Logaritmiline võrrand: põhivalemid ja tehnikad. Logaritmvõrrandite lahendamine. Täielik juhend (2019)

Juhised

Kirjutage etteantud logaritmiline avaldis. Kui avaldis kasutab logaritmi 10, siis selle tähistus lühendatakse ja näeb välja järgmine: lg b on kümnendlogaritm. Kui logaritmi aluseks on arv e, siis kirjuta avaldis: ln b – naturaallogaritm. On arusaadav, et mis tahes tulemuseks on aste, milleni tuleb baasarvu tõsta, et saada arv b.

Kahe funktsiooni summa leidmisel tuleb need lihtsalt ükshaaval eristada ja tulemused liita: (u+v)" = u"+v";

Kahe funktsiooni korrutise tuletise leidmisel on vaja korrutada esimese funktsiooni tuletis teisega ja liita teise funktsiooni tuletis, mis on korrutatud esimese funktsiooniga: (u*v)" = u"*v +v"*u;

Kahe funktsiooni jagatise tuletise leidmiseks on vaja lahutada dividendi tuletise korrutisest jagaja funktsiooniga korrutis jagaja tuletise korrutis dividendi funktsiooniga ja jagada seda kõike jagaja funktsiooni ruudus. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Kui antakse keeruline funktsioon, siis on vaja tuletist korrutada sisemine funktsioon ja välise tuletis. Olgu y=u(v(x)), siis y"(x)=y"(u)*v"(x).

Eespool saadud tulemusi kasutades saate eristada peaaegu kõiki funktsioone. Vaatame siis mõnda näidet:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Samuti on probleeme tuletise arvutamisega punktis. Olgu funktsioon y=e^(x^2+6x+5) antud, tuleb leida funktsiooni väärtus punktist x=1.
1) Leia funktsiooni tuletis: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Arvutage funktsiooni väärtus antud punktis y"(1)=8*e^0=8

Video teemal

Abistavad nõuanded

Õppige elementaartuletiste tabelit. See säästab oluliselt aega.

Allikad:

• konstandi tuletis

Mis vahet siis on? irratsionaalne võrrand ratsionaalsest? Kui tundmatu muutuja on märgi all ruutjuur, siis peetakse võrrandit irratsionaalseks.

Juhised

Peamine meetod selliste võrrandite lahendamiseks on mõlema poole konstrueerimise meetod võrrandid ruudu sisse. Kuid. see on loomulik, esimese asjana tuleb märgist lahti saada. See meetod ei ole tehniliselt keeruline, kuid mõnikord võib see põhjustada probleeme. Näiteks võrrand on v(2x-5)=v(4x-7). Mõlema külje ruudustamisel saad 2x-5=4x-7. Sellise võrrandi lahendamine pole keeruline; x=1. Aga numbrit 1 ei anta võrrandid. Miks? Asendage võrrandis x väärtuse asemel üks. Paremal ja vasakul pool on avaldised, millel pole mõtet, see tähendab. See väärtus ruutjuure jaoks ei kehti. Seetõttu on 1 kõrvaline juur ja seetõttu pole sellel võrrandil juuri.

Seega lahendatakse irratsionaalne võrrand selle mõlema külje ruudustamiseks. Ja pärast võrrandi lahendamist on vaja kõrvalised juured ära lõigata. Selleks asendage leitud juured algse võrrandiga.

Kaaluge veel üht.
2х+vх-3=0
Loomulikult saab seda võrrandit lahendada sama võrrandi abil, mis eelmine. Liiguta ühendeid võrrandid, millel pole ruutjuurt, paremale küljele ja seejärel kasutage ruutude meetodit. lahendage saadud ratsionaalne võrrand ja juured. Aga ka teist, elegantsemat. Sisestage uus muutuja; vх=y. Sellest lähtuvalt saate võrrandi kujul 2y2+y-3=0. Ehk siis tavaline ruutvõrrand. Leidke selle juured; y1=1 ja y2=-3/2. Järgmisena lahendage kaks võrrandid vх=1; vх=-3/2. Teisel võrrandil pole juuri; esimesest leiame, et x=1. Ärge unustage juuri kontrollida.

Identiteetide lahendamine on üsna lihtne. Selleks on vaja läbi viia identsed teisendused kuni seatud eesmärgi saavutamiseni. Seega kõige lihtsamate abiga aritmeetilised tehted käsil olev ülesanne saab lahendatud.

Sa vajad

• - paber;
• - pliiats.

Juhised

Lihtsaimad sellistest teisendustest on algebralised lühendatud korrutised (näiteks summa ruut (vahe), ruutude erinevus, summa (vahe), summa kuup (vahe)). Lisaks on palju ja trigonomeetrilised valemid, mis on sisuliselt samad identiteedid.

Tõepoolest, kahe liikme summa ruut on võrdne esimese ruuduga pluss kahekordne esimese korrutis teisega ja pluss teise ruut, see tähendab (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Lihtsustage mõlemat

Lahenduse üldpõhimõtted

Korda õpiku järgi matemaatiline analüüs või kõrgem matemaatika, mis on kindel integraal. Teatavasti on kindla integraali lahendus funktsioon, mille tuletis annab integrandi. Seda funktsiooni nimetatakse antiderivatiivseks. Selle põhimõtte alusel konstrueeritakse peamised integraalid.
Määrake integrandi kuju järgi, milline tabeliintegraalidest sobib sel juhul. Seda ei ole alati võimalik kohe kindlaks teha. Sageli muutub tabelivorm märgatavaks alles pärast mitut teisendust integrandi lihtsustamiseks.

Muutuja asendamise meetod

Kui integrandi funktsioon on trigonomeetriline funktsioon, mille argument sisaldab mõnda polünoomi, siis proovige kasutada muutuja asendusmeetodit. Selleks asenda integrandi argumendis olev polünoom mõne uue muutujaga. Uute ja vanade muutujate vahelise seose põhjal määrake lõimimise uued piirid. Seda avaldist eristades leidke uus diferentsiaal . Nii et sa saad uut tüüpi eelmisest integraalist, mis on lähedane mis tahes tabeli integraalile või isegi sellele vastav.

Teist tüüpi integraalide lahendamine

Kui integraal on teist tüüpi integraal, integrandi vektorvorm, siis peate kasutama nendelt integraalidelt skalaarsetele üleminekureegleid. Üks selline reegel on Ostrogradski-Gaussi suhe. See seadus võimaldab liikuda teatud vektorfunktsiooni rootori voo juurest kolmikintegraalile antud vektorivälja lahknemise kohal.

Integratsioonipiirangute asendamine

Pärast antiderivaadi leidmist on vaja integratsiooni piirid asendada. Esmalt asendage ülempiiri väärtus antiderivaadi avaldisega. Sa saad mingi numbri. Järgmisena lahutage saadud arvust antiderivaati teine ​​alampiirist saadud arv. Kui integreerimise üheks piiriks on lõpmatus, siis selle asendamisel antiderivatiivfunktsiooni tuleb minna piirini ja leida, mille poole avaldis kipub.
Kui integraal on kahe- või kolmemõõtmeline, siis tuleb integraali hindamise mõistmiseks esitada integreerimise piire geomeetriliselt. Tõepoolest, näiteks kolmemõõtmelise integraali puhul võivad integreerimise piirid olla terved tasapinnad, mis piiravad integreeritavat mahtu.

Nagu teate, korrutades avaldisi astmetega, nende eksponendid liidetakse alati (a b *a c = a b+c). Selle matemaatilise seaduse tuletas Archimedes ja hiljem, 8. sajandil, lõi matemaatik Virasen täisarvude eksponentide tabeli. Just nemad teenisid logaritmide edasist avastamist. Selle funktsiooni kasutamise näiteid võib leida peaaegu kõikjalt, kus on vaja tülikat korrutamist lihtsa liitmise abil lihtsustada. Kui kulutate selle artikli lugemisele 10 minutit, selgitame teile, mis on logaritmid ja kuidas nendega töötada. Lihtsas ja arusaadavas keeles.

Definitsioon matemaatikas

Logaritm on järgmise kujuga avaldis: log a b=c, st mis tahes mittenegatiivse arvu (st iga positiivse) logaritmi “b” aluse “a” suhtes peetakse astmeks “c”. ”, milleni tuleb baasi „a” tõsta, et lõpuks saada väärtus „b”. Analüüsime logaritmi näidete abil, oletame, et on olemas avaldis log 2 8. Kuidas vastust leida? See on väga lihtne, peate leidma sellise võimsuse, et 2-st kuni vajaliku võimsuseni saate 8. Kui olete oma peas arvutusi teinud, saame arvu 3! Ja see on tõsi, sest 2 astmel 3 annab vastuseks 8.

Logaritmide tüübid

Paljude õpilaste ja üliõpilaste jaoks tundub see teema keeruline ja arusaamatu, kuid tegelikult pole logaritmid nii hirmutavad, peamine on mõista nende üldist tähendust ja meeles pidada nende omadusi ja mõningaid reegleid. Seal on kolm üksikud liigid logaritmilised avaldised:

1. Naturaallogaritm ln a, kus aluseks on Euleri arv (e = 2,7).
2. Kümnend a, kus alus on 10.
3. Mis tahes arvu b logaritm aluse a>1 suhtes.

Igaüks neist on lahendatud standardsel viisil, sealhulgas lihtsustamine, taandamine ja sellele järgnev taandamine üheks logaritmiks, kasutades logaritmilisi teoreeme. Logaritmide õigete väärtuste saamiseks peaksite nende lahendamisel meeles pidama nende omadusi ja toimingute jada.

Reeglid ja mõned piirangud

Matemaatikas on mitmeid reegleid-piiranguid, mida aktsepteeritakse aksioomina, st need ei kuulu arutlusele ja on tõde. Näiteks on võimatu jagada numbreid nulliga, samuti on võimatu saada paarisjuurt negatiivsed arvud. Logaritmidel on ka oma reeglid, mida järgides saate hõlpsalt õppida töötama isegi pikkade ja mahukate logaritmiliste avaldistega:

• Alus "a" peab alati olema suurem kui null ja mitte võrdne 1-ga, vastasel juhul kaotab avaldis oma tähenduse, kuna "1" ja "0" on mis tahes määral alati võrdsed nende väärtustega;
• kui a > 0, siis a b >0, selgub, et ka “c” peab olema suurem kui null.

Kuidas logaritme lahendada?

Näiteks on antud ülesanne leida vastus võrrandile 10 x = 100. See on väga lihtne, tuleb valida aste, tõstes arvu kümmet, milleni saame 100. See on loomulikult 10 2 = 100.

Nüüd esitame selle avaldise logaritmilisel kujul. Saame logaritmi 10 100 = 2. Logaritmide lahendamisel koonduvad kõik toimingud praktiliselt kokku, et leida aste, milleni on etteantud arvu saamiseks vaja sisestada logaritmi baas.

Tundmatu kraadi väärtuse täpseks määramiseks peate õppima kraaditabeliga töötamist. See näeb välja selline:

Nagu näete, saab mõningaid eksponente intuitiivselt ära arvata, kui teil on tehniline mõistus ja teadmised korrutustabelist. Suuremate väärtuste jaoks vajate aga toitetabelit. Seda saavad kasutada isegi need, kes ei tea keerulistest matemaatilistest teemadest midagi. Vasakpoolne veerg sisaldab numbreid (alus a), ülemine arvude rida on astme c väärtus, milleni arv a tõstetakse. Ristmikul sisaldavad lahtrid arvuväärtusi, mis on vastuseks (a c = b). Võtame näiteks kõige esimese lahtri numbriga 10 ja paneme selle ruudu ruutu, saame väärtuse 100, mis on näidatud meie kahe lahtri ristumiskohas. Kõik on nii lihtne ja kerge, et isegi kõige tõelisem humanist mõistab!

Võrrandid ja võrratused

Selgub, et teatud tingimustel on eksponendiks logaritm. Seetõttu saab logaritmilise võrdsusena kirjutada mis tahes matemaatilisi arvavaldisi. Näiteks 3 4 =81 saab kirjutada kui 81 baasi 3 logaritm, mis võrdub neljaga (log 3 81 = 4). Negatiivsete astmete puhul on reeglid samad: 2 -5 = 1/32 kirjutame selle logaritmina, saame log 2 (1/32) = -5. Matemaatika üks põnevamaid sektsioone on “logaritmide” teema. Allpool vaatleme võrrandite näiteid ja lahendusi, kohe pärast nende omaduste uurimist. Nüüd vaatame, kuidas ebavõrdsused välja näevad ja kuidas neid võrranditest eristada.

Antud avaldis järgmisel kujul: log 2 (x-1) > 3 - see on logaritmiline ebavõrdsus, kuna tundmatu väärtus "x" on logaritmi märgi all. Ja ka avaldises võrreldakse kahte suurust: soovitud arvu logaritm alus kahele on suurem kui arv kolm.

Kõige olulisem erinevus logaritmiliste võrrandite ja võrratuste vahel on see, et logaritmidega võrrandid (näiteks logaritm 2 x = √9) eeldavad ühte või mitut konkreetset vastust. arvväärtusi, samas kui ebavõrdsuse lahendamisel määratakse nii selle funktsiooni lubatud väärtuste vahemik kui ka murdepunktid. Selle tulemusena ei ole vastus lihtne üksikute arvude kogum, nagu võrrandi vastuses, vaid pidev arvude jada või komplekt.

Põhiteoreemid logaritmide kohta

Primitiivsete logaritmi väärtuste leidmise ülesannete lahendamisel ei pruugi selle omadused olla teada. Kui aga rääkida logaritmilistest võrranditest või võrratustest, siis ennekõike on vaja selgelt mõista ja praktikas rakendada logaritmide kõiki põhiomadusi. Vaatame võrrandite näiteid hiljem; kõigepealt vaatame iga omadust üksikasjalikumalt.

1. Põhiidentiteet näeb välja selline: a logaB =B. See kehtib ainult siis, kui a on suurem kui 0, mitte võrdne ühega ja B on suurem kui null.
2. Korrutise logaritmi saab esitada järgmise valemiga: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Sel juhul eelduseks on: d, s1 ja s2 > 0; a≠1. Saate esitada selle logaritmilise valemi tõestuse koos näidete ja lahendusega. Olgu log a s 1 = f 1 ja log a s 2 = f 2, siis a f1 = s 1, a f2 = s 2. Saame, et s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (omadused kraadi ) ja siis definitsiooni järgi: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, mis vajas tõestamist.
3. Jagatise logaritm näeb välja selline: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Valemi kujul olev teoreem võtab kasutusele järgmine vaade: log a q b n = n/q log a b.

Seda valemit nimetatakse "logaritmi astme omaduseks". See meenutab tavaliste kraadide omadusi ja see pole üllatav, sest kogu matemaatika põhineb looduslikel postulaatidel. Vaatame tõestust.

Olgu logi a b = t, selgub a t =b. Kui tõstame mõlemad osad astmeni m: a tn = b n ;

aga kuna a tn = (a q) nt/q = b n, siis log a q b n = (n*t)/t, siis log a q b n = n/q log a b. Teoreem on tõestatud.

Näited probleemidest ja ebavõrdsusest

Kõige tavalisemad logaritmide probleemide tüübid on võrrandite ja võrratuste näited. Neid leidub peaaegu kõigis probleemraamatutes ja need on ka matemaatikaeksamite kohustuslik osa. Ülikooli sisseastumiseks või läbimiseks sisseastumiseksamid matemaatikas peate teadma, kuidas selliseid ülesandeid õigesti lahendada.

Kahjuks ei ole ühest plaani või skeemi lahendamiseks ja määramiseks tundmatu väärtus Sellist asja nagu logaritm pole olemas, kuid saate seda rakendada iga matemaatilise võrratuse või logaritmilise võrrandi puhul. teatud reeglid. Kõigepealt peaksite välja selgitama, kas väljendit saab lihtsustada või viia selleni üldine välimus. Lihtsusta pikki logaritmilised avaldised võimalik, kui kasutate nende omadusi õigesti. Saame nendega kiiresti tuttavaks.

Otsustades logaritmilised võrrandid, peaksime määrama, mis tüüpi logaritm meil on: näidisavaldis võib sisaldada naturaallogaritmi või kümnendlogaritmi.

Siin on näited ln100, ln1026. Nende lahendus taandub asjaolule, et nad peavad määrama võimsuse, mille baas 10 võrdub vastavalt 100 ja 1026. Lahenduste jaoks naturaallogaritmid peate rakendama logaritmilisi identiteete või nende omadusi. Vaatame näiteid erinevat tüüpi logaritmiliste ülesannete lahendamisest.

Logaritmi valemite kasutamine: näidete ja lahendustega

Niisiis, vaatame näiteid logaritmide põhiteoreemide kasutamisest.

1. Korrutise logaritmi omadust saab kasutada ülesannetes, kus on vaja laiendada suur tähtsus arvud b lihtsamateks teguriteks. Näiteks log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Vastus on 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - nagu näha, õnnestus meil logaritmi astme neljandat omadust kasutades lahendada pealtnäha keeruline ja lahendamatu avaldis. Peate lihtsalt arvutama aluse ja seejärel võtma eksponendi väärtused logaritmi märgist välja.

Ühtse riigieksami ülesanded

Logaritme leidub sageli sisseastumiseksamitel, eriti palju logaritmilisi probleeme ühtse riigieksami puhul ( Riigieksam kõigile koolilõpetajatele). Tavaliselt on need ülesanded olemas mitte ainult A osas (kõige lihtsam test osa eksam), aga ka C-osas (kõige keerulisemad ja mahukamad ülesanded). Eksam eeldab teema “Looduslikud logaritmid” täpset ja täiuslikku tundmist.

Näited ja probleemide lahendused on võetud ametlikult Ühtse riigieksami valikud. Vaatame, kuidas selliseid ülesandeid lahendatakse.

Antud log 2 (2x-1) = 4. Lahendus:
kirjutame avaldise ümber, lihtsustades seda veidi log 2 (2x-1) = 2 2, logaritmi definitsiooniga saame, et 2x-1 = 2 4, seega 2x = 17; x = 8,5.

• Parim on taandada kõik logaritmid samale alusele, et lahendus ei oleks tülikas ja segane.
• Kõik logaritmimärgi all olevad avaldised on näidatud positiivsetena, seega kui logaritmimärgi all oleva avaldise astendaja võetakse kordajaks välja, peab logaritmi alla jääv avaldis olema positiivne.

Me kõik oleme võrranditega tuttavad algklassid. Seal õppisime lahendama ka lihtsamaid näiteid ning tuleb tunnistada, et need leiavad rakendust ka kõrgemas matemaatikas. Võrranditega on kõik lihtne, sealhulgas ruutvõrranditega. Kui teil on selle teemaga probleeme, soovitame see kindlasti üle vaadata.

Tõenäoliselt olete ka logaritmid juba läbinud. Peame aga oluliseks rääkida, mis see on neile, kes veel ei tea. Logaritm võrdsustatakse astmega, milleni tuleb baasi tõsta, et saada logaritmi märgist paremal olev arv. Toome näite, mille põhjal sulle kõik selgeks saab.

Kui tõstate 3 neljanda astmeni, saate 81. Asendage nüüd arvud analoogia alusel ja lõpuks saate aru, kuidas logaritme lahendatakse. Nüüd jääb üle vaid kaks käsitletud mõistet ühendada. Esialgu tundub olukord ülimalt keeruline, kuid lähemal uurimisel loksub kaal paika. Oleme kindlad, et pärast seda lühikest artiklit ei teki teil ühtse riigieksami selles osas probleeme.

Tänapäeval on selliste struktuuride lahendamiseks palju võimalusi. Räägime teile kõige lihtsamatest, tõhusamatest ja rakendatavamatest ühtse riigieksami ülesannete puhul. Logaritmvõrrandite lahendamist tuleb alustada päris algusest. lihtne näide. Lihtsamad logaritmvõrrandid koosnevad funktsioonist ja ühest muutujast selles.

Oluline on märkida, et x on argumendi sees. A ja b peavad olema numbrid. Sel juhul saate funktsiooni lihtsalt väljendada arvu ja astmena. See näeb välja selline.

Loomulikult viib selle meetodi abil logaritmilise võrrandi lahendamine õige vastuseni. Valdav enamiku õpilaste probleem on sel juhul see, et nad ei saa aru, mis kust tuleb. Selle tulemusena peate leppima vigadega ja mitte saama soovitud punkte. Kõige solvavam viga on tähtede segamine. Võrrandi selliseks lahendamiseks peate selle standardse koolivalemi pähe õppima, sest seda on raske mõista.

Selle hõlbustamiseks võite kasutada teist meetodit - kanoonilist vormi. Idee on äärmiselt lihtne. Pöörake oma tähelepanu probleemile tagasi. Pidage meeles, et täht a on arv, mitte funktsioon või muutuja. A ei ole võrdne ühega ja suurem kui null. B kohta piiranguid ei ole. Nüüd meenutagem kõigist valemitest ühte. B saab väljendada järgmiselt.

Sellest järeldub, et kõiki algseid logaritmidega võrrandeid saab esitada kujul:

Nüüd saame logaritmidest loobuda. See saab korda lihtne disain, mida oleme juba varem näinud.

Selle valemi mugavus seisneb selles, et seda saab kõige rohkem kasutada erinevad juhtumid, ja mitte ainult kõige lihtsamate kujunduste jaoks.

Ärge muretsege OOF pärast!

Paljud kogenud matemaatikud märkavad, et me ei ole määratluse valdkonnale tähelepanu pööranud. Reegel taandub tõsiasjale, et F(x) on tingimata suurem kui 0. Ei, me ei jätnud seda punkti tähelepanuta. Nüüd räägime kanoonilise vormi teisest tõsisest eelisest.

Siin ei teki lisajuuri. Kui muutuja ilmub ainult ühes kohas, pole ulatust vaja. Seda tehakse automaatselt. Selle otsuse kontrollimiseks proovige lahendada mitu lihtsat näidet.

Kuidas lahendada erinevate alustega logaritmilisi võrrandeid

Need on juba keerulised logaritmvõrrandid ja nende lahendamise lähenemine peab olema eriline. Siin on harva võimalik piirduda kurikuulsa kanoonilise vormiga. Alustame oma üksikasjalikku lugu. Meil on järgmine konstruktsioon.

Pöörake tähelepanu murdosale. See sisaldab logaritmi. Kui näete seda ülesandes, tasub meeles pidada üht huvitavat nippi.

Mida see tähendab? Iga logaritmi saab esitada kahe mugava alusega logaritmi jagatisena. Ja sellel valemil on erijuhtum, mis on selle näite puhul rakendatav (tähendab, kui c=b).

See on täpselt see murdosa, mida me oma näites näeme. Seega.

Sisuliselt keerasime murdosa ümber ja saime mugavama väljendi. Pidage meeles seda algoritmi!

Nüüd vajame seda, et logaritmiline võrrand ei sisaldanud erinevad põhjused. Esitame baasi murdena.

Matemaatikas on reegel, mille alusel saab baasist kraadi tuletada. Järgmised ehitustulemused.

Näib, et mis takistab meil nüüd oma väljendust kanooniliseks vormiks muutmast ja seda lihtsalt lahendamast? Mitte nii lihtne. Logaritmi ees ei tohiks olla murde. Parandame selle olukorra! Kraadidena on lubatud kasutada murde.

Vastavalt.

Kui alused on samad, saame logaritmid eemaldada ja avaldised ise võrdsustada. Nii muutub olukord palju lihtsamaks, kui see oli. Alles jääb elementaarvõrrand, mida igaüks meist oskas juba 8. või isegi 7. klassis lahendada. Arvutused saate ise teha.

Oleme saanud selle logaritmilise võrrandi ainsa tõelise juure. Logaritmilise võrrandi lahendamise näited on üsna lihtsad, kas pole? Nüüd saate isegi kõige raskemate probleemidega iseseisvalt hakkama. keerulised ülesandedühtse riigieksami ettevalmistamise ja sooritamise eest.

Mis on tulemus?

Mis tahes logaritmilise võrrandi puhul lähtume ühest väga oluline reegel. Tuleb tegutseda nii, et väljendus oleks maksimaalne lihtne vaade. Sel juhul on teil suurem võimalus mitte ainult ülesannet õigesti lahendada, vaid ka teha seda võimalikult lihtsal ja loogilisemal viisil. Täpselt nii töötavad matemaatikud alati.

Me ei soovita tungivalt otsida raskeid teid, eriti sel juhul. Pidage meeles mõnda lihtsad reeglid, mis võimaldab teil muuta mis tahes väljendit. Näiteks vähendage kaks või kolm logaritmi samale alusele või tuletage baasist võimsus ja võitke sellel.

Samuti tasub meeles pidada, et logaritmvõrrandite lahendamine nõuab pidevat harjutamist. Tasapisi liigute üha enamale keerulised struktuurid, ja see viib teid ühtse riigieksami kõigi ülesannete variantide enesekindlale lahendamisele. Valmistuge oma eksamiteks aegsasti ette ja palju õnne!

Algebra 11. klass

Teema: “Logaritmvõrrandite lahendamise meetodid”

Tunni eesmärgid:

hariv: teadmiste kogumine erinevatel viisidel logaritmiliste võrrandite lahendamine, oskus neid igas konkreetses olukorras rakendada ja valida mis tahes lahendusmeetod;

arendamine: oskuste arendamine vaadelda, võrrelda, rakendada teadmisi uues olukorras, tuvastada mustreid, üldistada; vastastikuse kontrolli ja enesekontrolli oskuste arendamine;

hariv: edendada vastutustundlikku suhtumist kasvatustöösse, õppetunni materjali tähelepanelikku tajumist ja hoolikat märkmete tegemist.

Tunni tüüp : õppetund uue materjali tutvustamisest.

"Logaritmide leiutamine, vähendades samal ajal astronoomi tööd, pikendas tema eluiga."
Prantsuse matemaatik ja astronoom P.S. Laplace

Tundide ajal

I. Tunni eesmärgi seadmine

Uuritud logaritmi definitsioon, logaritmide omadused ja logaritmiline funktsioon võimaldab lahendada logaritmilisi võrrandeid. Kõik logaritmilised võrrandid, olenemata nende keerukusest, lahendatakse ühtsete algoritmide abil. Vaatleme neid algoritme tänases õppetükis. Neid pole palju. Kui te neid valdate, on teie kõigi jaoks teostatav mis tahes logaritmidega võrrand.

Kirjutage oma vihikusse tunni teema: "Logaritmvõrrandite lahendamise meetodid." Kutsun kõiki üles koostööle.

II. Värskenda taustateadmine

Valmistume tunni teema uurimiseks. Lahendad iga ülesande ja kirjutad vastuse üles; tingimust ei pea kirjutama. Paaris töötama.

1) Milliste x väärtuste korral on funktsioonil mõtet:

A)

b)

V)

d)

(Iga slaidi puhul kontrollitakse vastuseid ja vead sorteeritakse)

2) Kas funktsioonide graafikud langevad kokku?

a) y = x ja

b)Ja

3) Kirjutage võrrandid ümber logaritmilisteks võrdusteks:

4) Kirjutage numbrid logaritmidena alusega 2:

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) Arvutage :

6) Proovige taastada või täiendada nendes võrdsustes puuduvaid elemente.

III. Sissejuhatus uue materjaliga

Ekraanil kuvatakse järgmine väide:

"Võrrand on kuldne võti, mis avab kõik matemaatilised seesamid."
Kaasaegne Poola matemaatik S. Kowal

Proovige sõnastada logaritmilise võrrandi definitsioon. (Võrrand, mis sisaldab logaritmi märgi all tundmatut ).

MõelgemLihtsaim logaritmiline võrrand: logi A x = b (kus a>0, a ≠ 1). Kuna logaritmiline funktsioon suureneb (või väheneb) positiivsete arvude hulgal ja võtab kõik reaalväärtused, siis juurteoreemi järgi järeldub, et mis tahes b korral on sellel võrrandil ja ainult üks lahendus ja positiivne.

Pidage meeles logaritmi määratlust. (Arvu x logaritm alusele a näitab võimsust, milleni tuleb alust a tõsta, et saada arv x ). Logaritmi definitsioonist järeldub kohe, etA V on selline lahendus.

Kirjutage pealkiri:Logaritmvõrrandite lahendamise meetodid

1. Logaritmi definitsiooni järgi .

Nii lahendatakse vormi kõige lihtsamad võrrandid.

Mõelgemnr 514(a) ): Lahenda võrrand

Kuidas teete ettepaneku seda lahendada? (Logaritmi definitsiooni järgi )

Lahendus . , Seega 2x – 4 = 4; x = 4.

Vastus: 4.

Selles ülesandes 2x – 4 > 0, kuna> 0, seega ei saa tekkida kõrvalisi juuri japole vaja kontrollida . Selles ülesandes ei ole vaja välja kirjutada tingimust 2x – 4 > 0.

2. Potenseerimine (üleminek antud avaldise logaritmilt sellele avaldisele endale).

MõelgemNr 519(g): logi 5 ( x 2 +8)- logi 5 ( x+1)=3 logi 5 2

Millist funktsiooni märkasite?(Alused on samad ja kahe avaldise logaritmid on võrdsed) . Mida saaks teha?(Potenseerige).

Tuleb arvestada, et iga lahend sisaldub kõigi x-de hulgas, mille logaritmilised avaldised on positiivsed.

Lahendus: ODZ:

X 2 +8>0 tarbetu ebavõrdsus

logi 5 ( x 2 +8) = logi 5 2 3 + logi 5 ( x+1)

logi 5 ( x 2 +8)= logi 5 (8 x+8)

Potentseerime algset võrrandit

x 2 +8= 8 x+8

saame võrrandix 2 +8= 8 x+8

Lahendame selle:x 2 -8 x=0

x=0, x=8

Vastus: 0; 8

Üldiseltüleminek samaväärsele süsteemile :

Võrrand

(Süsteem sisaldab üleliigset tingimust – üht ebavõrdsust ei pea arvestama).

Küsimus klassile : Milline neist kolmest lahendusest teile kõige rohkem meeldis? (Arutelu meetodite üle).

Teil on õigus igal viisil otsustada.

3. Uue muutuja sisseviimine .

MõelgemNr 520 (g) . .

Mida sa märkasid? (See on ruutvõrrand log3x suhtes) Teie ettepanekud? (Uue muutuja tutvustamine)

Lahendus . ODZ: x > 0.

Lase, siis on võrrand järgmisel kujul:. Diskriminant D > 0. Juured Vieta teoreemi järgi:.

Läheme tagasi asendamise juurde:või.

Olles lahendanud kõige lihtsamad logaritmilised võrrandid, saame:

; .

Vastus : 27;

4. Logaritmi võrrandi mõlemad pooled.

Lahendage võrrand:.

Lahendus : ODZ: x>0, võtame 10. aluse võrrandi mõlema poole logaritmi:

. Rakendame astme logaritmi omadust:

(lgx + 3) lgx =

(logx + 3) logx = 4

Olgu logx = y, siis (y + 3)y = 4

, (D > 0) juured Vieta teoreemi järgi: y1 = -4 ja y2 = 1.

Läheme tagasi asendusse, saame: lgx = -4,; logx = 1,. . See on järgmine: kui üks funktsioonidest y = f(x) suureneb ja teine y = g(x) väheneb intervallil X, siis võrrand f(x)= g(x) sellel on maksimaalselt üks juur intervallis X .

Kui juur on olemas, siis võib arvata. .

Vastus : 2

“Meetodite õiget rakendamist saab õppida
ainult rakendades neid erinevatele näidetele.
Taani matemaatikaajaloolane G. G. Zeiten

I V. Kodutöö

Lk 39 vaatle näidet 3, lahenda nr 514(b), nr 529(b), nr 520(b), nr 523(b)

V. Õppetunni kokkuvõtte tegemine

Milliseid logaritmvõrrandite lahendamise meetodeid me tunnis vaatlesime?

Järgmistes tundides vaatame lähemalt keerulised võrrandid. Nende lahendamiseks on kasulikud uuritud meetodid.

Viimane näidatud slaid:

„Mis on rohkem kui miski maailmas?
Kosmos.
Mis on kõige targem?
Aeg.
Mis on parim osa?
Saavutage see, mida soovite."
Thales

Soovin, et kõik saavutaksid selle, mida nad tahavad. Täname teid koostöö ja mõistva suhtumise eest.

Selles õppetükis vaatame üle põhilised teoreetilised faktid logaritmide kohta ja kaalume kõige lihtsamate logaritmivõrrandite lahendamist.

Meenutagem keskset määratlust – logaritmi definitsiooni. See on seotud otsusega eksponentsiaalvõrrand. Sellel võrrandil on üks juur, seda nimetatakse b aluse a logaritmiks:

Definitsioon:

B aluse a logaritm on astendaja, milleni alus a tuleb tõsta, et saada b.

Tuletame teile meelde põhilogaritmiline identiteet.

Avaldis (avaldis 1) on võrrandi juur (avaldis 2). Asendage avaldisest 1 olev väärtus x avaldisega 2 ja hankige peamine logaritmiline identiteet:

Seega näeme, et iga väärtus on seotud väärtusega. Tähistame b x(), c y-ga ja saame seega logaritmilise funktsiooni:

Näiteks:

Tuletagem meelde logaritmilise funktsiooni põhiomadusi.

Pöörame siinkohal veel kord tähelepanu, kuna logaritmi all võib logaritmi alusena olla rangelt positiivne avaldis.

Riis. 1. Erinevate alustega logaritmifunktsiooni graafik

Funktsiooni at graafik on näidatud mustana. Riis. 1. Kui argument suureneb nullist lõpmatuseni, suureneb funktsioon miinuspunktist plusslõpmatuseni.

Funktsiooni at graafik on näidatud punaselt. Riis. 1.

Selle funktsiooni omadused:

Domeen: ;

Väärtuste vahemik: ;

Funktsioon on monotoonne kogu oma määratlusvaldkonnas. Kui monotoonselt (rangelt) suureneb, kõrgem väärtus argument vastab funktsiooni suuremale väärtusele. Kui monotoonselt (rangelt) väheneb, vastab argumendi suurem väärtus funktsiooni väiksemale väärtusele.

Logaritmifunktsiooni omadused on mitmesuguste logaritmiliste võrrandite lahendamise võti.

Vaatleme kõige lihtsamat logaritmilist võrrandit, kõik muud logaritmilised võrrandid taandatakse reeglina sellele kujule.

Kuna logaritmide alused ja logaritmid ise on võrdsed, on ka logaritmi all olevad funktsioonid võrdsed, kuid me ei tohi defineerimise valdkonnast mööda minna. Logaritm võib ainult püsida positiivne arv, meil on:

Saime teada, et funktsioonid f ja g on võrdsed, seega piisab, kui valida ODZ järgimiseks ükskõik milline ebavõrdsus.

Nii et saime segasüsteem, milles on võrrand ja ebavõrdsus:

Reeglina ei ole vaja võrratust lahendada, piisab võrrandi lahendamisest ja leitud juurte asendamisest ebavõrdsusega, teostades nii kontrolli.

Sõnastame lihtsaimate logaritmvõrrandite lahendamise meetodi:

Tasandada logaritmide aluseid;

Võrdsusta sublogaritmilised funktsioonid;

Tehke kontroll.

Vaatame konkreetseid näiteid.

Näide 1 – lahendage võrrand:

Logaritmide alused on algselt võrdsed, meil on õigus võrdsustada alaaritmilisi avaldisi, ärge unustage ODZ-d, valime ebavõrdsuse koostamiseks esimese logaritmi:

Näide 2 – lahendage võrrand:

See võrrand erineb eelmisest selle poolest, et logaritmide alused on väiksemad kui üks, kuid see ei mõjuta lahendust kuidagi:

Leiame juure ja asendame selle ebavõrdsusega:

Saime vale ebavõrdsuse, mis tähendab, et leitud juur ei rahulda ODZ-d.

Näide 3 – lahendage võrrand:

Logaritmide alused on algselt võrdsed, meil on õigus võrdsustada alaaritmilisi avaldisi, ärge unustage ODZ-d, valime ebavõrdsuse koostamiseks teise logaritmi:

Leiame juure ja asendame selle ebavõrdsusega:

Ilmselgelt rahuldab ODZ-d ainult esimene juur.