Homogene trigonometrische vergelijkingen: algemeen oplossingsschema. Oplossing van homogene trigonometrische vergelijkingen

downloaden:

Voorbeeld:

Niet-lineaire vergelijkingen in twee onbekenden

lineair

Stelsels van twee vergelijkingen, waarvan er één homogeen is

Voorbeelden van het oplossen van stelsels van vergelijkingen van andere typen

Homogene trigonometrische vergelijking van de eerste graad

Eerste voorbeeld. Oplossing van een homogene trigonometrische vergelijking van de eerste graad

Homogene trigonometrische vergelijking van de tweede graad

Tweede voorbeeld. Oplossing van een homogene trigonometrische vergelijking van de tweede graad

Derde voorbeeld. Oplossing van een homogene trigonometrische vergelijking van de tweede graad

Trainingstaken

Geld

Lessoort: uitleg van nieuwe stof. Er wordt gewerkt in groepen. Elke groep heeft een deskundige die het werk van de studenten begeleidt en aanstuurt. Helpt zwakke leerlingen om in hun kracht te geloven bij het oplossen van deze vergelijkingen.

Gerelateerde les

" Homogene trigonometrische vergelijkingen"

(10e leerjaar)

Doelwit:

het concept van homogene trigonometrische vergelijkingen van I- en II-graden introduceren;
formuleren en uitwerken van een algoritme voor het oplossen van homogene trigonometrische vergelijkingen van I en II graden;
studenten leren homogene trigonometrische vergelijkingen van I- en II-graden op te lossen;
het vermogen ontwikkelen om patronen te identificeren, te generaliseren;
interesse in het onderwerp stimuleren, een gevoel van solidariteit en gezonde rivaliteit ontwikkelen.

Lestype : een les in de vorming van nieuwe kennis.

Gedragsformulier: werk in groepen.

Apparatuur: computer, multimedia-installatie

Tijdens de lessen

I. Organisatorisch moment

In de les een beoordelingssysteem voor het beoordelen van kennis (de docent legt het systeem voor het beoordelen van kennis uit en vult het beoordelingsblad in door een onafhankelijke deskundige die door de docent uit de studenten is geselecteerd). De les gaat gepaard met een presentatie. Bijlage 1.

Evaluatieblad nr.

II. Bijwerken van basiskennis..

We vervolgen onze studie van het onderwerp "Trigonometrische vergelijkingen". Vandaag zullen we je in de les leren kennen met een ander type trigonometrische vergelijkingen en methoden om ze op te lossen, en daarom zullen we herhalen wat we hebben geleerd. Alle soorten trigonometrische vergelijkingen worden, wanneer ze zijn opgelost, gereduceerd tot het oplossen van de eenvoudigste trigonometrische vergelijkingen. Laten we ons de belangrijkste typen van de eenvoudigste trigonometrische vergelijkingen herinneren. Gebruik de pijlen om de uitdrukkingen te matchen.

III. Motivatie om te leren.

We moeten werken aan het oplossen van een kruiswoordpuzzel. Als we het hebben opgelost, leren we de naam van een nieuw type vergelijkingen dat we vandaag in de les zullen leren oplossen.

Vragen worden op het bord geprojecteerd. De leerlingen raden, een onafhankelijke deskundige noteert punten op het scoreblad voor de leerlingen die antwoorden.

Nadat de kruiswoordpuzzel is opgelost, zullen de jongens het woord "homogeen" lezen.

Kruiswoordraadsel.

Als u de juiste woorden invoert, krijgt u de naam van een van de soorten trigonometrische vergelijkingen.

1. De waarde van de variabele die de vergelijking in een echte gelijkheid verandert? (Wortel)

2. Maateenheid voor hoeken? (radiaal)

3. Numerieke vermenigvuldiger in het product? (Coëfficiënt)

4. Een deel van de wiskunde dat trigonometrische functies bestudeert? (Trigonometrie)

5.Wat? wiskundig model nodig om te introduceren trigonometrische functies? (Cirkel)

6. Welke van de goniometrische functies is even? (Cosinus)

7. Wat is de naam van de ware gelijkheid? (Identiteit)

8.Gelijkheid met een variabele? (De vergelijking)

9. Vergelijkingen met dezelfde wortels? (gelijkwaardig)

10. Set wortels van de vergelijking? (Oplossing)

IV. Uitleg van nieuw materiaal.

Het onderwerp van de les is "Homogene trigonometrische vergelijkingen". (Presentatie)

Voorbeelden:

sin x + cos x = 0
√3cos x + sin x = 0
sin4x = cos4x
2sin 2 x + 3 sin x cos x + cos 2 x = 0
4 zonde 2 x – 5 sin x cos x – 6 cos 2x = 0
zonde 2 x + 2 zonde x cos x - 3 cos 2 x + 2 = 0
4sin 2 x – 8 sin x cos x + 10 cos 2 x = 3
1 + 7cos 2 x = 3 zonde 2x
sin2x + 2cos2x = 1

V. Zelfstandig werk

Taken: de kennis van studenten uitgebreid testen bij het oplossen van alle soorten trigonometrische vergelijkingen, studenten aanmoedigen tot introspectie, zelfbeheersing.
Studenten worden gevraagd om 10 minuten schriftelijk werk te maken.
De leerlingen spelen op blanco vellen papier om te kopiëren. Aan het einde van de tijd worden toppen verzameld onafhankelijk werk, en de oplossingen voor het kopiëren blijven bij de leerlingen.
Controle zelfstandig werk (3 min) geschiedt door onderlinge controle.
. De leerlingen controleren het geschreven werk van hun buurman met een gekleurde pen en noteren de naam van de verificateur. Geef dan de bladeren af.

Daarna worden ze overgedragen aan een onafhankelijke deskundige.

Optie 1: 1) sin x = √3cos x

2) 3sin 2 x - 7sin x cos x + 2 cos 2 x = 0

3) 3sin x – 2sin x cos x = 1

4) sin2x⁄sinx=0

Optie 2: 1) cosx + √3sin x = 0

2) 2sin 2 x + 3sin x cos x – 2 cos 2 x = 0

3)1 + zonde 2 x = 2 zonde x cos x

4) cos 2x ⁄ cos x = 0

VI. De les samenvatten

VII. Huiswerk:

Huiswerk - 12 punten (3 vergelijkingen 4 x 3 = 12 werden gegeven voor huiswerk)

Studentenactiviteit - 1 antwoord - 1 punt (maximaal 4 punten)

Vergelijkingen oplossen 1 punt

Zelfstandig werk - 4 punten

Definitie 1 . Laat A wat zijn reeks getallenparen (x; ja). Er wordt gezegd dat de verzameling A wordt gegeven numerieke functie z van twee variabelen x en y , als er een regel is gespecificeerd, met behulp waarvan een bepaald nummer wordt toegewezen aan elk paar nummers uit de set A.

Het specificeren van een numerieke functie z van twee variabelen x en y is vaak aanwijzen Dus:

waar f (x , ja) - elke andere functie dan de functie

f (x , ja) = bijl+door+c ,

waarbij a, b, c getallen zijn gegeven.

Definitie 3 . Vergelijking (2) oplossing noem een paar cijfers x; ja), waarvoor formule (2) een echte gelijkheid is.

Voorbeeld 1 . los De vergelijking op

Aangezien het kwadraat van een willekeurig getal niet-negatief is, volgt uit formule (4) dat de onbekenden x en y voldoen aan het stelsel vergelijkingen

waarvan de oplossing een getallenpaar is (6 ; 3) .

Antwoord: (6; 3)

Voorbeeld 2 . los De vergelijking op

Daarom is de oplossing van vergelijking (6) een oneindig aantal paren getallen vriendelijk

(1 + ja ; ja) ,

waarbij y een willekeurig getal is.

Definitie 4 . Het stelsel vergelijkingen oplossen

noem een paar cijfers x; ja), door ze in elk van de vergelijkingen van dit systeem te substitueren, krijgen we de juiste gelijkheid.

Stelsels van twee vergelijkingen, waarvan er één lineair is, hebben de vorm

g(x , ja)

Voorbeeld 4 . Los een stelsel vergelijkingen op

Oplossing . Laten we de onbekende y uitdrukken in termen van de onbekende x uit de eerste vergelijking van systeem (7) en de resulterende uitdrukking vervangen door de tweede vergelijking van het systeem:

De vergelijking oplossen

x 1 = - 1 , x 2 = 9 .

Vervolgens,

ja 1 = 8 - x 1 = 9 ,
ja 2 = 8 - x 2 = - 1 .

Stelsels van twee vergelijkingen, waarvan er één homogeen is, hebben de vorm

waarbij a , b , c getallen zijn, en g(x , ja) is een functie van twee variabelen x en y .

Voorbeeld 6 . Los een stelsel vergelijkingen op

Oplossing . Laten we de homogene vergelijking oplossen

3x 2 + 2xy - ja 2 = 0 ,

3x 2 + 17xy + 10ja 2 = 0 ,

behandelen als een kwadratische vergelijking met betrekking tot de onbekende x:

In het geval wanneer x = - 5ja, uit de tweede vergelijking van systeem (11) verkrijgen we de vergelijking

5ja 2 = - 20 ,

die geen wortels heeft.

In het geval wanneer

uit de tweede vergelijking van stelsel (11) verkrijgen we de vergelijking

wiens wortels getallen zijn ja 1 = 3 , ja 2 = - 3 . Als we voor elk van deze waarden y de corresponderende waarde x vinden, krijgen we twee oplossingen voor het systeem: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3 ).

Antwoord: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3)

Voorbeeld 8 . Los het stelsel vergelijkingen op (MIPT)

Oplossing . We introduceren nieuwe onbekenden u en v , die worden uitgedrukt in termen van x en y door de formules:

Om systeem (12) te herschrijven in termen van nieuwe onbekenden, drukken we eerst de onbekenden x en y uit in termen van u en v . Uit systeem (13) volgt dat:

We lossen het lineaire stelsel (14) op door de variabele x uit de tweede vergelijking van dit stelsel uit te sluiten. Hiertoe voeren we de volgende transformaties uit op systeem (14):

we laten de eerste vergelijking van het systeem ongewijzigd;
trek de eerste vergelijking van de tweede vergelijking af en vervang de tweede vergelijking van het systeem door het resulterende verschil.

Als resultaat wordt systeem (14) getransformeerd in een equivalent systeem

waarvan we vinden

Met behulp van formules (13) en (15) herschrijven we het oorspronkelijke systeem (12) als

De eerste vergelijking van systeem (16) is lineair, dus we kunnen de onbekende u ervan uitdrukken in termen van de onbekende v en deze uitdrukking vervangen door de tweede vergelijking van het systeem.

Met behulp van deze videoles kunnen studenten het onderwerp van homogene trigonometrische vergelijkingen bestuderen.

Laten we definities geven:

1) een homogene trigonometrische vergelijking van de eerste graad ziet eruit als een sin x + b cos x = 0;

2) een homogene trigonometrische vergelijking van de tweede graad ziet eruit als a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0.

Beschouw de vergelijking a sin x + b cos x = 0. Als a nul is, dan ziet de vergelijking eruit als b cos x = 0; als b nul is, ziet de vergelijking eruit als een sin x = 0. Dit zijn de vergelijkingen die we de eenvoudigste noemden en die we eerder in vorige onderwerpen hebben opgelost.

Beschouw nu de optie als a en b niet gelijk zijn aan nul. Door de delen van de vergelijking te delen door de cosinus x en we zullen de transformatie uitvoeren. We krijgen een tg x + b = 0, dan is tg x gelijk aan - b/a.

Uit het bovenstaande volgt dat de vergelijking a sin mx + b cos mx = 0 een homogene trigonometrische vergelijking van de eerste graad is. Om een vergelijking op te lossen, deelt u de delen ervan door cos mx.

Laten we voorbeeld 1 analyseren. Los 7 sin (x / 2) - 5 cos (x / 2) = 0 op. Deel eerst de delen van de vergelijking door cosinus (x / 2). Wetende dat de sinus gedeeld door de cosinus de tangens is, krijgen we 7 tg (x / 2) - 5 = 0. Door de uitdrukking te transformeren, vinden we dat de waarde van de tangens (x / 2) 5/7 is. De oplossing van deze vergelijking is x = arctan a + πn, in ons geval x = 2 arctan (5/7) + 2πn.

Beschouw de vergelijking a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0:

1) met een gelijk aan nul, ziet de vergelijking eruit als b sin x cos x + c cos 2 x = 0. Als we transformeren, krijgen we de uitdrukking cos x (b sin x + c cos x) = 0 en gaan we verder met de oplossing van twee vergelijkingen. Na het delen van de delen van de vergelijking door de cosinus x, krijgen we b tg x + c = 0, wat tg x = - c/b betekent. Wetende dat x \u003d arctg a + πn, dan is de oplossing in deze zaak zal x \u003d arctg (- c / b) + n zijn.

2) als a niet gelijk is aan nul, dan krijgen we, door de delen van de vergelijking te delen door de cosinus in het kwadraat, een vergelijking die een raaklijn bevat, die vierkant zal zijn. Deze vergelijking kan worden opgelost door een nieuwe variabele in te voeren.

3) als c gelijk is aan nul, heeft de vergelijking de vorm a sin 2 x + b sin x cos x = 0. Deze vergelijking kan worden opgelost door de sinus van x uit het haakje te halen.

1. kijk of er een zonde 2 x in de vergelijking staat;

2. als de term a sin 2 x in de vergelijking voorkomt, dan kan de vergelijking worden opgelost door beide delen te delen door het kwadraat van de cosinus en dan een nieuwe variabele in te voeren.

3. als de vergelijking a sin 2 x niet bevat, dan kan de vergelijking worden opgelost door de haakjes cosx weg te halen.

Beschouw voorbeeld 2. We halen de cosinus eruit en krijgen twee vergelijkingen. De wortel van de eerste vergelijking is x = π/2 + πn. Om de tweede vergelijking op te lossen delen we de delen van deze vergelijking door de cosinus x, door middel van transformaties krijgen we x = π/3 + πn. Antwoord: x = π/2 + πn en x = π/3 + πn.

Laten we voorbeeld 3 oplossen, een vergelijking van de vorm 3 sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + 3 cos 2 2x = 2 en de wortels vinden die bij het segment van - π tot π horen. Omdat Aangezien deze vergelijking niet-homogeen is, is het noodzakelijk deze tot een homogene vorm te reduceren. Met behulp van de formule sin 2 x + cos 2 x = 1, krijgen we de vergelijking sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + cos 2 2x = 0. Als we alle delen van de vergelijking delen door cos 2 x, krijgen we tg 2 2x + 2tg 2x + 1 = 0 Door de introductie van een nieuwe variabele z = tg 2x, lossen we de vergelijking op waarvan de wortel z = 1. Dan tg 2x = 1, wat impliceert dat x = π/8 + (πn)/2. Omdat volgens de toestand van het probleem, moet je de wortels vinden die bij het segment van - π tot π horen, de oplossing ziet er als volgt uit - π< x <π. Подставляя найденное значение x в данное выражение и преобразовывая его, получим - 2,25 < n < 1,75. Т.к. n - это целые числа, то решению уравнения удовлетворяют значения n: - 2; - 1; 0; 1. При этих значениях n получим корни решения исходного уравнения: x = (- 7π)/8, x = (- 3π)/8, x =π/8, x = 5π/8.

TEKST INTERPRETATIE:

Homogene trigonometrische vergelijkingen

Vandaag zullen we analyseren hoe de "homogene trigonometrische vergelijkingen" worden opgelost. Dit zijn vergelijkingen van een speciaal soort.

Laten we kennis maken met de definitie.

Typ vergelijking en sinx+bomdatx = 0 (en sinus x plus cosinus x is nul) wordt een homogene trigonometrische vergelijking van de eerste graad genoemd;

vergelijking van de vorm een zonde 2 x+bzonde xomdatx+comdat 2 x= 0 (en sinus x plus be sinus x cosinus x plus se cosinus kwadraat x is gelijk aan nul) wordt een homogene trigonometrische vergelijking van de tweede graad genoemd.

Als een a=0, dan zal de vergelijking de vorm aannemen bomdatx = 0.

Als een b = 0 , dan krijgen we en zonde x = 0.

Deze vergelijkingen zijn elementair trigonometrisch en we hebben hun oplossing overwogen in onze vorige onderwerpen

Beschouwen het geval wanneer beide coëfficiënten niet nul zijn. Deel beide kanten van de vergelijking azondex+ bomdatx = 0 termijn voor termijn op omdatx.

We kunnen dit doen, aangezien cosinus x niet nul is. Immers, als omdatx = 0 , dan de vergelijking azondex+ bomdatx = 0 zal de vorm aannemen azondex = 0 , a≠ 0, dus zondex = 0 . Wat onmogelijk is, omdat volgens de trigonometrische basisidentiteit zonde 2x+omdat 2 x=1 .

Beide kanten van de vergelijking delen azondex+ bomdatx = 0 termijn voor termijn op omdatx, we krijgen: + =0

Laten we de transformaties maken:

1. Sinds = tg x, dan =en tg x

2 verminderen met omdatx, dan

Zo krijgen we de volgende uitdrukking en tg x + b =0.

Laten we de transformatie doen:

1. Verplaats b naar de rechterkant van de uitdrukking met het tegenovergestelde teken

en tg x \u003d - b

2. Weg met de vermenigvuldiger en beide zijden van de vergelijking delen door a

tg x= -.

Conclusie: een vergelijking van de vorm en zondemx+bomdatmx = 0 (en de sinus em x plus de cosinus em x is nul) wordt ook wel een homogene trigonometrische vergelijking van de eerste graad genoemd. Om het op te lossen, deel je beide zijden door omdatmx.

VOORBEELD 1. Los de vergelijking 7 sin - 5 cos \u003d 0 op (zeven sinus x bij twee minus vijf cosinus x bij twee is nul)

Oplossing. We delen beide delen van de vergelijking term voor term door cos, we krijgen

1. \u003d 7 tg (aangezien de verhouding van sinus tot cosinus tangens is, is zeven sinus x door twee gedeeld door cosinus x door twee gelijk aan 7 tangens x door twee)

2. -5 = -5 (afgekort cos)

Zo kregen we de vergelijking:

7tg - 5 = 0, laten we de uitdrukking transformeren, min vijf naar rechts verplaatsen, het teken veranderen.

We hebben de vergelijking teruggebracht tot de vorm tg t = a, waarbij t=, a =. En aangezien deze vergelijking een oplossing heeft voor elke waarde a en deze oplossingen zien eruit als:

x \u003d arctg a + πn, dan ziet de oplossing van onze vergelijking er als volgt uit:

Arctg + n, vind x

x \u003d 2 arctan + 2πn.

Antwoord: x \u003d 2 arctg + 2πn.

Laten we verder gaan met een homogene trigonometrische vergelijking van de tweede graad

azonde 2 x+b zonde x cos x +Metcos2 x= 0.

Laten we verschillende gevallen bekijken.

ik. Als a=0, dan zal de vergelijking de vorm aannemen bzondexomdatx+comdat 2 x= 0.

Bij het oplossen van e dan gebruiken we de factorisatiemethode van de vergelijkingen. Laten we eruit halen omdatx haakjes en we krijgen: omdatx(bzondex+comdatx)= 0 . Waar omdatx= 0 of

b zonde x +Metomdat x= 0. En we weten al hoe we deze vergelijkingen moeten oplossen.

We delen beide delen van de vergelijking term voor term door cosx, we krijgen

1 (omdat de verhouding van sinus tot cosinus de tangens is).

Zo krijgen we de vergelijking: b tg x+c=0

We hebben de vergelijking teruggebracht tot de vorm tg t = a, waarbij t= x, a =. En aangezien deze vergelijking een oplossing heeft voor elke waarde a en deze oplossingen zien eruit als:

x \u003d arctg a + πn, dan is de oplossing van onze vergelijking:

x \u003d arctg + n, .

II. Als een a≠0, dan delen we beide delen van de vergelijking term voor term in omdat 2 x.

(Dezelfde redenering, zoals in het geval van een homogene trigonometrische vergelijking van de eerste graad, cosinus x kan niet verdwijnen).

III. Als een c=0, dan zal de vergelijking de vorm aannemen azonde 2 x+ bzondexomdatx= 0. Deze vergelijking wordt opgelost door de factorisatiemethode (take out zondex voor beugels).

Dus, bij het oplossen van de vergelijking azonde 2 x+ bzondexomdatx+comdat 2 x= 0 je kunt het algoritme volgen:

VOORBEELD 2. Los de vergelijking sinxcosx - cos 2 x= 0 op (sinus x maal cosinus x minus de wortel van drie maal cosinus kwadraat x is gelijk aan nul).

Oplossing. Laten we factoriseren (bracket cosx). Krijgen

cos x(sin x - cos x)= 0, d.w.z. cos x=0 of sin x - cos x= 0.

Antwoord: x \u003d + n, x \u003d + n.

VOORBEELD 3. Los de vergelijking 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 op (drie sinus kwadraat van twee x minus tweemaal het product van de sinus van twee x en de cosinus van twee x plus drie cosinus kwadraat van twee x) en vind de wortels die behoren tot het interval (- π; π).

Oplossing. Deze vergelijking is niet homogeen, dus we zullen transformaties uitvoeren. Het getal 2 aan de rechterkant van de vergelijking wordt vervangen door het product 2 1

Omdat, volgens de trigonometrische basisidentiteit, sin 2 x + cos 2 x \u003d 1, dan

2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = door de haakjes te openen krijgen we: 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

2 ∙ 1= 2 ∙ (zonde 2 x + cos 2 x) =2 zonde 2 x + 2 cos 2 x

Dus de vergelijking 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 zal de vorm aannemen:

3sin 2 2x - 2sin 2x cos2 x +3cos 2 2x = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x - 2 sin 2 x - 2 cos 2 x=0,

sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x + cos 2 2x =0.

We hebben een homogene trigonometrische vergelijking van de tweede graad verkregen. Laten we de term-voor-term deling door cos 2 2x toepassen:

tg 2 2x - 2tg 2x + 1 = 0.

Laten we een nieuwe variabele z= tg2x introduceren.

We hebben z 2 - 2 z + 1 = 0. Dit is kwadratische vergelijking. Als we de verkorte vermenigvuldigingsformule aan de linkerkant zien - het kwadraat van het verschil (), krijgen we (z - 1) 2 = 0, d.w.z. z = 1. Laten we terugkeren naar de omgekeerde vervanging:

We hebben de vergelijking teruggebracht tot de vorm tg t \u003d a, waarbij t \u003d 2x, a \u003d 1. En aangezien deze vergelijking een oplossing heeft voor elke waarde a en deze oplossingen zien eruit als:

x \u003d arctg x a + πn, dan is de oplossing van onze vergelijking:

2x \u003d arctg1 + n,

x \u003d + , (x is gelijk aan de som van pi maal acht en pi en maal twee).

Het blijft aan ons om dergelijke waarden van x te vinden die in het interval zitten

(- π; π), d.w.z. voldoen aan de dubbele ongelijkheid - π x π. Omdat

x= + , dan - π + . Deel alle delen van deze ongelijkheid door π en vermenigvuldig met 8, we krijgen

verplaats de eenheid naar rechts en naar links, verander het teken in min één

delen door vier krijgen we

voor het gemak selecteren we in breuken gehele delen

Aan deze ongelijkheid wordt voldaan door het volgende gehele getal n: -2, -1, 0, 1

Het laatste detail over het oplossen van taken C1 van het examen in wiskunde - oplossing van homogene trigonometrische vergelijkingen. Hoe je ze oplost, vertellen we je in deze laatste les.

Wat zijn deze vergelijkingen? Laten we ze in algemene termen opschrijven.

$$a\sin x + b\cos x = 0,$$

waarbij `a` en `b` enkele constanten zijn. Deze vergelijking wordt een homogene trigonometrische vergelijking van de eerste graad genoemd.

Om zo'n vergelijking op te lossen, moet je deze delen door `\cos x`. Dan zal het de vorm aannemen

$$\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))) a \tg x + b = 0.$$

Het antwoord op een dergelijke vergelijking is gemakkelijk te schrijven in termen van de boogtangens.

Merk op dat `\cos x ≠0`. Om dit te verifiëren, vervangen we nul in plaats van cosinus in de vergelijking en krijgen we dat de sinus ook gelijk moet zijn aan nul. Ze kunnen echter niet tegelijkertijd gelijk zijn aan nul, wat betekent dat de cosinus niet nul is.

Sommige taken van het echte examen van dit jaar werden teruggebracht tot een homogene trigonometrische vergelijking. Volg de link naar. Laten we een enigszins vereenvoudigde versie van het probleem nemen.

$$\sin x + \cos x = 0.$$

Deel door `\cos x`.

$$\tg x + 1 = 0,$$

$$x = -\frac(\pi)(4)+\pi k.$$

Ik herhaal, een soortgelijke taak stond op het examen :) natuurlijk moet je nog steeds de wortels selecteren, maar dit zou ook geen bijzondere problemen moeten opleveren.

Laten we nu verder gaan met het volgende type vergelijking.

In het algemeen ziet het er als volgt uit:

$$a\sin^2 x + b\sin x \cos x + c\cos^2 x =0,$$

waarbij 'a, b, c' enkele constanten zijn.

Dergelijke vergelijkingen worden opgelost door te delen door `\cos^2 x` (wat weer niet nul is). Laten we meteen een voorbeeld bekijken.

$$\sin^2 x - 2\sin x \, \cos x - 3\cos^2 x = 0.$$

Deel door `\cos^2 x`.

$$(\tg)^2 x - 2\tg x -3 =0.$$

Vervang `t = \tg x`.

$$t^2 - 2t -3 = 0,$$

$$t_1 = 3, \t_2 = -1.$$

Omgekeerde vervanging:

$$\tg x = 3, \text( of ) \tg x = -1,$$

$$x = \arctan(3)+\pi k, \text( of ) x= -\frac(\pi)(4)+ \pi k.$$

Antwoord ontvangen.

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2.$$

Alles zou goed zijn, maar deze vergelijking is niet homogeen - we worden gehinderd door `-2` aan de rechterkant. Wat moeten we doen? Laten we de trigonometrische basisidentiteit gebruiken en '-2' ermee schrijven.

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2(\sin^2 x + \cos^2 x ),$$

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x + 2\sin^2 x + 2\cos^2 x = 0,$$

$$\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - \cos^2 x = 0.$$

Deel door `\cos^2 x`.

$$(\tg)^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3) \tg x - 1 = 0,$$

Vervanging van `t= \tg x`.

$$t^2 + \frac(2\sqrt(2))(3) t - 1 = 0,$$

$$t_1 = \frac(\sqrt(3))(3),\ t_2 = -\sqrt(3).$$

Als we de omgekeerde vervanging maken, krijgen we:

$$\tg x = \frac(\sqrt(3))(3) \text( of ) \tg x = -\sqrt(3).$$

$$x =-\frac(\pi)(3) + \pi k,\ x = \frac(\pi)(6)+ \pi k.$$

Dit is het laatste voorbeeld in deze tutorial.

Zoals gewoonlijk wil ik je eraan herinneren: training is ons alles. Hoe briljant iemand ook is, vaardigheden ontwikkelen zich niet zonder training. Bij een examen is dit beladen met spanning, fouten, tijdverspilling (vervolg deze lijst zelf). Ga zeker aan de slag!

Achternaam voornaam

cognitieve activiteit

Vergelijkingen oplossen

Onafhankelijk
Werk

Los de vergelijkingen op:

`10^(\sin x) = 2^(\sin x) \cdot 5^(-\cos x)`. Dit is een taak uit het echte Unified State Examination 2013. Niemand heeft de kennis van de eigenschappen van de graden geannuleerd, maar als je het vergeten bent, piep;
`\sqrt(3) \sin x + \sin^2 \frac(x)(2) = \cos^2 \frac(x)(2)`. Handige formule uit de zevende les.
`\sqrt(3) \sin 2x + 3 \cos 2x = 0`.

Dat is alles. En zoals gewoonlijk, op het einde: stel vragen in de comments, plaats likes, bekijk video's, leer hoe je het examen oplost.

"De grootsheid van een man ligt in zijn vermogen om te denken."
Blaise Pascal.

Lesdoelen:

1) Leerzaam- studenten kennis laten maken met homogene vergelijkingen, methoden voor het oplossen ervan overwegen, bijdragen aan de vorming van vaardigheden voor het oplossen van eerder bestudeerde typen trigonometrische vergelijkingen.

2) Leerzaam- om de creatieve activiteit van studenten te ontwikkelen, hun cognitieve activiteit, logisch denken, geheugen, het vermogen om in een probleemsituatie te werken, het vermogen te bereiken om hun gedachten correct, consistent en rationeel uit te drukken, de horizon van studenten te verbreden, te verhogen het niveau van hun wiskundige cultuur.

3) Leerzaam- het verlangen naar zelfverbetering en hard werken cultiveren, het vermogen vormen om op competente en nauwkeurige wijze wiskundige gegevens uit te voeren, activiteit te cultiveren, belangstelling voor wiskunde te bevorderen.

Soort les: gecombineerd.

Apparatuur:

Ponskaarten voor zes leerlingen.
Kaarten voor zelfstandig en individueel werk van studenten.
Staat "Oplossing van trigonometrische vergelijkingen", "Numerieke eenheidscirkel".
Geëlektrificeerde tabellen op trigonometrie.
Presentatie voor de les (Bijlage 1).

Tijdens de lessen

1. Organisatorische fase (2 minuten)

wederzijdse begroeting; het controleren van de bereidheid van studenten voor de les (werkplek, uiterlijk); aandacht organiseren.

De leraar vertelt de leerlingen het onderwerp van de les (dia 2) en legt uit dat de hand-out die op de tafels ligt tijdens de les gebruikt zal worden.

2. Herhaling van theoretische stof (15 minuten)

Taken op ponskaarten(6 personen) . Werktijd op ponskaarten - 10 min (Bijlage 2)

Door het oplossen van taken leren de studenten waar trigonometrische berekeningen worden toegepast. De volgende antwoorden worden verkregen: triangulatie (een techniek waarmee in de astronomie afstanden tot nabije sterren kunnen worden gemeten), akoestiek, ultrageluid, tomografie, geodesie, cryptografie.

(dia 5)

voorste peiling.

Welke vergelijkingen worden trigonometrische genoemd?
Welke soorten trigonometrische vergelijkingen ken je?
Welke vergelijkingen worden de eenvoudigste trigonometrische vergelijkingen genoemd?
Welke vergelijkingen worden kwadratische trigonometrische genoemd?
Formuleer de definitie van de boogsinus van a.
Formuleer de definitie van de boogcosinus van a.
Formuleer de definitie van de boogtangens van a.
Formuleer de definitie van de inverse tangens van a.

Spel "Raad het cijferwoord"

Blaise Pascal zei ooit dat wiskunde zo'n serieuze wetenschap is dat je geen kans mag missen om het wat leuker te maken. Dus ik raad je aan om te spelen. Bepaal na het oplossen van de voorbeelden uit welke reeks cijfers het versleutelde woord bestaat. In het Latijn betekent dit woord "sinus". (dia 3)

2) arctan (-√3)

4) tg(arc cos(1/2))

5) tg (boog ctg √3)

Antwoord: "Buigen"

Het spel "Verspreide wiskundige"»

Taken voor mondeling werk worden op het scherm geprojecteerd:

Controleer de juistheid van de oplossing van de vergelijkingen.(het juiste antwoord verschijnt op de dia na het antwoord van de leerling). (dia 4)

	Antwoorden met fouten	juiste antwoorden
	x = ± π/6+2πn	x = ± π/3+2πn
	x = π/3+πn	X = (-1) nπ/3+πn
tg x = π/4	x = 1 +πn	tg x \u003d 1, x \u003d π / 4 + πn
	x = ±π/6+ π n	x = ± π/6+2πn
	x \u003d (-1) n arcsin1 / 3 + 2πn	x \u003d (-1) n arcsin1 / 3 + pn
	x = ± π/6+2πn	x = ± 5π/6+2πn
cos x = π/3	x = ± 1/2 +2πn	cos x = 1/2, x = ± π/3+2πn

Huiswerk nakijken.

De leraar stelt de juistheid en het bewustzijn van het huiswerk door alle studenten vast; identificeert hiaten in kennis; verbetert de kennis, vaardigheden en capaciteiten van studenten op het gebied van het oplossen van de eenvoudigste trigonometrische vergelijkingen.

1 vergelijking. De student becommentarieert de oplossing van de vergelijking, waarvan de lijnen op de dia verschijnen in de volgorde van de opmerking). (dia 6)

√3tg2x = 1;

tg2x=1/√3;

2х= arctg 1/√3 +πn, n ∈Z.

2x \u003d / 6 + n, n ∈Z.

x \u003d π / 12 + π/2 n, n ∈Z.

2 vergelijking. Oplossing h aan de leerlingen op het bord geschreven.

2 zonde 2 x + 3 cosx = 0.

3. Actualisering van nieuwe kennis (3 minuten)

De leerlingen herinneren zich op verzoek van de leraar manieren om trigonometrische vergelijkingen op te lossen. Ze kiezen die vergelijkingen die ze al weten op te lossen, noem de methode om de vergelijking op te lossen en het resultaat . De antwoorden verschijnen op de dia. (dia 7) .

Introductie van een nieuwe variabele:

nr. 1. 2sin 2x - 7sinx + 3 = 0.

Laat sinx = t, dan:

2t 2 – 7t + 3 = 0.

Factorisatie:

№2. 3sinx cos4x – cos4x = 0;

cos4x(3sinx - 1) = 0;

cos4x = 0 of 3 sinx - 1 = 0; …

Nummer 3. 2 sinx - 3 cosx = 0,

Nummer 4. 3 sin 2 x - 4 sinx cosx + cos 2 x \u003d 0.

Docent: Je weet nog niet hoe je de laatste twee soorten vergelijkingen moet oplossen. Beide zijn van hetzelfde type. Ze kunnen niet worden gereduceerd tot een vergelijking voor de sinx- of cosx-functies. Worden genoemd homogene trigonometrische vergelijkingen. Maar alleen de eerste is een homogene vergelijking van de eerste graad, en de tweede is een homogene vergelijking van de tweede graad. Vandaag maakt u in de les kennis met dergelijke vergelijkingen en leert u hoe u ze kunt oplossen.

4. Uitleg over nieuwe stof (25 minuten)

De leraar geeft studenten de definities van homogene trigonometrische vergelijkingen, introduceert de manieren om ze op te lossen.

Definitie. Een vergelijking van de vorm a sinx + b cosx =0, waarbij a ≠ 0, b ≠ 0 wordt genoemd homogene trigonometrische vergelijking van de eerste graad.(dia 8)

Een voorbeeld van zo'n vergelijking is vergelijking #3. Laten we de algemene vorm van de vergelijking opschrijven en analyseren.

en sinx + b cosx = 0.

Als cosx = 0, dan is sinx = 0.

– Kan een dergelijke situatie zich voordoen?

- Niet. We hebben een tegenspraak met de trigonometrische basisidentiteit verkregen.

Vandaar cosx ≠ 0. Laten we term-voor-term delen door cosx:

een tgx + b = 0

tgx = -b / a is de eenvoudigste trigonometrische vergelijking.

Conclusie: Homogene trigonometrische vergelijkingen van de eerste graad worden opgelost door beide zijden van de vergelijking te delen door cosx (sinx).

Bijvoorbeeld: 2 sinx - 3 cosx = 0,

Omdat cosx ≠ 0, dan

tgx = 3/2 ;

x = arctg (3/2) + πn, n ∈Z.

Definitie. Een vergelijking van de vorm a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0 , waarbij a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 wordt genoemd trigonometrische vergelijking van de tweede graad. (dia 8)

Een voorbeeld van zo'n vergelijking is vergelijking #4. Laten we de algemene vorm van de vergelijking opschrijven en analyseren.

a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0.

Als cosx = 0, dan is sinx = 0.

Wederom hebben we een tegenstrijdigheid met de trigonometrische basisidentiteit.

Vandaar cosx ≠ 0. Laten we term-voor-term delen door cos 2 x:

en tg 2 x + b tgx + c = 0 is een kwadratische vergelijking.

Conclusie: Oh homogene trigonometrische vergelijkingen van de tweede graad worden opgelost door beide zijden van de vergelijking te delen door cos 2 x (sin 2 x).

Bijvoorbeeld: 3 sin 2 x - 4 sinx cosx + cos 2 x \u003d 0.

Omdat cos 2 x ≠ 0, dan

3tg 2 x - 4 tgx + 1 = 0 (Nodig de leerling uit om naar het bord te gaan en de vergelijking zelf in te vullen).

Vervanging: tgx = y. 3j 2 - 4j + 1 = 0

D = 16 - 12 = 4

y 1 = 1 of y 2 = 1/3

tgx=1 of tgx=1/3

x = arctg (1/3) + πn, n ∈Z.

x = arctg1 + πn, n ∈Z.

x = π/4 + πn, n ∈Z.

5. Fase waarin wordt gecontroleerd of leerlingen nieuwe stof begrijpen (1 min.)

Kies de extra vergelijking:

sinx=2cosx; 2sinx + cosx = 2;

√3sinx + cosx = 0; sin 2 x - 2 sinx cosx + 4cos 2 x \u003d 0;

4cosx + 5sinx = 0; √3sinx – cosx = 0.

(dia 9)

6. Consolidatie van nieuw materiaal (24 min).

De leerlingen lossen, samen met de antwoorden op het bord, vergelijkingen op voor nieuw materiaal. Taken worden in de vorm van een tabel op de dia geschreven. Bij het oplossen van de vergelijking wordt het overeenkomstige deel van de afbeelding op de dia geopend. Als resultaat van de uitvoering van 4 vergelijkingen, opent zich een portret van een wiskundige die een significante invloed had op de ontwikkeling van trigonometrie voor studenten. (studenten zullen het portret van Francois Vieta herkennen - de grote wiskundige die een grote bijdrage heeft geleverd aan trigonometrie, de eigenschap van de wortels van de gereduceerde kwadratische vergelijking ontdekte en zich bezighield met cryptografie) . (dia 10)

1) √3sinx + cosx = 0,

Omdat cosx ≠ 0, dan

√3tgx + 1 = 0;

tgx = –1/√3;

х = arctg (–1/√3) + πn, n ∈Z.

x = –π/6 + πn, n ∈Z.

2) sin 2 x - 10 sinx cosx + 21cos 2 x \u003d 0.

Omdat cos 2 x ≠ 0, dan tg 2 x – 10 tgx + 21 = 0

Vervanging: tgx = j.

y 2 - 10 y + 21 = 0

y 1 = 7 of y 2 = 3

tgx=7 of tgx=3

x = arctg7 + πn, n ∈Z

x = arctg3 + πn, n ∈Z

3) sin 2 2x - 6 sin2x cos2x + 5cos 2 2x = 0.

Omdat cos 2 2x ≠ 0, dan 3tg 2 2x – 6tg2x +5 = 0

Vervanging: tg2x = j.

3j 2 - 6j + 5 = 0

D \u003d 36 - 20 \u003d 16

y 1 = 5 of y 2 = 1

tg2x=5 of tg2x=1

2x = arctg5 + πn, n ∈Z

x = 1/2 arctg5 + π/2 n, n ∈Z

2x = arctg1 + πn, n ∈Z

x = π/8 + π/2 n, n ∈Z

4) 6sin 2 x + 4 sin(π-x) cos(2π-x) = 1.

6sin 2 x + 4 sinx cosx = 1.

6sin 2 x + 4 sinx cosx - sin 2 x - cos 2 x \u003d 0.

5sin 2 x + 4 sinx cosx - cos 2 x \u003d 0.

Omdat cos 2 x ≠0, dan 5tg 2 x + 4 tgx –1 = 0

Vervanging: tgx = y.

5j 2 + 4j - 1 = 0

D=16+20=36

y 1 = 1/5 of y 2 = -1

tgx = 1/5 of tgx = -1

x = arctg1/5 + πn, n ∈Z

x = arctg(–1) + πn, n ∈Z

x = –π/4 + πn, n ∈Z

Extra's (op de kaart):

Los de vergelijking op en, kies één optie uit de vier voorgestelde, raad de naam van de wiskundige die de reductieformules heeft afgeleid:

2sin 2 x - 3 sinx cosx - 5cos 2 x = 0.

Antwoordmogelijkheden:

х = arctg2 + 2πn, n ∈Z х = –π/2 + πn, n ∈Z – P. Chebyshev

x = arctan 12,5 + 2πn, n ∈Z x = –3π/4 + πn, n ∈Z – Euclides

х = arctg 5 + πn, n ∈Z х = –π/3 + πn, n ∈Z – Sofia Kovalevskaya

x = arctg2.5 + πn, n ∈Z x = –π/4 + πn, n ∈Z – Leonard Euler

Correct antwoord: Leonhard Euler.

7. Gedifferentieerd zelfstandig werk (8 min.)

De grote wiskundige en filosoof stelde meer dan 2500 jaar geleden een manier voor om mentale vermogens te ontwikkelen. "Denken begint met verwondering", zei hij. We zijn vandaag herhaaldelijk overtuigd van de juistheid van deze woorden. Nadat je zelfstandig aan 2 opties hebt gewerkt, kun je laten zien hoe je de stof hebt geleerd en de naam van deze wiskundige achterhalen. Gebruik voor zelfstandig werk de hand-out die op je bureau ligt. U kunt zelf een van de drie voorgestelde vergelijkingen kiezen. Maar onthoud dat door de vergelijking op te lossen die overeenkomt met geel, u alleen "3" kunt krijgen, de vergelijking die overeenkomt met groen - "4", rood - "5" kunt oplossen. (Bijlage 3)

Welke moeilijkheidsgraad de leerlingen ook kiezen, na de juiste oplossing van de vergelijking krijgt de eerste optie het woord "ARIST", de tweede - "HOTEL". Op de dia staat het woord: "ARIST-HOTEL". (dia 11)

Folders met zelfstandig werk worden ter verificatie overhandigd. (Bijlage 4)

8. Huiswerk opnemen (1 min)

D/z: §7.17. Stel 2 homogene vergelijkingen van de eerste graad en 1 homogene vergelijking van de tweede graad op en los ze op (gebruik de stelling van Vieta voor compilatie). (dia 12)

9. De les samenvatten, beoordelen (2 minuten)

De leraar vestigt nogmaals de aandacht op dat soort vergelijkingen en die theoretische feiten die in de les werden onthouden, spreekt van de noodzaak om ze te leren.

Studenten beantwoorden de vragen:

Met wat voor soort trigonometrische vergelijkingen zijn we bekend?
Hoe worden deze vergelijkingen opgelost?

De leraar noteert het meest succesvolle werk in de les van individuele studenten, zet cijfers.