Однородные тригонометрические уравнения: общая схема решения. Решение однородных тригонометрических уравнений
Тип урока: обяснение нового материала. Работа проходит в группах. В каждой группе есть эксперт, который контролирует и направляет работу учащихся. Помогает слабым учащимся поверить в свои силы при решении данных уравнений.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Урок по теме
" Однородные тригонометрические уравнения"
(10-й класс)
Цель:
- ввести понятие однородных тригонометрических уравнений I и II степени;
- сформулировать и отработать алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений I и II степени;
- научить учащихся решать однородные тригонометрических уравнений I и II степени;
- развивать умение выявлять закономерности, обобщать;
- стимулировать интерес к предмету, развивать чувство солидарности и здорового соперничества.
Тип урока : урок формирования новых знаний.
Форма проведения : работа в группах.
Оборудование: компьютер, мультимедийная установка
Ход урока
I. Организационный момент
На уроке рейтинговая система оценки знаний (учитель поясняет систему оценки знаний, заполнение оценочного листа независимым экспертом, выбранным учителем из числа учащихся). Урок сопровождается презентацией. Приложение 1.
Оценочный лист№
п\п | Фамилия имя | Домашнее задание | Познавательная активность | Решение уравнений | Самостоятельная работа | Оценка |
II. Актуализация опорных знаний..
Мы продолжаем изучение темы “Тригонометрические уравнения”. Сегодня на уроке мы познакомимся с вами с еще одним видом тригонометрических уравнений и методами их решения и поэтому повторим изученное. Все виды тригонометрических уравнений при решении сводятся к решению простейших тригонометрических уравнений. Вспомним основные виды простейших тригонометрических уравнений. Поставьте с помощью стрелок соответствии между выражениями.
III. Мотивация обучения.
Нам предстоит работа по разгадыванию кроссворда. Разгадав его, мы узнаем название нового вида уравнений, которые научимся решать сегодня на уроке.
Вопросы спроецированы на доску. Учащиеся отгадывают, независимый эксперт заносит в оценочный лист баллы отвечающим учащимся.
Разгадав кроссворд, ребята прочитают слово “однородные”.
Кроссворд.
Если вписать верные слова, то получится название одного из видов тригонометрических уравнений.
1.Значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство? (Корень)
2.Единица измерения углов? (Радиан)
3.Числовой множитель в произведении? (Коэффициент)
4.Раздел математики, изучающий тригонометрические функции? (Тригонометрия)
5.Какая математическая модель необходима для введения тригонометрических функций? (Окружность)
6.Какая из тригонометрических функций четная? (Косинус)
7.Как называется верное равенство? (Тождество)
8.Равенство с переменной? (Уравнение)
9.Уравнения, имеющие одинаковые корни? (Равносильные)
10.Множество корней уравнения? (Решение)
IV. Объяснение нового материала.
Тема урока “Однородные тригонометрические уравнения”. (Презентация)
Примеры:
- sin x + cos x = 0
- √3cos x + sin x = 0
- sin 4x = cos 4x
- 2sin 2 x + 3 sin x cos x + cos 2 x = 0
- 4 sin 2 x – 5 sin x cos x – 6 cos 2 x = 0
- sin 2 x + 2 sin x cos x – 3cos 2 x + 2 = 0
- 4sin 2 x – 8 sin x cos x + 10 cos 2 x = 3
- 1 + 7cos 2 x = 3 sin 2x
- sin 2x + 2cos 2x = 1
V. Самостоятельная работа
Задачи: всесторонне проверить знания учащихся при решении всех видов тригонометрических уравнений, стимулировать учащихся к самоанализу, самоконтролю.
Учащимся предлагается выполнить письменную работу на 10 минут.
Учащиеся выполняют на чистых листочках под копировку. По истечении времени собираются вершки самостоятельной работы, а решения под копировку остаются у учащихся.
Проверка самостоятельной работы (3 мин) проводится взаимопроверкой.
. Учащиеся цветной ручкой проверяют письменные работы своего соседа и записывают фамилию проверяющего. Затем сдают листочки.
Потом сдают независимому эксперту.
1 вариант: 1) sin x = √3cos x
2) 3sin 2 x – 7sin x cos x + 2 cos 2 x = 0
3) 3sin x – 2sin x cos x = 1
4) sin 2x⁄sin x =0
2 вариант: 1) cosx + √3sin x = 0
2)2sin 2 x + 3sin x cos x – 2 cos 2 x = 0
3)1 + sin 2 x = 2 sin x cos x
4) cos 2x ⁄ cos x = 0
VI. Подведение итогов урока
VII. Задание на дом:
Домашнее задание – 12 баллов (на дом было задано 3 уравнения 4 х 3 = 12)
Активность уч-ся – 1ответ – 1 балл (4 балла максимально)
Решение уравнений 1 балл
Самостоятельная работа – 4 балла
Нелинейные уравнения с двумя неизвестными
Определение 1 . Пусть A - некоторое множество пар чисел (x ; y ) . Говорят, что на множестве A задана числовая функция z от двух переменных x и y , если указано правило, с помощью которого каждой паре чисел из множества A ставится в соответствие некоторое число.
Задание числовой функции z от двух переменных x и y часто обозначают так:
где f (x , y ) – любая функция, отличная от функции
f (x , y ) = ax +by + c ,
где a , b , c – заданные числа.
Определение 3 . Решением уравнения (2) называют пару чисел (x ; y ) , для которых формула (2) является верным равенством.
Пример 1 . Решить уравнение
Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то из формулы (4) вытекает, что неизвестные x и y удовлетворяют системе уравнений
решением которой служит пара чисел (6 ; 3) .
Ответ : (6 ; 3)
Пример 2 . Решить уравнение
Следовательно, решением уравнения (6) является бесконечное множество пар чисел вида
(1 + y ; y ) ,
где y – любое число.
линейное
Определение 4 . Решением системы уравнений
называют пару чисел (x ; y ) , при подстановке которых в каждое из уравнений этой системы получается верное равенство.
Системы из двух уравнений, одно из которых линейное , имеют вид
g (x , y )
Пример 4 . Решить систему уравнений
Решение . Выразим из первого уравнения системы (7) неизвестное y через неизвестное x и подставим полученное выражение во второе уравнение системы:
Решая уравнение
x 1 = - 1 , x 2 = 9 .
Следовательно,
y
1 = 8 - x
1 = 9 ,
y
2 = 8 - x
2 = - 1 .
Системы из двух уравнений, одно из которых однородное
Системы из двух уравнений, одно из которых однородное , имеют вид
где a , b , c – заданные числа, а g (x , y ) – функция двух переменных x и y .
Пример 6 . Решить систему уравнений
Решение . Решим однородное уравнение
3x 2 + 2xy - y 2 = 0 ,
3x 2 + 17xy + 10y 2 = 0 ,
рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного x :
.
В случае, когда x = - 5y , из второго уравнения системы (11) получаем уравнение
5y 2 = - 20 ,
которое корней не имеет.
В случае, когда
из второго уравнения системы (11) получаем уравнение
,
корнями которого служат числа y 1 = 3 , y 2 = - 3 . Находя для каждого из этих значений y соответствующее ему значение x , получаем два решения системы: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .
Ответ : (- 2 ; 3) , (2 ; - 3)
Примеры решения систем уравнений других видов
Пример 8 . Решить систему уравнений (МФТИ)
Решение . Введем новые неизвестные u и v , которые выражаются через x и y по формулам:
Для того, чтобы переписать систему (12) через новые неизвестные, выразим сначала неизвестные x и y через u и v . Из системы (13) следует, что
Решим линейную систему (14), исключив из второго уравнения этой системы переменную x . С этой целью совершим над системой (14) следующие преобразования:
- первое уравнение системы оставим без изменений;
- из второго уравнения вычтем первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную разность.
В результате система (14) преобразуется в равносильную ей систему
из которой находим
Воспользовавшись формулами (13) и (15), перепишем исходную систему (12) в виде
У системы (16) первое уравнение - линейное , поэтому мы можем выразить из него неизвестное u через неизвестное v и подставить это выражение во второе уравнение системы.
С помощью этого видеоурока учащиеся смогут изучить тему однородных тригонометрических уравнений.
Дадим определения:
1) однородное тригонометрическое уравнение первой степени выглядит как a sin x + b cos x = 0;
2) однородное тригонометрическое уравнение второй степени выглядит как a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0.
Рассмотрим уравнение a sin x + b cos x = 0. Если а будет равно нулю, то уравнение будет выглядеть как b cos x = 0; если b равно нулю, то уравнение будет выглядеть как a sin x = 0. Это уравнения, которые мы называли простейшими и решали ранее в предыдущих темах.
Сейчас рассмотрим вариант, когда a и b не равны нулю. С помощью деления частей уравнения на косинус x и осуществим преобразование. Получим a tg x + b = 0, тогда tg x будет равен - b/а.
Из вышеизложенного следует вывод, что уравнение a sin mx + b cos mx = 0 является однородным тригонометрическим уравнением I степени. Чтобы решить уравнение, его части делят на cos mx.
Разберем пример 1. Решить 7 sin (x/2) - 5 cos (x/2) = 0. Сначала части уравнения делим на косинус(x/2). Зная, что синус, деленный на косинус, это тангенс, получим 7 tg (x/2) - 5 = 0. Преобразовывая выражение, найдем, что значение тангенса (x/2)равно 5/7. Решение данного уравнения имеет вид х = arctg a + πn, в нашем случае х = 2 arctg (5/7) + 2πn.
Рассмотрим уравнение a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0:
1) при а равном нулю уравнение будет выглядеть как b sin x cos x + c cos 2 x = 0. Преобразуя, получим выражение cos x (b sin x + c cos x) = 0 и перейдем к решению двух уравнений. После деления частей уравнения на косинус x, получим b tg x + c = 0, а значит tg x = - c/b. Зная, что х = arctg a + πn, то решением в данном случае будет х = arctg (- с/b) + πn.
2) если а не равно нулю, то, путем деления частей уравнения на косинус в квадрате, получим уравнение, содержащее тангенс, которое будет квадратным. Это уравнение можно решить путем ввода новой переменной.
3) при с равном нулю уравнение примет вид a sin 2 x + b sin x cos x = 0. Это уравнение можно решить, если вынести синус x за скобку.
1. посмотреть, есть ли в уравнении a sin 2 x;
2. если в уравнении член a sin 2 x содержится, то решить уравнение можно путем деления обеих частей на косинус в квадрате и последующим введением новой переменной.
3. если в уравнении a sin 2 x не содержится, то решить уравнение можно с помощью выноса за скобки cosx.
Рассмотрим пример 2. Вынесем за скобки косинус и получим два уравнения. Корень первого уравнения x = π/2 + πn. Для решения второго уравнения разделим части этого уравнения на косинус x, путем преобразований получим х = π/3 + πn. Ответ: x = π/2 + πn и х = π/3 + πn.
Решим пример 3, уравнение вида 3 sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + 3 cos 2 2x = 2 и найдем его корни, которые принадлежат отрезку от - π до π. Т.к. это уравнение неоднородное, необходимо привести его к однородному виду. Используя формулу sin 2 x + cos 2 x = 1, получим уравнение sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + cos 2 2x = 0. Разделив все части уравнения на cos 2 x, получим tg 2 2x + 2tg 2x + 1 = 0. Используя ввод новой переменной z = tg 2x, решим уравнение, корнем которого будет z = 1. Тогда tg 2x = 1, откуда следует, что x = π/8 + (πn)/2. Т.к. по условию задачи нужно найти корни, которые принадлежат отрезку от - π до π, решение будет иметь вид - π< x <π. Подставляя найденное значение x в данное выражение и преобразовывая его, получим - 2,25 < n < 1,75. Т.к. n - это целые числа, то решению уравнения удовлетворяют значения n: - 2; - 1; 0; 1. При этих значениях n получим корни решения исходного уравнения: x = (- 7π)/8, x = (- 3π)/8, x =π/8, x = 5π/8.
ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:
Однородные тригонометрические уравнения
Сегодня мы разберем, как решаются «Однородные тригонометрические уравнения». Это уравнения специального вида.
Познакомимся с определением.
Уравнение вида а sin x+ b cos x = 0 (а синус икс плюс бэ косинус икс равно нулю) называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени;
уравнение вида а sin 2 x+ b sin x cos x +с cos 2 x = 0 (а синус квадрат икс плюс бэ синус икс косинус икс плюс сэ косинус квадрат икс равно нулю) называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.
Если а=0 , то уравнение примет вид b cos x = 0.
Еслиb = 0 , то получим а sin x= 0.
Данные уравнения являются элементарными тригонометрическими, и их решение мы рассматривали на прошлых наших темах
Рассмотрим тот случай, когда оба коэффициента не равны нулю. Разделим обе части уравнения а sin x + b cos x = 0 почленно на cos x .
Это мы можем сделать, так как косинус икс отличен от нуля. Ведь, если cos x = 0 , то уравнение а sin x + b cos x = 0 примет вид а sin x = 0 , а ≠ 0, следовательно sin x = 0 . Что невозможно, ведь по основному тригонометрическому тождеству sin 2 x+ cos 2 x =1 .
Разделив обе части уравнения а sin x + b cos x = 0 почленно на cos x , получим: + =0
Осуществим преобразования:
1. Так как = tg x, то = а tg x
2 сокращаем на cos x , тогда
Таким образом получим следующее выражение а tg x + b =0 .
Осуществим преобразование:
1.перенесем b в правую часть выражения с противоположным знаком
а tg x =- b
2. Избавимся от множителя а разделив обе части уравнения на а
tg x= - .
Вывод: Уравнение вида а sin m x+ b cos mx = 0 (а синус эм икс плюс бэ косинус эм икс равно нулю) тоже называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени. Чтобы решить его, делят обе части на cos mx .
ПРИМЕР 1. Решить уравнение 7 sin - 5 cos = 0 (семь синус икс на два минус пять косинус икс на два равно нулю)
Решение. Разделим обе части уравнения почленно на cos, получим
1. = 7 tg (так как соотношение синуса к косинусу - это тангенс, то семь синус икс на два деленное на косинус икс на два, равно 7 тангенс икс на два)
2. -5 = -5 (при сокращении cos)
Таки образом получили уравнение
7tg - 5 = 0, Преобразуем выражение, перенесем минус пять в правую часть, изменив знак.
Мы привели уравнение к виду tg t = a, где t=, a =. А так как данное уравнение имеет решение для любого значения а и эти решения имеют вид
х = arctg a + πn, то решение нашего уравнения будет иметь вид:
Arctg + πn, найдем х
х=2 arctg + 2πn.
Ответ: х=2 arctg + 2πn.
Перейдем к однородному тригонометрическому уравнению второй степени
а sin 2 x+b sin x cos x + с cos 2 x= 0.
Рассмотрим несколько случаев.
I. Если а=0 , то уравнение примет вид b sin x cos x +с cos 2 x = 0.
При решении э то уравнения используем метод разложения на множители. Вынесем cos x за скобку и получим: cos x (b sin x +с cos x )= 0 . Откуда cos x = 0 или
b sin x + с cos x= 0. А эти уравнения мы уже умеем решать.
Разделим обе части уравнения почленно на cosх, получим
1 (так как соотношение синуса к косинусу - это тангенс).
Таким образом получаем уравнение: b tg х+с=0
Мы привели уравнение к виду tg t = a, где t= х, a =. А так как данное уравнение имеет решение для любого значения а и эти решения имеют вид
х = arctg a + πn, то решение нашего уравнения будет:
х = arctg + πn, .
II. Если а≠0 , то обе части уравнения почленно разделим на cos 2 x .
(Рассуждая аналогично, как и в случае с однородным тригонометрическим уравнением первой степени, косинус икс не может обратится в ноль).
III. Если с=0 , то уравнение примет вид а sin 2 x + b sin x cos x = 0. Это уравнение решается методом разложения на множители (вынесем sin x за скобку).
Значит, при решении уравнения а sin 2 x + b sin x cos x +с cos 2 x = 0 можно действовать по алгоритму:
ПРИМЕР 2. Решить уравнение sinxcosx - cos 2 x= 0 (синус икс, умноженный на косинус икс минус корень из трех, умноженный на косинус квадрат икс равно нулю).
Решение. Разложим на множители (вынесем за скобку cosx). Получим
cos x(sin x - cos x)= 0, т.е. cos x=0 илиsin x - cos x= 0.
Ответ: х =+ πn, х= + πn.
ПРИМЕР 3. Решить уравнение 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 (три синус квадрат двух икс минус удвоенное произведение синуса двух икс на косинус двух икс плюс три косинус квадрат двух икс) и найти его корни, принадлежащие промежутку (- π; π).
Решение. Это уравнение не однородное, поэтому проведем преобразования. Число 2, содержащееся в правой части уравнения, заменим произведением 2·1
Так как по основному тригонометрическому тождеству sin 2 x + cos 2 x =1, то
2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = раскрыв скобки получим: 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.
2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) =2 sin 2 x + 2 cos 2 x
Значит уравнение 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 примет вид:
3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.
3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x - 2 sin 2 x - 2 cos 2 x=0,
sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +cos 2 2x =0.
Получили однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Применим способ почленного деления на cos 2 2x:
tg 2 2x - 2tg 2x + 1 = 0.
Введем новую переменную z= tg2х.
Имеем z 2 - 2 z + 1 = 0. Это квадратное уравнение. Заметив в левой части формулу сокращенного умножения - квадрат разности (), получим (z - 1) 2 = 0, т.е. z = 1. Вернемся к обратной замене:
Мы привели уравнение к виду tg t = a, где t= 2х, a =1 . А так как данное уравнение имеет решение для любого значения а и эти решения имеют вид
х = arctg x a + πn, то решение нашего уравнения будет:
2х= arctg1 + πn,
х= + , (икс равно сумме пи на восемь и пи эн на два).
Нам осталось найти такие значения х, которые содержатся в интервале
(- π; π), т.е. удовлетворяют двойному неравенству - π х π. Так как
х= + , то - π + π. Разделим все части этого неравенства на π и умножим на 8, получим
перенесем единицу в право и в лево, поменяв знак на минус один
разделим на четыре получим,
для удобства в дробях выделим целые части
- Этому неравенству удовлетворяют следующие целочисленные n: -2, -1, 0, 1 Последняя деталь, как решать задания С1 из ЕГЭ по математике - решение однородных тригонометрических уравнений.
Как их решать мы расскажем в этом завершающем уроке. Что же представляют из себя эти уравнения? Давайте запишем их в общем виде. $$a\sin x + b\cos x = 0,$$ где `a` и `b` - некоторые константы. Это уравнение называется однородным тригонометрическим уравнением первой степени. Чтобы решить такое уравнение, нужно поделить его на `\cos x`. Тогда оно примет вид $$\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}} a \tg x + b = 0.$$ Ответ такого уравнения легко записывается через арктангенс. Обратите внимание, что `\cos x ≠0`. Чтобы убедиться в этом, подставим в уравнение вместо косинуса ноль и получим, что синус тоже должен быть равен нулю. Однако одновременно нулю они равны быть не могут, значит, косинус - не ноль. Некоторые задания реального экзамена этого года сводились к однородному тригонометрическому уравнению. Перейдите по ссылке, чтобы . Мы же возьмем чуть упрощенный вариант задачи. $$\sin x + \cos x = 0.$$ Разделим на `\cos x`. $$\tg x + 1 = 0,$$ $$x = -\frac{\pi}{4}+\pi k.$$ Повторюсь, подобное задание было на ЕГЭ:) конечно, нужно еще выполнить отбор корней, но это тоже не должно вызвать особых трудностей. Давайте теперь перейдем к следующему типу уравнений. В общем виде оно выглядит так: $$a\sin^2 x + b\sin x \cos x + c\cos^2 x =0,$$ где `a, b, c` - некоторые константы. Такие уравнения решаются делением на `\cos^2 x` (который вновь не равен нулю). Давайте сразу разберем пример. $$\sin^2 x - 2\sin x \, \cos x - 3\cos^2 x = 0.$$ Разделим на `\cos^2 x`. $${\tg}^2 x - 2\tg x -3 =0.$$ Заменим `t = \tg x`. $$t^2 - 2t -3 = 0,$$ $$t_1 = 3, \ t_2 = -1.$$ Обратная замена $$\tg x = 3, \text{ или } \tg x = -1,$$ $$x = \arctan{3}+\pi k, \text{ или } x= -\frac{\pi}{4}+ \pi k.$$ Ответ получен. $$-\sin^2 x + \frac{2\sqrt{2}}{3}\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2.$$ Все бы ничего, но это уравнение не однородное - нам мешает `-2` в правой части. Что делать? Давайте воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и распишем с его помощью `-2`. $$-\sin^2 x + \frac{2\sqrt{2}}{3}\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2(\sin^2 x + \cos^2 x),$$ $$-\sin^2 x + \frac{2\sqrt{2}}{3}\sin x \cos x - 3\cos^2 x + 2\sin^2 x + 2\cos^2 x = 0,$$ $$\sin^2 x + \frac{2\sqrt{2}}{3}\sin x \cos x - \cos^2 x = 0.$$ Разделим на `\cos^2 x`. $${\tg}^2 x + \frac{2\sqrt{2}}{3} \tg x - 1 = 0,$$ Замена `t= \tg x`. $$t^2 + \frac{2\sqrt{2}}{3} t - 1 = 0,$$ $$t_1 = \frac{\sqrt{3}}{3},\ t_2 = -\sqrt{3}.$$ Выполнив обратную замену, получим: $$\tg x = \frac{\sqrt{3}}{3} \text{ или } \tg x = -\sqrt{3}.$$ $$x =-\frac{\pi}{3} + \pi k,\ x = \frac{\pi}{6}+ \pi k.$$ Это последний пример в этом уроке. Как обычно, напомню: тренировка, это наше все. Каким бы гениальным ни был человек, без тренировки навыки не разовьются. На экзамене это черевато волнением, ошибками, потерей времени (продолжите этот список самостоятельно). Обязательно занимайтесь! Решите уравнения: На этом все. И как обычно напоследок: задаем вопросы в комментариях, ставим лайки, смотрим видео, учимся решать ЕГЭ.
«Величие человека в его способности мыслить».
Цели урока:
1) Обучающие
– познакомить учащихся с однородными уравнениями, рассмотреть методы их решения, способствовать формированию навыков решения ранее изученных видов тригонометрических уравнений. 2) Развивающие
– развивать творческую активность учащихся, их познавательную деятельность, логическое мышление, память, умение работать в проблемной ситуации, добиваться умения правильно, последовательно, рационально излагать свои мысли, расширить кругозор учащихся, повышать уровень их математической культуры. 3) Воспитательные
– воспитывать стремление к самосовершенствованию, трудолюбие, формировать умение грамотно и аккуратно выполнять математические записи, воспитывать активность, содействовать побуждению интереса к математике. Тип урока:
комбинированный. Оборудование:
Ход урока
1. Организационный этап (2 минуты)
Взаимное приветствие; проверка подготовленности учащихся к уроку (рабочее место, внешний вид); организация внимания. Учитель сообщает учащимся тему урока, цели (слайд 2)
и поясняет, что во время урока будет использоваться тот раздаточный материал, который находится на партах. 2. Повторение теоретического материала (15 минут)
Задания на перфокартах
(6 человек).
Время работы по перфокартам – 10 мин (Приложение 2)
Решив задания, учащиеся узнают, где применяются тригонометрические вычисления. Получаются такие ответы: триангуляция (техника, позволяющая измерять расстояния до недалеких звезд в астрономии), акустика, УЗИ, томография, геодезия, криптография. (слайд 5)
Фронтальный опрос.
Игра «Отгадайте зашифрованное слово»
Когда-то Блез Паскаль сказал, что математика – наука настолько серьёзная, что нельзя упускать случая, сделать её немного более занимательной. Поэтому я предлагаю поиграть. Решив примеры, определите последовательность цифр, по которой составлено зашифрованное слово. По латыни это слово означает «синус». (слайд 3)
2) arc tg (-√3) 4) tg (arc cos (1/2)) 5) tg (arc ctg √3) Ответ: «Изгиб»
Игра «Рассеянный математик
» На экран проектируются задания для устной работы: Проверьте правильность решения уравнений.
(правильный ответ появляется на слайде после ответа учащегося). (слайд 4)
Ответы с ошибками
Правильные ответы
х = ±π/6
+2πn х = ±π/3
+2πn х = π/3
+πn х = (-1)
nπ/3
+πn tg x = π/4
х = 1
+πn tg x =1, х = π/4+πn х = ±π/6+π
n
х = ±π/6
+2π
n
х = (-1)n arcsin1/3+ 2πn
х = (-1)n arcsin1/3+ πn
х = ±π/6
+2πn х = ±5π/6
+2πn cos x = π/3
х = ±1/2
+2πn cos x = 1/2, х = ±π/3
+2πn Проверка домашнего задания.
Преподаватель установливает правильность и осознанность выполнения домашнего задания всеми учащимися; выявляет пробелы в знаниях; совершенствует знания, умения и навыки учащихся в области решения простейших тригонометрических уравнений. 1 уравнение.
Учащийся комментирует решение уравнения, строки которого появляются на слайде в порядке следования комментария). (слайд 6)
√3tg2x = 1;
tg2x =1/√3
;
2х= arctg 1/√3 +πn, n
∈Z.
2х= π/6 +πn, n
∈Z.
х= π/12 +
π/2
n,
n
∈Z
.
2 уравнение
.
Решение з
аписывается учащимся на доске. 2 sin 2 x + 3 cosx = 0. 3. Актуализация новых знаний (3 минуты)
Учащиеся по просьбе учителя вспоминают способы решения тригонометрических уравнений. Они выбирают те уравнения, которые уже умеют решать, называют способ решения уравнения и получившийся результат.
Ответы появляются на слайде. (слайд 7)
. Введение новой переменной:
№1. 2sin 2 x – 7sinx + 3 = 0. Пусть sinx = t, тогда: 2t 2 – 7t + 3 = 0. Разложение на множители:
№2.
3sinx cos4x – cos4x = 0; сos4x(3sinx – 1) = 0; cos4x = 0 или 3 sinx – 1 = 0; … №3. 2 sinx – 3 cosx = 0, №4. 3 sin 2 x – 4 sinx cosx + cos 2 x = 0. Преподаватель:
Последние два вида уравнений вы решать еще не умеете. Оба они одного вида. Их нельзя свести к уравнению относительно функций sinx или cosx. Называются однородными тригонометрическими уравнениями.
Но только первое – однородное уравнение первой степени, а второе – однородное уравнение второй степени. Сегодня на уроке предстоит познакомиться с такими уравнениями и научиться их решать. 4. Объяснение нового материала (25 минут)
Преподаватель дает учащимся определения однородных тригонометрических уравнений, знакомит со способами их решения. Определение.
Уравнение вида a sinx + b cosx =0, где a ≠ 0, b ≠ 0 называется однородным тригонометрическим уравнением первой степени.
(слайд 8)
Примером такого уравнения является уравнение №3. Выпишем общий вид уравнения и проанализируем его. а sinx + b cosx = 0. Если cosx = 0, то sinx = 0. – Может ли получиться такая ситуация? – Нет. Получили противоречие основному тригонометрическому тождеству. Значит, cosx ≠ 0. Выполним почленное деление на cosx:
а · tgx + b = 0
tgx = –b / а
– простейшее тригонометрическое уравнение. Вывод:
Однородные тригонометрические уравнения первой степени решаются делением обеих частей уравнения на cosx (sinx). Например:
2 sinx – 3 cosx = 0, Т.к. cosx ≠ 0, то tgx = 3/2;
х = arctg (3/2) +πn, n ∈Z. Определение.
Уравнение вида a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0 , где a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 называется тригонометрическим уравнением второй степени.
(слайд 8)
Примером такого уравнения является уравнение №4. Выпишем общий вид уравнения и проанализируем его. a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0. Если cosx = 0, то sinx = 0. Опять получили противоречие основному тригонометрическому тождеству. Значит, cosx ≠ 0. Выполним почленное деление на cos 2 x: а tg 2 x + b tgx + c = 0 – уравнение, сводящееся к квадратному. Вывод: О
днородные тригонометрические уравнения второй степени решаются делением обеих частей уравнения на cos 2 x (sin 2 x). Например:
3 sin 2 x – 4 sinx cosx + cos 2 x = 0. Т.к. cos 2 x ≠ 0, то 3tg 2 x – 4 tgx + 1 = 0 (Предложить ученику выйти к доске и дорешать уравнение самостоятельно). Замена: tgx = у. 3у 2 – 4 у + 1 = 0 D = 16 – 12 = 4 y 1 = 1 или y 2 = 1/3 tgx = 1 или tgx = 1/3 x = arctg (1/3) + πn, n ∈Z. х = arctg1 + πn, n ∈Z. x = π/4 + πn, n ∈Z. 5. Этап проверки понимания учащимися нового материала (1 мин.)
Выберите лишнее уравнение:
sinx = 2cosx; 2sinx + cosx = 2; √3sinx + cosx = 0; sin 2 x – 2 sinx cosx + 4cos 2 x = 0; 4cosx + 5sinx = 0; √3sinx – cosx = 0. (слайд 9)
6. Закрепление нового материала (24 мин).
Учащиеся вместе с отвечающими у доски решают уравнения на новый материал. Задания написаны на слайде в виде таблицы. При решении уравнения открывается соответствующая часть картинки на слайде. В результате выполнения 4-х уравнений перед учащимися открывается портрет математика, оказавшего значительное влияние на развитие тригонометрии. (ученики узнают портрет Франсуа Виета – великого математика, внесшего большой вклад в тригонометрию, открывшего свойство корней приведенного квадратного уравнения и занимавшегося криптографией). (слайд 10)
1)
√3sinx + cosx = 0, Т.к. cosx ≠ 0, то √3tgx + 1 = 0; tgx = –1/√3; х = arctg (–1/√3) + πn, n ∈Z. х = –π/6 + πn, n ∈Z. 2)
sin 2 x – 10 sinx cosx + 21cos 2 x = 0. Т.к. cos 2 x ≠ 0, то tg 2 x – 10 tgx + 21 = 0 Замена:
tgx = у. у 2 – 10 у + 21 = 0 у 1 = 7 или у 2 = 3 tgx = 7 или tgx = 3 х = arctg7 + πn, n ∈Z х = arctg3 + πn, n ∈Z 3)
sin 2 2x – 6 sin2x cos2x + 5cos 2 2x = 0. Т.к. cos 2 2x ≠ 0, то 3tg 2 2x – 6tg2x +5 = 0 Замена:
tg2x = у. 3у 2 – 6у + 5 = 0 D = 36 – 20 = 16 у 1 = 5 или у 2 = 1 tg2x = 5 или tg2x = 1 2х = arctg5 + πn, n ∈Z х = 1/2 arctg5 + π/2 n, n ∈Z
2х = arctg1 + πn, n ∈Z х = π/8 + π/2 n, n ∈Z 4)
6sin 2 x + 4 sin(π-x) cos(2π-x) = 1. 6sin 2 x + 4 sinx cosx = 1. 6sin 2 x + 4 sinx cosx – sin 2 x – cos 2 x = 0. 5sin 2 x + 4 sinx cosx – cos 2 x = 0. Т.к. cos 2 x ≠0, то 5tg 2 x + 4 tgx –1 = 0 Замена:
tg x = у. 5у 2 + 4у – 1 = 0 D = 16 + 20 = 36 у 1 = 1/5 или у 2 = –1 tg x = 1/5 или tg x = –1 х = arctg1/5 + πn, n ∈Z х = arctg(–1) + πn, n ∈Z х = –π/4 + πn, n ∈Z Дополнительно (на карточке):
Решить уравнение и, выбрав один вариант из четырех предложенных, отгадать имя математика, который вывел формулы приведения: 2sin 2 x – 3 sinx cosx – 5cos 2 x = 0. Варианты ответов:
х = arctg2 + 2πn, n ∈Z х = –π/2 + πn, n ∈Z – П.Чебышев х = arctg 12,5 + 2πn, n ∈Z х = –3π/4 + πn, n ∈Z – Евклид
х = arctg 5 + πn, n ∈Z х = –π/3 + πn, n ∈Z – Софья Ковалевская
х = arctg2,5 + πn, n ∈Z х = –π/4 + πn, n ∈Z – Леонард Эйлер Правильный ответ: Леонард Эйлер.
7. Дифференцированная самостоятельная работа (8 мин.)
Великий математик и философ более 2500 лет назад подсказал способ развития мыслительных способностей. «Мышление начинается с удивления» – сказал он. В правильности этих слов мы сегодня неоднократно убеждались. Выполнив самостоятельную работу по 2-м вариантам, вы сможете показать, как усвоили материал и узнать имя этого математика. Для самостоятельной работы используйте раздаточный материал, который находится у вас на столах. Вы можете сами выбрать одно из трех предложенных уравнений. Но помните, что решив уравнение, соответствующее желтому цвету, вы сможете получить только «3»,решив уравнение, соответствующее зеленому цвету – «4», красному цвету – «5». (Приложение 3)
Какой бы уровень сложности не выбрали учащиеся, после правильного решения уравнения у первого варианта получается слово «АРИСТ», у второго – «ОТЕЛЬ». На слайде получается слово: «АРИСТ-ОТЕЛЬ». (слайд 11)
Листочки с самостоятельной работой сдаются на проверку. (Приложение 4)
8. Запись домашнего задания (1 мин)
Д/з: §7.17. Составить и решить 2 однородных уравнения первой степени и 1 однородное уравнение второй степени (используя для составления теорему Виета). (слайд 12)
9. Подведение итогов урока, выставление оценок (2 минуты)
Учитель еще раз обращает внимание, на те типы уравнений и те теоретические факты, которые вспоминали на уроке, говорит о необходимости выучить их. Учащиеся отвечают на вопросы: Учитель отмечает наиболее успешную работу на уроке отдельных учащихся, выставляет отметки.Однородное тригонометрическое уравнение первой степени
Первый пример. Решение однородного тригонометрического уравнения первой степени
Однородное тригонометрическое уравнение второй степени
Второй пример. Решение однородного тригонометрического уравнения второй степени
Третий пример. Решение однородного тригонометрического уравнения второй степени
Тренировочные задания
Блез Паскаль.
