Erottele funktion reaali- ja imaginaariosa. Kompleksisen muuttujan funktiot. Kompleksisen muuttujan funktioiden erottelu. Cauchy-Riemannnin olosuhteet

Kompleksisen muuttujan funktiot.
Kompleksisen muuttujan funktioiden erottelu.

Tämä artikkeli avaa sarjan oppitunteja, joita tarkastelen tyypillisiä tehtäviä liittyy kompleksisen muuttujan funktioteoriaan. Jotta voit hallita esimerkit onnistuneesti, sinulla on oltava perustiedot kompleksiluvuista. Materiaalin vahvistamiseksi ja toistamiseksi riittää vierailla sivulla. Tarvitset myös taitoja löytääksesi toisen asteen osittaiset johdannaiset. Tässä ne ovat, nämä osittaiset johdannaiset ... jo nyt olin hieman yllättynyt kuinka usein niitä esiintyy ...

Aihe, jota aloitamme analysoimaan, ei ole erityisen vaikea, ja monimutkaisen muuttujan funktioissa periaatteessa kaikki on selvää ja saavutettavissa. Tärkeintä on noudattaa perussääntöä, jonka olen johdattanut empiirisesti. Jatka lukemista!

Kompleksisen muuttujan funktion käsite

Ensin päivitetään tietomme yhden muuttujan koulufunktiosta:

Yhden muuttujan funktio on sääntö, jonka mukaan jokainen riippumattoman muuttujan arvo (määrittelyalueelta) vastaa yhtä ja vain yhtä funktion arvoa. Luonnollisesti "x" ja "y" ovat reaalilukuja.

Monimutkaisessa tapauksessa toiminnallinen riippuvuus annetaan samalla tavalla:

Kompleksisen muuttujan yksiarvoinen funktio on sääntö, että kaikki integroitu riippumattoman muuttujan arvo (määrittelyalueelta) vastaa yhtä ja vain yhtä kattava funktion arvo. Teoriassa huomioidaan myös moniarvoiset ja eräät muun tyyppiset funktiot, mutta yksinkertaisuuden vuoksi keskityn yhteen määritelmään.

Mikä on kompleksisen muuttujan funktio?

Suurin ero on, että numerot ovat monimutkaisia. En ole ironinen. Tällaisista kysymyksistä he joutuvat usein umpikujaan, artikkelin lopussa kerron siistin tarinan. Oppitunnilla Monimutkaiset luvut nukkeille tarkastelimme kompleksilukua muodossa . Tästä lähtien kirjaimesta "Z" on tullut muuttuja, merkitsemme sen seuraavalla tavalla: , kun taas "x" ja "y" voivat olla erilaisia pätevä arvot. Karkeasti sanottuna kompleksisen muuttujan funktio riippuu muuttujista ja , jotka ottavat "tavanomaiset" arvot. From Tämä fakta Seuraava kohta seuraa loogisesti:

Kompleksisen muuttujan funktio voidaan kirjoittaa seuraavasti:
, jossa ja ovat kaksi funktiota kahdesta pätevä muuttujia.

Funktiota kutsutaan todellinen osa toiminnot.
Funktiota kutsutaan kuvitteellinen osa toiminnot.

Eli kompleksisen muuttujan funktio riippuu kahdesta todellisesta funktiosta ja . Selventääksemme kaikkea, katsotaanpa käytännön esimerkkejä:

Esimerkki 1

Ratkaisu: Riippumaton muuttuja "z", kuten muistat, kirjoitetaan seuraavasti:

(1) Korvattu alkuperäiseen toimintoon.

(2) Ensimmäisellä termillä käytettiin pelkistettyä kertolaskua. Aikana sulut avattiin.

(3) Varovasti neliö, unohtamatta sitä

(4) Termien uudelleenjärjestely: kirjoita termit ensin uudelleen , jossa ei ole kuvitteellista yksikköä(ensimmäinen ryhmä), sitten termit, missä on (toinen ryhmä). On huomattava, että termejä ei tarvitse sekoittaa ja tämä vaihe voidaan ohittaa (itse asiassa tekemällä se suullisesti).

(5) Toinen ryhmä poistetaan suluista.

Tämän seurauksena funktiomme osoittautui esitettäväksi muodossa

Vastaus:
on funktion todellinen osa.
on funktion kuvitteellinen osa .

Mitä nämä toiminnot ovat? Kahden muuttujan tavallisimmat funktiot, joista voi löytää niin suosittuja osittaiset johdannaiset. Ilman armoa - löydämme. Mutta vähän myöhemmin.

Lyhyesti sanottuna ratkaistun ongelman algoritmi voidaan kirjoittaa seuraavasti: korvaamme alkuperäisen funktion, teemme yksinkertaistuksia ja jaamme kaikki termit kahteen ryhmään - ilman imaginaariyksikköä (reaaliosa) ja kuvitteellisella yksiköllä (imaginaariosa).

Esimerkki 2

Etsi funktion todellinen ja kuvitteellinen osa

Tämä on esimerkki itsenäinen päätös. Ennen kuin heittäydyt taisteluun monimutkaisessa koneessa luonnosten kanssa, anna minun antaa sinulle eniten tärkeä neuvo tässä aiheessa:

OLE VAROVAINEN! Sinun on oltava varovainen tietysti kaikkialla, mutta kompleksiluvuissa sinun tulee olla varovaisempi kuin koskaan! Muista, että laajenna sulkuja varovasti, älä menetä mitään. Havaintojeni mukaan yleisin virhe on merkin katoaminen. Älä kiirehdi!

Täydellinen ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Nyt kuutio. Lyhennettyä kertolaskua käyttämällä johdamme:
.

Kaavat ovat erittäin käteviä käyttää käytännössä, koska ne nopeuttavat huomattavasti ratkaisuprosessia.

Kompleksisen muuttujan funktioiden erottelu.

Minulla on kaksi uutista: hyvä ja huono. Aloitan hyvällä. Kompleksisen muuttujan funktiolle pätevät differentiaatiosäännöt ja perusfunktioiden derivaattataulukko. Siten derivaatta otetaan täsmälleen samalla tavalla kuin reaalimuuttujan funktion tapauksessa.

Huono uutinen on, että monille kompleksisen muuttujan funktioille ei ole johdannaista ollenkaan, ja sinun on selvitettävä on erotettavissa yksi toiminto tai toinen. Ja sydämesi tunteiden "selvittäminen" liittyy lisäongelmiin.

Tarkastellaan kompleksisen muuttujan funktiota. Jotta tämä funktio olisi erotettavissa, on välttämätöntä ja riittävää, että:

1) Jotta olisi ensimmäisen kertaluvun osittaisia ​​derivaattoja. Unohda nämä merkinnät heti, koska kompleksisen muuttujan funktion teoriassa käytetään perinteisesti toista merkintäversiota: .

2) Suorittaa ns Cauchy-Riemannnin olosuhteet:

Vain tässä tapauksessa johdannainen on olemassa!

Esimerkki 3

Ratkaisu jaettu kolmeen peräkkäiseen vaiheeseen:

1) Etsi funktion reaali- ja imaginaariosat. Tätä tehtävää analysoitiin aiemmissa esimerkeissä, joten kirjoitan sen muistiin ilman kommentteja:

Siitä lähtien:

Tällä tavalla:

on funktion kuvitteellinen osa .

Pysähdyn vielä yhteen tekniseen seikkaan: missä järjestyksessä kirjoittaa termejä todellisiin ja kuvitteellisiin osiin? Kyllä, periaatteessa sillä ei ole väliä. Reaaliosa voidaan kirjoittaa esimerkiksi näin: , ja kuvitteellinen - kuten tämä: .

2) Tarkastetaan Cauchy-Riemannnin ehtojen täyttyminen. Niitä on kaksi.

Aloitetaan tarkistamalla kunto. Löydämme osittaiset johdannaiset:

Näin ollen ehto täyttyy.

Epäilemättä hyvä uutinen on, että osittaiset johdannaiset ovat lähes aina hyvin yksinkertaisia.

Tarkistamme toisen ehdon täyttymisen:

Siitä tuli sama, mutta kanssa vastakkaisia ​​merkkejä, eli myös ehto täyttyy.

Cauchy-Riemannin ehdot täyttyvät, joten funktio on differentioituva.

3) Etsi funktion derivaatta. Johdannainen on myös hyvin yksinkertainen ja löytyy tavallisten sääntöjen mukaan:

Differentioinnin imaginaariyksikköä pidetään vakiona.

Vastaus: - oikea osa on kuvitteellinen osa.
Cauchy-Riemannin ehdot täyttyvät, .

On olemassa kaksi muuta tapaa löytää johdannainen, niitä käytetään tietysti harvemmin, mutta tiedoista on hyötyä toisen oppitunnin ymmärtämiseen - Kuinka löytää kompleksisen muuttujan funktio?

Johdannainen löytyy kaavalla:

AT Tämä tapaus:

Tällä tavalla

On tarpeen ratkaista käänteinen ongelma - tuloksena olevassa lausekkeessa sinun on eristettävä . Tämän tekemiseksi on välttämätöntä ilmaista ja sulkea:

Käänteinen toiminta, kuten monet ovat huomanneet, on hieman vaikeampi suorittaa, tarkistamista varten on aina parempi ottaa ilmaisu ja luonnos tai avata suullisesti sulut takaisin varmistaen, että se osoittautuu tarkalleen

Peilikaava derivaatan löytämiseksi:

Tässä tapauksessa: , siksi:

Esimerkki 4

Määritä funktion reaali- ja imaginaariosat . Tarkista Cauchy-Riemannnin ehtojen täyttyminen. Jos Cauchy-Riemannin ehdot täyttyvät, etsi funktion derivaatta.

Lyhyt ratkaisu ja likimääräinen näyte viimeistelystä oppitunnin lopussa.

Ovatko Cauchy-Riemannin ehdot aina täyttyneet? Teoriassa ne eivät useammin täyty kuin ne ovat. Mutta käytännön esimerkeissä en muista tapausta, jossa niitä ei suoritettu =) Joten jos osittaiset derivaattasi "eivät lähentyneet", voimme erittäin suurella todennäköisyydellä sanoa, että teit virheen jossain.

Monimutkaistaan ​​toimintojamme:

Esimerkki 5

Määritä funktion reaali- ja imaginaariosat . Tarkista Cauchy-Riemannnin ehtojen täyttyminen. Laskea

Ratkaisu: Ratkaisualgoritmi säilyy täysin, mutta loppuun lisätään uusi muoti: derivaatan löytäminen pisteestä. Kuutiolle vaadittu kaava on jo johdettu:

Määritellään tämän funktion todelliset ja kuvitteelliset osat:

Huomio ja vielä kerran huomio!

Siitä lähtien:


Tällä tavalla:
on funktion todellinen osa ;
on funktion kuvitteellinen osa .

Toisen ehdon tarkistaminen:

Se osoittautui samaksi, mutta päinvastaisilla merkeillä, eli myös ehto täyttyy.

Cauchy-Riemannin ehdot täyttyvät, joten funktio on differentioituva:

Laske derivaatan arvo vaaditussa pisteessä:

Vastaus:, , Cauchy-Riemannnin ehdot täyttyvät,

Funktiot kuutioilla ovat yleisiä, joten konsolidoitava esimerkki:

Esimerkki 6

Määritä funktion reaali- ja imaginaariosat . Tarkista Cauchy-Riemannnin ehtojen täyttyminen. Laske.

Päätös ja näyteviimeistely oppitunnin lopussa.

Teoriassa monimutkainen analyysi Myös muut kompleksisen argumentin funktiot määritellään: eksponentti, sini, kosini jne. Näillä toiminnoilla on epätavallisia ja jopa outoja ominaisuuksia - ja se on todella mielenkiintoista! Haluan todella kertoa teille, mutta tässä se vain tapahtui, ei hakuteos tai oppikirja, vaan ratkaisu, joten harkitsen samaa tehtävää joillakin yleisillä toiminnoilla.

Ensin ns Eulerin kaavat:

Kenelle tahansa pätevä numerot, seuraavat kaavat ovat voimassa:

Voit myös kopioida sen muistikirjaasi viitteeksi.

Tarkkaan ottaen on vain yksi kaava, mutta yleensä he myös kirjoittavat mukavuuden vuoksi erikoistapaus miinusosoittimella. Parametrin ei tarvitse olla yksi kirjain, se voi olla monimutkainen lauseke, funktio, on vain tärkeää, että ne ottavat vain voimassa arvot. Itse asiassa näemme sen heti:

Esimerkki 7

Etsi johdannainen.

Ratkaisu: Juhlan yleinen linja pysyy horjumattomana - on tarpeen erottaa toiminnon todelliset ja kuvitteelliset osat. Annan yksityiskohtaisen ratkaisun ja kommentoin jokaista vaihetta alla:

Siitä lähtien:

(1) Korvaa "z".

(2) Korvauksen jälkeen on tarpeen erottaa todellinen ja kuvitteellinen osa ensimmäinen eksponentti näytteilleasettajia. Voit tehdä tämän avaamalla kiinnikkeet.

(3) Ryhmittelemme indikaattorin imaginaarisen osan jättämällä imaginaarisen yksikön pois suluista.

(4) Käytä koulun toimintaa voimalla.

(5) Kerroimelle käytämme Eulerin kaavaa , kun taas .

(6) Avaamme sulut, tuloksena:

on funktion todellinen osa ;
on funktion kuvitteellinen osa .

Muut toimet ovat vakioita, tarkistetaan Cauchy-Riemannnin ehtojen täyttyminen:

Esimerkki 9

Määritä funktion reaali- ja imaginaariosat . Tarkista Cauchy-Riemannnin ehtojen täyttyminen. Olkoon niin, emme löydä johdannaista.

Ratkaisu: Ratkaisualgoritmi on hyvin samanlainen kuin kaksi edellistä esimerkkiä, mutta niitä on hyvin tärkeitä kohtia, siksi Ensimmäinen taso Kommentoin taas askel askeleelta:

Siitä lähtien:

1) Korvaamme "z":n sijasta.

(2) Valitse ensin todellinen ja kuvitteellinen osa poskiontelon sisällä. Avaa tätä varten kiinnikkeet.

(3) Käytämme kaavaa , while .

(4) Käyttö hyperbolisen kosinin pariteetti: ja hyperbolisen sinin oudness: . Hyperboliikka, vaikkakaan ei tästä maailmasta, mutta muistuttaa monella tapaa samanlaisia ​​trigonometrisiä toimintoja.

Lopulta:
on funktion todellinen osa ;
on funktion kuvitteellinen osa .

Huomio! Miinusmerkki viittaa kuvitteelliseen osaan, emmekä missään tapauksessa saa hukata sitä! Visuaalista kuvaa varten yllä saatu tulos voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

Tarkastellaan Cauchy-Riemannnin ehtojen täyttymistä:

Cauchy-Riemannin ehdot täyttyvät.

Vastaus:, , Cauchy-Riemannnin ehdot täyttyvät.

Hyvät naiset ja herrat, ymmärrämme kosinuksen kanssa:

Esimerkki 10

Määritä funktion reaali- ja imaginaariosat. Tarkista Cauchy-Riemannnin ehtojen täyttyminen.

Poimin tarkoituksella monimutkaisempia esimerkkejä, koska jokainen voi käsitellä esimerkiksi kuorittuja maapähkinöitä. Treenaa samalla huomiosi! Pähkinänsärkijä oppitunnin lopussa.

No, lopuksi harkitsen vielä yhtä mielenkiintoinen esimerkki kun monimutkainen argumentti on nimittäjässä. Tapasimme pari kertaa käytännössä, analysoidaan jotain yksinkertaista. Voi, olen tulossa vanhaksi...

Esimerkki 11

Määritä funktion reaali- ja imaginaariosat. Tarkista Cauchy-Riemannnin ehtojen täyttyminen.

Ratkaisu: Jälleen on välttämätöntä erottaa funktion todellinen ja kuvitteellinen osa.
Jos sitten

Herää kysymys, mitä tehdä, kun "Z" on nimittäjässä?

Kaikki on yksinkertaista - standardi auttaa menetelmä kertoa osoittaja ja nimittäjä konjugaattilausekkeella, sitä on jo käytetty oppitunnin esimerkeissä Monimutkaiset luvut nukkeille. Muistakaamme koulukaava. Nimittäjässä meillä on jo , joten konjugaattilauseke on . Joten sinun on kerrottava osoittaja ja nimittäjä: