በቀላል ቃላት ይገድቡ። በማያልቅ ላይ የአንድ ተግባር ወሰን መወሰን

ተግባር y= ረ (x)ህጉ (ደንብ) ተጠርቷል, በዚህ መሠረት, የ X ስብስብ እያንዳንዱ ኤለመንት x ከስብስቡ Y አንድ እና አንድ ኤለመንት y ጋር የተያያዘ ነው.

ንጥረ ነገር x ∈ Xተብሎ ይጠራል የተግባር ክርክርወይም ተለዋዋጭ.
y አባል ∈ ዋይተብሎ ይጠራል የተግባር እሴትወይም ጥገኛ ተለዋዋጭ.

ስብስብ X ይባላል የተግባር ወሰን.
የንጥረ ነገሮች ስብስብ y ∈ ዋይበ X ስብስብ ውስጥ ቅድመ-ምስል ያላቸው, ተጠርተዋል አካባቢ ወይም የተግባር እሴቶች ስብስብ.

ትክክለኛው ተግባር ይባላል ከላይ የተገደበ (ከታች), እንደዚህ ያለ ቁጥር M ካለ የሚከተለው እኩልነት ለሁሉም ይይዛል:
.
የቁጥር ተግባር ተጠርቷል የተወሰነቁጥር M ካለ ለሁሉም እንደዚህ ያለ
.

የላይኛው ፊትወይም ትክክለኛ የላይኛው ወሰን እውነተኛ ተግባርከላይ ያሉትን የእሴቶቹን ወሰን ከሚገድበው ከቁጥሮች ውስጥ ትንሹን ይሰይሙ። ያም ማለት ይህ ቁጥር s ሲሆን ለሁሉም እና ለማንኛውም እንደዚህ ያለ ክርክር አለ, የተግባሩ ዋጋ ከ s ይበልጣል.
የተግባሩ የላይኛው ወሰን እንደሚከተለው ሊገለፅ ይችላል-
.

በቅደም ተከተል የታችኛው ፊትወይም ትክክለኛ የታችኛው ወሰንእውነተኛ ተግባር ከታች ያለውን የእሴቶቹን ወሰን የሚገድበው ከቁጥሮች ውስጥ ትልቁ ተብሎ ይጠራል። ያም ማለት ይህ ቁጥር ነው ለሁሉም እና ለማንኛውም እንደዚህ ያለ ክርክር አለ, የተግባሩ ዋጋ ከ i ያነሰ ነው.
የአንድ ተግባር የታችኛው ወሰን እንደሚከተለው ሊገለፅ ይችላል-
.

የአንድ ተግባር ወሰን መወሰን

የአንድ ተግባር Cauchy ገደብ ፍቺ

በመጨረሻው ነጥብ ላይ ያሉ የተግባር ገደቦች

ተግባሩ በአንዳንድ ሰፈር ውስጥ ይገለጽ የመጨረሻ ነጥብምናልባት ነጥቡ ራሱ ካልሆነ በስተቀር. በነጥቡ ላይ ፣ ለማንም እንደዚህ ካሉ ፣ እንደ ሁሉም x ፣ ለዚህም ፣ አለመመጣጠን።
.
የአንድ ተግባር ወሰን እንደሚከተለው ይገለጻል።
.
ወይም በ.

የሕልውና እና ዓለም አቀፋዊነት አመክንዮአዊ ምልክቶችን በመጠቀም የአንድ ተግባር ወሰን ፍቺ እንደሚከተለው ሊፃፍ ይችላል-
.

ነጠላ ገደቦች.
የግራ ገደብ በነጥብ (በግራ በኩል ገደብ)
.
የቀኝ ገደብ በአንድ ነጥብ (የቀኝ እጅ ገደብ)
.
በግራ እና በቀኝ ያሉት ገደቦች ብዙውን ጊዜ እንደሚከተለው ይገለጻሉ
; .

በማያልቅ ቦታዎች ላይ የአንድ ተግባር የመጨረሻ ገደቦች

ወሰን በሌለው ሩቅ ቦታዎች ላይ በተመሳሳይ መንገድ ይገለጻል።
.
.
.
ብዙ ጊዜ የሚጠቀሱት፡-
; ; .

የአንድ ነጥብ አካባቢ ጽንሰ-ሀሳብ በመጠቀም

የነጥብ የተበሳጨ ሰፈር ጽንሰ-ሀሳብን ካስተዋወቅን የአንድን ተግባር የመጨረሻ ገደብ በመጨረሻ እና በማያልቁ ነጥቦች ላይ አንድ ወጥ ፍቺ መስጠት እንችላለን።
.
እዚህ ለመጨረሻ ነጥብ
; ;
.
ማለቂያ የሌላቸው ማናቸውም የነጥብ ሰፈሮች የተበሳጩ ናቸው፡-
; ; .

ገደብ የለሽ የተግባር ገደቦች

ፍቺ
ተግባሩ በተወሰነ የተወጋ የነጥብ ሰፈር (ውጪ ወይም መጨረሻ የሌለው) ይገለጽ። የተግባር ገደብ ረ (x)እንደ x → x 0 ከማያልቅ ጋር እኩል ነው።፣ ለማንኛውም ፣ በዘፈቀደ ትልቅ ቁጥርኤም > 0 ፣ ቁጥር δ M አለ። > 0 በ M ላይ በመመስረት ፣ የተበሳጨ δ M - የነጥብ አከባቢ ለሆኑት ሁሉ ፣ የሚከተለው አለመመጣጠን ይይዛል።
.
ወሰን የሌለው ገደብ በሚከተለው መልኩ ይገለጻል።
.
ወይም በ.

የሕልውና እና ዓለም አቀፋዊነት አመክንዮአዊ ምልክቶችን በመጠቀም፣ የአንድ ተግባር ገደብ የለሽ ገደብ ፍቺ እንደሚከተለው ሊፃፍ ይችላል።
.

እንዲሁም ከሚከተሉት ጋር እኩል የሆኑ የተወሰኑ ምልክቶችን ገደብ የለሽ ገደቦችን ትርጓሜ ማስተዋወቅም ይቻላል፡-
.
.

የአንድ ተግባር ወሰን ሁለንተናዊ ፍቺ

የነጥብ አከባቢን ጽንሰ-ሀሳብ በመጠቀም ፣ የአንድን ተግባር ውሱን እና ማለቂያ የሌለውን ሁለንተናዊ ፍቺ ሊሰጥ ይችላል ፣ ይህም ለሁለቱም ላልተወሰነ (ባለሁለት ጎን እና አንድ-ጎን) እና ላልተወሰነ ሩቅ ነጥቦች ተፈጻሚ ይሆናል ።
.

በሄይን መሰረት የአንድ ተግባር ገደብ ፍቺ

ተግባሩ በተወሰኑ ስብስቦች ላይ ይገለጽ X:.
ቁጥር a የተግባር ገደብ ተብሎ ይጠራልነጥብ ላይ:
,
ለማንኛውም ቅደም ተከተል ወደ x ከተጣመረ 0 :
,
የማን ንጥረ ነገሮች ስብስብ X:,
.

ይህንን ፍቺ የምንጽፈው የህልውና እና ሁለንተናዊነት አመክንዮአዊ ምልክቶችን በመጠቀም ነው።
.

እንደ ስብስብ X ከወሰድን የነጥቡን x የግራ ሰፈር 0 , ከዚያም የግራውን ገደብ ፍቺ እናገኛለን. ቀኝ እጅ ከሆነ, ከዚያም ትክክለኛውን ገደብ ፍቺ እናገኛለን. በ Infinity ላይ ያለውን የነጥብ አከባቢን እንደ ስብስብ X ከወሰድን ፣በማያልቅ ላይ ያለውን የተግባር ወሰን ፍቺ እናገኛለን።

ቲዎረም
የ Cauchy እና Heine የአንድ ተግባር ገደብ ፍቺዎች እኩል ናቸው።
ማረጋገጫ

የአንድ ተግባር ገደብ ባህሪያት እና ጽንሰ-ሐሳቦች

በተጨማሪም ፣ ከግምት ውስጥ የሚገቡት ተግባራት በነጥቡ ተጓዳኝ ሰፈር ውስጥ ተገልጸዋል ብለን እንገምታለን ፣ ይህም የመጨረሻ ቁጥር ወይም ከምልክቶቹ አንዱ ነው ። እንዲሁም አንድ-ጎን ገደብ ነጥብ ሊሆን ይችላል, ማለትም, ቅጹን ወይም. ሰፈር ለሁለት-ጎን ገደብ እና አንድ-ጎን ለአንድ-ጎን ሁለት ጎን ነው.

መሰረታዊ ንብረቶች

የተግባሩ እሴቶች ከሆነ ረ (x)ለውጡ (ወይም ያልተገለጸ) በቁጥር ነጥብ x 1, x 2, x 3, ... x n, ከዚያ ይህ ለውጥ በዘፈቀደ ነጥብ x ላይ ያለውን የተግባር ገደብ መኖር እና ዋጋ ላይ ተጽእኖ አይኖረውም 0 .

የተወሰነ ገደብ ካለ፣ የነጥብ x እንደዚህ ያለ የተወጋ ሰፈር አለ። 0 , በየትኛው ተግባር ላይ ረ (x)የተወሰነ፡
.

ተግባሩ በ x ነጥብ ላይ ይኑር 0 ከዜሮ ሌላ የማብቂያ ገደብ፡-
.
ከዚያም፣ ለማንኛውም ቁጥር c ከክፍተቱ ውስጥ፣ እንደዚህ ያለ የተወጋ የነጥብ x ሰፈር አለ። 0 ለምን,
ከሆነ;
, ከሆነ.

በአንዳንድ የተበሳጨው የነጥብ ሰፈር ላይ ቋሚ ከሆነ።

ውሱን ገደቦች ካሉ እና እና በአንዳንድ የተበሳሹ የነጥብ ሰፈር x 0
,
ከዚያም .

ከሆነ፣ እና በአንዳንድ የነጥቡ አከባቢ
,
ከዚያም .
በተለይም, በአንዳንድ የነጥብ ሰፈር ላይ ከሆነ
,
ከዚያም ከሆነ, ከዚያም እና;
ከሆነ ፣ ከዚያ እና ።

በአንዳንድ የተበሳጨ የነጥብ ሰፈር x ከሆነ 0 :
,
እና ውሱን (ወይም የአንድ የተወሰነ ምልክት ገደብ የለሽ) እኩል ገደቦች አሉ፡
, ከዚያም
.

የዋናዎቹ ንብረቶች ማረጋገጫዎች በገጹ ላይ ተሰጥተዋል
"የአንድ ተግባር ገደቦች መሰረታዊ ባህሪያት".

የአንድ ተግባር ገደብ አርቲሜቲክ ባህሪያት

ተግባራቶቹ እና በተወሰኑ የተበሳሹ የነጥብ ሰፈር ውስጥ ይገለጽ። እና የተገደቡ ገደቦች ይኑሩ።
እና .
እና C ቋሚ፣ ማለትም የተሰጠ ቁጥር ይሁን። ከዚያም
;
;
;
, ከሆነ.

ከሆነ .

የሂሳብ ባህሪያት ማረጋገጫዎች በገጹ ላይ ተሰጥተዋል
"የአንድ ተግባር ገደቦች አርቲሜቲክ ባህሪያት".

የአንድ ተግባር ወሰን መኖር የሚያሰጋ መስፈርት

ቲዎረም
በተወሰነ የተወጋ ሰፈር ውሱን ወይም በማያልቅ ነጥብ x ላይ ለተገለጸ ተግባር 0 , በዚህ ነጥብ ላይ የተወሰነ ገደብ ነበረው, ለማንኛውም ε አስፈላጊ እና በቂ ነው > 0 የነጥብ x እንደዚህ ያለ የተወጋ ሰፈር ነበር። 0 ለማንኛውም ነጥብ እና ከዚህ ሰፈር የሚከተለው እኩልነት ይይዛል፡
.

ውስብስብ የተግባር ገደብ

ቲዎሬምን ይገድቡ ውስብስብ ተግባር
ተግባሩ ገደብ ይኑረው እና የተበሳጨውን የነጥብ ሰፈር ወደ ነጥቡ በተበሳጨው ሰፈር ላይ ካርታ ይስጠው። ተግባሩ በዚህ ሰፈር ላይ ይገለጽ እና በእሱ ላይ ገደብ ይኑርዎት.
እዚህ - የመጨረሻ ወይም ማለቂያ የሌላቸው ሩቅ ነጥቦች:. ሰፈሮች እና ተጓዳኝ ገደቦቻቸው ሁለት-ጎን ወይም አንድ-ጎን ሊሆኑ ይችላሉ።
ከዚያም ውስብስብ ተግባር ገደብ አለ እና እኩል ነው:
.

ውስብስብ የተግባር ገደብ ቲዎረም ተግባራዊ የሚሆነው ተግባሩ በአንድ ነጥብ ላይ ካልተገለጸ ወይም ከገደብ እሴቱ ሌላ ዋጋ ሲኖረው ነው። ይህንን ጽንሰ-ሀሳብ ለመተግበር የተግባሩ እሴቶች ስብስብ ነጥቡን ያልያዘበት ቦታ ላይ የተበጠለ ሰፈር መኖር አለበት-
.

ተግባሩ ነጥቡ ላይ የሚቀጥል ከሆነ የገደብ ምልክቱ ለተከታታይ ተግባሩ ክርክር ሊተገበር ይችላል፡-
.
የሚከተለው ከዚህ ጉዳይ ጋር የሚዛመድ ቲዎሪ ነው።

የአንድ ተግባር ቀጣይነት ያለው ተግባር ገደብ ላይ ያለው ቲዎሬም።
የተግባሩ ገደብ ይሁን ሰ (ቲ)እንደ t → ቲ 0 , እና ከ x ጋር እኩል ነው 0 :
.
እዚህ ነጥብ t 0 ውሱን ወይም ወሰን የሌለው ሊሆን ይችላል:.
እና ተግባሩ f (x)ቀጣይነት ያለው በ x 0 .
ከዚያም የተቀናጀ ተግባር ገደብ አለ ረ (ግ(t)), እና ከ f ጋር እኩል ነው (x0):
.

የንድፈ ሃሳቦች ማረጋገጫዎች በገጹ ላይ ተሰጥተዋል
"የአንድ ውስብስብ ተግባር ገደብ እና ቀጣይነት".

ማለቂያ የሌለው እና ማለቂያ የሌላቸው ትላልቅ ተግባራት

ማለቂያ የሌላቸው ጥቃቅን ተግባራት

ፍቺ
ለሆነ ተግባር የማይገደብ ተብሎ ይጠራል
.

ድምር, ልዩነት እና ምርትየቁጥር ገደብ የለሽ ጥቃቅን ተግባራቶች ለ ማለቂያ የሌለው ተግባር ነው።

የአንድ ተግባር ምርት የታሰረ ነው።በአንዳንድ የተበሳጨው የነጥብ ሰፈር ላይ፣ ወደ ማለቂያ የሌለው ለ የማይገደብ ተግባር ነው።

ለአንድ ተግባር የተወሰነ ገደብ እንዲኖረው, አስፈላጊ እና በቂ ነው
,
ለ ወሰን የሌለው ተግባር የት አለ ።

"የማይታወቁ ተግባራት ባህሪያት".

ማለቂያ የሌላቸው ትላልቅ ተግባራት

ፍቺ
ተግባሩ ወሰን የሌለው ትልቅ ተብሎ ይጠራል
.

የታሰረ ተግባር ድምር ወይም ልዩነት፣ በአንዳንድ የተበሳሽ የነጥብ ሰፈር እና ወሰን የለሽ ትልቅ ተግባር ላይ ወሰን የለሽ ትልቅ ተግባር ነው።

ተግባሩ ወሰን በሌለው ሁኔታ ትልቅ ከሆነ እና ተግባሩ ከተገደበ በአንዳንድ የተበሳሹ የነጥብ ሰፈር ላይ ፣ ከዚያ
.

ተግባሩ፣ በአንዳንድ የተበሳሹ የነጥብ ሰፈር ላይ፣ እኩልነትን የሚያረካ ከሆነ፡-
,
እና ተግባሩ ለሚከተሉት በጣም ትንሽ ነው-
, እና (በነጥቡ አንዳንድ የተበሳጨው ሰፈር ላይ), ከዚያም
.

የንብረት ማረጋገጫዎች በክፍሉ ውስጥ ተቀምጠዋል
"የማይታወቅ ትልቅ ተግባራት ባህሪያት".

በጣም ትልቅ እና ማለቂያ በሌለው ትናንሽ ተግባራት መካከል ያለው ግንኙነት

እጅግ በጣም ትልቅ እና ማለቂያ በሌለው ትናንሽ ተግባራት መካከል ያለው ግንኙነት ከሁለቱ ቀደምት ንብረቶች ይከተላል.

ተግባራቱ ወሰን የለሽ ትልቅ ከሆነ በ ላይ ተግባራቱ ማለቂያ የሌለው ትንሽ ነው።

ተግባራቱ ወሰን በሌለው ሁኔታ ትንሽ ከሆነ እና , ከዚያም ተግባሩ ወሰን የሌለው ትልቅ ነው ለ.

ወሰን በሌለው እና ወሰን በሌለው ትልቅ ተግባር መካከል ያለው ግንኙነት ሊገለጽ ይችላል። በምሳሌያዊ ሁኔታ:
, .

ማለቂያ የሌለው ተግባር በ ላይ የተወሰነ ምልክት ካለው፣ ያም ማለት በአንዳንድ የተበሳሹ የነጥብ ሰፈር ላይ አዎንታዊ (ወይም አሉታዊ) ከሆነ ይህ እውነታ እንደሚከተለው ሊገለፅ ይችላል።
.
በተመሳሳይ፣ ማለቂያ የሌለው ትልቅ ተግባር በ ላይ የተወሰነ ምልክት ካለው፣ ከዚያም ይጽፋሉ፡-
.

ከዚያም ወሰን በሌለው ትናንሽ እና ማለቂያ በሌለው ትላልቅ ተግባራት መካከል ያለው ተምሳሌታዊ ግንኙነት በሚከተሉት ግንኙነቶች ሊሟላ ይችላል፡
, ,
, .

የኢንፊኒቲ ምልክቶችን የሚመለከቱ ተጨማሪ ቀመሮች በገጹ ላይ ይገኛሉ
"Infinity ላይ ነጥቦች እና ንብረታቸው".

የሞኖቶኒክ ተግባራት ገደቦች

ፍቺ
በአንዳንድ የእውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ X ላይ የተገለጸ ተግባር ይባላል በጥብቅ መጨመርለሚከተሉት ሁሉ እኩልነት ከሌለው
.
በዚህ መሠረት ለ በጥብቅ እየቀነሰተግባር ፣ የሚከተለው አለመመጣጠን ይይዛል-
.
ለ የማይቀንስ:
.
ለ የማይጨምር:
.

ይህ የሚያመለክተው በጥብቅ እየጨመረ ያለው ተግባር እንዲሁ እየቀነሰ አይደለም ። በጥብቅ የሚቀንስ ተግባር እንዲሁ እየጨመረ አይደለም።

ተግባሩ ይባላል ነጠላ የሆነየማይቀንስ ወይም የማይጨምር ከሆነ.

ቲዎረም
በመካከላቸው ባለው ክፍተት ላይ ተግባሩ እንዳይቀንስ ያድርጉ .
ከላይ በቁጥር M: ከተገደበ, የተወሰነ ገደብ አለ. ከላይ ካልተገደበ .
ከሥር በቁጥር m: ከተገደበ, ከዚያም የተወሰነ ገደብ አለ. ከታች ካልተገደበ .

ነጥቦቹ a እና b ማለቂያ የሌላቸው ከሆኑ በገለፃዎቹ ውስጥ የገደብ ምልክቶች ማለት ነው.
ይህ ቲዎሬም የበለጠ በተጠናከረ ሁኔታ ሊቀረጽ ይችላል።

በመካከላቸው ባለው ክፍተት ላይ ተግባሩ እንዳይቀንስ ያድርጉ . ከዚያ በነጥብ a እና b ላይ ባለ አንድ-ጎን ገደቦች አሉ፡
;
.

ላልጨመረ ተግባር ተመሳሳይ ቲዎሪ።

በመካከላቸው ባለው ክፍተት ላይ ተግባሩ እንዳይጨምር ያድርጉ . ከዚያ አንድ-ጎን ገደቦች አሉ-
;
.

የንድፈ ሃሳቡ ማረጋገጫ በገጹ ላይ ተገልጿል
"የሞኖቶኒክ ተግባራት ገደቦች".

ዋቢዎች፡-
ኤል.ዲ. Kudryavtsev. እንግዲህ የሂሳብ ትንተና. ቅጽ 1. ሞስኮ, 2003.
ሲ.ኤም. ኒኮልስኪ. የሂሳብ ትንተና ኮርስ. ቅጽ 1. ሞስኮ, 1983.

ዋናዎቹ የአንደኛ ደረጃ ተግባራት ተስተካክለዋል.

ወደ ተጨማሪ ተግባራት ሲንቀሳቀሱ ውስብስብ ዓይነትዋጋቸው ያልተገለፀ አገላለጾችን በእርግጠኝነት ያጋጥሙናል። እንዲህ ያሉት መግለጫዎች ተጠርተዋል እርግጠኛ ያልሆኑ ነገሮች.

ሁሉንም ነገር እንዘርዝር ዋና ዋና አለመተማመን ዓይነቶች: ዜሮ በዜሮ ተከፍሏል (0 በ 0) ፣ ወሰን የሌለው በ ዜሮ ተከፍሏል ፣ ዜሮ ጊዜ ኢምንት ፣ ኢ-ፍፃሜ ሲቀነስ ፣ አንድ ወደ ወሰን የሌለው ኃይል ፣ ዜሮ ለዜሮ ኃይል ፣ ለዜሮ ኃይል የለውም።

ሁሉም ሌሎች መግለጫዎች እርግጠኛ አይደሉም እና ሙሉ በሙሉ የተወሰነ ወሰን ወይም ማለቂያ የሌለው እሴት ይውሰዱ።

እርግጠኛ ያልሆኑ ነገሮችን ይግለጡይፈቅዳል፡-

• የተግባርን መልክ ማቃለል (በአህጽሮተ ማባዛት ቀመሮችን በመጠቀም የገለጻ ለውጥ ፣ ትሪግኖሜትሪክ ቀመሮች, በተዋሃዱ መግለጫዎች ማባዛት እና በመቀነስ, ወዘተ.);
• አጠቃቀም አስደናቂ ገደቦች;
• የ L'ሆስፒታል ህግ አተገባበር;
• ማለቂያ የሌለውን አገላለጽ በተመጣጣኝ የመተካት አጠቃቀም (ተመጣጣኝ የኢንፊኔሲማሎች ሰንጠረዥን በመጠቀም)።

እርግጠኛ ያልሆኑትን በቡድን እናደርጋለን እርግጠኛ ያልሆነ ሰንጠረዥ. ለእያንዳንዱ ዓይነት እርግጠኛ አለመሆን ፣ የመግለጫውን ዘዴ (ገደቡን የማግኘት ዘዴ) በደብዳቤ ውስጥ እናስቀምጣለን።

ይህ ሰንጠረዥ ከመሰረታዊ የመጀመሪያ ደረጃ ተግባራት ገደብ ሰንጠረዥ ጋር, ማንኛውንም ገደብ ለማግኘት ዋና መሳሪያዎችዎ ይሆናሉ.

እሴቱን ከተተካ በኋላ ሁሉም ነገር ወዲያውኑ ሲገኝ ሁለት ምሳሌዎችን እንስጥ እና እርግጠኛ አለመሆን።

ለምሳሌ.

ገደብ አስላ

ውሳኔ.

እሴቱን እንተካለን፡-

እና ወዲያውኑ መልስ አግኝተናል.

መልስ፡-

ለምሳሌ.

ገደብ አስላ

ውሳኔ.

እሴቱን x=0ን ወደ ገላጭ ሃይል ተግባራችን መሰረት እንተካለን።

ማለትም ፣ ገደቡ እንደ ሊፃፍ ይችላል።

አሁን ኢንዴክስን እንይ። ይህ የኃይል ተግባር ነው. ለኃይል ተግባራት ከአሉታዊ ገላጭ ጋር ወደ ገደቡ ሰንጠረዥ እንሸጋገር. ከዚያ ተነስተናል እና ስለዚህ, መጻፍ እንችላለን .

በዚህ መሰረት ገደባችን እንደሚከተለው ሊፃፍ ይችላል፡-

እንደገና ወደ ገደቦች ጠረጴዛ እንዞራለን ፣ ግን ከአንድ በላይ የሆነ መሠረት ላለው ገላጭ ተግባራት ፣ እኛ ካለንበት-

መልስ፡-

በዝርዝር መፍትሄዎች ምሳሌዎችን እንመልከት መግለጫዎችን በመለወጥ አሻሚዎችን መግለፅ.

በጣም ብዙ ጊዜ, በገደብ ምልክት ስር ያለው አገላለጽ አሻሚዎችን ለማስወገድ በትንሹ መቀየር ያስፈልገዋል.

ለምሳሌ.

ገደብ አስላ

ውሳኔ.

እሴቱን እንተካለን፡-

ወደ ጥርጣሬ መጣ። የመፍትሄ ዘዴን ለመምረጥ የጥርጣሬዎችን ሰንጠረዥ እንመለከታለን. አገላለጹን ለማቃለል እንሞክር።

መልስ፡-

ለምሳሌ.

ገደብ አስላ

ውሳኔ.

እሴቱን እንተካለን፡-

ወደ አለመተማመን (0 በ 0) መጣ። የመፍትሄ ዘዴን ለመምረጥ እና አገላለጹን ለማቃለል የጥርጣሬዎችን ሰንጠረዥ እንመለከታለን. ሁለቱንም አሃዛዊ እና ተከፋይ አገላለጽ ከተከፋፈለው ጋር በማጣመር እናባዛለን።

ለክፍለ-ነገር, ተጓዳኝ አገላለጽ ነው

አሕጽሮተ ማባዛት ቀመር - የካሬዎች ልዩነት እና ከዚያ የተገኘውን አገላለጽ እንድንቀንስ መለያውን አባዝተናል።

ከተከታታይ ለውጦች በኋላ እርግጠኛ አለመሆን ጠፋ።

መልስ፡-

አስተያየትለእንደዚህ ዓይነቶቹ ገደቦች ፣ በ conjugate መግለጫዎች የማባዛት ዘዴ የተለመደ ነው ፣ ስለሆነም ለመጠቀም ነፃነት ይሰማዎ።

ለምሳሌ.

ገደብ አስላ

ውሳኔ.

እሴቱን እንተካለን፡-

ወደ ጥርጣሬ መጣ። የመፍትሄ ዘዴን ለመምረጥ እና አገላለጹን ለማቃለል የጥርጣሬዎችን ሰንጠረዥ እንመለከታለን. ሁለቱም አሃዛዊ እና ተከፋይ በ x=1 ስለሚጠፉ፣ እነዚህ አገላለጾች መቀነስ ከተቻለ (x-1) እና እርግጠኛ አለመሆን ይጠፋል።

አሃዛዊውን ከፋፍለን እናድርገው፡-

መለያውን ከፋፍለን እናድርገው፡-

የእኛ ገደብ የሚከተለውን ቅጽ ይወስዳል፡-

ከለውጡ በኋላ እርግጠኛ አለመሆኑ ተገለጠ።

መልስ፡-

ወሰን በሌለው የኃይል መግለጫዎች ላይ ግምት ውስጥ ያስገቡ። የአርቢ አገላለጽ ገላጮች አወንታዊ ከሆኑ፣ በማያልቅ ላይ ያለው ገደብ ማለቂያ የለውም። ከዚህም በላይ ዋናው እሴት ከፍተኛው ዲግሪ አለው, የተቀረው ሊጣል ይችላል.

ለምሳሌ.

ለምሳሌ.

በገደቡ ምልክት ስር ያለው አገላለጽ ክፍልፋይ ከሆነ እና ሁለቱም ቁጥሮች እና መለያዎች ናቸው። የኃይል መግለጫዎች(m የአሃዛዊው ደረጃ ነው, እና n የዲግሪው ዲግሪ ነው), ከዚያ እስከ መጨረሻ የሌለው ቅጽ እርግጠኛ አለመሆን ሲኖር, በዚህ ሁኔታ ውስጥ. እርግጠኛ አለመሆን ይገለጣልክፍፍል እና አሃዛዊ እና አካፋይ በ

ለምሳሌ.

ገደብ አስላ

ወሰን በሌለው የተግባር ገደብ፡-
|f(x) - a|< ε при |x| >ኤን

የ Cauchy ገደብ ፍቺ
ተግባሩ ረ (x)ለ|x| በተወሰነው የነጥብ ሰፈር ውስጥ ይገለጻል። > ቁጥር a የተግባር ገደብ ተብሎ ይጠራልረ (x)ለ x ወደ ማይታወቅ () ፣ ለማንኛውም ፣ በዘፈቀደ ትንሽ አዎንታዊ ቁጥር ε > 0 , ቁጥር አለ N ε > ኬ፣ በ ε ላይ በመመስረት ፣ ለሁሉም x ፣ | x | > N ε፣ የተግባሩ እሴቶች የነጥቡ ε ሠፈር ናቸው።
|f (x) - አንድ |< ε .
በማያልቅ ላይ ያለው የተግባር ወሰን በሚከተለው ይገለጻል፡
.
ወይም በ.

የሚከተለው ምልክት ብዙ ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላል.
.

ይህንን ፍቺ የምንጽፈው የህልውና እና ሁለንተናዊነት አመክንዮአዊ ምልክቶችን በመጠቀም ነው።
.
እዚህ እሴቶቹ ከተግባሩ ወሰን ጋር እንደሆኑ ይታሰባል.

አንድ-ጎን ገደቦች

በማያልቅ ላይ የተግባሩ የግራ ገደብ፡
|f(x) - a|< ε при x < -N

ብዙውን ጊዜ አንድ ተግባር በአዎንታዊነት ብቻ ሲገለጽ ወይም አሉታዊ እሴቶችተለዋዋጭ x (በይበልጥ በትክክል, በነጥቡ አካባቢ ወይም). እንዲሁም ለ x አወንታዊ እና አሉታዊ እሴቶች ወሰን የለውም የተለያዩ ትርጉሞች. ከዚያም አንድ-ጎን ገደቦች ጥቅም ላይ ይውላሉ.

የግራ ገደብ በማያልቅወይም x ወደ ኢንፊኒቲሽን () ሲቀነስ ያለው ወሰን እንደሚከተለው ይገለጻል።
.
ትክክለኛ ገደብ በማያልቅወይም x ወደ ኢንፊኒቲ () ሲደመር ይገድባል፡
.
ባለ አንድ-ጎን ገደቦች ብዙ ጊዜ እንደዚህ ይፃፋሉ።
; .

ማለቂያ የሌለው የተግባር ገደብ በማያልቅ

ወሰን የለሽ የተግባር ገደብ በማያልቅ፡-
|f(x)| > M ለ |x| > ኤን

በ Cauchy መሠረት ገደብ የለሽ ገደብ ፍቺ
ተግባሩ ረ (x)ለ|x| በተወሰነው የነጥብ ሰፈር ውስጥ ይገለጻል። > K፣ K አዎንታዊ ቁጥር ነው። የተግባር ገደብ ረ (x) x ወደ ኢንፊኒቲዝም () ሲይዝ፣ ከማይታወቅ ጋር እኩል ነው።ለማንኛውም በዘፈቀደ ትልቅ ቁጥር ከሆነ ኤም > 0 ቁጥር N M አለ። > ኬ, በ M ላይ በመመስረት, ለሁሉም x, |x| > N M , የተግባሩ እሴቶች ማለቂያ የሌለው የነጥብ ሰፈር ናቸው.
|f (x) | > ኤም.
እንደ x ወደ ወሰን የሌለው ገደብ የለሽ ገደብ እንደሚከተለው ይገለጻል፡
.
ወይም በ.

የሕልውና እና ዓለም አቀፋዊነት አመክንዮአዊ ምልክቶችን በመጠቀም፣ የአንድ ተግባር ገደብ የለሽ ገደብ ፍቺ እንደሚከተለው ሊፃፍ ይችላል።
.

የአንዳንድ ምልክቶች ገደብ የለሽ ገደቦች ፍቺዎች እኩል እና በተመሳሳይ መልኩ አስተዋውቀዋል፡
.
.

የአንድ-ጎን ገደቦች ፍቺዎች ወሰን በሌለው ጊዜ።
የግራ ገደቦች።
.
.
.
ትክክለኛ ገደቦች።
.
.
.

በሄይን መሰረት የአንድ ተግባር ገደብ ፍቺ

ተግባሩ ረ (x)ኢንፊኒቲ x ላይ ባለው የነጥብ ሰፈር ላይ ይገለጻል። 0 ፣ የት ወይም ፣
ቁጥር a (የተወሰነ ወይም መጨረሻ የሌለው) የተግባር ገደብ ይባላል f (x)በ x ነጥብ 0 :
,
ለማንኛውም ቅደም ተከተል ከሆነ ( x n )፣ ከ x ጋር መቀላቀል 0 : ,
የማን ንጥረ ነገሮች ወደ ሰፈር, ቅደም ተከተል (f(xn))ወደ አንድ:
.

ያልተፈረመበት ቦታን እንደ ሰፈር ከወሰድን: , ከዚያም x ወደ ማለቂያ የሌለው, የተግባርን ገደብ ፍቺ እናገኛለን. Infinity x ላይ ያለውን የነጥብ ግራ ወይም ቀኝ ሰፈር ብንወስድ 0 : ወይም፣ ከዚያም የገደቡን ፍቺ እናገኛለን x እንደቅደም ተከተላቸው ኢንፊኒቲ እና ሲደመር ኢንፊኒቲ ሲቀንስ።

የገደቡ የሄይን እና ካውቺ ፍቺዎች እኩል ናቸው።

ምሳሌዎች

ምሳሌ 1

Cauchy ፍቺን በመጠቀም፣ ያንን አሳይ
.

ማስታወሻውን እናስተዋውቅ፡-
.
የተግባሩን ጎራ ይፈልጉ። የአንድ ክፍልፋይ አሃዛዊ እና አካፋይ ፖሊኖሚሎች ስለሆኑ ተግባራቱ የሚገለጸው መለያው ከሚጠፋባቸው ነጥቦች በስተቀር ለሁሉም x ነው። እነዚህን ነጥቦች እንፈልግ። ኳድራቲክ እኩልታ እንፈታለን። ;
.
የእኩልታ ሥሮች፡
; .
ጀምሮ፣ ከዚያ እና።
ስለዚህ, ተግባሩ ይገለጻል. ይህንን ወደፊት እንጠቀማለን.

በ Cauchy መሰረት የአንድ ተግባር ውሱን ገደብ ፍቺ እንጽፋለን፡-
.
ልዩነቱን እንቀይር፡-
.
አሃዛዊውን እና መለያውን በ እና በማባዛት ይከፋፍሉት -1 :
.

ይሁን።
ከዚያም
;
;
;
.

ስለዚህ, በ ላይ አግኝተናል.
.
.
ስለዚህም ይከተላል
በ, እና.

ሁልጊዜ መጨመር ስለሚቻል, እንወስዳለን. ከዚያ ለማንኛውም,
በ.
ማለት ነው።

ምሳሌ 2

ይሁን።
የCauchy ገደብ ፍቺን በመጠቀም፣ ያንን አሳይ፡-
1) ;
2) .

1) ኢንፊኒቲስን ለመቀነስ ለ x የመንከባከብ መፍትሄ

ጀምሮ፣ ከዚያ ተግባሩ ለሁሉም x ይገለጻል።
የተግባሩን ገደብ ፍቺ ከማይነስ ሲቀነስ እኩል እንፃፍ፡-
.

ይሁን። ከዚያም
;
.

ስለዚህ, በ ላይ አግኝተናል.
.
አዎንታዊ ቁጥሮችን እናስገባለን-
.
የሚከተለው ለማንኛውም አዎንታዊ ቁጥር M, ቁጥር አለ, ስለዚህም ለ.
.

ማለት ነው።

2) መፍትሄ ለ x ወደ ፕላስ ኢንፊኒቲቲ

ዋናውን ተግባር እንለውጥ። የክፋዩን አሃዛዊ እና ተከፋይ ያባዙ እና የካሬዎችን ቀመር ልዩነት ይተግብሩ፡-
.
እና አለነ:

.
የተግባሩን ትክክለኛ ገደብ ፍቺ እንፃፍ ለ፡-
.

ማስታወሻውን እናስተዋውቀው፡.
ልዩነቱን እንቀይር፡-
.
አሃዛዊውን እና መለያውን በ፡- ማባዛት።
.

ይሁን
.
ከዚያም
;
.

ስለዚህ, በ ላይ አግኝተናል.
.
አዎንታዊ ቁጥሮችን እናስገባለን-
.
ስለዚህም ይከተላል
በ እና .

ይህ ለማንኛውም አዎንታዊ ቁጥር ስለሚይዝ, ከዚያ
.

ዋቢዎች፡-
ሲ.ኤም. ኒኮልስኪ. የሂሳብ ትንተና ኮርስ. ቅጽ 1. ሞስኮ, 1983.

በሂሳብ ውስጥ እንደ ተግባር ገደብ ያለ ነገር አለ። ገደቦችን እንዴት ማግኘት እንደሚቻል ለመረዳት የአንድ ተግባር ወሰን ፍቺን ማስታወስ ያስፈልግዎታል-f (x) በ x = a ነጥብ ላይ L ወሰን አለው ፣ ለእያንዳንዱ የ x እሴቶች ቅደም ተከተል የሚሰበሰብ ከሆነ። እስከ ነጥብ ሀ፣ የ y እሴቶች ቅደም ተከተል ቀርቧል፡-

• L lim f(x) = L

የገደቦች ጽንሰ-ሀሳብ እና ባህሪያት

ወሰን ምን እንደሆነ ከአንድ ምሳሌ መረዳት ይቻላል። ተግባር y=1/x አለን እንበል። ያለማቋረጥ የ x እሴትን ከጨመርን እና y ምን እኩል እንደሆነ ከተመለከትን፣ ከጊዜ ወደ ጊዜ እየቀነሱ የሚሄዱ እሴቶችን እናገኛለን፡ በ x=10000 y=1/10000; በ x=1000000 y=1/1000000። እነዚያ። ብዙ x ፣ ያነሰ y። x = ∞ ከሆነ y በጣም ትንሽ ከመሆኑ የተነሳ ከ 0 ጋር እኩል ሊቆጠር ይችላል።ስለዚህ የተግባሩ ወሰን y \u003d 1 / x እንደ x ዝንባሌ ∞ 0 ነው። እንዲህ ተብሎ ተጽፏል።

• lim1/х=0

የአንድ ተግባር ወሰን ማስታወስ ያለብዎት በርካታ ባህሪዎች አሉት-ይህ ገደቦችን ለማግኘት የችግሮችን መፍትሄ በእጅጉ ያመቻቻል-

• ድምር ገደቡ ከገደቦቹ ድምር ጋር እኩል ነው፡ lim(x+y)=lim x+lim y
• የምርቱ ወሰን ከገደቦቹ ምርት ጋር እኩል ነው፡lim(xy)=lim x*lim y
• የክዋኔው ወሰን ከገደቦቹ ብዛት ጋር እኩል ነው፡ lim(x/y)=lim x/lim y
• ቋሚ ፋክተሩ ከገደብ ምልክት ላይ ተወስዷል፡ lim(Cx)=C lim x

ተግባር y=1/x፣ በዚህ ውስጥ x →∞፣ ገደቡ ዜሮ ነው፣ x→0 ሲሆን ገደቡ ∞ ነው።

• ሊም (ኃጢአት x)/x=1 x→0