Navn 

Hvordan finne arealet til en rombe og vinkler. Fire formler som kan brukes til å beregne arealet til en rombe. Egenskaper til en rombe

er et parallellogram der alle sider er like.

En rombe med rette vinkler kalles en firkant og regnes som et spesialtilfelle av en rombe. Du kan finne området til en rombe forskjellige måter, ved hjelp av alle elementene - sider, diagonaler, høyde. Den klassiske formelen for arealet til en rombe er å beregne verdien gjennom høyden.

Et eksempel på å beregne arealet til en rombe ved hjelp av denne formelen er veldig enkelt. Du trenger bare å erstatte dataene og beregne arealet.

Arealet av en rombe gjennom diagonaler


Diagonalene til en rombe skjærer hverandre i rette vinkler og er delt i to i skjæringspunktet.

Formelen for arealet til en rombe gjennom diagonalene er produktet av diagonalene delt på 2.

La oss se på et eksempel på beregning av arealet til en rombe ved hjelp av diagonaler. La det gis en rombe med diagonaler
d1 = 5 cm og d2 = 4. La oss finne området.

Formelen for arealet til en rombe gjennom sidene innebærer også bruk av andre elementer. Hvis en sirkel er innskrevet i en rombe, kan arealet av figuren beregnes fra sidene og dens radius:

Et eksempel på å beregne arealet til en rombe gjennom sidene er også veldig enkelt. Du trenger bare å beregne radiusen til den innskrevne sirkelen. Det kan avledes fra Pythagoras teorem og ved å bruke formelen.

Arealet av en rombe gjennom side og vinkel


Formelen for arealet til en rombe når det gjelder side og vinkel brukes veldig ofte.

La oss se på et eksempel på å beregne arealet til en rombe ved å bruke en side og en vinkel.

Oppgave: Gitt en rombe hvis diagonaler er d1 = 4 cm, d2 = 6 cm. Den spisse vinkelen er α = 30°. Finn arealet av figuren ved å bruke siden og vinkelen.
La oss først finne siden av romben. Vi bruker Pythagoras teorem til dette. Vi vet at i skjæringspunktet halverer diagonalene og danner en rett vinkel. Derfor:
La oss erstatte verdiene:
Nå vet vi siden og vinkelen. La oss finne området:

I skolekurset i geometri, blant hovedoppgavene, er det lagt stor vekt på eksempler beregne arealet og omkretsen til en rombe. Husk at en rombe tilhører egen klasse firkanter seg og skiller seg ut blant dem med like sider. En rombe er også et spesialtilfelle av et parallellogram hvis sistnevnte har alle sider like AB=BC=CD=AD. Nedenfor er et bilde som viser en rombe.

Egenskaper til en rombe

Siden en rombe opptar en del av parallellogrammer, vil egenskapene i dem være like.

  • Motsatte vinkler på en rombe, som et parallellogram, er like.
  • Summen av vinklene til en rombe ved siden av den ene siden er 180°.
  • Diagonalene til en rombe skjærer hverandre i en vinkel på 90 grader.
  • Diagonalene til en rombe er også halveringslinjene til vinklene.
  • Diagonalene til en rombe er delt i to i skjæringspunktet.

Tegn på en diamant

Alle egenskapene til en rombe følger av dens egenskaper og bidrar til å skille den mellom firkanter, rektangler og parallellogrammer.

  • Et parallellogram hvis diagonaler skjærer hverandre i rette vinkler er en rombe.
  • Et parallellogram hvis diagonaler er halveringslinjer er en rombe.
  • Et parallellogram med like sider er en rombe.
  • En firkant med alle sider like er en rombe.
  • En firkant hvis diagonaler er vinkelhalveringslinjer og skjærer hverandre i rette vinkler, er en rombe.
  • Et parallellogram med like høyder er en rombe.

Formel for omkretsen til en rombe

Per definisjon er omkretsen lik summen av alle sider. Siden alle sider av en rombe er like, beregner vi omkretsen ved hjelp av formelen

Omkretsen beregnes i lengdeenheter.

Radius av en sirkel innskrevet i en rombe

Et av de vanlige problemene når man studerer en rombe er å finne radiusen eller diameteren til den innskrevne sirkelen. Figuren nedenfor viser noen av de vanligste formlene for radiusen til en innskrevet sirkel i en rombe.

Den første formelen viser at radiusen til en sirkel innskrevet i en rombe er lik produktet av diagonalene delt på summen av alle sidene (4a).

En annen formel viser at radiusen til en sirkel innskrevet i en rombe lik halvparten rombehøyde

Den andre formelen i figuren er en modifikasjon av den første og brukes når man beregner radiusen til en sirkel innskrevet i en rombe når diagonalene til romben er kjent, det vil si de ukjente sidene.

Den tredje formelen for radiusen til en innskrevet sirkel finner faktisk halve høyden av den lille trekanten som dannes av skjæringspunktet mellom diagonalene.

Blant de mindre populære formlene for å beregne radiusen til en sirkel innskrevet i en rombe, kan du også gi følgende:

her er D diagonalen til romben, alfa er vinkelen som skjærer diagonalen.

Hvis arealet (S) av en rombe og størrelsen på den spisse vinkelen (alfa) er kjent, må du finne radiusen til den innskrevne sirkelen for å beregne Kvadratrot fra en fjerdedel av produktet av området og sinusen til en spiss vinkel:

Fra formlene ovenfor kan du enkelt finne radiusen til en sirkel innskrevet i en rombe hvis betingelsene i eksemplet inneholder det nødvendige settet med data.

Formel for området til en rombe

Formler for beregning av areal er vist i figuren.

Den enkleste er utledet som summen av arealene til to trekanter som en rombe er delt inn i med diagonalen.

Den andre arealformelen gjelder for problemer der diagonalene til en rombe er kjent. Da er arealet til en rombe lik halvparten av produktet av diagonalene

Det er enkelt nok å huske og også lett å beregne.

Den tredje arealformelen gir mening når vinkelen mellom sidene er kjent. Ifølge den er arealet til en rombe lik produktet av kvadratet på siden og sinusen til vinkelen. Om den er spiss eller ikke spiller ingen rolle siden sinusen til begge vinklene får samme verdi.

Arealet til en geometrisk figur- en numerisk karakteristikk av en geometrisk figur som viser størrelsen på denne figuren (en del av overflaten begrenset av den lukkede konturen til denne figuren). Størrelsen på området er uttrykt ved antall kvadratenheter som det inneholder.

Trekantarealformler

  1. Formel for arealet av en trekant ved side og høyde
    Arealet av en trekant lik halvparten av produktet av lengden av en side av en trekant og lengden av høyden trukket til denne siden
  2. Formel for arealet av en trekant basert på tre sider og radiusen til den omskrevne sirkelen
  3. Formel for arealet av en trekant basert på tre sider og radiusen til den innskrevne sirkelen
    Arealet av en trekant er lik produktet av halvperimeteren til trekanten og radiusen til den innskrevne sirkelen.
    4. hvor S er arealet av trekanten,
    - lengder på sidene i trekanten,
    - høyden på trekanten,
    - vinkelen mellom sidene og,
    - radius av den innskrevne sirkelen,
    R - radius av den omskrevne sirkelen,

Kvadratarealformler

  1. Formel for arealet av et kvadrat ved sidelengde
    Firkantet område lik kvadratet på lengden på siden.
  2. Formel for arealet av en firkant langs diagonallengden
    Firkantet område lik halve kvadratet av lengden på diagonalen.
    S=1 2
    2
    3. hvor S er arealet av kvadratet,
    - lengden på siden av firkanten,
    - lengden på kvadratets diagonal.

Formel for rektangelareal

    Arealet av et rektangel lik produktet av lengdene til de to tilstøtende sidene

    hvor S er arealet av rektangelet,
    - lengder på sidene av rektangelet.

Parallelogramarealformler

  1. Formel for arealet av et parallellogram basert på sidelengde og høyde
    Arealet av et parallellogram
  2. Formel for arealet til et parallellogram basert på to sider og vinkelen mellom dem
    Arealet av et parallellogram er lik produktet av lengdene på sidene multiplisert med sinusen til vinkelen mellom dem.

    a b sin α

    3. hvor S er arealet av parallellogrammet,
    - lengder på sidene av parallellogrammet,
    - lengden på parallellogramhøyden,
    - vinkelen mellom sidene av parallellogrammet.

Formler for området til en rombe

  1. Formel for området til en rombe basert på sidelengde og høyde
    Området til en rombe lik produktet av lengden på siden og lengden på høyden senket til denne siden.
  2. Formel for arealet til en rombe basert på sidelengde og vinkel
    Området til en rombe er lik produktet av kvadratet av lengden på siden og sinusen til vinkelen mellom sidene av romben.
  3. Formel for området til en rombe basert på lengdene på diagonalene
    Området til en rombe lik halvparten av produktet av lengdene til diagonalene.
    4. hvor S er arealet av romben,
    - lengden på siden av romben,
    - lengden på høyden på romben,
    - vinkelen mellom sidene av romben,
    1, 2 - lengder av diagonaler.

Trapesformler for område

  1. Herons formel for trapes

    Hvor S er arealet av trapeset,
    - lengder på basene til trapesen,
    - lengder på sidene av trapesen,

Rhombus er spesielt tilfelle parallellogram. Det er en flat firkantet figur der alle sider er like. Denne egenskapen bestemmer at romber har parallelle motsatte sider og like motsatte vinkler. Diagonalene til en rombe skjærer hverandre i rette vinkler, skjæringspunktet er i midten av hver diagonal, og vinklene de kommer ut fra er delt i to. Det vil si at diagonalene til en rombe er halveringslinjer for vinklene. Basert på definisjonene ovenfor og de listede egenskapene til romber, kan deres område bestemmes på forskjellige måter.



1. Hvis begge diagonalene til en rombe AC ​​og BD er kjent, kan arealet av romben bestemmes som halvparten av produktet av diagonalene.

S = ½ ∙ A.C. ∙ BD


hvor AC, BD er lengden på diagonalene til romben.

For å forstå hvorfor det er slik, kan du mentalt passe et rektangel inn i en rombe slik at sidene til sistnevnte er vinkelrett på diagonalene til romben. Det blir åpenbart at arealet av romben vil være lik halvparten av arealet av rektangelet som er skrevet inn på denne måten i romben, hvis lengde og bredde vil tilsvare størrelsen på diagonalene til romben.

2. I analogi med et parallellepiped kan arealet til en rombe finnes som produktet av siden og høyden på perpendikulæren fra motsatt side senket til en gitt side.

S = a ∙ h


hvor a er siden av romben;
h er høyden på perpendikulæren som faller til en gitt side.

3. Arealet til en rombe er også lik kvadratet på siden multiplisert med sinusen til vinkelen α.

S = a 2 ∙ synd α


hvor a er siden av romben;
α er vinkelen mellom sidene.

4. Også området til en rombe kan finnes gjennom siden og radiusen til sirkelen som er innskrevet i den.

S=2 ∙ en ∙ r


hvor a er siden av romben;
r er radiusen til sirkelen innskrevet i romben.

Interessante fakta
Ordet rombe kommer fra det gamle greske rombus, som betyr "tamburin". På den tiden hadde tamburiner faktisk en diamantform, og ikke rund, slik vi er vant til å se dem nå. Fra samme tid kom navnet på kortfargen "diamanter". Veldig brede diamanter forskjellige typer brukt i heraldikk.

En rombe (fra det antikke greske ῥόμβος og fra det latinske rombus "tamburin") er et parallellogram, som er preget av tilstedeværelsen av sider med like lange. Når vinklene er 90 grader (eller rett vinkel), kalles en slik geometrisk figur en firkant. Diamant - geometrisk figur, en type firkant. Det kan være både et kvadrat og et parallellogram.

Opprinnelsen til dette begrepet

La oss snakke litt om historien til denne figuren, som vil bidra til å avsløre litt for oss selv mystiske hemmeligheter eldgamle verden. Et kjent ord for oss, ofte funnet i skolelitteratur, "rombus", stammer fra gammelgresk ord"tamburin". I Antikkens Hellas disse musikkinstrumenter ble produsert i form av en diamant eller firkant (i motsetning til moderne enheter). Du la sikkert merke til at kortfargen - diamanter - har en rombisk form. Dannelsen av denne drakten går tilbake til tiden da runde diamanter ikke ble brukt i hverdagen. Følgelig er romben den eldste historiske figuren som ble oppfunnet av menneskeheten lenge før fremkomsten av hjulet.

For første gang ble et slikt ord som "rhombus" brukt slik kjente personligheter, som Heron og paven av Alexandria.

Egenskaper til en rombe

  1. Siden sidene til en rombe er motsatte hverandre og er parallelle i par, så er romben utvilsomt et parallellogram (AB || CD, AD || BC).
  2. Rombediagonaler skjærer hverandre i rette vinkler (AC ⊥ BD), og er derfor vinkelrett. Derfor halverer skjæringspunktet diagonalene.
  3. Halveringslinjene til rombiske vinkler er diagonalene til romben (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD, etc.).
  4. Fra identiteten til parallellogrammer følger det at summen av alle kvadratene til diagonalene til en rombe er tallet på kvadratet på siden, som multipliseres med 4.

Tegn på en diamant

En rombe er et parallellogram når den oppfyller følgende betingelser:

  1. Alle sider av et parallellogram er like.
  2. Diagonalene til en rombe skjærer en rett vinkel, det vil si at de er vinkelrette på hverandre (AC⊥BD). Dette beviser regelen om tre sider (sidene er like og i en vinkel på 90 grader).
  3. Diagonalene til et parallellogram deler vinklene likt fordi sidene er like.

Området til en rombe

  1. Arealet til en rombe er lik tallet som er halvparten av produktet av alle diagonalene.
  2. Siden en rombe er et slags parallellogram, er arealet av romben (S) produktet av siden av parallellogrammet og dens høyde (h).
  3. I tillegg kan arealet til en rombe beregnes ved hjelp av formelen, som er produktet av den kvadratiske siden av romben og sinusen til vinkelen. Vinkelens sinus er alfa - vinkelen som ligger mellom sidene til den opprinnelige romben.
  4. Ganske akseptabelt for riktig avgjørelse formelen anses å være produktet av to ganger vinkelen alfa og radiusen til den innskrevne sirkelen (r).