Таблица формула десетични дроби. десетична. Операции с десетични знаци

В този урок ще разгледаме всяка от тези операции една по една.

Съдържание на урока

Добавяне на десетични знаци

Както знаем, десетичният дроб има цяла част и дробна част. При добавяне на десетични знаци целите и дробните части се добавят отделно.

Например, нека добавим десетичните знаци 3.2 и 5.3. По-удобно е да добавяте десетични дроби в колона.

Първо, записваме тези две дроби в колона, като целите части трябва да са под целите части, а дробните под дробните. В училище това изискване се нарича "запетая под запетая".

Нека напишем дробите в колона, така че запетаята да е под запетаята:

Започваме да добавяме дробните части: 2 + 3 \u003d 5. Записваме петте в дробната част на нашия отговор:

Сега събираме целите части: 3 + 5 = 8. Записваме осмицата в цялата част на нашия отговор:

Сега отделяме със запетая цялата част от дробната част. За да направим това, ние отново следваме правилото "запетая под запетая":

Получих отговор 8.5. Така че изразът 3,2 + 5,3 е равен на 8,5

Всъщност не всичко е толкова просто, колкото изглежда на пръв поглед. Тук също има подводни камъни, за които сега ще говорим.

Места в десетични знаци

Десетичните числа, както и обикновените числа, имат свои собствени цифри. Това са десети места, стотни места, хилядни места. В този случай цифрите започват след десетичната запетая.

Първата цифра след десетичната запетая отговаря за десетите, втората цифра след десетичната запетая за стотните, третата цифра след десетичната запетая за хилядните.

Цифрите в десетичните дроби съхраняват някои полезна информация. По-специално, те съобщават колко десети, стотни и хилядни има в десетичната запетая.

Например, помислете за десетичната запетая 0,345

Позицията, в която се намира тройката, се нарича десето място

Позицията, в която се намира четворката, се нарича стотни място

Позицията, в която се намира петицата, се нарича хилядни

Нека да разгледаме тази фигура. Виждаме, че в категорията на десетите има тройка. Това предполага, че има три десети в десетичната дроб 0,345.

Ако съберем дробите и тогава ще получим оригиналната десетична дроб 0,345

Вижда се, че първо получихме отговора, но го преобразувахме в десетична дроб и получихме 0,345.

При събиране на десетични дроби се спазват същите принципи и правила, както при събиране на обикновени числа. Добавянето на десетични дроби става чрез цифри: десети се добавят към десети, стотни към стотни, хилядни към хилядни.

Следователно, когато добавяте десетични дроби, е необходимо да следвате правилото "запетая под запетая". Запетаята под запетаята осигурява самия ред, в който десетите се добавят към десети, стотни към стотни, хилядни към хилядни.

Пример 1Намерете стойността на израза 1,5 + 3,4

Първо събираме дробните части 5 + 4 = 9. Записваме деветката в дробната част на нашия отговор:

Сега събираме целите части 1 + 3 = 4. Записваме четирите в цялата част на нашия отговор:

Сега отделяме със запетая цялата част от дробната част. За да направите това, отново спазваме правилото "запетая под запетая":

Получих отговор 4.9. Значи стойността на израза 1,5 + 3,4 е 4,9

Пример 2Намерете стойността на израза: 3,51 + 1,22

Записваме този израз в колона, като спазваме правилото "запетая под запетая"

Първо, добавете дробната част, а именно стотните 1+2=3. Записваме тройката в стотната част на нашия отговор:

Сега добавете десети от 5+2=7. Записваме седемте в десетата част на нашия отговор:

Сега съберете целите части 3+1=4. Записваме четирите в цялата част на нашия отговор:

Разделяме със запетая цялата част от дробната част, като спазваме правилото „запетая под запетаята“:

Получих отговор 4.73. Значи стойността на израза 3,51 + 1,22 е 4,73

3,51 + 1,22 = 4,73

Както при обикновените числа, при събиране на десетични дроби, . В този случай една цифра се записва в отговора, а останалите се прехвърлят към следващата цифра.

Пример 3Намерете стойността на израза 2,65 + 3,27

Записваме този израз в колона:

Добавете стотни от 5+7=12. Числото 12 няма да се побере в стотната част от нашия отговор. Следователно в стотната част записваме числото 2 и прехвърляме единицата към следващия бит:

Сега добавяме десетите от 6+2=8 плюс единицата, която получихме от предишната операция, получаваме 9. Пишем числото 9 в десетата от нашия отговор:

Сега съберете целите части 2+3=5. Записваме числото 5 в цялата част на нашия отговор:

Получих отговор 5,92. Значи стойността на израза 2,65 + 3,27 е 5,92

2,65 + 3,27 = 5,92

Пример 4Намерете стойността на израза 9,5 + 2,8

Запишете този израз в колона

Добавяме дробните части 5 + 8 = 13. Числото 13 няма да се побере в дробната част на нашия отговор, така че първо записваме числото 3 и прехвърляме единицата към следващата цифра или по-скоро я прехвърляме към цяло число част:

Сега добавяме целите части 9+2=11 плюс единицата, която получихме от предишната операция, получаваме 12. Записваме числото 12 в цялата част на нашия отговор:

Разделете със запетая цялата част от дробната част:

Получих отговор 12.3. Значи стойността на израза 9,5 + 2,8 е 12,3

9,5 + 2,8 = 12,3

Когато събирате десетични дроби, броят на цифрите след десетичната запетая и в двете дроби трябва да е еднакъв. Ако няма достатъчно цифри, тогава тези места в дробната част се запълват с нули.

Пример 5. Намерете стойността на израза: 12,725 + 1,7

Преди да напишем този израз в колона, нека направим броя на цифрите след десетичната запетая в двете дроби еднакви. Десетичната дроб 12,725 има три цифри след десетичната запетая, докато дробта 1,7 има само една. Така че в дробта 1,7 в края трябва да добавите две нули. След това получаваме дробта 1700. Сега можете да напишете този израз в колона и да започнете да изчислявате:

Добавете хилядни от 5+0=5. Записваме числото 5 в хилядната част от нашия отговор:

Добавете стотни от 2+0=2. Записваме числото 2 в стотната част на нашия отговор:

Добавете десети от 7+7=14. Числото 14 няма да се побере в една десета от нашия отговор. Затова първо записваме числото 4 и прехвърляме единицата към следващия бит:

Сега добавяме целите части 12+1=13 плюс единицата, която получихме от предишната операция, получаваме 14. Записваме числото 14 в цялата част на нашия отговор:

Разделете със запетая цялата част от дробната част:

Получих отговора 14 425. Значи стойността на израза 12,725+1,700 е 14,425

12,725+ 1,700 = 14,425

Изваждане на десетични знаци

Когато изваждате десетични дроби, трябва да следвате същите правила, както при добавяне: „запетая под запетая“ и „равен брой цифри след десетичната запетая“.

Пример 1Намерете стойността на израза 2,5 − 2,2

Записваме този израз в колона, като спазваме правилото "запетая под запетая":

Изчисляваме дробната част 5−2=3. Записваме числото 3 в десетата част на нашия отговор:

Изчислете цялата част 2−2=0. Пишем нула в цялата част на нашия отговор:

Разделете със запетая цялата част от дробната част:

Получихме отговора 0,3. Значи стойността на израза 2,5 − 2,2 е равна на 0,3

2,5 − 2,2 = 0,3

Пример 2Намерете стойността на израза 7,353 - 3,1

В този израз различно количествоцифри след десетичната запетая. В дробта 7.353 има три цифри след десетичната запетая, а в дробта 3.1 има само една. Това означава, че в дробта 3.1 трябва да се добавят две нули в края, за да бъде броят на цифрите в двете дроби еднакъв. Тогава получаваме 3100.

Сега можете да напишете този израз в колона и да го изчислите:

Получих отговор 4253. Значи стойността на израза 7,353 − 3,1 е 4,253

7,353 — 3,1 = 4,253

Както при обикновените числа, понякога ще трябва да вземете едно от съседния бит, ако изваждането стане невъзможно.

Пример 3Намерете стойността на израза 3,46 − 2,39

Извадете стотни от 6−9. От числото 6 не изваждайте числото 9. Следователно трябва да вземете единица от съседната цифра. След като вземем единица от съседната цифра, числото 6 се превръща в числото 16. Сега можем да изчислим стотните от 16−9=7. Записваме седемте в стотната част на нашия отговор:

Сега извадете десети. Тъй като взехме една единица в категорията десети, цифрата, която се намираше там, намаля с една единица. С други думи, десетото място вече не е числото 4, а числото 3. Нека изчислим десетите от 3−3=0. Пишем нула в десетата част на нашия отговор:

Сега извадете целите части 3−2=1. Записваме единицата в цялата част на нашия отговор:

Разделете със запетая цялата част от дробната част:

Получих отговор 1.07. Значи стойността на израза 3,46−2,39 е равна на 1,07

3,46−2,39=1,07

Пример 4. Намерете стойността на израза 3−1.2

Този пример изважда десетична запетая от цяло число. Нека запишем този израз в колона, така че цялата част от десетичната дроб 1,23 да е под числото 3

Сега нека направим броя на цифрите след десетичната запетая еднакъв. За да направите това, след числото 3 поставете запетая и добавете една нула:

Сега извадете десети: 0−2. Не изваждайте от нула числото 2. Следователно трябва да вземете единица от съседната цифра. Като вземете единица от съседната цифра, 0 се превръща в числото 10. Сега можете да изчислите десетите от 10−2=8. Записваме осемте в десетата част на нашия отговор:

Сега извадете целите части. Преди това числото 3 се намираше в цялото число, но ние взехме назаем една единица от него. В резултат се превърна в числото 2. Следователно изваждаме 1 от 2. 2−1=1. Записваме единицата в цялата част на нашия отговор:

Разделете със запетая цялата част от дробната част:

Получих отговор 1.8. Значи стойността на израза 3−1,2 е 1,8

Десетично умножение

Умножаването на десетични числа е лесно и дори забавно. За да умножите десетични числа, трябва да ги умножите като обикновени числа, като игнорирате запетаите.

След като получите отговора, е необходимо да отделите със запетая цялата част от дробната част. За да направите това, трябва да преброите броя на цифрите след десетичната запетая в двете дроби, след това да преброите същия брой цифри вдясно в отговора и да поставите запетая.

Пример 1Намерете стойността на израза 2,5 × 1,5

Ние умножаваме тези десетични дроби като обикновени числа, игнорирайки запетаите. За да игнорирате запетаите, можете временно да си представите, че те отсъстват напълно:

Получихме 375. В това число е необходимо да се отдели със запетая цялата част от дробната част. За да направите това, трябва да преброите броя на цифрите след десетичната запетая в части от 2,5 и 1,5. В първата дроб има една цифра след десетичната запетая, във втората дроб също има една. Общо две числа.

Връщаме се към числото 375 и започваме да се движим отдясно наляво. Трябва да преброим две цифри отдясно и да поставим запетая:

Получих отговор 3,75. Значи стойността на израза 2,5 × 1,5 е 3,75

2,5 х 1,5 = 3,75

Пример 2Намерете стойността на израза 12,85 × 2,7

Нека умножим тези десетични знаци, като игнорираме запетаите:

Получихме 34695. В това число трябва да отделите със запетая цялата част от дробната част. За да направите това, трябва да изчислите броя на цифрите след десетичната запетая в части от 12,85 и 2,7. В дробта 12.85 има две цифри след десетичната запетая, в дробта 2.7 има една цифра - общо три цифри.

Връщаме се към числото 34695 и започваме да се движим от дясно на ляво. Трябва да преброим три цифри отдясно и да поставим запетая:

Получих отговора 34 695. Значи стойността на израза 12,85 × 2,7 е 34,695

12,85 х 2,7 = 34,695

Умножение на десетична запетая с обикновено число

Понякога има ситуации, когато трябва да умножите десетична дроб с обикновено число.

За да умножите десетично и обикновено число, трябва да ги умножите, независимо от запетаята в десетичната запетая. След като получите отговора, е необходимо да отделите със запетая цялата част от дробната част. За да направите това, трябва да преброите броя на цифрите след десетичната запетая в десетичната дроб, след това в отговора да преброите същия брой цифри вдясно и да поставите запетая.

Например умножете 2,54 по 2

Умножаваме десетичната дроб 2,54 по обичайното число 2, като игнорираме запетаята:

Получихме числото 508. В това число трябва да отделите със запетая цялата част от дробната част. За да направите това, трябва да преброите броя на цифрите след десетичната запетая във фракцията 2,54. Дробта 2,54 има две цифри след десетичната запетая.

Връщаме се към числото 508 и започваме да се движим от дясно на ляво. Трябва да преброим две цифри отдясно и да поставим запетая:

Получих отговор 5.08. Значи стойността на израза 2,54 × 2 е 5,08

2,54 х 2 = 5,08

Умножаване на десетични знаци по 10, 100, 1000

Умножаването на десетични знаци по 10, 100 или 1000 се извършва по същия начин като умножаването на десетични знаци по обикновени числа. Необходимо е да извършите умножението, като игнорирате запетаята в десетичната дроб, след което в отговора отделете цялата част от дробната част, като броите същия брой цифри отдясно, колкото е имало цифри след десетичната запетая в десетичната запетая фракция.

Например умножете 2,88 по 10

Нека умножим десетичната дроб 2,88 по 10, като игнорираме запетаята в десетичната дроб:

Получихме 2880. В това число трябва да отделите цялата част от дробната част със запетая. За да направите това, трябва да преброите броя на цифрите след десетичната запетая във фракцията 2,88. Виждаме, че в дробта 2,88 има две цифри след десетичната запетая.

Връщаме се към числото 2880 и започваме да се движим отдясно наляво. Трябва да преброим две цифри отдясно и да поставим запетая:

Получих отговор 28.80. Изхвърляме последната нула - получаваме 28,8. Значи стойността на израза 2,88 × 10 е 28,8

2,88 х 10 = 28,8

Има втори начин за умножаване на десетични дроби по 10, 100, 1000. Този метод е много по-прост и удобен. Състои се в това, че запетаята в десетичната дроб се премества надясно с толкова цифри, колкото нули има в множителя.

Например, нека решим предишния пример 2,88×10 по този начин. Без да даваме изчисления, веднага разглеждаме фактора 10. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че има една нула. Сега в дробта 2,88 преместваме десетичната запетая надясно с една цифра, получаваме 28,8.

2,88 х 10 = 28,8

Нека се опитаме да умножим 2,88 по 100. Веднага гледаме коефициента 100. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че има две нули. Сега в дробта 2,88 преместваме десетичната запетая надясно с две цифри, получаваме 288

2,88 х 100 = 288

Нека се опитаме да умножим 2,88 по 1000. Веднага гледаме коефициента 1000. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че има три нули. Сега в дробта 2,88 преместваме десетичната запетая надясно с три цифри. Третата цифра я няма, затова добавяме още една нула. В резултат на това получаваме 2880.

2,88 x 1000 = 2880

Умножаване на десетични знаци по 0,1 0,01 и 0,001

Умножаването на десетични числа по 0,1, 0,01 и 0,001 работи по същия начин като умножаването на десетичен знак по десетичен знак. Необходимо е да се умножават дроби като обикновени числа и да се постави запетая в отговора, като се преброят толкова цифри отдясно, колкото цифри има след десетичната запетая в двете дроби.

Например, умножете 3,25 по 0,1

Ние умножаваме тези дроби като обикновени числа, игнорирайки запетаите:

Получихме 325. В това число трябва да отделите цялата част от дробната част със запетая. За да направите това, трябва да изчислите броя на цифрите след десетичната запетая в части от 3,25 и 0,1. В дробта 3.25 има две цифри след десетичната запетая, в дробта 0.1 има една цифра. Общо три числа.

Връщаме се към числото 325 и започваме да се движим отдясно наляво. Трябва да преброим три цифри отдясно и да поставим запетая. След като преброим три цифри, установяваме, че числата са свършили. В този случай трябва да добавите една нула и да поставите запетая:

Получихме отговора 0,325. Значи стойността на израза 3,25 × 0,1 е 0,325

3,25 х 0,1 = 0,325

Има втори начин за умножаване на десетични числа по 0,1, 0,01 и 0,001. Този метод е много по-лесен и удобен. Състои се в това, че запетаята в десетичната дроб се премества наляво с толкова цифри, колкото нули има в множителя.

Например, нека решим предишния пример 3,25 × 0,1 по този начин. Без да даваме никакви изчисления, веднага разглеждаме фактора 0,1. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че има една нула. Сега в дробта 3,25 преместваме десетичната запетая наляво с една цифра. Премествайки запетаята с една цифра наляво, виждаме, че няма повече цифри преди тройката. В този случай добавете една нула и поставете запетая. В резултат на това получаваме 0,325

3,25 х 0,1 = 0,325

Нека опитаме да умножим 3,25 по 0,01. Веднага погледнете множителя от 0,01. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че има две нули. Сега в дробта 3.25 преместваме запетаята наляво с две цифри, получаваме 0.0325

3,25 х 0,01 = 0,0325

Нека опитаме да умножим 3,25 по 0,001. Незабавно погледнете множителя от 0,001. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че има три нули. Сега в дробта 3.25 преместваме десетичната запетая наляво с три цифри, получаваме 0.00325

3,25 × 0,001 = 0,00325

Не бъркайте умножението на десетичните знаци по 0,1, 0,001 и 0,001 с умножението по 10, 100, 1000. Често срещана грешкаповечето хора.

При умножение с 10, 100, 1000 запетаята се премества надясно с толкова цифри, колкото нули има в множителя.

А при умножение по 0,1, 0,01 и 0,001 запетаята се премества наляво с толкова цифри, колкото нули има в множителя.

Ако в началото е трудно да запомните, можете да използвате първия метод, при който умножението се извършва както при обикновените числа. В отговора ще трябва да отделите цялата част от дробната част, като преброите толкова цифри отдясно, колкото цифри има след десетичната запетая в двете дроби.

Деление на по-малко число на по-голямо. Напреднало ниво.

В един от предишните уроци казахме, че при разделяне на по-малко число на по-голямо се получава дроб, в чийто числител е делимото, а в знаменателя е делителя.

Например, за да разделите една ябълка на две, трябва да напишете 1 (една ябълка) в числителя и да напишете 2 (двама приятели) в знаменателя. Резултатът е дроб. Така всеки приятел ще получи ябълка. С други думи, половин ябълка. Дроб е отговорът на проблем как да разделя една ябълка между две

Оказва се, че можете да разрешите този проблем допълнително, ако разделите 1 на 2. В края на краищата дробна черта във всяка дроб означава деление, което означава, че това деление е разрешено и в дроб. Но как? Свикнали сме, че дивидентът винаги е по-голям от делителя. А тук, напротив, дивидентът е по-малък от делителя.

Всичко ще стане ясно, ако си спомним, че дроб означава смачкване, разделяне, разделяне. Това означава, че модулът може да бъде разделен на колкото желаете части, а не само на две части.

При разделянето на по-малко число на по-голямо се получава десетична дроб, в която цялата част ще бъде 0 (нула). Дробната част може да бъде всичко.

И така, нека разделим 1 на 2. Нека решим този пример с ъгъл:

Не може човек да се раздели на две просто така. Ако зададете въпрос "колко две има в едно" , тогава отговорът ще бъде 0. Следователно, на частно пишем 0 и поставяме запетая:

Сега, както обикновено, умножаваме частното по делителя, за да извадим остатъка:

Дойде моментът, в който единицата може да бъде разделена на две части. За да направите това, добавете още една нула вдясно от получената:

Получихме 10. Делим 10 на 2, получаваме 5. Записваме петицата в дробната част на нашия отговор:

Сега изваждаме последния остатък, за да завършим изчислението. Умножаваме 5 по 2, получаваме 10

Получихме отговора 0,5. Значи частта е 0,5

Половин ябълка може да се напише и с помощта на десетичната дроб 0,5. Ако добавим тези две половини (0,5 и 0,5), отново получаваме оригиналната една цяла ябълка:

Тази точка може да бъде разбрана и ако си представим как 1 см е разделен на две части. Ако разделите 1 сантиметър на 2 части, ще получите 0,5 cm

Пример 2Намерете стойността на израза 4:5

Колко петици има в четири? Въобще не. Пишем частно 0 и поставяме запетая:

Умножаваме 0 по 5, получаваме 0. Пишем нула под четворката. Незабавно извадете тази нула от дивидента:

Сега нека започнем да разделяме (разделяме) четирите на 5 части. За да направите това, вдясно от 4 добавяме нула и разделяме 40 на 5, получаваме 8. Пишем осемте на частно.

Завършваме примера, като умножаваме 8 по 5 и получаваме 40:

Получихме отговора 0,8. Значи стойността на израза 4:5 е 0,8

Пример 3Намерете стойността на израз 5: 125

Колко числа 125 има в пет? Въобще не. Пишем 0 на лично и поставяме запетая:

Умножаваме 0 по 5, получаваме 0. Пишем 0 под петицата. Незабавно извадете от петте 0

Сега нека започнем да разделяме (разделяме) петте на 125 части. За да направите това, вдясно от тези пет пишем нула:

Разделете 50 на 125. Колко числа 125 има в 50? Въобще не. Така че в частното отново записваме 0

Умножаваме 0 по 125, получаваме 0. Записваме тази нула под 50. Веднага изваждаме 0 от 50

Сега разделяме числото 50 на 125 части. За да направите това, вдясно от 50 пишем още една нула:

Разделете 500 на 125. Колко са числата 125 в числото 500. В числото 500 има четири числа 125. Записваме четирите насаме:

Завършваме примера, като умножаваме 4 по 125 и получаваме 500

Получихме отговора 0,04. Значи стойността на израза 5:125 е 0,04

Деление на числа без остатък

Така че, нека поставим запетая в частното след единицата, като по този начин показваме, че разделянето на целите части е приключило и преминаваме към дробната част:

Добавете нула към остатъка 4

Сега разделяме 40 на 5, получаваме 8. Записваме осемте насаме:

40−40=0. Получено 0 в остатъка. Така разделението е напълно завършено. Разделянето на 9 на 5 води до десетичен знак от 1,8:

9: 5 = 1,8

Пример 2. Разделете 84 на 5 без остатък

Първо разделяме 84 на 5 както обикновено с остатък:

Получени на лично 16 и още 4 в остатъка. Сега разделяме този остатък на 5. Поставяме запетая в частния и добавяме 0 към остатъка 4

Сега разделяме 40 на 5, получаваме 8. Записваме осемте в частното след десетичната запетая:

и завършете примера, като проверите дали все още има остатък:

Деление на десетична запетая на обикновено число

Десетичната дроб, както знаем, се състои от цяло число и дробна част. Когато разделяте десетична дроб на редовно число, първо трябва:

разделете цялата част от десетичната дроб на това число;
след разделянето на цялата част, трябва незабавно да поставите запетая в частната част и да продължите изчислението, както при обикновеното деление.

Например, нека разделим 4,8 на 2

Нека напишем този пример като ъгъл:

Сега нека разделим цялата част на 2. Четири делено на две е две. Пишем двойката насаме и веднага поставяме запетая:

Сега умножаваме частното по делителя и виждаме дали има остатък от делението:

4−4=0. Остатъкът е нула. Все още не пишем нула, тъй като решението не е завършено. След това продължаваме да смятаме, както при обикновеното деление. Намалете 8 и го разделете на 2

8: 2 = 4. Записваме четирите в частното и веднага го умножаваме по делителя:

Получих отговор 2.4. Стойност на израза 4,8: 2 е равно на 2,4

Пример 2Намерете стойността на израза 8,43:3

Разделяме 8 на 3, получаваме 2. Веднага поставете запетая след двете:

Сега умножаваме частното по делителя 2 × 3 = 6. Записваме шестицата под осмицата и намираме остатъка:

Делим 24 на 3, получаваме 8. Записваме осмицата на частно. Веднага го умножаваме по делителя, за да намерим остатъка от делението:

24−24=0. Остатъкът е нула. Нулата все още не е записана. Вземете последните три от дивидента и разделете на 3, получаваме 1. Незабавно умножете 1 по 3, за да завършите този пример:

Получих отговор 2.81. Значи стойността на израза 8,43:3 е равна на 2,81

Деление на десетична запетая на десетична запетая

За да разделите десетична дроб на десетична дроб, в дивидента и в делителя, преместете запетаята надясно със същия брой цифри, колкото има след десетичната точка в делителя, и след това разделете на редовно число.

Например, разделете 5,95 на 1,7

Нека запишем този израз като ъгъл

Сега, в делителя и в делителя, преместваме запетаята надясно със същия брой цифри, колкото има след десетичната запетая в делителя. Делителят има една цифра след десетичната запетая. Така че трябва да преместим запетаята надясно с една цифра в делителя и в делителя. Прехвърляне:

След преместване на десетичната запетая надясно с една цифра, десетичната дроб 5,95 се превърна в дроб 59,5. И десетичната дроб 1,7, след преместване на десетичната запетая надясно с една цифра, се превърна в обичайното число 17. И ние вече знаем как да разделим десетичната дроб на обичайното число. По-нататъшното изчисление не е трудно:

Запетаята е преместена надясно, за да се улесни разделянето. Това е позволено поради факта, че при умножаване или деление на делителя и делителя на едно и също число, частното не се променя. Какво означава?

Това е един от интересни функцииразделение. Нарича се частна собственост. Помислете за израз 9: 3 = 3. Ако в този израз делимото и делителя се умножат или разделят на едно и също число, тогава частното 3 няма да се промени.

Нека умножим дивидент и делител по 2 и да видим какво ще се случи:

(9 × 2) : (3 × 2) = 18: 6 = 3

Както се вижда от примера, коефициентът не се е променил.

Същото се случва, когато поставим запетая в делителя и в делителя. В предишния пример, където разделихме 5,91 на 1,7, преместихме запетаята с една цифра надясно в делителя и делителя. След преместване на запетаята дробта 5,91 беше преобразувана във фракцията 59,1, а фракцията 1,7 беше преобразувана в обичайното число 17.

Всъщност вътре в този процес се извърши умножение по 10. Ето как изглеждаше:

5,91 × 10 = 59,1

Следователно броят на цифрите след десетичната запетая в делителя зависи от това по какво ще бъдат умножени дивидентът и делителят. С други думи, броят на цифрите след десетичната запетая в делителя ще определи колко цифри в делителя и в делителя запетаята ще бъде преместена надясно.

Десетично деление на 10, 100, 1000

Деленето на десетична запетая на 10, 100 или 1000 се извършва по същия начин като . Например, нека разделим 2,1 на 10. Нека решим този пример с ъгъл:

Но има и втори начин. По-лек е. Същността на този метод е, че запетаята в делителя се премества наляво с толкова цифри, колкото нули има в делителя.

Нека решим предишния пример по този начин. 2.1: 10. Гледаме разделителя. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че има една нула. Така че в делимото 2.1 трябва да преместите запетаята наляво с една цифра. Преместваме запетаята наляво с една цифра и виждаме, че вече няма останали цифри. В този случай добавяме още една нула преди числото. В резултат на това получаваме 0,21

Нека се опитаме да разделим 2,1 на 100. В числото 100 има две нули. Така че в делимото 2.1 трябва да преместите запетаята наляво с две цифри:

2,1: 100 = 0,021

Нека се опитаме да разделим 2,1 на 1000. В числото 1000 има три нули. Така че в делимото 2.1 трябва да преместите запетаята наляво с три цифри:

2,1: 1000 = 0,0021

Десетично деление на 0,1, 0,01 и 0,001

Разделянето на десетична запетая на 0,1, 0,01 и 0,001 се извършва по същия начин като . В делителя и в делителя трябва да преместите запетаята надясно с толкова цифри, колкото има след десетичната запетая в делителя.

Например, нека разделим 6,3 на 0,1. Първо преместваме запетаите в делителя и в делителя надясно с толкова цифри, колкото има след десетичната запетая в делителя. Делителят има една цифра след десетичната запетая. Така че преместваме запетаите в делителя и в делителя надясно с една цифра.

След преместване на десетичната запетая с една цифра надясно, десетичната дроб 6,3 се превръща в обичайното число 63, а десетичната дроб 0,1, след преместване на десетичната запетая с една цифра надясно, се превръща в единица. А разделянето на 63 на 1 е много просто:

Значи стойността на израза 6,3:0,1 е равна на 63

Но има и втори начин. По-лек е. Същността на този метод е, че запетаята в дивидента се прехвърля надясно с толкова цифри, колкото нули има в делителя.

Нека решим предишния пример по този начин. 6,3:0,1. Нека да разгледаме разделителя. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че има една нула. Така че в делимото 6.3 трябва да преместите запетаята надясно с една цифра. Преместваме запетаята надясно с една цифра и получаваме 63

Нека се опитаме да разделим 6,3 на 0,01. Делителят 0,01 има две нули. Така че в делимото 6.3 трябва да преместите запетаята надясно с две цифри. Но в дивидента има само една цифра след десетичната запетая. В този случай трябва да се добави още една нула в края. В резултат на това получаваме 630

Нека опитаме да разделим 6,3 на 0,001. Делителят на 0,001 има три нули. Така че в делимото 6.3 трябва да преместите запетаята надясно с три цифри:

6,3: 0,001 = 6300

Задачи за самостоятелно решаване

Хареса ли ви урока?
Присъединете се към нашата нова група Vkontakte и започнете да получавате известия за нови уроци

От многото дроби, които се срещат в аритметиката, тези с 10, 100, 1000 в знаменателя заслужават специално внимание - като цяло всяка степен на десет. Тези дроби имат специално имеи формуляр за запис.

Десетична дроб е всяко число, чийто знаменател е степен на десет.

Десетични примери:

Защо изобщо беше необходимо да се изолират такива фракции? Защо им е необходим собствен формуляр за влизане? Има поне три причини за това:

Десетичните знаци се сравняват много по-лесно. Запомнете: за да сравните обикновените дроби, трябва да ги извадите един от друг и по-специално да приведете дробите към общ знаменател. В десетичните дроби нищо от това не се изисква;
Намаляване на изчисленията. Десетичните знаци събират и умножават според собствените си правила и с малко практика ще можете да работите с тях много по-бързо, отколкото с обикновените;
Лесно записване. За разлика от обикновените дроби, десетичните знаци се записват в един ред без загуба на яснота.

Повечето калкулатори също дават отговори в десетични знаци. В някои случаи различен формат на запис може да причини проблеми. Например, какво ще стане, ако поискате ресто в размер на 2/3 рубли в магазин :)

Правила за писане на десетични дроби

Основното предимство на десетичните дроби е удобна и визуална нотация. а именно:

Десетичната нотация е форма на десетична нотация, при която целочислената част е разделена от дробната с помощта на обикновена точка или запетая. В този случай самият разделител (точка или запетая) се нарича десетична точка.

Например 0,3 (прочетете: „нула цяло число, 3 десети“); 7,25 (7 цели числа, 25 стотни); 3,049 (3 цели числа, 49 хилядни). Всички примери са взети от предишната дефиниция.

В писмен вид запетая обикновено се използва като десетична точка. Тук и по-долу запетаята също ще се използва в целия сайт.

За да запишете произволна десетична дроб в указаната форма, трябва да следвате три прости стъпки:

Изпишете отделно числителя;
Преместете десетичната запетая наляво с толкова места, колкото нули има в знаменателя. Да приемем, че първоначално десетичната запетая е отдясно на всички цифри;
Ако десетичната точка се е изместила и след нея има нули в края на записа, те трябва да бъдат задраскани.

Случва се във втората стъпка числителят да няма достатъчно цифри, за да завърши смяната. В този случай липсващите позиции се запълват с нули. И като цяло произволен брой нули могат да бъдат присвоени отляво на всяко число без вреда за здравето. Грозно е, но понякога полезно.

На пръв поглед този алгоритъм може да изглежда доста сложен. Всъщност всичко е много, много просто - просто трябва да тренирате малко. Разгледайте примерите:

Задача. За всяка дроб посочете нейния десетичен запис:

Числителят на първата дроб: 73. Преместваме десетичната запетая с един знак (защото знаменателят е 10) - получаваме 7,3.

Числителят на втората дроб: 9. Преместваме десетичната запетая с две цифри (защото знаменателят е 100) - получаваме 0,09. Трябваше да добавя една нула след десетичната запетая и още една преди нея, за да не оставя странна нотация като „.09“.

Числителят на третата дроб: 10029. Изместваме десетичната запетая с три цифри (защото знаменателят е 1000) - получаваме 10,029.

Числителят на последната дроб: 10500. Отново изместваме точката с три цифри - получаваме 10.500. В края на числото има допълнителни нули. Зачеркваме ги - получаваме 10,5.

Обърнете внимание на последните два примера: числата 10.029 и 10.5. Според правилата нулите отдясно трябва да бъдат задраскани, както се прави в последен пример. В никакъв случай обаче не трябва да правите това с нули, които са вътре в числото (които са заобиколени от други цифри). Ето защо получихме 10,029 и 10,5, а не 1,29 и 1,5.

И така, разбрахме определението и формата на запис на десетични дроби. Сега нека разберем как да преобразуваме обикновени дроби в десетични - и обратно.

Промяна от дроби към десетични знаци

Да разгледаме проста числова дроб от формата a / b . Можете да използвате основното свойство на дроб и да умножите числителя и знаменателя по такова число, че да получите степен на десет по-долу. Но преди да го направите, моля, прочетете следното:

Има знаменатели, които не се свеждат до степен десет. Научете се да разпознавате такива дроби, защото с тях не може да се работи по описания по-долу алгоритъм.

Това е. Е, как да разберем дали знаменателят е намален на степен десет или не?

Отговорът е прост: разложете знаменателя на прости множители. Ако в разширението присъстват само фактори 2 и 5, това число може да бъде намалено на степен десет. Ако има други числа (3, 7, 11 - каквито и да е), можете да забравите за степента на десет.

Задача. Проверете дали посочените дроби могат да бъдат представени като десетични числа:

Изписваме и разлагаме знаменателите на тези дроби:

20 \u003d 4 5 \u003d 2 2 5 - присъстват само числата 2 и 5. Следователно фракцията може да бъде представена като десетична.

12 \u003d 4 3 \u003d 2 2 3 - има "забранен" фактор 3. Дробта не може да бъде представена като десетична.

640 \u003d 8 8 10 \u003d 2 3 2 3 2 5 \u003d 2 7 5. Всичко е наред: няма нищо освен числата 2 и 5. Дробта се представя като десетична дроб.

48 \u003d 6 8 \u003d 2 3 2 3 \u003d 2 4 3. Отново "изплува" факторът 3. Той не може да бъде представен като десетична дроб.

И така, разбрахме знаменателя - сега ще разгледаме целия алгоритъм за превключване към десетични дроби:

Факторизирайте знаменателя на оригиналната дроб и се уверете, че тя обикновено може да бъде представена като десетична дроб. Тези. проверете дали в разширението присъстват само фактори 2 и 5. В противен случай алгоритъмът не работи;
Пребройте колко двойки и петици присъстват в разлагането (там няма да има други числа, помните ли?). Изберете такъв допълнителен множител, така че броят на двойките и петиците да е равен.
Всъщност, умножете числителя и знаменателя на оригиналната дроб по този фактор - получаваме желаното представяне, т.е. знаменателят ще бъде степен на десет.

Разбира се, допълнителният фактор също ще бъде разложен само на двойки и петици. В същото време, за да не си усложнявате живота, трябва да изберете най-малкия такъв фактор от всички възможни.

И още нещо: ако в оригиналната дроб има цяло число, не забравяйте да преобразувате тази дроб в неправилна - и едва тогава приложете описания алгоритъм.

Задача. Превеждане на данни дробидо десетичен знак:

Нека разложим на множители знаменателя на първата дроб: 4 = 2 · 2 = 2 2 . Следователно една дроб може да бъде представена като десетична дроб. Има две двойки и няма петици в разширението, така че допълнителният коефициент е 5 2 = 25. Броят на двойките и петиците ще бъде равен на него. Ние имаме:

Сега нека се заемем с втората дроб. За да направите това, имайте предвид, че 24 \u003d 3 8 \u003d 3 2 3 - има тройка в разширението, така че фракцията не може да бъде представена като десетична.

Последните две дроби имат знаменатели съответно 5 (просто число) и 20 = 4 5 = 2 2 5 - навсякъде присъстват само двойки и петици. В същото време в първия случай „за пълно щастие“ няма достатъчно множител 2, а във втория - 5. Получаваме:

Преминаване от десетични към обикновени

Обратното преобразуване - от десетична система към нормално - е много по-лесно. Няма ограничения и специални проверки, така че винаги можете да конвертирате десетична дроб в класическа "двуетажна".

Алгоритъмът за превод е както следва:

Задраскайте всички нули от лявата страна на десетичната запетая, както и десетичната точка. Това ще бъде числителят на желаната дроб. Основното нещо - не прекалявайте и не зачерквайте вътрешните нули, заобиколени от други числа;
Изчислете колко цифри има в оригиналната десетична дроб след десетичната точка. Вземете числото 1 и добавете толкова нули вдясно, колкото сте преброили знаците. Това ще бъде знаменателят;
Всъщност, запишете дробта, чийто числител и знаменател току-що намерихме. Намалете, ако е възможно. Ако имаше цяло число в първоначалната дроб, сега получаваме неправилна дроб, което е много удобно за по-нататъшни изчисления.

Задача. Преобразуване на десетични знаци в обикновени: 0,008; 3,107; 2,25; 7,2008.

Задраскваме нулите отляво и запетаите - получаваме следните числа (това ще бъдат числители): 8; 3107; 225; 72008.

В първата и втората дроб след десетичната запетая има 3 знака след десетичната запетая, във втората - 2, а в третата - цели 4 знака след десетичната запетая. Получаваме знаменателите: 1000; 1000; 100; 10 000.

И накрая, нека комбинираме числителите и знаменателите в обикновени дроби:

Както може да се види от примерите, получената фракция много често може да бъде намалена. Още веднъж отбелязвам, че всяка десетична дроб може да бъде представена като обикновена. Обратната трансформация не винаги е възможна.

В тази статия ще разберем какво е десетична дроб, какви функции и свойства има. Отивам! 🙂

Десетичната дроб е специален случай на обикновените дроби (при които знаменателят е кратен на 10).

Определение

Десетичните дроби са дроби, чиито знаменатели са числа, състоящи се от единица и определен брой нули след нея. Тоест, това са дроби със знаменател 10, 100, 1000 и т.н. В противен случай десетичната дроб може да се характеризира като дроб със знаменател 10 или една от степените на десет.

Примери за дроби:

, ,

Десетичната дроб се записва по различен начин от обикновената дроб. Операциите с тези дроби също са различни от операциите с обикновените. Правилата за операции с тях са до голяма степен близки до правилата за операции с цели числа. Това по-специално определя тяхното значение при решаването на практически проблеми.

Представяне на дроб в десетичен запис

В десетичния запис няма знаменател, той показва числото на числителя. AT общ изгледДесетичната дроб се записва по следния начин:

където X е цялата част от дробта, Y е нейната дробна част, "," е десетичната запетая.

За правилно представянеобикновена дроб под формата на десетична запетая трябва да бъде правилна, тоест с подчертана цяла част(ако е възможно) и числител, който е по-малък от знаменателя. След това в десетичен записцялата част се записва пред десетичната запетая (X), а числителят на обикновената дроб след десетичната запетая (Y).

Ако числителят представлява число с брой цифри, по-малък от броя на нулите в знаменателя, тогава в частта Y липсващият брой цифри в десетичния запис се запълва с нули пред цифрите на числителя.

Пример:

Ако обикновена дробпо-малко от 1, т.е. няма цяло число, тогава 0 се записва в десетична форма за X.

В дробната част (Y) след последната значима (различна от нула) цифра може да се въведе произволен брой нули. Това не влияе на стойността на фракцията. И обратното: всички нули в края на дробната част на десетичната дроб могат да бъдат пропуснати.

Четене на десетични знаци

Част X се чете в общия случай, както следва: "X цели числа."

Частта Y се чете според числото в знаменателя. За знаменател 10 трябва да прочетете: "Y десети", за знаменател 100: "Y стотни", за знаменател 1000: "Y хилядни" и така нататък ... 😉

Друг подход към четенето се счита за по-правилен, въз основа на преброяване на броя на цифрите на дробната част. За да направите това, трябва да разберете, че дробните цифри са разположени в огледален образ по отношение на цифрите на цялата част от фракцията.

Имената за правилно четене са дадени в таблицата:

Въз основа на това четенето трябва да се основава на съответствието с името на категорията на последната цифра от дробната част.

3.5 се чете "три точка пет"
0,016 се чете като "нула цел и шестнадесет хилядни"

Преобразуване на произволна обикновена дроб в десетична

Ако знаменателят на обикновена дроб е 10 или някаква степен на десет, тогава дробта се преобразува, както е описано по-горе. В други ситуации са необходими допълнителни трансформации.

Има 2 начина за превод.

Първият начин на превод

Числителят и знаменателят трябва да бъдат умножени по такова цяло число, че знаменателят да е 10 или една от степените на десет. И след това дробта се представя в десетична система.

Този метод е приложим за дроби, чийто знаменател се разлага само на 2 и 5. И така, в предишния пример . Ако има други основни фактори в разширението (например ), тогава ще трябва да прибегнете до втория метод.

Вторият начин на превод

Вторият метод е да разделите числителя на знаменателя в колона или на калкулатор. Цялата част, ако има такава, не участва в трансформацията.

Правилото за дълго деление, което води до десетична дроб, е описано по-долу (вижте Разделяне на десетични числа).

Преобразувайте десетични числа в обикновени

За целта дробната му част (вдясно от запетаята) трябва да се запише като числител, а резултатът от прочитането на дробната част да се запише като съответното число в знаменателя. Освен това, ако е възможно, трябва да намалите получената фракция.

Край и безкраен десетичен знак

Десетичната дроб се нарича окончателна, чиято дробна част се състои от краен брой цифри.

Всички горни примери съдържат точно крайните десетични дроби. Въпреки това, не всяка обикновена дроб може да бъде представена като крайна десетична дроб. Ако първият метод на превод за дадена дроб е неприложим и вторият метод показва, че делението не може да бъде завършено, тогава може да се получи само безкрайна десетична дроб.

Невъзможно е да се напише безкрайна дроб в пълния й вид. В непълна форма могат да бъдат представени такива дроби:

в резултат на намаляване до желания брой десетични знаци;
под формата на периодична дроб.

Дроб се нарича периодична, в която след десетичната запетая може да се разграничи безкрайно повтаряща се последователност от цифри.

Останалите дроби се наричат непериодични. За непериодични дроби е разрешен само първият метод на представяне (закръгляване).

Пример за периодична дроб: 0,8888888 ... Тук има повтаряща се цифра 8, която очевидно ще се повтаря безкрайно, тъй като няма причина да се предполага друго. Този номер се нарича дробен период.

Периодичните дроби са чисти и смесени. Чиста е десетичната дроб, в която точката започва веднага след десетичната запетая. Смесената дроб има 1 или повече цифри преди десетичната запетая.

54.33333 ... - периодична чиста десетична дроб

2.5621212121 ... - периодична смесена дроб

Примери за писане на безкрайни десетични знаци:

Вторият пример показва как правилно да се образува точка в периодична дроб.

Преобразуване на периодични десетични знаци в обикновени

За да преобразувате чиста периодична дроб в обикновен период, запишете го в числителя и напишете в знаменателя число, състоящо се от деветки в количество, равно на броя на цифрите в периода.

Смесен повтарящ се десетичен знак се превежда, както следва:

трябва да образувате число, състоящо се от числото след десетичната запетая преди точката и първата точка;
от полученото число извадете числото след десетичната запетая преди точката. Резултатът ще бъде числителят на обикновена дроб;
в знаменателя трябва да въведете число, състоящо се от броя на деветките, равен на броя на цифрите на периода, последван от нули, чийто брой е равен на броя на цифрите на числото след десетичната запетая преди 1-ви период.

Десетично сравнение

Десетичните дроби се сравняват първоначално с целите им части. По-голямата е дробта, която има по-голяма цяло число.

Ако целите части са еднакви, тогава се сравняват цифрите на съответните цифри на дробната част, като се започне от първата (от десетите). Същият принцип се прилага тук: по-голямата от дробите, която има по-голям ранг от десети; ако цифрите на десетите са равни, цифрите на стотните се сравняват и т.н.

Тъй като

, тъй като при равни цели числа и равни десети в дробната част, 2-рата дроб има повече стотни.

Събиране и изваждане на десетични знаци

Десетичните знаци се събират и изваждат по същия начин като целите числа, като съответните цифри се записват една под друга. За да направите това, трябва да имате десетични точки един под друг. Тогава единиците (десетки и т.н.) на цялата част, както и десетите (стотните и т.н.) на дробната част ще съвпадат. Липсващите цифри на дробната част се попълват с нули. Директно Процесът на събиране и изваждане се извършва по същия начин, както при цели числа.

Десетично умножение

За да умножите десетични дроби, трябва да ги напишете една под друга, подравнени с последната цифра и без да обръщате внимание на местоположението на десетичните точки. След това трябва да умножите числата по същия начин, както при умножаване на цели числа. След получаване на резултата трябва да преизчислите броя на цифрите след десетичната запетая в двете дроби и да разделите общия брой дробни цифри в полученото число със запетая. Ако няма достатъчно цифри, те се заменят с нули.

Умножение и деление на десетични знаци с 10 n

Тези действия са прости и се свеждат до преместване на десетичната запетая. П При умножаване запетаята се премества надясно (дробта се увеличава) с броя на цифрите, равни на броя на нулите в 10 n, където n е произволна степен на цяло число. Тоест определен брой цифри се прехвърлят от дробната част към цялото число. При деление съответно запетаята се прехвърля вляво (числото намалява), а някои от цифрите се прехвърлят от целочислената част в дробната част. Ако няма достатъчно цифри за прехвърляне, тогава липсващите цифри се запълват с нули.

Деление на десетична запетая и цяло число на цяло число и десетична запетая

Разделянето на десетична запетая на цяло число е същото като разделянето на две цели числа. Освен това трябва да се вземе предвид само позицията на десетичната запетая: когато се премахва цифрата на цифрата, последвана от запетая, е необходимо да се постави запетая след текущата цифра на генерирания отговор. След това трябва да продължите да делите, докато получите нула. Ако в дивидента няма достатъчно знаци за пълно деление, като тях трябва да се използват нули.

По същия начин 2 цели числа се разделят в колона, ако всички цифри на дивидента са били унищожени и пълното деление все още не е завършено. В този случай, след премахването на последната цифра от дивидента, в получения отговор се поставя десетична запетая, а нулите се използват като премахнати цифри. Тези. дивидентът тук всъщност е представен като десетична дроб с нулева дробна част.

За да разделите десетична дроб (или цяло число) на десетично число, е необходимо да умножите делителя и делителя по числото 10 n, в което броят на нулите е равен на броя на цифрите след десетичната запетая в делител. По този начин те се отърват от десетичната запетая в дробта, на която искате да разделите. Освен това процесът на разделяне е същият, както е описано по-горе.

Графично представяне на десетични дроби

Графично десетичните дроби се представят с помощта на координатна линия. За целта отделните сегменти се разделят допълнително на 10 равни части, точно както сантиметрите и милиметрите се нанасят върху линийка едновременно. Това гарантира, че десетичните знаци се показват точно и могат да бъдат сравнени обективно.

За да бъдат еднакви надлъжните деления на отделните сегменти, трябва внимателно да се прецени дължината на самия сегмент. Тя трябва да бъде такава, че да може да се осигури удобството за допълнително разделяне.

ДЕСЕТНИ ДРОБИ. ДЕЙСТВИЯ ВЪРХУ ДЕСЕТНИ ДРОБИ

(обобщение на урока)

Тумишева Замира Тансыкбаевна, учител по математика, училище-гимназия № 2

Хромтау, Актюбинска област, Република Казахстан

Тази разработка на урока е предназначена като обобщаващ урок за глава „Действия върху десетични знаци". Може да се използва както в 5 клас, така и в 6 клас. Урокът се провежда под формата на игра.

Десетични знаци. Операции с десетични дроби.(обобщение на урока)

Цел:

Упражняване на умения и способности за събиране, изваждане, умножение и деление на десетични дроби на естествени числа и десетични дроби

Създаване на условия за развитие на умения самостоятелна работа, самоконтрол и самооценка, развитие на интелектуалните качества: внимание, въображение, памет, способност за анализ и обобщение

Да внуши познавателен интерес към предмета и да развие самочувствие

ПЛАН НА УРОКА:

1. Организационна част.

3. Темата и целта на нашия урок.

4. Играта "Към заветното знаме!"

5. Играта "Мелница с числа".

6. Лирическо отклонение.

7. Работа по проверката.

8. Играта "Шифроване" (работа по двойки)

9. Обобщаване.

10. Домашна работа.

1. Организационна част. Здравейте. Седнете.

2. Преглед на правилата за изпълнение аритметични операциис десетични знаци.

Правило за събиране и изваждане на десетични знаци:

1) изравнете броя на десетичните знаци в тези дроби;

2) запишете едно под друго, така че запетаята да е под запетаята;

3) без да забелязвате запетаята, извършете действието (събиране или изваждане) и в резултат поставете запетая под запетаите.

3,455 + 0,45 = 3,905 3,5 + 4 = 7,5 15 – 7,88 = 7,12 4,57 - 3,2 = 1,37

3,455 + 3,5 _15,00 _ 4,57

0,450 4,0 7,88 3,20

3,905 7,5 7,12 1,37

При събиране и изваждане естествените числа се записват като десетична дроб с десетични знаци, равни на нула.

Правило за умножение на десетични знаци:

1) пренебрегвайки запетаята, умножете числата;

2) в полученото произведение отделете със запетая толкова цифри отдясно наляво, колкото са разделени със запетая в десетични дроби.

При умножаване на десетична дроб с битови единици (10, 100, 1000 и т.н.), запетаята се премества надясно с толкова числа, колкото нули има в битовата единица

17,25 4 = 69

х 1 7,2 5

6 9,0 0

15,256 100 = 1525,6

.5 0.52 = 2.35

X 0,5 2

4,5

2 7 0

2 0 8__

2,3 5 0

При умножение естествените числа се записват като естествени числа.

Правилото за деление на десетични дроби на естествено число:

1) разделете цялата част на дивидента, поставете запетая в частния;

2) продължете с разделянето.

При деление на остатък премахваме само едно число от дивидента.

Ако в процеса на разделяне на десетична дроб остане остатък, тогава, като му присвоим необходимия брой нули, продължаваме делението, докато остатъкът стане нула.

15,256: 100 = 0,15256

0,25: 1000 = 0,00025

При разделяне на десетична дроб на битови единици (10, 100, 1000 и т.н.) запетаята се премества наляво с толкова числа, колкото нули има в битовата единица.

18,4: 8 = 2,3

_ 18,4 І_8_

16 2,3

2 4

22,2: 25 = 0,88

22,2 І_25_

0 0,888

22 2

20 0

2 20

2 00

200

3,56: 4 = 0,89

3,56 І_4_

0 0,89

3 5

3 2

При деление естествените числа се записват като естествени числа.

Правило за деление на десетични знаци на десетични знаци:

1) преместваме запетаята в делителя надясно, така че да получим естествено число;

2) преместете запетаята в делителя вдясно от толкова числа, колкото е била преместена в делителя;

3) разделяме десетичната дроб на естествено число.

3,76: 0,4 = 9, 4

_ 3,7,6 I_0,4,_

3 6 9, 4

1 6

Играта "Към заветното знаме!"

Правила на играта:От всеки отбор един ученик се извиква на дъската, който извършва устно броене от най-долното стъпало. Решавателят на един пример отбелязва отговора в таблицата. След това той е заменен от друг член на екипа. Следва движение нагоре – към заветното знаме. Учениците в полето устно проверяват резултатите на своите играчи. Ако отговорът е неверен, друг член на екипа идва на дъската, за да продължи решаването на задачите. Капитаните на отборите призовават учениците да работят на дъската. Първият отбор, който достигне флага с най-малко ученици, печели.

Игра "Мелница с числа"

Правила на играта:В кръговете на мелницата са изписани числа. Стрелките, свързващи кръговете, показват действията. Задачата е да извършвате последователни действия, движейки се по стрелката от центъра към външния кръг. Извършвайки последователни действия по посочения маршрут, ще намерите отговора в един от кръговете по-долу. Резултатът от изпълнението на действията за всяка стрелка е изписан в овала до нея.

Лирично отклонение.

Стихотворението на Лифшиц "Три десети"

Кой е това

От портфолиото

Хвърля в раздразнение

омразен пъзел,

Пенал и тетрадки

И лепи дневника си.

Без да се изчервявам,

Под дъбов бюфет.

Да лежа под бюфета? ..

Моля, запознайте се с:

Костя Жигалин.

Жертвата на вечните гниди, -

Отново се провали.

И съска

До разрошен

Търся проблемна книга:

Просто нямам късмет!

Аз съм просто загубеняк!

Каква е причината

Неговото негодувание и раздразнение?

Че отговорът не пасва

Само три десети.

Това е истинска загуба!

И на него, разбира се,

намери грешка

Строг

Мария Петровна.

Три десети...

Кажете ми за тази грешка

И може би по лицата

Ще видите усмивка.

Три десети...

И все пак за тази грешка

Моля те

Слушай ме

Без усмивка.

Ако b, изграждане на вашата къща.

Тази, в която живееш.

Архитект

малко

погрешно

При броенето, -

Какво би станало.

Познавате ли Костя Жигалин?

Тази къща

щеше да се обърне

В купчина руини!

Влизате в моста.

Той е надежден и издръжлив.

Не бъди инженер

Точен в рисунките си, -

Бихте ли, Костя,

Пада

в студена река,

Не бих казал благодаря

Този човек!

Ето я турбината.

Има вал

Отегчени от стругари.

Ако стругарът

На работа

Не беше много точен.

Ще бъде направено, Костя,

Голямо нещастие:

Ще унищожи турбината

на малки парченца!

Три десети -

И стените

Издигат се

Косьо!

Три десети -

И колапс

вагони

Извън склона!

греша

Само три десети

аптека, -

Лекарството се превръща в отрова

Ще убие човек!

Разбихме и карахме

Фашистка банда.

Баща ти даде

Команда за батерията.

Направете грешка при пристигането

Най-малко три десети

Снарядите нямаше да настигнат

Проклетите нацисти.

Вие помислете за това

Моят приятел, хладнокръвно

И кажи.

Не беше ли правилно

Мария Петровна?

Да бъда честен

Помисли за това, Костя.

Не е дълго за лъжа

Дневник под бюфета!

Тестова работа по темата "Десетични дроби" (математика -5)

На екрана ще се появят последователно 9 слайда. Учениците записват номера на варианта и отговорите на въпроса в тетрадките си. Например Вариант 2

1. C; 2. А; и т.н.

ВЪПРОС 1

Опция 1

Когато умножавате десетична дроб по 100, трябва да преместите запетаята в тази дроб:

А. наляво с 2 цифри; Б. надясно с 2 цифри; В. не променяйте мястото на запетаята.

Вариант 2

Когато умножавате десетична дроб по 10, трябва да преместите запетаята в тази дроб:

A. дясно 1 цифра; Б. наляво с 1 цифра; В. не променяйте мястото на запетаята.

ВЪПРОС 2

Опция 1

Сборът 6,27 + 6,27 + 6,27 + 6,27 + 6,27 като произведение се записва по следния начин:

А. 6.27 5; B. 6.27 6.27; С. 6.27 4.

Вариант 2

Сборът 9,43 + 9,43 + 9,43 + 9,43 като произведение се записва по следния начин:

А. 9.43 9.43; Б. 6 9.43; С. 9.43 4.

ВЪПРОС 3

Опция 1

В продукта 72.43 18 след десетичната запетая ще бъде:

Вариант 2

В произведението на 12,453 35 след десетичната запетая ще бъде:

А. 2 цифри; Б. 0 цифри; C. 3 цифри.

ВЪПРОС 4

Опция 1

В частно 76,4:2 след десетичната запетая ще бъде:

А. 2 цифри; Б. 0 цифри; C. 1 цифра.

Вариант 2

На частно 95.4:6 след десетичната запетая ще бъде:

A. 1 цифра; Б. 3 цифри; C. 2 цифри.

ВЪПРОС 5

Опция 1

Намерете стойността на израза 34,5: x + 0,65 y, при x=10 y=100:

А. 35.15; В. 68,45; S. 9.95.

Вариант 2

Намерете стойността на израза 4,9 x +525:y, при x=100 y=1000:

А. 4905.25; В. 529.9; стр. 490,525.

ВЪПРОС 6

Опция 1

Площта на правоъгълник със страни 0,25 и 12 cm е

А. 3; В. 0,3; С. 30.

Вариант 2

Площта на правоъгълник със страни 0,5 и 36 cm е

А. 1,8; V. 18; С. 0,18.

ВЪПРОС 7

Опция 1

Двама ученици напуснаха училището едновременно в различни посоки. Скоростта на първия ученик е 3,6 km/h, скоростта на втория ученик е 2,56 km/h. След 3 часа разстоянието между тях ще бъде:

А. 6,84 км; V. 18,48 км.; С. 3.12 км

Вариант 2

Двама велосипедисти тръгнаха от училището едновременно в противоположни посоки. Скоростта на първия е 11,6 км/ч, на втория 13,06 км/ч. След 4 часа разстоянието между тях ще бъде:

А. 5,84 км; V. 100,8 км; С. 98.64 км

Опция 1

Вариант 2

Провери си отговорите. Поставете "+" за верен отговор и "-" за грешен отговор.

Игра "Шифроване"

Правила на играта:На всяко бюро се дава карта със задача, която има кодова буква. След като изпълните стъпките и получите резултата, запишете кодовата буква на вашата карта под номера, съответстващ на вашия отговор.

В резултат на това получаваме предложението:

6,8

420

21,6

420

306

65,8

21,6

Обобщаване на урока.

Обявяват се точки от контролната работа.

Домашна работа №1301, 1308, 1309

Благодаря за вниманието!!!

За да напишете рационално число m / n като десетична дроб, трябва да разделите числителя на знаменателя. В този случай частното се записва като крайна или безкрайна десетична дроб.

Запишете даденото число като десетичен знак.

Решение. Разделете числителя на всяка дроб на знаменателя: а)разделете 6 на 25; б)разделяне на 2 на 3; в)разделете 1 на 2 и след това добавете получената дроб към единица - цялата част от това смесено число.

Несъкратими обикновени дроби, чиито знаменатели не съдържат прости делители, различни от 2 и 5 , се записват като последна десетична дроб.

AT пример 1кога а)знаменател 25=5 5; кога в)знаменателят е 2, така че получихме крайните десетични знаци 0,24 и 1,5. Кога б)знаменателят е 3, така че резултатът не може да бъде записан като краен десетичен знак.

Възможно ли е, без да се разделя на колона, да се преобразува такава обикновена дроб в десетична дроб, чийто знаменател не съдържа други делители, освен 2 и 5? Нека да го разберем! Каква дроб се нарича десетична и се записва без дробна черта? Отговор: дроб със знаменател 10; 100; 1000 и т.н. И всяко от тези числа е продукт равенброй двойки и петици. Действително: 10=2 5 ; 100=2 5 2 5 ; 1000=2 5 2 5 2 5 и т.н.

Следователно знаменателят на несъкратима обикновена дроб ще трябва да бъде представен като произведение от две и пет и след това да бъде умножен по 2 и (или) 5, така че двойките и петиците да станат равни. Тогава знаменателят на дробта ще бъде равен на 10 или 100 или 1000 и т.н. За да не се промени стойността на дробта, умножаваме числителя на дробта по същото число, с което е умножен знаменателят.

Изразете следните дроби като десетична дроб:

Решение. Всяка от тези дроби е несъкратима. Нека разложим знаменателя на всяка дроб на прости множители.

20=2 2 5. Извод: липсва една "петица".

8=2 2 2. Заключение: няма достатъчно три "петици".

25=5 5. Извод: липсват две "двойки".

Коментирайте.На практика те често не използват факторизацията на знаменателя, а просто задават въпроса: по колко трябва да се умножи знаменателят, така че резултатът да е единица с нули (10 или 100 или 1000 и т.н.). И след това числителят се умножава по същото число.

Така че, в случай а)(пример 2) от числото 20 можете да получите 100, като умножите по 5, следователно трябва да умножите числителя и знаменателя по 5.

Кога б)(пример 2) от числото 8, числото 100 няма да работи, но числото 1000 ще се получи чрез умножаване по 125. Както числителят (3), така и знаменателят (8) на дробта се умножават по 125.

Кога в)(пример 2) от 25 получавате 100, когато се умножи по 4. Това означава, че числителят 8 също трябва да се умножи по 4.

Нарича се безкрайна десетична дроб, в която една или повече цифри неизменно се повтарят в една и съща последователност периодично изданиедесетична дроб. Наборът от повтарящи се цифри се нарича период на тази дроб. За краткост периодът на дроб се изписва веднъж, ограждайки го в скоби.

Кога б)(пример 1 ) повтарящата се цифра е единица и е равна на 6. Следователно нашият резултат 0,66... ще бъде записан така: 0,(6) . Те гласят: нула цели числа, шест в периода.

Ако между запетаята и първата точка има една или повече неповтарящи се цифри, тогава такава периодична дроб се нарича смесена периодична дроб.

Несъкратима обикновена дроб, чийто знаменател заедно с другимножител съдържа множител 2 или 5 , става смесенпериодична дроб.

Запишете числото като десетична запетая:

Всяко рационално число може да бъде записано като безкрайна периодична десетична дроб.

Запишете числото като безкрайна периодична дроб.