Теория на вероятностите Профилно ниво на единния държавен изпит. Теория на вероятностите на изпита по математика
На вниманието на кандидатите!Тук се обсъждат няколко USE задачи. Останалите, по-интересни, са в нашето безплатно видео. Гледайте и правете!
Ще започнем с прости проблеми и основни концепции на теорията на вероятностите.
СлучаенИзвиква се събитие, което не може да бъде точно предвидено предварително. Може или да се случи, или не.
Спечелихте от лотарията - случайно събитие. Поканихте приятели да отпразнуват печалбата ви и по пътя към вас те заседнаха в асансьора - също случайно събитие. Вярно, майсторът се оказа наблизо и освободи цялата компания за десет минути - и това също може да се счита за щастлив случай...
Животът ни е пълен със случайни събития. За всеки от тях можем да кажем, че с някои ще се случи вероятност. Най-вероятно сте интуитивно запознати с тази концепция. Сега ще дадем математическото определение на вероятността.
Да започнем от самото начало прост пример. Хвърляте монета. Ези или тура?
Такова действие, което може да доведе до един от няколко резултата, се нарича в теория на вероятностите тест.
Глава и опашка - две възможни резултаттестове.
Главите ще паднат в един случай от два възможни. Казват, че вероятностче монетата ще кацне на главите е .
Да хвърлим зар. Зарът има шест страни, така че има и шест възможни резултата.
Например, вие сте пожелали да се появят три точки. Това е един изход от шест възможни. В теорията на вероятностите ще се нарича благоприятен изход.
Вероятността да получите тройка е равна (един благоприятен резултат от шест възможни).
Вероятността от четири също е
Но вероятността да се появи седем е нула. В крайна сметка няма ръб със седем точки на куба.
Вероятността за събитие е равна на отношението на броя на благоприятните резултати към общ бройрезултати.
Очевидно вероятността не може да бъде по-голяма от единица.
Ето още един пример. В торба има ябълки, някои от тях са червени, останалите са зелени. Ябълките не се различават по форма и размер. Пъхате ръката си в чантата и изваждате ябълка на случаен принцип. Вероятността да извадите червена ябълка е равна на , а вероятността да извадите зелена ябълка е равна на .
Вероятност да се зачервите или зелена ябълкаравна на .
Нека анализираме проблемите по теория на вероятностите, включени в сборниците за подготовка за Единния държавен изпит.
. В таксиметровата компания този моментбезплатни коли: червени, жълти и зелени. Една от колите, която се оказала най-близо до клиента, се отзовала на обаждането. Намерете вероятността жълто такси да дойде при нея.
Има общо коли, тоест една от петнадесет ще дойде при клиента. Има девет жълти, което означава, че вероятността да пристигне жълта кола е равна на , т.е.
. (Демо версия) В колекцията от билети по биология на всички билети в два от тях има въпрос за гъбите. По време на изпита студентът получава един произволно избран билет. Намерете вероятността този билет да не съдържа въпрос за гъби.
Очевидно вероятността да изтеглите билет без да питате за гъби е равна на , т.е.
. Родителският комитет закупи пъзели за подаръци за абитуриентите на децата. учебна година, от които с картини известни артистии с изображения на животни. Подаръците се раздават на случаен принцип. Намерете вероятността Вовочка да получи пъзел с животно.
Проблемът се решава по подобен начин.
Отговор: .
. В първенството по гимнастика участват състезателки от Русия, от САЩ, а останалите от Китай. Редът на представяне на гимнастичките се определя чрез жребий. Намерете вероятността последният състезател да е от Китай.
Нека си представим, че всички спортисти едновременно се приближиха до шапката и извадиха от нея листчета хартия с числа. Някои от тях ще получат номер двадесет. Вероятността китайски атлет да го изтегли е равна (тъй като атлетите са от Китай). Отговор: .
. Ученикът беше помолен да назове числото от до. Каква е вероятността той да назове число, което е кратно на пет?
Всеки петичисло от това множество се дели на . Това означава, че вероятността е равна на.
Хвърля се зар. Намерете вероятността да получите нечетен брой точки.
Нечетни числа; - дори. Вероятността за нечетен брой точки е .
Отговор: .
. Монетата се хвърля три пъти. Каква е вероятността две глави и една опашка?
Имайте предвид, че проблемът може да бъде формулиран по различен начин: три монети са хвърлени едновременно. Това няма да повлияе на решението.
Колко възможни изхода има според вас?
Хвърляме монета. Това действие има два възможни изхода: глави и опашки.
Две монети - вече четири резултата:
Три монети? Точно така, резултатите, тъй като .
Две глави и една опашка се появяват три от осем пъти.
Отговор: .
. При произволен експеримент се хвърлят два зара. Намерете вероятността общата сума да бъде точки. Закръглете резултата до най-близката стотна.
Хвърляме първия зар - шест резултата. И за всеки от тях са възможни още шест – когато хвърлим втория зар.
Откриваме, че това действие - хвърляне на два зара - има общо възможни резултати, тъй като .
А сега - благоприятни резултати:
Вероятността да получите осем точки е .
>. Стрелецът улучва целта с вероятност. Намерете вероятността той да уцели целта четири пъти подред.
Ако вероятността за попадение е равна, тогава вероятността за пропуск е . Разсъждаваме по същия начин, както в предишната задача. Вероятността за две попадения подред е равна. И вероятността от четири попадения подред е равна.
Вероятност: логика на груба сила.
Ето го проблема от диагностична работа, което мнозина намериха за трудно.
В джоба на Петя имаше монети за рубли и монети за рубли. Петя, без да гледа, прехвърли монети в друг джоб. Намерете вероятността монетите от пет рубли да са в различни джобове.
Знаем, че вероятността за събитие е равна на отношението на броя на благоприятните резултати към общия брой резултати. Но как да изчислим всички тези резултати?
Можете, разбира се, да обозначите монети от пет рубли с числа и монети от десет рубли с числа - и след това пребройте по колко начина можете да изберете три елемента от комплекта.
Има обаче по-просто решение:
Ние кодираме монетите с числа: , (това са монети от пет рубли), (това са монети от десет рубли). Условието на проблема сега може да се формулира, както следва:
Има шест чипа с числа от до . По колко начина могат да се разпределят поравно в два джоба, така че чиповете с числа да не се окажат заедно?
Нека запишем какво имаме в първия си джоб.
За целта ще съставим всички възможни комбинации от комплекта. Набор от три чипа ще бъде трицифрено число. Очевидно е, че в нашите условия и са един и същ набор от чипове. За да не пропуснем нищо или да не се повторим, имаме подходящото трицифрени числаВъзходящ:
Всичко! Прегледахме всички възможни комбинации, започващи с . Да продължим:
Общо възможни резултати.
Имаме условие - чипове с числа да не са заедно. Това означава например, че комбинацията не ни устройва - това означава, че и двата чипа са попаднали не в първия, а във втория джоб. Благоприятните за нас резултати са тези, при които има или само, или само. Ето ги и тях:
134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 – общо благоприятни резултати.
Тогава търсената вероятност е равна на .
Какви задачи ви очакват на Единния държавен изпит по математика?
Нека разгледаме един от тях сложни задачиспоред теорията на вероятностите.
За да влезе в института по специалността "Лингвистика", кандидатът З. трябва да получи най-малко 70 точки на Единния държавен изпит по всеки от трите предмета - математика, руски език и чужд език. За да се запишете в специалността "Търговия", трябва да спечелите поне 70 точки по всеки от трите предмета - математика, руски език и обществознание.
Вероятността кандидатът З. да получи най-малко 70 точки по математика е 0,6, по руски - 0,8, в чужд език- 0,7 и по обществени науки - 0,5.
Намерете вероятността З. да успее да запише поне една от посочените две специалности.
Имайте предвид, че проблемът не пита дали кандидат на име Z. ще учи едновременно лингвистика и търговия и ще получи две дипломи. Тук трябва да намерим вероятността З. да успее да запише поне една от тези две специалности – тоест да събере необходимия брой точки.
За да влезе поне в една от двете специалности, З. трябва да изкара поне 70 точки по математика. И на руски. И също така - социални науки или чуждестранни.
Вероятността той да изкара 70 точки по математика е 0,6.
Вероятността за отбелязване на точки по математика и руски е 0,6 0,8.
Да се занимаваме с чужди и социални науки. Вариантите, които ни устройват, са, когато кандидатът има точки по социални науки, чужди науки или и двете. Вариантът не е подходящ, когато той не е отбелязал точки нито по език, нито по „общество“. Това означава, че вероятността да преминете социални науки или чужд език с най-малко 70 точки е равна на
1 – 0,5 0,3.
В резултат на това вероятността за преминаване на математика, руски и социални науки или чужд е еднаква
0,6 0,8 (1 - 0,5 0,3) = 0,408. Това е отговорът.
Вероятността за събитие $A$ е съотношението на броя на резултатите, благоприятни за $A$, към броя на всички еднакво възможни резултати
$P(A)=(m)/(n)$, където $n$ – обща сумавъзможни резултати, а $m$ е броят на резултатите, благоприятни за събитие $A$.
Вероятността за събитие е число от сегмента $$
Таксиметровата компания има на склад коли за $50$. $35$ от тях са черни, останалите са жълти. Намерете вероятността жълта кола да отговори на произволно повикване.
Нека намерим броя на жълтите коли:
Има общо $50$ автомобили, тоест един на всеки петдесет ще отговори на обаждане. Жълтите коли са $15$, следователно вероятността да пристигне жълта кола е $(15)/(50)=(3)/(10)=0,3$
Отговор: $0,3$
Противоположни събития
Две събития се наричат противоположни ако този тестте са несъвместими и едно от тях непременно ще се случи. Вероятностите за противоположни събития се събират до 1. Събитие, противоположно на събитие $A$, се записва $((A))↖(-)$.
$P(A)+P((A))↖(-)=1$
Независими събития
Две събития $A$ и $B$ се наричат независими, ако вероятността за настъпване на всяко от тях не зависи от това дали другото събитие се е случило или не. В противен случай събитията се наричат зависими.
Вероятността за произведението на две независими събития $A$ и $B$ е равна на произведението на тези вероятности:
$P(A·B)=P(A)·P(B)$
Иван Иванович купи два различни лотарийни билета. Вероятност първият да спечели лотариен билет, е равно на $0,15$. Вероятността вторият лотарен билет да спечели е $0,12$. Иван Иванович участва и в двете рисунки. Ако приемем, че тегленията се провеждат независимо едно от друго, намерете вероятността Иван Иванович да спечели и в двете тегления.
Вероятност $P(A)$ - първият билет ще спечели.
Вероятност $P(B)$ - вторият билет ще спечели.
Събитията $A$ и $B$ са независими събития. Тоест, за да намерите вероятността и двете събития да се случат, трябва да намерите произведението на вероятностите
$P(A·B)=P(A)·P(B)$
$Р=0,15·0,12=0,018$
Отговор: $0,018$
Несъвместими събития
Две събития $A$ и $B$ се наричат несъвместими, ако няма резултати, които са в полза както на събитието $A$, така и на събитието $B$. (Събития, които не могат да се случат по едно и също време)
Вероятността за сумата от две несъвместими събития $A$ и $B$ е равна на сумата от вероятностите за тези събития:
$P(A+B)=P(A)+P(B)$
На изпит по алгебра студентът получава един въпрос от всички изпитни въпроси. Вероятно това е въпрос за " Квадратни уравнения", е равно на $0,3$. Вероятно това е въпрос за " Ирационални уравнения", е равно на $0,18$. Няма въпроси, които да се отнасят едновременно към тези две теми. Намерете вероятността студентът да получи въпрос по една от тези две теми на изпита.
Тези събития се наричат несъвместими, тъй като ученикът ще получи въпрос ИЛИ по темата „Квадратни уравнения“, ИЛИ по темата „Ирационални уравнения“. Темите не могат да бъдат намерени едновременно. Вероятността за сумата от две несъвместими събития $A$ и $B$ е равна на сумата от вероятностите за тези събития:
$P(A+B)=P(A)+P(B)$
$P = 0,3+0,18=0,48$
Отговор: $0,48$
Съвместни събития
Две събития се наричат съвместни, ако настъпването на едно от тях не изключва настъпването на другото в същия опит. В противен случай събитията се наричат несъвместими.
Вероятността за сумата от две съвместни събития $A$ и $B$ е равна на сумата от вероятностите за тези събития минус вероятността от техния продукт:
$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A B)$
В салона на киното две еднакви машини продават кафе. Вероятността кафето в машината да свърши до края на деня е $0,6$. Вероятността и двете машини да останат без кафе е $0,32$. Намерете вероятността кафето в поне една от машините да свърши до края на деня.
Нека обозначим събитията:
$A$ = кафето ще свърши в първата машина,
$B$ = кафето ще свърши във втората машина.
$A·B =$ кафето ще свърши и в двете машини,
$A + B =$ кафето ще свърши в поне една машина.
Според условието $P(A) = P(B) = 0,6; P(A·B) = $0,32.
Събитията $A$ и $B$ са съвместни, вероятността за сумата от две съвместни събития е равна на сумата от вероятностите за тези събития, намалена с вероятността от техния продукт:
$P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) = 0,6 + 0,6 − 0,32 = 0,88$
Докаран до днес в отворен бурканПроблеми на единния държавен изпит по математика (mathege.ru), чието решение се основава само на една формула, която е класическата дефиниция на вероятността.
Най-лесният начин да разберете формулата е с примери.
Пример 1.В кошницата има 9 червени топки и 3 сини топки. Топките се различават само по цвят. Изваждаме един от тях на случаен принцип (без да гледаме). Каква е вероятността избраната по този начин топка да е синя?
Коментар.В проблемите на теорията на вероятностите нещо се случва (в в такъв случайнашето действие на издърпване на топката), което може да има различен резултат- резултат. Трябва да се отбележи, че резултатът може да се разглежда по различни начини. „Извадихме някаква топка“ също е резултат. „Извадихме синята топка“ - резултатът. „Извадихме точно тази топка от всички възможни топки“ - този най-обобщен поглед върху резултата се нарича елементарен резултат. Именно елементарните резултати са предвидени във формулата за изчисляване на вероятността.
Решение.Сега нека изчислим вероятността да изберем синята топка.
Събитие A: „избраната топка се оказа синя“
Общ брой на всички възможни резултати: 9+3=12 (броят на всички топки, които можем да изтеглим)
Брой изходи, благоприятни за събитие A: 3 (броят на изходите, при които е настъпило събитие A - т.е. броят на сините топки)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Отговор: 0,25
За същата задача нека изчислим вероятността да изберем червена топка.
Общият брой възможни резултати ще остане същият, 12. Брой благоприятни резултати: 9. Търсена вероятност: 9/12=3/4=0,75
Вероятността за всяко събитие винаги е между 0 и 1.
Понякога в ежедневната реч (но не и в теорията на вероятностите!) вероятността от събития се оценява като процент. Преходът между резултатите по математика и разговорните резултати се осъществява чрез умножаване (или деление) на 100%.
Така,
Освен това вероятността е нулева за събития, които не могат да се случат - невероятно. Например, в нашия пример това би била вероятността да изтеглите зелена топка от коша. (Броят на благоприятните резултати е 0, P(A)=0/12=0, ако се изчисли по формулата)
Вероятност 1 има събития, за които е абсолютно сигурно, че ще се случат, без опции. Например, вероятността „избраната топка да бъде червена или синя“ е за нашата задача. (Брой благоприятни резултати: 12, P(A)=12/12=1)
Разгледахме класически пример, илюстриращ определението за вероятност. Всички подобни Задачи за единен държавен изпитСпоред теорията на вероятностите те се решават с помощта на тази формула.
На мястото на червените и сините топки може да има ябълки и круши, момчета и момичета, научени и ненаучени билети, билети, съдържащи и несъдържащи въпрос по определена тема (прототипи,), дефектни и висококачествени чанти или градински помпи ( прототипи,) - принципът остава същият.
Те се различават леко във формулировката на проблема на теорията на вероятностите на Единния държавен изпит, където трябва да изчислите вероятността някакво събитие да се случи в определен ден. ( , ) Както в предишните задачи, трябва да определите какъв е елементарният резултат и след това да приложите същата формула.
Пример 2.Конференцията е с продължителност три дни. На първия и втория ден има 15 лектори, на третия ден - 20. Каква е вероятността докладът на професор М. да падне на третия ден, ако редът на докладите се определя чрез жребий?
Какъв е елементарният изход тук? – Присвояване на доклада на професора с един от всички възможни поредни номера на речта. В тегленето участват 15+15+20=50 души. Така докладът на проф. М. може да получи един от 50 броя. Това означава, че има само 50 елементарни резултата.
Какви са благоприятните резултати? - Тези, в които се оказва, че професорът ще говори на третия ден. Тоест последните 20 числа.
Според формулата вероятността P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Отговор: 0,4
Тегленето на жребий тук представлява установяване на произволна кореспонденция между хора и подредени места. В пример 2 съвпадението беше разгледано от гледна точка на това кое от местата може да заеме дадено лице. Можете да подходите към същата ситуация от другата страна: кой от хората с каква вероятност може да стигне до определено място (прототипи, , , ):
Пример 3.Жребият включва 5 германци, 8 французи и 3 естонци. Каква е вероятността първият (/втори/седми/последен – няма значение) да е французин.
Броят на елементарните резултати е броят на всички възможни хора, които биха могли да влязат в дадено място чрез теглене на жребий. 5+8+3=16 души.
Благоприятни резултати - френски. 8 души.
Изисквана вероятност: 8/16=1/2=0,5
Отговор: 0,5
Прототипът е малко по-различен. Все още има проблеми с монетите () и заровете (), които са малко по-креативни. Решението на тези проблеми може да се намери на страниците на прототипа.
Ето няколко примера за хвърляне на монета или зарове.
Пример 4.Когато хвърлим монета, каква е вероятността да падне на глави?
Има 2 изхода – глави или опашки. (счита се, че монетата никога не се приземява на ръба си) Благоприятен изход са опашки, 1.
Вероятност 1/2=0,5
Отговор: 0,5.
Пример 5.Ами ако хвърлим монета два пъти? Каква е вероятността да получите глави и двата пъти?
Основното нещо е да определим какви елементарни резултати ще вземем предвид при хвърляне на две монети. След хвърляне на две монети може да възникне един от следните резултати:
1) PP – и двата пъти се стигна до глави
2) PO – глави за първи път, глави за втори път
3) OP – глави първи път, опашки втори път
4) OO – и двата пъти се появиха глави
Други варианти няма. Това означава, че има 4 елементарни изхода. Само първият, 1, е благоприятен.
Вероятност: 1/4=0,25
Отговор: 0,25
Каква е вероятността две хвърляния на монети да доведат до опашки?
Броят на елементарните резултати е същият, 4. Благоприятните резултати са вторият и третият, 2.
Вероятност за получаване на една опашка: 2/4=0,5
При такива проблеми друга формула може да бъде полезна.
Ако по време на едно хвърляне на монета възможни вариантиимаме 2 резултата, тогава за две хвърляния резултатите ще бъдат 2 2 = 2 2 = 4 (както в пример 5), за три хвърляния 2 2 2 = 2 3 = 8, за четири: 2 2 2 2 =2 4 = 16, ... за N хвърляния възможни резултатище бъде 2·2·...·2=2 N .
Така че можете да намерите вероятността да получите 5 глави от 5 хвърляния на монети.
Общ брой елементарни резултати: 2 5 =32.
Благоприятни резултати: 1. (RRRRRR – всички 5 пъти с глава)
Вероятност: 1/32=0,03125
Същото важи и за зарове. При едно хвърляне има 6 възможни резултата, така че за две хвърляния: 6 6 = 36, за три 6 6 = 216 и т.н.
Пример 6.Хвърляме заровете. Каква е вероятността да се хвърли четно число?
Общо резултати: 6, според броя на страните.
Благоприятно: 3 изхода. (2, 4, 6)
Вероятност: 3/6=0,5
Пример 7.Хвърляме два зара. Каква е вероятността общият брой да бъде 10? (закръглено до най-близката стотна)
За един зар има 6 възможни изхода. Това означава, че за две, според горното правило, 6·6=36.
Какви резултати ще бъдат благоприятни за общото хвърляне на 10?
10 трябва да се разложи на сумата от две числа от 1 до 6. Това може да стане по два начина: 10=6+4 и 10=5+5. Това означава, че за кубовете са възможни следните опции:
(6 на първия и 4 на втория)
(4 на първия и 6 на втория)
(5 на първия и 5 на втория)
Общо 3 опции. Изисквана вероятност: 3/36=1/12=0,08
Отговор: 0,08
Други видове проблеми с B6 ще бъдат обсъдени в бъдеща статия Как да решим.
Вероятност. Проблеми на профилния Единен държавен изпит по математика.
Подготвен от учител по математика в МБОУ „Лицей № 4“, Рузаевка
Овчинникова Т.В.
Дефиниция на вероятността
Вероятност събития A се наричат числово отношение м резултати, благоприятни за това събитие към общия брой н всички еднакво възможни несъвместими събития, които могат да възникнат в резултат на един тест или наблюдение:
м
н
Позволявам к – броя на хвърлянията на монети, след това броя на възможните резултати: n=2 к .
Позволявам к – броя на хвърлените зарове, след това броя на възможните резултати: n=6 к .
При произволен експеримент симетрична монета се хвърля два пъти. Намерете вероятността главите да се появят точно веднъж.
Решение.
Има само 4 опции: О; o o; p p; p p; О .
Благоприятно 2: О; Р И R; О .
Вероятността е 2/4 = 1/2 = 0,5 .
Отговор: 0,5.
При произволен експеримент се хвърлят два зара. Намерете вероятността сборът да бъде 8 точки. Закръглете резултата до най-близката стотна.
Решение.
Заровете са кубчета с 6 страни. Първият зар може да хвърли 1, 2, 3, 4, 5 или 6 точки. Всяка опция за точкуване съответства на 6 опции за точкуване на втория зар.
Тези. Обща сума различни опции 6x6 = 36.
Опциите (резултатите от експеримента) ще бъдат както следва:
1; 1 1; 2 1; 3 1; 4 1; 5 1; 6
2; 1 2; 2 2; 3 2; 4 2; 5 2; 6
и т.н. .............................
6; 1 6; 2 6; 3 6; 4 6; 5 6; 6
Нека преброим броя на изходите (вариантите), при които сумата от точките на два зара е 8.
2; 6 3; 5; 4; 4 5; 3 6; 2.
Има общо 5 опции.
Нека намерим вероятността: 5/36 = 0,138 ≈ 0,14.
Отговор: 0,14.
В колекцията от билети по биология има само 55 билета, като 11 от тях съдържат въпрос по ботаника. Намерете вероятността студент да получи въпрос по ботаника върху произволно избран билет за изпит.
Решение:
Вероятността студентът да получи въпрос по ботаника върху произволно избран изпитен билет е 11/55 = 1/5 = 0,2.
Отговор: 0,2.
В първенството по гимнастика участват 20 състезатели: 8 от Русия, 7 от САЩ, останалите от Китай. Редът на представяне на гимнастичките се определя чрез жребий. Намерете вероятността спортистът, който се състезава първи, да е от Китай.
Решение.
Участват общо 20 състезатели,
от които 20 – 8 – 7 = 5 спортисти от Китай.
Вероятността спортистът, който се състезава първи, да е от Китай, е 5/20 = 1/4 = 0,25.
Отговор: 0,25.
Научна конференцияизвършено за 5 дни. Предвидени са общо 75 доклада - първите три дни съдържат 17 доклада, останалите са разпределени по равно между четвъртия и петия ден. Редът на докладите се определя чрез жребий. Каква е вероятността докладът на професор М. да бъде насрочен за последния ден на конференцията?
Решение:
В последния ден на конференцията е планирано
(75 – 17 × 3) : 2 = 12 доклада.
Вероятността докладът на професор М. да бъде насрочен за последния ден на конференцията е 12/75 = 4/25 = 0,16.
Отговор: 0,16.
Преди началото на първия кръг от първенството по бадминтон, участниците се разделят на случаен принцип по двойки с жребий. Общо в първенството участват 26 бадминтонисти, включително 10 участници от Русия, сред които Руслан Орлов. Намерете вероятността в първия кръг Руслан Орлов да играе с някой бадминтонист от Русия?
Решение:
Трябва да се има предвид, че Руслан Орлов трябва да играе с някой бадминтонист от Русия. А самият Руслан Орлов също е от Русия.
Вероятността в първия кръг Руслан Орлов да играе с някой бадминтонист от Русия е 9/25 = 36/100 = 0,36.
Отговор: 0,36.
Даша хвърля зара два пъти. Тя получи общо 8 точки. Намерете вероятността при първото хвърляне да получите 2 точки.
Решение.
Общо 8 точки трябва да се появят на двата зара. Това е възможно, ако има следните комбинации:
Има общо 5 опции. Нека преброим броя на резултатите (опциите), при които са получени 2 точки при първото хвърляне.
Това е вариант 1.
Нека намерим вероятността: 1/5 = 0,2.
Отговор: 0,2.
В световното първенство участват 20 отбора. Използвайки жребий, те трябва да бъдат разделени на пет групи от по четири отбора всяка. В кутията има смесени карти с номера на групи:
1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.
Капитаните на отбори теглят по една карта. Каква е вероятността руският отбор да попадне в трета група.
Решение:
Има общо 20 отбора, 5 групи.
Всяка група има 4 отбора.
И така, има общо 20 резултата, необходимите ни са 4, което означава, че вероятността да получим желания резултат е 4/20 = 0,2.
Отговор: 0,2.
Две фабрики произвеждат едно и също стъкло за автомобилни фарове. Първата фабрика произвежда 45% от тези очила, втората - 55%. Първата фабрика произвежда 3% дефектно стъкло, а втората – 1%. Намерете вероятността стъклото, закупено случайно в магазин, да бъде дефектно.
Решение:
Вероятността стъклото да е закупено в първата фабрика и да е дефектно:
Р 1 = 0,45 · 0,03 = 0,0135.
Вероятността стъклото да е закупено от втора фабрика и да е дефектно:
Р 2 = 0,55 · 0,01 = 0,0055.
Следователно, според формулата за обща вероятност, вероятността стъклото, закупено случайно в магазин, да бъде дефектно, е равна на
p = p 1 + стр 2 = 0,0135 + 0,0055 = 0,019.
Отговор: 0,019.
Ако гросмайстор А. играе с бели, тогава той печели срещу гросмайстор Б. с вероятност 0,52. Ако A. играе черно, тогава A. печели срещу B. с вероятност 0,3.
Гросмайсторите А. и Б. играят две игри, като във втората игра сменят цвета на фигурите. Намерете вероятността A. да спечели и двата пъти.
Решение:
Възможността за спечелване на първата и втората игра не зависи една от друга. Вероятността за произведение на независими събития е равна на произведението на техните вероятности:
p = 0,52 · 0,3 = 0,156.
Отговор: 0,156.
Биатлонист стреля по мишени пет пъти. Вероятността за попадение в целта с един изстрел е 0,8. Намерете вероятността биатлонистът да уцели мишените първите три пъти и да пропусне последните два пъти. Закръглете резултата до най-близката стотна.
Решение:
Резултатът от всеки следващ изстрел не зависи от предходните. Следователно събитията „попадение при първия изстрел“, „попадение при втория изстрел“ и т.н. независима.
Вероятността за всяко попадение е 0,8. Това означава, че вероятността за пропуск е 1 – 0,8 = 0,2.
1 изстрел: 0,8
2 изстрела: 0,8
3 изстрел: 0,8
4 изстрел: 0,2
5 изстрела: 0,2
Използвайки формулата за умножаване на вероятностите за независими събития, намираме, че желаната вероятност е равна на:
0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.
Отговор: 0,02.
В магазина има два разплащателни апарата. Всяка от тях може да бъде дефектна с вероятност 0,05, независимо от другата машина. Намерете вероятността поне една машина да работи.
Решение:
Нека намерим вероятността и двете машини да са дефектни.
Тези събития са независими, вероятността за тяхното възникване е равна на произведението на вероятностите за тези събития:
0,05 · 0,05 = 0,0025.
Събитие, състоящо се в това, че поне една машина работи, обратното.
Следователно вероятността му е равна
1 − 0,0025 = 0,9975.
Отговор: 0,9975.
Каубоят Джон има 0,9 шанс да удари муха на стената, ако стреля с нулев револвер. Ако Джон стреля с неизстрелян револвер, той уцелва мухата с вероятност 0,2. На масата има 10 револвера, само 4 от които са простреляни. Каубойът Джон вижда муха на стената, произволно грабва първия револвер, който му попадне, и застрелва мухата. Намерете вероятността Джон да пропусне.
Решение:
Вероятността Джон да пропусне, ако грабне занулен револвер е:
0,4 (1 − 0,9) = 0,04
Вероятността Джон да пропусне, ако грабне неизстрелян револвер е:
0,6 · (1 − 0,2) = 0,48
Тези събития са несъвместими, вероятността за тяхната сума е равна на сумата от вероятностите за тези събития:
0,04 + 0,48 = 0,52.
Отговор: 0,52.
При артилерийски огън автоматичната система произвежда изстрел по целта. Ако целта не е унищожена, системата изстрелва втори изстрел. Изстрелите се повтарят, докато целта бъде унищожена. Вероятността за унищожаване на определена цел с първия изстрел е 0,4, а с всеки следващ е 0,6. Колко изстрела ще са необходими, за да се гарантира, че вероятността за унищожаване на целта е поне 0,98?
Решение:
Можете да разрешите проблема „чрез действие“, като изчислите вероятността да оцелеете след поредица от последователни грешки:
P(1) = 0,6;
P(2) = P(1) 0,4 = 0,24;
P(3) = P(2) 0,4 = 0,096;
P(4) = P(3) 0,4 = 0,0384;
P(5) = P(4) 0,4 = 0,01536.
Последната вероятност е по-малка от 0,02, така че пет изстрела в целта са достатъчни.
Отговор: 5.
В класа има 26 души, сред които двама близнаци – Андрей и Сергей. Класът е разделен произволно на две групи от по 13 души всяка. Намерете вероятността Андрей и Сергей да бъдат в една и съща група.
Решение:
Нека един от близнаците е в някаква група.
Заедно с него в групата ще има 12 души от останалите 25 съученици.
Вероятността вторият близнак да бъде сред тези 12 души е
P = 12: 25 = 0,48.
Отговор: 0,48.
Картината показва лабиринт. Паякът пълзи в лабиринта на входната точка. Паякът не може да се обърне и да пълзи обратно, така че на всеки клон паякът избира една от пътеките, по които все още не е пълзял. Ако приемем, че изборът на по-нататъшния път е чисто случаен, определете с каква вероятност паякът ще стигне до изход D.
Решение:
На всяко от четирите маркирани разклонения паякът може да избере или пътя, водещ до изход D, или друг път с вероятност 0,5. Това са независими събития, вероятността за тяхното възникване (паякът достига до изход D) е равна на произведението на вероятностите за тези събития. Следователно вероятността да стигнете до изход D е (0,5) 4 = 0,0625.