Kuidas leida tavalise kuusnurkse prisma ruumala. Prisma aluspind: kolmnurkne kuni hulknurkne

Kolmnurgas B E B1 :

• B B1 = h
• B E = 2 ⋅ a- sest E O = O B = a
• ∠ E B B1 = 90 ∘ - korrapärase sirgjoone omaduste järgi

Seega selgub, et kolmnurk B E B1 ristkülikukujuline. Vastavalt täisnurkse kolmnurga omadustele

E B1 = B B2 1 +B E2 − − − − − − − − − − √ = h2 + 4 ⋅ a2 − − − − − − − − √

Kui a h = a, nii siis

E B1 = 5 √ ⋅ a

Pärast sarnast arutluskäiku saame selle F C1 = A D1 =B E1 = C F1 = D A1 = h2 + 4 ⋅ a2 − − − − − − − − √ .

Leiame O F1

Kolmnurgas F O F1 :

• F F1 = h
• F O = a
• ∠ O F F1 = 90 ∘ - tavalise prisma omaduste järgi

Seega selgub, et kolmnurk F O F1 ristkülikukujuline. Vastavalt täisnurkse kolmnurga omadustele

O F1 = F F2 1 +O F2 − − − − − − − − − − √ = h2 + a2 − − − − − − √

Kui a h = a, nii siis

Geomeetriliste kehade ruumalade määramine on ruumigeomeetria üks olulisi ülesandeid. Selles artiklis käsitletakse küsimust, mis on kuusnurkse alusega prisma, ja esitatakse ka tavalise kuusnurkse prisma ruumala valem.

Prisma definitsioon

Geomeetria seisukohalt on prisma kujund ruumis, mille moodustavad kaks identset hulknurka, mis paiknevad paralleelsetes tasandites. Nagu ka mitu rööpkülikut, mida need hulknurgad ühendavad üheks kujundiks.

Kolmemõõtmelises ruumis võib suvalise kujuga prisma saada, võttes mis tahes hulknurga ja lõigu. Pealegi ei kuulu hulknurga viimane tasapind. Seejärel, asetades selle lõigu hulknurga igast tipust, saab viimase paralleelse ülekande teisele tasapinnale. Sel viisil moodustatud kujund on prisma.

Vaadeldava figuuride klassi visuaalseks kujutamiseks esitame nelinurkse prisma joonise.

Paljud inimesed teavad seda kuju rööptahuka nime all. On näha, et prisma kaks identset hulknurka on ruudud. Neid nimetatakse figuuri alusteks. Selle ülejäänud neli külge on ristkülikud, see tähendab, et need on erijuhtum rööpkülikuid.

Kuusnurkne prisma: määratlus ja tüübid

Enne valemi andmist, kuidas kuusnurkse korrapärase prisma ruumala määratakse, on vaja selgelt mõista, millisest joonisest me räägime. sellel on kuusnurkne alus. See tähendab, et tasane hulknurk, millel on kuus külge ja sama arv nurki. Joonise küljed, nagu ka iga prisma puhul, on üldiselt rööpkülikukujulised. Märgime kohe, et kuusnurkset alust saab kujutada nii tavalise kui ka ebakorrapärase kuusnurgaga.

Figuuri aluste vaheline kaugus on selle kõrgus. Järgnevalt tähistame seda tähega h. Geomeetriliselt on kõrgus h segment, mis on risti mõlema aluse suhtes. Kui see on risti:

• langetatud ühe aluse geomeetrilisest keskpunktist;
• lõikub teise alusega ka geomeetrilises keskpunktis.

Joonist nimetatakse sel juhul sirgjooneks. Igal muul juhul on prisma kaldu või kaldu. Erinevused seda tüüpi kuusnurksete prismade vahel on ühe pilguga näha.

Parempoolne kuusnurkne prisma on kujund, mille põhjas on korrapärased kuusnurgad. Siiski on see sirge. Vaatame lähemalt selle omadusi.

Korrapärase kuusnurkse prisma elemendid

Et mõista, kuidas arvutada tavalise kuusnurkse prisma ruumala (valem on toodud artiklis allpool), peate ka välja selgitama, millistest elementidest joonis koosneb ja millised omadused sellel on. Joonise analüüsimise hõlbustamiseks näitame seda joonisel.

Selle peamised elemendid on näod, servad ja tipud. Nende elementide arv järgib Euleri teoreemi. Kui tähistame P - servade arvu, B - tippude arvu ja G - tahke, siis saame kirjutada võrdsuse:

Vaatame üle. Vaadeldava kujundi tahkude arv on 8. Kaks neist on korrapärased kuusnurgad. Kuus tahku on ristkülikud, nagu jooniselt näha. Tippude arv on 12. Tõepoolest, 6 tippu kuuluvad ühte alusesse ja 6 teise. Valemi järgi peaks servade arv olema 18, mis on õiglane. 12 serva asetsevad alustel ja 6 moodustavad ristkülikute küljed üksteisega paralleelselt.

Tavalise kuusnurkse prisma ruumala valemi saamiseks peaksite keskenduma selle joonise ühele olulisele omadusele: ristkülikutele, mis moodustavad külgpind, üksteisega võrdsed ja risti mõlema aluse suhtes. See toob kaasa kaks olulist tagajärge:

1. Figuuri kõrgus võrdub selle külgserva pikkusega.
2. Iga külgmine osa, mis on tehtud lõiketasapinnaga, mis on alustega paralleelne, on nende alustega võrdne korrapärane kuusnurk.

Kuusnurkne ala

Võib intuitiivselt arvata, et see joonise aluse ala ilmub tavalise kuusnurkse prisma ruumala valemis. Seetõttu leiame selle valdkonna artikli selles lõigus. Allpool on näidatud korrapärane kuusnurk, mis on jagatud 6 identseks kolmnurgaks, mille tipud lõikuvad selle geomeetrilises keskpunktis:

Kõik need kolmnurgad on võrdkülgsed. Seda pole väga raske tõestada. Kuna kogu ringjoonel on 360 o , on kolmnurkade nurgad kuusnurga geomeetrilise keskpunkti lähedal 360 o /6=60 o . Geomeetrilise keskpunkti ja kuusnurga tippude kaugused on samad.

Viimane tähendab, et kõik 6 kolmnurka on võrdhaarsed. Sest üks nurkadest võrdhaarsed kolmnurgad on võrdne 60 o , mis tähendab, et ülejäänud kaks nurka on samuti võrdsed 60 o . ((180 o -60 o) / 2) - võrdkülgsed kolmnurgad.

Tähistage kuusnurga külje pikkust tähega a. Siis on ühe kolmnurga pindala võrdne:

S 1 = 1/2*√3/2*a*a = √3/4*a2.

Valem on tuletatud kolmnurga pindala standardavaldisest. Siis on kuusnurga ala S 6:

S 6 \u003d 6 * S 1 \u003d 6 * √ 3 / 4 * a 2 \u003d 3 * √ 3 / 2 * a 2.

Korrapärase kuusnurkse prisma ruumala määramise valem

Kõnealuse joonise mahu valemi üleskirjutamiseks tuleks arvesse võtta ülaltoodud teavet. Suvalise prisma jaoks arvutatakse selle tahkudega piiratud ruumi maht järgmiselt:

See tähendab, et V on võrdne põhipinna S o ja kõrguse h korrutisega. Kuna me teame, et kõrgus h võrdub kuusnurkse korrapärase prisma külgserva b pikkusega ja selle aluse pindala vastab S 6, siis on tavalise kuusnurkse prisma ruumala valem. toimub järgmisel kujul:

V 6 \u003d 3 * √ 3/2 * a 2 * b.

Geomeetrilise ülesande lahendamise näide

Dana kuusnurkne parem prisma. Teadaolevalt on see sisse kirjutatud 10 cm raadiusega silindrisse Prisma kõrgus on kaks korda suurem kui selle aluse külg. Leidke joonise maht.

Vajaliku väärtuse leidmiseks peate teadma külje ja külgribi pikkust. Regulaarse kuusnurga käsitlemisel näidati, et selle geomeetriline keskpunkt asub selle ümber kirjeldatud ringi keskel. Viimase raadius võrdub kaugusega keskpunktist ükskõik millise tipuni. See tähendab, et ta pikkusega võrdne kuusnurga küljed. Need kaalutlused viivad järgmiste tulemusteni:

a = r = 10 cm;

b = h = 2 * a = 20 cm.

Asendades need andmed korrapärase kuusnurkse prisma ruumala valemisse, saame vastuse: V 6 ≈5196 cm 3 ehk umbes 5,2 liitrit.

Oletame, et Achilleus jookseb kümme korda kiiremini kui kilpkonn ja on sellest tuhat sammu maas. Aja jooksul, mil Achilleus selle distantsi läbib, roomab kilpkonn sada sammu samas suunas. Kui Achilleus on sada sammu jooksnud, roomab kilpkonn veel kümme sammu jne. Protsess jätkub lõputult, Achilleus ei jõua kunagi kilpkonnale järele.

See arutluskäik sai loogiliseks šokiks kõigile järgnevatele põlvkondadele. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Kõik nad pidasid ühel või teisel viisil Zenoni apooriaks. Šokk oli nii tugev, et " ... arutelud on käimas ja nüüd, tule kohale üldine arvamus paradokside olemuse osas pole teadusringkondadel veel õnnestunud ... matemaatiline analüüs, hulgateooria, uued füüsikalised ja filosoofilised lähenemised; ühestki neist ei saanud probleemile üldtunnustatud lahendus ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Kõik saavad aru, et neid lollitatakse, aga keegi ei saa aru, milles see pettus seisneb.

Matemaatika seisukohalt näitas Zenon oma apoorias selgelt üleminekut väärtuselt väärtusele. See üleminek eeldab konstantide asemel rakendamist. Minu arusaamist mööda pole muutuvate mõõtühikute rakendamise matemaatilist aparaati kas veel välja töötatud või pole seda Zenoni apooriale rakendatud. Meie tavapärase loogika rakendamine viib meid lõksu. Me rakendame mõtlemise inertsist vastastikusele konstantsed ajaühikud. Füüsilisest vaatenurgast tundub, et aeg aeglustub täieliku peatumiseni hetkel, mil Achilleus jõuab kilpkonnale järele. Kui aeg peatub, ei saa Achilleus enam kilpkonnast mööduda.

Kui pöörame harjunud loogikat, loksub kõik paika. Achilleus jookseb ühtlase kiirusega. Selle tee iga järgmine lõik on kümme korda lühem kui eelmine. Sellest tulenevalt on selle ületamiseks kulunud aeg kümme korda väiksem kui eelmisel. Kui rakendame selles olukorras mõistet "lõpmatus", siis oleks õige öelda: "Achilleus möödub lõpmatult kiiresti kilpkonnast."

Kuidas seda loogilist lõksu vältida? Jääge konstantsetesse ajaühikutesse ja ärge lülituge vastastikustele väärtustele. Zenoni keeles näeb see välja järgmine:

Aja jooksul, mis kulub Achilleuse tuhande sammu jooksmiseks, roomab kilpkonn sada sammu samas suunas. Järgmise ajaintervalli jooksul, mis on võrdne esimesega, jookseb Achilleus veel tuhat sammu ja kilpkonn roomab sada sammu. Nüüd on Achilleus kilpkonnast kaheksasada sammu ees.

See lähenemine kirjeldab adekvaatselt tegelikkust ilma loogiliste paradoksideta. Aga ei ole täielik lahendus Probleemid. Einsteini väide valguse kiiruse ületamatusest on väga sarnane Zenoni apooriaga "Achilleus ja kilpkonn". Seda probleemi tuleb veel uurida, ümber mõelda ja lahendada. Ja lahendust tuleb otsida mitte lõpmata suurtes arvudes, vaid mõõtühikutes.

Veel üks Zenoni huvitav apooria räägib lendavast noolest:

Lendav nool on liikumatu, kuna igal ajahetkel on ta puhkeolekus ja kuna ta on igal ajahetkel puhkab, siis on ta alati puhkeolekus.

Selles apoorias ületatakse loogiline paradoks väga lihtsalt - piisab, kui selgitada, et igal ajahetkel on lendav nool paigal erinevates ruumipunktides, mis tegelikult on liikumine. Siin tuleb märkida veel üks punkt. Ühe maanteel oleva auto foto järgi on võimatu kindlaks teha ei selle liikumise fakti ega kaugust selleni. Auto liikumise fakti kindlakstegemiseks on vaja kahte ühest ja samast punktist erinevatel ajahetkedel tehtud fotot, kuid nende abil ei saa määrata kaugust. Auto kauguse määramiseks vajate korraga kahte erinevatest ruumipunktidest tehtud fotot, kuid te ei saa nende järgi kindlaks teha liikumise fakti (loomulikult vajate arvutusteks siiski lisaandmeid, trigonomeetria aitab teid). Millele ma tahan keskenduda Erilist tähelepanu, on see, et kaks ajapunkti ja kaks punkti ruumis on erinevad asjad, mida ei tohiks segi ajada, sest need pakuvad erinevaid võimalusi uurimiseks.

Kolmapäeval, 4. juulil 2018

Väga hästi on Vikipeedias kirjeldatud komplekti ja multikomplekti erinevusi. Me vaatame.

Nagu näete, "komplektis ei saa olla kahte identset elementi", kuid kui komplektis on identsed elemendid, nimetatakse sellist komplekti "multiseks". Mõistlikud olendid ei mõista sellist absurdiloogikat kunagi. See on kõnelevate papagoide ja treenitud ahvide tase, kus mõistus puudub sõnast "täiesti". Matemaatikud tegutsevad tavaliste koolitajatena, kuulutades meile oma absurdseid ideid.

Kunagi olid silla ehitanud insenerid silla katsetuste ajal silla all paadis. Kui sild kokku kukkus, suri keskpärane insener oma loomingu rusude all. Kui sild koormusele vastu pidas, ehitas andekas insener teisi sildu.

Ükskõik, kuidas matemaatikud end lause "mind me, I'm in the house" taha peituvad, õigemini "matemaatika uurib abstraktseid mõisteid", on üks nabanöör, mis seob neid lahutamatult reaalsusega. See nabanöör on raha. Rakendagem matemaatilist hulgateooriat matemaatikute endi suhtes.

Õppisime matemaatikat väga hästi ja istume nüüd kassas ja maksame palka. Siin tuleb meie juurde matemaatik oma raha pärast. Loeme talle kogu summa kokku ja laotame selle oma lauale erinevatesse hunnikutesse, millesse paneme sama nimiväärtusega arved. Seejärel võtame igast hunnikust ühe arve ja anname selle matemaatikale." matemaatiline komplekt Selgitame matemaatikat, et ta saab ülejäänud rahatähed kätte alles siis, kui ta tõestab, et ilma samade elementideta komplekt ei võrdu samade elementidega komplektiga.Siit algab lõbus.

Esiteks hakkab toimima saadikute loogika: "teiste puhul võid seda rakendada, minu puhul mitte!" Edasi hakatakse tagama, et sama nimiväärtusega pangatähtedel on erinevad pangatähtede numbrid, mis tähendab, et neid ei saa pidada identseteks elementideks. Noh, me arvestame palka müntides - müntidel pole numbreid. Siin hakkab matemaatik kramplikult füüsikat meenutama: see on erinevatel müntidel erinev summa mustus, kristallstruktuur ja iga mündi aatomipaigutus on ainulaadne...

Ja nüüd on mul kõige rohkem huvi Küsi: kus on piir, millest kaugemal muutuvad multihulga elemendid hulga elementideks ja vastupidi? Sellist joont pole olemas – kõike otsustavad šamaanid, teadus pole siin lähedalgi.

Vaata siia. Valime jalgpallistaadionid sama põllupinnaga. Väljade pindala on sama, mis tähendab, et meil on multikomplekt. Aga kui arvestada samade staadionide nimesid, saame palju, sest nimed on erinevad. Nagu näete, on sama elementide kogum korraga nii hulk kui ka multikomplekt. Kui õige? Ja siin võtab matemaatik-šamaan-shuller varrukast välja trumpässa ja hakkab meile rääkima kas komplektist või multikomplektist. Igal juhul veenab ta meid, et tal on õigus.

Et mõista, kuidas tänapäeva šamaanid hulgateooriaga opereerivad, sidudes selle tegelikkusega, piisab, kui vastata ühele küsimusele: mille poolest erinevad ühe hulga elemendid teise hulga elementidest? Ma näitan teile, ilma igasuguse "mõeldava mitte ühe tervikuna" või "ei ole mõeldav ühtse tervikuna".

Pühapäev, 18. märts 2018

Arvu numbrite summa on šamaanide tants tamburiiniga, millel pole matemaatikaga mingit pistmist. Jah, matemaatikatundides õpetatakse leidma arvu numbrite summat ja seda kasutama, aga selleks on nad šamaanid, et õpetada järeltulijatele nende oskusi ja tarkust, muidu surevad šamaanid lihtsalt välja.

Kas vajate tõestust? Avage Wikipedia ja proovige leida lehekülg "Arvu numbrite summa". Teda pole olemas. Matemaatikas pole valemit, mille abil saaks leida mis tahes arvu numbrite summa. Lõppude lõpuks on numbrid graafilised sümbolid, mille abil kirjutame numbreid ja matemaatika keeles kõlab ülesanne nii: "Leia suvalist arvu esindavate graafiliste sümbolite summa." Matemaatikud ei suuda seda ülesannet lahendada, kuid šamaanid saavad sellega hakkama elementaarselt.

Mõelgem välja, mida ja kuidas teeme, et leida antud arvu numbrite summa. Ja nii, oletame, et meil on number 12345. Mida tuleb teha, et leida selle arvu numbrite summa? Vaatleme kõiki samme järjekorras.

1. Kirjutage number paberile. Mida me oleme teinud? Oleme teisendanud numbri graafiliseks numbrisümboliks. See ei ole matemaatiline tehe.

2. Lõikasime ühe saadud pildi mitmeks eraldi numbreid sisaldavaks pildiks. Pildi lõikamine ei ole matemaatiline tehe.

3. Teisendage üksikud graafilised märgid numbriteks. See ei ole matemaatiline tehe.

4. Liitke saadud arvud kokku. Nüüd on see matemaatika.

Arvu 12345 numbrite summa on 15. Need on matemaatikute kasutatavad šamaanide "lõike- ja õmbluskursused". Kuid see pole veel kõik.

Matemaatika seisukohalt pole vahet, millisesse arvusüsteemi me arvu kirjutame. Niisiis, sisse erinevad süsteemid Arvestades, on sama numbri numbrite summa erinev. Matemaatikas märgitakse numbrisüsteem numbrist paremal oleva alaindeksina. FROM suur hulk 12345 Ma ei taha oma pead petta, mõelge numbrile 26 artiklist. Kirjutame selle arvu kahend-, kaheksand-, kümnend- ja kuueteistkümnendsüsteemis. Me ei vaata iga sammu mikroskoobi all, oleme seda juba teinud. Vaatame tulemust.

Nagu näete, on erinevates numbrisüsteemides sama numbri numbrite summa erinev. Sellel tulemusel pole matemaatikaga mingit pistmist. See on sama, nagu ristküliku pindala leidmine meetrites ja sentimeetrites annaks teile täiesti erinevad tulemused.

Null kõigis numbrisüsteemides näeb välja ühesugune ja sellel pole numbrite summat. See on veel üks argument selle kasuks, et . Küsimus matemaatikutele: kuidas tähistatakse matemaatikas seda, mis pole arv? Mis, matemaatikute jaoks pole muud kui numbrid olemas? Šamaanidele võin seda lubada, aga teadlastele mitte. Tegelikkus ei seisne ainult numbrites.

Saadud tulemust tuleks pidada tõestuseks, et arvusüsteemid on arvude mõõtühikud. Me ei saa ju võrrelda numbreid erinevate mõõtühikutega. Kui samad toimingud sama suuruse erinevate mõõtühikutega viivad erinevaid tulemusi pärast nende võrdlemist pole sellel matemaatikaga midagi pistmist.

Mis on tõeline matemaatika? See on siis, kui matemaatilise toimingu tulemus ei sõltu arvu väärtusest, kasutatavast mõõtühikust ja sellest, kes selle toimingu sooritab.

Oeh! Kas see pole mitte naiste tualett?
- Noor naine! See on labor hingede määramatu pühaduse uurimiseks taevasse tõusmisel! Nimbus peal ja nool üles. Mis tualett veel?

Naine... Halo peal ja nool alla on isane.

Kui teie silme ees vilgub mõni selline disainikunstiteos mitu korda päevas,

Siis pole üllatav, et äkki leiate oma autost kummalise ikooni:

Ise pingutan enda kallal, et kakaval inimesel näha miinus nelja kraadi (üks pilt) (mitme pildi koosseis: miinusmärk, number neli, kraadide tähistus). Ja ma ei pea seda tüdrukut rumalaks, kes füüsikat ei tunne. Tal on lihtsalt stereotüüp graafiliste piltide tajumisest. Ja matemaatikud õpetavad meile seda kogu aeg. Siin on näide.

1A ei ole "miinus neli kraadi" ega "üks a". See on "kakav mees" või number "kakskümmend kuus" kuueteistkümnendsüsteemis. Need inimesed, kes pidevalt selles numbrisüsteemis töötavad, tajuvad numbrit ja tähte automaatselt ühe graafilise sümbolina.

Prisma on üks mahukujulistest kujunditest, mille omadusi uuritakse koolis ruumigeomeetria käigus. Selles artiklis käsitleme konkreetset prismat - kuusnurkset. Mis kujund see on, kuidas leida korrapärase kuusnurkse prisma ruumala ja selle pindala? Vastused neile küsimustele sisalduvad artiklis.

Figuuriprisma

Oletame, et meil on n küljega suvaline hulknurk, mis asub mingil tasapinnal. Selle hulknurga iga tipu jaoks konstrueerime vektori, mis ei asu hulknurga tasapinnal. Selle toiminguga saame n identset vektorit, mille tipud moodustavad hulknurga, mis on täpselt võrdne esialgsega. Figuuri, mis on piiratud kahe identse hulknurga ja nende tippe ühendava paralleelse joonega, nimetatakse prismaks.

Prisma tahud on kaks alust, mida kujutavad n küljega hulknurgad ja n külgpinnad-parallelogrammid. Joonise servade arv P on seotud selle tippude B ja tahkude G arvuga Euleri valemiga:

N küljega hulknurga jaoks saame n + 2 tahku ja 2 * n tippu. Siis on servade arv:

P \u003d C + D - 2 \u003d 2 * n + n + 2 - 2 = 3 * n

Lihtsaim prisma on kolmnurkne, see tähendab, et selle alus on kolmnurk.

Prismade klassifikatsioon on üsna mitmekesine. Seega võivad need olla korrapärased ja ebakorrapärased, ristkülikukujulised ja kaldus, kumerad ja nõgusad.

Kuusnurkne prisma

See artikkel on pühendatud korrapärase kuusnurkse prisma ruumala küsimusele. Kõigepealt vaatame seda joonist lähemalt.

Nagu nimigi ütleb, on kuusnurkse prisma alus hulknurk, millel on kuus külge ja kuus nurka. Üldjuhul võivad sellised hulknurgad koosneda väga paljudest, kuid harjutamiseks ja geomeetriliste ülesannete lahendamiseks on oluline üks juhtum - tavaline kuusnurk. Selle kõik küljed on üksteisega võrdsed ja kõik 6 nurka on 120 o. Selle hulknurga saate hõlpsalt ehitada, kui jagate ringi kuueks võrdseks kolme läbimõõduga osaks (need peavad lõikuma 60 o nurga all).

Regulaarne kuusnurkne prisma ei tähenda mitte ainult korrapärase hulknurga olemasolu selle aluses, vaid ka asjaolu, et kõik küljed kujundid peavad olema ristkülikud. See on võimalik ainult siis, kui külgpinnad on kuusnurksete alustega risti.

Tavaline kuusnurkne prisma on üsna täiuslik kuju, mida leidub igapäevaelus ja looduses. Tuleb mõelda vaid kärje või kuuskantvõtme kujule. Nanotehnoloogia vallas on levinud ka kuusnurksed prismad. Näiteks, kristallvõred HCP ja C32, mis realiseeritakse teatud tingimustel titaanis ja tsirkooniumis, samuti grafiitvõres, on kuusnurksete prismade kujul.

Kuusnurkse prisma pindala

Liigume nüüd otse prisma pindala ja ruumala arvutamise küsimuse juurde. Esiteks arvutage selle joonise pindala.

Mis tahes prisma pindala arvutatakse järgmise võrrandi abil:

See tähendab, et soovitud pindala S võrdub kahe aluse S o pindalade ja külgpinna S b pindala summaga. S o väärtuse saab määrata kahel viisil:

• Arvutage ise. Selleks jagatakse kuusnurk 6 võrdkülgseks kolmnurgaks. Teades, et ühe kolmnurga pindala on võrdne poole kõrguse ja aluse korrutisega (kuusnurga külje pikkus), saate leida kõnealuse hulknurga pindala.
• ära kasutama kuulus valem. See on loetletud allpool:

S n = n / 4 * a 2 * ctg (pi / n)

Siin a on n tipuga korrapärase hulknurga külje pikkus.

Ilmselgelt annavad mõlemad meetodid sama tulemuse. Tavalise kuusnurga puhul on pindala:

S o \u003d S 6 \u003d 3 * √3 * a 2/2

Külgmist pindala on lihtne leida, selleks peate korrutama iga ristküliku a aluse prisma kõrgusega h, korrutama saadud väärtuse selliste ristkülikute arvuga, see tähendab 6-ga. :

Kasutades kogupindala valemit, saame tavalise kuusnurkse prisma jaoks:

S = 3 * √3 * a 2 + 6 * a * h = 3 * a * (√3 * a + 2 * h)

Kuidas leida prisma ruumala?

Maht on füüsiline kogus A, mis tähistab objekti poolt hõivatud ruumi pindala. Prisma puhul saab selle väärtuse arvutada järgmise valemi abil:

See avaldis annab vastuse küsimusele, kuidas leida suvalise kujuga prisma ruumala, see tähendab, et on vaja korrutada aluse S o pindala joonise h kõrgusega ( aluste vaheline kaugus).

Pange tähele, et ülaltoodud avaldis kehtib mis tahes prisma kohta, sealhulgas nõgusate ja kaldus kujundite puhul, mis on moodustatud aluses ebakorrapärastest hulknurkadest.

Kuusnurkse korrapärase prisma ruumala valem

peal Sel hetkel oleme kaalunud kõiki vajalikke teoreetilisi arvutusi, et saada vaadeldava prisma ruumala avaldis. Selleks piisab, kui korrutada aluspind külgserva pikkusega, mis on joonise kõrgus. Selle tulemusel saab kuusnurkne prisma järgmise kuju:

V = 3 * √3 * a 2 * h / 2

Seega eeldab vaadeldava prisma ruumala arvutamine vaid kahe suuruse tundmist: selle aluse külje pikkust ja kõrgust. Need kaks suurust määravad üheselt joonise mahu.

Mahtude ja silindri võrdlus

Eespool öeldi, et kuusnurkse prisma aluse saab hõlpsasti ehitada ringi kasutades. Samuti on teada, et kui suurendada tavalise hulknurga külgede arvu, läheneb selle kuju ringile. Sellega seoses on huvitav arvutada, kui palju erineb tavalise kuusnurkse prisma maht sellest silindri väärtusest.

Sellele küsimusele vastamiseks on vaja arvutada ringi sisse kirjutatud kuusnurga külje pikkus. Seda saab hõlpsasti näidata, et see võrdub raadiusega. Ringjoone raadiust tähistame tähega R. Oletame, et silindri ja prisma kõrgus võrdub mingi väärtusega h. Siis on prisma maht järgmine väärtus:

V p = 3 * √3 * R 2 * h / 2

Silindri ruumala määratakse sama valemiga nagu suvalise prisma maht. Arvestades, et ringi pindala on pi * R 2, on meil silindri ruumala jaoks:

Leiame nende arvude mahtude suhte:

V p / V c = 3 * √3 * R 2 * h / 2 / (pi * R 2 * h) = 3 * √3 / (2 * pi)

Arv "pi" on 3,1416. Selle asendades saame:

Seega on tavalise kuusnurkse prisma maht umbes 83% selle silindri mahust, millesse see on kantud.