الدوال المثلثية sin arcsin x2. ما هو arcsine ، arccosine؟ ما هو قوس الظل ، قوس الظل

دائمًا ما تكون دوال sin و cos و tg و ctg مصحوبة بقوس قوس ، و قوس قوس قزح ، و قوس ظل الزاوية ، و arccotangent. أحدهما نتيجة للآخر ، وأزواج الوظائف لها نفس القدر من الأهمية للعمل مع التعبيرات المثلثية.

ضع في اعتبارك رسم دائرة الوحدة ، والتي تعرض قيم الدوال المثلثية بيانياً.

إذا قمت بحساب الأقواس OA و arcos OC و arctg DE و arcctg MK ، فستكون جميعها مساوية لقيمة الزاوية α. تعكس الصيغ أدناه العلاقة بين الدوال المثلثية الرئيسية والأقواس المقابلة لها.

لفهم المزيد عن خصائص القوس ، من الضروري النظر في وظيفته. برنامج له شكل منحنى غير متماثل يمر عبر مركز الإحداثيات.

خصائص أركسين:

إذا قارنا الرسوم البيانية الخطيئةو قوس الخطيئة، يمكن أن تجد دالتان مثلثيتان أنماطًا مشتركة.

قوس جيب التمام

Arccos للرقم a هي قيمة الزاوية α ، وجيب تمامها يساوي a.

منحنى ص = أركوس سيعكس مخطط arcsin x ، مع الاختلاف الوحيد أنه يمر عبر النقطة / 2 على محور OY.

ضع في اعتبارك وظيفة arccosine بمزيد من التفصيل:

يتم تحديد الوظيفة في المقطع [-1 ؛ واحد].
ODZ لـ arccos -.
يقع الرسم البياني بالكامل في الربعين الأول والثاني ، والدالة نفسها ليست زوجية ولا فردية.
ص = 0 ل س = 1.
يتناقص المنحنى بطوله بالكامل. بعض خصائص قوس جيب التمام هي نفس وظيفة جيب التمام.

بعض خصائص قوس جيب التمام هي نفس وظيفة جيب التمام.

من الممكن أن تبدو مثل هذه الدراسة "التفصيلية" حول "الأقواس" غير ضرورية لأطفال المدارس. خلاف ذلك ، ومع ذلك ، بعض النوع الابتدائي واجبات الاستخداميمكن أن تربك الطلاب.

التمرين 1.حدد الوظائف الموضحة في الشكل.

إجابه:أرز. 1-4 ، شكل 2-1.

في هذا المثالينصب التركيز على الأشياء الصغيرة. عادةً ما يكون الطلاب غير مهتمين جدًا ببناء الرسوم البيانية وظهور الوظائف. في الواقع ، لماذا حفظ شكل المنحنى ، إذا كان من الممكن دائمًا بناؤه من النقاط المحسوبة. لا تنس أنه في ظل ظروف الاختبار ، الوقت الذي يقضيه في الرسم مهمة بسيطةمطلوب لمهام أكثر تعقيدًا.

قوس ظل

Arctgالرقم a هو قيمة للزاوية α بحيث يكون ظلها يساوي a.

إذا أخذنا في الاعتبار مؤامرة قوس الظل ، فيمكننا التمييز بين الخصائص التالية:

الرسم البياني لانهائي ومُحدد في الفاصل الزمني (- ∞ ؛ + ∞).
قوس ظل وظيفة غريبة، لذلك ، arctan (- x) = - arctan x.
Y = 0 لـ x = 0.
يزيد المنحنى على نطاق التعريف بأكمله.

هنا موجز تحليل مقارن tg x و arctg x كجدول.

ظل القوس

Arcctg للرقم a - يأخذ قيمة α من الفاصل الزمني (0 ؛ π) بحيث يكون ظل التمام الخاص به يساوي a.

خصائص وظيفة ظل التمام القوسي:

الفاصل الزمني لتعريف الوظيفة هو اللانهاية.
نطاق القيم المسموح بها هو الفاصل الزمني (0 ؛ π).
F (x) ليست زوجية ولا فردية.
على مدار طوله ، يتناقص الرسم البياني للدالة.

تعتبر المقارنة بين ctg x و arctg x أمرًا بسيطًا للغاية ، ما عليك سوى رسم رسمين ووصف سلوك المنحنيات.

المهمة 2.اربط الرسم البياني وشكل الوظيفة.

منطقيا ، تظهر الرسوم البيانية أن كلا الوظيفتين في تزايد. لذلك ، يعرض كلا الشكلين بعض دالة arctg. من المعروف من خصائص قوس الظل أن y = 0 لـ x = 0 ،

إجابه:أرز. 1 - 1 ، تين. 2-4.

الهويات المثلثية arcsin و arcos و arctg و arcctg

في السابق ، حددنا بالفعل العلاقة بين الأقواس والوظائف الرئيسية لعلم المثلثات. يمكن التعبير عن هذا الاعتماد من خلال عدد من الصيغ التي تسمح بالتعبير ، على سبيل المثال ، عن جيب الحجة من خلال قوسها أو قوسها أو العكس. يمكن أن تكون معرفة مثل هذه الهويات مفيدة في حل أمثلة محددة.

توجد أيضًا نسب لـ arctg و arcctg:

زوج آخر مفيد من الصيغ يحدد القيمة لمجموع قيم arcsin و arcos و arcctg و arcctg لنفس الزاوية.

أمثلة على حل المشكلات

يمكن تقسيم مهام علم المثلثات إلى أربع مجموعات: احسب قيمة عدديةتعبير محدد ، قم ببناء رسم بياني لهذه الوظيفة ، ابحث عن مجال التعريف الخاص بها أو ODZ وقم بإجراء تحويلات تحليلية لحل المثال.

عند حل النوع الأول من المشاكل ، من الضروري الالتزام بها الخطة التاليةأجراءات:

عند العمل مع الرسوم البيانية للوظائف ، فإن الشيء الرئيسي هو معرفة خصائصها و مظهر خارجيملتوية. عن الحلول المعادلات المثلثيةوهناك حاجة لجداول الهويات وعدم المساواة. كلما زاد عدد الصيغ التي يتذكرها الطالب ، كان من الأسهل العثور على إجابة المهمة.

افترض في الاختبار أنه من الضروري العثور على إجابة لمعادلة من النوع:

إذا قمت بتحويل التعبير بشكل صحيح وإحضاره إلى الشكل المطلوب ، فسيكون حله بسيطًا وسريعًا للغاية. أولًا ، لننقل arcsin x إلى الجانب الأيمن من المعادلة.

إذا تذكرنا الصيغة arcsin (sinα) = α، ثم يمكننا تقليل البحث عن إجابات لحل نظام من معادلتين:

نشأ القيد على النموذج x ، مرة أخرى من خصائص arcsin: ODZ لـ x [-1 ؛ واحد]. عندما تكون ≠ 0 ، يكون جزء من النظام معادلة من الدرجة الثانيةذات الجذور x1 = 1 و x2 = - 1 / a. عندما تكون أ = 0 ، س تساوي 1.

يتم إعطاء تعريفات الدوال المثلثية العكسية والرسوم البيانية الخاصة بهم. وكذلك الصيغ المتعلقة بالعكس الدوال المثلثية، صيغ المجموع والفرق.

تعريف الدوال المثلثية العكسية

نظرًا لأن الدوال المثلثية دورية ، فإن الوظائف العكسية لها ليست ذات قيمة واحدة. إذن ، المعادلة y = الخطيئة x، على سبيل المثال ، له جذور لا متناهية. في الواقع ، بسبب دورية الجيب ، إذا كانت x مثل هذا الجذر ، إذن س + 2 ن(حيث n عدد صحيح) سيكون أيضًا جذر المعادلة. في هذا الطريق، الدوال المثلثية العكسية متعددة القيم. لتسهيل العمل معهم ، يتم تقديم مفهوم قيمهم الرئيسية. ضع في اعتبارك ، على سبيل المثال ، الجيب: y = الخطيئة x. إذا قصرنا السعة x على الفترة الزمنية ، فعندها تكون الدالة y = الخطيئة xيزيد بشكل رتيب. لذلك ، لها دالة عكسية أحادية القيمة ، والتي تسمى القوسين: x = أركسين ذ.

ما لم يذكر خلاف ذلك ، تعني الدوال المثلثية العكسية قيمها الأساسية ، والتي يتم تحديدها من خلال التعريفات التالية.

أركسين ( ص = أركسين x) هي الدالة العكسية للجيب ( س = شقي

قوس جيب التمام ( ص = arccos x) هي الدالة العكسية لجيب التمام ( س = مريح) له مجال تعريف ومجموعة من القيم.

قوس ظل ( ص = arctg x) هي الدالة العكسية للماس ( س = tg ذ) له مجال تعريف ومجموعة من القيم.

ظل القوس ( ص = أركتج س) هي الدالة العكسية للظل التمام ( س = ctg ذ) له مجال تعريف ومجموعة من القيم.

الرسوم البيانية للدوال المثلثية العكسية

يتم الحصول على الرسوم البيانية للدوال المثلثية العكسية من الرسوم البيانية للدوال المثلثية عن طريق انعكاس المرآة فيما يتعلق بالخط المستقيم y = x. انظر أقسام الجيب وجيب التمام والظل والظل.

ص = أركسين x

ص = arccos x

ص = arctg x

ص = أركتج س

الصيغ الأساسية

هنا ، يجب إيلاء اهتمام خاص للفترات الزمنية التي تكون فيها الصيغ صالحة.

arcsin (sin x) = xفي
الخطيئة (arcsin x) = x
arccos (cos x) = xفي
كوس (arccos x) = x

arctg (tg x) = xفي
tg (arctg x) = x
arcctg (ctg x) = xفي
ctg (arctg x) = x

الصيغ المتعلقة بالدوال المثلثية العكسية

صيغ الجمع والفرق

في أو

في و

في و

في

في

درس وعرض تقديمي حول المواضيع: "Arxine. جدول القوس. الصيغة y = arcsin (x)"

مواد إضافية
أعزائي المستخدمين ، لا تنسوا ترك تعليقاتكم وملاحظاتكم واقتراحاتكم! يتم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.

الكتيبات وأجهزة المحاكاة في المتجر الإلكتروني "Integral" للصف 10 من 1C
بيئة البرامج "1C: المُنشئ الرياضي 6.1"
نحن نحل المشاكل في الهندسة. مهام تفاعلية للبناء في الفضاء

ماذا سوف ندرس:
1. ما هو القوسين؟
2. تعيين القوسين.
3. قليلا من التاريخ.
4. التعريف.

6. أمثلة.

ما هو أركسين؟

يا رفاق ، لقد تعلمنا بالفعل كيفية حل معادلات جيب التمام ، والآن دعنا نتعلم كيفية حل المعادلات المتشابهة لجيب التمام. اعتبر sin (x) = √3 / 2. لحل هذه المعادلة ، تحتاج إلى بناء خط مستقيم y = √3 / 2 وترى: في أي نقطة يتقاطع مع دائرة الأرقام. يمكن ملاحظة أن الخط يتقاطع مع الدائرة عند النقطتين F و G. وستكون هذه النقاط هي حل المعادلة. أعد تسمية F كـ x1 و G كـ x2. لقد وجدنا بالفعل حل هذه المعادلة وحصلنا على: x1 = π / 3 + 2πk ،
و x2 = 2π / 3 + 2πk.

حل هذه المعادلة بسيط للغاية ، ولكن كيفية حل المعادلة ، على سبيل المثال
الخطيئة (س) = 5/6. من الواضح أن هذه المعادلة لها أيضًا جذران ، ولكن ما هي القيم التي تتوافق مع الحل في دائرة الأرقام؟ لنلق نظرة فاحصة على معادلة الخطيئة (س) = 5/6.
سيكون حل المعادلة نقطتين: F = x1 + 2πk و G = x2 + 2πk ،
حيث x1 هو طول القوس AF ، x2 هو طول القوس AG.
ملاحظة: x2 = π - x1 بسبب AF = AC - FC ، لكن FC = AG ، AF = AC - AG = π - x1.
لكن ما هي هذه النقاط؟

في مواجهة وضع مماثل ، جاء علماء الرياضيات رمز جديد- arcsin (x). يقرأ مثل قوس القوس.

ثم سيتم كتابة حل المعادلة على النحو التالي: x1 = arcsin (5/6) ، x2 = π -arcsin (5/6).

والقرار في نظرة عامة: x = arcsin (5/6) + 2πk and x = π - arcsin (5/6) + 2πk.
القوس هو الزاوية (طول القوس AF ، AG) الجيب ، والذي يساوي 5/6.

قليلا من تاريخ القوس

تاريخ أصل رمزنا هو بالضبط نفس تاريخ arccos. لأول مرة ، يظهر رمز arcsin في أعمال عالم الرياضيات Scherfer والعالم الفرنسي الشهير J.L. لاغرانج. في وقت سابق إلى حد ما ، تم النظر في مفهوم أركسين من قبل د.بيرنولي ، على الرغم من أنه كتبه مع رموز أخرى.

أصبحت هذه الرموز مقبولة بشكل عام فقط في نهاية القرن الثامن عشر. تأتي البادئة "arc" من الكلمة اللاتينية "arcus" (القوس ، القوس). هذا يتوافق تمامًا مع معنى المفهوم: arcsin x هي زاوية (أو يمكنك أن تقول قوسًا) ، جيبها يساوي x.

تعريف القوسين

إذا كان | а | ≤ 1 ، إذن arcsin (a) هو رقم من الفاصل الزمني [- π / 2 ؛ π / 2] جيبه أ.

إذا كانت | a | ≤ 1 ، فإن المعادلة sin (x) = a لها حل: x = arcsin (a) + 2πk and
س = π - arcsin (أ) + 2π ك

دعنا نعيد كتابة:

x = π - arcsin (a) + 2πk = -arcsin (a) + π (1 + 2k).

يا رفاق ، انظروا بعناية إلى حلين لدينا. ما رأيك: هل يمكن كتابتها بصيغة عامة؟ لاحظ أنه إذا كانت هناك علامة زائد قبل القوس ، فسيتم ضرب π في رقم زوجي 2πk ، وإذا كانت الإشارة ناقص ، فإن المضاعف هو 2k + 1 فردي.
مع وضع هذا في الاعتبار ، نكتب صيغة الحل العامة للمعادلة sin (x) = a:

هناك ثلاث حالات يفضل فيها المرء كتابة الحلول بطريقة أبسط:

الخطيئة (س) = 0 ، ثم س = π ك ،

الخطيئة (س) = 1 ، ثم س = / 2 + 2π ك ،

الخطيئة (س) = - 1 ، ثم س =-/ 2 + 2π ك.

لأي -1 ≤ a ≤ 1 ، فإن المساواة التالية تحمل: arcsin (-a) = - arcsin (a).

لنكتب جدولًا لقيم جيب التمام في الاتجاه المعاكس ونحصل على جدول القوس.

أمثلة

1. احسب: arcsin (3/2).
الحل: دع arcsin (√3 / 2) = x ، ثم sin (x) = √3 / 2. بحكم التعريف: - / 2 x≤ π / 2. لنلقِ نظرة على قيم الجيب في الجدول: x = π / 3 ، لأن الخطيئة (π / 3) = √3 / 2 و – / 2 ≤ π / 3 ≤ π / 2.
الجواب: arcsin (√3 / 2) = π / 3.

2. احسب: arcsin (-1/2).
الحل: دع arcsin (-1/2) = x ، ثم sin (x) = -1/2. بحكم التعريف: - / 2 x≤ π / 2. لنلقِ نظرة على قيم الجيب في الجدول: x =-/ 6 ، لأن الخطيئة (-π / 6) = -1/2 و-/ 2-π / 6≤ π / 2.
الجواب: arcsin (-1/2) = - / 6.

3. احسب: arcsin (0).
الحل: دع arcsin (0) = x ، ثم sin (x) = 0. حسب التعريف: - π / 2 ≤x≤ π / 2. لنلقِ نظرة على قيم الجيب في الجدول: إنها تعني x = 0 ، لأن الخطيئة (0) = 0 و - / 2 ≤ 0 π / 2. الجواب: arcsin (0) = 0.

4. حل المعادلة: sin (x) = -2 / 2.
س = arcsin (-2 / 2) + 2πk و x = π - arcsin (-2 / 2) + 2πk.
لنلقِ نظرة على القيمة الواردة في الجدول: arcsin (-2 / 2) =-/ 4.
الإجابة: x =-/ 4 + 2πk و x = 5π / 4 + 2πk.

5. حل المعادلة: sin (x) = 0.
الحل: لنستخدم التعريف ، ثم يتم كتابة الحل بالشكل التالي:
س = arcsin (0) + 2πk و x = π - arcsin (0) + 2πk. لنلقِ نظرة على القيمة الواردة في الجدول: arcsin (0) = 0.
الجواب: س = 2π ك و س = + 2π ك

6. حل المعادلة: sin (x) = 3/5.
الحل: لنستخدم التعريف ، ثم يتم كتابة الحل بالشكل التالي:
س = arcsin (3/5) + 2πk و x = - arcsin (3/5) + 2πk.
الجواب: x = (-1) n - arcsin (3/5) + k.

7. حل المتباينة sin (x) الحل: الجيب هو إحداثيات نقطة الدائرة العددية. إذن: نحتاج إلى إيجاد مثل هذه النقاط التي يكون إحداثيها أقل من 0.7. لنرسم خطًا مستقيمًا ص = 0.7. يتقاطع مع دائرة الأرقام عند نقطتين. عدم المساواة y ثم حل المتباينة سيكون:-- arcsin (0.7) + 2πk

مشاكل على القوس لحل مستقل

1) احسب: أ) أركسين (√2 / 2) ، ب) أركسين (1/2) ، ج) أركسين (1) ، د) أركسين (-0.8).
2) حل المعادلة: أ) sin (x) = 1/2، b) sin (x) = 1، c) sin (x) = √3 / 2، d) sin (x) = 0.25،
هـ) الخطيئة (س) = -1.2.
3) حل المتباينة: أ) sin (x)> 0.6 ، ب) sin (x) ≤ 1/2.

ما هو arcsine ، arccosine؟ ما هو قوس الظل ، قوس الظل؟

انتباه!
هناك المزيد
المادة في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين بقوة "ليس جدا ..."
ولأولئك الذين "كثيرًا ...")

إلى المفاهيم قوس قوس ، قوس قوس ، قوس ، قوس ظل عدد الطلاب حذر. إنه لا يفهم هذه المصطلحات ، وبالتالي لا يثق بهذه العائلة المجيدة.) ولكن عبثًا. هذا جدا مفاهيم بسيطة. وهذا ، بالمناسبة ، يجعل الحياة أسهل بكثير. معرفة الشخصعند حل المعادلات المثلثية!

مرتبك بشأن البساطة؟ عبثًا.) هنا والآن ستقتنع بهذا.

بالطبع ، من أجل الفهم ، سيكون من الجيد معرفة ما هي الجيب وجيب التمام والظل والظل. نعم ، قيمها الجدولية لبعض الزوايا ... على الأقل في معظم الحالات بعبارات عامة. ثم لن تكون هناك مشاكل هنا أيضًا.

لذلك ، نحن متفاجئون ، لكن تذكر: قوس قوس ، قوس قوس ، قوس قوس ، قوس ظل الزاوية ليست سوى بعض الزوايا.لا أكثر ولا أقل. هناك زاوية ، لنقل 30 درجة. وهناك زاوية قوسين 0.4. أو arctg (-1.3). هناك كل أنواع الزوايا.) يمكنك فقط كتابة الزوايا طرق مختلفة. يمكنك كتابة الزاوية بالدرجات أو الراديان. أو يمكنك - من خلال الجيب وجيب التمام والظل والظل ...

ماذا يعني التعبير

أركسين 0.4؟

هذه هي الزاوية التي يساوي جيبها 0.4! نعم نعم. هذا هو معنى القوس. أكرر على وجه التحديد: arcsin 0.4 زاوية جيبها 0.4.

وهذا كل شيء.

للحفاظ على هذا الفكر البسيط في رأسي لفترة طويلة ، سأقدم تفصيلاً لهذا المصطلح الرهيب - القوس:

قوس الخطيئة 0,4
ركن، جيبه يساوي 0.4

كما هو مكتوب ، هكذا يُسمع.) تقريبًا. وحدة التحكم قوسيعني قوس(كلمة قوستعرف؟) ، لأن استخدم القدماء الأقواس بدلاً من الزوايا ، لكن هذا لا يغير جوهر الأمر. تذكر هذا فك التشفير الأولي للمصطلح الرياضي! علاوة على ذلك ، بالنسبة لجيب التمام القوسي والماس القوسي والماس القوسي ، يختلف فك التشفير فقط في اسم الوظيفة.

ما هو أركوس 0.8؟
هذه زاوية جيب تمامها 0.8.

ما هو أركتان (-1،3)؟
هذه الزاوية التي يكون ظلها -1.3.

ما هو Arcctg 12؟
هذه زاوية ظل التمام فيها 12.

يسمح مثل هذا فك التشفير الأولي ، بالمناسبة ، بتجنب الأخطاء الفادحة.) على سبيل المثال ، يبدو التعبير arccos1،8 صلبًا تمامًا. لنبدأ في فك التشفير: arccos1،8 زاوية جيب تمامها يساوي 1.8 ... Hop-hop !؟ 1.8 !؟ لا يمكن أن يكون جيب التمام أكبر من واحد!

الصحيح. التعبير arccos1،8 لا معنى له. وكتابة مثل هذا التعبير في إجابة ما سوف يسعد المدقق بشكل كبير).

الابتدائية ، كما ترى.) كل زاوية لها جيبها وجيبها الخاص بها. وكل شخص تقريبًا له ظل وظل التمام الخاص به. لذلك ، بمعرفة الدالة المثلثية ، يمكنك كتابة الزاوية نفسها. لهذا الغرض ، يقصد قوسين ، قوسين ، قوسين وظلمات قوسية. علاوة على ذلك ، سأسمي هذه الأسرة بأكملها ضآلة - أقواس.لكتابة أقل.)

انتباه! الابتدائية اللفظية و واعيتيح لك فك رموز الأقواس حل مجموعة متنوعة من المهام بهدوء وثقة. و في غير عاديالمهام فقط هي التي تحفظها.

هل من الممكن التبديل من الأقواس إلى الدرجات العادية أو الراديان؟- أسمع سؤالاً حذرًا.)

لما لا!؟ بسهولة. يمكنك الذهاب هناك والعودة. علاوة على ذلك ، من الضروري القيام بذلك في بعض الأحيان. الأقواس شيء بسيط ، ولكن بدونها يكون الأمر أكثر هدوءًا ، أليس كذلك؟)

على سبيل المثال: ما هو أركسين 0.5؟

دعونا نلقي نظرة على فك التشفير: أركسين 0.5 هي الزاوية التي يكون جيبها 0.5.الآن قم بتشغيل رأسك (أو Google)) وتذكر الزاوية التي بها جيب 0.5؟ الجيب هو 0.5 ص بزاوية 30 درجة. هذا كل ما في الامر: أركسين 0.5 هي زاوية 30 درجة.يمكنك كتابة ما يلي بأمان:

أركسين 0.5 = 30 درجة

أو ، بشكل أقوى ، من حيث الراديان:

هذا كل شيء ، يمكنك أن تنسى القوس وتعمل على الدرجات أو الراديان المعتادة.

إذا أدركت ما هو قوس قوسين ، قوس قوس ... ما هو قوس ظل ، قوس تماس ...ثم يمكنك بسهولة التعامل مع مثل هذا الوحش على سبيل المثال.)

الجاهل يرتد في الرعب ، نعم ...) والعلم تذكر فك التشفير:القوس هي الزاوية التي يكون جيبها ... حسنًا ، وهكذا. إذا كان الشخص المطلع يعرف أيضا جدول الجيب ... جدول جيب التمام. جدول الظل والظل ، فلا توجد مشاكل على الإطلاق!

يكفي اعتبار أن:

سوف أفك ، أي ترجمة الصيغة إلى كلمات: الزاوية التي يكون ظلها 1 (arctg1)هي زاوية 45 درجة. أو نفس الشيء Pi / 4. بصورة مماثلة:

وهذا كل شيء ... نستبدل جميع الأقواس بالقيم بالتقدير الدائري ، ويتم تقليل كل شيء ، ويبقى حساب مقدار 1 + 1. سيكون 2.) وهي الإجابة الصحيحة.

هذه هي الطريقة التي يمكنك (ويجب عليك) الانتقال من الأقواس ، القوسين ، القوسين والظلمات إلى الدرجات العادية والراديان. هذا يبسط إلى حد كبير الأمثلة المخيفة!

في كثير من الأحيان ، في أمثلة مماثلة، داخل حامل الأقواس نفيالقيم. مثل ، arctg (-1.3) ، أو ، على سبيل المثال ، arccos (-0.8) ... هذه ليست مشكلة. فيما يلي بعض الصيغ البسيطة للانتقال من السلبية إلى الإيجابية:

تحتاج ، على سبيل المثال ، إلى تحديد قيمة التعبير:

يمكنك حل هذا باستخدام دائرة مثلثية ، لكنك لا تريد رسمها. حسنًا ، حسنًا. ينطلق من نفيالقيم داخل قوس جيب التمام ل إيجابيحسب الصيغة الثانية:

داخل قوس القوس على اليمين بالفعل إيجابيالمعنى. ماذا او ما

عليك فقط أن تعرف. يبقى استبدال الراديان بدلاً من جيب التمام القوسي وحساب الإجابة:

هذا كل شئ.

القيود المفروضة على قوس قوس ، قوس قوس ، قوس قوس ، قوس ظل.

هل هناك مشكلة مع الأمثلة 7 - 9؟ حسنًا ، نعم ، هناك بعض الحيل.)

كل هذه الأمثلة ، من الأول إلى التاسع ، مرتبة بعناية على الرفوف في القسم 555. ماذا وكيف ولماذا. مع كل الأفخاخ والحيل السرية. بالإضافة إلى طرق لتبسيط الحل بشكل كبير. بالمناسبة ، في هذا القسم هناك الكثير معلومات مفيدةو نصيحة عمليةعلم المثلثات بشكل عام. وليس فقط في علم المثلثات. يساعد كثيرا.

إذا أعجبك هذا الموقع ...

بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

يتم تقديم طريقة لاشتقاق الصيغ للوظائف المثلثية العكسية. يتم الحصول على صيغ للحجج السلبية ، والتعبيرات المتعلقة قوس قوس ، قوس قوس ، قوس ظل الزاوية و قوس ظل القوس. يشار إلى طريقة لاشتقاق الصيغ لمجموع الأقواس ، القوسين ، القوسين والظلمات القوسية.

الصيغ الأساسية

اشتقاق الصيغ للدوال المثلثية العكسية بسيط ، لكنه يتطلب التحكم في قيم وسيطات الدوال المباشرة. هذا يرجع إلى حقيقة أن الدوال المثلثية دورية ، وبالتالي فإن وظائفها العكسية متعددة القيم. ما لم يُذكر خلاف ذلك ، تعني الدوال المثلثية العكسية قيمها الأساسية. لتحديد القيمة الرئيسية ، يتم تضييق مجال تعريف الوظيفة المثلثية إلى الفترة الزمنية التي تكون فيها رتيبة ومستمرة. يعتمد اشتقاق الصيغ للدوال المثلثية العكسية على صيغ الدوال المثلثية وخصائص الدوال العكسية على هذا النحو. يمكن تقسيم خصائص الوظائف العكسية إلى مجموعتين.

تتضمن المجموعة الأولى الصيغ الصالحة في جميع أنحاء المجال الكامل للدوال العكسية:
الخطيئة (arcsin x) = x
كوس (arccos x) = x
tg (arctg x) = x (-∞ < x < +∞ )
ctg (arctg x) = x (-∞ < x < +∞ )

تتضمن المجموعة الثانية الصيغ الصالحة فقط على مجموعة قيم الدوال العكسية.
arcsin (sin x) = xفي
arccos (cos x) = xفي
arctg (tg x) = xفي
arcctg (ctg x) = xفي

إذا لم يقع المتغير x في الفاصل الزمني أعلاه ، فيجب تقليله إليه باستخدام صيغ الدوال المثلثية (المشار إليها فيما يلي بـ n عدد صحيح):
sinx = الخطيئة (-x-π); sinx = الخطيئة (π-x); sinx = الخطيئة (x + 2πn);
cos x = cos (-x); cosx = cos (2π-x); cosx = cos (x + 2πn);
tgx = tg (x + πn); ctgx = ctg (x + n)

على سبيل المثال ، إذا كان معروفًا أن
arcsin (sin x) = arcsin (sin (π - x)) = - x.

من السهل ملاحظة أن π - x يقع ضمن الفترة المطلوبة. للقيام بذلك ، اضرب في -1: وأضف: أو كل شيء صحيح.

الدوال العكسية للحجة السلبية

بتطبيق الصيغ المذكورة أعلاه وخصائص الدوال المثلثية ، نحصل على صيغ للدوال العكسية للحجة السالبة.

arcsin (-x) = arcsin (-sin arcsin x) = arcsin (sin (-arcsin x)) = - arcsin x

منذ ذلك الحين وضربنا في -1 ، لدينا: أو
تقع وسيطة الجيب ضمن النطاق المسموح به للنطاق القوسي. لذلك فإن الصيغة صحيحة.

وبالمثل بالنسبة للوظائف الأخرى.
arccos (-x) = arccos (-cos arccos x) = arccos (cos (π-arccos x)) = π - arccos x

أركتان (-x) = arctg (-tg arctg x) = arctg (tg (-arctg x)) = - arctg x

arcctg (-x) = arcctg (-ctg arcctg x) = arcctg (ctg (π-arcctg x)) = π - arcctg x

التعبير عن القوسين من حيث قوس قوس الزاوية و قوس ظل الزاوية من حيث قوس ظل القوس

نعبر عن القوسين من حيث القوس.

الصيغة صالحة لأن هذه المتباينات تصمد لأن

للتحقق من ذلك ، نضرب المتباينات في -1: ونضيف π / 2: أو كل شيء صحيح.

وبالمثل ، فإننا نعبر عن قوس ظل الزاوية من خلال ظل الزاوية.

التعبير عن القوسين من خلال قوس ظل القوس ، قوس قوس قزح من خلال قوس ظل والعكس صحيح

نسير بطريقة مماثلة.

صيغ الجمع والفرق

بطريقة مماثلة ، نحصل على صيغة مجموع الأقواس.

دعونا نحدد حدود تطبيق الصيغة. من أجل عدم التعامل مع التعبيرات المرهقة ، نقدم الترميز: X = أركسين x، ص = أركسين ذ. الصيغة قابلة للتطبيق عندما
. علاوة على ذلك ، نلاحظ ذلك ، منذ ذلك الحين arcsin (- x) = - arcsin x ، arcsin (- y) = - arcsin y ،ثم لعلامات مختلفة لـ x و y و X و Y أيضًا علامة مختلفةوهكذا فإن التفاوتات تصمد. يمكن كتابة حالة العلامات المختلفة لـ x و y بمتباينة واحدة:. أي عندما تكون الصيغة صالحة.

الآن ضع في اعتبارك الحالة x > 0 و ذ > 0 ، أو X > 0 و ص > 0 . إذن ، شرط قابلية تطبيق الصيغة هو تحقيق عدم المساواة:. نظرًا لأن جيب التمام يتناقص بشكل رتيب لقيم الوسيطة في الفاصل الزمني من 0 ، إلى π ، نأخذ جيب التمام للجانبين الأيسر والأيمن من هذه المتباينة ونحول التعبير:
;
;
;
.
منذ و ثم جيب التمام المدرجة هنا ليست سلبية. كلا الجزأين من عدم المساواة موجبان. نقوم بتربيعها وتحويل جيب التمام من خلال الجيب:
;
.
بديل sin X = sin arc sin x = x:
;
;
;
.

إذن ، الصيغة الناتجة صالحة لـ أو.

الآن ضع في اعتبارك الحالة x> 0 و y> 0 و x 2 + y 2> 1 . هنا تأخذ حجة الجيب القيم:. يجب تقليله إلى الفاصل الزمني لمنطقة قيمة القوس:

لذا،

في أنا.

لدينا استبدال x و y بـ - x و - y

في أنا.
نقوم بإجراء التحولات:

في أنا.
أو

في أنا.

لذلك ، حصلنا على التعبيرات التالية لمجموع الأقواس:

في أو ؛

لو ؛

في و.