Kuidas leida paralleelsete joonte vaheline kaugus. Joonte vastastikune paigutus ruumis. Probleemid sirgjoonega ruumis

Rööpkülik on nelinurk, mille vastasküljed on paralleelsed, st asetsevad paralleelsel sirgel (joonis 1).

1. teoreem. Rööpküliku külgede ja nurkade omadustest. Rööpküliku vastasküljed on võrdsed, vastasnurgad on võrdsed ja rööpküliku ühe küljega külgnevate nurkade summa on 180°.

Tõestus. Sellele rööpkülikule ABCD tõmmake diagonaal AC ja saage kaks kolmnurka ABC ja ADC (joonis 2).

Need kolmnurgad on võrdsed, kuna ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (paralleelsete joonte ristnurgad) ja külg AC on ühine. Võrdusest Δ ABC = Δ ADC järeldub, et AB = CD, BC = AD, ∠ B = ∠ D. Ühe küljega külgnevate nurkade summa, näiteks nurgad A ja D, võrdub 180° kui üks -külgnevad paralleelsete joontega. Teoreem on tõestatud.

Kommenteeri. Rööpküliku vastaskülgede võrdsus tähendab, et paralleelsete lõigud, mis on paralleelsete poolt ära lõigatud, on võrdsed.

Järeldus 1. Kui kaks sirget on paralleelsed, siis on ühe sirge kõik punktid teisest sirgest samal kaugusel.

Tõestus. Tõepoolest, olgu || b (joonis 3).

Tõmbame sirge b mõnest kahest punktist B ja C sirge a ristid BA ja CD. Kuna AB || CD, siis on joonis ABCD rööpkülik ja seetõttu AB = CD.

Kahe paralleelse joone vaheline kaugus on kaugus ühel sirgel olevast suvalisest punktist teise sirgeni.

Tõestatu põhjal on see võrdne ühe paralleelse sirge mõnest punktist teisele sirgele tõmmatud risti pikkusega.

Näide 1 Rööpküliku ümbermõõt on 122 cm Tema üks külg on teisest 25 cm pikem Leia rööpküliku küljed.

Lahendus. Teoreemi 1 kohaselt on rööpküliku vastasküljed võrdsed. Tähistame rööpküliku üht külge kui x, teist kui y. Siis tingimusega $$\left\(\begin(maatriks) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(maatriks)\right.$$ Selle süsteemi lahendamisel saame x = 43, y = 18. Seega on rööpküliku küljed 18, 43, 18 ja 43 cm.

Näide 2

Lahendus. Laske joonisel 4 vastata ülesande olukorrale.

Tähista AB-d x-ga ja BC-d y-ga. Tingimuse järgi on rööpküliku ümbermõõt 10 cm, st 2(x + y) = 10 või x + y = 5. Kolmnurga ABD ümbermõõt on 8 cm Ja kuna AB + AD = x + y = 5 , siis BD = 8-5 = 3 . Seega BD = 3 cm.

Näide 3 Leidke rööpküliku nurgad, teades, et üks neist on teisest 50° suurem.

Lahendus. Laske joonisel 5 vastata ülesande olukorrale.

Tähistame nurga A kraadimõõtu kui x. Siis on nurga D kraadimõõt x + 50°.

Nurgad BAD ja ADC on sisemised ühepoolsed paralleelsete joontega AB ja DC ning sekant AD. Siis on nende nimetatud nurkade summaks 180°, s.o.
x + x + 50° = 180° või x = 65°. Seega ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°.

Näide 4 Rööpküliku küljed on 4,5 dm ja 1,2 dm. Teravnurga tipust tõmmatakse poolitaja. Millisteks osadeks jagab rööpküliku pika külje?

Lahendus. Olgu joonisel 6 vastav ülesande seisukord.

AE on rööpküliku teravnurga poolitaja. Seetõttu ∠ 1 = ∠ 2.

Selles artiklis keskendutakse kaldjoonte vahelise kauguse leidmisele koordinaatide meetodil. Esiteks antakse kaldjoonte vahelise kauguse määratlus. Järgmisena saadakse algoritm, mis võimaldab leida kaldjoonte vahelise kauguse. Kokkuvõttes analüüsitakse üksikasjalikult näite lahendust.

Leheküljel navigeerimine.

Viltusjoonte vaheline kaugus on määratlus.

Enne kaldjoonte vahelise kauguse määratlust tuletame meelde kaldjoonte definitsiooni ja tõestame kaldjoontega seotud teoreemi.

Definitsioon.

on kaugus ühe lõikuva sirge ja sellega paralleelse tasandi vahel, mis läbib teist sirget.

Vahemaa sirge ja sellega paralleelse tasapinna vahel on omakorda kaugus joone mingist punktist tasapinnani. Siis kehtib järgmine kaldjoonte vahelise kauguse määratluse sõnastus.

Definitsioon.

Lõikuvate joonte vaheline kaugus on kaugus ühe kaldjoone mõnest punktist tasapinnani, mis läbib teise esimese sirgega paralleelset sirget.

Vaatleme sirgete a ja b ristumisi. Märgime sirgele a kindla punkti M 1, läbi sirge b tõmbame sirgega a paralleelse tasapinna ja punktist M 1 kukutame tasapinnale risti M 1 H 1. Risti M 1 H 1 pikkus on ristuvate sirgete a ja b vaheline kaugus.

Ristumisjoonte vahekauguse leidmine - teooria, näited, lahendused.

Ristuvate joonte vahelise kauguse leidmisel on sageli peamiseks raskuseks sellise lõigu nägemine või konstrueerimine, mille pikkus on võrdne nõutava kaugusega. Kui selline segment konstrueerida, siis olenevalt ülesande tingimustest saab selle pikkuse leida Pythagorase teoreemi, kolmnurkade võrdsuse või sarnasuse märkide jms abil. Seda teeme 10.-11. klassi geomeetriatundides lõikuvate sirgete vahekauguse leidmisel.

Kui Oxyz tuuakse kolmemõõtmelisse ruumi ja selles on antud kaldjooned a ja b, siis koordinaatide meetod võimaldab toime tulla etteantud kaldjoonte vahelise kauguse arvutamise ülesandega. Analüüsime seda üksikasjalikult.

Olgu tasapind, mis läbib sirget b paralleelselt sirgega a. Siis on soovitud kaugus ristuvate sirgete a ja b vahel definitsiooni järgi kaugusega mingist sirgel a asuvast punktist M 1 tasapinnani. Seega, kui määrame mõne sirgel a asuva punkti M 1 koordinaadid ja saame tasapinna normaalvõrrandi kujul, siis saame arvutada kauguse punktist tasapinnale valemiga (see valem saadi punktist tasandi kauguse leidmise artiklis). Ja see kaugus on võrdne soovitud kaugusega kaldjoonte vahel.

Nüüd üksikasjalikult.

Ülesanne taandub sirgel a asuva punkti M 1 koordinaatide saamisele ja tasandi normaalvõrrandi leidmisele.

Punkti M 1 koordinaatide määramisel pole raskusi, kui tunnete hästi põhilisi sirgjoonevõrrandite tüüpe ruumis. Kuid tasub peatuda üksikasjalikumalt tasapinna võrrandi saamisel.

Kui määrame mõne punkti M 2 koordinaadid, mida tasand läbib, ja saame ka tasapinna normaalvektori kujul , siis saame tasandi üldvõrrandi kirjutada kujul .

Punktina M 2 võite võtta mis tahes punkti, mis asub sirgel b, kuna tasapind läbib sirget b. Seega võib punkti M 2 koordinaadid lugeda leituks.

Jääb üle saada tasapinna normaalvektori koordinaadid . Teeme seda.

Tasapind läbib sirget b ja on paralleelne sirgega a. Seetõttu on tasapinna normaalvektor risti nii sirge a suunavektoriga (tähistame seda ) kui ka sirge b suunavektoriga (tähistame seda ). Siis saame vektorina võtta ja, see tähendab . Olles määranud sirge a ja b koordinaadid ja suunavektorid ning arvutanud , leiame tasapinna normaalvektori koordinaadid.

Niisiis, meil on tasapinna üldvõrrand: .

Jääb vaid viia tasapinna üldvõrrand normaalkujule ja arvutada valemi abil soovitud kaugus ristuvate sirgete a ja b vahel.

Sellel viisil, ristuvate sirgete a ja b vahelise kauguse leidmiseks on vaja:

Vaatame näidislahendust.

Näide.

Kolmemõõtmelises ruumis ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis Oxyz on antud kaks lõikuvat sirget a ja b. Rida a on määratletud

Kaugus

punktist joonele

Paralleelsete joonte vaheline kaugus

Geomeetria, 7. klass

L.S. Atanasyani õpiku juurde

kõrgeima kategooria matemaatikaõpetaja

MOU "Upshinskaya main üldhariduslik kool»

Mari Eli Vabariigi Orsha ringkond

Perpendikulaarne pikkus tõmmatud punktist joonele, helistas vahemaa sellest punktist kuni sirge.

AN ⏊ a

M є a, M erineb H-st

Perpendikulaarne tõmmatud punktist joonele, vähem ükskõik milline kaldus tõmmatud samast punktist sellele joonele.

OLEN – kaldus, tõmmatud punktist A joonele a

AN OLEN

AN - kaldus

AN AN

AN AK

AK - kaldus

Kaugus punktist jooneni

M

Kaugus punktist M jooneni c on...

N

Kaugus punktist N jooneni c on ...

Koos

Kaugus punktist K jooneni c on ...

K

Kaugus punktist F jooneni c on ...

F

Kaugus punktist jooneni

AN ⏊ a

AN= 5,2 cm

VC ⏊ a

VC= 2,8 cm

Teoreem.

Mõlema paralleelse sirge kõik punktid on teisest sirgest võrdsel kaugusel

Arvestades: a ǁ b

A є a, B є a,

Tõesta: punktide A ja B kaugused sirgeni a on võrdsed.

AN ⏊ b, BK ⏊ b,

Tõesta: AH = BK

Δ ANC = ΔVKA(miks?)

Kolmnurkade võrdsusest järeldub AN = VK

Kaugust ühe paralleelse sirge suvalisest punktist teise sirgeni nimetatakse nende sirgete vaheliseks kauguseks.

Pöördteoreem.

Kõik tasapinna punktid, mis asuvad antud sirgega samal küljel ja on sellest võrdsel kaugusel, asuvad antud sirgega paralleelsel sirgel.

AN ⏊ b, BK ⏊ b,

AH = BK

Tõesta: AB ǁ b

Δ ANC = ΔKVA(miks?)

Kolmnurkade võrdsusest järeldub … , kuid need on sisemised risti asetsevad nurgad, mille moodustavad … , seega AB ǁ NK

Kui suur on sirgete b ja c vaheline kaugus, kui ridade vaheline kaugus a ja b on 4 ning ridade vahel a ja c on 5?

a ǁ b ǁ c

Kui suur on sirgete b ja a vaheline kaugus, kui joonte b ja c vaheline kaugus on 7 ning joonte vahel a ja c on 2?

Kui suur on joonte vaheline kaugus a ja c, kui ridade b ja c vaheline kaugus on 10, ja joonte vaheline kaugus b ja a võrdne 6?

Mis on kahest paralleelsest sirgest võrdsel kaugusel asuva tasapinna kõigi punktide hulk?

a ǁ b

Vastus: Antud sirgetega paralleelne ja neist võrdsel kaugusel olev sirge.

Kui suur hulk on tasapinna kõik punktid, mis asuvad antud sirgest teatud kaugusel?

Vastus: Kaks sirget, mis on paralleelsed antud sirgega ja asuvad etteantud kaugusel selle vastaskülgedel.

Oi-oi-oi-oi ... no on tina, nagu loed lause enda ette =) Küll aga aitab siis lõõgastus, seda enam, et ostsin täna sobivad aksessuaarid. Seetõttu jätkame esimese jaotisega, loodan, et artikli lõpuks säilitan rõõmsa meeleolu.

Kahe sirgjoone vastastikune paigutus

Juhtum, kui saal laulab kooris kaasa. Kaks rida saab:

1) vaste;

2) olema paralleelne: ;

3) või lõikuvad ühes punktis: .

Abi mannekeenidele : Palun pea meeles matemaatiline märk ristmikul, juhtub seda väga sageli. Kirje tähendab, et joon lõikub punktis oleva sirgega.

Kuidas määrata kahe joone suhtelist asukohta?

Alustame esimese juhtumiga:

Kaks sirget langevad kokku siis ja ainult siis, kui nende vastavad koefitsiendid on proportsionaalsed, see tähendab, et on olemas selline arv "lambda", et võrdsused

Vaatleme sirgeid ja koostame vastavatest kordajatest kolm võrrandit: . Igast võrrandist järeldub, et seega need jooned langevad kokku.

Tõepoolest, kui kõik võrrandi koefitsiendid korrutage -1-ga (muutke märke) ja kõik võrrandi koefitsiendid vähendades 2 võrra, saate sama võrrandi: .

Teine juhtum, kui jooned on paralleelsed:

Kaks sirget on paralleelsed siis ja ainult siis, kui nende koefitsiendid muutujatel on võrdelised: , aga.

Näiteks võtke kaks sirgjoont. Kontrollime muutujate vastavate koefitsientide proportsionaalsust:

Siiski on selge, et.

Ja kolmas juhtum, kui jooned ristuvad:

Kaks sirget lõikuvad siis ja ainult siis, kui nende muutujate koefitsiendid EI OLE proportsionaalsed, see tähendab, et "lambda" väärtust EI OLE, et võrdsused oleksid täidetud

Niisiis, sirgjoonte jaoks koostame süsteemi:

Esimesest võrrandist järeldub, et , ja teisest võrrandist: , seega, süsteem on ebaühtlane(lahendused puuduvad). Seega ei ole muutujate koefitsiendid proportsionaalsed.

Järeldus: jooned lõikuvad

AT praktilisi ülesandeidäsja käsitletud lahendusskeemi saab kasutada. Muide, see on väga sarnane vektorite kollineaarsuse kontrollimise algoritmiga, mida me õppetunnis käsitlesime. Vektorite lineaarse (mitte)sõltuvuse mõiste. Vektori alus. Kuid on ka tsiviliseeritud pakett:

Näide 1

Uurige joonte suhtelist asukohta:

Lahendus põhineb sirgjoonte suunavektorite uurimisel:

a) Võrranditest leiame sirgete suunavektorid: .

, nii et vektorid ei ole kollineaarsed ja sirged lõikuvad.

Igaks juhuks panen ristmikule osutitega kivi:

Ülejäänud hüppavad üle kivi ja järgnevad otse surmatu Kashchei juurde =)

b) Leidke sirgete suunavektorid:

Sirgedel on sama suunavektor, mis tähendab, et need on kas paralleelsed või samad. Siin pole determinant vajalik.

Ilmselt on tundmatute koefitsiendid proportsionaalsed, samas kui .

Uurime, kas võrdsus on tõsi:

Sellel viisil,

c) Leidke sirgete suunavektorid:

Arvutame determinandi, mis koosneb nende vektorite koordinaatidest:
, seega on suunavektorid kollineaarsed. Jooned on kas paralleelsed või langevad kokku.

Proportsionaalsustegurit "lambda" on lihtne näha otse kollineaarsete suunavektorite suhtest. Kuid selle võib leida ka võrrandite endi koefitsientide kaudu: .

Nüüd uurime, kas võrdsus on tõsi. Mõlemad tasuta tingimused on null, seega:

Saadud väärtus rahuldab seda võrrandit (tavaliselt rahuldab seda iga arv).

Seega jooned langevad kokku.

Vastus:

Peagi õpite (või isegi olete juba õppinud) lahendama kaalutud probleemi sõna otseses mõttes mõne sekundiga. Sellega seoses ei näe ma põhjust midagi pakkuda sõltumatu otsus, on parem panna geomeetrilisse vundamenti veel üks oluline tellis:

Kuidas tõmmata antud joonega paralleelset joont?

Selle teadmatuse pärast kõige lihtsam ülesanne karistab Röövli Ööbiku karmilt.

Näide 2

Sirge on antud võrrandiga . Kirjutage võrrand punkti läbiva paralleelse sirge jaoks.

Lahendus: tähistage tundmatut rida tähega . Mida seisund selle kohta ütleb? Joon läbib punkti. Ja kui sirged on paralleelsed, siis on ilmselge, et sirge "ce" suunav vektor sobib ka sirge "te" konstrueerimiseks.

Me võtame võrrandist välja suunavektori:

Vastus:

Näite geomeetria näeb välja lihtne:

Analüütiline kontrollimine koosneb järgmistest etappidest:

1) Kontrollime, et joontel oleks sama suunavektor (kui sirge võrrandit pole korralikult lihtsustatud, siis on vektorid kollineaarsed).

2) Kontrollige, kas punkt rahuldab saadud võrrandit.

Analüütilist kontrollimist on enamikul juhtudel lihtne suuliselt läbi viia. Vaadake kahte võrrandit ja paljud teist saavad kiiresti aru, kuidas jooned on paralleelsed ilma jooniseta.

Tänased näited ise lahendamiseks on loomingulised. Sest Baba Yagaga tuleb ikka võistelda ja ta, teate, on igasuguste mõistatuste armastaja.

Näide 3

Kirjutage võrrand sirgele, mis läbib sirgega paralleelset punkti

Lahenduseks on ratsionaalne ja mitte väga ratsionaalne viis. Lühim tee on tunni lõpus.

Tegime paralleeljoontega veidi tööd ja tuleme nende juurde hiljem tagasi. Ühttuvate joonte juhtum pakub vähe huvi, seega kaaluge probleemi, mis on teile hästi teada kooli õppekava:

Kuidas leida kahe sirge lõikepunkt?

Kui sirge lõikuvad punktis , siis on selle koordinaadid lahenduseks lineaarvõrrandisüsteemid

Kuidas leida sirgete lõikepunkti? Lahendage süsteem.

Siin on teile kahe süsteemi geomeetriline tähendus lineaarvõrrandid kahe tundmatuga on kaks tasapinnal lõikuvat (kõige sagedamini) sirget.

Näide 4

Leidke sirgete lõikepunkt

Lahendus: Lahendamiseks on kaks võimalust – graafiline ja analüütiline.

Graafiline viis on lihtsalt joonistada etteantud jooned ja otse jooniselt leida ristumispunkt:

Siin on meie mõte: . Kontrollimiseks tuleks igasse sirge võrrandisse asendada selle koordinaadid, need peaksid mahtuma nii sinna kui ka sinna. Teisisõnu, punkti koordinaadid on süsteemi lahendus. Tegelikult kaalusime graafilist lahendusviisi lineaarvõrrandisüsteemid kahe võrrandiga, kahe tundmatuga.

Graafiline meetod pole muidugi halb, kuid sellel on märgatavaid puudusi. Ei, asi pole selles, et seitsmenda klassi õpilased nii otsustavad, vaid selles, et õige ja TÄPSE joonise tegemine võtab aega. Lisaks pole mõnda joont nii lihtne konstrueerida ja lõikepunkt ise võib olla kuskil kolmekümnendas kuningriigis väljaspool märkmikulehte.

Seetõttu on lõikepunkti otstarbekam otsida analüütilise meetodiga. Lahendame süsteemi:

Süsteemi lahendamiseks kasutati võrrandite terminipõhise liitmise meetodit. Vastavate oskuste arendamiseks külastage õppetundi Kuidas võrrandisüsteemi lahendada?

Vastus:

Kontrollimine on triviaalne – ristumispunkti koordinaadid peavad rahuldama süsteemi iga võrrandit.

Näide 5

Leidke sirgete lõikepunkt, kui need ristuvad.

See on tee-seda-ise näide. Ülesande saab mugavalt jagada mitmeks etapiks. Seisundi analüüs näitab, et see on vajalik:
1) Kirjutage sirge võrrand.
2) Kirjutage sirge võrrand.
3) Uuri välja joonte suhteline asukoht.
4) Kui sirged lõikuvad, siis leidke lõikepunkt.

Tegevusalgoritmi väljatöötamine on tüüpiline paljude geomeetriliste ülesannete puhul ja sellele keskendun ma korduvalt.

Täielik lahendus ja vastus õppetunni lõpus:

Kingapaar pole veel kulunud, kuna jõudsime tunni teise osani:

Perpendikulaarsed jooned. Kaugus punktist jooneni.
Nurk ridade vahel

Alustame tüüpilise ja väga olulise ülesandega. Esimeses osas õppisime etteantud sirgega paralleelset sirget ehitama ja nüüd pöörab onn kanakoibadel 90 kraadi:

Kuidas tõmmata joont, mis on antud joonega risti?

Näide 6

Sirge on antud võrrandiga . Kirjutage võrrand punkti läbiva ristsirge jaoks.

Lahendus: Eeldusel on teada, et . Tore oleks leida sirge suunavektor. Kuna jooned on risti, on trikk lihtne:

Võrrandist “eemaldame” normaalvektori: , millest saab sirge suunav vektor.

Koostame sirgjoone võrrandi punktist ja suunavektorist:

Vastus:

Avame geomeetrilise visandi:

Hmm... Oranž taevas, oranž meri, oranž kaamel.

Lahenduse analüütiline kontrollimine:

1) Eraldage võrranditest suunavektorid ja abiga vektorite punktkorrutis järeldame, et sirged on tõepoolest risti: .

Muide, võite kasutada tavalisi vektoreid, see on veelgi lihtsam.

2) Kontrollige, kas punkt rahuldab saadud võrrandit .

Kontrollimist on jällegi lihtne suuliselt läbi viia.

Näide 7

Leidke ristsirgete lõikepunkt, kui võrrand on teada ja punkt.

See on tee-seda-ise näide. Ülesandes on mitu tegevust, mistõttu on mugav lahendust punkt-punkti kaupa järjestada.

Meie lõbus reis jätkub:

Kaugus punktist jooneni

Meie ees on sirge jõeriba ja meie ülesanne on jõuda selleni lühimat teed pidi. Takistused puuduvad ja kõige optimaalsem marsruut on liikumine mööda risti. See tähendab, et kaugus punktist sirgeni on risti oleva segmendi pikkus.

Traditsiooniliselt tähistatakse geomeetrias kaugust Kreeka kiri"ro", näiteks: - kaugus punktist "em" sirgjooneni "de".

Kaugus punktist jooneni väljendatakse valemiga

Näide 8

Leia kaugus punktist sirgeni

Lahendus: kõik, mida vajate, on numbrid hoolikalt valemis asendada ja arvutused teha:

Vastus:

Teostame joonise:

Leitud kaugus punktist jooneni on täpselt punase lõigu pikkus. Kui teed ruudulisele paberile joonise mõõtkavas 1 ühikut. \u003d 1 cm (2 lahtrit), siis saab kaugust mõõta tavalise joonlauaga.

Mõelge teisele ülesandele sama joonise järgi:

Ülesandeks on leida punkti koordinaadid, mis on sirge suhtes sümmeetriline punktiga . Teen ettepaneku sooritada toimingud ise, kuid kirjeldan lahendusalgoritmi vahetulemustega:

1) Leidke sirge, mis on joonega risti.

2) Leidke sirgete lõikepunkt: .

Mõlemat toimingut käsitletakse üksikasjalikult selles õppetükis.

3) Punkt on lõigu keskpunkt. Keskmise ja ühe otsa koordinaadid on meile teada. Kõrval lõigu keskkoha koordinaatide valemid leida .

Ei ole üleliigne kontrollida, kas kaugus on samuti võrdne 2,2 ühikuga.

Arvutamisel võib siin raskusi tekkida, kuid tornis aitab palju abiks mikrokalkulaator, mis võimaldab lugeda harilikud murded. Olen korduvalt nõu andnud ja soovitan veel.

Kuidas leida kaugust kahe paralleelse sirge vahel?

Näide 9

Leidke kahe paralleelse sirge vaheline kaugus

See on veel üks näide sõltumatust lahendusest. Väike vihje: lahendusviise on lõpmatult palju. Tunni lõpus ülevaade, kuid parem proovige ise arvata, arvan, et teil õnnestus oma leidlikkust hästi hajutada.

Nurk kahe joone vahel

Ükskõik milline nurk, siis lengi:


Geomeetrias võetakse kahe sirge vaheline nurk VÄHEM nurka, mis tähendab automaatselt, et see ei saa olla loll. Joonisel ei loeta punase kaarega näidatud nurka ristuvate joonte vaheliseks nurgaks. Ja selle "roheline" naaber või vastupidiselt orienteeritud karmiinpunane nurk.

Kui jooned on risti, võib nendevaheliseks nurgaks võtta ükskõik millise neljast nurgast.

Kuidas nurgad erinevad? Orienteerumine. Esiteks on põhimõtteliselt oluline nurga "kerimise" suund. Teiseks kirjutatakse negatiivselt orienteeritud nurk miinusmärgiga, näiteks kui .

Miks ma seda ütlesin? Tundub, et tavapärase nurga mõistega saab hakkama. Fakt on see, et valemites, mille abil leiame nurgad, on lihtne saada negatiivne tulemus ja see ei tohiks teid üllatada. Miinusmärgiga nurk pole halvem ja sellel on väga spetsiifiline geomeetriline tähendus. Negatiivse nurga joonisel tuleb kindlasti noolega näidata selle suund (päripäeva).

Kuidas leida nurk kahe joone vahel? On kaks töövalemit:

Näide 10

Leidke ridade vaheline nurk

Lahendus ja Meetod üks

Mõelge kahele reale võrranditega antud sisse üldine vaade:

Kui sirge mitte risti, siis orienteeritud nendevahelise nurga saab arvutada järgmise valemi abil:

Pöörame hoolega tähelepanu nimetajale – see on täpselt nii skalaarkorrutis sirgjoonte suunavektorid:

Kui , siis valemi nimetaja kaob ja vektorid on ortogonaalsed ja jooned risti. Seetõttu tehti reservatsioon sõnastuses olevate joonte mitteperpendikulaarsuse osas.

Eelneva põhjal vormistatakse lahendus mugavalt kahes etapis:

1) Arvutage skalaarkorrutis sirgjoonte suunavektorid:
nii et jooned ei ole risti.

2) Leiame joonte vahelise nurga valemiga:

Kasutades pöördfunktsioon nurga enda leidmine on lihtne. Sel juhul kasutame kaartangensi veidrust (vt joonis 1). Elementaarfunktsioonide graafikud ja omadused):

Vastus:

Vastuses märkige täpne väärtus, samuti kalkulaatori abil arvutatud ligikaudne väärtus (soovitavalt nii kraadides kui radiaanides).

Noh, miinus, nii miinus, see on okei. Siin on geomeetriline illustratsioon:

Pole üllatav, et nurk osutus negatiivse orientatsiooniga, sest ülesande seisukorras on esimene number sirge ja nurga “väänamine” algas just sellest.

Kui soovite tõesti positiivset nurka saada, peate sirgjooned vahetama, st võtma koefitsiendid teisest võrrandist ja võta koefitsiendid esimesest võrrandist . Lühidalt, peate alustama otsesest .

Tunni ülevaade

Kolmnurga nurkade summa teoreem

1. Täisnimi: Sayfetdinova Gulnara Vasilevna

2. Töökoht: Munitsipaaleelarveline õppeasutus "Knyazevskaya keskkool" Tatarstani Vabariigi Tukajevski rajoon

3. Töö nimetus: matemaatika õpetaja

4. Teema: geomeetria

5. Klass: 7. klass

6. Tunni teema: Kaugus punktist jooneni. Paralleelsete joonte vaheline kaugus.

7. Põhiõpetus: Geomeetria.7-9 klassid: õpik jaoks õppeasutused/ toim. L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov,

S.B. Kadomtsev jt, 2010

8. Eesmärgid:

Tegevuse eesmärk: luua tingimused punktist joonele langetatud kald- ja risti omaduste iseseisvaks formuleerimiseks ja tõestamiseks, teoreem punktide võrdkauguse kohta paralleelsel sirgel; korraldada õpilaste tegevust uute teadmiste ja tegevusmeetodite tajumisel, mõistmisel ja esmasel kinnistamisel.

hariduslik eesmärk:

Teema:

rakendada ülesannete lahendamisel mõisteid punktist sirgeni kaugus, sirgete vaheline kaugus

Metasubjekt:

Regulatiivne UUD:

Kognitiivne UUD:

Kommunikatiivne UUD:

Isiklik UUD:

10. Õppemeetodid: probleem, uurimus.
11. Õppetegevuse korraldamise vormid: eesmised, rühma-, paaris-, individuaalsed, õppestruktuurid.

12. Seadmed, tehnilised andmed:

arvuti, projektor, ekraan, internet, tarkvara: Microsoft Power Point, istekohad klassiruumis – laua taga 4 inimest.

13. Tunni kestus: 45 min

14. Tunniplaan

I . Aja organiseerimine.

II . Teadmiste värskendus.

III . Tunni eesmärgi seadmine . Uue materjali tutvustus.

VI. Kokkuvõtteid tehes. Peegeldus.

I . Aja organiseerimine.

Sihtmärk: õpilaste ettevalmistamine tööks, tähelepanu aktiveerimine kiireks tegevustesse kaasamiseks.

Õpetaja : Tere kutid? Kuidas sa end tunned? Ja võtame selle kätte ja alustame tundi naeratades! Naeratagem oma partnerile! Naeratagem oma õlgpartnerile!

II . Teadmiste värskendus.

Õpetaja : Olete kuus kuud õppinud uus ese geomeetria ja ilmselt teavad, mis on teoreem. Milliseid tõestusmeetodeid te teate?

Õpilaste võimalikud vastused: Vastuolumeetod, konstruktiivne meetod, aksioomidel ja varem tõestatud teoreemidel põhinev tõestusmeetod (slaid nr 2).

Õpetaja: Poisid, millised on teie seosed sõnaga - kaugus?

Õpilaste võimalikud vastused: Kaugus linnade vahel, kaugus pooluste vahel, kaugus millestki millegini (slaid number 3).

Õpetaja: Kuidas nimetatakse kahe punkti vahelist kaugust?

Õpilaste võimalikud vastused: Lõika pikkus (slaid number 4).

Õpetaja: Tehke sissekanne tehnoloogiline kaart lõikes 1

Õpetaja: Pange tähele, et geomeetrias tähistab kaugus lühimat vahemaad. Tehke tehnoloogilisele kaardile kanne sammus 2

Õpetaja: Mida saab öelda sirge AH ​​ja sirge a suhtelise asukoha kohta?

Õpetaja: Kuidas neid ridu nimetatakse?

Õpetaja: AGA Mis on segmendi AN nimi?

Õpetaja: Pidage meeles: risti on joonelõik. Tehke tehnoloogilisele kaardile kanne sammus 3.

III. Tunni eesmärgi seadmine.Uue materjali tutvustus.

Õpetaja: Praktiline ülesanne:

Oleme põllu peal, tee läheb läbi põllu. pilt matemaatiline mudel olukordi. Peame teele asuma. Joonistage trajektoor (slaid number 6).

Õpetaja: Ja kuidas saab seda trajektoori matemaatilises keeles määratleda? Õpilaste võimalikud vastused: Perpendikulaarne

Õpetaja: Miks mitte? -

Proovige sellele nimi anda (slaid number 7).

Õpilaste võimalikud vastused: Kallutatud.

Õpetaja: Mitu nõlva saab sellest punktist tõmmata?

Õpilaste võimalikud vastused: Palju.

(slaid number 7).

Õpetaja: Nii et sa arvad seda lühim tee kas see on risti? Tõesta seda.

Õpetaja: Nüüd tõestage, et iga kaldus on suurem kui risti.

Mida me pildil näeme?

Õpilaste võimalikud vastused: täisnurkne kolmnurk (slaidi number 8).

Õpetaja: Mis on selle kolmnurga risti ja kaldu nimi? Õpilaste võimalikud vastused: jalg ja hüpotenuus.

Õpetaja: Miks on hüpotenuus pikem kui jalg?

Õpilaste võimalikud vastused: Suurema nurga vastas asub suurem külg. Suurim nurk sisse täisnurkne kolmnurk- sirge. Selle vastas asub hüpotenuus.

Õpetaja. Mis on segmendi AC teine ​​nimi? Ja kui pöördume tagasi ülesande sisu juurde?

Õpilaste võimalikud vastused: Kaugus punktist jooneni .

Õpetaja: Sõnastage definitsioon: "Punkti ja sirge kaugus on ... (sellest punktist joonele langenud risti pikkus)" (slaid nr 9). Tehke tehnoloogilisele kaardile kanne sammus 4.

Õpetaja: Praktiline ülesanne.

Leidke kaugus punktist B joonteni A D jaDC joonistuskolmnurga ja joonlaua abil (slaid nr 10).tehnoloogiline kaart lk 6

Õpetaja: Praktiline ülesanne. Koostage kaks paralleelset sirget a ja b . Märgistage sirgel a punkt A. Langetage risti punktist A joonele b. Asetage punkt B risti alusesse.

Mida saate öelda segmendi AB kohta? (slaid number 11).

See on risti nii sirge a kui ka joonega b.

Õpetaja: Seetõttu nimetatakse seda ühisristiks (slaid nr 13). Tehke tehnoloogilisele kaardile kanne lõikes 5

Õpetaja: Tehke tehnoloogilisele kaardile kanne lõikes 6

Õpetaja:Ülesanne. Põrandale on vaja linoleum panna pikas koridoris. On teada, et kaks vastandlikku seina on paralleelsed. Koridori ühte otsa tõmmati ühisristi, mille pikkuseks osutus 4 m. Kas koridori teistes kohtades tasub ühisristide pikkusi üle kontrollida? (slaidi number 14).

Õpilaste võimalikud vastused: Pole vaja, nende pikkus on samuti 4.

Õpetaja: Tõesta seda. Kuid kõigepealt joonistage selle olukorra matemaatiline mudel. Esiletõstmise tõestamiseks mis on teada, mida on vaja tõestada.

Kuidas tavaliselt tõestatakse geomeetrias lõikude ja nurkade võrdsust?

Õpilaste võimalikud vastused: Neid segmente ja nurki sisaldavate kolmnurkade võrdsuse kaudu. Mõelge välja konstruktsioon, mis võimaldaks meil tõestada nende kolmnurkade võrdsust.

Struktuur VallalineÜmarRobin:

2. Neli õpilast meeskonnas vastavad ühe korra.

Õpetaja: Tõesta võrdsust lõigud AB ja CD läbi kolmnurkade võrdsuse . Signaalitahvlile kirjuta kolmnurkade võrdusmärgi kolm tingimust.

1. Õpetaja esitab küsimuse ja annab mõtlemisaega

Õpilased teostavad lisakonstruktsioone, tõestavad kolmnurkade võrdsust, teevad järelduse lõikude AB ja CD võrdsuse kohta (slaid nr 15-17).

Õpetaja: Segmendid AB ja CD on võrdsed. Mida saab öelda punktide A ja C kohta sirge BD suhtes?

Õpilaste võimalikud vastused: Need on võrdsel kaugusel. Need on võrdsel kaugusel (slaidi number 18).

Õpetaja: Kas see omadus kehtib mõne punkti eest?

Õpilaste võimalikud vastused: Jah

Õpetaja: Proovime seda omadust sõnastada. Mis on vara väide?

Õpilaste võimalikud vastused: Seisundist ja järeldusest (slaid nr 19,20).

Õpilaste võimalikud vastused: Kui punktid asuvad ühel paralleelsel sirgel, siis on need teisest sirgest võrdsel kaugusel.

Õpetaja: Muutke seda omadust ilma sidesõnadeta: if, then (slaid number 21).

Õpilaste võimalikud vastused: Ühel paralleelsel sirgel asuvad punktid on teisest sirgest võrdsel kaugusel.

Mõtle-kirjuta-Round Robin struktuur:

1. Õpetaja esitab küsimuse ja annab mõtlemisaega

2. Õpilased mõtlevad ja kirjutavad vastuse oma paberile

3. Õpilased loevad kordamööda oma vastust paberilehelt.

Õpetaja: Mis on vastupidine väide?

Õpilaste võimalikud vastused: Kui tingimus ja järeldus on vahetatud.

Õpetaja: Sõnastage pöördlause (slaidi number 22).

Õpilaste võimalikud vastused: Kui punktid, mis asuvad ühel kahest sirgest, on teisest sirgest võrdsel kaugusel, on sirged paralleelsed.

Õpetaja: Teha tehnoloogilisele kaardile kanne punktis 7.8.

Õpetaja: Kas on võimalik defineerida sellist mõistet kui paralleelsete joonte vaheline kaugus?

Õpilaste võimalikud vastused: Jah

Õpetaja: Kui suur on paralleelsete joonte vaheline kaugus

Õpilaste võimalikud vastused: Ühise perpendikulaari pikkus. Tehke tehnoloogilisele kaardile kanne lõikes 5.

IV. Teoreemi rakendamine, n täitminepraktiline töö.

Õpetaja: Praktiline töö. Leidke riba laius.

Mis on matemaatiline mõiste – riba laius?

Õpetaja: Kuhu sisse praktiline elu Kas need teoreemid kehtivad ikka veel?

VI. Kokkuvõtteid tehes. Peegeldus.

Õpetaja: Milliseid uusi kontseptsioone saite?

Mida sa tunnis õppisid?

Kus elus me seda kasutame?

(slaid №№26-28)

Õpetaja: Tehke tehnoloogilisele kaardile kanne punktis 9

Kodutöö Nr 276 279 - vastupidise teoreemi tõestus.

Tunni sisekaemus

Eesmärgid:

Tegevuse eesmärk: luua tingimused punktist sirgele langetatud kald- ja risti omaduste iseseisvaks formuleerimiseks ja tõestamiseks, luua tingimused paralleelsete sirgete punktide võrdkauguse teoreemi tõestamiseks; korraldada õpilaste tegevust uute teadmiste ja tegevusmeetodite tajumisel, mõistmisel ja esmasel kinnistamisel.

Hariduslik eesmärk: arendada teadmist, et rist on väiksem kui ühest punktist sirgele tõmmatud kaldjoon, mõlema paralleelse sirge kõik punktid on teisest sirgest võrdsel kaugusel.

Teema:Õpilasel on võimalus õppida:

teoreemi rakendamine praktiliste ülesannete lahendamisel

analüüsida, võrrelda, üldistada, teha järeldusi praktiliste probleemide lahendamiseks.

Metasubjekt:

Regulatiivne UUD:

oskus iseseisvalt seada eesmärke, valida ja luua algoritme haridusmatemaatikaülesannete lahendamiseks;

oskus planeerida ja läbi viia uurimisprobleemide lahendamisele suunatud tegevusi.

Kognitiivne UUD:

• • oskus luua põhjus-tagajärg seoseid, ehitada üles loogiline arutluskäik, järeldused, järeldused;

  • oskus püstitada lahendamisel hüpoteese õppe eesmärgid ja mõistavad nende kontrollimise vajadust; oskus rakendada induktiivseid ja deduktiivseid arutlusmeetodeid, näha erinevaid probleemide lahendamise strateegiaid;

  • kujundada esialgseid ideid matemaatika kui universaalse teaduskeele, nähtuste ja protsesside modelleerimisvahendi ideedest ja meetoditest;

  • oskus mõista ja kasutada jooniseid ja jooniseid illustreerimiseks, tõlgendamiseks, argumenteerimiseks.

Kommunikatiivne UUD:

• oskus korraldada haridusalast koostööd ja ühistegevust õpetaja ja õpilastega, määrata eesmärke, jagada osalejate ülesandeid ja rolle, üldisi tööviise;

• oskus töötada rühmas: leida ühine otsus ja konflikte lahendada seisukohtade kooskõlastamise ja huvide arvestamise, partneri kuulamise, oma arvamuse sõnastamise, vaidlemise ja kaitsmise alusel.

Isiklik UUD:

• moodustamine suhtlemisoskus suhtlemisel ja koostööl ühistreeningul ja uurimistegevus;

  oskuse arendamine selgelt, täpselt, pädevalt väljendada oma mõtteid suuliselt ja kirjutamine mõista ülesande tähendust, koostada argumente, tuua näiteid ja vastunäiteid;

  kriitilise mõtlemise arendamine, oskus ära tunda loogiliselt ebaõigeid väiteid, eristada hüpoteesi faktist;

  arendada loovat mõtlemist, algatusvõimet, leidlikkust, aktiivsust geomeetriliste ülesannete lahendamisel.

Tunnifragmendi ülesehitus vastas tüübile – uute teadmiste avastamise tund. Vastavalt materjali eesmärkidele ja sisule koostati tund järgmiste etappide järgi:

I . Aja organiseerimine.

II . Teadmiste värskendus.

III . Tunni eesmärgi seadmine . Uue materjali tutvustus.

IV. Teoreemi rakendamine, täitmine praktiline töö.

VI. Kokkuvõtteid tehes.

Kõik konstruktsioonielemendid tunde peeti. Organisatsioon haridusprotsess ehitatud tegevusmeetodil.

Esimese etapi eesmärkkiire oli õpilaste ärirütmi keeramine.

Teises etapis täiendati uue materjali kallal töötamiseks vajalikke teadmisi.

Kolmandas etapisPunkti ja sirge kauguse mõistete defineerimiseks meelitas kaldsuse mõiste lapsi otsivate elementidega praktiliste tegevuste juurde. Esiteks püstitasid õpilased intuitiivsel tasandil hüpoteesi, seejärel tõestasid iseseisvalt ühest punktist sirgele tõmmatud risti ja kalde omadust.

Üldiselt praktilisi ülesandeid Ma kasutasin seda kogu õppetunni jooksul, sealhulgas esmase kinnitamise ajal. Need aitavad meelitada õpilasi iseseisvale tunnetuslikule tegevusele ja lahendada pädevuspõhise õpikäsituse probleeme.

Paralleelsete joonte punktide võrdkauguse teoreemi formuleerimiseks ja tõestamiseks kasutasin probleemset ülesannet, mis aitas püstitada hüpoteesi vaadeldavate objektide omaduste kohta ja sellele järgnenud tõestuste otsimine pakutud joonte kehtivuse kohta. oletus.

Korraldades tööd teoreemi ja seejärel pöördteoreemi sõnastamiseks, saavutasin eesmärgiesialgsete ideede arendamine matemaatika kui universaalse teaduskeele, nähtuste ja protsesside modelleerimisvahendi ideede ja meetodite kohta.

Õppe- ja tunnetustegevust korraldati frontaaltöö, individuaalse, rühmatöö kaudu. Selline korraldus võimaldas igal õpilasel eesmärgi saavutamises aktiivselt kaasa lüüa. Õpilased tegid üksteisega koostööd, et üksteist aidata.

Usun, et aeg jaotati ratsionaalselt. Lühiajaliselt oli võimalik juurutada mõisteid punktist sirge, kaldjoone kaugus, paralleeljoonte vaheline kaugus, sõnastada kaks teoreemi ja tõestada, kaaluda teoreemi rakendamist praktikas.

Selguse huvides kasutati tunnis ettekannet. Kasutas demonstreerimiseks spetsiaalset programmi, et võrrelda kald- ja risti pikkust, milles geomeetrilised kujundid ellu ärkama. Tunnis kasutasin õpilaste tööd signaaltahvlil, mis lahendab õpilaste võrdse osavõtu tunnis, materjali omastamise kontrolli ning loomulikult aktiveerib õpilast tunnis.

Õpilased olid tunnis aktiivsed, mul õnnestus neid kaasata uurimistegevusse, loominguline tegevus, teoreemi konstruktiivse tõestamise meetodiga, teoreemi sõnastamine

Tunni lõpus sõnastasid õpilased ise teema.

Peegeldus