Circle area online kalkulator i kvadratmeter. Sirkelområde: formel. Hva er arealet av en sirkel omskrevet og innskrevet i en firkant, en rettvinklet og likebenet trekant, en rettvinklet, likebenet trapes

Hvordan finne arealet av en sirkel? Finn først radiusen. Lær å løse enkle og komplekse problemer.

En sirkel er en lukket kurve. Ethvert punkt på sirkellinjen vil ha samme avstand fra midtpunktet. Sirkelen er flat figur, så det er enkelt å løse problemer med å finne området. I denne artikkelen vil vi se på hvordan du finner arealet av en sirkel innskrevet i en trekant, trapes, firkant og beskrevet rundt disse figurene.

For å finne arealet til en gitt figur, må du vite hva radius, diameter og nummer π er.

Radius R er avstanden avgrenset av sentrum av sirkelen. Lengdene til alle R-radiene i en sirkel vil være like.

Diameter D er en linje mellom to punkter på en sirkel som går gjennom midtpunktet. Lengden på dette segmentet er lik lengden på R-radius ganger 2.

Nummer π er en konstant verdi, som er lik 3,1415926. I matematikk rundes dette tallet vanligvis opp til 3,14.

Formelen for å finne arealet av en sirkel ved hjelp av radiusen:

Eksempler på å løse oppgaver for å finne S-området til en sirkel gjennom R-radiusen:

En oppgave: Finn arealet av en sirkel hvis radien er 7 cm.

Løsning: S=πR², S=3,14*7², S=3,14*49=153,86 cm².

Svar: Arealet av sirkelen er 153,86 cm².

Formelen for å finne S-området til en sirkel i form av D-diameteren er:

Eksempler på å løse oppgaver for å finne S, hvis D er kjent:

————————————————————————————————————————-

En oppgave: Finn S av sirkelen hvis D er 10 cm.

Løsning: P=π*d²/4, P=3,14*10²/4=3,14*100/4=314/4=78,5 cm².

Svar: Arealet til en flat rund figur er 78,5 cm².

Finne S-sirkelen hvis omkretsen er kjent:

Finn først hva radiusen er. Omkretsen beregnes med formelen: henholdsvis L=2πR, radius R vil være lik L/2π. Nå finner vi arealet av sirkelen ved å bruke formelen til R.

Tenk på løsningen på eksempelet på problemet:

———————————————————————————————————————-

En oppgave: Finn arealet av en sirkel hvis omkretsen L er kjent - 12 cm.

Løsning: Først finner vi radiusen: R=L/2π=12/2*3,14=12/6,28=1,91.

Nå finner vi arealet gjennom radiusen: S=πR²=3,14*1,91²=3,14*3,65=11,46 cm².

Svar: Arealet av en sirkel er 11,46 cm².

Det er enkelt å finne arealet til en sirkel innskrevet i en firkant. Siden av kvadratet er diameteren til sirkelen. For å finne radiusen må du dele siden med 2.

Formelen for å finne arealet av en sirkel innskrevet i en firkant er:

Eksempler på å løse problemer med å finne arealet av en sirkel innskrevet i en firkant:

———————————————————————————————————————

Oppgave 1: Siden av en kvadratisk figur er kjent, som er lik 6 centimeter. Finn S-området til den påskrevne sirkelen.

Løsning: S=π(a/2)²=3,14(6/2)²=3,14*9=28,26 cm².

Svar: Arealet til en flat rund figur er 28,26 cm².

————————————————————————————————————————

Oppgave #2: Finn S av en sirkel innskrevet i en kvadratisk figur og dens radius hvis den ene siden er a=4 cm.

Bestem deg slik: Finn først R=a/2=4/2=2 cm.

La oss nå finne arealet av sirkelen S=3,14*2²=3,14*4=12,56 cm².

Svar: Arealet til en flat rund figur er 12,56 cm².

Det er litt vanskeligere å finne arealet til en rund figur omkranset av en firkant. Men når du kjenner formelen, kan du raskt beregne denne verdien.

Formelen for å finne S i en sirkel omskrevet om en kvadratisk figur:

Eksempler på å løse oppgaver for å finne arealet av en sirkel beskrevet nær en kvadratisk figur:

En oppgave

En sirkel som er innskrevet i en trekantet figur er en sirkel som berører alle tre sidene av trekanten. En sirkel kan skrives inn i en hvilken som helst trekantet figur, men bare én. Sentrum av sirkelen vil være skjæringspunktet mellom halveringslinjene til vinklene til trekanten.

Formelen for å finne arealet av en sirkel innskrevet i likebent trekant:

Når radiusen er kjent, kan arealet beregnes ved hjelp av formelen: S=πR².

Formelen for å finne arealet av en sirkel innskrevet i en rettvinklet trekant er:

Eksempler på løse oppgaver:

Oppgave 1

Hvis du i denne oppgaven også trenger å finne arealet av en sirkel med en radius på 4 cm, kan dette gjøres ved å bruke formelen: S=πR²

Oppgave #2

Løsning:

Nå som du kjenner radiusen, kan du finne arealet av sirkelen i form av radius. Se formelen ovenfor.

Oppgave #3

Arealet av en sirkel omskrevet om en rettvinklet og likebenet trekant: formel, eksempler på problemløsning

Alle formler for å finne arealet av en sirkel kommer ned til det faktum at du først må finne radiusen. Når radiusen er kjent, er det enkelt å finne området, som beskrevet ovenfor.

Arealet av en sirkel omskrevet om en rettvinklet og likebenet trekant er funnet av følgende formel:

Eksempler på problemløsning:

Her er et annet eksempel på å løse et problem ved å bruke Herons formel.

Å løse slike problemer er vanskelig, men de kan mestres hvis du kan alle formlene. Elever løser slike oppgaver i 9. klasse.

Arealet av en sirkel innskrevet i en rektangulær og likebenet trapes: formel, eksempler på problemløsning

En likebenet trapes har to like sider. En rektangulær trapes har én vinkel lik 90º. Vurder hvordan du finner arealet av en sirkel innskrevet i en rektangulær og likebenet trapes ved å bruke eksempelet på å løse problemer.

For eksempel er en sirkel innskrevet i en likebenet trapes, som ved kontaktpunktet deler den ene siden i segmentene m og n.

For å løse dette problemet, må du bruke følgende formler:

Arealet av en sirkel innskrevet i en rektangulær trapes er funnet ved å bruke følgende formel:

Om kjent side, så kan du finne radiusen gjennom denne verdien. Høyden på siden av trapesen er lik diameteren til sirkelen, og radiusen er halve diameteren. Følgelig er radien R=d/2.

Eksempler på problemløsning:

En trapes kan skrives inn i en sirkel når summen av dens motsatte vinkler er 180º. Derfor kan bare en likebenet trapes være innskrevet. Radiusen for å beregne arealet til en sirkel omskrevet rundt en rektangulær eller likebenet trapes beregnes ved å bruke følgende formler:

Eksempler på problemløsning:

Løsning: Stor base i denne saken går gjennom sentrum fordi en likebenet trapes er innskrevet i sirkelen. Senteret deler denne basen nøyaktig i to. Hvis basisen AB er 12, kan radius R finnes som følger: R=12/2=6.

Svar: Radius er 6.

I geometri er det viktig å kunne formlene. Men det er umulig å huske alle, så selv i mange eksamener er det tillatt å bruke et spesielt skjema. Det er imidlertid viktig å kunne finne riktig formelå løse et spesielt problem. Øv på å løse forskjellige problemer for å finne radius og arealet til en sirkel for å kunne erstatte formler riktig og få nøyaktige svar.

Video: Matematikk | Beregne arealet av en sirkel og dens deler

Lengden på diameteren - et segment som passerer gjennom sentrum av sirkelen og forbinder to motsatte punkter av sirkelen, eller radius - et segment, hvor ett av ytterpunktene er plassert i sentrum av sirkelen, og det andre - på sirkelbuen. Så diameteren lik lengde radius multiplisert med to.
Verdien av tallet π. Denne verdien er en konstant - en irrasjonell brøk som ikke har noen ende. Det er imidlertid ikke periodisk. Dette tallet uttrykker forholdet omkrets til sin radius. For å beregne arealet av en sirkel i oppgavene til skolekurset, brukes verdien av π, gitt til nærmeste hundredel - 3,14.

Formler for å finne arealet av en sirkel, dens segment eller sektor

Avhengig av spesifikasjonene til betingelsene for det geometriske problemet, to formler for å finne arealet av en sirkel:

For å finne ut hvordan du finner området til en sirkel på den enkleste måten, må du nøye analysere betingelsene for oppgaven.

Skolegeometrikurset inneholder også oppgaver for å beregne arealet av segmenter eller sektorer som det brukes spesielle formler for:

En sektor er en del av en sirkel avgrenset av en sirkel og en vinkel med toppunktet plassert i sentrum. Arealet av sektoren beregnes ved hjelp av formelen: S = (π*r 2 /360)*А;
- r er radiusen;
- A er vinkelen i grader.
- r er radiusen;
- p er lengden på buen.

Det er også et annet alternativ S = 0,5 * p * r;

Segment - er en del avgrenset av en del av en sirkel (akkord) og en sirkel. Området kan bli funnet med formelen S \u003d (π * r 2 / 360) * A ± S ∆ ;

r er radiusen;
A er vinkelverdien i grader;
S ∆ er arealet av en trekant, hvis sider er radiene og akkorden til sirkelen; dessuten er en av dens toppunkter plassert i sentrum av sirkelen, og de to andre er plassert i kontaktpunktene til sirkelbuen med korden. Viktig poeng- minustegnet plasseres hvis verdien av A er mindre enn 180 grader, og plusstegnet - hvis det er mer enn 180 grader.

For å forenkle løsningen av et geometrisk problem kan man regne sirkelområdet på nettet. Et spesialprogram vil raskt og nøyaktig gjøre beregningen på et par sekunder. Hvordan beregne arealet av figurer på nettet? For å gjøre dette må du angi de kjente startdataene: radius, diameter, vinkel.

En sirkel er en synlig samling av mange punkter som er i samme avstand fra sentrum. For å finne området må du vite hva radius, diameter, π-nummer og omkrets er.

Mengder involvert i å beregne arealet av en sirkel

Avstanden avgrenset av det sentrale punktet i sirkelen og noen av punktene i sirkelen kalles radiusen til denne geometriske figuren. Lengden på alle radiene i en sirkel er de samme. Linjestykket mellom to punkter på sirkelen som går gjennom midtpunktet kalles diameteren. Lengden på diameteren er lik lengden på radien multiplisert med 2.

For å beregne arealet av en sirkel, brukes verdien av tallet π. Denne verdien er lik forholdet mellom omkretsen og lengden på diameteren til sirkelen og har en konstant verdi. Π = 3,1415926. Omkretsen beregnes ved hjelp av formelen L=2πR.

Finn arealet av en sirkel ved hjelp av radiusen

Derfor er arealet av en sirkel lik produktet av tallet π og radiusen til sirkelen hevet til 2. potens. Som et eksempel, la oss ta lengden på radiusen til sirkelen lik 5 cm. Da vil arealet av sirkelen S være lik 3,14 * 5 ^ 2 = 78,5 kvadratmeter. cm.

Sirkelareal når det gjelder diameter

Arealet av en sirkel kan også beregnes ved å kjenne sirkelens diameter. I dette tilfellet er S = (π/4)*d^2, der d er diameteren til sirkelen. La oss ta det samme eksempelet der radiusen er 5 cm. Da vil diameteren være 5*2=10 cm. Arealet av sirkelen er S=3.14/4*10^2=78.5 sq.cm. Resultatet, som er lik summen av beregningene i det første eksemplet, bekrefter riktigheten av beregningene i begge tilfeller.

Arealet av en sirkel når det gjelder omkrets

Hvis radiusen til en sirkel er representert i form av omkretsen, vil formelen ha neste visning: R=(L/2)π. Erstatt dette uttrykket med formelen for arealet av en sirkel, og som et resultat får vi S=(L^2)/4π. Tenk på et eksempel der omkretsen er 10 cm. Da er arealet av sirkelen S = (10 ^ 2) / 4 * 3,14 = 7,96 kvadratmeter. cm.

Arealet av en sirkel i form av lengden på en side av en innskrevet firkant

Hvis en firkant er innskrevet i en sirkel, er lengden på diameteren til sirkelen lik lengden på diagonalen til firkanten. Når du kjenner størrelsen på siden av firkanten, kan du enkelt finne diameteren til sirkelen ved hjelp av formelen: d ^ 2 \u003d 2a ^ 2. Med andre ord, diameteren i potensen 2 er lik siden av kvadratet i potensen 2 ganger 2.

Etter å ha beregnet verdien av lengden på diameteren til en sirkel, kan du også finne ut radiusen, og deretter bruke en av formlene for å bestemme arealet av en sirkel.

Sektorareal av en sirkel

En sektor er en del av en sirkel avgrenset av 2 radier og en bue mellom dem. For å finne ut området, må du måle vinkelen på sektoren. Etter det er det nødvendig å komponere en brøk, i telleren som det vil være verdien av vinkelen til sektoren, og i nevneren - 360. For å beregne arealet av sektoren, verdien oppnådd som et resultat av å dele brøken må multipliseres med arealet av sirkelen beregnet ved hjelp av en av formlene ovenfor.

I geometri rundt et sett av alle punkter på planet kalles, som er fjernet fra ett punkt, kalt dets sentrum, i en avstand som ikke er større enn en gitt, kalt dets radius. I dette tilfellet er den ytre grensen til sirkelen sirkel, og hvis lengden på radiusen er lik null, en sirkel degenererer til et punkt.

Bestemme arealet av en sirkel

Hvis nødvendig området av en sirkel kan beregnes ved hjelp av formelen:

pr 2

r- sirkelradius

D- sirkeldiameter

S- området av en sirkel

π - 3.14

Dette geometrisk figur svært vanlig både innen ingeniørfag og arkitektur. Designere av maskiner og mekanismer utvikler forskjellige deler, seksjonene av mange er nøyaktige en sirkel. For eksempel er dette aksler, stenger, stenger, sylindre, aksler, stempler og så videre. Ved fremstilling av disse delene brukes emner ulike materialer(metaller, tre, plast), deres seksjoner representerer også nøyaktig en sirkel. Det sier seg selv at utviklere ofte må beregne området av en sirkel gjennom en diameter eller radius, ved hjelp av enkel matematiske formler oppdaget i oldtiden.

Akkurat da runde elementer begynte å bli aktivt og mye brukt i arkitektur. Et av de mest slående eksemplene på dette er sirkuset, som er en slags bygninger designet for å være vertskap for ulike underholdningsarrangementer. Deres arenaer er formet sirkel, og for første gang begynte de å bli bygget i antikken. Selve ordet " sirkel» oversatt fra latin midler " en sirkel". Hvis det i antikken var sirkus teaterforestillinger og det ble holdt gladiatorkamper, nå fungerer de som et sted hvor det nesten utelukkende holdes sirkusforestillinger med deltakelse av trenere, akrobater, tryllekunstnere, klovner osv. Standarddiameteren på sirkusarenaen er 13 meter, og dette er ikke i det hele tatt. tilfeldig: faktum er at det er han som gir de minste nødvendige geometriske parameterne til arenaen, der sirkushester kan løpe i en sirkel i galopp. Hvis vi regner området av en sirkel gjennom diameteren viser det seg at for sirkusarenaen er denne verdien 113,04 kvadratmeter.

De arkitektoniske elementene som kan ha form av en sirkel er vinduer. Selvfølgelig er de i de fleste tilfeller rektangulære eller firkantede (mye på grunn av at det er lettere for både arkitekter og byggherrer), men i noen bygg kan du også finne runde vinduer. Dessuten i slike kjøretøy, som luft-, sjø- og elvefartøyer, er de oftest nettopp det.

Det er på ingen måte uvanlig å bruke runde elementer til produksjon av møbler som bord og stoler. Det er til og med et konsept rundt bord ”, som innebærer en konstruktiv diskusjon, hvor det er en omfattende diskusjon av ulike viktige saker og utvikle måter å løse dem på. Når det gjelder produksjonen av selve bordplatene, som har en rund form, brukes spesialverktøy og utstyr til produksjonen, med forbehold om deltakelse av arbeidere med ganske høye kvalifikasjoner.

Sirkler krever en mer forsiktig tilnærming og er mye mindre vanlig i B5-oppgaver. Men, generell ordning løsningene er enda enklere enn i tilfellet med polygoner (se leksjonen "Polygonområder på et koordinatnett").

Alt som kreves i slike oppgaver er å finne radiusen til sirkelen R . Deretter kan du beregne arealet av sirkelen ved å bruke formelen S = πR 2 . Det følger også av denne formelen at det er tilstrekkelig å finne R 2 for løsningen.

For å finne de angitte verdiene, er det nok å indikere på sirkelen et punkt som ligger i skjæringspunktet mellom rutenettlinjene. Og bruk deretter Pythagoras teorem. Ta i betraktning konkrete eksempler radiusberegninger:

En oppgave. Finn radiene til de tre sirklene vist i figuren:

La oss utføre ytterligere konstruksjoner i hver sirkel:

I hvert tilfelle velges punkt B på sirkelen for å ligge i skjæringspunktet mellom rutenettlinjene. Punkt C i sirkler 1 og 3 fullfører figuren opp til høyre trekant. Det gjenstår å finne radiene:

Tenk på trekant ABC i den første sirkelen. I følge Pythagoras teoremet: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 2 2 + 2 2 \u003d 8.

For den andre sirkelen er alt åpenbart: R = AB = 2.

Det tredje tilfellet ligner det første. Fra trekanten ABC i henhold til Pythagoras teorem: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 1 2 + 2 2 \u003d 5.

Nå vet vi hvordan vi finner radiusen til en sirkel (eller i det minste kvadratet). Derfor kan vi finne området. Det er oppgaver der det kreves å finne arealet til en sektor, og ikke hele sirkelen. I slike tilfeller er det lett å finne ut hvilken del av sirkelen som er denne sektoren, og dermed finne området.

En oppgave. Finn området S for den skraverte sektoren. Angi S / π i svaret ditt.

Sektoren er åpenbart en fjerdedel av sirkelen. Derfor er S = 0,25 S av sirkelen.

Det gjenstår å finne S av sirkelen - området til sirkelen. For å gjøre dette vil vi utføre en ekstra konstruksjon:

Trekant ABC er en rettvinklet trekant. Ved Pythagoras teorem har vi: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 2 2 + 2 2 \u003d 8.

Nå finner vi arealet av sirkelen og sektoren: S av sirkelen = πR 2 = 8π; S = 0,25 S sirkel = 2π.

Til slutt er den ønskede verdien lik S /π = 2.

Sektorområde med ukjent radius

Det er perfekt ny type oppgaver, var det ikke noe lignende i 2010-2011. Ved betingelse får vi en sirkel av et bestemt område (nemlig arealet, ikke radiusen!). Deretter, innenfor denne sirkelen, tildeles en sektor, området som kreves for å bli funnet.

Den gode nyheten er at disse oppgavene er de enkleste av alle oppgavene på torget, som er på eksamen i matematikk. I tillegg er sirkelen og sektoren alltid plassert på koordinatnettet. Derfor, for å lære hvordan du løser slike problemer, bare ta en titt på bildet:

La den opprinnelige sirkelen ha areal S av sirkelen = 80. Deretter kan den deles inn i to sektorer med areal S = 40 hver (se trinn 2). På samme måte kan hver av disse "halve" sektorene deles i to igjen - vi får fire sektorer med areal S = 20 hver (se trinn 3). Til slutt kan du dele hver av disse sektorene i to til - vi får 8 sektorer - "små biter". Arealet til hver av disse "bitene" vil være S = 10.

Vennligst merk: en finere partisjon i ingen BRUK oppgave ingen matematikk! Dermed er algoritmen for å løse problem B-3 som følger:

Skjær den opprinnelige sirkelen i 8 sektorer - "stykker". Arealet til hver av dem er nøyaktig 1/8 av arealet til hele sirkelen. For eksempel, hvis i henhold til betingelsen sirkelen har arealet S av sirkelen = 240, så har "klumpene" arealet S = 240: 8 = 30;
Finn ut hvor mange "klumper" som passer i den opprinnelige sektoren, området du vil finne. For eksempel, hvis sektoren vår inneholder 3 "klumper" med et areal på 30, så er området til ønsket sektor S = 3 30 = 90. Dette vil være svaret.

Det er alt! Problemet løses praktisk talt muntlig. Hvis du fortsatt ikke forstår noe, kjøp en pizza og skjær den i 8 biter. Hvert slikt stykke vil være samme sektor - "klump" som kan kombineres til større stykker.

Og la oss nå se på eksempler fra prøveeksamenen:

En oppgave. En sirkel med et areal på 40 er tegnet på rutete papir. Finn arealet til den skraverte figuren.

Så arealet av sirkelen er 40. Del det inn i 8 sektorer - hver med et areal på S = 40: 5 = 8. Vi får:

Åpenbart består den skraverte sektoren av nøyaktig to "små" sektorer. Derfor er arealet 2 5 = 10. Det er hele løsningen!

En oppgave. En sirkel med et areal på 64 er tegnet på rutete papir. Finn arealet til den skraverte figuren.

Igjen deler du hele sirkelen i 8 like sektorer. Det er klart at området til en av dem bare må finnes. Derfor er arealet S = 64: 8 = 8.

En oppgave. En sirkel med et areal på 48 er tegnet på rutete papir. Finn arealet til den skraverte figuren.

Igjen deler du sirkelen i 8 like sektorer. Arealet til hver av dem er lik S = 48: 8 = 6. Nøyaktig tre sektorer - "små" er plassert i ønsket sektor (se figur). Derfor er arealet til ønsket sektor 3 6 = 18.