Лунен календар 

Изпитен профил по ирационални уравнения. Подготовка за Единен държавен изпит по математика на основно и специализирано ниво. Прости уравнения с една променлива

Днес ще тренираме умението за решаване на задача 5 от Единния държавен изпит - намерете корена на уравнението. Нека потърсим корена на уравнението. Нека да разгледаме примери за решаване на този тип задачи. Но първо, нека си припомним какво означава да намериш корена на уравнение?

Това означава да намерим число, криптирано под x, което ще заместим на мястото на x и нашето уравнение ще бъде истинско равенство.

Например 3x=9 е уравнение, а 3 . 3=9 вече е истинско равенство. Тоест в в такъв случай, заместихме числото 3 вместо x - получихме правилен изразили равенство, това означава, че сме решили уравнението, тоест намерили сме даденото число x=3, което превръща уравнението в истинско равенство.

Ето какво ще направим - ще намерим корена на уравнението.

Задача 1 - намерете корена на уравнение 2 1-4x =32

Това експоненциално уравнение. Разрешава се по следния начин- необходимо е както отляво, така и отдясно на знака за равенство да има степен c същата основа.

Отляво имаме основа от степен 2, а отдясно изобщо няма степен. Но знаем, че 32 е 2 на пета степен. Тоест 32=2 5

Така нашето уравнение ще изглежда така: 2 1-4x = 2 5

Отляво и отдясно показателите ни са еднакви, което означава, че за да имаме равенство, степените също трябва да са равни:

Получаваме обикновено уравнение. Нека решим по обичайния начин— оставяме всички неизвестни отляво и преместваме известните отдясно, получаваме:

Нека проверим: 2 1-4(-1) =32

Намерихме корена на уравнението. Отговор: x=-1.

Намерете сами корена на уравнението в следните задачи:

б) 2 1-3x =128

Задача 2 - намерете корена на уравнението

Решаваме уравнението по подобен начин - като редуцираме лявата и дясната страна на уравнението към една и съща основа. В нашия случай - към основата на степен 2.

Ние използваме следващ имотстепени:

Използвайки това свойство, получаваме за дясната страна на нашето уравнение:

Ако основите на степента са равни, тогава показателите са равни:

Отговор: x=9.

Нека направим проверка - заместваме намерената стойност на x в първоначалното уравнение - ако получим правилното равенство, значи сме решили правилно уравнението.

Намерихме правилно корена на уравнението.

Задача 3 - намерете корена на уравнението

Обърнете внимание, че отдясно имаме 1/8, а 1/8 е

Тогава нашето уравнение ще бъде написано като:

Ако основите на степента са равни, тогава експонентите са равни, получаваме просто уравнение:

Отговор: x=5. Направете проверката сами.

Задача 4 - намерете корена на уравнението log 3 (15's)=log 3 2

Това уравнение може да се реши по същия начин като експоненциалното. Трябва основите на логаритмите отляво и отдясно на знака за равенство да бъдат еднакви. Сега те са еднакви, което означава, че приравняваме тези изрази, които са под знака на логаритмите:

Отговор: x=13

Задача 5 - намерете корена на уравнението log 3 (3-x)=3

Числото 3 е log 3 27. За да стане ясно, под долния индекс под знака за логаритъм е числото, което е повдигнато на степен, в нашия случай 3, под знака за логаритъм е числото, което се е получило при повдигане на степен - това е 27, а самият логаритъм е степенна степен, към която трябва да се повдигне 3, за да се получи 27.

Погледни снимката:

Така всяко число може да бъде записано като логаритъм. В този случай е много удобно да напишем числото 3 като логаритъм с основа 3. Получаваме:

log 3 (3-x)=log 3 27

Основите на логаритмите са равни, което означава, че числата под знака на логаритъм са равни:

Да проверим:

log 3 (3-(-24))=log 3 27

log 3 (3+24)= log 3 27

log 3 27=log 3 27

Отговор: x=-24.

Намерете корена на уравнението. Задача 6.

log 2 (x+3)=log 2 (3x-15)

Проверка: log 2 (9+3)=log 2 (27-15)

log 2 12=log 2 12

Отговор: x=9.

Намерете корена на уравнението. Задача 7.

log 2 (14-2x)=2 log 2 3

log 2 (14-2x)=log 2 3 2

Проверка: log 2 (14-5)=2log 2 3

log 2 9=2 log 2 3

log 2 3 2 =2 log 2 3

2log 2 3=2log 2 3

Отговор: x=2,5

Подгответе се за Единния държавен изпит и Единния държавен изпит - разгледайте предишните теми и.

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

  • Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

  • Събрани от нас лична информацияни позволява да се свържем с вас и да ви информираме за уникални предложения, промоции и други събития и предстоящи събития.
  • От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
  • Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
  • Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

  • При необходимост, в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на обществени запитвания или искания от правителствени агенциина територията на Руската федерация - разкрийте вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
  • В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Уважаване на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Видео курсът „Вземете A“ включва всички теми, от които се нуждаете успешно завършванеЕдинен държавен изпит по математика за 60-65 точки. Напълно всички задачи 1-13 Профил Единен държавен изпитматематика. Подходящ и за полагане на основния единен държавен изпит по математика. Ако искате да издържите Единния държавен изпит с 90-100 точки, трябва да решите част 1 за 30 минути и без грешки!

Подготвителен курс за Единния държавен изпит за 10-11 клас, както и за учители. Всичко необходимо за решаване на част 1 от Единния държавен изпит по математика (първите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрия). И това е повече от 70 точки на Единния държавен изпит и нито студент със 100 точки, нито студент по хуманитарни науки не могат без тях.

Цялата необходима теория. Бързи начинирешения, клопки и тайни на единния държавен изпит. Анализирани са всички текущи задачи от част 1 от банката задачи на FIPI. Курсът напълно отговаря на изискванията на Единния държавен изпит 2018 г.

Курсът съдържа 5 големи теми, по 2,5 часа. Всяка тема е дадена от нулата, просто и ясно.

Стотици задачи за единен държавен изпит. Текстови задачи и теория на вероятностите. Прости и лесни за запомняне алгоритми за решаване на проблеми. Геометрия. Теория, справочни материали, анализ на всички видове задачи от Единния държавен изпит. Стереометрия. Хитри решения, полезни измамни листове, развитие на пространственото въображение. Тригонометрия от нулата до задача 13. Разбиране вместо тъпчене. Визуално обяснение сложни понятия. Алгебра. Корени, степени и логаритми, функция и производна. Основа за решение сложни задачи 2 части от Единния държавен изпит.

За да използвате визуализации на презентации, създайте акаунт за себе си ( сметка) Google и влезте: https://accounts.google.com


Надписи на слайдове:

УРАВНЕНИЯ В ИЗПОЛЗВАНЕТО В МАТЕМАТИКАТА ПРИМЕРИ И РЕШЕНИЯ Кравченко Н.А. Учител по математика, Средно училище № 891, Москва Образователна презентация за подготовка за Единния държавен изпит

СЪДЪРЖАНИЕ Резюме на задачата Пример 1 ( ирационално уравнение) Пример 2 (експоненциално уравнение) Пример 3 (ирационално уравнение) Пример 4 (дробно рационално уравнение) Пример 5 (логаритмично уравнение) Пример 6 (логаритмично уравнение) Пример 7 ( тригонометрично уравнение) Пример 8 (експоненциално уравнение) Пример 9 (ирационално уравнение) Пример 10 (логаритмично уравнение)

ТИП ВЪПРОС: Уравнение. ХАРАКТЕРИСТИКА НА ЗАДАЧАТА: Просто експоненциално, логаритмично, тригонометрично или ирационално уравнение. КОМЕНТАР: Уравнението се свежда в една стъпка до линейно или квадратно (в този случай в отговора трябва да се посочи само един от корените - по-големият или по-малкият). Неправилните отговори се дължат главно на аритметични грешки.

Решете уравнението. ПРИМЕР 1 Решение. Нека го повдигнем на квадрат: След това получаваме къде Отговор: -2

ПРИМЕР 2 Решете уравнението. Решение. Нека да преминем към една основа на степен: От равенство на бази преминаваме към равенство на степени: Откъдето Отговор: 3

ПРИМЕР 3 Решете уравнението. Решение. Нека повдигнем двете страни на уравнението на трета степен: След елементарни трансформации получаваме: Отговор: 23

ПРИМЕР 4 Решете уравнението. Ако едно уравнение има повече от един корен, отговорете с по-малкия. Решение. Диапазон на допустимите стойности: x≠10. В тази област нека умножим по знаменателя: И двата корена лежат в ODZ. По-малкото е −3. Отговор: -3

ПРИМЕР 5 Решете уравнението. Решение. Използвайки формулата получаваме: Отговор: 6

ПРИМЕР 6 Решете уравнението. Решение. Логаритмите на два израза са равни, ако самите изрази са равни и същевременно положителни: Къде получаваме Отговор: 6

ПРИМЕР 7 Решете уравнението. Отговорете с най-малкия положителен корен. Решение. Нека решим уравнението:

Стойностите съответстват на големи положителни корени. Ако k=1, тогава x 1 =6,5 и x 2 =8,5. Ако k=0, тогава x 3 =0,5 и x 4 =2,5. Стойностите съответстват на по-малки стойности на корените. Най-малкото положително решение е 0,5. Отговор: 0,5

ПРИМЕР 8 Решете уравнението. Решение. Намалявайки лявата и дясната страна на уравнението до степени на 6, получаваме: Къде означава, Отговор: 2

ПРИМЕР 9 Решете уравнението. Решение. Като повдигнем на квадрат двете страни на уравнението, получаваме: Очевидно откъде Отговор: 5

ПРИМЕР 10 Решете уравнението. Решение. Нека пренапишем уравнението така, че да има логаритъм при основа 4 от двете страни: След това е очевидно къде Отговор: -11

Използваният материал е взет от сайта: http://reshuege.ru Снимката е взета от: http://images.yandex.ru/yandsearch?source=wiz&uinfo=sw-1263-sh-677-fw-1038-fh- 471- pd-1&p=3&text= equations%20pictures& noreask =1&pos=100&rpt= simage&lr =213&img_url=http%3A%2F%2Fwww.presentermedia.com%2Ffiles%2Fclipart%2F00003000%2F3804%2Fdrawing_math_equation_pc_md_ wm.jpg


По темата: методически разработки, презентации и бележки

Проектна работа Методика за подготовка на учениците за решаване на задачи по темите „Задачи за движение“ и „Задачи за смеси и сплави“, включени в Единния държавен изпит по математика.

Доминиращата идея федерален компонентдържавен образователен стандарт по математика се развива интензивно логично мислене, пространствено въображение, алг.

ПРЕДМЕТНО-ОРИЕНТИРАНИ ЗАДАЧИ ПРИ ИЗПОЛЗВАНЕ по математика.

Разработването и подборът на задачи за развитие на знания, умения и способности е много важна задача. За постигането на тази цел се използват два вида задачи – чисто математически и практически ориентирани. дни...

Уравнения, част $C$

Равенство, съдържащо неизвестно число, обозначено с буква, се нарича уравнение. Изразът отляво на знака за равенство се нарича лява страна на уравнението, а изразът отдясно се нарича дясна страна на уравнението.

Схема за решаване на сложни уравнения:

  1. Преди да решите уравнение, е необходимо да запишете диапазона от допустими стойности (ADV) за него.
  2. Решете уравнението.
  3. Изберете от получените корени на уравнението тези, които удовлетворяват ОДЗ.

ODZ на различни изрази (под израз имаме предвид буквено-цифрова нотация):

1. Изразът в знаменателя не трябва да е равен на нула.

$(f(x))/(g(x)); g(x)≠0$

2. Коренният израз не трябва да е отрицателен.

$√(g(x)); g(x) ≥ 0$.

3. Коренът на израза в знаменателя трябва да е положителен.

$(f(x))/(√(g(x))); g(x) > 0$

4. За логаритъм: сублогаритмичният израз трябва да е положителен; основата трябва да е положителна; Основата не може да е равна на единица.

$log_(f(x))g(x)\table\(\g(x) > 0;\ f(x) > 0;\ f(x)≠1;$

Логаритмични уравнения

Логаритмичните уравнения са уравнения във формата $log_(a)f(x)=log_(a)g(x)$, където $a$ е положително число, различен от $1$, и уравнения, които могат да бъдат редуцирани до тази форма.

За да решавате логаритмични уравнения, трябва да знаете свойствата на логаритмите: ще разгледаме всички свойства на логаритмите за $a > 0, a≠ 1, b> 0, c> 0, m$ – всяко реално число.

1. За всякакви реални числа $m$ и $n$ са верни равенствата:

$log_(a)b^m=mlog_(a)b;$

$log_(a^m)b=(1)/(m)log_(a)b.$

$log_(a^n)b^m=(m)/(n)log_(a)b$

$log_(3)3^(10)=10log_(3)3=10;$

$log_(5^3)7=(1)/(3)log_(5)7;$

$log_(3^7)4^5=(5)/(7)log_(3)4;$

2. Логаритъмът на произведение е равен на сумата от логаритмите при една и съща основа на всеки фактор.

$log_a(bc)=log_(a)b+log_(a)c$

3. Логаритъмът на частното е равен на разликата между логаритмите на числителя и знаменателя, използвайки една и съща основа

$log_(a)(b)/(c)=log_(a)b-log_(a)c$

4. Когато умножавате два логаритма, можете да размените основите им

$log_(a)b∙log_(c)d=log_(c)b∙log_(a)d$, ако $a, b, c$ и $d > 0, a≠1, b≠1.$

5. $c^(log_(a)b)=b^(log_(a)b)$, където $a, b, c > 0, a≠1$

6. Формула за преместване в нова база

$log_(a)b=(log_(c)b)/(log_(c)a)$

7. По-специално, ако е необходимо да се размени основният и сублогаритмичният израз

$log_(a)b=(1)/(log_(b)a)$

Има няколко основни вида логаритмични уравнения:

Най-простите логаритмични уравнения са: $log_(a)x=b$. Решението на този тип уравнение следва от дефиницията на логаритъма, т.е. $x=a^b$ и $x > 0$

Нека представим двете страни на уравнението като логаритъм при основа $2$

$log_(2)x=log_(2)2^3$

Ако логаритмите с една и съща основа са равни, то сублогаритмичните изрази също са равни.

Отговор: $x = 8$

Уравнения от вида: $log_(a)f(x)=log_(a)g(x)$. защото основите са еднакви, тогава приравняваме сублогаритмичните изрази и вземаме предвид ODZ:

$\table\(\ f(x)=g(x);\ f(x)>0;\ g(x) > 0, а > 0, а≠1;$

$log_(3)(x^2-3x-5)=log_(3)(7-2x)$

защото основите са еднакви, тогава приравняваме сублогаритмичните изрази

Нека преместим всички членове в лявата страна на уравнението и да представим подобни членове

Нека проверим намерените корени според условията $\table\(\ x^2-3x-5>0;\ 7-2x>0;$

При заместване във второто неравенство коренът $x=4$ не отговаря на условието, следователно е страничен корен

Отговор: $x=-3$

  • Метод на променлива замяна.

При този метод се нуждаете от:

  1. Запишете уравненията на ODZ.
  2. Използвайки свойствата на логаритмите, уверете се, че уравненията произвеждат еднакви логаритми.
  3. Заменете $log_(a)f(x)$ с произволна променлива.
  4. Решете уравнението за новата променлива.
  5. Върнете се към стъпка 3, заменете стойността на променливата и получете най-простото уравнение от формата: $log_(a)x=b$
  6. Решете най-простото уравнение.
  7. След намирането на корените логаритмично уравнениее необходимо да ги поставите в параграф 1 и да проверите състоянието на ODZ.

Решете уравнението $log_(2)√x+2log_(√x)2-3=0$

1. Нека запишем уравнението на ODZ:

$\table\(\ x>0,\text"тъй като е под знака на корен и логаритъм";\ √x≠1→x≠1;$

2. Нека направим логаритми към основата $2$, за това ще използваме правилото за преминаване към нова основа във втория член:

$log_(2)√x+(2)/(log_(2)√x)-3=0$

4. Получаваме дробно рационално уравнение за променливата t

Нека сведем всички членове до общ знаменател $t$.

$(t^2+2-3t)/(t)=0$

Една дроб е равна на нула, когато числителят е нула, а знаменателят не е нула.

$t^2+2-3t=0$, $t≠0$

5. Да решим резултата квадратно уравнениеспоред теоремата на Виета:

6. Нека се върнем към стъпка 3, направим обратното заместване и получим две прости логаритмични уравнения:

$log_(2)√x=1$, $log_(2)√x=2$

Нека логаритмуваме десните части на уравненията

$log_(2)√x=log_(2)2$, $log_(2)√x=log_(2)4$

Нека приравним сублогаритмичните изрази

$√x=2$, $√x=4$

За да се отървем от корена, нека повдигнем на квадрат двете страни на уравнението

$х_1=4$, $х_2= 16$

7. Нека заместим корените на логаритмичното уравнение в стъпка 1 и да проверим условието ODZ.

$\(\таблица\ 4 >0; \4≠1;$

Първият корен удовлетворява ODZ.

$\(\table\ 16 >0; \16≠1;$ Вторият корен също удовлетворява ODZ.

Отговор: $4; $16

  • Уравнения във формата $log_(a^2)x+log_(a)x+c=0$. Такива уравнения се решават чрез въвеждане на нова променлива и преминаване към обикновено квадратно уравнение. След като са намерени корените на уравнението, те трябва да бъдат избрани, като се вземе предвид ODZ.

Дробни рационални уравнения

  • Ако една дроб е нула, тогава числителят е нула, а знаменателят не е нула.
  • Ако поне една част от рационално уравнение съдържа дроб, тогава уравнението се нарича дробно-рационално.

За да решите дробно рационално уравнение, трябва:

  1. Намерете стойностите на променливата, при които уравнението няма смисъл (ODZ)
  2. Намерете общия знаменател на дробите, включени в уравнението;
  3. Умножете двете страни на уравнението по общия знаменател;
  4. Решете полученото цяло уравнение;
  5. Изключете от неговите корени онези, които не отговарят на условието ODZ.
  • Ако едно уравнение включва две дроби и числителите са техните равни изрази, тогава знаменателите могат да бъдат приравнени един към друг и полученото уравнение може да бъде решено, без да се обръща внимание на числителите. НО като се вземе предвид ODZ на цялото оригинално уравнение.

Експоненциални уравнения

Експоненциалните уравнения са тези, при които неизвестното се съдържа в степента.

При решаването на експоненциални уравнения се използват свойствата на мощностите, нека си припомним някои от тях:

1. При умножение на степени с еднакви основи основата остава същата, а показателите се събират.

$a^n·a^m=a^(n+m)$

2. При деление на степени с еднакви основи основата остава същата, а показателите се изваждат

$a^n:a^m=a^(n-m)$

3. При повишаване на степен на степен основата остава същата, но степените се умножават

$(a^n)^m=a^(n∙m)$

4. При повдигане на продукт на степен всеки фактор се повдига на тази степен

$(a b)^n=a^n b^n$

5. При повишаване на дроб на степен, числителят и знаменателят се повдигат на тази степен

$((a)/(b))^n=(a^n)/(b^n)$

6. Когато която и да е основа се повдигне до степен нула, резултатът е равен на единица

7. Основа във всеки отрицателен експонент може да бъде представена като основа в същия положителен експонент чрез промяна на позицията на основата спрямо чертата на фракцията

$a^(-n)=(1)/(a^n)$

$(a^(-n))/(b^(-k))=(b^k)/(a^n)$

8. Корен (корен) може да бъде представен като степен с дробен показател

$√^n(a^k)=a^((k)/(n))$

Видове експоненциални уравнения:

1. Прости експоненциални уравнения:

a) Формата $a^(f(x))=a^(g(x))$, където $a >0, a≠1, x$ е неизвестен. За решаване на такива уравнения използваме свойството на степените: степени с една и съща основа ($a >0, a≠1$) са равни само ако техните показатели са равни.

б) Уравнение от вида $a^(f(x))=b, b>0$

За да се решат такива уравнения, двете страни трябва да бъдат взети логаритмично към основата $a$, оказва се

$log_(a)a^(f(x))=log_(a)b$

2. Метод за изравняване на основата.

3. Метод на факторизиране и заместване на променливи.

  • За този метод, в цялото уравнение, според свойството на степените, е необходимо степените да се трансформират в една форма $a^(f(x))$.
  • Направете промяна на променлива $a^(f(x))=t, t > 0$.
  • Получаваме рационално уравнение, което трябва да се реши чрез разлагане на израза.
  • Правим обратни замествания, като вземем предвид факта, че $t >

Решете уравнението $2^(3x)-7 2^(2x-1)+7 2^(x-1)-1=0$

Използвайки свойството на степените, трансформираме израза, така че да получим степен 2^x.

$(2^x)^3-(7·(2^x)^2)/(2)+(7·2^x)/(2-1)=0$

Нека променим променливата $2^x=t; t>0$

Получаваме кубично уравнение от формата

$t^3-(7 t^2)/(2)+(7 t)/(2)-1=0$

Умножете цялото уравнение по $2$, за да се отървете от знаменателите

$2t^3-7 t^2+7 t-2=0$

Нека разширим лявата страна на уравнението, използвайки метода на групиране

$(2t^3-2)-(7 t^2-7 t)=0$

Нека извадим общия множител $2$ от първата скоба и $7t$ от втората

$2(t^3-1)-7t(t-1)=0$

Освен това в първата скоба виждаме разликата на формулата на кубчетата

$(t-1)(2t^2+2t+2-7t)=0$

Продуктът е нула, когато поне един от факторите е нула

1) $(t-1)=0;$ 2) $2t^2+2t+2-7t=0$

Нека решим първото уравнение

Нека решим второто уравнение чрез дискриминанта

$D=25-4·2·2=9=3^2$

$t_2=(5-3)/(4)=(1)/(2)$

$t_3=(5+3)/(4)=2$

$2^x=1; 2^x=(1)/(2); 2^x=2$

$2^x=2^0; 2^x=2^(-1); 2^x=2^1$

$x_1=0; x_2=-1; x_3=1$

Отговор: $-1; 0; 1$

4. Метод на преобразуване на квадратното уравнение

  • Имаме уравнение от вида $A·a^(2f(x))+B·a^(f(x))+C=0$, където $A, B$ и $C$ са коефициенти.
  • Правим замяната $a^(f(x))=t, t > 0$.
  • Резултатът е квадратно уравнение от вида $A·t^2+B·t+С=0$. Решаваме полученото уравнение.
  • Правим обратното заместване, като вземем предвид факта, че $t > 0$. Получаваме най-простото експоненциално уравнение $a^(f(x))=t$, решаваме го и записваме резултата като отговор.

Методи за факторизация:

  • Изваждане на общия множител извън скоби.

За да факторизирате полином, като извадите общия множител извън скоби, трябва:

  1. Определете общия множител.
  2. Разделете дадения полином на него.
  3. Запишете произведението на общия множител и полученото частно (заграждайки това частно в скоби).

Разложете полинома на множители: $10a^(3)b-8a^(2)b^2+2a$.

Общият множител на този полином е $2a$, тъй като всички членове се делят на $2$ и "a". След това намираме коефициента на разделяне на оригиналния полином на „2a“, получаваме:

$10a^(3)b-8a^(2)b^2+2a=2a((10a^(3)b)/(2a)-(8a^(2)b^2)/(2a)+( 2a)/(2a))=2a(5a^(2)b-4ab^2+1)$

Това е крайният резултат от факторизацията.

Използване на формули за съкратено умножение

1. Квадратът на сумата се разлага на квадрата на първото число плюс два пъти произведението на първото число и второто число и плюс квадрата на второто число.

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

2. Квадратът на разликата се разлага на квадрата на първото число минус удвоеното произведение на първото число и второто и плюс квадрата на второто число.

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

3. Разликата на квадратите се разлага на произведението на разликата на числата и тяхната сума.

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

4. Сборен куб равен на кубпървото число плюс утроеното произведение на квадрата на първото число по второто число плюс утроеното произведение на първото по квадрата на второто число плюс куба на второто число.

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

5. Кубът на разликата е равен на куба на първото число минус тройното произведение на квадрата на първото число по второто число плюс тройното произведение на първото по квадрата на второто число и минус куба на второто число.

$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

6. Сборът на кубовете е равен на произведението от сбора на числата и частичния квадрат на разликата.

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

7. Разликата на кубовете е равна на произведението от разликата на числата и непълния квадрат на сбора.

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Метод на групиране

Методът на групиране е удобен за използване, когато е необходимо да се разложи полином с четен брой членове. IN този методнеобходимо е да се съберат термините в групи и да се извади общият фактор от всяка група. След като ги поставим в скоби, няколко групи трябва да получат идентични изрази; след това вземаме тази скоба напред като общ множител и я умножаваме по скобата на полученото частно.

Разложете на множители полинома $2a^3-a^2+4a-2$

За да разложим този полином, ще използваме метода на групиране на членовете, ще групираме първите два и последните два члена, като е важно да поставим правилно знака пред втората група знак и следователно напишете термините със знаците им в скоби.

$(2a^3-a^2)+(4a-2)=a^2(2a-1)+2(2a-1)$

След като извадим общите множители, получихме двойка еднакви скоби. Сега изваждаме тази скоба като общ множител.

$a^2(2a-1)+2(2a-1)=(2a-1)(a^2+2)$

Произведението на тези скоби е крайният резултат от факторизирането.

Използване на формулата на квадратния трином.

Ако има квадратен трином от формата $ax^2+bx+c$, тогава той може да бъде разширен съгласно формулата

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, където $x_1$ и $x_2$ са корените на квадратния трином