Как да изчислим квадратно уравнение. Решаване на квадратни уравнения с помощта на дискриминанта

AT модерно обществоспособността да се работи с уравнения, съдържащи квадратна променлива, може да бъде полезна в много области на дейност и се използва широко в практиката в научните и технически разработки. Това може да се докаже от дизайна на морски и речни кораби, самолети и ракети. С помощта на такива изчисления траекториите на движение на най различни тела, включително космически обекти. Примери с решение на квадратни уравнения се използват не само в икономическото прогнозиране, при проектирането и строителството на сгради, но и в най-обикновените ежедневни обстоятелства. Те могат да бъдат необходими на къмпинг, на спортни събития, в магазини при пазаруване и в други много често срещани ситуации.

Нека разделим израза на съставни множители

Определя се степента на уравнението максимална стойностстепента на променливата, която съдържа дадения израз. Ако е равно на 2, тогава такова уравнение се нарича квадратно уравнение.

Ако говорим на езика на формулите, тогава тези изрази, независимо как изглеждат, винаги могат да бъдат доведени до формата, когато лявата страна на израза се състои от три члена. Сред тях: ax 2 (т.е. променлива на квадрат с нейния коефициент), bx (неизвестно без квадрат с нейния коефициент) и c (свободен компонент, т.е. обикновено число). Всичко това от дясната страна е равно на 0. В случай, че такъв полином няма нито един от съставните си членове, с изключение на ос 2, той се нарича непълно квадратно уравнение. Първо трябва да се разгледат примери с решението на такива задачи, в които не е трудно да се намери стойността на променливите.

Ако изразът изглежда така, сякаш има два члена от дясната страна на израза, по-точно ax 2 и bx, най-лесно е да намерите x, като поставите променливата в скоби. Сега нашето уравнение ще изглежда така: x(ax+b). Освен това става очевидно, че или x=0, или проблемът се свежда до намиране на променлива от следния израз: ax+b=0. Това е продиктувано от едно от свойствата на умножението. Правилото казва, че произведението на два фактора води до 0 само ако единият от тях е нула.

Пример

x=0 или 8x - 3 = 0

В резултат на това получаваме два корена на уравнението: 0 и 0,375.

Уравнения от този вид могат да опишат движението на тела под действието на гравитацията, които са започнали да се движат от определена точка, взета за начало. Тук математическата нотация приема следната форма: y = v 0 t + gt 2 /2. Чрез заместване на необходимите стойности, приравняване на дясната страна на 0 и намиране на възможни неизвестни, можете да разберете времето, изминало от момента на издигане на тялото до момента на падане, както и много други количества. Но ще говорим за това по-късно.

Факторизиране на израз

Описаното по-горе правило позволява решаването на тези проблеми в по-сложни случаи. Разгледайте примери с решението на квадратни уравнения от този тип.

X2 - 33x + 200 = 0

Този квадратен трином е пълен. Първо трансформираме израза и го разлагаме на множители. Има два от тях: (x-8) и (x-25) = 0. В резултат на това имаме два корена 8 и 25.

Примерите с решението на квадратни уравнения в 9 клас позволяват този метод да намери променлива в изрази не само от втория, но дори от третия и четвъртия ред.

Например: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Когато разлагаме дясната страна на множители с променлива, има три от тях, а именно (x + 1), (x-3) и (x + 3).

В резултат на това става очевидно, че това уравнение има три корена: -3; -един; 3.

Извличане на корен квадратен

Друг случай на непълно уравнение от втори ред е израз, написан на езика на буквите по такъв начин, че дясната страна е изградена от компонентите ax 2 и c. Тук, за да се получи стойността на променливата, свободният член се прехвърля в дясната страна и след това квадратният корен се извлича от двете страни на равенството. Трябва да се отбележи, че в този случайОбикновено има два корена на едно уравнение. Единствените изключения са равенства, които изобщо не съдържат термина c, където променливата е равна на нула, както и варианти на изрази, когато дясната страна се оказва отрицателна. В последния случай изобщо няма решения, тъй като горните действия не могат да бъдат извършени с корени. Трябва да се разгледат примери за решения на квадратни уравнения от този тип.

В този случай корените на уравнението ще бъдат числата -4 и 4.

Изчисляване на площта на земята

Необходимостта от този вид изчисления се появи в древни времена, тъй като развитието на математиката в тези далечни времена до голяма степен се дължи на необходимостта да се определят площите и периметрите на парцелите с най-голяма точност.

Трябва да разгледаме и примери с решението на квадратни уравнения, съставени въз основа на задачи от този вид.

И така, да кажем, че има правоъгълно парче земя, чиято дължина е с 16 метра повече от ширината. Трябва да намерите дължината, ширината и периметъра на обекта, ако е известно, че неговата площ е 612 m 2.

Пристъпвайки към работата, първо ще направим необходимото уравнение. Нека обозначим ширината на сечението като x, тогава дължината му ще бъде (x + 16). От написаното следва, че площта се определя от израза x (x + 16), който според условието на нашата задача е 612. Това означава, че x (x + 16) \u003d 612.

Решаването на пълни квадратни уравнения, а този израз е точно това, не може да се направи по същия начин. Защо? Въпреки че лявата му страна все още съдържа два фактора, произведението от тях изобщо не е равно на 0, така че тук се използват други методи.

Дискриминанта

Първо, ние правим необходимите трансформации, тогава външен видтози израз ще изглежда така: x 2 + 16x - 612 = 0. Това означава, че сме получили израз във формата, съответстваща на зададения по-рано стандарт, където a=1, b=16, c=-612.

Това може да бъде пример за решаване на квадратни уравнения чрез дискриминанта. Тук необходими изчисленияпроизведени по схемата: D = b 2 - 4ac. Тази спомагателна стойност не само дава възможност да се намерят желаните стойности в уравнението от втори ред, тя определя броя настроики. В случай D>0 те са два; за D=0 има един корен. В случай Д<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

За корените и тяхната формула

В нашия случай дискриминантът е: 256 - 4(-612) = 2704. Това показва, че нашият проблем има отговор. Ако знаете, решението на квадратни уравнения трябва да продължи с формулата по-долу. Позволява ви да изчислите корените.

Това означава, че в представения случай: x 1 =18, x 2 =-34. Вторият вариант в тази дилема не може да бъде решение, тъй като размерът на парцела не може да бъде измерен в отрицателни стойности, което означава, че x (т.е. ширината на парцела) е 18 м. От тук изчисляваме дължината: 18+16=34, а периметърът 2(34+ 18) = 104 (m 2).

Примери и задачи

Продължаваме с изучаването на квадратни уравнения. Примери и подробно решение на някои от тях ще бъдат дадени по-долу.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Нека прехвърлим всичко в лявата страна на равенството, направим трансформация, тоест получаваме формата на уравнението, което обикновено се нарича стандартно, и го приравняваме към нула.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Добавяйки подобни, определяме дискриминанта: D = 49 - 48 = 1. Така че нашето уравнение ще има два корена. Изчисляваме ги по горната формула, което означава, че първото от тях ще бъде равно на 4/3, а второто 1.

2) Сега ще разкрием гатанки от различен вид.

Нека да разберем дали тук изобщо има корени x 2 - 4x + 5 = 1? За да получим изчерпателен отговор, привеждаме полинома в съответната позната форма и изчисляваме дискриминанта. В този пример решението квадратно уравнениене е необходимо да се произвежда, защото същността на проблема изобщо не е в това. В този случай D \u003d 16 - 20 \u003d -4, което означава, че наистина няма корени.

Теорема на Виета

Удобно е да се решават квадратни уравнения чрез горните формули и дискриминанта, когато квадратният корен се извлича от стойността на последния. Но това не винаги се случва. Има обаче много начини да получите стойностите на променливите в този случай. Пример: решаване на квадратни уравнения с помощта на теоремата на Виета. Той е кръстен на човек, живял във Франция през 16-ти век и имал блестяща кариера благодарение на математическия си талант и връзки в двора. Неговият портрет можете да видите в статията.

Моделът, който известният французин забеляза, беше следният. Той доказа, че сумата от корените на уравнението е равна на -p=b/a, а произведението им съответства на q=c/a.

Сега нека разгледаме конкретните задачи.

3x2 + 21x - 54 = 0

За простота, нека трансформираме израза:

x 2 + 7x - 18 = 0

Използвайки теоремата на Виета, това ще ни даде следното: сумата от корените е -7, а произведението им е -18. От тук получаваме, че корените на уравнението са числата -9 и 2. След като направихме проверка, ще се уверим, че тези стойности на променливите наистина се вписват в израза.

Графика и уравнение на парабола

Понятията квадратна функция и квадратни уравнения са тясно свързани. Примери за това вече са дадени по-рано. Сега нека разгледаме някои математически пъзели малко по-подробно. Всяко уравнение от описания тип може да бъде представено визуално. Такава зависимост, начертана под формата на графика, се нарича парабола. Различните му видове са показани на фигурата по-долу.

Всяка парабола има връх, тоест точка, от която излизат нейните клонове. Ако a>0, те отиват високо до безкрайност, а когато a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Визуалните представяния на функции помагат за решаването на всякакви уравнения, включително квадратни. Този метод се нарича графичен. И стойността на променливата x е абсцисната координата в точките, където линията на графиката се пресича с 0x. Координатите на върха могат да бъдат намерени по току-що дадената формула x 0 = -b / 2a. И като замените получената стойност в първоначалното уравнение на функцията, можете да намерите y 0, тоест втората координата на върха на параболата, принадлежаща на оста y.

Пресечната точка на клоновете на параболата с абсцисната ос

Има много примери за решаване на квадратни уравнения, но има и общи закономерности. Нека ги разгледаме. Ясно е, че пресичането на графиката с оста 0x за a>0 е възможно само ако y 0 вземе отрицателни стойности. И за а<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. В противен случай D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

От графиката на парабола можете също да определите корените. Обратното също е вярно. Тоест, ако не е лесно да получите визуално представяне на квадратична функция, можете да приравните дясната страна на израза на 0 и да решите полученото уравнение. И като се знаят точките на пресичане с оста 0x, е по-лесно да се чертае.

От историята

С помощта на уравнения, съдържащи квадратна променлива, в старите времена не само правеха математически изчисления и определяха площта на геометричните фигури. Подобни изчисления са били необходими на древните за грандиозни открития в областта на физиката и астрономията, както и за правене на астрологични прогнози.

Както предполагат съвременните учени, жителите на Вавилон са били сред първите, които решават квадратни уравнения. Това се случи четири века преди настъпването на нашата ера. Разбира се, техните изчисления бяха коренно различни от приетите в момента и се оказаха много по-примитивни. Например месопотамските математици нямаха представа за съществуването на отрицателни числа. Те също не бяха запознати с други тънкости от онези, които са известни на всеки ученик от нашето време.

Може би дори по-рано от учените от Вавилон, мъдрецът от Индия, Баудхаяма, се заел с решението на квадратни уравнения. Това се случи около осем века преди настъпването на ерата на Христос. Вярно е, че уравненията от втори ред, методите за решаване на които той даде, бяха най-простите. Освен него китайските математици също са се интересували от подобни въпроси навремето. В Европа квадратните уравнения започват да се решават едва в началото на 13 век, но по-късно те са използвани в работата си от такива велики учени като Нютон, Декарт и много други.

В продължение на темата „Решаване на уравнения“, материалът в тази статия ще ви запознае с квадратни уравнения.

Нека разгледаме всичко подробно: същността и записа на квадратно уравнение, задайте свързани термини, анализирайте схемата за решаване на непълни и пълни уравнения, запознайте се с формулата на корените и дискриминанта, установете връзки между корени и коефициенти и разбира се ще дадем визуално решение от практически примери.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Квадратно уравнение, неговите видове

Определение 1

Квадратно уравнениее уравнението, написано като a x 2 + b x + c = 0, където х– променлива, a , b и ° Сса някои числа, докато ане е нула.

Често квадратните уравнения се наричат също уравнения от втора степен, тъй като всъщност квадратното уравнение е алгебрично уравнение от втора степен.

Нека дадем пример, за да илюстрираме даденото определение: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 и т.н. са квадратни уравнения.

Определение 2

Числата a, b и ° Сса коефициентите на квадратното уравнение a x 2 + b x + c = 0, докато коеф асе нарича първи, или старши, или коефициент при x 2, b - вторият коефициент, или коефициент при х, а ° Снаречен безплатен член.

Например в квадратното уравнение 6 x 2 - 2 x - 11 = 0най-високият коефициент е 6, вторият коефициент е − 2 , а свободният член е равен на − 11 . Нека обърнем внимание на факта, че когато коефициентите bи/или c са отрицателни, тогава се използва съкратената форма 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, но не 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Нека изясним и този аспект: ако коефициентите аи/или bравен 1 или − 1 , то те могат да не вземат изрично участие в записването на квадратното уравнение, което се обяснява с особеностите на записване на посочените числови коефициенти. Например в квадратното уравнение y 2 − y + 7 = 0старшият коефициент е 1, а вторият коефициент е − 1 .

Редуцирани и нередуцирани квадратни уравнения

Според стойността на първия коефициент квадратните уравнения се разделят на редуцирани и нередуцирани.

Определение 3

Редуцирано квадратно уравнениее квадратно уравнение, където водещият коефициент е 1. За други стойности на водещия коефициент квадратното уравнение е нередуцирано.

Ето няколко примера: приведени са квадратни уравнения x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0, във всяко от които водещият коефициент е 1 .

9 x 2 - x - 2 = 0- нередуцирано квадратно уравнение, където първият коефициент е различен от 1 .

Всяко нередуцирано квадратно уравнение може да бъде преобразувано в редуцирано уравнение чрез разделяне на двете му части на първия коефициент (еквивалентна трансформация). Трансформираното уравнение ще има същите корени като даденото нередуцирано уравнение или също няма да има никакви корени.

Разглеждането на конкретен пример ще ни позволи ясно да демонстрираме прехода от нередуцирано квадратно уравнение към редуцирано.

Пример 1

Дадено е уравнението 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Необходимо е оригиналното уравнение да се преобразува в намалена форма.

Решение

Съгласно горната схема, ние разделяме двете части на оригиналното уравнение на водещия коефициент 6 . Тогава получаваме: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3, и това е същото като: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0и по-нататък: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0 .Оттук: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Така се получава уравнение, еквивалентно на даденото.

Отговор: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Пълни и непълни квадратни уравнения

Нека се обърнем към дефиницията на квадратно уравнение. В него уточнихме това a ≠ 0. Подобно условие е необходимо за уравнението a x 2 + b x + c = 0беше точно квадрат, тъй като а = 0по същество се трансформира в линейно уравнение b x + c = 0.

В случая, когато коефициентите bи ° Сса равни на нула (което е възможно, както поотделно, така и заедно), квадратното уравнение се нарича непълно.

Определение 4

Непълно квадратно уравнениее квадратно уравнение a x 2 + b x + c \u003d 0,където поне един от коефициентите bи ° С(или и двете) е нула.

Пълно квадратно уравнениее квадратно уравнение, в което всички числени коефициенти не са равни на нула.

Нека обсъдим защо типовете квадратни уравнения са дадени точно такива имена.

За b = 0 квадратното уравнение приема формата a x 2 + 0 x + c = 0, което е същото като a x 2 + c = 0. При c = 0квадратното уравнение се записва като a x 2 + b x + 0 = 0, което е еквивалентно a x 2 + b x = 0. При b = 0и c = 0уравнението ще приеме формата a x 2 = 0. Уравненията, които получихме, се различават от пълното квадратно уравнение по това, че техните леви части не съдържат нито член с променливата x, нито свободен член, нито и двете едновременно. Всъщност този факт даде името на този тип уравнения - непълни.

Например, x 2 + 3 x + 4 = 0 и − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 са пълни квадратни уравнения; x 2 \u003d 0, − 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 са непълни квадратни уравнения.

Решаване на непълни квадратни уравнения

Дефиницията, дадена по-горе, позволява да се разграничат следните видове непълни квадратни уравнения:

a x 2 = 0, коефициентите съответстват на такова уравнение b = 0и с = 0;
a x 2 + c \u003d 0 за b \u003d 0;
a x 2 + b x = 0 за c = 0.

Разгледайте последователно решението на всеки тип непълно квадратно уравнение.

Решение на уравнението a x 2 \u003d 0

Както вече беше споменато по-горе, такова уравнение съответства на коефициентите bи ° С, равно на нула. Уравнението a x 2 = 0може да се преобразува в еквивалентно уравнение x2 = 0, което получаваме, като разделим двете страни на първоначалното уравнение на числото а, не е равно на нула. Очевидният факт е, че коренът на уравнението x2 = 0е нула, защото 0 2 = 0 . Това уравнение няма други корени, което се обяснява със свойствата на степента: за всяко число п,не е равно на нула, неравенството е вярно p2 > 0, от което следва, че когато p ≠ 0равенство p2 = 0никога няма да бъде достигнат.

Определение 5

Така за непълното квадратно уравнение a x 2 = 0 има единствен корен х=0.

Пример 2

Например, нека решим непълно квадратно уравнение − 3 x 2 = 0. То е еквивалентно на уравнението x2 = 0, единственият му корен е х=0, тогава първоначалното уравнение има един корен - нула.

Решението е обобщено, както следва:

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 = 0, x \u003d 0.

Решение на уравнението a x 2 + c \u003d 0

Следващото по ред е решението на непълни квадратни уравнения, където b \u003d 0, c ≠ 0, тоест уравнения от вида a x 2 + c = 0. Нека трансформираме това уравнение, като прехвърлим члена от едната страна на уравнението в другата, променим знака на противоположния и разделим двете страни на уравнението на число, което не е равно на нула:

издържам ° Св дясната страна, което дава уравнението a x 2 = − c;
разделете двете страни на уравнението на а, получаваме като резултат x = - c a .

Нашите трансформации са еквивалентни, съответно полученото уравнение също е еквивалентно на оригиналното и този факт позволява да се направи заключение за корените на уравнението. От какви са стойностите аи ° Сзависи от стойността на израза - c a: може да има знак минус (например ако а = 1и c = 2, след това - c a = - 2 1 = - 2) или знак плюс (например, ако а = -2и c=6, тогава - c a = - 6 - 2 = 3); не е равно на нула, защото c ≠ 0. Нека се спрем по-подробно на ситуации, когато - c a< 0 и - c a > 0 .

В случай, когато - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа стрравенството p 2 = - c a не може да бъде вярно.

Всичко е различно, когато - c a > 0: запомнете квадратния корен и ще стане очевидно, че коренът на уравнението x 2 \u003d - c a ще бъде числото - c a, тъй като - c a 2 \u003d - c a. Лесно е да се разбере, че числото - - c a - също е коренът на уравнението x 2 = - c a: наистина, - - c a 2 = - c a .

Уравнението няма да има други корени. Можем да демонстрираме това, използвайки обратния метод. Първо, нека зададем обозначението на корените, намерени по-горе, като х 1и − x 1. Да приемем, че уравнението x 2 = - c a също има корен x2, което е различно от корените х 1и − x 1. Знаем, че като заместим в уравнението вместо хнеговите корени, трансформираме уравнението в справедливо числово равенство.

За х 1и − x 1напишете: x 1 2 = - c a , и за x2- x 2 2 \u003d - c a. Въз основа на свойствата на числовите равенства, изваждаме едно истинско равенство от друг член по член, което ще ни даде: x 1 2 − x 2 2 = 0. Използвайте свойствата на числовите операции, за да пренапишете последното равенство като (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Известно е, че произведението на две числа е нула тогава и само ако поне едно от числата е нула. От казаното следва, че x1 − x2 = 0и/или x1 + x2 = 0, което е същото x2 = x1и/или x 2 = − x 1. Възникна очевидно противоречие, тъй като първоначално беше договорено, че коренът на уравнението x2се различава от х 1и − x 1. И така, доказахме, че уравнението няма други корени освен x = - c a и x = - - c a .

Обобщаваме всички аргументи по-горе.

Определение 6

Непълно квадратно уравнение a x 2 + c = 0е еквивалентно на уравнението x 2 = - c a , което:

няма да има корени в - c a< 0 ;
ще има два корена x = - c a и x = - - c a, когато - c a > 0 .

Нека дадем примери за решаване на уравнения a x 2 + c = 0.

Пример 3

Дадено е квадратно уравнение 9 x 2 + 7 = 0 .Необходимо е да се намери неговото решение.

Решение

Прехвърляме свободния член в дясната страна на уравнението, след което уравнението ще приеме формата 9 x 2 \u003d - 7.
Разделяме двете страни на полученото уравнение на 9 , стигаме до x 2 = - 7 9 . От дясната страна виждаме число със знак минус, което означава: дадено уравнениебез корени. Тогава първоначалното непълно квадратно уравнение 9 х 2 + 7 = 0няма да има корени.

Отговор:уравнението 9 х 2 + 7 = 0няма корени.

Пример 4

Необходимо е да се реши уравнението − x2 + 36 = 0.

Решение

Нека преместим 36 надясно: − x 2 = − 36.
Нека разделим двете части на − 1 , получаваме х2 = 36. От дясната страна има положително число, от което можем да заключим, че x = 36 или x = - 36 .
Извличаме корена и записваме крайния резултат: непълно квадратно уравнение − x2 + 36 = 0има два корена х=6или х = -6.

Отговор: х=6или х = -6.

Решение на уравнението a x 2 +b x=0

Нека анализираме третия вид непълни квадратни уравнения, когато c = 0. Да се намери решение на непълно квадратно уравнение a x 2 + b x = 0, ние използваме метода на факторизиране. Нека факторизираме полинома, който е от лявата страна на уравнението, като извадим общия множител от скоби х. Тази стъпка ще направи възможно трансформирането на оригиналното непълно квадратно уравнение в негов еквивалент x (a x + b) = 0. И това уравнение от своя страна е еквивалентно на набора от уравнения х=0и a x + b = 0. Уравнението a x + b = 0линеен и неговия корен: x = − b a.

Определение 7

По този начин непълното квадратно уравнение a x 2 + b x = 0ще има два корена х=0и x = − b a.

Нека консолидираме материала с пример.

Пример 5

Необходимо е да се намери решението на уравнението 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 .

Решение

Да извадим хизвън скобите и получете уравнението x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Това уравнение е еквивалентно на уравненията х=0и 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Сега трябва да решите полученото линейно уравнение: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Накратко, записваме решението на уравнението, както следва:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 или 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 или x = 3 3 7

Отговор: x = 0, x = 3 3 7 .

Дискриминант, формула на корените на квадратно уравнение

За намиране на решение на квадратни уравнения има коренна формула:

Определение 8

x = - b ± D 2 a, където D = b 2 − 4 a cе така нареченият дискриминант на квадратно уравнение.

Писането на x \u003d - b ± D 2 a по същество означава, че x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

Ще бъде полезно да разберете как е получена посочената формула и как да я приложите.

Извеждане на формулата на корените на квадратно уравнение

Да предположим, че сме изправени пред задачата да решим квадратно уравнение a x 2 + b x + c = 0. Нека извършим няколко еквивалентни трансформации:

разделете двете страни на уравнението на числото а, различен от нула, получаваме редуцираното квадратно уравнение: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
изберете пълния квадрат от лявата страна на полученото уравнение:
x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
След това уравнението ще приеме формата: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
сега е възможно да прехвърлим последните два члена от дясната страна, променяйки знака на противоположния, след което получаваме: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
накрая трансформираме израза, записан от дясната страна на последното равенство:
b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Така стигнахме до уравнението x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 , което е еквивалентно на първоначалното уравнение a x 2 + b x + c = 0.

Обсъдихме решението на такива уравнения в предишните параграфи (решението на непълни квадратни уравнения). Вече натрупаният опит позволява да се направи заключение относно корените на уравнението x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:

за b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
за b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, уравнението има формата x + b 2 · a 2 = 0, тогава x + b 2 · a = 0.

От тук единственият корен x = - b 2 · a е очевиден;

за b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0, правилният е: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 или x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , което е същото като x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 или x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , т.е. уравнението има два корена.

Възможно е да се заключи, че наличието или отсъствието на корените на уравнението x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (и следователно първоначалното уравнение) зависи от знака на израза b 2 - 4 a c 4 · a 2, изписано от дясната страна. И знакът на този израз се дава от знака на числителя (знаменателя 4 а 2винаги ще бъде положителен), тоест знакът на израза b 2 − 4 a c. Този израз b 2 − 4 a cдава се име - дискриминант на квадратно уравнение и се определя буквата D като негово означение. Тук можете да запишете същността на дискриминанта - по стойността и знака му се прави заключение дали квадратното уравнение ще има реални корени и ако да, колко корена - един или два.

Нека се върнем към уравнението x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . Нека го пренапишем с помощта на дискриминантния запис: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Нека обобщим изводите:

Определение 9

при д< 0 уравнението няма реални корени;
при D=0уравнението има един корен x = - b 2 · a ;
при D > 0уравнението има два корена: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 или x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Въз основа на свойствата на радикалите тези корени могат да бъдат записани като: x \u003d - b 2 a + D 2 a или - b 2 a - D 2 a. И когато отворим модулите и намалим дробите до общ знаменател, получаваме: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

И така, резултатът от нашите разсъждения беше извеждането на формулата за корените на квадратното уравнение:

x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , дискриминант дизчислено по формулата D = b 2 − 4 a c.

Тези формули позволяват, когато дискриминантът е по-голям от нула, да се определят и двата реални корена. Когато дискриминантът е нула, прилагането на двете формули ще даде същия корен като единствено решениеквадратно уравнение. В случай, че дискриминантът е отрицателен, опитвайки се да използваме формулата за квадратен корен, ще се сблъскаме с необходимостта да извлечем корен квадратен от отрицателно число, което ще ни отведе отвъд реалните числа. С отрицателен дискриминант квадратното уравнение няма да има реални корени, но е възможна двойка комплексно спрегнати корени, определени от същите формули за корени, които получихме.

Алгоритъм за решаване на квадратни уравнения с помощта на коренни формули

Възможно е да се реши квадратно уравнение чрез незабавно използване на формулата за корен, но основно това се прави, когато е необходимо да се намерят сложни корени.

В по-голямата част от случаите търсенето обикновено е предназначено не за комплексни, а за реални корени на квадратно уравнение. Тогава е оптимално, преди да използвате формулите за корените на квадратното уравнение, първо да определите дискриминанта и да се уверите, че той не е отрицателен (в противен случай ще заключим, че уравнението няма реални корени) и след това да преминете към изчисляване на стойност на корените.

Разсъждението по-горе дава възможност да се формулира алгоритъм за решаване на квадратно уравнение.

Определение 10

За решаване на квадратно уравнение a x 2 + b x + c = 0, необходимо:

според формулата D = b 2 − 4 a cнамерете стойността на дискриминанта;
при Д< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
за D = 0 намерете единствения корен на уравнението по формулата x = - b 2 · a ;
за D > 0, определете два реални корена на квадратното уравнение по формулата x = - b ± D 2 · a.

Обърнете внимание, че когато дискриминантът е нула, можете да използвате формулата x = - b ± D 2 · a , тя ще даде същия резултат като формулата x = - b 2 · a .

Разгледайте примери.

Примери за решаване на квадратни уравнения

Нека дадем примерно решение за различни стойностидискриминанта.

Пример 6

Необходимо е да се намерят корените на уравнението x 2 + 2 x - 6 = 0.

Решение

Записваме числените коефициенти на квадратното уравнение: a \u003d 1, b \u003d 2 и c = − 6. След това действаме според алгоритъма, т.е. Нека започнем да изчисляваме дискриминанта, за който заместваме коефициентите a , b и ° Свъв формулата на дискриминанта: D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

И така, получихме D > 0, което означава, че оригиналното уравнение ще има два реални корена.
За да ги намерим, използваме коренната формула x \u003d - b ± D 2 · a и, замествайки подходящите стойности, получаваме: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Ние опростяваме получения израз, като изваждаме множителя от знака на корена, последвано от намаляване на дробта:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 или x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 или x = - 1 - 7

Отговор: x = - 1 + 7, x = - 1 - 7.

Пример 7

Необходимо е да се реши квадратно уравнение − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Решение

Нека дефинираме дискриминанта: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. При тази стойност на дискриминанта оригиналното уравнение ще има само един корен, определен по формулата x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Отговор: х = 3, 5.

Пример 8

Необходимо е да се реши уравнението 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Решение

Числените коефициенти на това уравнение ще бъдат: a = 5 , b = 6 и c = 2 . Използваме тези стойности, за да намерим дискриминанта: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Изчисленият дискриминант е отрицателен, така че оригиналното квадратно уравнение няма реални корени.

В случай, че задачата е да посочим сложни корени, прилагаме формулата на корена, като извършваме операции с комплексни числа:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 или x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i или x = - 3 5 - 1 5 i .

Отговор:няма реални корени; сложните корени са: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

AT училищна програмапо подразбиране няма изискване да се търсят комплексни корени, следователно, ако дискриминантът е определен като отрицателен по време на решението, веднага се записва отговорът, че няма реални корени.

Коренна формула за четни втори коефициенти

Коренната формула x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) дава възможност да се получи друга формула, по-компактна, която ви позволява да намерите решения на квадратни уравнения с четен коефициент при x (или с коефициент под формата 2 a n, например 2 3 или 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Нека покажем как се получава тази формула.

Да предположим, че сме изправени пред задачата да намерим решение на квадратното уравнение a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. Действаме според алгоритъма: определяме дискриминанта D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) и след това използваме формулата на корена:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Нека изразът n 2 − a c бъде означен като D 1 (понякога се обозначава с D "). Тогава формулата за корените на разглежданото квадратно уравнение с втория коефициент 2 n ще приеме формата:

x \u003d - n ± D 1 a, където D 1 \u003d n 2 - a c.

Лесно се вижда, че D = 4 · D 1 или D 1 = D 4 . С други думи, D 1 е една четвърт от дискриминанта. Очевидно знакът на D 1 е същият като знака на D, което означава, че знакът на D 1 може също да служи като индикатор за наличието или отсъствието на корените на квадратно уравнение.

Определение 11

По този начин, за да се намери решение на квадратно уравнение с втори коефициент от 2 n, е необходимо:

намерете D 1 = n 2 − a c ;
в D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
за D 1 = 0, определете единствения корен на уравнението по формулата x = - n a ;
за D 1 > 0, определете два реални корена, като използвате формулата x = - n ± D 1 a.

Пример 9

Необходимо е да се реши квадратното уравнение 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0.

Решение

Вторият коефициент на даденото уравнение може да бъде представен като 2 · (− 3) . След това пренаписваме даденото квадратно уравнение като 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , където a = 5 , n = − 3 и c = − 32 .

Нека изчислим четвъртата част от дискриминанта: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Получената стойност е положителна, което означава, че уравнението има два реални корена. Ние ги определяме чрез съответната формула на корените:

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 или x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 или x = - 2

Би било възможно да се извършат изчисления, като се използва обичайната формула за корените на квадратно уравнение, но в този случай решението би било по-тромаво.

Отговор: x = 3 1 5 или x = - 2 .

Опростяване на формата на квадратни уравнения

Понякога е възможно да се оптимизира формата на оригиналното уравнение, което ще опрости процеса на изчисляване на корените.

Например, квадратното уравнение 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 е очевидно по-удобно за решаване от 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

По-често опростяването на формата на квадратно уравнение се извършва чрез умножаване или разделяне на двете му части с определено число. Например, по-горе показахме опростено представяне на уравнението 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, получено чрез разделяне на двете му части на 100.

Такова преобразуване е възможно, когато коефициентите на квадратното уравнение не са относително прости числа. Тогава е обичайно двете страни на уравнението да се разделят на най-голямата общ делител абсолютни стойностинеговите коефициенти.

Като пример използваме квадратното уравнение 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Нека дефинираме gcd на абсолютните стойности на неговите коефициенти: gcd (12 , 42 , 48) = gcd(gcd (12 , 42) , 48) = gcd (6 , 48) = 6 . Нека разделим двете части на първоначалното квадратно уравнение на 6 и да получим еквивалентното квадратно уравнение 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

Чрез умножаване на двете страни на квадратното уравнение, дробните коефициенти обикновено се елиминират. В този случай умножете по най-малкото общо кратно на знаменателите на неговите коефициенти. Например, ако всяка част от квадратното уравнение 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 се умножи с LCM (6, 3, 1) \u003d 6, тогава то ще бъде написано в повече проста форма x 2 + 4 x - 18 = 0 .

И накрая, отбелязваме, че почти винаги се отървете от минуса при първия коефициент на квадратното уравнение, като промените знаците на всеки член на уравнението, което се постига чрез умножаване (или разделяне) на двете части на −1. Например от квадратното уравнение - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, можете да отидете до неговата опростена версия 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Връзка между корени и коефициенти

Вече известната формула за корените на квадратните уравнения x = - b ± D 2 · a изразява корените на уравнението чрез неговите числени коефициенти. Въз основа на тази формула имаме възможност да зададем други зависимости между корените и коефициентите.

Най-известните и приложими са формулите на теоремата на Виета:

x 1 + x 2 \u003d - b a и x 2 \u003d c a.

По-специално, за редуцираното квадратно уравнение сумата от корените е вторият коефициент с противоположен знак, а произведението на корените е равно на свободния член. Например, чрез формата на квадратното уравнение 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0, е възможно незабавно да се определи, че сумата от неговите корени е 7 3, а произведението на корените е 22 3.

Можете също така да намерите редица други връзки между корените и коефициентите на квадратно уравнение. Например сумата от квадратите на корените на квадратно уравнение може да бъде изразена чрез коефициенти:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Копьевская селска гимназия

10 начина за решаване на квадратни уравнения

Ръководител: Патрикеева Галина Анатолиевна,

учител по математика

с.Копиево, 2007г

1. История на развитието на квадратните уравнения

1.1 Квадратни уравнения в древен Вавилон

1.2 Как Диофант съставя и решава квадратни уравнения

1.3 Квадратни уравнения в Индия

1.4 Квадратни уравнения в ал-Хорезми

1.5 Квадратни уравнения в Европа XIII - XVII век

1.6 За теоремата на Виета

2. Методи за решаване на квадратни уравнения

Заключение

Литература

1. История на развитието на квадратните уравнения

1.1 Квадратни уравнения в древен Вавилон

Необходимостта от решаване на уравнения не само от първа, но и от втора степен в древността е била причинена от необходимостта от решаване на проблеми, свързани с намирането на площи на земя и земни работи от военен характер, както и от развитието на астрономията и самата математика. Квадратните уравнения са били в състояние да решават около 2000 г. пр.н.е. д. вавилонци.

Прилагайки съвременна алгебрична нотация, можем да кажем, че в техните клинописни текстове има, освен непълни, такива, например, пълни квадратни уравнения:

х 2 + х = ¾; х 2 - х = 14,5

Правилото за решаване на тези уравнения, изложено във вавилонските текстове, съвпада по същество със съвременното, но не е известно как вавилонците са стигнали до това правило. Почти всички клинописни текстове, открити досега, дават само задачи с решения, посочени под формата на рецепти, без индикация как са намерени.

Въпреки високо ниворазвитието на алгебрата във Вавилон, в клинописните текстове няма концепция за отрицателно число и общи методи за решаване на квадратни уравнения.

1.2 Как Диофант съставя и решава квадратни уравнения.

Аритметиката на Диофант не съдържа систематично изложение на алгебрата, но съдържа систематична поредица от задачи, придружени от обяснения и решени чрез съставяне на уравнения от различни степени.

Когато съставя уравнения, Диофант умело избира неизвестни, за да опрости решението.

Ето например една от задачите му.

Задача 11.„Намерете две числа, като знаете, че сборът им е 20, а произведението им е 96“

Разсъждения на Диофант по следния начин: от условието на задачата следва, че желаните числа не са равни, тъй като ако бяха равни, то произведението им нямаше да бъде 96, а 100. Така едно от тях ще бъде повече от половината от сбора им, т.е. 10+x, другият е по-малък, т.е. 10-те. Разликата между тях 2x .

Следователно уравнението:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - х 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Оттук х = 2. Едно от желаните числа е 12 , друго 8 . Решение х = -2за Диофант не съществува, тъй като гръцката математика познава само положителни числа.

Ако решим тази задача, като изберем едно от желаните числа като неизвестно, тогава ще стигнем до решението на уравнението

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Ясно е, че Диофант опростява решението, като избира полуразликата на желаните числа като неизвестно; той успява да сведе проблема до решаване на непълно квадратно уравнение (1).

1.3 Квадратни уравнения в Индия

Задачи за квадратни уравнения се намират още в астрономическия трактат "Арябхатам", съставен през 499 г. от индийския математик и астроном Арябхатта. Друг индийски учен, Брахмагупта (7-ми век), излага общо правилорешения на квадратни уравнения, приведени до една канонична форма:

ах 2+ b x = c, a > 0. (1)

В уравнение (1) коефициентите, с изключение на а, може да бъде и отрицателен. Правилото на Брахмагупта по същество съвпада с нашето.

AT древна индияпубличните състезания при решаването на трудни проблеми са често срещани. В една от старите индийски книги за такива състезания се казва следното: „Както слънцето засенчва звездите с блясъка си, така учен човекзасенчват славата на друг в публични събрания, предлагайки и решавайки алгебрични проблеми. Задачите често бяха облечени в поетична форма.

Ето един от проблемите на известния индийски математик от XII век. Бхаскара.

Задача 13.

„Бързо стадо маймуни и дванадесет в лози ...

След като ядохте власт, се забавлявахте. Те започнаха да скачат, да висят ...

Част осма от тях в квадрат Колко маймуни имаше,

Забавление на поляната. Ти ми кажи, в това стадо?

Решението на Бхаскара показва, че той е знаел за двузначността на корените на квадратните уравнения (фиг. 3).

Уравнението, съответстващо на задача 13 е:

( х /8) 2 + 12 = х

Бхаскара пише под прикритието на:

x 2 - 64x = -768

и за да завърши лявата страна на това уравнение до квадрат, той добавя към двете страни 32 2 , получавайки след това:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Квадратни уравнения в ал-Хорезми

Алгебричният трактат на Ал-Хорезми дава класификация на линейни и квадратни уравнения. Авторът изброява 6 вида уравнения, като ги изразява по следния начин:

1) „Квадратите са равни на корени“, т.е. брадва 2 + c = b Х.

2) „Квадратите са равни на число“, т.е. брадва 2 = s.

3) „Корените са равни на числото“, т.е. ах = s.

4) „Квадратите и числата са равни на корени“, т.е. брадва 2 + c = b Х.

5) „Квадратите и корените са равни на числото“, т.е. ах 2+ bx = s.

6) „Корените и числата са равни на квадрати“, т.е. bx + c \u003d брадва 2.

За ал-Хорезми, който избягва използването на отрицателни числа, членовете на всяко от тези уравнения са събираеми, а не изваждания. В този случай уравненията, които нямат положителни решения, очевидно не се вземат предвид. Авторът очертава методите за решаване на тези уравнения, използвайки методите на ал-джабр и ал-мукабала. Неговите решения, разбира се, не съвпадат напълно с нашите. Да не говорим за факта, че е чисто риторично, трябва да се отбележи, например, че при решаване на непълно квадратно уравнение от първи тип

ал-Хорезми, както всички математици преди 17-ти век, взема предвид нулевото решение, вероятно защото в специфични практически задачиняма значение. При решаването на пълни квадратни уравнения ал-Хорезми излага правилата за решаване и след това геометрични доказателства, използвайки конкретни числени примери.

Задача 14.„Квадратът и числото 21 са равни на 10 корена. Намерете корена" (приемайки корена на уравнението x 2 + 21 = 10x).

Решението на автора е нещо подобно: разделете броя на корените наполовина, получавате 5, умножете 5 по себе си, извадете 21 от продукта, остава 4. Вземете корен от 4, получавате 2. Извадете 2 от 5, вие получите 3, това ще бъде желаният корен. Или добавете 2 към 5, което ще даде 7, това също е корен.

Трактатът ал-Хорезми е първата книга, достигнала до нас, в която систематично е изложена класификацията на квадратните уравнения и са дадени формули за тяхното решаване.

1.5 Квадратни уравнения в Европа XIII - XVII векове

Формулите за решаване на квадратни уравнения по модела на ал-Хорезми в Европа са изложени за първи път в "Книгата на абака", написана през 1202 г. от италианския математик Леонардо Фибоначи. Тази обемна работа, която отразява влиянието на математиката, както на страните на исляма, така и на Древна Гърция, се различава както по пълнота, така и по яснота на представянето. Авторът самостоятелно разработи някои нови алгебрични примерирешаване на задачи и пръв в Европа подходи към въвеждането на отрицателни числа. Книгата му допринася за разпространението на алгебричните знания не само в Италия, но и в Германия, Франция и други европейски страни. Много задачи от "Книгата на абака" са преминали в почти всички европейски учебници от 16-17 век. и отчасти XVIII.

Общото правило за решаване на квадратни уравнения, намалено до една канонична форма:

х 2+ bx = с,

за всички възможни комбинации от знаци на коефициентите b , се формулиран в Европа едва през 1544 г. от M. Stiefel.

Vieta има общо извеждане на формулата за решаване на квадратно уравнение, но Vieta признава само положителни корени. Италианските математици Тарталия, Кардано, Бомбели са сред първите през 16 век. Вземете предвид, в допълнение към положителните, и отрицателните корени. Едва през XVII век. Благодарение на работата на Жирар, Декарт, Нютон и др учени начинрешаването на квадратни уравнения приема съвременна форма.

1.6 За теоремата на Виета

Теоремата, изразяваща връзката между коефициентите на квадратно уравнение и неговите корени, носеща името на Виета, е формулирана от него за първи път през 1591 г., както следва: „Ако Б + думножено по А - А 2 , се равнява BD, тогава Асе равнява ATи равни д ».

За да разберете Виета, трябва да запомните това НО, като всяка гласна, означаваше за него неизвестното (нашата х), гласните AT, д- коефициенти за неизвестното. На езика на съвременната алгебра горната формулировка на Виета означава: ако

(а + b )x - x 2 = аб ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Изразявайки връзката между корените и коефициентите на уравненията с общи формули, написани с помощта на символи, Виет установи еднаквост в методите за решаване на уравнения. Въпреки това, символиката на Vieta е все още далеч модерен вид. Той не признаваше отрицателните числа и затова при решаването на уравнения разглеждаше само случаите, когато всички корени са положителни.

2. Методи за решаване на квадратни уравнения

Квадратните уравнения са основата, върху която се крепи величествената сграда на алгебрата. Квадратните уравнения се използват широко при решаване на тригонометрични, експоненциални, логаритмични, ирационални и трансцендентни уравнения и неравенства. Всички знаем как да решаваме квадратни уравнения от училище (8 клас) до завършването.

Квадратно уравнение - лесно за решаване! *По-нататък в текста „КУ“.Приятели, изглежда, че в математиката може да бъде по-лесно от решаването на такова уравнение. Но нещо ми подсказа, че много хора имат проблеми с него. Реших да видя колко импресии Yandex дава на заявка на месец. Ето какво се случи, вижте:

Какво означава? Това означава, че месечно се търсят около 70 000 души тази информация, какво общо има това лято и какво ще се случи сред учебна година- заявките ще бъдат два пъти повече. Това не е изненадващо, защото онези момчета и момичета, които отдавна са завършили училище и се подготвят за изпита, търсят тази информация, а учениците също се опитват да освежат паметта си.

Въпреки факта, че има много сайтове, които казват как се решава това уравнение, реших също да допринеса и да публикувам материала. Първо, искам посетителите да идват на сайта ми по тази заявка; второ, в други статии, когато се появи речта „KU“, ще дам връзка към тази статия; трето, ще ви разкажа малко повече за неговото решение, отколкото обикновено се посочва в други сайтове. Да започваме!Съдържанието на статията:

Квадратно уравнение е уравнение от формата:

където коефициентите a,bи с произволни числа, с a≠0.

В училищния курс материалът е даден в следната форма - разделянето на уравненията в три класа е условно:

1. Имате два корена.

2. * Има само един корен.

3. Нямат корени. Тук си струва да се отбележи, че те нямат истински корени

Как се изчисляват корените? Просто!

Изчисляваме дискриминанта. Под тази "ужасна" дума се крие много проста формула:

Коренните формули имат следващ изглед:

*Тези формули трябва да се знаят наизуст.

Можете веднага да запишете и решите:

Пример:

1. Ако D > 0, тогава уравнението има два корена.

2. Ако D = 0, тогава уравнението има един корен.

3. Ако Д< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Нека да разгледаме уравнението:

В този случай, когато дискриминантът е нула, в училищния курс се казва, че се получава един корен, тук той е равен на девет. Така е, но...

Това представяне е донякъде неправилно. Всъщност има два корена. Да, да, не се изненадвайте, оказват се два равни корена и за да бъдете математически точни, тогава два корена трябва да бъдат написани в отговора:

x 1 = 3 x 2 = 3

Но така е - малко отклонение. В училище можете да запишете и да кажете, че има само един корен.

Сега следният пример:

Както знаем, коренът на отрицателно число не се извлича, така че в този случай няма решение.

Това е целият процес на вземане на решение.

Квадратична функция.

Ето как геометрично изглежда решението. Това е изключително важно да се разбере (в бъдеще, в една от статиите, ще анализираме подробно решението на квадратно неравенство).

Това е функция на формата:

където x и y са променливи

a, b, c са дадени числа, където a ≠ 0

Графиката е парабола:

Тоест, оказва се, че чрез решаване на квадратно уравнение с "y" равно на нула, намираме точките на пресичане на параболата с оста x. Може да има две от тези точки (дискриминантът е положителен), една (дискриминантът е нула) или нито една (дискриминантът е отрицателен). Повече за квадратичната функция Можете да видитестатия от Инна Фелдман.

Помислете за примери:

Пример 1: Решете 2x 2 +8 х–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Отговор: x 1 = 8 x 2 = -12

* Можете веднага да разделите лявата и дясната страна на уравнението на 2, тоест да го опростите. Изчисленията ще бъдат по-лесни.

Пример 2: Реши x2–22 х+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Получихме, че x 1 \u003d 11 и x 2 \u003d 11

В отговора е допустимо да напишете x = 11.

Отговор: x = 11

Пример 3: Реши x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Дискриминантът е отрицателен, няма решение в реални числа.

Отговор: няма решение

Дискриминантът е отрицателен. Има решение!

Тук ще говорим за решаването на уравнението в случай, когато се получи отрицателен дискриминант. Знаете ли нещо за комплексните числа? Тук няма да навлизам в подробности защо и къде са възникнали и каква е тяхната конкретна роля и необходимост в математиката, това е тема за голяма отделна статия.

Понятието комплексно число.

Малко теория.

Комплексно число z е число от формата

z = a + bi

където a и b са реални числа, i е така наречената имагинерна единица.

а+би е ЕДИНСТВЕНО ЧИСЛО, а не събиране.

Въображаемата единица е равна на корен от минус едно:

Сега разгледайте уравнението:

Вземете два спрегнати корена.

Непълно квадратно уравнение.

Помислете за специални случаи, това е, когато коефициентът "b" или "c" е равен на нула (или и двата са равни на нула). Решават се лесно без никакви дискриминанти.

Случай 1. Коефициент b = 0.

Уравнението приема формата:

Нека трансформираме:

Пример:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Случай 2. Коефициент c = 0.

Уравнението приема формата:

Трансформиране, факторизиране:

*Произведението е равно на нула, когато поне един от факторите е равен на нула.

Пример:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 или x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Случай 3. Коефициенти b = 0 и c = 0.

Тук е ясно, че решението на уравнението винаги ще бъде x = 0.

Полезни свойства и модели на коефициентите.

Има свойства, които позволяват решаване на уравнения с големи коефициенти.

ах 2 + bx+ ° С=0 равенство

а + b+ c = 0,тогава

— ако за коефициентите на уравнението ах 2 + bx+ ° С=0 равенство

а+ с =b, тогава

Тези свойства помагат за решаването на определен вид уравнение.

Пример 1: 5001 х 2 –4995 х – 6=0

Сумата на коефициентите е 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, така че

Пример 2: 2501 х 2 +2507 х+6=0

Равенство а+ с =b, означава

Закономерности на коефициентите.

1. Ако в уравнението ax 2 + bx + c \u003d 0 коефициентът "b" е (a 2 +1), а коефициентът "c" е числено равен на коефициента "a", тогава неговите корени са

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Пример. Разгледайте уравнението 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Ако в уравнението ax 2 - bx + c \u003d 0, коефициентът "b" е (a 2 +1), а коефициентът "c" е числено равен на коефициента "a", тогава неговите корени са

ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Пример. Разгледайте уравнението 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Ако в уравнението ax 2 + bx - c = 0 коефициент "b" е равно на (a 2 – 1), и коефициентът „c“ числено равен на коефициента "а", тогава неговите корени са равни

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Пример. Разгледайте уравнението 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Ако в уравнението ax 2 - bx - c \u003d 0, коефициентът "b" е равен на (a 2 - 1), а коефициентът c е числено равен на коефициента "a", тогава неговите корени са

ax 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Пример. Разгледайте уравнението 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Теорема на Виета.

Теоремата на Виета е кръстена на известния френски математик Франсоа Виета. Използвайки теоремата на Vieta, човек може да изрази сумата и произведението на корените на произволен KU по отношение на неговите коефициенти.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Общо числото 14 дава само 5 и 9. Това са корените. С определено умение, използвайки представената теорема, можете да решите много квадратни уравнения веднага устно.

Освен това теоремата на Виета. удобно, защото след решаване на квадратното уравнение по обичайния начин(чрез дискриминанта) могат да се проверят получените корени. Препоръчвам да правите това през цялото време.

МЕТОД ЗА ПРЕХВЪРЛЯНЕ

При този метод коефициентът "а" се умножава по свободния член, като че ли се "прехвърля" върху него, поради което се нарича метод на прехвърляне.Този метод се използва, когато е лесно да се намерят корените на уравнение с помощта на теоремата на Виета и най-важното, когато дискриминантът е точен квадрат.

Ако а± b+c≠ 0, тогава се използва техниката на прехвърляне, например:

2х 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => х 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Съгласно теоремата на Vieta в уравнение (2) е лесно да се определи, че x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Получените корени на уравнението трябва да се разделят на 2 (тъй като двете са "хвърлени" от x 2), получаваме

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Каква е обосновката? Вижте какво става.

Дискриминантите на уравнения (1) и (2) са:

Ако погледнете корените на уравненията, тогава се получават само различни знаменатели и резултатът зависи точно от коефициента при x 2:

Вторите (модифицирани) корени са 2 пъти по-големи.

Следователно, разделяме резултата на 2.

*Ако хвърлим три от един вид, тогава разделяме резултата на 3 и т.н.

Отговор: x 1 = 5 x 2 = 0,5

кв. ur-ie и изпита.

Ще кажа накратко за важността му - ТРЯБВА ДА МОЖЕТЕ ДА РЕШАВАТЕ бързо и без да мислите, трябва да знаете формулите на корените и дискриминанта наизуст. Голяма част от задачите, които са част от задачите за USE, се свеждат до решаване на квадратно уравнение (включително геометрични).

Какво си струва да се отбележи!

1. Формата на уравнението може да бъде "неявна". Например е възможен следният запис:

15+ 9x 2 - 45x = 0 или 15x+42+9x 2 - 45x=0 или 15 -5x+10x 2 = 0.

Трябва да го доведете до стандартна форма (за да не се объркате при решаването).

2. Запомнете, че x е неизвестна стойност и може да се обозначи с всяка друга буква - t, q, p, h и др.

Някои задачи по математика изискват способността да се изчислява стойността на корен квадратен. Тези проблеми включват решаване на уравнения от втори ред. В тази статия представяме ефективен методизчисления квадратни корении го използвайте, когато работите с формулите на корените на квадратно уравнение.

Какво е квадратен корен?

В математиката това понятие съответства на символа √. Историческите данни сочат, че започва да се използва за първи път около първата половина на 16 век в Германия (първият немски труд по алгебра от Кристоф Рудолф). Учените смятат, че този символ е трансформиран латиница r (radix означава "корен" на латински).

Коренът на всяко число е равен на такава стойност, чийто квадрат съответства на коренния израз. На езика на математиката това определение ще изглежда така: √x = y, ако y 2 = x.

корен от положително число(x > 0) също е положително число (y > 0), но ако вземете корен от отрицателно число (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

Ето два прости примера:

√9 = 3, защото 3 2 = 9; √(-9) = 3i, тъй като i 2 = -1.

Итеративната формула на Heron за намиране на стойностите на квадратните корени

Горните примери са много прости и изчисляването на корените в тях не е трудно. Трудностите започват да се появяват още при намирането на стойностите на корена за всяка стойност, която не може да бъде представена като квадрат естествено число, например √10, √11, √12, √13, да не говорим за факта, че на практика е необходимо да се намерят корени за нецели числа: например √(12.15), √(8.5) и т.н.

Във всички горепосочени случаи приложете специален методизчисляване на корен квадратен. Понастоящем са известни няколко такива метода: например разширение в серия на Тейлър, деление по колона и някои други. От всички известни методи, може би най-простият и ефективен е използването на итеративната формула на Херон, която е известна още като Вавилонски метод за определяне на квадратни корени (има доказателства, че древните вавилонци са го използвали в своите практически изчисления).

Нека е необходимо да се определи стойността на √x. Намиране на формула корен квадратенима следната форма:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), където lim n->∞ (a n) => x.

Нека дешифрираме тази математическа нотация. За да изчислите √x, трябва да вземете някакво число a 0 (то може да е произволно, но за да получите бързо резултата, трябва да го изберете така, че (a 0) 2 да е възможно най-близо до x. След това го заменете в посочената формула за изчисляване на квадратния корен и да получите ново число a 1, което вече ще бъде по-близо до желаната стойност. След това е необходимо да замените 1 в израза и да получите 2. Тази процедура трябва да се повтаря, докато се получава необходимата точност.

Пример за прилагане на итеративната формула на Heron

За мнозина алгоритъмът за получаване на квадратен корен от дадено число може да звучи доста сложен и объркващ, но в действителност всичко се оказва много по-просто, тъй като тази формула се сближава много бързо (особено ако е избрано добро число 0).

Нека дадем прост пример: необходимо е да се изчисли √11. Избираме 0 \u003d 3, тъй като 3 2 \u003d 9, което е по-близо до 11 от 4 2 \u003d 16. Замествайки във формулата, получаваме:

a 1 \u003d 1/2 (3 + 11/3) \u003d 3,333333;

a 2 \u003d 1/2 (3,33333 + 11 / 3,33333) \u003d 3,316668;

a 3 \u003d 1/2 (3,316668 + 11 / 3,316668) \u003d 3,31662.

Няма смисъл да продължаваме с изчисленията, тъй като установихме, че 2 и 3 започват да се различават едва от 5-ия знак след десетичната запетая. По този начин беше достатъчно да се приложи формулата само 2 пъти, за да се изчисли √11 с точност до 0,0001.

Понастоящем калкулаторите и компютрите се използват широко за изчисляване на корените, но е полезно да запомните маркираната формула, за да можете ръчно да изчислите точната им стойност.

Уравнения от втори ред

Разбирането какво е квадратен корен и способността да се изчислява се използва при решаване на квадратни уравнения. Тези уравнения са равенства с едно неизвестно, обща формакоето е показано на фигурата по-долу.

Тук c, b и a са някои числа и a не трябва да е равно на нула, а стойностите на c и b могат да бъдат напълно произволни, включително да бъдат равни на нула.

Всички стойности на x, които отговарят на равенството, посочено на фигурата, се наричат неговите корени (това понятие не трябва да се бърка с квадратния корен √). Тъй като разглежданото уравнение има 2-ри ред (x 2), тогава не може да има повече корени за него от две числа. По-нататък в статията ще разгледаме как да намерим тези корени.

Намиране на корените на квадратно уравнение (формула)

Този метод за решаване на разглеждания тип равенства се нарича още универсален или метод чрез дискриминанта. Може да се приложи към всякакви квадратни уравнения. Формулата за дискриминанта и корените на квадратното уравнение е следната:

От него се вижда, че корените зависят от стойността на всеки от трите коефициента на уравнението. Освен това изчислението на x 1 се различава от изчислението на x 2 само по знака пред квадратния корен. Коренният израз, който е равен на b 2 - 4ac, не е нищо повече от дискриминанта на разглежданото равенство. Дискриминантът във формулата за корените на квадратно уравнение играе важна роля, защото определя броя и вида на решенията. Така че, ако е нула, тогава ще има само едно решение, ако е положително, тогава уравнението има два реални корена и накрая, отрицателният дискриминант води до два сложни корени x 1 и x 2 .

Теорема на Виета или някои свойства на корените на уравнения от втори ред

В края на 16-ти век един от основателите на съвременната алгебра, французин, изучавайки уравнения от втори ред, успява да получи свойствата на неговите корени. Математически те могат да бъдат записани така:

x 1 + x 2 = -b / a и x 1 * x 2 = c / a.

И двете равенства лесно могат да бъдат получени от всеки, за това е необходимо само да се извършат съответните математически операции с корените, получени чрез формула с дискриминант.

Комбинацията от тези два израза може с право да се нарече втората формула на корените на квадратно уравнение, което позволява да се познаят неговите решения, без да се използва дискриминанта. Тук трябва да се отбележи, че въпреки че и двата израза са винаги валидни, е удобно да се използват за решаване на уравнение само ако то може да бъде разложено на множители.

Задачата за консолидиране на придобитите знания

Ще решим математическа задача, в която ще демонстрираме всички техники, разгледани в статията. Условията на задачата са следните: трябва да намерите две числа, за които произведението е -13, а сборът е 4.

Това условие веднага напомня теоремата на Vieta, използвайки формулите за сумата от квадратни корени и техния продукт, ние пишем:

x 1 + x 2 \u003d -b / a \u003d 4;

x 1 * x 2 \u003d c / a \u003d -13.

Ако приемем, че a = 1, тогава b = -4 и c = -13. Тези коефициенти ни позволяват да съставим уравнение от втори ред:

x 2 - 4x - 13 = 0.

Използваме формулата с дискриминанта, получаваме следните корени:

x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

Тоест задачата се сведе до намиране на числото √68. Обърнете внимание, че 68 = 4 * 17, тогава, използвайки свойството квадратен корен, получаваме: √68 = 2√17.

Сега използваме разглежданата формула за квадратен корен: a 0 \u003d 4, след това:

a 1 \u003d 1/2 (4 + 17/4) \u003d 4,125;

a 2 \u003d 1/2 (4,125 + 17 / 4,125) \u003d 4,1231.

Няма нужда да изчислявате 3, тъй като намерените стойности се различават само с 0,02. Така √68 = 8,246. Замествайки го във формулата за x 1,2, получаваме:

x 1 \u003d (4 + 8,246) / 2 \u003d 6,123 и x 2 = (4 - 8,246) / 2 = -2,123.

Както можете да видите, сборът от намерените числа наистина е равен на 4, но ако намерите техния продукт, тогава той ще бъде равен на -12,999, което удовлетворява условието на задачата с точност до 0,001.