ለ ellipse እኩልታ ይጻፉ። የሁለተኛው ቅደም ተከተል መስመሮች. ኤሊፕስ እና ቀኖናዊው እኩልታ። ክብ

11.1. መሰረታዊ ጽንሰ-ሐሳቦች

የአሁኑን መጋጠሚያዎች በተመለከተ በሁለተኛው ዲግሪ እኩልታዎች የተገለጹትን መስመሮች አስቡባቸው

የእኩልታው ቅንጅቶች እውነተኛ ቁጥሮች ናቸው፣ ግን ቢያንስ ከቁጥር A፣ B ወይም C ውስጥ አንዱ ዜሮ አይደለም። እንደነዚህ ያሉት መስመሮች የሁለተኛው ቅደም ተከተል መስመሮች (ጥምዝ) ይባላሉ. በአውሮፕላኑ ውስጥ ክብ፣ ሞላላ፣ ሃይፐርቦላ ወይም ፓራቦላ ከሚለው ቀመር (11.1) በታች ይመሰረታል። ወደዚህ ማረጋገጫ ከመቀጠልዎ በፊት, የተዘረዘሩ ኩርባዎችን ባህሪያት እናጠና.

11.2. ክብ

የሁለተኛው ቅደም ተከተል በጣም ቀላሉ ኩርባ ክብ ነው. በአንድ ነጥብ ላይ ያተኮረ የራዲየስ R ክበብ ሁኔታውን የሚያረካ የሁሉም ነጥቦች Μ ስብስብ መሆኑን አስታውስ። አራት ማዕዘን ቅርጽ ባለው የመጋጠሚያ ስርዓት ውስጥ አንድ ነጥብ መጋጠሚያዎች x 0, y 0 a - የዘፈቀደ የክበብ ነጥብ (ምስል 48 ይመልከቱ).

ከዚያም ከሁኔታው እኩልታ እናገኛለን

(11.2)

እኩልታ (11.2) በተሰጠው ክበብ ላይ ባለው የየትኛውም ነጥብ መጋጠሚያዎች ረክቷል እና በክበብ ላይ የማይተኛ የየትኛውም ነጥብ መጋጠሚያዎች አይረኩም.

ቀመር (11.2) ይባላል የክበቡ ቀኖናዊ እኩልታ

በተለይም፣ በማሰብ እና፣ በመነሻው ላይ ያተኮረ የክበብ እኩልታ እናገኛለን .

ከቀላል ለውጦች በኋላ የክበብ እኩልታ (11.2) ቅጹን ይወስዳል። ይህንን እኩልታ ከሁለተኛ-ትዕዛዝ ጥምዝ አጠቃላይ እኩልታ (11.1) ጋር ሲያወዳድር፣ ለክበብ እኩልነት ሁለት ሁኔታዎች እንደተሟሉ መረዳት ቀላል ነው።

1) በ x 2 እና y 2 ላይ ያሉት ጥምርታዎች እርስ በርስ እኩል ናቸው;

2) የአሁኑ መጋጠሚያዎች የ xy ምርትን የያዘ አባል የለም።

የተገላቢጦሹን ችግር እንመልከት። እሴቶቹን (11.1) በማስቀመጥ እና እናገኛለን

ይህን እኩልታ እንለውጠው፡-

(11.4)

በመቀጠልም እኩልታ (11.3) በሁኔታው ስር ያለውን ክበብ ይገልጻል . ማዕከሉ ነጥቡ ላይ ነው። , እና ራዲየስ

.

ከሆነ , ከዚያም ቀመር (11.3) ቅጹ አለው

.

በአንድ ነጥብ መጋጠሚያዎች ረክቷል . በዚህ ጉዳይ ላይ "ክበቡ ወደ አንድ ነጥብ ተበላሽቷል" (ዜሮ ራዲየስ አለው) ይላሉ.

ከሆነ , ከዚያም እኩልዮሽ (11.4), እና ስለዚህ ተመጣጣኝ እኩልታ (11.3), ምንም መስመር አይወስንም, ምክንያቱም እኩልታ በቀኝ በኩል (11.4) አሉታዊ ነው, እና በግራ በኩል አሉታዊ አይደለም (ይበል: "ምናባዊ ክበብ").

11.3. ሞላላ

የኤሊፕስ ቀኖናዊ እኩልታ

ሞላላ የአውሮፕላኑ የሁሉም ነጥቦች ስብስብ ነው፣ ከእያንዳንዳቸው እስከ የዚህ አውሮፕላን ሁለት ነጥብ ያለው ርቀት ድምር፣ ይባላል። ብልሃቶች , በ foci መካከል ካለው ርቀት የበለጠ ቋሚ እሴት ነው.

ፍላጎቱን በ F1እና F2በ 2 ውስጥ በመካከላቸው ያለው ርቀት ሐእና ከኤሊፕስ የዘፈቀደ ነጥብ እስከ ፎሲ ድረስ ያለው ርቀቶች ድምር - እስከ 2 ሀ(ምስል 49 ይመልከቱ)። በትርጉም 2 ሀ > 2ሐ፣ ማለትም እ.ኤ.አ. ሀ > ሐ.

የኤሊፕስ እኩልታ ለማግኘት ፣ ፎሲው እንዲሠራ የማስተባበሪያ ስርዓትን እንመርጣለን F1እና F2ዘንግ ላይ ተኛ ፣ እና መነሻው ከክፍሉ መካከለኛ ነጥብ ጋር ይዛመዳል ኤፍ 1 ኤፍ 2. ከዚያም foci የሚከተሉት መጋጠሚያዎች ይኖሩታል: እና.

የኤሊፕስ የዘፈቀደ ነጥብ ይሁን። ከዚያም, እንደ ኤሊፕስ ፍቺ, ማለትም.

ይህ በእውነቱ የኤሊፕስ እኩልነት ነው።

ቀመር (11.5) ወደ ቀላል ቅፅ በሚከተለው መልኩ እንለውጣለን

ምክንያቱም ሀ>ከከዚያም . እናስቀምጠው

(11.6)

ከዚያም የመጨረሻው እኩልታ ቅጹን ይወስዳል ወይም

(11.7)

እኩልነት (11.7) ከመጀመሪያው እኩልነት ጋር እኩል መሆኑን ማረጋገጥ ይቻላል. ይባላል የ ellipse ቀኖናዊ እኩልታ .

ኤሊፕስ የሁለተኛው ቅደም ተከተል ኩርባ ነው።

በእሱ እኩልነት መሰረት የኤልፕስ ቅርጽን ማጥናት

ቀኖናዊውን እኩልታ በመጠቀም የኤሊፕሱን ቅርጽ እንፍጠር።

1. እኩልታ (11.7) x እና y በስልጣን ውስጥ ብቻ ይይዛል፣ስለዚህ ነጥቡ የኤሌክትሮማግኔቲክ ከሆነ፣ ነጥቦቹም የእሱ ናቸው። በመቀጠልም ኤሊፕስ ከመጥረቢያዎች እና እንዲሁም ከነጥቡ አንጻር ሲታይ, የኤሌክትሮኒካዊ መሃከል ተብሎ የሚጠራው.

2. የኤሊፕስ መገናኛ ነጥቦችን ከመጋጠሚያ መጥረቢያዎች ጋር ይፈልጉ። በማስቀመጥ ላይ, ሁለት ነጥቦችን እናገኛለን እና, ዘንግው ኤሊፕስን የሚያቋርጥበት (ምሥል 50 ይመልከቱ). በቀመር (11.7) ላይ በማስቀመጥ የኤሊፕስ መገናኛ ነጥቦችን ከዘንጉ ጋር እናገኛለን: እና . ነጥቦች ሀ 1 , A2 , B1, B2ተብሎ ይጠራል የኤሊፕስ ጫፎች. ክፍሎች ሀ 1 A2እና B1 B2እንዲሁም ርዝመታቸው 2 ሀእና 2 ለተብለው ይጠራሉ ዋና እና ጥቃቅን መጥረቢያዎችሞላላ. ቁጥሮች ሀእና ለትላልቅ እና ትናንሽ ተብለው ይጠራሉ. አክሰል ዘንጎችሞላላ.

3. ከእኩል (11.7) በግራ በኩል ያለው እያንዳንዱ ቃል ከአንድ አይበልጥም, ማለትም. አለመመጣጠኖች አሉ እና ወይም እና . ስለዚህ, ሁሉም የኤሊፕስ ነጥቦች ቀጥታ መስመሮች በተፈጠረው አራት ማዕዘን ውስጥ ይገኛሉ.

4. በቀመር (11.7), አሉታዊ ያልሆኑ ቃላት ድምር እና ከአንድ ጋር እኩል ነው. በውጤቱም, አንድ ቃል ሲጨምር, ሌላኛው ይቀንሳል, ማለትም, ከጨመረ, ከዚያም ይቀንሳል እና በተቃራኒው.

ከተነገረው በመነሳት, ኤሊፕስ በምስል ላይ የሚታየው ቅርጽ አለው. 50 (ኦቫል የተዘጋ ኩርባ).

ስለ ሞላላ ተጨማሪ

የኤሊፕስ ቅርጽ በተመጣጣኝ መጠን ይወሰናል. ሞላላው ወደ ክብ ሲቀየር, የ ellipse equation (11.7) ቅጹን ይወስዳል. እንደ ሞላላ ቅርጽ ባህርይ, ሬሾው ብዙ ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላል. በፎሲው እና በኤሊፕስ ከፊል-ዋናው ዘንግ መካከል ያለው የግማሽ ርቀት ሬሾ የኤሊፕስ ግርዶሽ ይባላል እና o6o በ ε ("epsilon") ፊደል ይገለጻል፡

ከ 0 ጋር<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

ይህ የሚያሳየው ሞላላ ያለውን ትንሽ eccentricity, ያነሰ oblate ሞላላ ይሆናል; ε = 0 ን ካስቀመጥን, ከዚያም ኤሊፕስ ወደ ክበብ ይቀየራል.

M (x; y) በ foci F 1 እና F 2 (ምስል 51 ይመልከቱ) ያለው የዘፈቀደ የኤሊፕስ ነጥብ ይሁን። የክፍሎቹ ርዝመት F 1 M=r 1 እና F 2 M = r 2 የነጥብ ኤም ፎካል ራዲየስ ይባላሉ። ግልጽ ነው፣

ቀመሮች አሉ።

ቀጥ ያሉ መስመሮች ተጠርተዋል

ቲዎረም 11.1.ከኤሊፕስ የዘፈቀደ ነጥብ እስከ የተወሰነ ትኩረት ያለው ርቀት ከሆነ ፣ d ከተመሳሳዩ ነጥብ እስከ ዳይሬክተሩ ድረስ ያለው ርቀት ከዚህ ትኩረት ጋር ይዛመዳል ፣ ከዚያ ሬሾው ከሞላላው ግርዶሽ ጋር እኩል የሆነ ቋሚ እሴት ነው።

ከእኩልነት (11.6) ይከተላል. ከሆነ፣ እኩልታ (11.7) ኤሊፕስን ይገልፃል፣ ዋናው ዘንግ በኦይ ዘንግ ላይ ይተኛል፣ እና ትንሹ ዘንግ በኦክስ ዘንግ ላይ ይተኛል (ምሥል 52 ይመልከቱ)። የእንደዚህ አይነት ኤሊፕስ ፍላጎት በቦታዎች እና በየት .

11.4. ሃይፐርቦላ

የሃይፐርቦላ ቀኖናዊ እኩልታ

ሃይፐርቦል የአውሮፕላኑ የሁሉም ነጥቦች ስብስብ ይባላል ፣ ከእያንዳንዱ የርቀቶች ልዩነት ሞጁል ወደ ሁለት የዚህ አውሮፕላን ነጥቦች ፣ ይባላል። ብልሃቶች , ቋሚ እሴት ነው, በ foci መካከል ካለው ርቀት ያነሰ.

ፍላጎቱን በ F1እና F2በመካከላቸው ያለው ርቀት 2ሰ, እና ከእያንዳንዱ የሃይፐርቦላ ነጥብ እስከ ፎሲው ድረስ ያለው ልዩነት ሞጁል 2ሀ. በትርጉም 2ሀ < 2ሰ፣ ማለትም እ.ኤ.አ. ሀ < ሐ.

የሃይፐርቦላ እኩልታ ለማግኘት፣ ፎሲው እንዲሰራ የማስተባበሪያ ስርዓትን እንመርጣለን። F1እና F2ዘንግ ላይ ተኛ , እና መነሻው ከክፍሉ መካከለኛ ነጥብ ጋር ተስማምቷል ኤፍ 1 ኤፍ 2(ምስል 53 ተመልከት)። ከዚያም foci መጋጠሚያዎች እና ይኖረዋል

የሃይፐርቦላ የዘፈቀደ ነጥብ ይሁን። ከዚያም እንደ ሃይፐርቦላ ፍቺ ወይም፣ ማለትም ከማቅለል በኋላ፣ የ ellipse equationን ሲፈጥሩ እንደተደረገው፣ እናገኛለን። የሃይፐርቦላ ቀኖናዊ እኩልታ

(11.9)

(11.10)

ሃይፐርቦላ የሁለተኛው መስመር መስመር ነው።

በእሱ እኩልነት መሰረት የሃይፐርቦላ ቅርጽን መመርመር

በውስጡ caconic equation በመጠቀም የሃይፐርቦላውን ቅርጽ እንመስርት.

1. ቀመር (11.9) x እና y በስልጣን ውስጥ ብቻ ይይዛል። ስለዚህ, ሃይፐርቦላ ከመጥረቢያዎች እና እንዲሁም ከነጥቡ ጋር የተመጣጠነ ነው, እሱም ይባላል. የሃይፐርቦላ ማእከል.

2. የሃይፐርቦላውን የመገናኛ ነጥቦችን ከመጋጠሚያ መጥረቢያዎች ጋር ያግኙ. በቀመር (11.9) ውስጥ በማስቀመጥ የሃይፐርቦላውን ከዘንጉ ጋር የሚያገናኙ ሁለት ነጥቦችን እናገኛለን እና . (11.9) ውስጥ በማስቀመጥ, እናገኛለን, ይህም ሊሆን አይችልም. ስለዚህ, ሃይፐርቦላ የ y-ዘንግን አያቋርጥም.

ነጥቦቹ እና ተጠርተዋል ጫፎች hyperbolas, እና ክፍል

እውነተኛ ዘንግ ክፍል - እውነተኛ semiaxis ግትርነት።

ነጥቦቹን የሚያገናኘው የመስመር ክፍል ይባላል ምናባዊ ዘንግ ቁጥር ለ - ምናባዊ ዘንግ . አራት ማዕዘን ከጎን ጋር 2ሀእና 2 ለተብሎ ይጠራል የሃይፐርቦላ ዋናው አራት ማዕዘን .

3. ከሂሳብ (11.9) ሚኑኤንድ ከአንድ ያነሰ አይደለም, ማለትም, ያ ወይም. ይህ ማለት የሃይፐርቦላዎቹ ነጥቦች በመስመሩ ላይ በስተቀኝ (በቀኝ የሃይፐርቦላ ቅርንጫፍ) እና በመስመሩ በስተግራ በኩል (የሃይፐርቦላ ግራ ቅርንጫፍ) በስተቀኝ ይገኛሉ.

4. ከሃይፐርቦላ እኩልነት (11.9) ሲጨምር, ከዚያም እየጨመረ ሲሄድ ይታያል. ይህ ልዩነቱ ቋሚ እሴት ከአንድ ጋር እኩል እንዲቆይ ስለሚያደርግ ነው.

ሃይፐርቦላ በስእል 54 ላይ የሚታየው ቅርጽ አለው (ሁለት ያልተገደቡ ቅርንጫፎችን ያካተተ ኩርባ) ከተነገረው ይከተላል.

የሃይፐርቦላ ምልክቶች

መስመር L asymptote ይባላል ያልተገደበ ጥምዝ K ከ M ከ ከርቭ K ወደዚህ መስመር ያለው ርቀት ወደ ዜሮ የሚይዘው ከሆነ ነጥቡ M ከመነሻው ላልተወሰነ ጊዜ በኩርባው ላይ ሲንቀሳቀስ። ምስል 55 የ asymptote ፅንሰ-ሀሳብ ያሳያል፡ መስመሩ ኤል ለጥምዝ ኬ.

ሃይፐርቦላ ሁለት ምልክቶች እንዳሉት እናሳይ፡-

(11.11)

መስመሮቹ (11.11) እና ሃይፐርቦላ (11.9) ከተጋጠሙትም መጥረቢያዎች ጋር ተመሳሳይነት ያላቸው በመሆናቸው በመጀመሪያ ኳድሪንግ ውስጥ የሚገኙትን የጠቆሙትን መስመሮች ብቻ ግምት ውስጥ ማስገባት በቂ ነው.

ቀጥታ መስመር ላይ አንድ ነጥብ N በሃይፐርቦላ ላይ ካለው ነጥብ ጋር ተመሳሳይ abscissa x ያለው ነጥብ ይውሰዱ (ምሥል 56 ይመልከቱ)፣ እና ΜN በቀጥተኛ መስመር ordinates እና በሃይፐርቦላ ቅርንጫፍ መካከል ያለውን ልዩነት ያግኙ።

እንደሚመለከቱት, x ሲጨምር, የክፍልፋዩ መጠን ይጨምራል; አሃዛዊ ቋሚ እሴት ነው. ስለዚህ, የክፍሉ ርዝመት ΜN ወደ ዜሮ ያደላል። ΜN d ከ ነጥብ Μ እስከ መስመሩ ካለው ርቀት ስለሚበልጥ፣ ከዚያም የበለጠ ወደ ዜሮ ይቀየራል። ስለዚህ, መስመሮቹ የሃይፐርቦላ (11.9) ምልክቶች ናቸው.

ሃይፐርቦላ (11.9) በሚገነቡበት ጊዜ በመጀመሪያ የሃይፐርቦላውን ዋና አራት ማዕዘን ቅርጽ (ምስል 57 ይመልከቱ), በዚህ አራት ማዕዘን ተቃራኒ ጫፎች ውስጥ የሚያልፉ መስመሮችን ይሳሉ - የሃይፐርቦላ ምልክቶች እና ጫፎችን እና , hyperbola ምልክት ያድርጉ. .

የተመጣጠነ ሃይፐርቦላ እኩልነት።

የማን asymptotes አስተባባሪ መጥረቢያ ናቸው

ሃይፐርቦላ (11.9) ሴሚክክስ እኩል ከሆነ () እኩል ከሆነ እኩል ይባላል. የእሱ ቀኖናዊ እኩልታ

(11.12)

የእኩልታራል ሃይፐርቦላ ምልክቶች እኩልታዎች ስላሏቸው የመጋጠሚያ ማዕዘኖች ሁለት ሴክተሮች ናቸው።

የዚህን ሃይፐርቦላ እኩልነት በአዲስ መጋጠሚያ ስርዓት (ምስል 58 ይመልከቱ) ከአሮጌው የተገኘውን የማስተባበሪያ መጥረቢያዎችን በማእዘን በማዞር ያስቡ። የመጋጠሚያ መጥረቢያዎችን ለማሽከርከር ቀመሮቹን እንጠቀማለን-

የ x እና y እሴቶችን በቀመር (11.12) እንተካለን።

ኦክስ እና ኦይ አሲምፕቶስ የሆኑበት የእኩልታላዊ ሃይፐርቦላ ቀመር ቅጹ ይኖረዋል።

ስለ hyperbole ተጨማሪ

ግርዶሽ ሃይፐርቦላ (11.9) በ foci መካከል ያለው ርቀት ከትክክለኛው የሃይፐርቦላ ዘንግ ዋጋ ጋር ያለው ሬሾ ነው፡ በ ε የተገለፀው፡

ለሃይፐርቦላ፣ የሃይፐርቦላ ግርዶሽነት ከአንድ ይበልጣል። Eccentricity የሃይፐርቦላ ቅርጽን ያሳያል. በእርግጥም ከእኩልነት (11.10) ይከተላል ማለትም እ.ኤ.አ. እና .

ይህ የሚያሳየው የሃይፐርቦላው ትንሽ ግርዶሽ, አነስተኛው ጥምርታ - ከፊል-ዘንጎች ነው, ይህም ማለት ዋናው ሬክታንግል የተዘረጋ ነው.

የተመጣጠነ ሃይፐርቦላ ግርዶሽ ነው። በእውነት፣

የትኩረት ራዲየስ እና ለ hyperbola የቀኝ ቅርንጫፍ ነጥቦች ቅጹ እና እና ለግራ - እና .

ቀጥተኛ መስመሮች የሃይፐርቦላ ዳይሬክተሮች ይባላሉ. ለሃይፐርቦላ ε > 1፣ ከዚያ . ይህ ማለት የቀኝ ዳይሬክተሩ በሃይፐርቦላ መሃል እና በስተቀኝ መካከል ይገኛል ፣ የግራ ዳይሬክተሩ በመሃል እና በግራው መካከል ነው ።

የሃይፐርቦላ ዳይሬክተሮች ልክ እንደ ሞላላ ዳይሬክተሮች አንድ አይነት ባህሪ አላቸው።

በቀመርው የተገለጸው ኩርባ ደግሞ ሃይፐርቦላ ነው፣ ትክክለኛው ዘንግ 2b በኦይ ዘንግ ላይ የሚገኝ እና ምናባዊው ዘንግ 2 ነው። ሀ- በኦክስ ዘንግ ላይ. በስእል 59 ላይ እንደ ነጠብጣብ መስመር ይታያል.

በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው ሃይፐርቦላዎች እና የተለመዱ ምልክቶች አሏቸው. እንዲህ ዓይነቱ ሃይፐርቦላዎች conjugate ይባላሉ.

11.5. ፓራቦላ

ቀኖናዊ ፓራቦላ እኩልታ

ፓራቦላ በአውሮፕላኑ ውስጥ ያሉት የሁሉም ነጥቦች ስብስብ ነው ፣ እያንዳንዱም ከተወሰነ ነጥብ እኩል ርቀት ፣ ትኩረት ተብሎ የሚጠራ እና የተሰጠው መስመር ፣ ዳይሬክተሩ ይባላል። ከF ትኩረት እስከ ዳይሬክተሩ ያለው ርቀት የፓራቦላ መለኪያ ተብሎ ይጠራል እና በ p (p> 0) ይገለጻል።

የፓራቦላውን እኩልታ ለማግኘት የኦክሲ መጋጠሚያ ስርዓትን እንመርጣለን ስለዚህም የኦክስሲው ዘንግ በትኩረት F በኩል በቀጥታ ወደ ዳይሬክተሩ ከዳይሬክተሩ ወደ ኤፍ አቅጣጫ እንዲያልፍ እና መነሻው ኦ በትኩረት እና በዳይሬክተሩ መካከል መሃል ላይ ይገኛል። (ምስል 60 ይመልከቱ). በተመረጠው ስርዓት ውስጥ, ትኩረቱ F መጋጠሚያዎች አሉት, እና የዳይሬክትሪክ እኩልታ ቅፅ አለው, ወይም .

1. በቀመር (11.13), ተለዋዋጭ y በእኩል ዲግሪ ውስጥ ተካትቷል, ይህም ማለት ፓራቦላ ስለ ኦክስ ዘንግ የተመጣጠነ ነው; የ x-ዘንግ የፓራቦላ የሲሜትሪ ዘንግ ነው.

2. ከ ρ > 0 ጀምሮ፣ ከ (11.13) ይከተላል። ስለዚህ, ፓራቦላ ከ y-ዘንግ በስተቀኝ በኩል ይገኛል.

3. y \u003d 0 ሲኖረን. ስለዚህ, ፓራቦላ በመነሻው ውስጥ ያልፋል.

4. በ x ያልተገደበ ጭማሪ ፣ ሞጁሉ y እንዲሁ ላልተወሰነ ጊዜ ይጨምራል። ፓራቦላ በስእል 61 ላይ የሚታየው ቅርጽ (ቅርጽ) አለው. ነጥቡ O (0; 0) የፓራቦላ ጫፍ ተብሎ ይጠራል, ክፍል FM \u003d r የነጥብ ፎካል ራዲየስ M ይባላል.

እኩልታዎች ,, ( p>0) በተጨማሪም ፓራቦላዎችን ይግለጹ, በስእል 62 ይታያሉ

የስኩዌር ትሪኖሚል ግራፍ፣ B እና C ማንኛውም እውነተኛ ቁጥሮች ሲሆኑ፣ ከላይ ካለው ፍቺ አንጻር ምሳሌያዊ መሆናቸውን ማሳየት ቀላል ነው።

11.6. የሁለተኛ ደረጃ መስመሮች አጠቃላይ እኩልታ

የሁለተኛው ቅደም ተከተል የመጠምዘዣ እኩልታዎች ከመጋጠሚያ መጥረቢያዎች ጋር ትይዩ የሲሜትሪ መጥረቢያ ያላቸው

በመጀመሪያ የአንድን ሞላላ እኩልነት ወደ ላይ ያተኮረ ነጥብ ላይ እናገኝ። ሀእና ለ. በኤሊፕስ መሃል ላይ እናስቀምጠው O 1 የአዲሱን የማስተባበሪያ ስርዓት አመጣጥ ፣ መጥረቢያ እና ከፊል መጥረቢያ ሀእና ለ(ምስል 64 ተመልከት)

እና በመጨረሻም በስእል 65 ላይ የሚታዩት ፓራቦላዎች ተጓዳኝ እኩልታዎች አሏቸው።

እኩልታው

የኤሊፕስ፣ ሃይፐርቦላ፣ ፓራቦላ እና የክበብ እኩልታ ከተቀየረ በኋላ (ክፍት ቅንፎች፣ ሁሉንም የእኩልታ ውሎች ወደ አንድ አቅጣጫ ያንቀሳቅሱ፣ እንደ ቃላቶች ያመጣሉ፣ ለአካፋዮች አዲስ ምልክት ያስተዋውቁ) በአንድ እኩል ስሌት ሊፃፍ ይችላል። ቅጹ

ውህደቶቹ A እና C በተመሳሳይ ጊዜ ከዜሮ ጋር እኩል በማይሆኑበት ጊዜ።

ጥያቄው የሚነሳው-የቅጹ (11.14) እኩልነት ከሁለተኛው ቅደም ተከተል አንዱን (ክበብ, ኤሊፕስ, ሃይፐርቦላ, ፓራቦላ) ይወስናል? መልሱ የሚሰጠው በሚከተለው ቲዎሪ ነው።

ቲዎረም 11.2. ቀመር (11.14) ሁል ጊዜ ይገልፃል፡ ወይ ክብ (ለ A = C)፣ ወይም ellipse (ለA C > 0) ወይም ሃይፐርቦላ (ለኤሲ< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

የሁለተኛው ቅደም ተከተል አጠቃላይ እኩልታ

አሁን የሁለተኛ ዲግሪውን አጠቃላይ እኩልታ ከሁለት የማይታወቁ ጋር አስቡበት፡-

ከመጋጠሚያዎች ምርት (B¹ 0) ጋር ቃል በመኖሩ ከሒሳብ (11.14) ይለያል። የመጋጠሚያውን ዘንጎች በማእዘን ሀ በማዞር ፣ ይህንን እኩልነት ለመለወጥ ፣ ከመጋጠሚያዎች ምርት ጋር ያለው ቃል በውስጡ እንዳይኖር ማድረግ ይቻላል ።

መጥረቢያዎችን ለመዞር ቀመሮችን በመጠቀም

የድሮ መጋጠሚያዎችን ከአዲሶቹ አንፃር እንግለጽ።

አንግልን እንመርጣለን a በ x "y" ላይ ያለው ቅንጅት እንዲጠፋ, ማለትም, እኩልነት እንዲፈጠር.

ስለዚህ, መጥረቢያዎቹ ሁኔታን በሚያረካ አንግል በኩል ሲሽከረከሩ (11.17), እኩልታ (11.15) ወደ እኩልታ ይቀንሳል (11.14).

ውፅዓትየሁለተኛው ቅደም ተከተል አጠቃላይ እኩልታ (11.15) በአውሮፕላኑ ላይ ይገለጻል (ከመበስበስ እና ከመበስበስ ጉዳዮች በስተቀር) የሚከተሉትን ኩርባዎች-ክብ ፣ ellipse ፣ hyperbola ፣ parabola።

ማስታወሻ፡ A = C ከሆነ፣ እኩልታ (11.17) ትርጉሙን ያጣል። በዚህ ሁኔታ cos2α = 0 ((11.16 ይመልከቱ)), ከዚያም 2α = 90 °, ማለትም α = 45 °. ስለዚህ, በ A = C, የማስተባበሪያ ስርዓቱ በ 45 ° መዞር አለበት.

የሁለተኛው ቅደም ተከተል ኩርባዎችበአውሮፕላኑ ላይ ተለዋዋጭ መጋጠሚያዎች ባሉበት እኩልታዎች የተገለጹ መስመሮች ይባላሉ xእና yበሁለተኛ ዲግሪ ውስጥ ተካትቷል. እነዚህም ኤሊፕስ, ሃይፐርቦላ እና ፓራቦላ ያካትታሉ.

የሁለተኛ-ትዕዛዝ ጥምዝ እኩልታ አጠቃላይ ቅፅ እንደሚከተለው ነው።

የት ኤ፣ ቢ፣ ሲ፣ ዲ፣ ኢ፣ ኤፍ- ቁጥሮች እና ቢያንስ አንድ የቁጥር ቅንጅቶች ኤ፣ ቢ፣ ሲከዜሮ ጋር እኩል አይደለም.

በሁለተኛ ደረጃ ኩርባዎች ላይ ችግሮችን በሚፈታበት ጊዜ የኤሊፕስ, ሃይፐርቦላ እና ፓራቦላ ቀኖናዊ እኩልታዎች ብዙውን ጊዜ ግምት ውስጥ ይገባሉ. ከአጠቃላይ እኩልታዎች ወደ እነርሱ ማስተላለፍ ቀላል ነው, ከኤሊፕስ ጋር ያሉ ችግሮች ምሳሌ 1 ለዚህ ይወሰናል.

በቀኖናዊው እኩልታ የተሰጠው ኤሊፕስ

የኤሊፕስ ፍቺ.ኤሊፕስ በአውሮፕላኑ ውስጥ ያሉት የሁሉም ነጥቦች ስብስብ ነው ፣ለዚህም የነጥቦቹ ርቀቶች ድምር ፎሲ ተብሎ የሚጠራው በፎሲው መካከል ካለው ርቀት የበለጠ ቋሚ እና የበለጠ ነው።

ከታች በስዕሉ ላይ እንደሚታየው ትኩረት ተሰጥቷል.

የኤሊፕስ ቀኖናዊ ቀመር፡-

የት ሀእና ለ (ሀ > ለ) - የሴሚክሶች ርዝማኔዎች, ማለትም, የግማሽ ርዝመቶች ርዝመቶች በኤሌክትሮኒካዊ ዘንጎች ላይ በኤሊፕስ የተቆረጡ ናቸው.

በ ellipse መካከል የሚያልፍ ቀጥተኛ መስመር የሲሜትሪ ዘንግ ነው. ሌላው የኤሊፕስ ሲሜትሪ ዘንግ በዚህ ክፍል ቀጥ ያለ ክፍል መሃል የሚያልፍ ቀጥተኛ መስመር ነው። ነጥብ ስለየእነዚህ መስመሮች መጋጠሚያ እንደ ሞላላው የሲሜትሪ ማእከል ወይም በቀላሉ የኤሊፕስ ማእከል ሆኖ ያገለግላል.

የኤሊፕስ አቢሲሳ ዘንግ በነጥቦች ይቋረጣል ( ሀ, ስለ) እና (- ሀ, ስለ)፣ እና y-ዘንጉ በነጥብ ላይ ነው ( ለ, ስለ) እና (- ለ, ስለ). እነዚህ አራት ነጥቦች የኤሊፕስ ጫፎች ይባላሉ. በ abscissa ዘንግ ላይ ባለው ሞላላ ጫፎች መካከል ያለው ክፍል ዋና ዘንግ ተብሎ ይጠራል ፣ እና በተራው ዘንግ ላይ - ትንሹ ዘንግ። ክፍሎቻቸው ከላይ ጀምሮ እስከ ኤሊፕስ መሃል ድረስ ሴሚክስ ይባላሉ.

ከሆነ ሀ = ለ, ከዚያም የ ellipse እኩልታ ቅጹን ይወስዳል. ይህ የራዲየስ ክብ እኩልታ ነው። ሀ, እና ክበብ የአንድ ሞላላ ልዩ ጉዳይ ነው. አንድ ellipse ከ ራዲየስ ክበብ ሊገኝ ይችላል ሀ, ወደ ውስጥ ከጨመቁት ሀ/ለበዘንግ በኩል ጊዜያት ወይ .

ምሳሌ 1በአጠቃላይ እኩልታ የተሰጠውን መስመር ያረጋግጡ , ሞላላ.

መፍትሄ. የአጠቃላይ እኩልታ ለውጦችን እናደርጋለን. የነጻውን ቃል ወደ ቀኝ በኩል ማስተላለፍን፣ የእኩልታውን የቃል-ጊዜ ክፍፍል በተመሳሳይ ቁጥር እና ክፍልፋዮችን በመቀነስ እንተገብራለን።

መልስ። የውጤቱ እኩልነት የ ellipse ቀኖናዊ እኩልነት ነው. ስለዚህ, ይህ መስመር ኤሊፕስ ነው.

ምሳሌ 2ሴሚክክስ 5 እና 4 ከሆኑ የኤሊፕስ ቀኖናዊ እኩልታ ይጻፉ።

መፍትሄ. የ ሞላላ እና ምትክ ቀኖናዊ እኩልታ ቀመር እንመለከታለን: ከፊል-ዋናው ዘንግ ነው. ሀ= 5, ትንሹ ሴሚካክሲስ ነው ለ= 4 . የኤሊፕስ ቀኖናዊ እኩልታ እናገኛለን፡-

ነጥቦች እና በዋናው ዘንግ ላይ በአረንጓዴ ምልክት የተደረገባቸው, የት

ተብሎ ይጠራል ብልሃቶች.

ተብሎ ይጠራል ግርዶሽሞላላ.

አመለካከት ለ/ሀየ ellipse "oblateness" ባሕርይ. ይህ ሬሾ ባነሰ መጠን ኤሊፕሱ በዋናው ዘንግ ላይ ይዘረጋል። ይሁን እንጂ የኤሊፕስ የመለጠጥ መጠን ብዙውን ጊዜ በሥነ-ምህዳር (eccentricity) ውስጥ ይገለጻል, ይህ ቀመር ከዚህ በላይ ተሰጥቷል. ለተለያዩ ኤሊፕሶች፣ ግርዶሹ ከ0 ወደ 1 ይለያያል፣ ሁልጊዜ ከአንድ ያነሰ ይቀራል።

ምሳሌ 3በፎሲው 8 እና በዋናው ዘንግ መካከል ያለው ርቀት 10 ከሆነ የኤሊፕስ ቀኖናዊውን እኩልታ ይፃፉ።

መፍትሄ. ቀላል መደምደሚያዎችን እናደርጋለን-

ዋናው ዘንግ 10 ከሆነ ፣ ከዚያ ግማሹ ፣ ማለትም ሴሚክሲስ ሀ = 5 ,

በ foci መካከል ያለው ርቀት 8 ከሆነ, ከዚያ ቁጥሩ ሐየትኩረት መጋጠሚያዎች 4 ናቸው.

ይተኩ እና ያሰሉ፡

ውጤቱም የኤሊፕስ ቀኖናዊ እኩልታ ነው፡-

ምሳሌ 4የኤሊፕስ ዋና ዘንግ 26 ከሆነ እና ግርዶሹ ከሆነ የቀኖናዊውን እኩልታ ይፃፉ።

መፍትሄ. ከሁለቱም ከዋናው ዘንግ መጠን እና ከኤክሰንትሪቲቲ እኩልዮሽ ፣ የኤሌክትሮላይዝ ዋና ሴሚካክሲስ እንደሚከተለው ሀ= 13. ከኤክሴትሪክ እኩልታ, ቁጥሩን እንገልጻለን ሐየአነስተኛ ሴሚክሳይስን ርዝመት ለማስላት ያስፈልጋል፡-

.

የአነስተኛ ሴሚክሲስ ርዝመት ካሬውን እናሰላለን-

የሞላላውን ቀኖናዊ እኩልታ እንጽፋለን፡-

ምሳሌ 5በቀኖናዊው እኩልዮሽ የተሰጠውን የኤሊፕስ ፍላጎት ይወስኑ።

መፍትሄ. ቁጥር ማግኘት ያስፈልጋል ሐየ ellipse foci የመጀመሪያ መጋጠሚያዎችን የሚገልጽ፡-

.

የ ellipse ትኩረትን እናገኛለን:

ምሳሌ 6የ ellipse foci በዘንጉ ላይ ይገኛሉ ኦክስስለ አመጣጥ አመጣጣኝ. የኤሊፕስ ቀኖናዊውን ቀመር ይጻፉ፡-

1) በ foci መካከል ያለው ርቀት 30 ነው, እና ዋናው ዘንግ 34 ነው

2) ትንሹ ዘንግ 24 ነው ፣ እና አንደኛው ትኩረት ነጥብ ላይ ነው (-5; 0)

3) ግርዶሽ፣ እና ከፍላጎቶቹ አንዱ ነጥቡ ላይ ነው (6፤ 0)

በኤሊፕስ ላይ ችግሮችን በጋራ መፍታት እንቀጥላለን

ከሆነ - የኤሊፕስ የዘፈቀደ ነጥብ (በኤሊፕስ የላይኛው ቀኝ ክፍል ላይ ባለው ሥዕል ላይ በአረንጓዴ ምልክት የተደረገበት) እና - ከፎሲው እስከዚህ ነጥብ ድረስ ያለው ርቀት ፣ ከዚያ የርቀቶች ቀመሮች እንደሚከተለው ናቸው ።

ለኤሊፕስ የሆነ እያንዳንዱ ነጥብ፣ ከፎሲው ርቀቶች ድምር ቋሚ እሴት ከ 2 ጋር እኩል ነው። ሀ.

በእኩልታዎች የተገለጹ ቀጥታ መስመሮች

ተብሎ ይጠራል ዳይሬክተሮች ellipse (በሥዕሉ ላይ - በጠርዙ በኩል ቀይ መስመሮች).

ከላይ ከተጠቀሱት ሁለት እኩልታዎች ውስጥ ለማንኛውም የ ellipse ነጥብ ይከተላል

,

የት እና የዚህ ነጥብ ርቀቶች ወደ ዳይሬክተሮች እና .

ምሳሌ 7ሞላላ ተሰጥቶታል። ለእሱ ዳይሬክተሮች እኩልታ ይፃፉ።

መፍትሄ. ወደ ዳይሬክትሪክ እኩልዮሽ እንመለከተዋለን እና የኤሌክትሮኒካዊውን ኤሊፕስ (ኤክሰንትሪዝም) ማግኘት እንደሚያስፈልግ እናገኛለን, ማለትም. ለዚህ ሁሉም ውሂብ ነው. እኛ እናሰላለን፡-

.

የኤሌክትሮኒካዊውን ቀጥታ መስመር እኩልታ እናገኛለን-

ምሳሌ 8የኤሊፕስ ቀኖናዊውን እኩልታ ይፃፉ የትኩሳቱ ነጥቦች እና ዳይሬክተሮች መስመሮች ከሆኑ።

ፍቺ 7.1.ወደ ሁለት ቋሚ ነጥቦች F 1 እና F 2 ያለው ርቀቶች ድምር የተሰጠው ቋሚ የሆነበት በአውሮፕላኑ ላይ ያሉት የሁሉም ነጥቦች ስብስብ ይባላል። ሞላላ.

የኤሊፕስ ፍቺው በጂኦሜትሪ መንገድ የሚገነባበትን መንገድ ይሰጣል። በአውሮፕላኑ ላይ ሁለት ነጥቦችን F 1 እና F 2 እናስተካክላለን, እና በ 2a አሉታዊ ያልሆነ ቋሚ እሴትን እናሳያለን. በF 1 እና F 2 መካከል ያለው ርቀት ከ2c ጋር እኩል ይሁን። አስቡት ርዝመት 2a የማይበገር ክር በ F 1 እና F 2 ነጥቦች ላይ ተስተካክሏል, ለምሳሌ, በሁለት መርፌዎች እርዳታ. ይህ የሚቻለው ለ ≥ ሐ ብቻ እንደሆነ ግልጽ ነው። ክርውን በእርሳስ መጎተት, መስመር ይሳሉ, እሱም ኤሊፕስ ይሆናል (ምሥል 7.1).

ስለዚህ, የተገለጸው ስብስብ ባዶ አይደለም a ≥ ሐ. መቼ a = c, ሞላላው F 1 እና F 2 ጫፎች ያሉት ክፍል ነው, እና ሲ = 0, i.e. በኤሊፕስ ፍቺ ውስጥ የተገለጹት ቋሚ ነጥቦች ከተገጣጠሙ የራዲየስ ክበብ ነው ሀ. እነዚህን የተበላሹ ጉዳዮችን በመተው፣ እንደ አንድ ደንብ ሀ > ሐ > 0 ብለን እንገምታለን።

ቋሚ ነጥቦች F 1 እና F 2 በ ellipse ፍቺ 7.1 (ምሥል 7.1 ይመልከቱ) ይባላሉ. ሞላላ ዘዴዎች, በመካከላቸው ያለው ርቀት, በ 2c ምልክት, - የትኩረት ርዝመት, እና ክፍሎች F 1 M እና F 2 M, በውስጡ ፍላጎት ጋር ሞላላ ላይ የዘፈቀደ ነጥብ M በማገናኘት, - የትኩረት ራዲየስ.

የሞላላ ቅርጽ ሙሉ በሙሉ የሚወሰነው በፎካል ርዝመት |F 1 F 2 | = 2с እና ፓራሜትር a, እና በአውሮፕላኑ ላይ ያለው ቦታ - በአንድ ጥንድ ነጥቦች F 1 እና F 2.

በ foci F 1 እና F 2 በኩል የሚያልፈውን ቀጥተኛ መስመር እንዲሁም ቀጥታ መስመር F 1 F 2ን ክፍል በግማሽ የሚከፍለው እና ወደ እሱ ቀጥ ያለ መሆኑን ከ ellipse ትርጓሜ ይከተላል (ምስል 7.2፣ ሀ)። እነዚህ መስመሮች ይባላሉ ሞላላ መጥረቢያዎች. የመስቀለኛ መንገዳቸው ነጥብ ኦ የኤሊፕስ የሲሜትሪ ማእከል ነው, እሱም ይባላል የኤሊፕስ መሃከል, እና የኤሊፕስ መገናኛ ነጥቦች ከሲሜትሪ መጥረቢያዎች ጋር (ነጥቦች A, B, C እና D በስእል 7.2, ሀ) - የኤሊፕስ ጫፎች.

ቁጥር a ይባላል አንድ ሞላላ ከፊል-ዋና ዘንግ, እና b = √ (a 2 - c 2) - የእሱ ከፊል-ጥቃቅን ዘንግ. ለ c > 0 ዋናው ሴሚክሲስ a ከኤሊፕስ መሃል ካለው ርቀት ጋር እኩል እንደሆነ ለመረዳት ቀላል ነው። 7.2, a), እና ትንሹ ሴሚክሲስ ለ ከመካከለኛው ኤሊፕስ ወደ ሌሎች ሁለት ጫፎች (ደረጃዎች C እና D በስእል 7.2, ሀ) ካለው ርቀት ጋር እኩል ነው.

የኤሊፕስ እኩልታ።በአውሮፕላኑ ላይ አንዳንድ ሞላላዎችን በ F 1 እና F 2, በዋና ዘንግ 2a ነጥቦች ላይ ይመልከቱ. 2c የትኩረት ርዝመት ይሁን፣ 2c = |F 1 F 2 |

በአውሮፕላኑ ላይ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው የማስተባበሪያ ስርዓት ኦክሲን እንመርጣለን ስለዚህም አመጣጡ ከኤሊፕስ መሃል ጋር እንዲገጣጠም እና ፎሲዎቹ በርተዋል abcissa(ምስል 7.2, ለ). ይህ የማስተባበር ሥርዓት ይባላል ቀኖናዊከግምት ውስጥ ላለው ኤሊፕስ, እና ተጓዳኝ ተለዋዋጮች ናቸው ቀኖናዊ.

በተመረጠው የማስተባበሪያ ስርዓት ውስጥ፣ foci መጋጠሚያዎች F 1 (c; 0)፣ F 2 (-c; 0) አላቸው። ቀመሩን በመጠቀም በነጥቦች መካከል ያለው ርቀት, ሁኔታውን |F 1 M| እንጽፋለን + |F 2 M| = 2a በመጋጠሚያዎች ውስጥ:

√(((x - ሐ) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)

ይህ ስሌት ሁለት ካሬ ራዲካል ስላለ የማይመች ነው። ስለዚህ እንለውጠው። ሁለተኛውን ራዲካል በቀመር (7.2) ወደ ቀኝ በኩል እናስተላልፋለን እና ስኩዌር ያድርጉት፡-

(x - ሐ) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2።

ቅንፎችን ከከፈትን በኋላ እና ልክ እንደ ውሎች ከተቀነስን በኋላ, እናገኛለን

√((x + c) 2 + y 2) = a + εx

የት ε = c/a. ሁለተኛውን ራዲካል ለማስወገድ የስኩዌር ክዋኔውን እንደግማለን: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, ወይም, የገባውን መለኪያ ε, (a 2 - c 2) ዋጋን ግምት ውስጥ በማስገባት. ) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2 . ከ 2 - c 2 = b 2> 0 ጀምሮ, ከዚያ

x 2/a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)

ቀመር (7.4) በሞላላ ላይ በተቀመጡት የሁሉም ነጥቦች መጋጠሚያዎች ይረካል። ነገር ግን ይህን እኩልታ ሲያገኙ፣ የዋናው እኩልታ (7.2) ተመጣጣኝ ያልሆኑ ለውጦች ጥቅም ላይ ውለው ነበር - ሁለት አራት ማዕዘናት ካሬ ራዲካልን ያስወግዳል። እኩልዮሽ ማዞር ሁለቱም ወገኖች ተመሳሳይ ምልክት ያላቸው መጠኖች ከያዙ ተመጣጣኝ ለውጥ ነው፣ ነገር ግን ይህንን በለውጦቻችን ውስጥ አላረጋገጥነውም።

የሚከተሉትን ከግምት ውስጥ ካስገባን የለውጦችን እኩልነት ላናረጋግጥ እንችላለን። ጥንድ ነጥቦች F 1 እና F 2, |F 1 F 2 | = 2c፣ በአውሮፕላኑ ላይ በእነዚህ ነጥቦች ላይ ፎሲ ያለው የኤሊፕስ ቤተሰብን ይገልጻል። እያንዳንዱ የአውሮፕላኑ ነጥብ፣ ከክፍል F 1 F 2 ነጥቦች በስተቀር፣ ከተጠቆመው ቤተሰብ የተወሰነ ሞላላ ነው። በዚህ ሁኔታ, የትኩረት ራዲየስ ድምር አንድ የተወሰነ ሞላላ የሚወስነው ስለሆነ ሁለት ሞላላዎች አይገናኙም. ስለዚህ, የተገለጹት የኤሊፕስ ቤተሰብ ያለ መገናኛዎች ሙሉውን አውሮፕላን ይሸፍናል, ከክፍል F 1 F 2 ነጥቦች በስተቀር. መጋጠሚያዎቻቸው እኩልታን (7.4) የሚያረኩ የነጥቦችን ስብስብ ከተወሰነ የመለኪያ እሴት ጋር አስቡባቸው። ይህ ስብስብ በበርካታ ellipses መካከል ሊሰራጭ ይችላል? የስብስቡ አንዳንድ ነጥቦች ከፊል-ዋና ዘንግ ሀ ያለው ኤሊፕስ ናቸው። በዚህ ስብስብ ውስጥ ከፊል-ዋና ዘንግ ሀ ባለው ሞላላ ላይ የሚተኛ ነጥብ ይኑር። ከዚያም የዚህ ነጥብ መጋጠሚያዎች እኩልታውን ይታዘዛሉ

እነዚያ። እኩልታዎች (7.4) እና (7.5) የጋራ መፍትሄዎች አሏቸው. ይሁን እንጂ ስርዓቱን ማረጋገጥ ቀላል ነው

ለ ã ≠ a መፍትሄዎች የሉትም። ይህንን ለማድረግ ፣ ለምሳሌ ፣ xን ከመጀመሪያው እኩል ማግለል በቂ ነው-

ከተቀየረ በኋላ ወደ እኩልታው ይመራል

ለ ã ≠ a ምንም መፍትሄዎች የላቸውም, ምክንያቱም . ስለዚህ፣ (7.4) የአንድ ሞላላ እኩልታ ከፊል-ማጅር ዘንግ a > 0 እና አነስተኛ ከፊል ዘንግ b = √ (a 2 - c 2) > 0. ይባላል። የ ellipse ቀኖናዊ እኩልታ.

ሞላላ እይታ.ከላይ የተብራራው ሞላላ የመገንባት ጂኦሜትሪክ ዘዴ ስለ ሞላላ መልክ በቂ ግንዛቤ ይሰጣል። ነገር ግን የዔሊፕስ ቅርጽ በቀኖናዊው እኩልታ (7.4) እርዳታ ሊመረመር ይችላል. ለምሳሌ፣ y ≥ 0ን ግምት ውስጥ በማስገባት yን በ x: y = b√(1 - x 2/a 2) መግለጽ ትችላለህ እና ይህን ተግባር ከመረመርክ በኋላ ግራፉን ይገንቡ። ሞላላ ለመገንባት ሌላ መንገድ አለ. በቀኖናዊው የኤሊፕስ መጋጠሚያ ስርዓት አመጣጥ ላይ ያተኮረ ራዲየስ ክብ (7.4) በቀመር x 2 + y 2 = a 2 ተገልጿል. በ Coefficient a/b> 1 አብሮ ከተጨመቀ y-ዘንግ, ከዚያ በቀመር x 2 + (ya / b) 2 \u003d a 2, ማለትም ኤሊፕስ የሚገለጽ ኩርባ ያገኛሉ.

አስተያየት 7.1.ተመሳሳዩ ክበብ በ Coefficient a / b ከተጨመቀ

የኤሊፕስ ኤክሰንትሪዝም. የኤሊፕስ የትኩረት ርዝመት ከዋናው ዘንግ ጋር ያለው ጥምርታ ይባላል ellipse eccentricityእና በ ε የተገለጹ. ለተሰጠው ሞላላ

ቀኖናዊ እኩልታ (7.4), ε = 2c/2a = с/a. በ (7.4) ውስጥ ከሆነ መለኪያዎች a እና b ከእኩልነት ጋር የተያያዙ ናቸው ሀ

ለ c = 0, ሞላላ ወደ ክበብ ሲቀየር, እና ε = 0. በሌሎች ሁኔታዎች, 0.

እኩልታ (7.3) ከሒሳብ (7.4) ጋር እኩል ነው ምክንያቱም እኩልታዎች (7.4) እና (7.2) እኩል ናቸው. ስለዚህ፣ (7.3) በተጨማሪም ሞላላ እኩልታ ነው። በተጨማሪም ዝምድና (7.3) የሚስብ ነው ርዝመቱ ቀላል የሆነ ራዲካል-ነጻ ቀመር ይሰጣል |F 2 M| የኤሊፕስ ነጥብ M(x; y) የትኩረት ራዲየስ አንዱ፡ |F 2 M| = a + εx.

ለሁለተኛው የትኩረት ራዲየስ ተመሳሳይ ቀመር ከሲሜትሪ ታሳቢዎች ወይም ስሌቶችን በመድገም ሊገኝ ይችላል ፣ ከ ስኩዌር እኩልታ (7.2) በፊት ፣ የመጀመሪያው ራዲካል ወደ ቀኝ በኩል ይተላለፋል እንጂ ሁለተኛው አይደለም። ስለዚህ፣ ለማንኛውም ነጥብ M(x; y) በኤሊፕስ ላይ (ምስል 7.2 ይመልከቱ)

|F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx፣ (7.6)

እና እያንዳንዳቸው እነዚህ እኩልታዎች ሞላላ እኩል ናቸው.

ምሳሌ 7.1.የኤሊፕስ ቀኖናዊ እኩልታ ከፊል-ሜጀር ዘንግ 5 እና ግርዶሽ 0.8 አግኝ እና እንገንባው።

የኤሊፕስ ዋና ሴሚክሲስ a = 5 እና ኤክሰንትሪሲቲ ε = 0.8ን በማወቅ አነስተኛውን ሴሚካክሲስ ለ. ከ b \u003d √ (a 2 - c 2) ፣ እና ሐ \u003d εa \u003d 4 ፣ ከዚያ b \u003d √ (5 2 - 4 2) \u003d 3. ስለዚህ ቀኖናዊው እኩልታ x 2/5 2 ቅጽ አለው። + y 2/3 2 \u003d 1. ሞላላ ለመሥራት በቀኖናዊው አስተባባሪ ስርዓት አመጣጥ ላይ ያተኮረ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ቅርጽ ለመሳል አመቺ ሲሆን ጎኖቹ ከኤሊፕስ ሲምሜትሪ መጥረቢያዎች ጋር ትይዩ እና ከእሱ ጋር እኩል ናቸው. ተጓዳኝ መጥረቢያዎች (ምስል 7.4). ይህ አራት ማዕዘን ከ ጋር ይገናኛል።

የኤሊፕስ መጥረቢያዎች በቋሚዎቹ A(-5; 0)፣ B(5; 0)፣ C (0; -3)፣ D(0; 3) እና ሞላላው ራሱ በውስጡ ተጽፏል። በለስ ላይ. 7.4 በተጨማሪም የኤሊፕስ foci F 1.2 (± 4; 0) ያሳያል.

የአንድ ሞላላ ጂኦሜትሪክ ባህሪዎች።የመጀመሪያውን እኩልታ በ (7.6) እንደ |F 1 M| እንፃፍ = (አ/ε - x)ε. ትኩረት F 1 የኤሊፕስ ስላልሆነ የ a / ε - x ለ a > c ዋጋ አዎንታዊ መሆኑን ልብ ይበሉ። ይህ ዋጋ ወደ ቁመታዊ መስመር ያለው ርቀት ነው d: x = a/ε ከ ነጥብ M (x; y) በዚህ መስመር በስተግራ. የ ellipse እኩልታ እንደ ሊጻፍ ይችላል

|F 1 M|/(а/ε - x) = ε

ይህ ማለት ይህ ሞላላ የአውሮፕላኑን እነዚያን ነጥቦች M (x; y) ያቀፈ ነው ፣ ለዚህም የትኩረት ራዲየስ F 1 M ርዝመት እና ወደ ቀጥታ መስመር ያለው ርቀት ጥምርታ ከ ε ጋር እኩል የሆነ ቋሚ እሴት ነው (ምስል. 7.5)።

መስመሩ d "ድርብ" - ቀጥ ያለ መስመር d ፣ ከኤሊፕስ መሃል ጋር የተመጣጠነ ፣ በ x \u003d -a / ε ቀመር የተሰጠው። መ.ን በተመለከተ በተመሳሳይ መልኩ ተገልጿል. ሁለቱም መስመሮች d እና d" ተጠርተዋል ሞላላ ዳይሬክተሮች. የኤሊፕስ ዳይሬክተሮቹ ከኤሊፕስ ሲምሜትሪ ዘንግ ጋር ቀጥ ያሉ ናቸው ፣ እሱም ፍላጎቶቹ በሚገኙበት ፣ እና ከኤሊፕስ መሃል ከርቀት ተለያይተዋል ሀ / ε \u003d a 2 / c (ምስል 7.5 ይመልከቱ) .

ርቀት p ከዳይሬክተሩ ወደ እሱ ቅርብ ወደሆነው ትኩረት ይጠራል የ ellipse የትኩረት መለኪያ. ይህ ግቤት እኩል ነው።

p \u003d a / ε - c \u003d (a 2 - c 2) / c \u003d b 2/c

ሞላላ ሌላ ጠቃሚ የጂኦሜትሪክ ንብረት አለው፡ የትኩረት ራዲየስ F 1 M እና F 2 M ከታንጀንት እስከ ሞላላው ነጥብ በኤም (ምስል 7.6) ጋር እኩል ማዕዘኖች ይሠራሉ።

ይህ ንብረት ግልጽ የሆነ አካላዊ ትርጉም አለው. የብርሃን ምንጭ በትኩረት F 1 ላይ ከተቀመጠ ፣ ከዚህ ትኩረት የሚወጣው ጨረር ፣ ከኤሊፕስ ነጸብራቅ በኋላ ፣ ከሁለተኛው የትኩረት ራዲየስ ጋር አብሮ ይሄዳል ፣ ምክንያቱም ከማንፀባረቅ በኋላ ከማንፀባረቅ በፊት ካለው ከርቭ ጋር ተመሳሳይ ነው ። . ስለዚህ, ትኩረቱን F 1 የሚለቁት ሁሉም ጨረሮች በሁለተኛው ትኩረት F 2 እና በተቃራኒው ላይ ያተኩራሉ. በዚህ ትርጓሜ ላይ በመመስረት, ይህ ንብረት ይባላል የአንድ ሞላላ ኦፕቲካል ንብረት.

ኤሊፕስ በአውሮፕላን ውስጥ ያሉ የነጥቦች ቦታ ነው፣ ​​ከእያንዳንዳቸው እስከ ሁለት የተሰጡ ነጥቦች F_1 ያለው የርቀቶች ድምር ድምር ሲሆን F_2 ደግሞ ቋሚ እሴት (2a) ነው፣ በእነዚህ በተሰጡት ነጥቦች መካከል ካለው ርቀት (2c) ይበልጣል (ምስል. 3፡36፣ ሀ)። ይህ የጂኦሜትሪክ ፍቺ ይገልጻል የኤሊፕስ የትኩረት ንብረት.

የኤሊፕስ የትኩረት ንብረት

ነጥቦች F_1 እና F_2 የኤሊፕስ ፎሲ ይባላሉ፣ በመካከላቸው ያለው ርቀት 2c=F_1F_2 የትኩረት ርዝመት ነው፣ የክፍል F_1F_2 መካከለኛ ነጥብ ኦ የሞላላው መሃል ነው፣ ቁጥሩ 2 ሀ የዋናው ዘንግ ርዝመት ነው። ellipse (በቅደም ተከተል, ቁጥር a የኤሊፕስ ዋና ሴሚክሲስ ነው). የኤፍ_1ኤም እና የኤፍ_2ኤም ክፍሎች የዘፈቀደ ነጥብ Mን ከፍላጎቱ ጋር የሚያገናኙት የነጥብ M ፎካል ራዲየስ ይባላሉ። የኤሊፕስ ሁለት ነጥቦችን የሚያገናኝ የመስመር ክፍል የ ellipse ኮርድ ይባላል።

ጥምርታ e=\frac(c)(a) የኤሊፕስ ግርዶሽ (eccentricity) ይባላል። ከትርጓሜው (2a>2c) 0\leqslant ሠ<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

የኤሊፕስ ጂኦሜትሪክ ፍቺየትኩረት ንብረቱን መግለጽ ከትንታኔ ፍቺው ጋር እኩል ነው - በቀኖናዊው ሞላላ እኩልነት የተሰጠው መስመር፡-

በእርግጥ፣ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው የማስተባበሪያ ሥርዓት እናስተዋውቅ (ምሥል 3.36፣ ሐ)። የኤሊፕስ ማእከል ኦ እንደ ቅንጅት ስርዓት መነሻ ተደርጎ ይወሰዳል; በ foci (የትኩረት ዘንግ ወይም የመጀመሪያው ዘንግ) በኩል የሚያልፍ ቀጥተኛ መስመር እንደ abscissa ዘንግ እንወስዳለን (በእሱ ላይ ያለው አዎንታዊ አቅጣጫ ከ F_1 ነጥብ እስከ F_2); ቀጥ ያለ መስመር ወደ የትኩረት ዘንግ እና በኤሌክትሮኒካዊው መሃከል በኩል በማለፍ በ y-ዘንጉ (የ y-ዘንጉ ላይ ያለው አቅጣጫ ይመረጣል ስለዚህም አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው አስተባባሪ ስርዓት Oxy ትክክል ነው). ).

የትኩረት ንብረቱን የሚገልፀውን የጂኦሜትሪክ ፍቺውን በመጠቀም የኤሊፕስ እኩልታ እንፍጠር። በተመረጠው የማስተባበር ስርዓት ውስጥ, የ foci መጋጠሚያዎችን እንወስናለን F_1(-c,0)፣~F_2(c,0). የዘፈቀደ ነጥብ M(x,y) ወደ ሞላላ ንብረት፣ እኛ አለን፦

\vላይን\፣\የቀጥታ ቀስት(F_1M)\፣\vline\+\vline

ይህንን እኩልነት በቅንጅት ስንጽፍ፣ እናገኛለን፡-

\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.

ሁለተኛውን ራዲካል ወደ ቀኝ በኩል እናስተላልፋለን, የእኩልታውን ሁለቱንም ጎኖች እናስጠዋለን እና ተመሳሳይ ቃላትን እንሰጣለን:

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((xc)^2+y^2)+(xc)^2+y^2~\ግራ ቀስት ~4a\sqrt((xc) )^2+y^2)=4a^2-4cx.

በ 4 ስንካፈል፣ የእኩልታውን ሁለቱንም ጎን እናስጣለን።

a^2(xc)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\ግራ ቀስት~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2)።

በማመልከት ላይ b=\sqrt(a^2-c^2)>0, እናገኛለን b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. ሁለቱንም ክፍሎች በ a^2b^2\ne0 ከፋፍለን፣ ወደ ሞላላው ቀኖናዊ እኩልታ ደርሰናል።

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1።

ስለዚህ, የተመረጠው የቅንጅት ስርዓት ቀኖናዊ ነው.

የ ellipse foci ከተገጣጠመ, ከዚያም ኤሊፕስ ክብ ነው (ምስል 3.36.6) ከ a = b. በዚህ ሁኔታ, በነጥብ ላይ መነሻ ያለው ማንኛውም አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ቅንጅት ስርዓት ኦ\equiv F_1\equiv F_2፣ እና እኩልታው x^2+y^2=a^2 የመሃል ኦ እና ራዲየስ ሀ ያለው ክብ እኩልታ ነው።

ወደ ኋላ በማሰብ ፣ ሁሉም መጋጠሚያዎቻቸው እኩልነትን (3.49) ያረካሉ ፣ እና እነሱ ብቻ ፣ ሞላላ ተብሎ የሚጠራው የነጥብ ቦታ መሆናቸውን ያሳያል ። በሌላ አነጋገር፣ የኤሊፕስ የትንታኔ ፍቺ ከጂኦሜትሪክ ፍቺው ጋር እኩል ነው፣ እሱም ሞላላ የትኩረት ባህሪን ያሳያል።

የኤሊፕስ ማውጫ ንብረት

የኤሊፕስ ዳይሬክቶሬቶች ከቀኖናዊው መጋጠሚያ ስርዓት \frac(a^2)(ሐ) በተመሳሳይ ርቀት ላይ ካለው ordinate ዘንግ ጋር ትይዩ የሚያልፉ ሁለት ቀጥታ መስመሮች ናቸው። ለ c = 0, ellipse ክብ ሲሆን, ምንም ዳይሬክተሮች የሉም (ዳይሬክተሮች ያለገደብ እንደተወገዱ መገመት እንችላለን).

ኤሊፕስ ከግርዶሽ ጋር 0 በአውሮፕላኑ ውስጥ ያሉ የቦታዎች ቦታ ፣ ለእያንዳንዳቸው የርቀቱ ጥምርታ ከተወሰነ ነጥብ F (ትኩረት) እና ከተወሰነው ቀጥተኛ መስመር ጋር ያለው ርቀት d (ዳይሬክተር) በተሰጠው ነጥብ ውስጥ የማያልፈው ቋሚ እና እኩል ነው ግርዶሽ ኢ ( ሞላላ ማውጫ ንብረት). እዚህ F እና d ከኤሊፕስ ፍላጐቶች ውስጥ አንዱ እና አንዱ መመሪያዎቹ ናቸው፣ በ y-ዘንግ በኩል በቀኖናዊው አስተባባሪ ስርዓት ፣ ማለትም። F_1,d_1 ወይም F_2,d_2

በእርግጥ፣ ለምሳሌ፣ ለትኩረት F_2 እና ዳይሬክትሪክ d_2 (ምስል 3.37.6) ሁኔታው \frac (r_2) (\rho_2) = ሠበቅንጅት መልክ ሊጻፍ ይችላል፡-

\sqrt(((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\ግራ(\frac(a^2)(c)-x\ቀኝ)

ኢ-ምክንያታዊነትን ማስወገድ እና መተካት e=\frac(c)(a)፣~a^2-c^2=b^2, ወደ ellipse ቀኖናዊ እኩልታ (3.49) ላይ ደርሰናል. ለትኩረት F_1 እና ዳይሬክተሩ ተመሳሳይ ምክንያት ሊደረግ ይችላል። d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)= ሠ.

በዋልታ መጋጠሚያዎች ውስጥ የኤሊፕስ እኩልታ

በዋልታ አስተባባሪ ስርዓት ውስጥ ያለው ሞላላ እኩልታ F_1r\varphi (Fig.3.37፣c እና 3.37(2)) ቅፅ አለው።

r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)

የት p=\frac(b^2)(a) የኤሊፕስ የትኩረት መለኪያ ነው።

እንደ እውነቱ ከሆነ፣ የግራ ትኩረትን F_1 ሞላላ እንደ የዋልታ መጋጠሚያ ሥርዓት ምሰሶ፣ እና ሬይ F_1F_2ን እንደ የዋልታ ዘንግ እንምረጥ (ምስል 3.37፣ ሐ)። ከዚያም የዘፈቀደ ነጥብ M(r፣\varphi)፣ እንደ ሞላላ ጂኦሜትሪክ ፍቺ (ፎካል ንብረቱ)፣ r+MF_2=2a አለን። በ M(r,\varphi) እና F_2(2c,0) መካከል ያለውን ርቀት እንገልፃለን (ተመልከት):

\ጀማሪ(የተሰለፈ)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2.\end(aligned)

ስለዚህ፣ በተቀናጀ መልኩ፣ የ ellipse እኩልታ F_1M+F_2M=2a ቅጹ አለው።

r+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.

ጽንፈኛውን ለይተናል፣ የእኩልታውን ሁለቱንም አራርበን፣ በ 4 ከፋፍለን እና ተመሳሳይ ቃላትን እንሰጣለን፡

r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\ግራ ቀስት~a\cdot!\ ግራ(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\ቀኝ)\!\cdot r=a^2-c^2.

የዋልታ ራዲየስን እንገልፃለን እና መተኪያውን እንሰራለን። e=\frac(c)(a)፣~b^2=a^2-c^2፣~p=\frac(b^2)(ሀ):

r=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \የግራ ቀስት \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1) -e\cdot\cos\varphi)) \ ኳድ \ የግራ ቀስት \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi) ፣

ጥ.ኢ.ዲ.

በ ellipse እኩልታ ውስጥ ያለው የጂኦሜትሪ ትርጉም

የኤሊፕስ መገናኛ ነጥቦችን (ምስል 3.37 ይመልከቱ) ከተጋጠሙትም መጥረቢያዎች (የዝላይፕስ ጫፎች) ጋር እንፈልግ። y = 0ን ወደ ቀመር በመተካት የኤሊፕስ መገናኛ ነጥቦችን ከ abscissa ዘንግ ጋር (ከፎካል ዘንግ ጋር) እናገኛለን: x=\pm a . ስለዚህ, በኤሊፕስ ውስጥ የተዘጉ የትኩረት ዘንግ ክፍል ርዝመት ከ 2a ጋር እኩል ነው. ይህ ክፍል, ከላይ እንደተገለፀው, የኤሊፕስ ዋና ዘንግ ተብሎ የሚጠራ ሲሆን, ቁጥር a ደግሞ የኤሊፕስ ዋና ከፊል ዘንግ ነው. x=0 ን በመተካት y=\pm b እናገኛለን። ስለዚህ, በኤሊፕስ ውስጥ የተዘጉ የሁለተኛው ዘንግ ክፍል ርዝመት ከ 2 ለ ጋር እኩል ነው. ይህ ክፍል የኤሊፕስ ጥቃቅን ዘንግ ተብሎ ይጠራል, እና ቁጥሩ ለ ሞላላ ትንሽ ሴሚክሲስ ይባላል.

በእውነት፣ b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, እና እኩልነት b=a የሚገኘው ኤሊፕስ ክብ ሲሆን በ c = 0 ውስጥ ብቻ ነው. አመለካከት k=\frac(ለ)(ሀ)\leqslant1የ ellipse መኮማተር ይባላል።

አስተያየቶች 3.9

1. መስመሮቹ x=\pm a,~y=\pm b በመጋጠሚያው አውሮፕላን ላይ ያለውን ዋናውን ሬክታንግል ይገድባሉ, በውስጡም ሞላላው የሚገኝበት (ምስል 3.37, ሀ ይመልከቱ).

2. ሞላላ ተብሎ ሊገለጽ ይችላል። ክብ ወደ ዲያሜትሩ በመገጣጠም የተገኘው የነጥቦች ቦታ።

በእርግጥ፣ ወደ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው አስተባባሪ ስርዓት ኦክሲ ውስጥ ይግባ የክበብ እኩልታ x^2+y^2=a^2። ወደ x-ዘንግ ከ 0 እጥፍ ጋር ሲጨመቅ

\\ጀማሪ(ጉዳይ) x"=x፣\\y"=k\cdot y.\መጨረሻ(ጉዳይ)

በክበቡ እኩልታ ውስጥ x=x" እና y=\frac(1)(k)y"ን በመተካት የምስሉን መጋጠሚያዎች M"(x"y") ነጥብ M(x) እናገኛለን። ,ይ)

(x")^2+(\ግራ(\frac(1)(k)\cdot y"\ right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

ጀምሮ b=k\cdot a . ይህ የ ellipse ቀኖናዊ እኩልታ ነው።

3. የተቀናጁ መጥረቢያዎች (የቀኖናዊው መጋጠሚያ ሥርዓት) የኤሊፕስ ሲሜትሪ (የኤሊፕስ ዋና ዋና መጥረቢያዎች ይባላሉ) እና ማዕከሉ የሲሜትሪ ማእከል ነው።

በእርግጥ፣ ነጥቡ M(x፣y) የኤሌክትሮል ከሆነ። ከዚያም ነጥቦቹ M"(x፣-y) እና M""(-x፣y)፣ ከነጥቡ M ጋር የተመጣጠነ ከአስተባባሪ መጥረቢያዎች ጋር ተመሳሳይ ሞላላ ናቸው።

4. በፖል መጋጠሚያ ስርዓት ውስጥ ካለው ሞላላ እኩልነት r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(ምስል 3.37 ይመልከቱ) ፣ የትኩረት መለኪያው የጂኦሜትሪክ ትርጉም ተብራርቷል - ይህ የኤሌክትሮኒካዊው ሞላላ ኮርድ ግማሽ ርዝመት ወደ የትኩረት ዘንግ (r = p at) ትኩረትን የሚያልፍ ነው። \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. ግርዶሽ e የ ellipse ቅርፅን ማለትም በኤሊፕስ እና በክበብ መካከል ያለውን ልዩነት ያሳያል. ትልቁ ሠ, ሞላላው የበለጠ ይረዝማል, እና e ወደ ዜሮ ሲጠጋ, ሞላላው ወደ ክብ ቅርበት ነው (ምሥል 3.38, ሀ). በእርግጥ፣ ያንን e=\frac(c)(a) እና c^2=a^2-b^2 ስንሰጥ፣ እናገኛለን።

e^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\ግራ(\frac(a)(b)\ቀኝ )^2=1-k^2, !}

k የ ellipse መኮማተር ምክንያት የሆነበት፣ 0

6. እኩልታ \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1ለ

7. እኩልታ \frac(((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1፣~አ\geqslant ለበ O ነጥብ ላይ ያማከለ ሞላላ ይገልፃል "(x_0, y_0)፣ ምሶሶቹ ከመጋጠሚያ መጥረቢያዎች ጋር ትይዩ ናቸው (ምስል 3.38፣ ሐ)። ይህ እኩልታ ትይዩ ትርጉምን በመጠቀም ወደ ቀኖናዊው ተቀንሷል (3.36)።

ለ a=b=R ቀመር (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2ነጥብ O"(x_0,y_0) ላይ ያተኮረ ራዲየስ R ክበብ ይገልጻል።

የኤሊፕስ ፓራሜትሪክ እኩልታ

የኤሊፕስ ፓራሜትሪክ እኩልታበቀኖናዊው መጋጠሚያ ሥርዓት ውስጥ ቅጹ አለው

\\ጀማሪ(ጉዳይ) x=a\cdot\cos(t)፣\\ y=b\cdot\ sin(t)፣\end(cases)0\leqslant t<2\pi.

በእርግጥ፣ እነዚህን አገላለጾች ወደ ቀመር (3.49) በመተካት፣ ወደ ዋናው ትሪግኖሜትሪክ ማንነት ደርሰናል። \cos^2t+\sin^2t=1.

ምሳሌ 3፡20.ሞላላ ይሳሉ \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1በቀኖናዊው ቅንጅት ስርዓት ኦክሲ . ሴሚክሶችን፣ የትኩረት ርዝመት፣ ግርዶሽነት፣ ምጥጥነ ገጽታ፣ የትኩረት መለኪያ፣ ዳይሬክትሪክ እኩልታዎችን ያግኙ።

መፍትሄ.የተሰጠውን እኩልታ ከቀኖናዊው ጋር በማነፃፀር ሴሚክሶችን እንወስናለን-a = 2 - ዋናው ሴሚአክሲስ ፣ b=1 - የኤልፕስ ትንሹ ሴሚክሲስ። ዋናውን ሬክታንግል እንገነባለን 2a = 4, ~ 2b = 2 መነሻው ላይ ያተኮረ (ምስል 3.39). የ ellipse ሲምሜትሪ ከተሰጠን ከዋናው አራት ማእዘን ጋር እናስገባዋለን። አስፈላጊ ከሆነ, የአንዳንድ የኤሊፕስ ነጥቦችን መጋጠሚያዎች እንወስናለን. ለምሳሌ x=1ን ወደ ellipse እኩልታ በመተካት እናገኛለን

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \ ኳድ \የግራ ቀስት \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \የግራ ቀስት \\ ኳድ y=\pm\frac(\sqrt(3))(2)።

ስለዚህ, ከመጋጠሚያዎች ጋር ነጥቦች \ግራ(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\ቀኝ)\!,~\ግራ(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\ቀኝ)- የአንድ ሞላላ አካል ነው።

የጨመቁን ጥምርታ አስሉ k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); የትኩረት ርዝመት 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); ግርዶሽ e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); የትኩረት መለኪያ p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). የዳይሬክትሪክ እኩልታዎችን እንጽፋለን፡- x=\pm\frac(a^2)(c)~\ግራ ቀስት~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).

የሁለተኛው ቅደም ተከተል መስመሮች.
ኤሊፕስ እና ቀኖናዊው እኩልታ። ክብ

ጥልቅ ጥናት ካደረጉ በኋላ በአውሮፕላኑ ላይ ቀጥታ መስመሮችየሁለት-ልኬት ዓለምን ጂኦሜትሪ ማጥናታችንን እንቀጥላለን። ችካሎች በእጥፍ ይጨምራሉ እና የኤሊፕስ፣ ሃይፐርቦላ፣ ፓራቦላዎች ዓይነተኛ ተወካዮች የሆኑትን ውብ ማዕከለ-ስዕላት እንድትጎበኙ እጋብዛችኋለሁ። ሁለተኛ ቅደም ተከተል መስመሮች. ጉብኝቱ አስቀድሞ ተጀምሯል፣ እና በመጀመሪያ፣ በሙዚየሙ የተለያዩ ወለሎች ላይ ስላለው አጠቃላይ ትርኢት አጭር መረጃ፡-

የአልጀብራ መስመር ጽንሰ-ሀሳብ እና ቅደም ተከተል

በአውሮፕላን ላይ አንድ መስመር ይባላል አልጀብራ፣ ከገባ የአፊን ቅንጅት ስርዓትየእሱ እኩልነት ቅጹ አለው፣ የቅጹን ቃላት የያዘ ብዙ ቁጥር ያለው (እውነተኛ ቁጥር ነው፣ አሉታዊ ያልሆኑ ኢንቲጀሮች ናቸው)።

እንደሚመለከቱት የአልጀብራ መስመር እኩልነት ሳይኖች፣ ኮሳይኖች፣ ሎጋሪዝም እና ሌሎች ተግባራዊ beau monde አልያዘም። ውስጥ "x" እና "y" ብቻ ኢንቲጀር አሉታዊ ያልሆነዲግሪዎች.

የመስመር ቅደም ተከተልበውስጡ ከተካተቱት የቃላቶች ከፍተኛ ዋጋ ጋር እኩል ነው.

በተዛማጅ ንድፈ ሐሳብ መሠረት የአልጀብራ መስመር ጽንሰ-ሐሳብ, እንዲሁም እንደ ቅደም ተከተል, በምርጫው ላይ የተመካ አይደለም. የአፊን ቅንጅት ስርዓት, ስለዚህ, ለቀላልነት, ሁሉም ተከታይ ስሌቶች በ ውስጥ ይከናወናሉ ብለን እናስባለን የካርቴሲያን መጋጠሚያዎች.

አጠቃላይ እኩልታሁለተኛው-ትዕዛዝ መስመር ቅጽ አለው , የት የዘፈቀደ እውነተኛ ቁጥሮች ናቸው። (በማባዛት - "ሁለት") መጻፍ የተለመደ ነው., እና ቅንጅቶች በአንድ ጊዜ ከዜሮ ጋር እኩል አይደሉም.

ከሆነ ፣ ከዚያ እኩልታው ወደዚህ ቀላል ያደርገዋል , እና ቅንጅቶቹ በአንድ ጊዜ ከዜሮ ጋር እኩል ካልሆኑ, ይህ በትክክል ነው የ "ጠፍጣፋ" ቀጥተኛ መስመር አጠቃላይ እኩልታ, የሚወክለው የመጀመሪያ ትዕዛዝ መስመር.

ብዙዎች የአዲሶቹን ቃላት ትርጉም ተረድተዋል, ነገር ግን, ነገር ግን, ቁሳቁሱን 100% ለማዋሃድ, ጣቶቻችንን ወደ ሶኬት ውስጥ እንጨምራለን. የመስመሩን ቅደም ተከተል ለመወሰን እንደገና ይድገሙት ሁሉም ውሎችየእሱ እኩልታዎች እና ለእያንዳንዳቸው ያገኛሉ የስልጣን ድምርመጪ ተለዋዋጮች.

ለምሳሌ:

ቃሉ "x" ወደ 1 ኛ ደረጃ ይይዛል;
ቃሉ "Y" ወደ 1 ኛ ኃይል ይይዛል;
በቃሉ ውስጥ ምንም ተለዋዋጮች የሉም፣ ስለዚህ የስልጣናቸው ድምር ዜሮ ነው።

አሁን ለምን እኩልታ መስመሩን እንደሚያዘጋጅ እንወቅ ሁለተኛማዘዝ፡

ቃሉ በ 2 ኛ ዲግሪ ውስጥ "x" ይይዛል;
ቃሉ የተለዋዋጮች ዲግሪዎች ድምር አለው፡ 1 + 1 = 2;
ቃሉ በ 2 ኛ ዲግሪ ውስጥ "y" ይይዛል;
ሁሉም ሌሎች ውሎች - ያነሰዲግሪ.

ከፍተኛ ዋጋ፡ 2

ወደ እኩልታችን ከጨመርን ፣ በል ፣ ከዚያ አስቀድሞ ይወስናል ሦስተኛው መስመር. የ 3 ኛ ቅደም ተከተል መስመር እኩልታ አጠቃላይ ቅጽ “የተሟላ ስብስብ” የቃላቶች ስብስብ ፣ የተለዋዋጮች ዲግሪዎች ድምር ከሶስት ጋር እኩል እንደሚይዝ ግልፅ ነው ።
, ውህደቶቹ በአንድ ጊዜ ከዜሮ ጋር እኩል በማይሆኑበት.

አንድ ወይም ከዚያ በላይ የሆኑ ተስማሚ ቃላት ሲጨመሩ , ከዚያም እንነጋገራለን 4 ኛ ቅደም ተከተል መስመሮችወዘተ.

የ 3 ኛ ፣ 4 ኛ እና ከፍተኛ ትዕዛዞችን የአልጀብራ መስመሮችን ከአንድ ጊዜ በላይ ማስተናገድ አለብን ፣ በተለይም ፣ ስንተዋወቅ የዋልታ መጋጠሚያ ስርዓት.

ሆኖም፣ ወደ አጠቃላይ እኩልታ እንመለስ እና በጣም ቀላል የሆኑትን የትምህርት ቤት ልዩነቶች እናስታውስ። ምሳሌዎች ፓራቦላ ናቸው፣ እኩልታቸዉ በቀላሉ ወደ አጠቃላይ መልክ ሊቀንስ የሚችል እና ሃይፐርቦላ ከተመጣጣኝ እኩልታ ጋር ነዉ። ይሁን እንጂ ሁሉም ነገር በጣም ለስላሳ አይደለም ....

የአጠቃላይ እኩልታ ጉልህ ጉድለት የትኛውን መስመር እንደሚገልፅ ሁልጊዜ ግልጽ አለመሆኑ ነው። በጣም ቀላል በሆነ ሁኔታ ውስጥ እንኳን, ይህ ግትርነት መሆኑን ወዲያውኑ አይገነዘቡም. እንደዚህ ያሉ አቀማመጦች ጥሩ ናቸው ጭምብል ላይ ብቻ, ስለዚህ, በመተንተን ጂኦሜትሪ ሂደት ውስጥ, አንድ የተለመደ ችግር ይቆጠራል. የ 2 ኛ ትዕዛዝ መስመር እኩልታ ወደ ቀኖናዊ ቅፅ መቀነስ.

የአንድ ቀመር ቀኖናዊ ቅርጽ ምንድን ነው?

ይህ በአጠቃላይ ተቀባይነት ያለው የእኩልታው መደበኛ ቅጽ ነው፣ በጥቂት ሰከንዶች ውስጥ የትኛውን የጂኦሜትሪክ ነገር እንደሚገልፅ ግልጽ ይሆናል። በተጨማሪም, ቀኖናዊው ቅርፅ ብዙ ተግባራዊ ችግሮችን ለመፍታት በጣም ምቹ ነው. ስለዚህ, ለምሳሌ, በቀኖናዊው እኩልታ መሰረት "ጠፍጣፋ" ቀጥ ያለ, በመጀመሪያ, ይህ ቀጥተኛ መስመር መሆኑን ወዲያውኑ ግልጽ ነው, እና ሁለተኛ, የእሱ ንብረት እና አቅጣጫ ቬክተር በቀላሉ ይታያሉ.

በግልጽ, ማንኛውም 1 ኛ ትዕዛዝ መስመርቀጥተኛ መስመርን ይወክላል. በሁለተኛው ፎቅ ላይ፣ ከአሁን በኋላ የሚጠብቀን የፅዳት ሰራተኛ የለም፣ ግን የበለጠ የተለያየ ዘጠኝ ሃውልቶች ያለው ኩባንያ፡-

የሁለተኛ ደረጃ መስመሮች ምደባ

በልዩ የእርምጃዎች ስብስብ እገዛ ማንኛውም የሁለተኛ ደረጃ መስመር እኩልታ ከሚከተሉት ዓይነቶች ወደ አንዱ ይቀንሳል።

(እና ትክክለኛ ቁጥሮች ናቸው)

1) የ ellipse ቀኖናዊ እኩልታ ነው;

2) የሃይፐርቦላ ቀኖናዊ እኩልታ ነው;

3) የፓራቦላ ቀኖናዊ እኩልታ ነው;

4) – ምናባዊሞላላ;

5) - የተቆራረጡ መስመሮች ጥንድ;

6) - ባልና ሚስት ምናባዊየተቆራረጡ መስመሮች (በመነሻው ላይ ብቸኛው ትክክለኛ የመገናኛ ነጥብ);

7) - ጥንድ ትይዩ መስመሮች;

8) - ባልና ሚስት ምናባዊትይዩ መስመሮች;

9) የተጣመሩ ጥንድ መስመሮች ናቸው.

አንዳንድ አንባቢዎች ዝርዝሩ ያልተሟላ ነው ብለው ሊሰማቸው ይችላል። ለምሳሌ, በአንቀጽ ቁጥር 7 ውስጥ, እኩልታው ጥንድ ያዘጋጃል ቀጥተኛ, ከዘንግ ጋር ትይዩ እና ጥያቄው የሚነሳው: ከ y-ዘንግ ጋር ትይዩ የሆኑትን መስመሮች የሚወስነው ቀመር የት ነው? መልስ፡- ነው። ቀኖና አይቆጠርም. ቀጥ ያሉ መስመሮች በ 90 ዲግሪ የተሽከረከረው ተመሳሳይ መደበኛ መያዣን ይወክላሉ, እና በመሠረታዊ ደረጃ አዲስ ነገር ስለሌለው በምደባው ውስጥ ተጨማሪ ግቤት ብዙ ነው.

ስለዚህ, የ 2 ኛ ቅደም ተከተል መስመሮች ዘጠኝ እና ዘጠኝ የተለያዩ ዓይነቶች አሉ, ግን በተግባር ግን በጣም የተለመዱ ናቸው ኤሊፕስ, ሃይፐርቦላ እና ፓራቦላ.

መጀመሪያ ሞላላውን እንይ። እንደተለመደው፣ በእነዚያ ነጥቦች ላይ አተኩራለሁ ትልቅ ጠቀሜታችግሮችን ለመፍታት እና የቀመሮች ዝርዝር መግለጫዎች ፣ የንድፈ ሀሳቦች ማረጋገጫዎች ከፈለጉ ፣ እባክዎን ለምሳሌ በባዚሌቭ / አታናስያን ወይም አሌክሳንድሮቭ የመማሪያ መጽሃፍ ይመልከቱ ።

ኤሊፕስ እና ቀኖናዊው እኩልታ

የፊደል አጻጻፍ ... እባኮትን "እንዴት ሞላላ መገንባት እንደሚቻል", "በኤሊፕስ እና ኦቫል መካከል ያለው ልዩነት" እና "የelebs eccentricity" ፍላጎት ያላቸውን አንዳንድ የ Yandex ተጠቃሚዎችን ስህተት አትድገሙ.

የ ellipse ቀኖናዊ እኩልታ ቅጽ አለው , አወንታዊ እውነተኛ ቁጥሮች የት ናቸው እና . የኤሊፕስ ፍቺን በኋላ እቀርጻለሁ፣ አሁን ግን ከመነጋገር እረፍት ወስደን የጋራ ችግር ለመፍታት ጊዜው አሁን ነው።

ኤሊፕስ እንዴት እንደሚገነባ?

አዎ ይውሰዱት እና ይሳሉት. ምደባው የተለመደ ነው፣ እና የተማሪዎቹ ጉልህ ክፍል ስዕሉን በብቃት መቋቋም አይችሉም።

ምሳሌ 1

በቀመር የሚሰጠውን ዔሊፕ ይገንቡ

መፍትሄበመጀመሪያ ቀመርን ወደ ቀኖናዊው ቅርፅ እናመጣለን

ለምን አመጡ? የቀኖናዊው እኩልታ ጥቅሞች አንዱ ወዲያውኑ እንዲወስኑ ያስችልዎታል ሞላላ ጫፎችበነጥቦቹ ላይ ያሉት . የእያንዳንዳቸው ነጥቦች መጋጠሚያዎች እኩልታውን እንደሚያሟሉ ለመረዳት ቀላል ነው.

በዚህ ጉዳይ ላይ:


ክፍልተብሎ ይጠራል ዋና ዘንግሞላላ;
ክፍል – ትንሽ ዘንግ;
ቁጥር ተብሎ ይጠራል ከፊል-ዋና ዘንግሞላላ;
ቁጥር – ከፊል-ጥቃቅን ዘንግ.
በእኛ ምሳሌ፡.

ይህ ወይም ያ ሞላላ ምን እንደሚመስል በፍጥነት ለመገመት ፣ የ “a” እና “መሆን” እሴቶችን ቀኖናዊ እኩልታ ይመልከቱ።

ሁሉም ነገር ጥሩ, ሥርዓታማ እና ቆንጆ ነው, ግን አንድ ማስጠንቀቂያ አለ: ፕሮግራሙን ተጠቅሜ ስዕሉን አጠናቅቄያለሁ. እና በማንኛውም መተግበሪያ መሳል ይችላሉ. ነገር ግን፣ በከባድ እውነታ፣ የተፈተሸ ወረቀት ጠረጴዛው ላይ ይተኛል፣ እና አይጦች በእጃችን ዙሪያ ይጨፍራሉ። ጥበባዊ ችሎታ ያላቸው ሰዎች በእርግጥ ሊከራከሩ ይችላሉ, ግን እርስዎም አይጦች አሉዎት (ትንንሽ ቢሆኑም). የሰው ልጅ ገዥን ፣ ኮምፓስን ፣ ፕሮትራክተርን እና ሌሎች ለመሳል ቀላል መሳሪያዎችን የፈጠረው በከንቱ አይደለም።

በዚህ ምክንያት, ጫፎችን ብቻ በማወቅ ኤሊፕስን በትክክል ለመሳል አንችልም. አሁንም ደህና, ኤሊፕስ ትንሽ ከሆነ, ለምሳሌ, ከሴሚክሶች ጋር. በአማራጭ, ልኬቱን መቀነስ እና, በዚህ መሰረት, የስዕሉን ልኬቶች መቀነስ ይችላሉ. ነገር ግን በአጠቃላይ ሁኔታ ተጨማሪ ነጥቦችን ለማግኘት በጣም የሚፈለግ ነው.

ሞላላ ለመገንባት ሁለት አቀራረቦች አሉ - ጂኦሜትሪክ እና አልጀብራ። በአጭር ስልተ-ቀመር እና በስዕሉ ጉልህ በሆነ ሁኔታ ምክንያት በኮምፓስ እና ገዥ መገንባት አልወድም። በአደጋ ጊዜ፣ እባክዎን የመማሪያ መጽሃፉን ይመልከቱ፣ ግን በእውነቱ የአልጀብራ መሳሪያዎችን መጠቀም የበለጠ ምክንያታዊ ነው። በረቂቁ ላይ ካለው ሞላላ እኩልነት በፍጥነት እንገልፃለን፡-

ከዚያም እኩልታው በሁለት ተግባራት ይከፈላል።
- የኤሊፕስ የላይኛውን ቅስት ይገልጻል;
- የኤሊፕስ የታችኛውን ቅስት ይገልጻል።

በቀኖናዊው እኩልዮሽ የተሰጠው ellipse ከተጋጠሙትም መጥረቢያዎች ጋር እንዲሁም ከመነሻው አንጻር ሲታይ ተመጣጣኝ ነው. እና ያ በጣም ጥሩ ነው - ሲምሜትሪ ሁል ጊዜ ማለት ይቻላል የነፃ ሰው አስጨናቂ ነው። በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው, ከ 1 ኛ አስተባባሪ ሩብ ጋር መገናኘቱ በቂ ነው, ስለዚህ ተግባር እንፈልጋለን . ከ abcissas ጋር ተጨማሪ ነጥቦችን መፈለግን ይጠቁማል . እኛ ካልኩሌተር ላይ ሶስት ኤስኤምኤስ መታን፡-

እርግጥ ነው, በስሌቶቹ ውስጥ ከባድ ስህተት ከተሰራ ይህ ደግሞ በግንባታው ወቅት ወዲያውኑ ግልጽ ይሆናል.

በስዕሉ ላይ ነጥቦችን ምልክት ያድርጉ (ቀይ ቀለም) ፣ በሌሎች ቅስቶች ላይ ሚዛናዊ ነጥቦች (ሰማያዊ ቀለም) እና መላውን ኩባንያ በጥንቃቄ በመስመር ያገናኙ ።


የመጀመሪያውን ንድፍ በቀጭኑ እና በቀጭኑ መሳል ይሻላል, እና ከዚያ በኋላ ብቻ በእርሳስ ላይ ግፊት ያድርጉ. ውጤቱም ጥሩ ሞላላ መሆን አለበት. በነገራችን ላይ ይህ ኩርባ ምን እንደሆነ ማወቅ ይፈልጋሉ?

የኤሊፕስ ፍቺ. Ellipse foci እና ellipse eccentricity

ኤሊፕስ የኦቫል ልዩ ጉዳይ ነው። "ኦቫል" የሚለው ቃል በፍልስጤም ("ልጁ ኦቫልን ሣለ", ወዘተ) ሊረዳ አይገባም. ይህ ዝርዝር አጻጻፍ ያለው የሂሳብ ቃል ነው። የዚህ ትምህርት ዓላማ በመደበኛ የመተንተን ጂኦሜትሪ ውስጥ ትኩረት ያልተሰጠውን የኦቫልስ ንድፈ ሐሳብ እና የተለያዩ ዓይነቶችን ግምት ውስጥ ማስገባት አይደለም. እና ፣ በበለጠ ወቅታዊ ፍላጎቶች መሠረት ፣ ወዲያውኑ ወደ ሞላላ ጥብቅ ፍቺ እንሄዳለን-

ሞላላ- ይህ የአውሮፕላኑ የሁሉም ነጥቦች ስብስብ ነው ፣ ለእያንዳንዳቸው ያለው ርቀት ድምር ከሁለት የተሰጡ ነጥቦች ፣ ይባላል። ብልሃቶች ellipse፣ ቋሚ እሴት ነው፣ በቁጥር ከዚህ ሞላላ ዘንግ ርዝመት ጋር እኩል ነው።
በዚህ ሁኔታ, በ foci መካከል ያለው ርቀት ከዚህ ዋጋ ያነሰ ነው.

አሁን ይበልጥ ግልጽ ይሆናል፡-

ሰማያዊው ነጥብ በኤሊፕስ ላይ "እንደሚጋልብ" አስብ. ስለዚህ፣ የምንወስደው የኤሊፕስ ነጥብ ምንም ቢሆን፣ የክፍሎቹ ርዝማኔ ድምር ሁልጊዜ አንድ አይነት ይሆናል።

በእኛ ምሳሌ ውስጥ የድምሩ ዋጋ በእውነቱ ከስምንት ጋር እኩል መሆኑን እናረጋግጥ። በአዕምሯዊ ሁኔታ ነጥቡን "em" በኤሌክትሮኒካዊው የቀኝ ጠርዝ ላይ ያስቀምጡ, ከዚያ:, ይህም መፈተሽ ያስፈልጋል.

ኤሊፕስን ለመሳል ሌላኛው መንገድ በኤሊፕስ ፍቺ ላይ የተመሰረተ ነው. ከፍተኛ ሂሳብ፣ አንዳንዴ፣ የውጥረት እና የጭንቀት መንስኤ ነው፣ ስለዚህ ሌላ የማውረድ ክፍለ ጊዜ ለማድረግ ጊዜው አሁን ነው። እባክዎን አንድ ወረቀት ወይም ትልቅ የካርቶን ወረቀት ይውሰዱ እና በሁለት ጥፍር ወደ ጠረጴዛው ይሰኩት። እነዚህ ዘዴዎች ይሆናሉ. አረንጓዴ ክር በሚወጡት የጥፍር ራሶች ላይ ያስሩ እና ሁሉንም መንገድ በእርሳስ ይጎትቱት። የእርሳሱ አንገት በተወሰነ ደረጃ ላይ ይሆናል, እሱም ለኤሊፕስ ነው. አሁን እርሳሱን በወረቀቱ ላይ መምራት ይጀምሩ, አረንጓዴውን ክር በጣም ቆንጆ በማድረግ. ወደ መጀመሪያው ቦታ እስኪመለሱ ድረስ ሂደቱን ይቀጥሉ ... በጣም ጥሩ ... ስዕሉ ለማረጋገጥ በሐኪሙ ለአስተማሪው ሊቀርብ ይችላል =)

የኤሊፕስ ትኩረትን እንዴት ማግኘት ይቻላል?

ከላይ ባለው ምሳሌ ላይ "ዝግጁ" የትኩረት ነጥቦችን አሳይቻለሁ, እና አሁን ከጂኦሜትሪ ጥልቀት እንዴት እንደምናወጣቸው እንማራለን.

ሞላላው በቀኖናዊው እኩልታ የሚሰጥ ከሆነ፣ የእሱ ፍላጎት መጋጠሚያዎች አሉት , የት ነው ከእያንዳንዱ ፎሲ እስከ ሞላላው የሲሜትሪ ማእከል ድረስ ያለው ርቀት.

ስሌቶች በእንፋሎት ከተቀመጡት የሽንኩርት ፍሬዎች ቀላል ናቸው፡

! "ce" በሚለው ትርጉሙ ልዩ የተንኮል መጋጠሚያዎችን መለየት አይቻልም!እደግመዋለሁ ይህ ነው። ከእያንዳንዱ ትኩረት ወደ መሃል DISTANCE(በአጠቃላይ ሁኔታ በመነሻው ላይ በትክክል መቀመጥ የለበትም).
እና, ስለዚህ, በ foci መካከል ያለው ርቀት ከኤሊፕስ ቀኖናዊ አቀማመጥ ጋር ሊያያዝ አይችልም. በሌላ አነጋገር, ሞላላው ወደ ሌላ ቦታ ሊዛወር ይችላል እና እሴቱ ሳይለወጥ ይቆያል, ፎሲዎች በተፈጥሮ መጋጠሚያዎቻቸውን ይለውጣሉ. እባኮትን ርእሱን የበለጠ ስታስሱ ይህንን ግምት ውስጥ ያስገቡ።

የኤሊፕስ ግርዶሽ እና የጂኦሜትሪክ ትርጉሙ

የኤሊፕስ ግርዶሽነት በውስጡ እሴቶችን ሊወስድ የሚችል ሬሾ ነው።

በእኛ ሁኔታ፡-

የ ellipse ቅርፅ በእውቀቱ ላይ እንዴት እንደሚመረኮዝ ለማወቅ እንሞክር. ለዚህ የግራ እና የቀኝ ጫፎችን ያስተካክሉከግምት ውስጥ ያለው ሞላላ ፣ ማለትም ፣ ከፊል-ዋና ዘንግ ያለው ዋጋ በቋሚነት ይቆያል። ከዚያ የግርዶሽ ቀመር ቅጹን ይወስዳል።

የግርማ ሞገስን ወደ አንድነት ያለውን ዋጋ ለመገመት እንጀምር። ይህ የሚቻል ከሆነ ብቻ ነው. ምን ማለት ነው? ... ብልሃቶችን በማስታወስ . ይህ ማለት የ ellipse እምብርት በ abcissa ዘንግ በኩል ወደ የጎን ጫፎች "ይበታታል" ማለት ነው. እና “አረንጓዴዎቹ ክፍሎች ጎማ ስላልሆኑ” ሞላላው ጠፍጣፋ መጀመሩ የማይቀር ነው ፣ ወደ ቀጭን እና ቀጭን ቋሊማ በዘንግ ላይ ይጣላል።

በዚህ መንገድ, የኤሊፕስ ግርዶሽ ወደ አንድ ሲጠጋ ሞላላው ይበልጥ ሞላላ ይሆናል።.

አሁን ተቃራኒውን ሂደት እንመስለው-የኤልፕስ ፎሲ ወደ መሃል እየተጠጉ እርስ በርሳቸው ሄዱ። ይህ ማለት የ"ce" እሴቱ እየቀነሰ ይሄዳል እና በዚህም መሰረት ግርዶሹ ወደ ዜሮ ይቀየራል፡.
በዚህ ሁኔታ "አረንጓዴ ክፍሎች", በተቃራኒው "የተጨናነቁ ይሆናሉ" እና የኤልፕስ መስመርን ወደ ላይ እና ወደ ታች "መግፋት" ይጀምራሉ.

በዚህ መንገድ, የኤክሴንትሪክነት እሴቱ ወደ ዜሮ በቀረበ ቁጥር ሞላላው የበለጠ ይመስላል... ፍላጎቶቹ በተሳካ ሁኔታ በመነሻው ላይ ሲገናኙ፣ ገደቡ የሆነውን ጉዳይ ይመልከቱ፡-

ክበብ የአንድ ሞላላ ልዩ ጉዳይ ነው።

በእርግጥም በሴሚክክስ እኩልነት ላይ የኤሌክትሮኒካዊ እኩልነት ቅፅን ይይዛል, ይህም በአፀፋዊ መልኩ ወደ ታዋቂው የክበብ እኩልነት ከትምህርት ቤት ወደ ራዲየስ "a" አመጣጥ ማእከል ይለውጣል.

በተግባር፣ “የሚናገር” ፊደል “ኤር” ያለው ምልክት ብዙ ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላል፡. ራዲየስ የክፋዩ ርዝመት ይባላል, እያንዳንዱ የክበብ ነጥብ በራዲየስ ርቀት ላይ ከመሃል ላይ ይወገዳል.

የ ellipse ፍቺ ሙሉ በሙሉ ትክክል እንደሆነ ልብ ይበሉ: ፎሲው ይዛመዳል, እና በክበቡ ላይ ላለው እያንዳንዱ ነጥብ የተጣጣሙ ክፍሎች ድምር ቋሚ እሴት ነው. በ foci መካከል ያለው ርቀት ስለሆነ የማንኛውም ክበብ ግርዶሽ ዜሮ ነው።.

አንድ ክበብ በቀላሉ እና በፍጥነት ይገነባል, እራስዎን በኮምፓስ ለማስታጠቅ በቂ ነው. ሆኖም ፣ አንዳንድ ጊዜ የአንዳንድ ነጥቦቹን መጋጠሚያዎች መፈለግ አስፈላጊ ነው ፣ በዚህ ሁኔታ እኛ በተለመደው መንገድ እንሄዳለን - እኩልታውን ወደ አስደሳች የማታን ቅርፅ እናመጣለን-

የላይኛው ግማሽ ክበብ ተግባር ነው;
የታችኛው ግማሽ ክብ ተግባር ነው.

ከዚያ የተፈለገውን ዋጋ እናገኛለን. ሊለያይ የሚችል, ማዋሃድእና ሌሎች መልካም ነገሮችን ያድርጉ.

ጽሑፉ ለማጣቀሻነት ብቻ ነው, ግን በዓለም ላይ ያለ ፍቅር እንዴት ይኖራል? ለገለልተኛ መፍትሄ የፈጠራ ስራ

ምሳሌ 2

የአንድን ዔሊፕስ ቀኖናዊ እኩልታ ከውስጡ አንዱ እና ከፊል-ጥቃቅን ዘንግ የሚታወቅ ከሆነ (ማዕከሉ መነሻው ላይ ነው)። ጫፎችን, ተጨማሪ ነጥቦችን ይፈልጉ እና በስዕሉ ላይ መስመር ይሳሉ. ግርዶሹን አስሉ.

በትምህርቱ መጨረሻ ላይ መፍትሄ እና ስዕል

አንድ ድርጊት እንጨምር፡-

ኤሊፕስን ያሽከርክሩ እና ይተርጉሙ

ወደ ዔሊፕስ ቀኖናዊ እኩልታ እንመለስ፡ ወደ ሁኔታው፡ እንቆቅልሹ ይህ ጥምዝ ለመጀመሪያ ጊዜ ከተጠቀሰበት ጊዜ ጀምሮ ጠያቂ አእምሮዎችን እያሰቃየ ነው። እዚህ ላይ ሞላላ ተመልክተናል , ግን በተግባር ግን እኩልታውን ማድረግ አይችልም ? ከሁሉም በኋላ, እዚህ ግን, ልክ እንደ ሞላላ ይመስላል!

እንዲህ ዓይነቱ እኩልታ አልፎ አልፎ ነው, ነገር ግን አጋጥሞታል. እና ኤሊፕስን ይገልፃል. ምሥጢረ ሥጋዌን እናስወግደው፡-

በግንባታው ምክንያት የእኛ ተወላጅ ኤሊፕስ በ 90 ዲግሪ ዞሯል. ማለትም - ይህ ቀኖናዊ ያልሆነ ግቤትሞላላ . ይቅረጹ!- እኩልታ በዘንጉ ላይ የኤሊፕስን ፍቺ የሚያረካ ነጥቦች (foci) ስለሌለ ሌላ ሞላላ አይገልጽም።