Hiromantia 

Nurga Tg on võrdne suhtega. Täisnurkne kolmnurk. Täielik illustreeritud juhend (2019)

Üks matemaatika valdkondi, millega õpilased kõige rohkem vaeva näevad, on trigonomeetria. See pole üllatav: selle teadmiste valdkonna vabaks valdamiseks on vaja ruumilist mõtlemist, oskust leida valemite abil siinusi, koosinusi, puutujaid, kotangente, lihtsustada avaldisi ja osata kasutada arvus pi arvutused. Lisaks tuleb osata teoreemide tõestamisel kasutada trigonomeetriat ja see eeldab kas arenenud matemaatilist mälu või keeruliste loogiliste ahelate tuletamise oskust.

Trigonomeetria päritolu

Selle teadusega tutvumine peaks algama siinuse, koosinuse ja nurga puutuja määratlusega, kuid kõigepealt peate mõistma, mida trigonomeetria üldiselt teeb.

Ajalooliselt olid selle matemaatikateaduse haru põhiliseks uurimisobjektiks täisnurksed kolmnurgad. 90-kraadise nurga olemasolu võimaldab teha mitmesuguseid toiminguid, mis võimaldavad määrata kõnealuse joonise kõigi parameetrite väärtused kahe külje ja ühe nurga või kahe nurga ja ühe külje abil. Varem märkasid inimesed seda mustrit ja hakkasid seda aktiivselt kasutama hoonete ehitamisel, navigatsioonis, astronoomias ja isegi kunstis.

Esimene aste

Algselt räägiti nurkade ja külgede suhetest eranditult täisnurksete kolmnurkade näitel. Seejärel avastati spetsiaalsed valemid, mis võimaldasid laiendada kasutuspiire Igapäevane elu see matemaatika haru.

Trigonomeetria õpe koolis algab tänapäeval täisnurksetest kolmnurkadest, mille järel õpilased kasutavad omandatud teadmisi füüsikas ja abstraktsete ülesannete lahendamisel. trigonomeetrilised võrrandid, millega töö algab keskkoolis.

Sfääriline trigonomeetria

Hiljem, kui teadus jõudis järgmisele arengutasemele, hakati siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensiga valemeid kasutama sfäärilises geomeetrias, kus kehtivad erinevad reeglid ning kolmnurga nurkade summa on alati suurem kui 180 kraadi. Seda osa koolis ei õpita, kuid selle olemasolust on vaja vähemalt sellepärast teada maa pind, ja mis tahes muu planeedi pind on kumer, mis tähendab, et kõik pinnamärgised on kolmemõõtmelises ruumis "kaarekujulised".

Võtke maakera ja niit. Kinnitage niit maakera kahe punkti külge nii, et see oleks pingul. Pange tähele – see on võtnud kaare kuju. Selliste vormidega tegeleb sfääriline geomeetria, mida kasutatakse geodeesias, astronoomias ja muudes teoreetilistes ja rakendusvaldkondades.

Täisnurkne kolmnurk

Olles õppinud veidi trigonomeetria kasutamise viise, pöördume tagasi põhilise trigonomeetria juurde, et paremini mõista, mis on siinus, koosinus, puutuja, milliseid arvutusi saab nende abil teha ja milliseid valemeid kasutada.

Esimene samm on mõista täisnurkse kolmnurgaga seotud mõisteid. Esiteks on hüpotenuus 90-kraadise nurga vastaskülg. See on pikim. Mäletame, et Pythagorase teoreemi kohaselt on selle arvväärtus võrdne kahe teise külje ruutude summa juurega.

Näiteks kui kaks külge on vastavalt 3 ja 4 sentimeetrit, on hüpotenuusi pikkus 5 sentimeetrit. Muide, iidsed egiptlased teadsid sellest umbes neli ja pool tuhat aastat tagasi.

Ülejäänud kahte külge, mis moodustavad täisnurga, nimetatakse jalgadeks. Lisaks peame meeles pidama, et ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi kolmnurga nurkade summa on 180 kraadi.

Definitsioon

Lõpuks, geomeetrilise aluse kindla mõistmisega võib pöörduda siinuse, koosinuse ja nurga puutuja määratluse poole.

Nurga siinus on suhe vastaspool(st soovitud nurga vastaspoolne külg) hüpotenuusile. Nurga koosinus on külgneva külje ja hüpotenuusi suhe.

Pea meeles, et siinus ega koosinus ei saa olla suuremad kui üks! Miks? Kuna hüpotenuus on vaikimisi pikim. Olenemata sellest, kui pikk on jalg, on see hüpotenuus lühem, mis tähendab, et nende suhe on alati väiksem kui üks. Seega, kui saate ülesande vastuses siinuse või koosinuse väärtusega, mis on suurem kui 1, otsige arvutustes või põhjendustes viga. See vastus on selgelt vale.

Lõpuks on nurga puutuja vastaskülje ja külgneva külje suhe. Siinuse jagamine koosinusega annab sama tulemuse. Vaata: valemi järgi jagame külje pikkuse hüpotenuusiga, seejärel jagame teise külje pikkusega ja korrutame hüpotenuusiga. Seega saame sama seose, mis puutuja definitsioonis.

Vastavalt sellele on kotangent nurgaga külgneva külje ja vastaskülje suhe. Sama tulemuse saame, kui jagame ühe puutujaga.

Niisiis, oleme vaadanud siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangens definitsioone ning saame liikuda edasi valemite juurde.

Kõige lihtsamad valemid

Trigonomeetrias ei saa ilma valemiteta hakkama - kuidas leida siinust, koosinust, puutujat, kotangenti ilma nendeta? Kuid just seda on vaja probleemide lahendamisel.

Esimene valem, mida pead teadma trigonomeetriat õppima asudes, ütleb, et nurga siinuse ja koosinuse ruutude summa on võrdne ühega. See valem on Pythagorase teoreemi otsene tagajärg, kuid see säästab aega, kui on vaja teada pigem nurga kui külje suurust.

Paljud õpilased ei mäleta teist valemit, mis on ka kooliülesannete lahendamisel väga populaarne: ühe ja nurga puutuja ruudu summa võrdub ühega, mis on jagatud nurga koosinuse ruuduga. Vaadake lähemalt: see on sama väide, mis esimeses valemis, ainult identiteedi mõlemad pooled olid jagatud koosinuse ruuduga. Selgub, et lihtne matemaatiline tehe teeb seda trigonomeetriline valem täiesti tundmatu. Pidage meeles: teades, mis on siinus, koosinus, puutuja ja kotangens, teisendusreegleid ja mitmeid põhivalemeid, saate igal ajal paberilehel tuletada nõutavad keerukamad valemid.

Topeltnurkade valemid ja argumentide liitmine

Veel kaks valemit, mida peate õppima, on seotud siinuse ja koosinuse väärtustega nurkade summa ja erinevuse jaoks. Need on toodud alloleval joonisel. Pange tähele, et esimesel juhul korrutatakse siinus ja koosinus mõlemal korral ning teisel juhul liidetakse siinuse ja koosinuse paariskorrutis.

Samuti on topeltnurga argumentidega seotud valemid. Need on täielikult eelmistest tuletatud – treeninguna proovi need alfanurka võttes ise kätte saada võrdne nurgaga beeta.

Lõpuks pange tähele, et topeltnurga valemeid saab ümber paigutada, et vähendada siinuse, koosinuse ja tangensi alfa võimsust.

Teoreemid

Põhilise trigonomeetria kaks peamist teoreemi on siinusteoreem ja koosinusteoreem. Nende teoreemide abil saate hõlpsasti aru, kuidas leida siinus, koosinus ja puutuja ning seega ka joonise pindala ja kummagi külje suurus jne.

Siinuse teoreem ütleb, et kui jagame kolmnurga mõlema külje pikkuse vastasnurgaga, saame sama number. Veelgi enam, see arv võrdub piiritletud ringi kahe raadiusega, st ringiga, mis sisaldab antud kolmnurga kõiki punkte.

Koosinusteoreem üldistab Pythagorase teoreemi, projitseerides selle mis tahes kolmnurkadele. Selgub, et kahe külje ruutude summast lahutage nende korrutis, mis on korrutatud külgneva nurga topeltkoosinusega - saadud väärtus võrdub kolmanda külje ruuduga. Seega osutub Pythagorase teoreem koosinusteoreemi erijuhuks.

Ettevaatamatud vead

Isegi teades, mis on siinus, koosinus ja puutuja, on hajameelsuse või kõige lihtsamate arvutuste vea tõttu lihtne eksida. Selliste vigade vältimiseks vaatame kõige populaarsemaid.

Esiteks, te ei tohiks teisendada murde kümnendkohtadeks enne, kui olete lõpptulemuse saanud – võite jätta vastuse järgmisele harilik murd, kui tingimustes ei ole märgitud teisiti. Sellist ümberkujundamist ei saa nimetada veaks, kuid tuleb meeles pidada, et probleemi igas etapis võivad ilmneda uued juured, mida autori idee kohaselt tuleks vähendada. Sel juhul raiskate oma aega tarbetutele matemaatilistele tehtetele. See kehtib eriti selliste väärtuste kohta nagu kolme juur või kahe juur, sest neid leidub probleemides igal sammul. Sama kehtib ka "koledate" numbrite ümardamise kohta.

Lisaks pange tähele, et koosinuse teoreem kehtib iga kolmnurga kohta, kuid mitte Pythagorase teoreemi kohta! Kui unustate ekslikult lahutada külgede kahekordse korrutise nendevahelise nurga koosinusega, saate mitte ainult täiesti vale tulemuse, vaid demonstreerite ka täielikku arusaamatust teemast. See on hullem kui hooletu viga.

Kolmandaks, ärge ajage segi siinuste, koosinuste, puutujate ja kotangentide nurkade väärtusi 30 ja 60 kraadi. Pidage neid väärtusi meeles, sest siinus 30 kraadi võrdub koosinusega 60 ja vastupidi. Neid on lihtne segi ajada, mille tulemusena saad paratamatult eksliku tulemuse.

Rakendus

Paljud õpilased ei kiirusta trigonomeetriat õppima asuma, sest nad ei mõista selle praktilist tähendust. Mis on siinus, koosinus, puutuja inseneri või astronoomi jaoks? Need on mõisted, mille abil saate arvutada kaugust kaugete tähtedeni, ennustada meteoriidi langemist või saata uurimissondi teisele planeedile. Ilma nendeta on võimatu ehitada hoonet, projekteerida autot, arvutada pinnale langevat koormust või objekti trajektoori. Ja need on vaid kõige ilmsemad näited! Kasutatakse ju trigonomeetriat ühel või teisel kujul kõikjal, muusikast meditsiinini.

Lõpuks

Nii et sa oled siinus, koosinus, puutuja. Saate neid kasutada arvutustes ja edukalt lahendada kooliülesandeid.

Kogu trigonomeetria mõte taandub sellele, et teadaolevad parameetrid kolmnurga, peate arvutama tundmatud. Kokku on kuus parameetrit: pikkus kolm küljed ja kolme nurga suurus. Ainus erinevus ülesannetes seisneb selles, et antakse erinevad sisendandmed.

Nüüd teate, kuidas jalgade või hüpotenuusi teadaolevate pikkuste põhjal leida siinust, koosinust, puutujat. Kuna need terminid ei tähenda muud kui suhet ja suhe on murdosa, peamine eesmärk Trigonomeetriliseks probleemiks saab tavalise võrrandi või võrrandisüsteemi juurte leidmine. Ja siin aitab teid tavaline koolimatemaatika.

Sirge y=f(x) puutub joonisel näidatud graafikuga punktis x0, kui see läbib punkti koordinaatidega (x0; f(x0)) ja sellel on nurgategur f"(x0). selline koefitsient, Teades puutuja omadusi, pole see keeruline.

Sa vajad

  • - matemaatika teatmeteos;
  • - lihtne pliiats;
  • - märkmik;
  • - kraadiklaas;
  • - kompass;
  • - pliiats.

Juhised

Kui väärtust f‘(x0) ei eksisteeri, siis puutujat pole või see jookseb vertikaalselt. Seda silmas pidades on funktsiooni tuletise olemasolu punktis x0 tingitud funktsiooni graafiku mittevertikaalse puutuja olemasolust punktis (x0, f(x0)). Sel juhul on puutuja nurkkoefitsient võrdne f "(x0). Seega saab selgeks tuletise geomeetriline tähendus - puutuja nurkkoefitsiendi arvutamine.

Joonistage täiendavad puutujad, mis puutuksid kokku funktsiooni graafikuga punktides x1, x2 ja x3, ning märkige ka nende puutujate moodustatud nurgad x-teljega (seda nurka arvestatakse positiivses suunas teljelt kuni puutuja joon). Näiteks nurk, st α1, on terav, teine ​​(α2) on nüri ja kolmas (α3) on null, kuna puutuja on paralleelne OX-teljega. Sel juhul on nürinurga puutuja negatiivne, teravnurga puutuja on positiivne ja tg0 korral on tulemus null.

Märge

Määrake puutuja poolt moodustatud nurk õigesti. Selleks kasutage kraadiklaasi.

Abistavad nõuanded

Kaks kaldjoont on paralleelsed, kui nende nurkkoefitsiendid on üksteisega võrdsed; risti, kui nende puutujate nurkkoefitsientide korrutis on võrdne -1.

Allikad:

  • Funktsiooni graafiku puutuja

Koosinus, nagu siinus, klassifitseeritakse "otseseks" trigonomeetriliseks funktsiooniks. Tangens (koos kotangensiga) liigitatakse teiseks paariks, mida nimetatakse tuletisteks. Nende funktsioonide jaoks on mitu definitsiooni, mis võimaldavad leida puutuja, mille annab teadaolev väärtus sama väärtusega koosinus.

Juhised

Lahutage ühtsuse jagatis väärtusega, mis on tõstetud antud nurga koosinuseni, ja eraldage tulemusest ruutjuur – see on nurga puutuja väärtus, väljendatuna koosinusega: tan(α)=√(1- 1/(cos(α))²) . Pange tähele, et valemis on koosinus murdosa nimetajas. Nulliga jagamise võimatus välistab selle avaldise kasutamise nurkade puhul, mis on võrdsed 90°, aga ka nende nurkade puhul, mis erinevad sellest väärtusest arvude võrra, mis on 180° kordsed (270°, 450°, -90° jne).

On olemas ka alternatiivne viis puutuja arvutamine teadaoleva koosinusväärtuse alusel. Seda saab kasutada, kui teiste kasutamisel pole piiranguid. Selle meetodi rakendamiseks määrake esmalt nurga väärtus teadaoleva koosinusväärtuse põhjal – seda saab teha kaarekoosinusfunktsiooni abil. Seejärel arvutage lihtsalt saadud väärtuse nurga puutuja. IN üldine vaade selle algoritmi saab kirjutada järgmiselt: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).

Samuti on olemas eksootiline variant, mis kasutab koosinuse ja puutuja määratlust täisnurkse kolmnurga teravnurkade kaudu. Selles määratluses vastab koosinus vaadeldava nurgaga külgneva jala pikkuse ja hüpotenuusi pikkuse suhtele. Teades koosinuse väärtust, saate valida nende kahe külje vastavad pikkused. Näiteks kui cos(α) = 0,5, siis võib külgneva väärtuseks võtta 10 cm ja hüpotenuusiks 20 cm. Konkreetsed numbrid ei oma siin tähtsust – saate samad ja õiged numbrid mis tahes samade väärtustega. Seejärel määrake Pythagorase teoreemi abil puuduva külje pikkus - vastasjalg. See saab olema võrdne ruutjuur ruudukujulise hüpotenuusi ja teadaoleva jala pikkuste erinevusest: √(20²-10²)=√300. Definitsiooni järgi vastab puutuja vastas- ja külgnevate jalgade pikkuste suhtele (√300/10) – arvuta see välja ja saad leitud puutuja väärtuse klassikalise koosinuse definitsiooni abil.

Allikad:

  • koosinus läbi tangensi valemi

Üks neist trigonomeetrilised funktsioonid, mida enamasti tähistatakse tähtedega tg, kuigi leidub ka tähistusi tan. Lihtsaim viis puutuja esitamiseks on siinussuhe nurk selle koosinusesse. See on paaritu perioodiline ja mittepidev funktsioon, mille iga tsükkel on võrdne arvuga Pi ja katkestuspunkt vastab poolele sellest arvust.

Seal, kus käsitleti täisnurkse kolmnurga lahendamise ülesandeid, lubasin esitada tehnika siinuse ja koosinuse definitsioonide meeldejätmiseks. Seda kasutades mäletate alati kiiresti, milline külg kuulub hüpotenuusile (külgnev või vastas). Otsustasin seda mitte liiga kaua edasi lükata, vajalik materjal allpool, palun lugege 😉

Fakt on see, et olen korduvalt täheldanud, kuidas 10.-11. klassi õpilastel on raskusi nende määratluste meeldejätmisega. Nad mäletavad väga hästi, et jalg viitab hüpotenuusile, aga millisele- nad unustavad ja segaduses. Eksami hind, nagu eksamil teada, on kaotatud punkt.

Sellel teabel, mida ma otse esitan, pole matemaatikaga mingit pistmist. Seda seostatakse kujundliku mõtlemisega ja verbaalsega. loogiline seos. Täpselt nii on see mul ükskord meelesmääratlusandmed. Kui unustate need, saate neid esitatud tehnikate abil alati hõlpsasti meelde jätta.

Tuletan teile meelde siinuse ja koosinuse definitsioone täisnurkses kolmnurgas:

Koosinus Täisnurkse kolmnurga teravnurk on külgneva jala ja hüpotenuusi suhe:

Sinus Täisnurkse kolmnurga teravnurk on vastaskülje ja hüpotenuusi suhe:

Niisiis, millised assotsiatsioonid on teil sõnaga koosinus?

Küllap on igaühel oma 😉Jäta link meelde:

Seega ilmub väljend kohe teie mällu -

«… külgneva jala ja hüpotenuusi suhe».

Koosinuse määramise probleem on lahendatud.

Kui peate meeles pidama siinuse definitsiooni täisnurkses kolmnurgas, siis koosinuse määratlust meeles pidades saate hõlpsalt kindlaks teha, et täisnurkse kolmnurga teravnurga siinus on vastaskülje ja hüpotenuusi suhe. Lõppude lõpuks on ainult kaks jalga; kui külgneva jala on koosinus "hõivatud", siis siinusesse jääb ainult vastasjalg.

Aga puutuja ja kotangent? Segadus on sama. Õpilased teavad, et see on jalgade suhe, kuid probleem on meeles pidada, milline neist viitab millele - kas vastupidiselt külgnevale või vastupidi.

Määratlused:

Tangent Täisnurkse kolmnurga teravnurk on vastaskülje ja külgneva külje suhe:

Kotangent Täisnurkse kolmnurga teravnurk on külgneva külje ja vastaskülje suhe:

Kuidas meeles pidada? On kaks võimalust. Üks kasutab ka sõnalis-loogilist seost, teine ​​aga matemaatilist.

MATEMAATILINE MEETOD

On olemas selline määratlus - teravnurga puutuja on nurga siinuse ja selle koosinuse suhe:

*Olles valemi pähe õppinud, saate alati kindlaks teha, et täisnurkse kolmnurga teravnurga puutuja on vastaskülje ja külgneva külje suhe.

Samamoodi.Teravnurga kootangens on nurga koosinuse ja siinuse suhe:

Nii et! Neid valemeid meeles pidades saate alati kindlaks teha, et:

- täisnurkse kolmnurga teravnurga puutuja on vastaskülje ja külgneva külje suhe

— täisnurkse kolmnurga teravnurga kotangens on külgneva külje ja vastaskülje suhe.

SÕNALOOGIALINE MEETOD

Tangensi kohta. Jäta link meelde:

See tähendab, et kui teil on vaja meeles pidada puutuja määratlust, saate seda loogilist ühendust kasutades hõlpsasti meeles pidada, mis see on

"... vastaskülje ja külgneva külje suhe"

Kui me räägime kotangendist, siis puutuja definitsiooni meelde jättes saate hõlpsasti kotangensi määratluse välja öelda -

"... külgneva külje ja vastaskülje suhe"

Tangensi ja kotangensi meeldejätmiseks veebisaidil on huvitav nipp " Matemaatiline tandem " , vaata.

UNIVERSAALNE MEETOD

Saate selle lihtsalt meelde jätta.Kuid nagu praktika näitab, mäletab inimene tänu verbaalsetele-loogilistele seostele teavet pikka aega, mitte ainult matemaatilisi.

Loodan, et materjal oli teile kasulik.

Lugupidamisega Aleksander Krutitskihh

P.S. Oleksin tänulik, kui räägiksite mulle saidi kohta sotsiaalvõrgustikes.

Viiendal sajandil eKr sõnastas Vana-Kreeka filosoof Zenon Eleast oma kuulsad apooriad, millest kuulsaim on "Achilleuse ja kilpkonna" apooria. See kõlab järgmiselt:

Oletame, et Achilleus jookseb kümme korda kiiremini kui kilpkonn ja on sellest tuhat sammu maas. Aja jooksul, mis kulub Achilleuse läbimiseks, roomab kilpkonn sada sammu samas suunas. Kui Achilleus jookseb sada sammu, roomab kilpkonn veel kümme sammu jne. Protsess jätkub lõpmatuseni, Achilleus ei jõua kilpkonnale kunagi järele.

See arutluskäik sai loogiliseks šokiks kõigile järgnevatele põlvkondadele. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Nad kõik pidasid ühel või teisel viisil Zenoni apooriat. Šokk oli nii tugev, et " ... arutelud jätkuvad praegu, tulge üldine arvamus teadlaskonnal pole veel õnnestunud paradokside olemust mõista... nad olid kaasatud teema uurimisse matemaatiline analüüs, hulgateooria, uued füüsikalised ja filosoofilised lähenemised; ükski neist ei saanud probleemi üldtunnustatud lahenduseks..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Kõik saavad aru, et neid lollitatakse, aga keegi ei saa aru, milles pettus seisneb.

Matemaatilisest vaatenurgast näitas Zenon oma apooriates selgelt üleminekut kvantiteedilt . See üleminek eeldab rakendust püsivate asemel. Minu arusaamist mööda pole muutuvate mõõtühikute kasutamise matemaatilist aparaati kas veel välja töötatud või pole seda Zenoni apooria puhul rakendatud. Meie tavapärase loogika rakendamine viib meid lõksu. Me rakendame mõtlemise inertsi tõttu vastastikusele väärtusele konstantseid ajaühikuid. Füüsilisest vaatenurgast näeb see välja nagu aeg aeglustub, kuni see täielikult peatub hetkel, mil Achilleus kilpkonnale järele jõuab. Kui aeg peatub, ei suuda Achilleus enam kilpkonnast üle joosta.

Kui pöörame oma tavapärase loogika ümber, loksub kõik paika. Achilleus jookseb ühtlase kiirusega. Tema tee iga järgmine lõik on kümme korda lühem kui eelmine. Sellest tulenevalt on selle ületamiseks kulunud aeg kümme korda väiksem kui eelmisel. Kui rakendame selles olukorras "lõpmatuse" mõistet, siis oleks õige öelda: "Achilleus jõuab kilpkonnale lõpmatult kiiresti järele."

Kuidas seda loogilist lõksu vältida? Jääge konstantsetesse ajaühikutesse ja ärge lülituge vastastikustele ühikutele. Zenoni keeles näeb see välja järgmine:

Aja jooksul, mis kulub Achilleuse tuhande sammu jooksmiseks, roomab kilpkonn sada sammu samas suunas. Järgmise esimesega võrdse ajaintervalli jooksul jookseb Achilleus veel tuhat sammu ja kilpkonn roomab sada sammu. Nüüd on Achilleus kilpkonnast kaheksasada sammu ees.

See lähenemine kirjeldab adekvaatselt tegelikkust ilma loogiliste paradoksideta. Aga ei ole täielik lahendus Probleemid. Einsteini väide valguse kiiruse vastupandamatusest on väga sarnane Zenoni apooriaga "Achilleus ja kilpkonn". Seda probleemi tuleb veel uurida, ümber mõelda ja lahendada. Ja lahendust tuleb otsida mitte lõpmata suurtes arvudes, vaid mõõtühikutes.

Veel üks Zenoni huvitav apooria räägib lendavast noolest:

Lendav nool on liikumatu, kuna ta on igal ajahetkel puhkeolekus ja kuna ta on igal ajahetkel puhkab, siis on ta alati puhkeolekus.

Selles apoorias ületatakse loogiline paradoks väga lihtsalt - piisab, kui selgitada, et igal ajahetkel on lendav nool paigal erinevates ruumipunktides, mis tegelikult on liikumine. Siin tuleb märkida veel üks punkt. Ühe maanteel oleva auto foto järgi on võimatu kindlaks teha ei selle liikumise fakti ega kaugust selleni. Et teha kindlaks, kas auto liigub, vajate kahte fotot, mis on tehtud ühest ja samast punktist erinevatel ajahetkedel, kuid te ei saa määrata nende kaugust. Auto kauguse määramiseks on vaja kahte pilti, mis on tehtud ühel ajahetkel erinevatest ruumipunktidest, kuid nende järgi ei saa liikumise fakti kindlaks teha (loomulikult vajate arvutusteks siiski lisaandmeid, trigonomeetria aitab teid ). Mida ma tahan välja tuua Erilist tähelepanu, on see, et kaks punkti ajas ja kaks punkti ruumis on erinevad asjad, mida ei tohiks segi ajada, sest need pakuvad erinevaid uurimisvõimalusi.

Kolmapäeval, 4. juulil 2018

Vikipeedias on väga hästi kirjeldatud komplekti ja multikomplekti erinevusi. Vaatame.

Nagu näete, "komplektis ei saa olla kahte identset elementi", kuid kui komplektis on identsed elemendid, nimetatakse sellist komplekti "multiseks". Mõistlikud olendid ei mõista kunagi sellist absurdset loogikat. See on rääkivate papagoide ja treenitud ahvide tase, kellel puudub mõistus sõnast “täiesti”. Matemaatikud tegutsevad tavaliste koolitajatena, kuulutades meile oma absurdseid ideid.

Kunagi olid silla ehitanud insenerid silda katsetades silla all paadis. Kui sild kokku kukkus, suri keskpärane insener oma loomingu rusude all. Kui sild koormusele vastu pidas, ehitas andekas insener teisi sildu.

Pole tähtis, kuidas matemaatikud peituvad fraasi "mind me, I'm in the house" taha või õigemini: "matemaatika uurib abstraktseid mõisteid", on üks nabanöör, mis seob neid lahutamatult reaalsusega. See nabanöör on raha. Rakendagem matemaatilist hulgateooriat matemaatikute endi suhtes.

Õppisime väga hästi matemaatikat ja nüüd istume kassa taga ja anname palka välja. Nii et matemaatik tuleb meie juurde oma raha pärast. Loeme talle kogu summa välja ja laotame oma lauale erinevatesse hunnikutesse, millesse paneme sama nimiväärtusega arveid. Seejärel võtame igast virnast ühe arve ja anname selle matemaatikule." matemaatiline komplekt palgad." Selgitame matemaatikule, et allesjäänud arved saab ta kätte alles siis, kui ta tõestab, et ilma identsete elementideta hulk ei võrdu identsete elementidega hulgaga. Siit algab lõbus.

Esiteks hakkab tööle saadikute loogika: "Seda võib teistele rakendada, aga mulle mitte!" Siis hakkavad nad meile kinnitama, et sama nimiväärtusega vekslitel on erinevad arvenumbrid, mis tähendab, et neid ei saa pidada samadeks elementideks. Olgu, loeme palgad müntidesse – müntidel pole numbreid. Siin hakkab matemaatik meeletult füüsikat meenutama: see on erinevatel müntidel erinevad kogused mustus, kristallstruktuur ja iga mündi aatomipaigutus on ainulaadne...

Ja nüüd on mul kõige rohkem huvi Küsi: kus on joon, millest kaugemal muutuvad multihulga elemendid hulga elementideks ja vastupidi? Sellist joont pole olemas – kõike otsustavad šamaanid, teadus ei ole siin lähedalgi valetamisele.

Vaata siia. Valime jalgpallistaadionid sama põllupinnaga. Väljade pindalad on samad – see tähendab, et meil on multikomplekt. Aga kui vaadata nende samade staadioninimesid, siis saame neid palju, sest nimed on erinevad. Nagu näete, on sama elementide komplekt nii hulk kui ka multikomplekt. Kumb on õige? Ja siin tõmbab matemaatik-šamaan-teramees varrukast trumpide ässa ja hakkab meile rääkima kas komplektist või multikomplektist. Igal juhul veenab ta meid, et tal on õigus.

Et mõista, kuidas tänapäeva šamaanid hulgateooriaga opereerivad, sidudes selle reaalsusega, piisab, kui vastata ühele küsimusele: mille poolest erinevad ühe hulga elemendid teise hulga elementidest? Ma näitan teile, ilma igasuguse "mõeldava mitte ühe tervikuna" või "ei ole mõeldav ühtse tervikuna".

Pühapäev, 18. märts 2018

Arvu numbrite summa on šamaanide tants tamburiiniga, millel pole matemaatikaga mingit pistmist. Jah, matemaatikatundides õpetatakse meid leidma arvu numbrite summat ja seda kasutama, aga seepärast ongi nad šamaanid, et õpetada järeltulijatele nende oskusi ja tarkust, muidu surevad šamaanid lihtsalt välja.

Kas vajate tõestust? Avage Wikipedia ja proovige leida leht "Arvu numbrite summa". Teda pole olemas. Matemaatikas pole valemit, mille abil saaks leida mis tahes arvu numbrite summa. Lõppude lõpuks on numbrid graafilised sümbolid, mille abil kirjutame numbreid ja matemaatika keeles kõlab ülesanne nii: "Leia suvalist arvu esindavate graafiliste sümbolite summa." Matemaatikud ei suuda seda ülesannet lahendada, kuid šamaanid saavad sellega hõlpsasti hakkama.

Mõelgem välja, mida ja kuidas teeme, et leida antud arvu numbrite summa. Ja nii, olgu meil number 12345. Mida tuleb teha, et leida selle arvu numbrite summa? Vaatleme kõiki samme järjekorras.

1. Kirjutage number paberile. Mida me oleme teinud? Oleme teisendanud numbri graafiliseks numbrisümboliks. See ei ole matemaatiline tehe.

2. Lõikasime ühe saadud pildi mitmeks üksikuid numbreid sisaldavaks pildiks. Pildi lõikamine ei ole matemaatiline tehe.

3. Teisendage üksikud graafilised sümbolid numbriteks. See ei ole matemaatiline tehe.

4. Lisage saadud numbrid. Nüüd on see matemaatika.

Arvu 12345 numbrite summa on 15. Need on šamaanide õpetatavad “lõikamis- ja õmbluskursused”, mida matemaatikud kasutavad. Kuid see pole veel kõik.

Matemaatilisest seisukohast pole vahet, millisesse arvusüsteemi me arvu kirjutame. Niisiis, sisse erinevad süsteemid Arvutuses on sama arvu numbrite summa erinev. Matemaatikas märgitakse numbrisüsteem numbrist paremal oleva alaindeksina. KOOS suur hulk 12345 Ma ei taha oma pead petta, vaatame numbrit 26 artiklist . Kirjutame selle arvu kahend-, kaheksand-, kümnend- ja kuueteistkümnendsüsteemis. Me ei vaata iga sammu mikroskoobi all, me oleme seda juba teinud. Vaatame tulemust.

Nagu näete, on erinevates numbrisüsteemides sama numbri numbrite summa erinev. Sellel tulemusel pole matemaatikaga mingit pistmist. See on sama, kui määraksite ristküliku pindala meetrites ja sentimeetrites, saaksite täiesti erinevad tulemused.

Null näeb kõigis numbrisüsteemides välja ühesugune ja sellel pole numbrite summat. See on veel üks argument selle kasuks, et. Küsimus matemaatikutele: kuidas on matemaatikas määratud midagi, mis ei ole arv? Mis, matemaatikute jaoks ei eksisteeri midagi peale numbrite? Ma võin seda lubada šamaanidele, kuid mitte teadlastele. Tegelikkus ei seisne ainult numbrites.

Saadud tulemust tuleks pidada tõestuseks, et arvusüsteemid on arvude mõõtühikud. Me ei saa ju võrrelda numbreid erinevate mõõtühikutega. Kui samad toimingud sama suuruse erinevate mõõtühikutega viivad erinevaid tulemusi pärast nende võrdlemist tähendab see, et sellel pole matemaatikaga mingit pistmist.

Mis on tõeline matemaatika? See on siis, kui matemaatilise tehte tulemus ei sõltu arvu suurusest, kasutatavast mõõtühikust ja sellest, kes selle toimingu sooritab.

Silt uksel Ta avab ukse ja ütleb:

Oh! Kas see pole mitte naiste tualett?
- Noor naine! See on laboratoorium hingede indefiilse pühaduse uurimiseks nende taevasse tõusmise ajal! Halo peal ja nool üles. Mis tualett veel?

Naine... Halo peal ja nool alla on isased.

Kui selline disainikunstiteos vilksatab teie silme ees mitu korda päevas,

Siis pole üllatav, et äkki leiate oma autost kummalise ikooni:

Mina isiklikult pingutan selle nimel, et kakaval inimesel oleks näha miinus nelja kraadi (üks pilt) (mitmest pildist koosnev kompositsioon: miinusmärk, number neli, kraadide tähistus). Ja ma ei arva, et see tüdruk on loll, kes füüsikat ei tunne. Tal on lihtsalt tugev stereotüüp graafiliste piltide tajumisest. Ja matemaatikud õpetavad meile seda kogu aeg. Siin on näide.

1A ei ole "miinus neli kraadi" ega "üks a". See on "kakav mees" või number "kakskümmend kuus" kuueteistkümnendsüsteemis. Need inimesed, kes pidevalt selles numbrisüsteemis töötavad, tajuvad numbrit ja tähte automaatselt ühe graafilise sümbolina.

Keskmine tase

Täisnurkne kolmnurk. Täielik illustreeritud juhend (2019)

PAREM KOLMNURK. ESIMESE TASE.

Ülesannete korral pole õige nurk üldse vajalik - alumine vasak, nii et peate õppima sellel kujul täisnurkset kolmnurka ära tundma,

ja selles

ja selles

Mis on täisnurkses kolmnurgas head? Noh... esiteks on erilised ilusad nimed tema külgede jaoks.

Tähelepanu joonisele!

Pidage meeles ja ärge ajage segadusse: on kaks jalga ja on ainult üks hüpotenuus(üks ja ainus, ainulaadne ja pikim)!

Noh, arutasime nimesid, nüüd kõige olulisemat: Pythagorase teoreemi.

Pythagorase teoreem.

See teoreem on võti paljude täisnurkse kolmnurgaga seotud probleemide lahendamiseks. Pythagoras tõestas seda täielikult aegumatu aeg, ja sellest ajast alates on ta toonud palju kasu neile, kes teda tunnevad. Ja parim asi selle juures on see, et see on lihtne.

Niisiis, Pythagorase teoreem:

Kas mäletate nalja: "Pythagorase püksid on igast küljest võrdsed!"?

Joonistame need samad Pythagorase püksid ja vaatame neid.

Kas see ei näe välja nagu mingid lühikesed püksid? Noh, mis pooltel ja kus nad on võrdsed? Miks ja kust nali tuli? Ja see nali on seotud just Pythagorase teoreemiga või täpsemalt sellega, kuidas Pythagoras ise oma teoreemi sõnastas. Ja ta sõnastas selle nii:

"Summa ruutude alad, ehitatud jalgadele, on võrdne ruudu pindala, mis on ehitatud hüpotenuusile."

Kas see kõlab tõesti natuke teistmoodi? Ja nii, kui Pythagoras oma teoreemi väite joonistas, tuli välja täpselt selline pilt.


Sellel pildil on väikeste ruutude pindalade summa võrdne suure ruudu pindalaga. Ja et lapsed mäletaksid paremini, et jalgade ruutude summa võrdub hüpotenuusi ruuduga, mõtles keegi vaimukas selle Pythagorase pükste nalja.

Miks me nüüd Pythagorase teoreemi sõnastame?

Kas Pythagoras kannatas ja rääkis väljakutest?

Näete, iidsetel aegadel polnud... algebrat! Mingeid märke polnud ja nii edasi. Silte polnud. Kas te kujutate ette, kui kohutav oli vaestel iidsetel õpilastel kõike sõnadega meeles pidada??! Ja me võime rõõmustada, et meil on Pythagorase teoreemi lihtne sõnastus. Kordame seda uuesti, et paremini meelde jätta:

See peaks nüüd lihtne olema:

Hüpotenuusi ruut võrdub jalgade ruutude summaga.

Noh, kõige olulisem teoreem täisnurksete kolmnurkade kohta on arutatud. Kui teid huvitab, kuidas see on tõestatud, lugege järgmisi teooriatasemeid ja nüüd liigume edasi... tume mets... trigonomeetria! Kohutavatele sõnadele siinus, koosinus, puutuja ja kotangent.

Siinus, koosinus, puutuja, kootangens täisnurkses kolmnurgas.

Tegelikult pole kõik üldse nii hirmus. Muidugi tuleks artiklis vaadata siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi “päris” määratlust. Aga ma tõesti ei taha, eks? Võime rõõmustada: täisnurkse kolmnurga probleemide lahendamiseks võite lihtsalt täita järgmised lihtsad asjad:

Miks on kõik nurga taga? Kus on nurk? Selle mõistmiseks peate teadma, kuidas väiteid 1–4 sõnadega kirjutatakse. Vaata, mõista ja jäta meelde!

1.
Tegelikult kõlab see nii:

Aga nurk? Kas on jalg, mis on nurga vastas, st vastupidine (nurga jaoks) jalg? Muidugi on! See on jalg!

Aga nurk? Vaata hoolega. Milline jalg külgneb nurgaga? Muidugi, jalg. See tähendab, et nurga korral on jalg külgnev ja

Nüüd pane tähele! Vaata, mis meil on:

Vaata, kui lahe see on:

Liigume nüüd puutuja ja kotangensi juurde.

Kuidas ma saan seda nüüd sõnadega kirja panna? Mis on jalg nurga suhtes? Muidugi vastas - see "lemab" nurga vastas. Aga jalg? Kõrval nurgaga. Mis meil siis on?

Vaata, kuidas lugeja ja nimetaja on kohad vahetanud?

Ja nüüd jälle nurgad ja vahetus tehtud:

Kokkuvõte

Paneme lühidalt kirja kõik, mida oleme õppinud.

Pythagorase teoreem:

Põhiteoreem täisnurksete kolmnurkade kohta on Pythagorase teoreem.

Pythagorase teoreem

Muide, kas mäletate hästi, mis on jalad ja hüpotenuus? Kui mitte väga hea, siis vaata pilti – värskenda oma teadmisi

On täiesti võimalik, et olete Pythagorase teoreemi juba korduvalt kasutanud, kuid kas olete kunagi mõelnud, miks selline teoreem on tõene? Kuidas ma saan seda tõestada? Teeme nii nagu vanad kreeklased. Joonistame küljega ruudu.

Vaata, kui kavalalt me ​​selle küljed pikkusteks jagasime ja!

Nüüd ühendame märgitud punktid

Siin märkisime aga midagi muud, kuid te ise vaatate joonist ja mõtlete, miks see nii on.

Kui suur on suurema ruudu pindala? Õige,. Aga väiksema alaga? Kindlasti,. Nelja nurga kogupindala jääb alles. Kujutage ette, et me võtsime nad kaks korraga ja toetasime nad hüpotenuusega üksteise vastu. Mis juhtus? Kaks ristkülikut. See tähendab, et "lõigete" pindala on võrdne.

Paneme nüüd kõik kokku.

Muutame:

Niisiis külastasime Pythagorast – tõestasime tema teoreemi iidsel moel.

Täisnurkne kolmnurk ja trigonomeetria

Täisnurkse kolmnurga puhul kehtivad järgmised seosed:

Teravnurga siinus võrdub vastaskülje suhtega hüpotenuusiga

Terava nurga koosinus võrdub külgneva jala ja hüpotenuusi suhtega.

Teravnurga puutuja on võrdne vastaskülje ja külgneva külje suhtega.

Teravnurga kotangens on võrdne külgneva külje ja vastaskülje suhtega.

Ja seda kõike veel kord tableti kujul:

See on väga mugav!

Täisnurksete kolmnurkade võrdsuse märgid

I. Kahel küljel

II. Jala ja hüpotenuusiga

III. Hüpotenuusi ja teravnurga järgi

IV. Mööda jalga ja teravnurka

a)

b)

Tähelepanu! Siin on väga oluline, et jalad oleksid “sobivad”. Näiteks kui see läheb nii:

SIIS EI OLE KOLMNURGAD VÕRDSED, hoolimata asjaolust, et neil on üks identne teravnurk.

Vaja mõlemas kolmnurgas oli jalg külgnev või mõlemas vastas.

Kas olete märganud, kuidas täisnurksete kolmnurkade võrdusmärgid erinevad tavalistest kolmnurkade võrdusmärkidest? Heitke pilk teemale "ja pöörake tähelepanu sellele, et "tavaliste" kolmnurkade võrdsuseks peavad kolm nende elementi olema võrdsed: kaks külge ja nendevaheline nurk, kaks nurka ja nendevaheline külg või kolm külge. Kuid täisnurksete kolmnurkade võrdsuse jaoks piisab ainult kahest vastavast elemendist. Suurepärane, eks?

Ligikaudu sama on olukord täisnurksete kolmnurkade sarnasusmärkidega.

Täisnurksete kolmnurkade sarnasuse märgid

I. Mööda teravnurka

II. Kahelt poolt

III. Jala ja hüpotenuusiga

Mediaan täisnurkses kolmnurgas

Miks see nii on?

Täisnurkse kolmnurga asemel kaaluge tervet ristkülikut.

Joonistame diagonaali ja vaatleme punkti – diagonaalide lõikepunkti. Mida teate ristküliku diagonaalide kohta?

Ja mis sellest järeldub?

Nii selgus, et

  1. - mediaan:

Pidage meeles seda fakti! Aitab palju!

Veelgi üllatavam on see, et tõsi on ka vastupidine.

Mida head saab sellest, et hüpotenuusile tõmmatud mediaan võrdub poolega hüpotenuusist? Vaatame pilti

Vaata hoolega. Meil on: , see tähendab, et kaugused punktist kolmnurga kõigi kolme tipuni osutusid võrdseks. Kuid kolmnurgas on ainult üks punkt, mille kaugused kolmnurga kõigist kolmest tipust on võrdsed ja see on RINGRI KESK. Mis juhtus?

Nii et alustame sellest “pealegi...”.

Vaatame ja.

Kuid sarnastel kolmnurkadel on kõik võrdsed nurgad!

Sama võib öelda ja kohta

Nüüd joonistame selle koos:

Mis kasu on sellest "kolmekordsest" sarnasusest?

No näiteks - kaks valemit täisnurkse kolmnurga kõrguse kohta.

Paneme kirja vastavate osapoolte suhted:

Kõrguse leidmiseks lahendame proportsiooni ja saame esimene valem "Kõrgus täisnurkses kolmnurgas":

Niisiis, rakendame sarnasust: .

Mis nüüd saab?

Jällegi lahendame proportsiooni ja saame teise valemi:

Peate mõlemad valemid väga hästi meeles pidama ja kasutama mugavamat. Paneme need uuesti kirja

Pythagorase teoreem:

Täisnurkses kolmnurgas on hüpotenuusi ruut võrdne jalgade ruutude summaga: .

Täisnurksete kolmnurkade võrdsuse märgid:

  • kahelt poolt:
  • jala ja hüpotenuusiga: või
  • piki jalga ja sellega külgnevat teravnurka: või
  • piki jalga ja vastassuunas teravnurka: või
  • hüpotenuusi ja teravnurga järgi: või.

Täisnurksete kolmnurkade sarnasuse märgid:

  • üks terav nurk: või
  • kahe jala proportsionaalsusest:
  • jala ja hüpotenuusi proportsionaalsusest: või.

Siinus, koosinus, puutuja, kootangens täisnurkses kolmnurgas

  • Täisnurkse kolmnurga teravnurga siinus on vastaskülje ja hüpotenuusi suhe:
  • Täisnurkse kolmnurga teravnurga koosinus on külgneva jala ja hüpotenuusi suhe:
  • Täisnurkse kolmnurga teravnurga puutuja on vastaskülje ja külgneva külje suhe:
  • Täisnurkse kolmnurga teravnurga kootangens on külgneva külje ja vastaskülje suhe: .

Täisnurkse kolmnurga kõrgus: või.

Täisnurkses kolmnurgas on tipust tõmmatud mediaan täisnurk, võrdub poolega hüpotenuusist: .

Täisnurkse kolmnurga pindala:

  • jalgade kaudu: