Lengte van de werkelijke halve as. Hyperbool: definitie, eigenschappen, constructie

Hyperbool en parabool

Laten we verder gaan met het tweede deel van het artikel over tweede orde lijnen, gewijd aan twee andere veel voorkomende curven - hyperbool En parabool. Als je via een zoekmachine naar deze pagina bent gekomen of nog geen tijd hebt gehad om door het onderwerp te navigeren, dan raad ik je aan eerst het eerste deel van de les te bestuderen, waarin we niet alleen de belangrijkste theoretische punten hebben onderzocht, maar ook kennis hebben gemaakt met Ovaal. Ik stel voor dat de rest van de lezers hun mening aanzienlijk aanvult schoolkennis over parabool en hyperbool. Hyperbool en parabool: zijn ze eenvoudig? ...Kan niet wachten =)

Hyperbool en zijn canonieke vergelijking

Algemene structuur de presentatie van het materiaal zal lijken op de vorige paragraaf. Laten we beginnen met algemeen concept hyperbolen en problemen voor de constructie ervan.

De canonieke vergelijking van een hyperbool heeft de vorm , waarin positieve reële getallen voorkomen. Houd er rekening mee dat, in tegenstelling tot Ovaal, wordt de voorwaarde hier niet opgelegd, dat wil zeggen dat de waarde van “a” kleiner kan zijn dan de waarde van “zijn”.

Ik moet zeggen, geheel onverwacht... dat de vergelijking van de 'school'-hyperbool niet eens veel lijkt op de canonieke notatie. Maar dit mysterie zal nog op ons moeten wachten, maar laten we voorlopig ons hoofd krabben en onthouden wat karakteristieke kenmerken heeft de curve in kwestie? Laten we het verspreiden op het scherm van onze verbeelding grafiek van een functie ….

Een hyperbool heeft twee symmetrische takken.

Een hyperbool heeft er twee asymptoten.

Geen slechte vooruitgang! Elke hyperbool heeft deze eigenschappen, en nu zullen we met oprechte bewondering naar de halslijn van deze lijn kijken:

Voorbeeld 4

Construeer een hyperbool gegeven door de vergelijking

Oplossing: in de eerste stap brengen we deze vergelijking in canonieke vorm. Houd rekening met de standaardprocedure. Aan de rechterkant moet je "één" krijgen, dus delen we beide zijden van de oorspronkelijke vergelijking door 20:

Hier kun je beide breuken verkleinen, maar het is optimaaler om ze allemaal te doen drie verdiepingen:

En pas daarna de reductie uitvoeren:

Selecteer de vierkanten in de noemers:

Waarom is het beter om transformaties op deze manier uit te voeren? De fracties aan de linkerkant kunnen immers onmiddellijk worden verkleind en verkregen. Feit is dat we in het beschouwde voorbeeld een beetje geluk hadden: het getal 20 is deelbaar door zowel 4 als 5. In het algemene geval werkt zo'n getal niet. Beschouw bijvoorbeeld de vergelijking . Hier met deelbaarheid is alles droeviger en zonder breuken van drie verdiepingen niet meer mogelijk:

Laten we dus de vrucht van ons werk gebruiken: de canonieke vergelijking:

Hoe construeer je een hyperbool?

Er zijn twee benaderingen voor het construeren van een hyperbool: geometrisch en algebraïsch.
Vanuit praktisch oogpunt is tekenen met een kompas... ik zou zelfs utopisch zeggen, dus het is veel winstgevender om opnieuw eenvoudige berekeningen te gebruiken.

Het is raadzaam om het volgende algoritme te volgen, eerst de voltooide tekening en daarna het commentaar:

1) Allereerst vinden we asymptoten. Als een hyperbool wordt gegeven door een canonieke vergelijking, dan zijn de asymptoten dat ook direct . In ons geval: . Dit artikel is vereist! Dit is een fundamenteel kenmerk van de tekening, en het zal een blunder zijn als de takken van de hyperbool voorbij hun asymptoten ‘uitkruipen’.

2) Nu vinden we twee hoekpunten van een hyperbool, die zich op punten op de abscis-as bevinden . De afleiding is elementair: als , dan verandert de canonieke vergelijking in , waaruit volgt dat . De beschouwde hyperbool heeft hoekpunten

3) We zijn op zoek naar extra punten. Meestal zijn 2-3 voldoende. In de canonieke positie is de hyperbool symmetrisch ten opzichte van de oorsprong en beide Coördinaatassen, dus het is voldoende om de berekeningen voor het eerste coördinatenkwartaal uit te voeren. De techniek is precies hetzelfde als bij het bouwen Ovaal. Uit de canonieke vergelijking in het ontwerp drukken we het volgende uit:

De vergelijking valt uiteen in twee functies:
– bepaalt de bovenste bogen van de hyperbool (wat we nodig hebben);
– definieert de onderste bogen van een hyperbool.

Dit suggereert het vinden van punten met abscis:

4) Laten we de asymptoten in de tekening weergeven , pieken , extra en symmetrische punten naar hen in andere coördinaatkwarten. Verbind zorgvuldig de overeenkomstige punten op elke tak van de hyperbool:

Bij irrationeel gedrag kunnen zich technische problemen voordoen helling, maar dit is een volledig overkomelijk probleem.

Lijnstuk genaamd echte as hyperbolen,
de lengte is de afstand tussen de hoekpunten;
nummer genaamd echte semi-as hyperbool;
nummer – denkbeeldige halve as.

In ons voorbeeld: , en uiteraard, als deze hyperbool rond het symmetriecentrum wordt geroteerd en/of verplaatst, dan zijn deze waarden zal niet veranderen.

Definitie van hyperbool. Foci en excentriciteit

Een hyperbool, net als a Ovaal, er zijn twee bijzondere punten genoemd trucs. Ik heb niets gezegd, maar voor het geval iemand het verkeerd begrijpt: het symmetriecentrum en de brandpunten behoren uiteraard niet tot curven.

Het algemene concept van de definitie is ook vergelijkbaar:

Hyperbool de verzameling van alle punten in het vlak genoemd, absolute waarde het verschil in afstanden tot elk van twee gegeven punten is een constante waarde, numeriek gelijk aan de afstand tussen de hoekpunten van deze hyperbool: . In dit geval overschrijdt de afstand tussen de brandpunten de lengte van de werkelijke as: .

Als een hyperbool wordt gegeven door een canonieke vergelijking, dan afstand van het symmetriecentrum tot elk brandpunt berekend met de formule: .
En dienovereenkomstig hebben de brandpunten coördinaten .

Voor de hyperbool die wordt bestudeerd:

Laten we de definitie begrijpen. Laten we aangeven met de afstanden van de brandpunten tot een willekeurig punt van de hyperbool:

Verplaats eerst mentaal de blauwe stip langs de rechtertak van de hyperbool - waar we ook zijn, module(absolute waarde) van het verschil tussen de lengtes van de segmenten zal hetzelfde zijn:

Als je de punt op de linkertak “gooit” en daarheen verplaatst, dan gegeven waarde zal onveranderd blijven.

Het modulusteken is nodig omdat het lengteverschil zowel positief als negatief kan zijn. Trouwens, voor elk punt op de juiste tak (aangezien het segment korter is dan het segment ). Voor elk punt op de linkertak is de situatie precies het tegenovergestelde .

Bovendien maakt het, gezien de voor de hand liggende eigenschap van de module, niet uit wat van wat wordt afgetrokken.

Laten we ervoor zorgen dat in ons voorbeeld de module van dit verschil werkelijk gelijk is aan de afstand tussen de hoekpunten. Plaats het punt mentaal op het rechter hoekpunt van de hyperbool. Dan: , wat gecontroleerd moest worden.

Een hyperbool is de verzameling punten op een vlak, de modulus van het verschil in afstanden van elk van hen tot twee gegeven punten F_1 en F_2 is een constante waarde (2a), kleiner dan de afstand (2c) tussen deze gegeven punten (Fig. 3,40, a). Deze geometrische definitie drukt uit focale eigenschap van een hyperbool.

Focale eigenschap van een hyperbool

De punten F_1 en F_2 worden de brandpunten van de hyperbool genoemd, de afstand 2c=F_1F_2 daartussen is brandpuntsafstand, de middelste O van het segment F_1F_2 is het middelpunt van de hyperbool, het getal 2a is de lengte van de reële as van de hyperbool (dienovereenkomstig is a de echte halve as van de hyperbool). De segmenten F_1M en F_2M die een willekeurig punt M van de hyperbool met zijn brandpunten verbinden, worden brandpuntsstralen van het punt M genoemd. Het segment dat twee punten van een hyperbool verbindt, wordt een akkoord van de hyperbool genoemd.

De relatie e=\frac(c)(a) , waarbij c=\sqrt(a^2+b^2) , wordt genoemd excentriciteit van de hyperbool. Vanuit definitie (2a<2c) следует, что e>1 .

Geometrische definitie van hyperbool, die zijn focale eigenschap tot uitdrukking brengt, is gelijkwaardig aan zijn analytische definitie - de lijn gegeven door de canonieke hyperboolvergelijking:

\frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1.

Laten we inderdaad een rechthoekig coördinatensysteem introduceren (Fig. 3.40, b). We nemen het middelpunt O van de hyperbool als de oorsprong van het coördinatensysteem; We nemen de rechte lijn die door de brandpunten (brandpuntsas) gaat als de abscis-as (de positieve richting erop is van punt F_1 naar punt F_2); Laten we een rechte lijn nemen die loodrecht op de abscis-as staat en door het midden van de hyperbool gaat als ordinaat-as (de richting op de ordinaat-as wordt zo gekozen dat het rechthoekige coördinatensysteem Oxy gelijk heeft).

Laten we een vergelijking voor een hyperbool maken met behulp van een geometrische definitie die de focale eigenschap uitdrukt. In het geselecteerde coördinatensysteem bepalen we de coördinaten van de brandpunten F_1(-c,0) en F_2(c,0) . Voor een willekeurig punt M(x,y) dat bij een hyperbool hoort, geldt:

\links||\pijlrechts(F_1M)|-|\pijlrechts(F_2M)|\rechts|=2a.

Als we deze vergelijking in coördinatenvorm schrijven, krijgen we:

\sqrt((x+c)^2+y^2)-\sqrt((x-c)^2+y^2)=\pm2a.

Door transformaties uit te voeren die vergelijkbaar zijn met die gebruikt bij het afleiden van de ellipsvergelijking (dat wil zeggen, het wegwerken van irrationaliteit), komen we tot canonieke vergelijking hyperbolen:

\frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1\,

waarbij b=\sqrt(c^2-a^2) , d.w.z. het gekozen coördinatensysteem is canoniek.

Door in te redeneren omgekeerde volgorde, kan worden aangetoond dat alle punten waarvan de coördinaten voldoen aan vergelijking (3.50), en alleen zij, tot de verzameling punten behoren die een hyperbool wordt genoemd. De analytische definitie van een hyperbool is dus gelijkwaardig aan de geometrische definitie ervan.

Regie-eigenschap van een hyperbool

De richtlijnen van een hyperbool zijn twee rechte lijnen die op dezelfde afstand parallel lopen aan de ordinaatas van het canonieke coördinatensysteem a^2\!\!\not(\fantoom(|))\,c daaruit (Fig. 3.41, a). Wanneer a=0, wanneer de hyperbool degenereert in een paar snijdende lijnen, vallen de richtlijnen samen.

Een hyperbool met excentriciteit e=1 kan worden gedefinieerd als de verzameling punten in het vlak, voor elk waarvan de verhouding van de afstand tot een bepaald punt F (focus) en de afstand tot een gegeven rechte lijn d (richtlijn) die niet passeert door een bepaald punt is constant en gelijk aan de excentriciteit e ( directionele eigenschap van een hyperbool). Hier zijn F en d een van de brandpunten van de hyperbool en een van de richtlijnen ervan, gelegen aan één kant van de ordinaatas van het canonieke coördinatensysteem.

In feite geldt bijvoorbeeld voor het brandpunt F_2 en de richtlijn d_2 (Fig. 3.41, a) de voorwaarde \frac(r_2)(\rho_2)=e kan in coördinatenvorm worden geschreven:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\left(x-\frac(a^2)(c)\right)

Het wegwerken van irrationaliteit en vervangen e=\frac(c)(a),~c^2-a^2=b^2, komen we uit bij de canonieke hyperboolvergelijking (3.50). Een soortgelijke redenering kan worden uitgevoerd voor de focus F_1 en de richtlijn d_1:

\frac(r_1)(\rho_1)=e \quad \Links-rechtspijl \quad \sqrt((x+c)^2+y^2)= e\left(x+\frac(a^2)(c) \right ).

Vergelijking van een hyperbool in een polair coördinatensysteem

De vergelijking van de rechter tak van de hyperbool in het polaire coördinatensysteem F_2r\varphi (Fig. 3.41,b) heeft de vorm

r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi), waarbij p=\frac(p^2)(a) - focale parameter van hyperbool.

Laten we in feite het juiste brandpunt F_2 van de hyperbool kiezen als de pool van het polaire coördinatensysteem, en de straal met het begin op het punt F_2, die behoort tot de rechte lijn F_1F_2, maar het punt F_1 niet bevat (Fig. 3.41,b), als de polaire as. Dan geldt voor een willekeurig punt M(r,\varphi) dat tot de rechter tak van de hyperbool behoort, volgens de geometrische definitie (focale eigenschap) van de hyperbool, F_1M-r=2a. We drukken de afstand uit tussen de punten M(r,\varphi) en F_1(2c,\pi) (zie paragraaf 2 van opmerking 2.8):

F_1M=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)^2\cdot r\cdot\cos(\varphi-\pi))=\sqrt(r^2+4\cdot c \cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).

Daarom heeft de hyperboolvergelijking in coördinatenvorm de vorm

\sqrt(r^2+4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)-r=2a.

We isoleren de radicaal, kwadrateren beide zijden van de vergelijking, delen door 4 en presenteren vergelijkbare termen:

r^2+4cr\cdot\cos\varphi+4c^2=4a^2+4ar+r^2 \quad \Links-rechtspijl \quad a\left(1-\frac(c)(a)\cos\varphi\ rechts)r=c^2-a^2.

Druk de polaire straal r uit en voer vervangingen uit e=\frac(c)(a),~b^2=c^2-a^2,~p=\frac(b^2)(a):

r=\frac(c^2-a^2)(a(1-e\cos\varphi)) \quad \Pijl naar links \quad r=\frac(b^2)(a(1-e\cos\varphi) ) )) \quad \Links-rechtspijl \quad r=\frac(p)(1-e\cos\varphi),

QED Merk op dat in poolcoördinaten de vergelijkingen van een hyperbool en een ellips samenvallen, maar verschillende lijnen beschrijven, omdat ze verschillen in excentriciteiten (e>1 voor een hyperbool, 0\leqslant e<1 для эллипса).

Geometrische betekenis van de coëfficiënten in de hyperboolvergelijking

Laten we de snijpunten van de hyperbool (Fig. 3.42, a) met de abscis-as (hoekpunten van de hyperbool) vinden. Als we y=0 in de vergelijking invullen, vinden we de abscis van de snijpunten: x=\pm a. Daarom hebben de hoekpunten coördinaten (-a,0),\,(a,0) . De lengte van het segment dat de hoekpunten verbindt, is 2a. Dit segment wordt de reële as van de hyperbool genoemd, en het getal a is de echte halve as van de hyperbool. Als we x=0 vervangen, krijgen we y=\pm ib. De lengte van het y-assegment dat de punten (0,-b),\,(0,b) verbindt, is gelijk aan 2b. Dit segment wordt de denkbeeldige as van de hyperbool genoemd, en het getal b is de denkbeeldige halve as van de hyperbool. Een hyperbool snijdt de lijn die de reële as bevat, maar niet de lijn die de denkbeeldige as bevat.

Noten 3.10.

1. De rechte lijnen x=\pm a,~y=\pm b begrenzen de hoofdrechthoek op het coördinatenvlak, waarbuiten de hyperbool zich bevindt (Fig. 3.42, a).

2. Rechte lijnen die de diagonalen van de hoofdrechthoek bevatten, worden asymptoten van de hyperbool genoemd (Fig. 3.42, a).

Voor gelijkzijdige hyperbool beschreven door de vergelijking (dat wil zeggen voor a=b), is de hoofdrechthoek een vierkant waarvan de diagonalen loodrecht staan. Daarom staan ​​de asymptoten van een gelijkzijdige hyperbool ook loodrecht, en kunnen ze worden genomen als de coördinaatassen van het rechthoekige coördinatensysteem Ox"y" (Fig. 3.42, b). In dit coördinatensysteem heeft de hyperboolvergelijking de vorm y"=\frac(a^2)(2x")(de hyperbool valt samen met de grafiek van een elementaire functie die een omgekeerd evenredig verband uitdrukt).

Laten we het canonieke coördinatensysteem inderdaad een hoek draaien \varphi=-\frac(\pi)(4)(Afb. 3.42, b). In dit geval zijn de coördinaten van het punt in het oude en nieuwe coördinatensysteem gerelateerd door de gelijkheden

\left\(\!\begin(uitgelijnd)x&=\frac(\sqrt(2))(2)\cdot x"+\frac(\sqrt(2))(2)\cdot y",\\ y& =-\frac(\sqrt(2))(2)\cdot x"+\frac(\sqrt(2))(2)\cdot y"\end(uitgelijnd)\right \quad \Links-rechtspijl \quad \ links \(\!\begin(uitgelijnd)x&=\frac(\sqrt(2))(2)\cdot(x"+y"),\\ y&=\frac(\sqrt(2))(2) \ cdot(y"-x")\end(uitgelijnd)\rechts.

Het vervangen van deze uitdrukkingen in Vgl. \frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(a^2)=1 gelijkzijdige hyperbool en het brengen van soortgelijke termen, krijgen we

\frac(\frac(1)(2)(x"+y")^2)(a^2)-\frac(\frac(1)(2)(y"-x")^2)(a ^2)=1 \quad \Links-rechtspijl \quad 2\cdot x"\cdot y"=a^2 \quad \Links-rechtspijl \quad y"=\frac(a^2)(2\cdot x").

3. De coördinaatassen (van het canonieke coördinatensysteem) zijn de symmetrieassen van de hyperbool (de hoofdassen van de hyperbool genoemd), en het middelpunt ervan is het symmetriecentrum.

Ja, als het punt M(x,y) tot de hyperbool behoort. dan behoren ook de punten M"(x,y) en M""(-x,y), symmetrisch ten opzichte van het punt M ten opzichte van de coördinaatassen, tot dezelfde hyperbool.

De symmetrieas waarop de brandpunten van de hyperbool zich bevinden, is de brandpuntsas.

4. Uit de hyperboolvergelijking in poolcoördinaten r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(zie figuur 3.41, b) de geometrische betekenis van de focusparameter wordt verduidelijkt - dit is de helft van de lengte van het akkoord van de hyperbool dat door zijn focus loodrecht op de focusas gaat (r=p bij \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. Excentriciteit e karakteriseert de vorm van de hyperbool. Hoe groter e, hoe breder de takken van de hyperbool, en hoe dichter e bij één ligt, hoe smaller de takken van de hyperbool (Fig. 3.43, a).

De waarde \gamma van de hoek tussen de asymptoten van de hyperbool die zijn vertakking bevat, wordt bepaald door de verhouding van de zijden van de hoofdrechthoek: \operatornaam(tg)\frac(\gamma)(2)=\frac(b)(2). Als we bedenken dat e=\frac(c)(a) en c^2=a^2+b^2 , krijgen we

e^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2+b^2)(a^2)=1+(\left(\frac(b)(a)\right )\^2=1+\operatorname{tg}^2\frac{\gamma}{2}. !}

Hoe groter e, hoe groter de hoek \gamma. Voor een gelijkzijdige hyperbool (a=b) geldt e=\sqrt(2) en \gamma=\frac(\pi)(2). Voor e>\sqrt(2) is de hoek \gamma stom, en voor 1

6. Twee hyperbolen gedefinieerd in hetzelfde coördinatensysteem door de vergelijkingen \frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1 en worden gebeld met elkaar verbonden. Geconjugeerde hyperbolen hebben dezelfde asymptoten (Fig. 3.43b). Vergelijking van de geconjugeerde hyperbool -\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 wordt teruggebracht tot canoniek door de coördinaatassen te hernoemen (3.38).

7. Vergelijking \frac((x-x_0)^2)(a^2)-\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1 definieert een hyperbool met het middelpunt op punt O"(x_0,y_0), waarvan de assen evenwijdig zijn aan de coördinaatassen (Fig. 3.43, c). Deze vergelijking wordt teruggebracht tot de canonieke vergelijking met behulp van parallelle vertaling (3.36). -\frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1 definieert de geconjugeerde hyperbool met middelpunt op punt O"(x_0,y_0) .

Parametrische hyperboolvergelijking

De parametervergelijking van een hyperbool in het canonieke coördinatensysteem heeft de vorm

\begin(cases)x=a\cdot\operatornaam(ch)t,\\y=b\cdot\operatornaam(sh)t,\end(cases)t\in\mathbb(R),

Waar \operatornaam(ch)t=\frac(e^t+e^(-t))(2)- hyperbolische cosinus, a \operatornaam(sh)t=\frac(e^t-e^(-t))(2) hyperbolische sinus.

Door de coördinaatuitdrukkingen in vergelijking (3.50) te vervangen, komen we inderdaad tot de belangrijkste hyperbolische identiteit \operatornaam(ch)^2t-\operatornaam(sh)^2t=1.

Voorbeeld 3.21. Teken een hyperbool \frac(x^2)(2^2)-\frac(y^2)(3^2)=1 in het canonieke coördinatensysteem Oxy. Vind de halve assen, brandpuntsafstand, excentriciteit, focusparameter, vergelijkingen van asymptoten en richtlijnen.

Oplossing. Door de gegeven vergelijking te vergelijken met de canonieke, bepalen we de halve assen: a=2 - echte halve as, b=3 - denkbeeldige halve as van de hyperbool. We bouwen de hoofdrechthoek met zijden 2a=4,~2b=6, met het middelpunt in de oorsprong (Fig. 3.44). We tekenen asymptoten door de diagonalen van de hoofdrechthoek uit te breiden. We construeren een hyperbool, rekening houdend met de symmetrie ervan ten opzichte van de coördinaatassen. Bepaal indien nodig de coördinaten van enkele punten van de hyperbool. Als we bijvoorbeeld x=4 in de hyperboolvergelijking vervangen, krijgen we:

\frac(4^2)(2^2)-\frac(y^2)(3^2)=1 \quad \Pijl naar links \quad y^2=27 \quad \Pijl naar links \quad y=\pm3\sqrt (3).

Daarom behoren de punten met coördinaten (4;3\sqrt(3)) en (4;-3\sqrt(3)) tot de hyperbool. Berekening van de brandpuntsafstand

2\cdot c=2\cdot\sqrt(a^2+b^2)=2\cdot\sqrt(2^2+3^2)=2\sqrt(13)

excentriciteit e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(13))(2); focale parameter p=\frac(b^2)(a)=\frac(3^2)(2)=4,\!5. We stellen de vergelijkingen van asymptoten samen y=\pm\frac(b)(a)\,x, dat is y=\pm\frac(3)(2)\,x, en de richtlijnvergelijkingen: x=\pm\frac(a^2)(c)=\frac(4)(\sqrt(13)).

Klas 10 . Curven van de tweede orde.

10.1. Ovaal. Canonieke vergelijking. Halve assen, excentriciteit, grafiek.

10.2. Hyperbool. Canonieke vergelijking. Halve assen, excentriciteit, asymptoten, grafiek.

10.3. Parabool. Canonieke vergelijking. Paraboolparameter, grafiek.

Curven van de tweede orde op een vlak zijn lijnen waarvan de impliciete definitie de vorm heeft:

Waar
- gegeven reële getallen,
- coördinaten van de curvepunten. De belangrijkste lijnen onder krommen van de tweede orde zijn de ellips, hyperbool en parabool.

10.1. Ovaal. Canonieke vergelijking. Halve assen, excentriciteit, grafiek.

Definitie van een ellips.Een ellips is een vlakke kromme waarvan de som van de afstanden tot twee vaste punten is
vlak naar welk punt dan ook

(die.). Punten
worden de brandpunten van de ellips genoemd.

Canonische ellipsvergelijking:
. (2)

(of as
) gaat door trucs
, en de oorsprong is het punt - bevindt zich in het midden van het segment
(Figuur 1). Ellips (2) is symmetrisch ten opzichte van de coördinaatassen en de oorsprong (het midden van de ellips). Permanent
,
worden genoemd halve assen van de ellips.

Als de ellips wordt gegeven door vergelijking (2), worden de brandpunten van de ellips als volgt gevonden.

1) Eerst bepalen we waar de brandpunten liggen: de brandpunten liggen op de coördinatenas waarop de grote halve assen zich bevinden.

2) Vervolgens wordt de brandpuntsafstand berekend (afstand van brandpunten tot oorsprong).

Bij
brandpunten liggen op de as
;
;
.

Bij
brandpunten liggen op de as
;
;
.

Excentriciteit ellips wordt de hoeveelheid genoemd: (bij
);(bij
).

Altijd een ellips
. Excentriciteit dient als een kenmerk van de compressie van de ellips.

Als de ellips (2) zo wordt verplaatst dat het midden van de ellips het punt raakt

,
, dan heeft de vergelijking van de resulterende ellips de vorm

.

10.2. Hyperbool. Canonieke vergelijking. Halve assen, excentriciteit, asymptoten, grafiek.

Definitie van hyperbool.Een hyperbool is een vlakke kromme waarin de absolute waarde van het verschil in afstanden tot twee vaste punten is
vlak naar welk punt dan ook
deze curve heeft een constante waarde, onafhankelijk van het punt
(die.). Punten
worden de brandpunten van een hyperbool genoemd.

Canonieke hyperboolvergelijking:
of
. (3)

Deze vergelijking wordt verkregen als de coördinatenas
(of as
) gaat door trucs
, en de oorsprong is het punt - bevindt zich in het midden van het segment
. Hyperbolen (3) zijn symmetrisch ten opzichte van de coördinaatassen en de oorsprong. Permanent
,
worden genoemd halve assen van de hyperbool.

De brandpunten van een hyperbool worden als volgt gevonden.

Bij de hyperbool
brandpunten liggen op de as
:
(Afb. 2.a).

Bij de hyperbool
brandpunten liggen op de as
:
(Afb. 2.b)

Hier - brandpuntsafstand (afstand van de brandpunten tot de oorsprong). Het wordt berekend met de formule:
.

Excentriciteit hyperbool is de hoeveelheid:

(Voor
);(Voor
).

Hyperbool is dat altijd geweest
.

Asymptoten van hyperbolen(3) zijn twee rechte lijnen:
. Beide takken van de hyperbool benaderen de asymptoten onbeperkt met toenemend aantal .

De constructie van een grafiek van een hyperbool moet als volgt worden uitgevoerd: eerst langs de halve assen
we bouwen een hulprechthoek met zijden evenwijdig aan de coördinaatassen; teken vervolgens rechte lijnen door de tegenovergestelde hoekpunten van deze rechthoek, dit zijn de asymptoten van de hyperbool; ten slotte geven we de takken van de hyperbool weer, ze raken de middelpunten van de overeenkomstige zijden van de hulprechthoek en komen dichterbij naarmate ze groeien tot asymptoten (Fig. 2).

Als hyperbolen (3) zo worden verplaatst dat hun middelpunt het punt raakt
, en de halve assen blijven evenwijdig aan de assen
,
, dan wordt de vergelijking van de resulterende hyperbolen in de vorm geschreven

,
.

10.3. Parabool. Canonieke vergelijking. Paraboolparameter, grafiek.

Definitie van een parabool.Een parabool is een vlakke kromme waarvoor, voor elk punt
deze curve is de afstand van
naar een vast punt vlak (het brandpunt van de parabool genoemd) is gelijk aan de afstand tot
naar een vaste rechte lijn in het vlak(de richtlijn van een parabool genoemd) .

Canonieke paraboolvergelijking:
, (4)

Waar - een constante genaamd parameter parabolen.

Punt
parabool (4) wordt het hoekpunt van de parabool genoemd. As
is de symmetrieas. Het brandpunt van de parabool (4) ligt op het punt
, richtlijnvergelijking
. Paraboolgrafieken (4) met betekenissen
En
worden getoond in Afb. respectievelijk 3.a en 3.b.

De vergelijking
definieert ook een parabool in het vlak
, waarvan de assen, vergeleken met parabool (4),
,
van plaats gewisseld.

Als parabool (4) zo wordt verplaatst dat het hoekpunt het punt raakt
, en de symmetrieas blijft evenwijdig aan de as
, dan heeft de vergelijking van de resulterende parabool de vorm

.

Laten we verder gaan met voorbeelden.

voorbeeld 1. De tweede orde curve wordt gegeven door de vergelijking
. Geef een naam aan deze curve. Vind de brandpunten en excentriciteit ervan. Teken een curve en de brandpunten ervan in een vlak
.

Oplossing. Deze curve is een ellips, gecentreerd op het punt
en assen
. Dit kan eenvoudig worden gecontroleerd door te vervangen
. Deze transformatie betekent een overgang van een bepaald Cartesisch coördinatensysteem
naar een nieuw Cartesisch coördinatensysteem
, waarvan de as
evenwijdig aan de assen
,
. Deze coördinatentransformatie wordt een systeemverschuiving genoemd
precies . In het nieuwe coördinatensysteem
de vergelijking van de curve wordt omgezet in de canonieke vergelijking van de ellips
, de grafiek wordt getoond in Fig. 4.

Laten we trucjes vinden.
, dus de trucs
ellips gelegen op de as
.. In het coördinatensysteem
:
. Omdat
, in het oude coördinatensysteem
brandpunten hebben coördinaten.

Voorbeeld 2. Geef de naam van de tweede-orde-curve en geef de grafiek ervan.

Oplossing. Laten we perfecte vierkanten selecteren op basis van termen die variabelen bevatten En .

Nu kan de vergelijking van de curve als volgt worden herschreven:

Daarom is de gegeven curve een ellips, gecentreerd op het punt
en assen
. Met de verkregen informatie kunnen we de grafiek ervan tekenen.

Voorbeeld 3. Geef een naam en grafiek van de lijn
.

Oplossing. . Dit is de canonieke vergelijking van een ellips gecentreerd op het punt
en assen
.

Omdat de,
, concluderen we: de gegeven vergelijking bepaalt op het vlak
de onderste helft van de ellips (Fig. 5).

Voorbeeld 4. Geef de naam van de tweede orde curve
. Vind de focus, excentriciteit. Geef een grafiek van deze curve.

- canonieke vergelijking van een hyperbool met halve assen
.

Brandpuntsafstand.

Het minteken gaat vooraf aan de term met , dus de trucs
hyperbolen liggen op de as
:. De takken van de hyperbool bevinden zich boven en onder de as
.

- excentriciteit van de hyperbool.

Asymptoten van een hyperbool: .

De constructie van een grafiek van deze hyperbool wordt uitgevoerd in overeenstemming met de hierboven beschreven procedure: we bouwen een hulprechthoek, tekenen asymptoten van de hyperbool, tekenen takken van de hyperbool (zie figuur 2.b).

Voorbeeld 5. Zoek uit welk type curve de vergelijking geeft
en plot het.

- hyperbool met middelpunt in een punt
en assen.

Omdat , concluderen we: de gegeven vergelijking bepaalt dat deel van de hyperbool dat rechts van de rechte lijn ligt
. Het is beter om een ​​hyperbool in een hulpcoördinatensysteem te tekenen
, verkregen uit het coördinatensysteem
verschuiving
en markeer vervolgens het gewenste deel van de hyperbool met een dikke lijn

Voorbeeld 6. Ontdek het type curve en teken de grafiek ervan.

Oplossing. Laten we een compleet vierkant selecteren op basis van de termen met de variabele :

Laten we de vergelijking van de curve herschrijven.

Dit is de vergelijking van een parabool waarvan het hoekpunt zich in het punt bevindt
. Met behulp van een verschuivingstransformatie wordt de paraboolvergelijking in de canonieke vorm gebracht
, waaruit duidelijk blijkt dat dit een paraboolparameter is. Focus parabolen in het systeem
heeft coördinaten
,, en in het systeem
(volgens ploegtransformatie). De paraboolgrafiek wordt getoond in Fig. 7.

Huiswerk.

1. Teken ellipsen gegeven door de vergelijkingen:
Vind hun halve assen, brandpuntsafstand, excentriciteit en geef in de grafieken van ellipsen de locaties van hun brandpunten aan.

2. Teken hyperbolen gegeven door de vergelijkingen:
Vind hun halve assen, brandpuntsafstand, excentriciteit en geef op de hyperboolgrafieken de locaties van hun brandpunten aan. Schrijf vergelijkingen voor de asymptoten van de gegeven hyperbolen.

3. Teken parabolen gegeven door de vergelijkingen:
. Zoek hun parameter, brandpuntsafstand en geef in de paraboolgrafieken de locatie van de focus aan.

4. Vergelijking
definieert het tweede orde deel van de curve. Zoek de canonieke vergelijking van deze curve, noteer de naam ervan, teken de grafiek uit en markeer daarop dat deel van de curve dat overeenkomt met de oorspronkelijke vergelijking.