Как да намерите обема на правилна шестоъгълна призма. Основна площ на призмата: триъгълна до многоъгълна

В триъгълник БЪДА б1 :

• б б1 = h
• B E = 2 ⋅ a- защото E O = O B = a
• ∠ E B б1 = 90 ∘ - според свойствата на правилната права линия

По този начин се оказва, че триъгълникът БЪДА б1 правоъгълен. Според свойствата на правоъгълен триъгълник

д б1 = б б2 1 + Б д2 − − − − − − − − − − √ = ч2 + 4 ⋅ а2 − − − − − − − − √

Ако h = а, така че след това

д б1 = 5 √ ⋅ а

След подобни разсъждения получаваме това Е ° С1 = А д1 =Б д1 = В Е1 =D А1 = ч2 + 4 ⋅ а2 − − − − − − − − √ .

Намираме О Е1

В триъгълник F O Е1 :

• Е Е1 = h
• F O = а
• ∠ O F Е1 = 90 ∘ - според свойствата на правилна призма

По този начин се оказва, че триъгълникът F O Е1 правоъгълен. Според свойствата на правоъгълен триъгълник

О Е1 = Е Е2 1 +О Е2 − − − − − − − − − − √ = ч2 + а2 − − − − − − √

Ако h = а, така че след това

Определянето на обемите на геометричните тела е една от важните задачи на пространствената геометрия. Тази статия обсъжда въпроса какво е призма с шестоъгълна основа и също така предоставя формула за обема на правилна шестоъгълна призма.

Определение за призма

От гледна точка на геометрията, призмата е фигура в пространството, която е образувана от два еднакви многоъгълника, разположени в успоредни равнини. Както и няколко паралелограма, които тези многоъгълници свързват в една фигура.

В триизмерното пространство може да се получи призма с произволна форма, като се вземе произволен многоъгълник и сегмент. Освен това последната равнина на многоъгълника няма да принадлежи. След това, поставяйки този сегмент от всеки връх на многоъгълника, може да се получи паралелен трансфер на последния в друга равнина. Така образуваната фигура ще бъде призма.

За да имаме визуално представяне на разглеждания клас фигури, представяме чертеж на четириъгълна призма.

Много хора знаят тази фигура под името паралелепипед. Вижда се, че два еднакви многоъгълника на призмата са квадрати. Те се наричат ​​основи на фигурата. Другите четири страни от него са правоъгълници, тоест това са специален случайуспоредници.

Шестоъгълна призма: определение и видове

Преди да дадете формулата, как се определя обемът на шестоъгълна правилна призма, е необходимо ясно да разберете за каква фигура говорим. има шестоъгълна основа. Тоест плосък многоъгълник с шест страни, същия брой ъгли. Страните на фигурата, както и за всяка призма, обикновено са успоредници. Веднага отбелязваме, че шестоъгълната основа може да бъде представена както от правилни, така и от неправилни шестоъгълници.

Разстоянието между основите на една фигура е нейната височина. По-нататък ще го обозначаваме с буквата h. Геометрично височината h е отсечка, перпендикулярна на двете основи. Ако това е перпендикулярно:

• спусната от геометричния център на една от основите;
• пресича втората основа също в геометричния център.

Фигурата в този случай се нарича права линия. Във всеки друг случай призмата ще бъде наклонена или наклонена. Разликата между тези видове шестоъгълна призма може да се види с един поглед.

Правилната шестоъгълна призма е фигура, която има правилни шестоъгълници в основата. Въпреки това е направо. Нека разгледаме по-отблизо неговите свойства.

Елементи на правилна шестоъгълна призма

За да разберете как да изчислите обема на правилна шестоъгълна призма (формулата е дадена по-долу в статията), вие също трябва да разберете от какви елементи се състои фигурата, както и какви свойства има. За да улесним анализирането на фигурата, ще я покажем на фигурата.

Основните му елементи са лица, ръбове и върхове. Броят на тези елементи се подчинява на теоремата на Ойлер. Ако означим P - броя на ръбовете, B - броя на върховете и G - лицата, тогава можем да напишем равенството:

Нека го проверим. Броят на лицата на разглежданата фигура е 8. Две от тях са правилни шестоъгълници. Шест лица са правоъгълници, както се вижда от фигурата. Броят на върховете е 12. Действително 6 върха принадлежат на една основа, а 6 на друга. Според формулата броят на ръбовете трябва да бъде 18, което е справедливо. 12 ръба лежат в основите, а 6 образуват страните на правоъгълниците, успоредни една на друга.

Обръщайки се към получаването на формулата за обема на правилна шестоъгълна призма, трябва да се съсредоточите върху едно важно свойство на тази фигура: правоъгълниците, които образуват странична повърхност, равни една на друга и перпендикулярни на двете основи. Това води до две важни последици:

1. Височината на фигурата е равна на дължината на страничния й ръб.
2. Всяко странично сечение, направено с помощта на режеща равнина, която е успоредна на основите, е правилен шестоъгълник, равен на тези основи.

Площ на шестоъгълник

Човек може интуитивно да предположи, че тази област от основата на фигурата ще се появи във формулата за обем на правилна шестоъгълна призма. Следователно в този параграф на статията ще намерим тази област. Правилен шестоъгълник, разделен на 6 еднакви триъгълника, чиито върхове се пресичат в неговия геометричен център, е показан по-долу:

Всеки от тези триъгълници е равностранен. Не е много трудно да се докаже това. Тъй като цялата окръжност има 360 o , ъглите на триъгълниците близо до геометричния център на шестоъгълника са 360 o /6=60 o . Разстоянията от геометричния център до върховете на шестоъгълника са еднакви.

Последното означава, че всичките 6 триъгълника ще бъдат равнобедрени. Защото един от ъглите равнобедрени триъгълницие равен на 60 o , което означава, че другите два ъгъла също са равни на 60 o . ((180 o -60 o) / 2) - равностранни триъгълници.

Означете дължината на страната на шестоъгълника с буквата а. Тогава площта на един триъгълник ще бъде равна на:

S 1 = 1/2*√3/2*a*a = √3/4*a 2 .

Формулата се извлича от стандартния израз за площта на триъгълник. Тогава площта S 6 за шестоъгълника ще бъде:

S 6 \u003d 6 * S 1 \u003d 6 * √3 / 4 * a 2 \u003d 3 * √ 3 / 2 * a 2.

Формулата за определяне на обема на правилна шестоъгълна призма

За да напишете формулата за обема на въпросната фигура, трябва да вземете предвид горната информация. За произволна призма обемът на пространството, ограничено от нейните лица, се изчислява, както следва:

Тоест V е равно на произведението на основната площ S o и височината h. Тъй като знаем, че височината h е равна на дължината на страничния ръб b за шестоъгълна правилна призма, а площта на нейната основа съответства на S 6, тогава формулата за обема на правилна шестоъгълна призма ще приеме формата:

V 6 \u003d 3 * √ 3 / 2 * a 2 * b.

Пример за решаване на геометрична задача

Дана шестоъгълна дясна призма. Известно е, че тя е вписана в цилиндър с радиус 10 см. Височината на призмата е два пъти страната на нейната основа. Намерете обема на фигурата.

За да намерите необходимата стойност, трябва да знаете дължината на страничното и страничното ребро. При разглеждане на правилен шестоъгълник беше показано, че неговият геометричен център се намира в средата на описаната около него окръжност. Радиусът на последния е равен на разстоянието от центъра до който и да е от върховете. Тоест той равен на дължинатастрани на шестоъгълника. Тези съображения водят до следните резултати:

a = r = 10 cm;

b = h = 2*a = 20 cm.

Замествайки тези данни във формулата за обема на правилна шестоъгълна призма, получаваме отговора: V 6 ≈5196 cm 3 или около 5,2 литра.

Да кажем, че Ахил тича десет пъти по-бързо от костенурката и е на хиляда крачки зад нея. През времето, през което Ахил изминава това разстояние, костенурката изпълзява стотина стъпки в същата посока. Когато Ахил измине сто крачки, костенурката ще пропълзи още десет крачки и т.н. Процесът ще продължи безкрайно, Ахил никога няма да настигне костенурката.

Това разсъждение се превърна в логичен шок за всички следващи поколения. Аристотел, Диоген, Кант, Хегел, Гилберт... Всички те по един или друг начин са разглеждали апориите на Зенон. Шокът беше толкова силен, че " ... дискусиите продължават и сега, елате общо мнениеза същността на парадоксите научната общност все още не е успяла ... математически анализ, теория на множествата, нови физически и философски подходи; нито едно от тях не стана общоприето решение на проблема ..."[Уикипедия," Апориите на Зенон "]. Всички разбират, че са заблудени, но никой не разбира каква е измамата.

От гледна точка на математиката, Зенон в своята апория ясно демонстрира прехода от стойността към. Този преход предполага прилагане вместо константи. Доколкото разбирам, математическият апарат за прилагане на променливи мерни единици или все още не е разработен, или не е приложен към апориите на Зенон. Прилагането на обичайната ни логика ни вкарва в капан. Ние, по инерцията на мисленето, прилагаме постоянни единици време към реципрочното. От физическа гледна точка изглежда, че времето се забавя до пълно спиране в момента, в който Ахил настига костенурката. Ако времето спре, Ахил вече не може да изпревари костенурката.

Ако обърнем логиката, с която сме свикнали, всичко си идва на мястото. Ахил тича с постоянна скорост. Всеки следващ сегмент от пътя му е десет пъти по-кратък от предишния. Съответно времето, прекарано за преодоляването му, е десет пъти по-малко от предишното. Ако приложим концепцията за „безкрайност“ в тази ситуация, тогава би било правилно да кажем „Ахил безкрайно бързо ще изпревари костенурката“.

Как да избегнем този логически капан? Останете в постоянни единици за време и не преминавайте към реципрочни стойности. На езика на Зенон това изглежда така:

За времето, необходимо на Ахил да измине хиляда крачки, костенурката пълзи стотина крачки в същата посока. През следващия интервал от време, равен на първия, Ахил ще направи още хиляда стъпки, а костенурката ще пропълзи сто стъпки. Сега Ахил е на осемстотин крачки пред костенурката.

Този подход описва адекватно реалността без никакви логически парадокси. Но не е така цялостно решениепроблеми. Твърдението на Айнщайн за непреодолимостта на скоростта на светлината е много подобно на апорията на Зенон "Ахил и костенурката". Предстои ни да проучим, преосмислим и решим този проблем. И решението трябва да се търси не в безкрайно големи числа, а в мерни единици.

Друга интересна апория на Зенон разказва за летяща стрела:

Летящата стрела е неподвижна, тъй като във всеки момент от времето тя е в покой, и тъй като е в покой във всеки момент от времето, тя винаги е в покой.

В тази апория логическият парадокс се преодолява много просто – достатъчно е да се изясни, че във всеки момент летящата стрела се опира в различни точки в пространството, което всъщност е движение. Тук трябва да се отбележи още един момент. От една снимка на автомобил на пътя е невъзможно да се определи нито фактът на неговото движение, нито разстоянието до него. За да се определи фактът на движение на автомобила, са необходими две снимки, направени от една и съща точка в различни моменти във времето, но те не могат да се използват за определяне на разстоянието. За да определите разстоянието до колата, имате нужда от две снимки, направени от различни точки в пространството едновременно, но не можете да определите факта на движение от тях (естествено, все още имате нужда от допълнителни данни за изчисления, тригонометрията ще ви помогне). На какво искам да се съсредоточа Специално внимание, е, че две точки във времето и две точки в пространството са различни неща, които не бива да се бъркат, защото предоставят различни възможности за изследване.

Сряда, 4 юли 2018 г

Много добре разликите между набор и мултимножество са описани в Уикипедия. Ние гледаме.

Както можете да видите, "множеството не може да има два еднакви елемента", но ако има идентични елементи в множеството, такова множество се нарича "мултимножество". Разумните същества никога няма да разберат такава логика на абсурда. Това е нивото на говорещите папагали и дресираните маймуни, при които умът отсъства от думата „напълно“. Математиците действат като обикновени обучители, проповядвайки ни своите абсурдни идеи.

Имало едно време инженерите, които са построили моста, са били в лодка под моста по време на тестовете на моста. Ако мостът се срути, посредственият инженер загина под развалините на своето творение. Ако мостът можеше да издържи натоварването, талантливият инженер построи други мостове.

Колкото и да се крият математиците зад фразата „помни ме, аз съм в къщата“, или по-скоро „математиката изучава абстрактни понятия“, има една пъпна връв, която ги свързва неразривно с реалността. Тази пъпна връв е пари. Нека приложим математическата теория на множествата към самите математици.

Учихме математика много добре и сега седим на касата и плащаме заплати. Тук един математик идва при нас за парите си. Преброяваме му цялата сума и я разпределяме на масата си в различни купчини, в които поставяме банкноти от една и съща номинална стойност. След това вземаме по една банкнота от всяка купчина и я предаваме на математика " математически наборОбясняваме математиката, че той ще получи останалите банкноти само когато докаже, че множеството без еднакви елементи не е равно на множеството с еднакви елементи.Тук започва забавлението.

Първо ще проработи логиката на депутатите: „към другите можеш, но към мен не!“ По-нататък ще започнат уверения, че има различни номера на банкноти на банкноти от една и съща номинална стойност, което означава, че те не могат да се считат за идентични елементи. Е, ние броим заплатата в монети - няма цифри на монетите. Тук математикът ще започне конвулсивно да си припомня физиката: на различни монети има различно количествомръсотията, кристалната структура и атомната подредба на всяка монета са уникални...

А сега имам най-много интерес Питай: къде е границата, отвъд която елементите на мултимножество се превръщат в елементи на множество и обратно? Такава линия не съществува - всичко се решава от шаманите, науката тук дори не е близо.

Вижте тук. Ние избираме футболни стадионисъс същата площ на полето. Площта на полетата е една и съща, което означава, че имаме мултимножество. Но ако разгледаме имената на едни и същи стадиони, получаваме много, защото имената са различни. Както можете да видите, едно и също множество от елементи е едновременно множество и мултимножество. Колко правилно? И тук математикът-шаман-шулер изважда козово асо от ръкава си и започва да ни говори или за множество, или за мултимножество. При всички случаи той ще ни убеди, че е прав.

За да разберем как съвременните шамани оперират с теорията на множествата, обвързвайки я с реалността, е достатъчно да отговорим на един въпрос: как елементите на едно множество се различават от елементите на друго множество? Ще ви покажа, без никакво "мислимо като неединно цяло" или "немислимо като единно цяло".

Неделя, 18 март 2018 г

Сумата от цифрите на едно число е танц на шамани с тамбура, който няма нищо общо с математиката. Да, в уроците по математика ни учат да намираме сумата от цифрите на числото и да го използваме, но те са шамани за това, за да научат своите потомци на своите умения и мъдрост, в противен случай шаманите просто ще изчезнат.

Имате ли нужда от доказателство? Отворете Wikipedia и се опитайте да намерите страницата „Сума от цифри на число“. Тя не съществува. В математиката няма формула, чрез която можете да намерите сумата от цифрите на всяко число. Все пак числата са графични символи, с помощта на който пишем числа и на езика на математиката задачата звучи така: „Намерете сбора от графични символи, представляващи произволно число.“ Математиците не могат да решат този проблем, но шаманите могат елементарно.

Нека да разберем какво и как правим, за да намерим сумата от цифрите на дадено число. И така, да кажем, че имаме числото 12345. Какво трябва да се направи, за да се намери сборът от цифрите на това число? Нека разгледаме всички стъпки по ред.

1. Запишете числото на лист хартия. какво направихме Преобразувахме числото в числов графичен символ. Това не е математическа операция.

2. Разрязваме една получена снимка на няколко картинки, съдържащи отделни номера. Изрязването на картина не е математическа операция.

3. Преобразувайте отделни графични знаци в числа. Това не е математическа операция.

4. Съберете получените числа. Сега това е математика.

Сумата от цифрите на числото 12345 е 15. Това са "курсовете по кроене и шиене" от шаманите, използвани от математиците. Но това не е всичко.

От гледна точка на математиката няма значение в коя бройна система записваме числото. И така, в различни системиизчислението, сумата от цифрите на едно и също число ще бъде различна. В математиката числовата система се обозначава като долен индекс отдясно на числото. ОТ Голям брой 12345 Не искам да си заблуждавам главата, помислете за числото 26 от статията за. Нека запишем това число в двоична, осмична, десетична и шестнадесетична бройни системи. Няма да разглеждаме всяка стъпка под микроскоп, вече го направихме. Нека да видим резултата.

Както можете да видите, в различните бройни системи сумата от цифрите на едно и също число е различна. Този резултат няма нищо общо с математиката. Все едно намирането на площта на правоъгълник в метри и сантиметри ще ви даде напълно различни резултати.

Нулата във всички бройни системи изглежда еднакво и няма сбор от цифри. Това е още един аргумент в полза на факта, че. Въпрос към математиците: как се означава в математиката това, което не е число? Какво, за математиците не съществува нищо друго освен числа? За шаманите мога да го позволя, но за учените не. Реалността не е само в числа.

Полученият резултат трябва да се счита за доказателство, че бройните системи са единици за измерване на числата. В крайна сметка не можем да сравняваме числа с различни мерни единици. Ако едни и същи действия с различни мерни единици на една и съща величина водят до различни резултатислед като ги сравниш, значи няма нищо общо с математиката.

Какво е истинска математика? Това е, когато резултатът от дадено математическо действие не зависи от стойността на числото, използваната мерна единица и от това кой извършва това действие.

Ох! Това не е ли женската тоалетна?
- Млада жена! Това е лаборатория за изследване на безкрайната святост на душите при възнесение на небето! Нимб отгоре и стрелка нагоре. Каква друга тоалетна?

Жена... Ореол отгоре и стрелка надолу е мъж.

Ако такова произведение на дизайнерското изкуство мига пред очите ви няколко пъти на ден,

Тогава не е изненадващо, че изведнъж намирате странна икона в колата си:

Лично аз полагам усилия да видя минус четири градуса в акащ човек (една снимка) (композиция от няколко снимки: знак минус, число четири, обозначение на градуса). И не го смятам за глупачка това момиче, което не знае физика. Тя просто има дъгов стереотип за възприемане на графични изображения. И математиците ни учат на това през цялото време. Ето един пример.

1А не е "минус четири градуса" или "едно а". Това е "какащ човек" или числото "двадесет и шест" в шестнадесетичната бройна система. Тези хора, които постоянно работят в тази бройна система, автоматично възприемат числото и буквата като един графичен символ.

Призма е една от обемните фигури, чиито свойства се изучават в училище в хода на пространствената геометрия. В тази статия ще разгледаме конкретна призма - шестоъгълна. Що за фигура е това, как да намерим обема на правилна шестоъгълна призма и нейната повърхност? Отговорите на тези въпроси се съдържат в статията.

Фигурна призма

Да предположим, че имаме произволен многоъгълник с n страни, който е в някаква равнина. За всеки връх на този многоъгълник конструираме вектор, който няма да лежи в равнината на многоъгълника. С тази операция получаваме n еднакви вектора, върховете на които образуват многоъгълник, точно равен на оригиналния. Фигура, ограничена от два еднакви многоъгълника и успоредни линии, свързващи върховете им, се нарича призма.

Лицата на призмата са две основи, представени от многоъгълници с n страни и страни n повърхнини-успоредници. Броят на ръбовете P на една фигура е свързан с броя на нейните върхове B и лица G по формулата на Ойлер:

За многоъгълник с n страни, получаваме n + 2 лица и 2 * n върха. Тогава броят на ръбовете ще бъде:

P \u003d C + D - 2 \u003d 2 * n + n + 2 - 2 \u003d 3 * n

Най-простата призма е триъгълна, тоест нейната основа е триъгълник.

Класификацията на призмите е доста разнообразна. И така, те могат да бъдат правилни и неправилни, правоъгълни и наклонени, изпъкнали и вдлъбнати.

Шестоъгълна призма

Тази статия е посветена на въпроса за обема на правилна шестоъгълна призма. Първо, нека разгледаме по-отблизо тази фигура.

Както подсказва името, основата на шестоъгълна призма е многоъгълник с шест страни и шест ъгъла. В общия случай такива многоъгълници могат да бъдат съставени от голямо разнообразие, но за практиката и за решаване на геометрични задачи е важен един единствен случай - правилен шестоъгълник. Той има всички страни равни една на друга и всеки от 6-те ъгъла е 120o. Можете лесно да построите този многоъгълник, ако разделите кръга на 6 равни части с три диаметъра (те трябва да се пресичат под ъгъл от 60 o).

Правилната шестоъгълна призма предполага не само наличието на правилен многоъгълник в основата си, но и факта, че всички странифигурите трябва да са правоъгълници. Това е възможно само ако страничните стени са перпендикулярни на шестоъгълните основи.

Правилната шестоъгълна призма е доста перфектна фигура, която се среща в ежедневието и природата. Човек трябва само да помисли за формата на пчелна пита или шестостенен ключ. В областта на нанотехнологиите шестоъгълните призми също са често срещани. Например, кристални решетки HCP и C32, които се реализират при определени условия в титан и цирконий, както и графитната решетка, имат формата на шестоъгълни призми.

Площ на повърхността на шестоъгълна призма

Нека сега да преминем директно към въпроса за изчисляване на площта и обема на призмата. Първо, изчислете площта на тази фигура.

Площта на всяка призма се изчислява с помощта на следното уравнение:

Тоест желаната площ S е равна на сумата от площите на двете основи S o и площта на страничната повърхност S b . За да се определи стойността на S o може да се направи по два начина:

• Изчислете го сами. За да направите това, шестоъгълникът е разделен на 6 равностранни триъгълника. Знаейки, че площта на един триъгълник е равна на половината от произведението на височината и основата (дължината на страната на шестоъгълника), можете да намерите площта на въпросния многоъгълник.
• възползвам се известна формула. Той е посочен по-долу:

S n = n / 4 * a 2 * ctg(pi / n)

Тук a е дължината на страната на правилен многоъгълник с n върха.

Очевидно и двата метода водят до един и същ резултат. За правилен шестоъгълник площта е:

S o \u003d S 6 \u003d 3 * √3 * a 2 / 2

Лесно е да намерите площта на страничната повърхност, за това трябва да умножите основата на всеки правоъгълник a по височината на призмата h, умножете получената стойност по броя на такива правоъгълници, т.е. по 6. В резултат на това :

Използвайки формулата за общата повърхност, за правилна шестоъгълна призма, получаваме:

S = 3 * √3 * a 2 + 6 * a * h = 3 * a * (√3 * a + 2 * h)

Как да намерим обема на призма?

Обемът е физическо количество A, което представлява площта на пространството, заета от обекта. За призма тази стойност може да се изчисли по следната формула:

Този израз дава отговор на въпроса как да се намери обемът на призма с произволна форма, т.е. е необходимо да се умножи площта на основата S o по височината на фигурата h ( разстояние между основите).

Имайте предвид, че горният израз е валиден за всяка призма, включително вдлъбнати и наклонени фигури, образувани от неправилни многоъгълници в основата.

Формулата за обема на шестоъгълна правилна призма

На този моментразгледахме всички необходими теоретични изчисления, за да получим израз за обема на разглежданата призма. За да направите това, достатъчно е да умножите основната площ по дължината на страничния ръб, което е височината на фигурата. В резултат на това шестоъгълната призма ще приеме формата:

V = 3 * √3 * a 2 * h / 2

По този начин изчисляването на обема на разглежданата призма изисква познаването само на две количества: дължината на страната на нейната основа и височината. Тези две величини еднозначно определят обема на фигурата.

Сравнение на обеми и цилиндър

По-горе беше казано, че основата на шестоъгълна призма може лесно да се изгради с помощта на кръг. Известно е също, че ако увеличите броя на страните на правилен многоъгълник, тогава неговата форма ще се доближи до кръг. В тази връзка е интересно да се изчисли колко обемът на правилна шестоъгълна призма се различава от тази стойност за цилиндър.

За да се отговори на този въпрос, е необходимо да се изчисли дължината на страната на шестоъгълник, вписан в кръг. Може лесно да се покаже, че е равен на радиуса. Означаваме радиуса на окръжността с буквата R. Да приемем, че височината на цилиндъра и призмата е равна на някаква стойност h. Тогава обемът на призмата е следваща стойност:

V p = 3 * √3 * R 2 * h / 2

Обемът на цилиндъра се определя по същата формула като обема на произволна призма. Като се има предвид, че площта на кръга е pi * R 2, за обема на цилиндъра имаме:

Нека намерим съотношението на обемите на тези фигури:

V p / V c = 3 * √3 * R 2 * h / 2 / (pi * R 2 * h) = 3 * √3 / (2 * pi)

Числото "пи" е 3,1416. Заменяйки го, получаваме:

Така обемът на правилната шестоъгълна призма е около 83% от обема на цилиндъра, в който е вписана.