasi roomata, nii et iga oksa juures valib ämblik ühe tee, mida mööda ta pole veel roomanud. Eeldades, et edasise tee valik on puhtjuhuslik, määrake kindlaks, kui suure tõenäosusega ämblik väljub.

Lahendus.

Igas neljas märgitud hargnemiskohas saab ämblik valida tee, mis viib D-väljapääsuni või mõne muu tee tõenäosusega 0,5. Need on sõltumatud sündmused, nende toimumise tõenäosus (ämblik jõuab D väljapääsuni) on võrdne nende sündmuste tõenäosuste korrutisega. Seetõttu on D-väljapääsule jõudmise tõenäosus (0,5) 4 = 0,0625.


Kaubanduskeskuses müüvad kohvi kaks identset masinat. Masinaid hooldatakse õhtuti peale keskuse sulgemist. Teadaolevalt on sündmuse “Õhtuks saab esimene masin kohv tühjaks” tõenäosus 0,25. Sündmuse “Õhtuks saab teisel masinal kohv tühjaks” tõenäosus on sama. Tõenäosus, et mõlemast masinast saab õhtuks kohv otsa, on 0,15. Leia tõenäosus, et õhtuks on mõlemas masinas kohv alles.

Lahendus.

Mõelge sündmustele

A = kohv saab esimesest masinast otsa,

B = teises masinas saab kohv otsa.

A B = kohv saab mõlemast masinast otsa,

A + B = kohv saab otsa vähemalt ühes masinas.

Tingimuse järgi P(A) = P(B) = 0,25; P(A·B) = 0,15.

Sündmused A ja B on ühised, kahe ühise sündmuse summa tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga, mida on vähendatud nende korrutise tõenäosusega:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) = 0,25 + 0,25 - 0,15 = 0,35.

Seetõttu on vastupidise sündmuse tõenäosus, et kohv jääb mõlemasse masinasse, 1 − 0,35 = 0,65.

Vastus: 0,65.

Anname teise lahenduse.

Tõenäosus, et kohv jääb esimesse masinasse, on 1 − 0,25 = 0,75. Tõenäosus, et kohv jääb teise masinasse, on 1 − 0,25 = 0,75. Tõenäosus, et kohv jääb esimesse või teise masinasse, on 1–0,15 = 0,85. Kuna P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B), on meil: 0,85 = 0,75 + 0,75 − X, kust tuleb nõutav tõenäosus? X = 0,65.

Märge.

Pange tähele, et sündmused A ja B ei ole sõltumatud. Tõepoolest, sõltumatute sündmuste tekitamise tõenäosus oleks võrdne nende sündmuste tõenäosuste korrutisega: P(A·B) = 0,25·0,25 = 0,0625, kuid tingimuse kohaselt on see tõenäosus 0,15.

Jelena Aleksandrovna Popova 10.10.2018 09:57

Mina, dotsent, kandidaat pedagoogilised teadused, pean KOOLILASTELE SÕLTUVATE ÜRITUSTE ÜLESANNETE KAASAMIST TÄIESTI LOLLEKS JA NAERUKS. Õpetajad EI TEA seda rubriiki – mind kutsuti õpetajakoolitustele teles loenguid pidama. See jaotis ei ole ega saa olla programmis. EI OLE VAJA leiutada meetodeid ilma põhjenduseta. Sellised ÜLESANDED saab lihtsalt ära jätta. Piirduge TÕENÄOSUSTE KLASSIKALISE MÄÄRATLUSEGA. Ja isegi siis uurige esmalt kooliõpikuid ja vaadake, mida autorid selle kohta kirjutasid. Vaata Zubareva 5. klassi. Ta ei tunne isegi sümboleid ja annab tõenäosuse protsendina. Pärast sellistest õpikutest õppimist usuvad õpilased endiselt, et tõenäosus on protsent. Tõenäosuste klassikalisel määramisel on palju huvitavaid probleeme. Seda peavad küsima koolilapsed. Ülikoolide õppejõudude nördimusel SINU rumaluse üle selliste ülesannete kehtestamisel pole piire.

Sündmused, mis juhtuvad tegelikkuses või meie kujutluses, võib jagada 3 rühma. Need on teatud sündmused, mis kindlasti juhtuvad, mitte võimalikud sündmused ja juhuslikud sündmused. Tõenäosusteooria uurib juhuslikke sündmusi, s.t. sündmused, mis võivad juhtuda või mitte. See artikkel esitatakse aastal põgusalt tõenäosusteooria valemid ja näited tõenäosusteooria ülesannete lahendamisest, mis on matemaatika ühtse riigieksami ülesandes 4 (profiilitasand).

Miks me vajame tõenäosusteooriat?

Ajalooliselt tekkis nende probleemide uurimise vajadus 17. sajandil seoses hasartmängude arengu ja professionaalsemaks muutumisega ning kasiinode tekkega. See oli tõeline nähtus, mis nõudis oma uurimist ja uurimistööd.

Mängukaardid, täringud ja rulett tekitasid olukordi, kus võib juhtuda ükskõik milline piiratud arvust võrdselt võimalikest sündmustest. Tekkis vajadus anda numbrilised hinnangud konkreetse sündmuse toimumise võimalikkusele.

20. sajandil selgus, et see pealtnäha kergemeelne teadus mängib oluline roll mikrokosmoses toimuvate fundamentaalsete protsesside tundmises. Loodi kaasaegne teooria tõenäosused.

Tõenäosusteooria põhimõisted

Tõenäosusteooria uurimisobjektiks on sündmused ja nende tõenäosused. Kui sündmus on keeruline, saab selle jagada lihtsateks komponentideks, mille tõenäosusi on lihtne leida.

Sündmuste A ja B summat nimetatakse sündmuseks C, mis seisneb selles, et kas sündmus A või sündmus B või sündmused A ja B toimusid samaaegselt.

Sündmuste A ja B korrutis on sündmus C, mis tähendab, et toimusid nii sündmus A kui ka sündmus B.

Sündmusi A ja B nimetatakse kokkusobimatuteks, kui need ei saa toimuda samaaegselt.

Sündmust A nimetatakse võimatuks, kui see ei saa toimuda. Sellist sündmust tähistab sümbol.

Sündmust A nimetatakse kindlaks, kui see kindlasti juhtub. Sellist sündmust tähistab sümbol.

Olgu iga sündmus A seotud arvuga P(A). Seda arvu P(A) nimetatakse sündmuse A tõenäosuseks, kui selle vastavusega on täidetud järgmised tingimused.

Oluliseks erijuhtumiks on olukord, kus elementaartulemused on võrdselt tõenäolised ja suvalised neist tulemustest moodustavad sündmused A. Sel juhul saab tõenäosuse sisestada valemi abil. Sel viisil sisestatud tõenäosust nimetatakse klassikaliseks tõenäosuseks. Võib tõestada, et sel juhul on omadused 1-4 täidetud.

Matemaatika ühtsel riigieksamil esinevad tõenäosusteooria probleemid on peamiselt seotud klassikalise tõenäosusega. Sellised ülesanded võivad olla väga lihtsad. Eriti lihtsad on tõenäosusteooria probleemid demo valikud. Soodsate tulemuste arvu on lihtne välja arvutada, kõigi tulemuste arv kirjutatakse otse tingimusesse.

Vastuse saame valemi abil.

Näide matemaatika ühtse riigieksami probleemist tõenäosuse määramise kohta

Laual on 20 pirukat - 5 kapsaga, 7 õuntega ja 8 riisiga. Marina tahab pirukat võtta. Kui suur on tõenäosus, et ta võtab riisikoogi?

Lahendus.

On 20 võrdselt tõenäolist elementaarset tulemust, see tähendab, et Marina võib võtta ükskõik millise 20 pirukast. Kuid me peame hindama tõenäosust, et Marina võtab riisipiruka, st kus A on riisipiruka valik. See tähendab, et soodsate tulemuste (riisiga pirukate valikud) arv on ainult 8. Seejärel määratakse tõenäosus valemiga:

Sõltumatud, vastandlikud ja meelevaldsed sündmused

Siiski sisse avatud purkülesandeid hakkas juurde tulema raskeid ülesandeid. Seetõttu juhime lugeja tähelepanu teistele tõenäosusteoorias uuritud probleemidele.

Sündmusi A ja B nimetatakse sõltumatuks, kui kummagi tõenäosus ei sõltu sellest, kas teine ​​sündmus aset leiab.

Sündmus B on see, et sündmust A ei toimunud, s.t. sündmus B on vastupidine sündmusele A. Vastupidise sündmuse tõenäosus on võrdne ühega miinus otsese sündmuse tõenäosus, s.o. .

Tõenäosuste liitmise ja korrutamise teoreemid, valemid

Suvaliste sündmuste A ja B korral on nende sündmuste summa tõenäosus võrdne nende tõenäosuste summaga ilma nende ühise sündmuse tõenäosuseta, s.t. .

Sõltumatute sündmuste A ja B puhul on nende sündmuste toimumise tõenäosus võrdne nende tõenäosuste korrutisega, s.o. sel juhul .

2 viimast väidet nimetatakse tõenäosuste liitmise ja korrutamise teoreemideks.

Tulemuste arvu arvestamine pole alati nii lihtne. Mõnel juhul on vaja kasutada kombinatoorika valemeid. Kõige tähtsam on loendada sündmuste arv, mis vastavad teatud tingimustele. Mõnikord võivad sellised arvutused muutuda iseseisvateks ülesanneteks.

Kui mitmel viisil saab 6 õpilast kuuele tühjale kohale istuda? Esimene õpilane võtab ühe 6 kohast. Kõik need valikud vastavad viiele võimalusele, kuidas teine ​​õpilane koht võtab. Kolmandale õpilasele on jäänud 4 vaba kohta, neljandale 3, viiendale 2 ning kuues saab ainsa allesjäänud koha. Kõigi valikute arvu leidmiseks tuleb leida toode, mis on tähistatud sümboliga 6! ja kõlab "kuus faktoriaal".

Üldjuhul annab sellele küsimusele vastuse n elemendi permutatsioonide arvu valem.Meie puhul.

Vaatleme nüüd oma õpilastega teist juhtumit. Kui mitmel viisil saab 2 õpilast kuuele tühjale kohale istuda? Esimene õpilane võtab ühe 6 kohast. Kõik need valikud vastavad viiele võimalusele, kuidas teine ​​õpilane koht võtab. Kõigi valikute arvu leidmiseks peate leidma toote.

Üldiselt annab sellele küsimusele vastuse valem n elemendi paigutuste arvu kohta k elemendi kohal

Meie puhul.

Ja viimane juhtum selles sarjas. Kui mitmel viisil saate valida kolm õpilast 6-st? Esimest õpilast saab valida 6 viisil, teist - 5 viisil, kolmandat - neljal viisil. Kuid nende valikute hulgas ilmuvad samad kolm õpilast 6 korda. Kõigi valikute arvu leidmiseks peate arvutama väärtuse: . Üldiselt annab sellele küsimusele vastuse elementide kombinatsioonide arvu valem elementide kaupa:

Meie puhul.

Näited matemaatika ühtse riigieksami ülesannete lahendamisest tõenäosuse määramiseks

Ülesanne 1. Kogumikust toimetanud. Jaštšenko.

Taldrikul on 30 pirukat: 3 lihaga, 18 kapsaga ja 9 kirssidega. Sasha valib juhuslikult ühe piruka. Leidke tõenäosus, et ta lõpetab kirsiga.

.

Vastus: 0,3.

Ülesanne 2. Kogumikust toimetanud. Jaštšenko.

Igas 1000 lambipirni partiis on keskmiselt 20 defektset. Leidke tõenäosus, et partiist juhuslikult võetud lambipirn hakkab tööle.

Lahendus: Töötavate lambipirnide arv on 1000-20=980. Siis tõenäosus, et partiist juhuslikult võetud lambipirn töötab:

Vastus: 0,98.

Tõenäosus, et õpilane U lahendab matemaatika testi jooksul õigesti rohkem kui 9 ülesannet, on 0,67. Tõenäosus, et U. lahendab õigesti rohkem kui 8 ülesannet, on 0,73. Leia tõenäosus, et U lahendab täpselt 9 ülesannet õigesti.

Kui kujutame ette arvurida ja märgime sellele punktid 8 ja 9, siis näeme, et tingimus „U. lahendab õigesti täpselt 9 ülesannet” sisaldub tingimuses „U. lahendab õigesti rohkem kui 8 ülesannet”, kuid ei kehti tingimuse „U. lahendab õigesti rohkem kui 9 probleemi.

Kuid tingimus „U. lahendab õigesti rohkem kui 9 ülesannet” sisaldub tingimuses „U. lahendab õigesti rohkem kui 8 probleemi. Seega, kui tähistame sündmusi: „U. lahendab õigesti täpselt 9 ülesannet" - läbi A, "U. lahendab õigesti rohkem kui 8 ülesannet" - läbi B, "U. lahendab õigesti rohkem kui 9 ülesannet” kuni C. Lahendus näeb välja järgmine:

Vastus: 0,06.

Geomeetria eksamil vastab õpilane ühele küsimusele eksamiküsimuste loendist. Tõenäosus, et see on trigonomeetria küsimus, on 0,2. Tõenäoliselt on see küsimus teemal " Välised nurgad", võrdub 0,15. Nende kahe teemaga samaaegselt seotud küsimusi pole. Leidke tõenäosus, et õpilane saab eksamil küsimuse ühel neist kahest teemast.

Mõelgem, mis üritused meil on. Meile antakse kaks kokkusobimatut sündmust. See tähendab, et küsimus on seotud teemaga "Trigonomeetria" või teemaga "Välisnurgad". Tõenäosusteoreemi kohaselt on kokkusobimatute sündmuste tõenäosus võrdne iga sündmuse tõenäosuste summaga, peame leidma nende sündmuste tõenäosuste summa, see tähendab:

Vastus: 0,35.

Ruumi valgustab kolme lambiga latern. Ühe lambi põlemise tõenäosus aasta jooksul on 0,29. Leia tõenäosus, et aasta jooksul ei põle vähemalt üks lamp läbi.

Vaatleme võimalikke sündmusi. Meil on kolm lambipirni, millest igaüks võib, kuid ei pruugi läbi põleda sõltumata teisest lambipirnist. Need on iseseisvad sündmused.

Seejärel näitame selliste sündmuste võimalusi. Kasutame järgmisi tähiseid: - pirn põleb, - pirn on läbi põlenud. Ja kohe järgmisena arvutame sündmuse tõenäosuse. Näiteks kolme sõltumatu sündmuse tõenäosus, mille puhul "pirn põleb läbi", "pirn põleb", "pirn põleb" toimus: , kus sündmuse "pirn põleb" tõenäosus. põleb” arvutatakse sündmusele „pirn ei põle” vastupidise sündmuse tõenäosusena, nimelt: .